Curso Gestión de Portafolios de Inversión de Reservas y Fondos Públicos. Conceptos de Duración y Convexidad CONCEPTOS DE DURACIÓN Y CONVEXIDAD

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1 Mayo 18 a Curso Gestión de Portafolios de Inversión de Reservas y Fondos Públicos Conceptos de Duración y Convexidad Javier Bonza Director de Investigación y Desarrollo

2 Derivación de los conceptos de Duración y Convexidad_01 Aplicación al análisis de Bonos _02 Conceptos de Option Adjusted Spread _03

3 01 Derivación de los conceptos de duración y convexidad

4 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01

5 Feb-05 Apr-05 Jun-05 Aug-05 Oct-05 Dec-05 Feb-06 Apr-06 Jun-06 Aug-06 puntos básicos CONCEPTOS DE DURACIÓN Y Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DEL RENDIMIENTO AL RETORNO RETORNOS MENSUALES El retorno de los instrumentos de renta fija esta asociado a los conceptos de Duración y Convexidad.

6 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 RETORNOS Y DURACION El retorno de un bono puede ser aproximado como el producto del cambio en los rendimientos y la duración del bono. P P D* Y *100 En esencia, el concepto de derivada esta implícito en el calculo de la duración. La duración puede ser definida como la sensibilidad precio de un bono a un desplazamiento paralelo de la curva de rendimientos.

7 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 PRECIO JUSTO DE UN BONO CON TASA ÚNICA DE DESCUENTO El precio justo de un bono puede interpretarse como la suma de los valores presentes de todos los flujos de caja, que incluye los pagos de cupones y la redención del título o principal. C C C M P..., t 1,..., n 1 2 n (1 r) (1 r) (1 r) Donde, P C r tasa n M precio pago número pago de de justo al descuento de cupones cupones vencimiento / principal

8 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 PRECIO JUSTO DE UN BONO CON CUPONES SEMI-ANUALES Con cupones semi-anuales y una tasa única de descuento, el precio del bono es la suma de los valores presentes de una anualidad y del principal. P C 2 (1 r 2) 1 C 2 (1 r 2) 2... C 2 M (1 r 2) 2n VP de una anualidad 2n t 1 C r C 2 (1 r 2) 1 n 1 (1 r 2) M (1 r 2) 2n 2n M (1 r 2) 2n VP del Principal

9 Precio CONCEPTOS DE DURACIÓN Y Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 SENSIBILIDAD DEL PRECIO DE UN BONO A LOS RENDIMIENTOS La valoración de los bonos nos permite inferir que existe una relación inversa, y no necesariamente lineal, entre el precio y la tasa de descuento. Cupón 4.875% Principal 100 Plazo Frecuencia 10 años semi-anual % 5% 10% 15% 20% 25% Excel cálculo Rendimiento / Tasa de Descuento

10 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 SENSIBILIDAD DEL PRECIO DE UN BONO A LOS RENDIMIENTOS Una aproximación al retorno ex-ante o esperado de un bono esta determinado por el cambio marginal del precio del bono a cambios infinitesimales en la tasa de descuento. Intuitivamente, el concepto de derivada. f '( x) h 0 lim f ( x h) h f ( x) En efecto, la primera derivada del precio del bono con respecto a la tasa de descuento es definida como la duración.

11 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DURACION Antes de diferenciar el precio del bono con respecto a la tasa de descuento, es conveniente simplificar la notación para el precio del bono: P( r) 2n t t t 1 (1 r / 2) Donde, FC = Flujo de Caja correspondiente a pagos de cupones y/o principal La duración aproxima cambios en el precio del bono ante pequeños movimientos de la tasa de interés r 2n P t 1 FC FC (1 r / 2) t * t 1 t

12 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DURACION MODIFICADA Una medida de mayor interés es identificar el cambio porcentual en el precio del bono ante pequeños movimientos de la tasa de interés. La respuesta a esta sensibilidad la suministra la Duración Modificada. P 1 *??? r P Así, podemos expresar la duración como una medida proporcional: P r P 2n t1 2n FC (1 r / 2) t1 t i t1 FC (1 r / 2) t * t 1 1 r / 2 2n t1 2n t1 FC (1 r / 2) t i t FC (1 r / 2) * t t

13 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DURACION MODIFICADA El concepto de duración modificada fue introducido por Larry Fisher en 1966 buscando una medida para la volatilidad-precio de los bonos relativo a cambios en el rendimiento. En particular, la duración actúa como un multiplicador. En nuestra formulación inicial: P P D* Y *100 El cambio porcentual del precio es aproximadamente igual al negativo del producto de la duración por el cambio en el rendimiento. A manera de ejemplo, un bono con una duración de 5 y un precio de 90 experimentara una caída de 4.5 puntos en su valoración ante un alza de 100 puntos básicos en el rendimiento.

14 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 Tesoreria 10 años Emision 15-Aug-06 Vencimiento 15-Aug-16 Liquidacion 16-Oct-06 Cupon 4.875% Principal 1, VALOR PRESENTE 1, DURACION 7.86 Rendimiento 4.70% DURACION MOD Flujo de Caja Valor Presente ,3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 9,8 DURACION

15 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_ ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DURACION MODIFICADA La duración aumenta con el plazo al vencimiento, pero a una tasa decreciente de manera asintótica. Flujo de Caja Valor Presente 0,3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 9,8 DURACION La duración es el pivote sobre el que se centra el flujo de caja. Bonos con mayor madurez desplazarán el pivote a la derecha, sin embargo en el limite el valor presente del flujo de caja más distante será cada vez menor con un efecto marginal sobre la extensión de la duración.

16 Duracion (años) CONCEPTOS DE DURACIÓN Y Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 PROPIEDADES DE LA DURACIÓN MODIFICADA La máxima duración de un bono valorado a par es {(1+r)/r}-1. En el caso particular de bonos corporativos y tesorerías, r=0.5*rendimiento al vencimiento (RV) Años al vencimiento

17 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DURACIÓN EFECTIVA La volatilidad precio del bono relativo a cambios en el rendimiento, que es en esencia el concepto de duración modificada, asume que el flujo de caja del bono no cambia con variaciones en la tasa de interés. Este supuesto no es sostenible para cualquier bono con opcionalidades: callables, putables, y en especial Mortgage Backed Securities (MBS). En un bono con opcionalidades la sensibilidad a las tasas de interés no solo esta determinada por cambios en el valor presente de los flujos de caja, sino también por cambios en el valor de la opción. Podemos ilustrar la derivación de la duración efectiva a través de un bono callable.

18 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DURACION DE UN BONO CALLABLE El precio de un bono callable puede expresarse como el valor de la opción call descontada del bono equivalente libre de opcionalidades. V C V LO V OC Donde, V precio V V C LO OC del bono callable precio del bono libre de valor de la opcion call opcionalidades

19 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DURACION DE UN BONO CALLABLE Dividiendo a ambos lados de la ecuación por el precio del bono callable: dvc 1 dvlo 1 dvoc 1 di V di V di V C C C Multiplicando el numerador y el denominador del lado derecho de la ecuación por el precio del bono libre de opcionalidades: dvc 1 dvlo 1 VLO dvoc 1 di V di V V di V C LO La sensibilidad del precio del bono callable a cambios en las tasas de interés, la duración efectiva del bono, puede expresarse así: DUR V C DUR V LO V V C C LO dv di OC LO 1 V V V LO LO C V V LO C

20 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DURACION DE UN BONO CALLABLE En particular, la expresión para la duración del bono callable puede simplificarse denotando el cambio en el valor de la opción call ante el cambio en el precio del subyacente como el delta de la opción. DUR V C DUR V LO V V LO C dv di OC 1 V LO V V LO C En este punto, podemos observar que cambios en la tasa de interés afectan el precio del bono libre de opcionalidades y, a su vez, cambios en el precio del bono libre de opcionalidades determinan el valor de la opción call.

21 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 Haciendo uso de la regla de la cadena para determinar el valor de la opción call: V OC ( i) f V ( i) LO dvoc ( i) di df dv LO dv di LO OC dv di LO Donde, es el delta de la opción call. Substituyendo esta expresión en la ecuación de duración, obtenemos la versión final para la duración de un bono callable: DUR V C V LO DURV 1 LO VC OC

22 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 La duración de un bono callable depende así de tres factores: 1. La duración del bono libre de opcionalidades. 2. La razón entre el precio del bono libre de opcionalidades y el precio del bono callable. Entre mayor sea el valor de la opción call, menor será la duración del bono callable. 3. El delta de la opción call. DUR V C V LO DURV 1 LO VC OC

23 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DE UN BONO La duración establece que para pequeñas variaciones en la tasa de interés, el cambio porcentual en el precio será el mismo indistinto de si ocurre un aumento o una disminución en las tasas de interés. Sin embargo, para grandes variaciones en la tasa de interés, la apreciación que experimenta un bono es mayor a su depreciación. Este resultado se debe a la convexidad que exhibe la relación precio-rendimiento. En este sentido, la convexidad pretende capturar efectos no-lineales en la relación precio-rendimiento.

24 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 FUNCIÓN CONVEXA f Una función es convexa cuando el segmento de línea que une dos puntos (x 1, f(x 1 ) y x 2, f(x 2 )) se sitúa por encima de la función. En términos formales, una función f es convexa si, para todo x 1 y x 2, y para todo 0 < < 1, (1 ) x ) f ( x ) (1 ) f ( ) ( x1 2 1 x2

25 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 Sensibilidad del Valor de Mercado a variaciones en tasa de interés y cercanía al vencimiento Nótese que la relación entre el precio del bono y los rendimientos es convexa.

26 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DERIVACION DE LA La convexidad esta relacionada con la segunda derivada del precio del bono con respecto a las tasas de interés. Una función doblemente diferenciable es convexa en algún dominio [a, b], si y solo si, f ''( x) 0, para todo x en el dominio. Esta es una propiedad interesante a considerar en la convexidad de los bonos. La convexidad positiva representa una propiedad conveniente para los bonos. En esencia, la apreciación que experimenta un bono es mayor que su depreciación para un movimiento dado de tasas. Los bonos libres de opcionalidades exhiben convexidad positiva. Sin embargo, para los bonos con opcionalidades la convexidad es negativa.

27 POSITIVA CONCEPTOS DE DURACIÓN Y Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01

28 Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01 DERIVACION DE LA Apoyándonos en la segunda derivada, la convexidad para un bono libre de opcionalidades y cupones semi-anuales es: 2 r P 2 n 2 t(1 t) t1 FCt (1 r / 2) t2 La convexidad es efectivamente positiva: 2 P 2 r t(1 t) 2n t1 FCt (1 r / 2) t2 0

29 NEGATIVA CONCEPTOS DE DURACIÓN Y Derivación de los conceptos de duración y convexidad_01

30 02 Expansión de Series de Taylor y aplicación al análisis de Bonos

31 Aplicación al análisis de bonos_02 EXPANSION DE SERIES DE TAYLOR Y APLICACION AL ANALISIS DE BONOS Una relación importante muy utilizada en finanzas para aproximar cambios en funciones, el precio de un bono, es la expansión de una serie de Taylor. Una serie de Taylor es una función infinitamente diferenciable, definida en un intervalo abierto (a - r, a + r), cuya serie de potencias es: f ( x) n0 f ( a) n! ( n) ( x a) n Donde, n! es el factorial de n y f (n) (a) denota la enésima derivada de f en el punto a. Si a = 0, esta serie es conocida como una serie de Maclaurin.

32 Aplicación al análisis de bonos_02 ALGUNAS EXPANSIONES DE SERIES DE TAYLOR/ MacLAURIN Función Exponencial e x n0 n x, n! para todo x Función logaritmo natural ln(1 x) n0 n ( 1) x n 1 n1, para x 1 Series Geométricas m x 1 x nm x n, para x 1

33 Aplicación al análisis de bonos_02 EXPANSION DE SERIES DE TAYLOR Y APLICACION AL ANALISIS DE BONOS En particular, si una serie converge para cada x en el intervalo (a - r, a + r), y la suma es igual a f(x), se dice que la función es analítica en el intervalo (a - r, a + r). 1 0 La función definida a / trazos como f(x)= e 1, si x x 0 y f(0)=0, tiene una serie de Taylor que es cero, aunque la función claramente no es cero. 2 1/ x e

34 Aplicación al análisis de bonos_02 APLICACION AL ANALISIS DE BONOS Una aproximación a una función basada en los primeros dos términos de una serie de Taylor es denominada como una aproximación de segundo orden. Usualmente una aproximación de segundo orden es suficiente para cuantificar la volatilidad precio de los bonos. Asumiendo una tasa única de descuento y evaluando la primera y segunda derivadas en x = 0, la expansión de la serie de potencias de McLaurin para un bono libre de opcionalidades es: P 2 ( r) P(0) ( Duración)*( r) 0.5*( Convexidad)*( r) R3

35 Precio CONCEPTOS DE DURACIÓN Y Aplicación al análisis de bonos_02 APLICACION AL ANALISIS DE BONOS Qué tan precisa es la aproximación de segundo orden para valorar la volatilidad precio? Un bono con una madurez de 10 años, un cupón de 4.875% y rendimiento inicial de 4.78% tiene un precio de % 5% 10% 15% 20% 25% Rendimiento / Tasa de Descuento Si la tasa de descuento aumenta 200 pb., sabemos que el precio del bono desciende a , una depreciación del 14.13%

36 AJUSTE POR CONCEPTOS DE DURACIÓN Y Aplicación al análisis de bonos_02

37 Aplicación al análisis de bonos_02 AJUSTE POR DURACIÓN vs. POR DURACIÓN Y

38 Aplicación al análisis de bonos_02 APLICACION AL ANALISIS DE BONOS La duración de este bono es 7.67 años. La primera aproximación de la serie de Taylor es = -7.67*(0.02)= %. Esta aproximación lineal sobrestima el impacto en el precio del bono y castiga el bono. Para ello se requiere el ajuste de segundo orden vía convexidad. La convexidad de este bono es igual a 72. La segunda aproximación de la serie de Taylor es = 0.5*72*(0.02)^2=1.44%. Ajuste por Duración = % +Ajuste por Convexidad = 1.44% Aproximación 2 do Orden = %

39 03 Conceptos de Option Adjusted Spread

40 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 VALORACIÓN DE BONOS CON ARBOLES BINOMIALES????? r0????? Para bonos con opcionalidades y que exhiben convexidad negativa, el flujo de caja del bono dependerá de la evolución de las tasas de interés en cada momento del tiempo.???? Los árboles binomiales de tasas de interés son una buena aproximación para la valoración de este tipo de instrumentos.

41 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 IMPLICACIONES DE BONOS CON OPCIONALIDADES Las medidas de valoración cambian en la medida que se debe descontar el valor de la opción. En el caso de un bono callable, tenemos que: Bono Callable = Bono no-callable Valor de la opción call En términos de margen o spread, para las agencias callables, obtenemos que: Spread Callable = Spread no-callable + OAS (option adjusted spread)

42 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 En el caso de un bono callable, el emisor se reserva el derecho de retirar o llamar la emisión. Usualmente, este evento ocurrirá en un entorno de apreciación de tasas de interés, dejándole al inversionista el riesgo de tasa de interés en un entorno de tasas de interés a la baja. En este sentido, el inversionista demanda una prima que le compense por el riesgo de reinversión que esta asumiendo. El Option Adjusted Spread hace una comparación justa entre bonos con y sin opcionalidad.

43 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 VALORACIÓN DE BONOS CON ARBOLES BINOMIALES r3, HHH r4, HHHH r2, HH r4, HHHl r1, H r3, HHl r0 r2, Hl r4, HHll r1, l r3, Hll r2, ll r4, Hlll r3, lll r4, llll Los supuestos requeridos para considerar una trayectoria futura de tasas de interés son: (σ) Volatilidad de la tasa spot de corto plazo (6 meses, 1 año). (r 1,L ) La tasa de interés 1 período adelante en un escenario al alza (tasa forward) (r 1,H ) La tasa de interés 1 período adelante en un escenario a la baja (tasa forward)

44 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 TASAS FORWARD Antes de adentrarnos en la valoración de bonos con opcionalidades, necesitamos definir formalmente el concepto de tasas forward. Las tasas forward o futuras implícitas se construyen sobre el supuesto de que no existen posibilidades de arbitraje. En particular, un inversionista con un horizonte de inversión de 1 año tiene dos alternativas: Comprar una letra del tesoro de 1 año o una nota sintética cero cupón con este vencimiento, o Comprar una letra del tesoro de 6 meses y al vencimiento de esta letra, comprar otra letra con igual plazo de 6 meses.

45 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 La tasa forward para una inversión de un plazo de 6 meses que vence dentro de 1 año, f 6m, 1y es igual a: f (1 z ) (1 z ) En términos generales, la formulación de las tasas forward es t f m (1 zt (1 z m m ) ) tm m 1/ t 1 Donde, t es el plazo de la tasa forward y m es el período en el que inicia la tasa forward.

46 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 Periodo Años Curva Curva Forward Spot (+6 meses) % 5.95% % 6.40% % 7.12% % 7.80% % 7.99% % 8.20% % 8.65% % 8.43% 9.00% 8.50% 8.00% 7.50% 7.00% 6.50% 6.00% 5.50% 5.00% Curva Spot Curva Forward (+6 meses)

47 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 r4, HHHH r3, HHH r2, HH r4, HHHl r1, H r3, HHl r0 r2, Hl r4, HHll r1, l r3, Hll r2, ll r4, Hlll r3, lll En efecto, las tasas futuras en cada nodo son tasas forward por un período (1 año) iniciando dentro de 1, 2 y 3 años. La relación entre las tasas forward para escenarios de alza y baja de tasas de interés esta dada por: r 1,H = r 1,L (exp 2σ ) r4, llll 0,f 1 1,f1 2,f1 3,f1

48 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 Plazo (años) Rendimiento Spot Rate Forward Rate % 3.50% % 4.21% 4.93% % 4.74% 5.78% % 5.27% 6.89%?????? 3.50%????????

49 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 VALORACIÓN DE BONOS LIBRE DE OPCIONALIDAD r3, HHH 7.01% r2, HH 5.43% r1, H r3, HHl 3.50% 5.74% r r2, Hl 4.44% r1, l r3, Hll 4.70% r2, ll r3, lll El principio fundamental de valoración del árbol binomial es que no debe existir arbitraje entre la valoración con tasas spot y la valoración con las tasas forward implícitas en el árbol binomial. La valoración en cada nodo es: 1 P H C PL C * 2 (1 r*) (1 r*) [ ]

50 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 VALORACION DEL BONO LIBRE DE OPCIONALIDAD r4, HHHH 9.20% r3, HHH 7.01% r2, HH r4, HHHl 5.43% 7.53% r1, H r3, HHl 3.50% 5.74% r r2, Hl r4, HHll 4.44% 6.17% r1, l r3, Hll 4.70% r2, ll r4, Hlll % r3, lll r4, llll *CUPON: 6.5% *CALLABLE A PAR *TIEMPO: 1 Año

51 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 En efecto, el valor de la opción esta imputado en la valoración del bono callable. Valor de Condición Bono Bullet Bono Callable la opción Par Escalonado El option adjusted spread es simplemente el margen adicionado a cada tasa forward, de manera que iguala la valoración del árbol binomial al precio de mercado.

52 Conceptos de Option Adjusted Spread_03 VALORACION DEL BONO CALLABLE OAS r4, HHHH 0.36% 9.85% r3, HHH 7.54% r2, HH r4, HHHl 5.87% 8.06% r1, H r3, HHl 3.86% 6.17% r r2, Hl r4, HHll 4.80% 6.60% r1, l r3, Hll 5.05% r2, ll r4, Hlll % r3, lll r4, llll PRECIO DE MERCADO = = =PRECIO TEORICO

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