ANALISIS DE ESTABILIDAD DE UN TIPO DE CONTROL NO LINEAL: EL CONTROLADOR LOGICO NATURAL

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1 NLISIS D SBILIDD D UN IPO D CONOL NO LINL: L CONOLDO LOGICO NUL CVS LOPZ lejadro, aceves@laas.fr *+, GUIL MIN Joseph, agilar@laas.fr * * LS - CNS, 7 avee d Coloel oche, 377 olose Cedex 4, Fracia + CONCY, Beca No. 49, México D.F. I I i - U d G. Camps de Motilivi, 77 Giroa, spaña esme odo proceso real tiee limitacioes tato físicas como tecológicas, y estas limitacioes debe ser tomadas e ceta cado se diseña el cotrolador. el pasado, varios métodos ha sido estdiados, por ejemplo "Cotrol Override", para resolver este problema. l Cotrolador Lógico Natral (presetado e [,]) propoe otra forma de costrir a ley de cotrol sado simples operadores lógicos. Si embargo, el aálisis de estabilidad o había sido estdiado hasta ese mometo. este artíclo, se preseta método de aálisis de estabilidad tilizado el eorema de Peqeña Gaacia. Primero se itrodce el esqema geeral del Cotrolador Lógico Natral, lego se trasforma dicho esqema e a cofigració "caóica" para la aplicació del teorema. De la aplicació del teorema de Peqeña Gaacia, se obtiee a codició de estabilidad "Fácil a Usar", y fialmete se mestra s aplicació e varios ejemplos. Palabras Claves: Cotrol Lógico Natral, álisis de stabilidad, eorema de Peqeña Gaacia.. - Itrodcció odos los sistemas reales tiee limitacioes qe debe ser respetadas. llas proviee de las limitacioes de la física y de la tecología. Por ejemplo, los horos tiee presioes y temperatras máximas qe o debes ser sobrepasadas, los motores tiee limitacioes e velocidad, los coteedores o pede ser lleados mas allá de s capacidad volmétrica, etc. demás, toda acció de cotrol sfre satració a casa de las limitacioes de los actadores. odas estas limitacioes defie La Natraleza del sistema y determia el problema de cotrol. Por lo tato, e todo esferzo de diseño de cotrolador deberá ser tomadas e ceta. Cosiderado qe el problema de evasió de límites pede dividirse e problemas de cotrol SISO, etoces la acció fial de cotrol será obteida de la combiació lógica de las accioes de cotrol elemetales. s decir, la acció fial será la ió (o la itersecció) lógica de las accioes de cotrol elemetales. Los primeros e combiar estas dos ideas (Natraleza del problema y Combiació lógica) fero gilar-herádez, creado así evo método de cotrol llamado: l Cotrolador Lógico Natral (CLN) [,]. Cosidérese el clásico problema de cotrol mostrado e la figra, dode y (t) es la señal de salida más importate. Sea tambié, de y (t) hasta y (t), las señales de salidas secdarias (toda variable de estado co setido físico y medible) cyos limites so de la forma Y mi y (t) Y max. Sea la acció de cotrol (t) satrada mi (t) max. l objetivo pricipal de este problema cosiste e cotrolar la salida más importate a codició qe las otras salidas permaezca detro de los limites correspodietes y siempre tilizado a acció de cotrol limitada. r (t) û(t) Σ Figra.- Problema Clásico de Cotrol y (t) y (t). y (t) La idea del CLN es simple: sitoizar cada cotrolador i separadamete y seleccioar o de ellos, depediedo de algú criterio. l primer paso cosiste a sitoizar de forma tal qe se obtega la salida deseada r y si tomar el ceta los limites de las otras salidas. l segdo paso cosiste a sitoizar cada reglador i (i=...) de maera a mateer cada salida secdaria e el cetro del itervalo [Yi mi, Yi max ] y tilizado la correspodiete referecia r i = (Yi max + Yi mi )/. Presetado e las I Joradas españolas de atomática, Madrid spaña, 6-8 septiembre 998.

2 Fialmete el tercer paso cosiste e combiar las accioes de cotrol. Normalmete, el operador qe se sa para la combiació de todas las accioes de cotrol es "la sma". Si embargo, o es el úico y otros operadores pede ser sados. Frete a esta combiació se pede tomar dos actitdes: seleccioar la ió de todas las accioes de cotrol elemetales, de forma a ateder a la más rgete, "la más grade gaa" o; seleccioar la itersecció, de forma a realizar siempre el míimo esferzo, "la más peqeña gaa". Si embargo, gilar- Herádez cosideraro a combiació lieal de estas dos actitdes mediate parámetro λ, llamado "operador de compesació"[3], tal qe λ. De esta forma, la acció de cotrol fial aplicada está defiida por la ecació sigiete: = λ mi + ( λ) max t L L () la figra se mestra el esqema resltate. lieal e cotra reacció. La figra 3 mestra dicha trasformació e dos pasos, dode: s G s s G s H( s) = M ( s) G ( s) s K ( s) M( s) = M O ( s) y r t ( Y ) = max Y mi / t ; U = ; M M ( Ymax Ymi) / ( t) () (3) r r r... S L C O (t) û(t) Σ Figra.- sqema del Cotrolador Lógico Natral y (t) y (t). y (t) l CLN ha sido probado co éxito e varios procesos, o obstate, s estabilidad debe ser probada. La itrodcció de o liealidades pede provocar la iestabilidad, por tal razó, el objetivo pricipal de este trabajo es la presetació de método adecado para la verificació de la estabilidad de tales esqemas basados e el CLN. r r r M... H S L C O V H G G G. - álisis de stabilidad del CLN esta secció, se recofigra el esqema del CLN e o apropiado para la aplicació de la eoría de stabilidad. segida, se aplica el eorema de Peqeña Gaacia de forma tal qe se obtega a codició "Fácil a Usar" qe permita verificar la estabilidad del CLN. Fialmete se preseta algos ejemplos de aplicació.. - rasformació del Sistema La aplicació del eorema de Peqeña Gaacia ecesita qe el esqema de cotrol del CLN sea trasformado e esqema de forma "caóica" qe cosiste e bloqe lieal y bloqe o Ψ selector M satratio U Figra 3. - rasformació del esqema CLN-SIMO.. - plicació del eorema de Peqeña Gaacia Ua codició ecesaria para la aplicació de la eoría de stabilidad idica qe H debe ser Hrwitz. Pero e geeral H o es siempre Hrwitz (ej. pede ser cotrolador de tipo PID). Por esta razó es ecesario aplicar a rasformació de Lazo (Pole Shiftig) tilizado retoro de salida co a matriz K coveiete tal qe +KH sea Hrwitz. sta operació trasforma el sistema e aqel de la figra 4. Presetado e las I Joradas españolas de atomática, Madrid spaña, 6-8 septiembre 998.

3 H K V + + M { } Ψ( λ) = S λ + ( λ) (9) La satració es eqivalete a a gaacia variable m(): K selector + U Ψ satratio Figra 4. - Sistema modificado por retoro de salida. Sea K igal a: K = [ L ] (4) tal qe +KH es Hrtwitz. Nótese qe la elecció de K co compoetes igales a o da iga preferecia a algú elemeto de U. De acerdo co el eorema de Peqeña Gaacia [4,5], el sistema de la figra 4 es estable si las dos desigaldades sigietes so verificadas: H( s) Ψ( λ ) KU < + KH( s) (5) M( s) << (6) Obsérvese qe la orma de M debe ser fiita. sto será verdad siempre qe los limites sea simétricos (Yi max = Yi mi ) y r :=. Co estas sposicioes =, y por lo tato (6) es siempre verdadera. Defíase como la iversa de la orma H de la parte lieal: = H s + KH s (7) y aplicado la defiició de la orma H para la parte o lieal, la desigaldad (5) se covierte e : [ Ψ( λ) KU ] < U U (8) Por tato, el eorema de Peqeña Gaacia fe trasformado e la desigaldad (8) a ser verificada. Si pérdida de geeralidad, ordéese los elemetos de U por orde creciete de forma qe: B. Co esta sposició la salida de la o liealidad Ψ(λ) es: mi / if < mi S{ } = m( ) = if mi max / if > max etoces (9) es reemplazado por: { } max () Ψ( U ) = m λ + ( λ) () Nótese qe m() (, ]. Para aligerar la otació, m será sada e vez de m(). De (8), la más grade diferecia etre Ψ(λ) y KU ocrre cado: a) = B = = y λ=. sto sigifica qe la media poderada KU esta cerca del valor míimo si embargo se tomará el valor máximo. b) B = C = = y λ=. Iversamete a a), la media poderada KU esta cerca del valor máximo si embrago se tomará el míimo. Por el mometo, cosidere el caso a), etoces se pede mostrar qe: KU = {( ) + } U U = ( ) + () (3) y reemplazádolas e (8) ecotramos: dode: [ ] P Q Q P = a ( ) m λ > (4) Q = m λ m( λ) = m a λ (5) (6) (7) La desigaldad (4) es verificada, para todo valor de y diferetes de cero, si y solamete si: P > (8) Presetado e las I Joradas españolas de atomática, Madrid spaña, 6-8 septiembre 998.

4 P Q > (9) toces, de (8) y (9) se obtiee fácilmete: a m ( m ) λ + () la cal o depede de U. Para el caso b) se ha aplicado desarrollo similar: KU = { + ( ) } () U U = + () eemplazado () y () e (8) se ecetra: [ ] S W > (3) dode: S = b mλ = m m λ λ W = b ( ) m λ (4) (5) (6) La desigaldad (3) es verificada, si y solamete si: S > (7) SW > (8) De (7) y (8) se obtiee: b m ( m ) λ + (9) Fialmete es defiida por la ió de los dos casos, por tato se debe tomar el máximo de las dos parábolas () y (9), dado como resltado: m m max λ, λ + cyas raíces está defiidas por : λ λ (3) β = (3) = ( + ( ) β) (3) y β está defiida por: m β = m (33) Nótese además qe λ = - λ, esto mestra simetría respecto a /. Más a, alcaza s míimo e λ=/ qe es igal a: miimal m ( ) = 4( ) ( m ) + la figra 5, se preseta todos estos valores. miimal a (34) / λ λ / (-)/ Figra 5.- Las dos parábolas cado m=..3.- Codició de stabilidad del CLN Si para a m (, ], λ solció de la ecació (3), es real y λ ½ etoces el CLN es estable para toda λ [λ, -λ ] lgos jemplos 3..- l servomotor Como primer ejemplo, cosidérese servomotor [6], dode la etrada correspode al voltaje e armadra (t), la salida pricipal es la posició aglar del eje del motor y (t), y la salida secdaria es la corriete eléctrica iyectada al motor y (t). La fció de trasferecia etre la posició aglar y el voltaje es: 75 G s = s( s )( s ) b (35) Presetado e las I Joradas españolas de atomática, Madrid spaña, 6-8 septiembre 998.

5 y etre la corriete y el voltaje: 5( s + 4) G ( s) = ( s )( s ) (36) Los limites de satració so ±V, y la corriete máxima es ±. Sea los cotroladores:. 486s ( s) = N s s ( s) = 9. + N s + dode N ha sido defiida igal a. (37) (38) Calcúlese la orma H por el método propesto por Boyd [7], dado =.5. Cosidérese m=, qe correspode a a diámica si satració, etoces resolviedo (3) y (33) se obtiee [.45,.855] como el itervalo estable para λ. Si m varia desde o hasta cero etoces el itervalo estable para λ cambia como se mestra e la figra 6. No obstate, varias simlacioes temporales mestras qe el CLN es siempre estable, por lo tato estro resltado es coservativo Los iveles de satració se ecetra e ±, y las desviacioes máximas para y (t) so ±. Los dos cotroladores so: 9. s ( s) = s s + (4) s ( s) = + s + (4) La orma H de la parte liear es =.73. La figra 7 mestra la crva correspodiete a la ecació (3) depediedo de m. Por ejemplo si m= etoces el itervalo de estabilidad para el CLN es λ [.,.79]. Si m=.65 etoces λ [.38,.86]. Varias simlacioes temporales ha cofirmado estra coclsió. odo fcioamieto iestable ha sido marcado, e la figra 7, co a "estrella'' para las correspodietes λ y m. sta figra mestra qe estra codició de estabilidad es claramete coservativa. λ Stable regio λ Stable regio m Figra 7.- stabilidad del CLN depediedo de m m Figra 6.- Itervalo estable [λ, -λ ] depediedo de m U sistema iestable e lazo abierto Cosidérese ahora el ejemplo: ( s + ) G ( s) = s( s 3) G s = s( s + ) (39) (4) 4. - Coclsió este artíclo se ha presetado a codició sficiete de estabilidad para el Cotrolador Lógico Natral tilizado le eorema de Peqeña gaacia. Si embargo, e geeral la ecació (3) es a severa restricció para el estdio de la estabilidad. sta severidad es debida a qe bscamos la estabilidad para toda U, qe depede de. Para obteer a codició meos restrictiva, etoces se deberá cosiderar la estabilidad solo para cojto U. Por tato, para mejorar estra coclsió, debemos cosiderar la estabilidad úicamete para cojto limitado de, por lo tato la ecació (3) debe ser modificada. ste problema será tratado e trabajo ftro. Presetado e las I Joradas españolas de atomática, Madrid spaña, 6-8 septiembre 998.

6 eferecias [] J. gilar Marti, J.C. Herádez, "Coectivos mixtos de la lógica borrosa para la coordiació e cotrol fzzy", I joradas sobre rasferecia de ecología Fzzy, Uiversidad de Mrcia, 995. [] J.C. Herádez P., J. gilar Marti, J. Qevedo Casi, "Natral Logic pproach to Fzzy PID eglatio", Jorées Hispao - Fraçaises sr les Systèmes Itelligets et le Cotrôle vacé. Barceloa, et 3 Nov [3] J. gilar Marti, N. Piera I. Carrete, "Les coectifs Mixtes: de oveax opératers d associatio des variables das la classificatio atomatiqe avec appretissage", Data aalysis ad iformatics IV, d. by. Diday et al. (editors), 53-65, lsevier Sciece Pblishers B; V., North-Hollad, 986. [4] M. Vidyasagar, "Noliear Systems alysis", d d, Pretice-Hall Iteratioal Ic., 993. [5] H. K. Khalil, "Noliear Systems", Macmilla Pblishig Compay, New York, 99. [6] K. Ogata, "Moder Cotrol gieerig", Secod ditio, Pretice-Hall, 993. [7] S. Boyd, V. Balakrisha, ad P. Kabamba, «I comptig H orm of trasfer matrix», Mathematics of cotrol, sigal, ad systems, 988. Presetado e las I Joradas españolas de atomática, Madrid spaña, 6-8 septiembre 998.