Tema 4: Problemas aritméticos.

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1 Tema 4: Problemas aritméticos. Ejercicio 1. Cómo se pueden repartir entre tres hermanos de forma que al mayor le corresponda la mitad que al menor y a este el triple que al mediano? El reparto ha de cumplir estas dos condiciones: menor doble que mayor ; menor triple que mediano Esto se consigue repartiendo proporcionalmente así: menor 6, mediano 2, mayor = 11 partes; : 11 = 210 a cada parte. menor : = 1260 Reparto: mediano : = 420 mayor : = En primer lugar, calculamos en cuántas partes debemos dividir los y a cuánto dinero corresponde cada parte. Para ello, realizamos dos sencillos cálculos. Los signos de suma y división los incluimos con el teclado (+ y /), y cuando tengamos los cálculos planteados pinchamos = y obtendremos nuestro resultado. Figura 1

2 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] 2. Ahora calcularemos qué cantidad corresponde a cada hermano. Para introducir el signo de multiplicación, utilizaremos el asterisco que encontraremos en el teclado (*). Figura 2 Ejercicio 2. Una bandeja pesa 500 g y contiene un 88% de plata. Una tetera pesa 300g y contiene un 64% de plata. Si se funden juntas, cuál es la proporción de plata del lingote obtenido? Situamos los datos en una tabla y razonamos sobre ella: PESO PORCENTAJE PLATA PESO DE PLATA BANDEJA 500 g 88% 500 0,88 = 440 g TETERA 300 g 64% 300 0,64 = 192 g MEZCLA 800 g 632 g Cantidad de plata 632 Proporción de plata en el lingote = = = 0, 79. Cantidad total 800 El lingote tendrá un 79% de plata. 2

3 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. 1. Para introducir un cociente tenemos dos opciones: en primer lugar podemos utilizar una fracción (pinchamos en Operaciones y después en el icono Fracción ) o utilizar el signo de dividir (el símbolo de barra en el teclado: /). Figura 3 2. Rellenamos los huecos con nuestros datos y pinchamos en el icono = para obtener nuestro resultado. Figura 4 Ejercicio 3. Calcula: 32 a) El 32% de 500 = 500 = b) El 86% de 60 = 60 = 51, c) El 11% de 4000 = 4000 = d) El 140% de 900 = 900 =

4 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] 150 e) El 150% de 398 = 398 = f) El 400% de 740 = 740 = Para resolver este ejercicio debemos realizar una multiplicación y una división, para poder calcular el porcentaje que corresponda. Para ello, escribimos entre paréntesis el porcentaje (introduciremos el paréntesis pinchando en Paréntesis dentro de la pestaña Operaciones ) e insertamos una barra para calcular la división. Figura 5 2. Apartado a: Figura 6 3. Apartado b: Figura 7 4

5 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. 4. Apartado c: Figura 8 5. Apartado d: Figura 9 6. Apartado e: Figura Apartado f: Figura 11 5

6 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio 4. Calcula el tanto por ciento que representa: 192 a) 192 respecto de 800 = 100 = 24% b) respecto de = 100 = 88% c) 434 respecto de 1240 = 100 = 35% d) respecto de 8400 = 100 = 120% e) 495 respecto de 900 = 100 = 55% f) 1820 respecto de 520 = 100 = 350% Para resolver cada apartado de este ejercicio pinchamos en el icono Paréntesis dentro de la pestaña Operaciones, después pinchamos en el rectángulo situado entre ambos y pinchamos en el icono Fracción, que rellenaremos con los datos del ejercicio. Por último, pinchamos en el icono = y obtenemos nuestra solución. Figura Apartado a: Figura 13 6

7 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. 3. Apartado b: Figura Apartado c: Figura Apartado d: Figura Apartado e: Figura 17 7

8 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] 7. Apartado f: Figura 18 Ejercicio 5. Dos hermanos compran un balón que cuesta 42. El mayor paga el 60%. Qué porcentaje paga el pequeño? Cuánto ha de pagar? El hermano pequeño paga el resto del 100% que equivale al precio total del balón. Por lo tanto, paga: 100% - 60% = 40%. Para saber qué cantidad en euros pagará el hermano menor, debemos calcular cuánto es el 40% de 42 realizando la siguiente operación aritmética: (40 x 42)/100 = 16,8 Por lo tanto, el hermano menor ha de pagar 16,80 euros. 1. En primer lugar realizamos una resta. Para ello, introduciremos tanto los números como el signo de diferencia con el teclado (para el signo utilizaremos un guión) y pinchamos en el icono = para obtener el resultado. Figura A continuación, introducimos el numerador de nuestro cociente. En este caso, pincharemos en la pestaña Operaciones y después en el icono Paréntesis, y rellenaremos el rectángulo situado en el centro con los dos miembros del producto 8

9 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. que forma el numerador. Para introducir el signo de multiplicación usamos el asterisco que encontramos en el teclado (*). Figura Ahora insertaremos el denominador, para lo que escribiremos una barra y después el número que corresponda. Después pinchamos en el icono = y obtenemos nuestro resultado. Figura 21 Ejercicio 6. Elena tenía en su cuenta 5000 y ha adquirido un televisor por 750. Qué porcentaje de sus ahorros ha gastado? De un total de 5000, se han gastado 750 ; cuánto se ha gastado de cada 100? TOTAL PARTE 750 x = x = = x

10 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Por lo tanto, sabemos que se ha gastado el 15% de sus ahorros. 1. Para realizar una división utilizaremos una fracción, e insertaremos esta pinchando en Operaciones y después en el icono Fracción. Cuando lo tengamos, rellenamos los rectángulos con los datos del numerador y el denominador. Figura Ahora multiplicaremos la fracción por 100 para obtener el resultado (el signo de multiplicación se insertará utilizando el asterisco que encontramos en el teclado). Figura 23 Ejercicio 7. Alejandro quiere comprar una bicicleta que cuesta 360. Su padre se compromete a pagar el 50%, y su abuela, el 30%. Cuánto pagará Alejandro? Calculamos el porcentaje que le corresponde pagar restando los de su padre y su abuela al 100% que sería el total equivalente al precio de la bicicleta: 10

11 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. 100% - 50% - 30% = 20% Ahora calcularemos qué cantidad deberá pagar (en euros) Alejandro: 360*20% = 72 Por lo tanto, sabemos que Alejandro pagará En primer lugar debemos calcular una resta con tres términos, para lo que escribimos las cifras con los números del teclado y el signo de diferencia con el guión, insertándolo también con el teclado. Cuando tengamos la operación planteada pincharemos en el icono = para obtener nuestro resultado. Figura Ahora realizaremos una operación aritmética compuesta de una multiplicación y una división; y para que el orden de las operaciones se conserve introduciremos un paréntesis. Dentro de él, escribiremos la multiplicación (utilizando el asterisco como signo) y después de ese paréntesis (que es el numerador) escribiremos una barra y detrás el denominador. Cuando ya tengamos la operación completa pinchamos en el icono = para obtener el resultado. Figura 25 11

12 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio 8. En una tienda de informática han subido todos los productos un 7%. Un ordenador valía 840 ; una impresora, 80, y un escáner, 60. Cuánto valen ahora? Debemos calcular en primer lugar el 7% del precio de cada artículo y sumarle a esta cantidad el precio del producto correspondiente: Ordenador: (7% de 840) = 898,8 Impresora: (7% de 80) + 80 = 85,6 Escáner: (7% de 60) + 60= 64,2 1. Para calcular un porcentaje, realizaremos una operación aritmética en la que realizaremos una multiplicación, una división y una suma. Para introducir el signo de suma y el de multiplicación, usamos el teclado; mientras que para dividir o insertar paréntesis (para asegurarnos de que las operaciones se realizan en el orden que queremos) pincharemos en su icono correspondiente dentro de la pestaña Operaciones como vemos en la siguiente imagen: Figura En primer lugar calculamos el 7% del importe del ordenador. Para ello, pinchamos en el icono de Fracción y en el numerador multiplicamos 7 y el precio; mientras que en el denominador escribimos 100: Figura 27 12

13 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. 3. Ahora seleccionaremos la fracción con el ratón y después pinchamos en el icono Paréntesis para que no tengamos problemas a la hora de realizar las operaciones. Figura Ahora sumamos la cantidad sobre la que le hemos calculado el 7%. Para ello, después del paréntesis insertamos un signo de suma (+) y después la cantidad. Por último, cuando tengamos la operación planteada pinchamos en el icono = y obtenemos nuestro resultado: Figura De la misma manera, calculamos cuánto ha subido el precio de la impresora. Figura Por último, repetimos el procedimiento con el último precio (el correspondiente al escáner). 13

14 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 31 Ejercicio 9. 3 En un pantano había 1840 hm de agua. En el último semestre ha disminuido un 35%. Cuánta agua hay ahora? Debemos calcular el 35% de la cantidad de agua y posteriormente restar el resultado al total de agua de pantano originariamente. Ha disminuido una cantidad igual a: 35% de 1840= 644 Por lo tanto, quedan = 1196 hm 3 1. Para calcular un porcentaje, realizaremos una operación aritmética en la que realizaremos una multiplicación, una división y una resta. Para introducir el signo de resta y el de multiplicación, usamos el teclado; mientras que para dividir o insertar paréntesis (para asegurarnos de que las operaciones se realizan en el orden que queremos) pincharemos en su icono correspondiente dentro de la pestaña Operaciones como vemos en la siguiente imagen: Figura En primer lugar calculamos el 35% de la cantidad de agua del pantano. Para ello, pinchamos en el icono de Fracción y en el numerador multiplicamos 35 y la cantidad de agua; mientras que en el denominador escribimos 100: 14

15 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. Figura Ahora seleccionaremos la fracción con el ratón y después pinchamos en el icono Paréntesis para que no tengamos problemas a la hora de realizar las operaciones. Figura Ahora restamos el 35% a la cantidad sobre la que lo hemos. Para ello, delante del paréntesis insertamos un signo de resta (-) y delante de este, la cantidad. Por último, cuando tengamos la operación planteada pinchamos en el icono = y obtenemos nuestro resultado: Figura 35 Ejercicio 10. Hace un año compré un coche que me costó Si lo vendiera ahora, me darían un 35% menos de su valor inicial. Cuál es el precio actual del coche? 15

16 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Debemos calcular el 35% del precio del coche y posteriormente restar el resultado al total pagado por este en el momento de la compra. Ha disminuido su valor en un: 35% de 8000= 2800 Por lo tanto, el valor actual del coche es: = Para calcular un porcentaje, realizaremos una operación aritmética en la que realizaremos una multiplicación, una división y una resta. Para introducir el signo de resta y el de multiplicación, usamos el teclado; mientras que para dividir o insertar paréntesis (para asegurarnos de que las operaciones se realizan en el orden que queremos) pincharemos en su icono correspondiente dentro de la pestaña Operaciones como vemos en la siguiente imagen: Figura En primer lugar calculamos el 35% del precio del coche cuando se compró. Para ello, pinchamos en el icono de Fracción y en el numerador multiplicamos 35 y el precio; mientras que en el denominador escribimos 100: Figura Ahora seleccionaremos la fracción con el ratón y después pinchamos en el icono Paréntesis para que no tengamos problemas a la hora de realizar las operaciones. 16

17 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. Figura Ahora restamos el 35% a la cantidad sobre la que lo hemos. Para ello, delante del paréntesis insertamos un signo de resta (-) y delante de este, la cantidad. Por último, cuando tengamos la operación planteada pinchamos en el icono = y obtenemos nuestro resultado: Figura 39 Ejercicio 11. Un fontanero cobra 15 por hora en horario normal, y un 18% más si se le llama fuera de horario. A cuánto subirá la factura para un arreglo que le ha exigido dos horas y media de trabajo en la mañana de un domingo? El primer paso que daremos es calcular a cuánto asciende el extra por trabajar fuera de horario. Para ello, calcularemos el 18% de lo que cobra normalmente el fontanero: 18% de 15 = 2.7 Para completar el primer paso, sumamos el salario normal y el extra para saber cuánto cobrará por hora un domingo: = 17.7 Por último, debemos calcular cuánto cobrará por dos horas y media de trabajo. Para ello, multiplicamos el número de horas (2,5) por lo que cobra por cada hora de trabajo: 17

18 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] 2.5*17.7= Para calcular el porcentaje extra que cobra escribimos el porcentaje en forma de fracción (que es este dividido entre 100) y después lo multiplicamos por el precio de una hora normal. Para introducir una fracción pinchamos en el icono Fracción dentro de la pestaña Operaciones y para el signo de multiplicación utilizamos el asterisco. Figura Pinchamos en igual para conocer el resultado igual que haremos con los demás cálculos: Figura El precio lo obtenemos con una suma, para ello utilizaremos el signo + que encontramos en el teclado y pinchamos igual para obtener el resultado: Figura 42 18

19 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. 4. Por último, para saber cuánto cobraría multiplicamos el precio de la hora por el número de horas, y de nuevo introducimos el signo de multiplicar con el asterisco que encontramos en el teclado (*): Figura 43 Ejercicio 12. El agua almacenada en un pantano sufre los siguientes cambios a lo largo de un año: er 1. TRIMESTRE: sube el 27% 2. º TRIMESTRE: sube el 11% er 3. TRIMESTRE: baja el 48% 4. º TRIMESTRE: sube el 32% a) Cuál es la variación total en el año? 3 b) Si el día 1 de enero había 2422 hm, cuánto habrá el 31 de diciembre? VARIACIÓN EN % ÍNDICE DE VARIACIÓN 1. ER TRIMESTRE +27% 1,27 2.º TRIMESTRE +11% 1,11 3. ER TRIMESTRE -48% 0,52 4.º TRIMESTRE +32% 1,32 ÍNDICE DE VARIACIÓN TOTAL = 1,27 1,11 0,52 1,32 = 0, ,9676 = 0,0324 3,24 CENTÉSIMAS 19

20 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] a) A lo largo del año, el nivel del agua baja un 3,24% b) 0,9676 hm hm = 2343,53 hay al final del año. ATENCIÓN! Los datos de este problema están dados como variaciones respecto de la cantidad anterior ("aumenta el 27% respecto de lo que había...). Sin embargo, lo habitual es que, al dar los datos de subidas y bajadas del agua en los pantanos, los porcentajes se refieran a la capacidad total del embalse, tomada como 100%. 1. Para resolver el primer apartado debemos saber que el signo de multiplicación lo introducimos con el asterisco que encontramos en el teclado y el de resta con el guión: Figura Resolveremos el siguiente apartado también con una multiplicación, de la misma manera que la primera parte del apartado anterior. Figura 45 20

21 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. Ejercicio 13. Un banco paga el 5% anual por el dinero depositado. Un inversor pone Al cabo de un año deja el dinero y los intereses y añade otros Cuánto dinero le dan al acabar otro año? UN AÑO 5% AL ,05 = Añade otros = Los deja otro año: UN AÑO 5% AL ,05 = Al acabar el segundo año puede retirar El primer paso es calcular los intereses del primer depósito. Para ello, multiplicamos la cantidad por 1 más el tipo de interés. Figura Después sumamos el resultado del paso anterior más la cantidad del siguiente depósito. Para sumar usamos el signo del teclado (+) y cuando tengamos la operación planteada pinchamos en el icono = para obtener el resultado. Figura Por último, repetimos el primer paso sólo que esta vez lo haremos con la cantidad obtenida en el apartado anterior por 1 más el tipo de interés. 21

22 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 48 Ejercicio 14. Se depositan al 4%. Al acabar el año se saca todo el dinero, se añaden y se deposita todo en otro banco al 6%. Cuánto dinero hay al final del segundo año? UN AÑO 4% AL ,04 = Se añaden = Se depositan otro año al 6%: UN AÑO 6% AL ,06 = Al acabar el segundo año puede retirar Lo primero que haremos es calcular los intereses del primer año. Lo haremos multiplicando 1 más el tipo de interés por la cantidad depositada. Figura El siguiente paso es sumar lo que tenemos al final del primer año más la cantidad del siguiente depósito. Para sumar usamos el signo del teclado (+) y después pulsamos en el icono = para obtener el resultado. 22

23 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. Figura El último paso es multiplicar de nuevo 1 más el nuevo tipo de interés por la cantidad que tenemos a principios de año (la del final del anterior más el nuevo depósito). Figura 51 Ejercicio 15. Cuánto producen durante 6 meses al 5% anual? 6 meses es medio año. Un 5% anual significa un 2,5% semestral. 2,5% ,025 = En primer lugar, calculamos el tipo de interés semestral a partir del anual. Para ello, dividimos el tipo de interés entre 2. Para introducir una división utilizamos la fracción o la barra (/). 23

24 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura Lo siguiente es multiplicar la cantidad depositada por el tipo de interés calculado en el apartado anterior. Figura 53 Ejercicio 16. Un banco paga el 7,20% anual por depósitos a plazo fijo. Un inversor deposita durante 4 años. Cuánto dinero le darán al final de ese periodo? Cada año el capital aumenta un 7,2%, es decir, se multiplica por 1,072. Al cabo de 4 años se habrá multiplicado por 4 1,072. Por tanto, al final del 4º año le darán: CAPITAL FINAL: C = ,072 4 = 26412,48 F 1. Para calcular cuánto se obtiene al final de los cuatro años debemos realizar una multiplicación y el cálculo de una potencia. Para introducir el signo de la multiplicación utilizamos el asterisco, mientras que para la potencia pinchamos en el icono Potencia dentro 24

25 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. de la pestaña Operaciones. Cuando lo tengamos todo planteado pincharemos en el icono = para obtener el resultado. Figura 54 Ejercicio 17. En cuánto se transforman depositados durante 4 años al 7,2% anual, si el periodo de capitalización es mensual? 7,2 : 12 = 0,6. Un 7,2% anual significa un 0,6% mensual. En 4 años hay 48 meses. Por tanto: C F = , = 26652,20 Si comparamos este resultado con el del ejercicio resuelto anterior, vemos que los periodos de capitalización mensuales son más beneficiosos para el inversor que los anuales. 1. En primer lugar, calculamos el tipo de interés mensual, para lo que utilizaremos una división (/). Figura Ahora averiguaremos cuántos meses tienen cuatro años, para lo que realizaremos una sencilla multiplicación, para lo que usamos el asterisco. 25

26 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura Por último, calculamos cuánto se obtiene al final de los cuatro años con una multiplicación y el cálculo de una potencia. Para introducir el signo de la multiplicación utilizamos el asterisco, mientras que para la potencia pinchamos en el icono Potencia dentro de la pestaña Operaciones. Figura 57 Ejercicio 18. Un almacenista mezcla 200 kg de café a 5,50 /kg con 50 kg de otro café más caro, saliendo la mezcla a 6 /kg. Cuál es el precio del café caro? Hacemos una tabla para colocar los datos del problema: CANTIDAD PRECIO COSTE CAFÉ INFERIOR 200 kg 5,50 /kg 1100 CAFÉ SUPERIOR 50 kg?? MEZCLA 250 kg 6 /kg 1500 De la tabla, se deduce que el coste del café superior es: =

27 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 4. Problemas aritméticos. Por tanto: Precio café superior = Coste Peso 400 = = 8 50 / kg El precio del café más caro es de 8 /kg. 1. El primer paso es realizar una resta y para eso utilizamos el guión como signo de restar. Figura Ahora calculamos el precio, utilizando una división, para lo que insertamos un guión (/). Figura 59 Ejercicio 19. Gonzalo ha pagado 81,34 por unos zapatos rebajados un 17%. Calcular el precio de los zapatos antes de la rebaja. Por tener una rebaja del 17% se ha pagado el 83% del precio inicial de los zapatos. 83% del precio inicial = 81,34 0,83 precio inicial = 81,34 precio inicial = 81,34 : 0,83 = 98 27

28 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Los zapatos costaban 98 antes de la rebaja. 1. Para resolver este problema realizaremos una división, para lo que usamos la barra (/) que encontramos en el teclado. Cuando lo tengamos planteado pinchamos en el icono = para obtener nuestro resultado. Figura 60 28

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