Introducción. El concepto de energía potencial también tiene una aplicación muy importante en el estudio de la electricidad.

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1 Potencial Eléctrico Presentación basada en el material contenido en: R. Serway,; Physics for Scientists and Engineers, Saunders College Publishers, 3 rd edition.

2 Introducción El concepto de energía potencial fue introducido en la física en conexión con fuerzas conservativas tales como la fuerza gravitacional y la fuerza elástica ejercida por un resorte. Utilizando la ley de conservación de la energía se puede evitar el utilizar directamente fuerzas para resolver diferentes problemas en mecánica clásica. El concepto de energía potencial también tiene una aplicación muy importante en el estudio de la electricidad.

3 Introducción Como la fuerza electrostática es conservativa, los fenómenos electrostáticos pueden describirse, convenientemente, en términos de una energía potencial eléctrica. Este concepto (energía potencial eléctrica) permite definir una cantidad escalar conocida como potencial eléctrico Debido a que el potencial eléctrico en cualquier punto dentro de un campo eléctrico es una cantidad escalar, se puede utilizar para describir fenómenos electrostáticos de manera más simple que utilizando únicamente el campo eléctrico y fuerzas eléctricas.

4 Introducción De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la pérdida de energía potencial es igual a la ganancia de energía cinética (K + U = 0) Según la mecánica clásica, si se levanta un objeto de masa m a una distancia vertical h cerca de la superficie terrestre, el trabajo realizado (W = F d) se convierte en energía potencial (V = mgh) del sistema Tierra-masa. Si se deja caer el objeto, la energía potencia se convierte en energía cinética.

5 Introducción La fuerza eléctrica entre dos cargas está dirigida a lo largo de la línea que una las dos cargas y depende del inverso del cuadrado de su distancia de separación (igual que la fuerza gravitatoria entre dos masas). Igual que la fuerza gravitatoria, la fuerza eléctrica es conservativa. Consecuentemente, existe una función energía potencial asociada con la fuerza eléctrica: la energía potencial asociada a una partícula en una campo eléctrico es proporcional a la carga.

6 Introducción La energía potencial por unidad de carga se denomina potencial eléctrico. El potencial eléctrico se mide en voltios (1 V = 1J/C) y frecuentemente se le llama voltaje. Objetivos de esta unidad: Definir la función potencial eléctrico (y calcularla para una distribución específica de carga o para un campo eléctrico determinado). Establecer la relación entre el potencial eléctrico V, el campo eléctrico E y la energía potencial electrostática. Aplicar estos conceptos a sistemas eléctricos y conductores.

7 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial En general, cuando una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula que experimenta un desplazamiento dl, la variación de la función energía potencial du viene definida por: Cuando un carga de prueba q 0 se coloca en un campo eléctrico E creado por alguna distribución de carga fuente, la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga de prueba es:

8 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial La fuerza q 0 E es conservativa debido a que la fuerza entre dos cargas, descrita por la ley de Coulomb, es conservativa. Cuando la carga de prueba se mueve dentro de un campo eléctrico debido a la acción de un agente externo, el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga es igual al negativo del trabajo realizado por el agente externo que provoca el desplazamiento. Esto es análogo con la situación de levantar un objeto con masa dentro de un campo gravitacional: el trabajo realizado por el agente externo es mgh y el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es mgh.

9 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Cuando se analizan campos eléctricos y magnéticos es una práctica común el utilizar la notación dl para representar un vector de desplazamiento infinitesimal que se orienta tangentemente respecto de una trayectoria a través del espacio. Esta trayectoria puede ser recta o curvada, y una integral que se evalúa a lo largo de esta trayectoria se conoce como integral de trayectoria.

10 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Cuando la carga de prueba experimenta un desplazamiento infinitesimal dl en un campo eléctrico E, el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga es: y si el trabajo realizado por una fuerza conservativa disminuye la energía potencial, entonces la energía potencial del sistema carga-campo cambia como:

11 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Para un desplazamiento finito de la carga desde el punto A hasta el punto B, el cambio o variación de energía potencia electrostática en el sistema es: La integración se lleva a cabo a lo largo de la trayectoria que q 0 sigue conforme se mueve de A hacia B. Pero como la fuerza eléctrica (F = q 0 E) es conservativa, esta integral NO depende de la trayectoria de A hacia B.

12 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Para una posición dada de la carga de prueba dentro del campo eléctrico, el sistema carga-campo tiene una energía potencial U relativa a la configuración del sistema que se define como U = 0. Dividiendo la energía potencial entre la carga de prueba se obtiene una cantidad física que depende únicamente de la distribución de carga fuente. La energía potencia por unidad de carga U/q 0 es, en realidad, independiente del valor de q 0 y está definida (i.e. tiene valor) en cualquier punto dentro de un campo eléctrico.

13 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Esta cantidad U/q 0 se conoce como el potencial eléctrico (o simplemente el potencial) V. Entonces el potencial eléctrico en cualquier punto dentro de un campo eléctrico es El hecho de que la energía potencial sea una cantidad escalar implica que el potencial eléctrico también es una cantidad escalar.

14 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Conceptualmente, la variación de energía potencial es proporcional a la carga testigo q 0. La variación de energía potencial por unidad de carga se denomina diferencia de potencial dv:

15 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Si la carga de prueba se mueve entre dos posiciones A y B dentro de un campo eléctrico, el sistema carga-campo experimenta un cambio de energía potencial. La diferencia de potencial entre dos puntos A y B dentro de un campo eléctrico se define como el cambio en la energía potencial del sistema cuando una carga de prueba q 0 se mueve entre dichos puntos, dividido entre la carga de prueba q 0.

16 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial La diferencia de potencial V B V A es el valor negativo del trabajo por unidad de carga realizado por un campo eléctrico sobre una carga testigo positiva cuando ésta se desplaza del punto A al punto B dentro de dicho campo. Tal y como ocurre con la energía potencial, sólo son significativas las diferencias o variaciones en el potencial eléctrico. Sin embargo, para evitar que tener que realizar operaciones con diferencias de potencial, usualmente se considera que el valor del potencial eléctrico es cero en algún punto conveniente dentro de un campo eléctrico.

17 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Es decir, el valor de la función potencial eléctrico en cualquier punto por lo general queda determinado escogiendo arbitrariamente V de modo que sea cero en un punto adecuado. Por ejemplo, en la expresión de la energía potencial gravitatoria próxima a la superficie de la Tierra, mhg, podemos elegir h igual a cero en cualquier punto conveniente, tal como el suelo o la parte superior de una mesa. Si se trata de dos masas o cargas puntuales, resulta, por lo general, más conveniente tomar como cero la energía potencial correspondiente a una separación infinita.

18 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial La diferencia de potencial no se debe de confundir con la diferencia en energía potencial. La diferencia de potencial, ΔV, entre A y B depende únicamente de la distribución de la carga fuente, i.e. la que genera el campo eléctrico (se consideran los puntos A y Bsinla presencia de la carga de prueba). Por otro lado, la diferencia en energía potencial, ΔU, sólo existe si una carga de prueba se mueve entre los puntos A y B.

19 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Potencial y Energía Potencial El potencial es característico únicamente del campo eléctrico, es decir, es independiente de si se coloca dentro del campo eléctrico una partícula de prueba cargada. La energía potencial es característica del sistema carga-campo eléctrico, es decir, se debe a una interacción entre el campo eléctrico y una partícula cargada que se coloca dentro de dicho campo eléctrico.

20 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial El potencial eléctrico es un característica escalar de un campo eléctrico, es decir, es independiente de las cargas que se coloquen dentro de dicho campo eléctrico.

21 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Si un agente externo mueve la carga de prueba desde A hasta B sin cambiar la energía cinética de la carga de prueba, dicho agente realiza un trabajo que cambia la energía potencial del sistema: W = ΔU La carga de prueba positiva q 0 se utiliza como un artilugio mental para definir el potencial eléctrico. Imaginen una carga arbitraria q que se localiza dentro de un campo eléctrico. De la ecuación:

22 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial se puede establecer que el trabajo realizado por un agente externo al mover, a velocidad constante, una carga q a través de una campo eléctrico es: Debido a que el potencial eléctrico es una medida de la energía potencial por unidad de carga, la unidad SI para el potencial eléctrico y la diferencia de potencial es joules por coulomb, el cual se define como un voltio (V):

23 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Es decir, se debe realizar 1 J de trabajo para mover una carga de 1 C a través de una diferencia de potencial de 1 V. Como la diferencia de potencial se mide en voltios, a veces se le llama voltaje.

24 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial En una batería de 12 V (automóvil) el terminal positivo tiene un potencial que es 12 V superior que el del terminal negativo. Si a esta batería se conecta un circuito externo y por él circula una carga de 1 C desde el terminal positivo al negativo, la energía potencial de la carga disminuye en QΔV = 1C(12 V) = 12 J. Esta energía aparece en el circuito en forma de energía térmica.

25 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial La ecuación: también muestra que la diferencia de potencial tiene unidades del campo eléctrico multiplicado por la distancia. Así, la unidad de campo eléctrico E, el newton por coulombio, es también igual al voltio por metro:

26 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Entonces, se puede interpretar el campo eléctrico como una medida de la velocidad de cambio del potencial eléctrico respecto de la posición. Si se sitúa una carga de prueba positiva q 0 en un campo eléctrico E y se deja en libertad, se acelerará en la dirección de E a lo largo de las líneas de campo eléctrico. La energía cinética de la carga se incrementará, y su energía potencial disminuirá; es decir, la carga se moverá hacia una región de menor energía potencial (del mismo modo, un cuerpo de masa m cae hacia una región de menor energía potencial gravitatoria).

27 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Para una carga testigo puntual, una región de menor energía potencial es una región de menor potencial eléctrico. Es decir: las líneas de campo eléctrico señalan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.

28 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial Una unidad de energía utilizada comúnmente en la física atómica y nuclear es el electrón-voltio (ev), pues la energía tiene unidades de carga eléctrica multiplicada por potencial eléctrico. El electrón-voltio se define como la energía que un sistema carga-campo eléctrico gana o pierde cuando una carga de magnitud e (es decir, un electrón o un protón) se mueve a través de una diferencia de potencial de 1 V

29 Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial En la figura, dos puntos A y B se localizan dentro de un región en la cual hay un campo eléctrico. La diferencia de potencial ΔV = V B V A es: (a) positiva (b) negativa (c) cero Si se coloca un carga negativa en A y se mueve hacia B. El cambio en la energía potencial del sistema carga-campo eléctrico para este proceso es: (a) positiva (b) negativa (c) cero

30 Diferencias de Potencial en un E uniforme Las ecuaciones: son válidas para todos los campos eléctricos, independientemente de si son uniformes o no. Sin embargo, si el campo eléctrico es uniforme, dichas ecuaciones se pueden simplificar.

31 Diferencias de Potencial en un E uniforme Primero, consideren un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje y negativo (ver figura). Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos A y B separados por una distancia d (es decir, l = d) se puede establecer que l es paralelo a las líneas del campo eléctrico uniforme.

32 Diferencias de Potencial en un E uniforme La ecuación: se puede escribir como:

33 Diferencias de Potencial en un E uniforme Debido a que E es constante, se puede sacar de la integral: el signo negativo indica que el potencial eléctrico en el punto B es menor que en el punto A; es decir, V B < V A

34 Diferencias de Potencial en un E uniforme Se comprueba que las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección en la cual disminuye el potencial eléctrico.

35 Diferencias de Potencial en un E uniforme Ahora supongan que una carga de prueba q 0 se mueve de A a B. Se puede calcular el cambio en la energía potencial del sistema carga-campo eléctrico a partir de las ecuaciones

36 Diferencias de Potencial en un E uniforme A partir de este resultado, se puede establecer que si q 0 es positiva, entonces ΔU (el cambio en la energía potencial) es negativa. Se concluye que un sistema que consiste en una carga positiva y un campo eléctrico, pierde energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo eléctrico (señalada por las líneas de campo eléctrico).

37 Diferencias de Potencial en un E uniforme Esto significa que un campo eléctrico realiza trabajo sobre una carga positiva cuando la carga se mueve en la dirección del campo eléctrico. Esto es análogo al trabajo que efectúa el campo gravitacional sobre un objeto que cae.

38 Diferencias de Potencial en un E uniforme Si una carga de prueba positiva se suelta desde el reposo dentro de un campo eléctrico, experimenta un fuerza eléctrica F e = q 0 E en la dirección del campo eléctrico E. Por lo tanto, se acelera hacia abajo (ver figura), ganando energía cinética. Conforme la partícula cargada gana energía cinética, el sistema carga-campo eléctrico pierde una cantidad igual de energía potencial (conservación de la energía).

39 Diferencias de Potencial en un E uniforme Por otro lado, si q 0 es negativa, entonces ΔU (el cambio en la energía potencial) es positiva y la situación es inversa. Se concluye que un sistema que consiste en una carga negativa y un campo eléctrico, gana energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo eléctrico (señalada por las líneas de campo eléctrico).

40 Diferencias de Potencial en un E uniforme Si una carga de negativa se suelta desde el reposo dentro de un campo eléctrico, se acelera en una dirección opuesta a la dirección del campo eléctrico. Consecuentemente, para que una carga negativa se mueva en dirección del campo eléctrico, es necesario que un agente externo aplique un fuerza y realice un trabajo positivo sobre la carga.

41 Diferencias de Potencial en un E uniforme Ahora, consideren un caso más general: una partícula cargada se mueve entre los puntos A y B dentro de un campo eléctrico uniforme, de tal manera que el vector l no es paralelo a las líneas de campo eléctrico (ver figura)

42 Diferencias de Potencial en un E uniforme En este caso, la ecuación para la diferencia de potencial (ΔV) es: donde es posible sacar el E de la integral debido a que es constante. El cambio en la energía potencial del sistema carga-campo eléctrico es:

43 Diferencias de Potencial en un E uniforme Finalmente, a partir de la ecuación: se concluye que todos los puntos en un plano perpendicular a un campo eléctrico uniforme están al mismo potencial eléctrico. Demostración.

44 Superficies Equipotenciales El nombre de superficie equipotencial se da a cualquier superficie que consiste de un distribución continua de puntos que tienen el mismo potencial eléctrico. Las superficies equipotencial de un campo eléctrico uniforme consisten en una familia o conjunto de plano paralelos que son perpendiculares al campo eléctrico.

45 Superficies Equipotenciales Los puntos señalados en la figura se encuentran sobre un serie de superficies equipotenciales asociadas con un campo eléctrico. Ordena de mayor a menor el trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una partícula de carga positiva que se mueve de A a B; de B a C; de C a D; de D a E. Cuál es la dirección aproximada del campo eléctrico? Hacia: (a) fuera de la pantalla (b) dentro de la pantalla (c) el lado derecho de la pantalla (d) el lado izquierdo de la pantalla (e) la parte de arriba de la pantalla (f) la parte de debajo de la pantalla

46 V y U debido a cargas puntuales. Sabemos que una carga puntual positiva aislada q produce un campo eléctrico que está dirigido, desde la carga, radialmente hacia fuera. Para encontrar el potencial eléctrico en un punto localizado a una distancia r desde la carga, se debe partir de la expresión general para la diferencia de potencial (ΔV).

47 V y U debido a cargas puntuales. donde A y B son dos puntos arbitrarios (ver figura). En cualquier punto en el espacio, el campo eléctrico debido a la carga puntual es:

48 V y U debido a cargas puntuales. La cantidad E dl se puede expresar como: Debido a que la magnitud de es 1, el producto punto donde θ es el ángulo entre y dl.

49 V y U debido a cargas puntuales. Además, dlcosθ es la proyección de dl sobre r; entonces: Es decir, cualquier desplazamiento dl a lo largo de la trayectoria del punto A al punto B provoca un cambio dr en la magnitud de r (el vector de posición del punto donde se quiere medir el potencial eléctrico, relativo a la posición de la carga que establece el campo eléctrico).

50 V y U debido a cargas puntuales. Sustituyendo, se encuentra que: consecuentemente, la expresión para la diferencia de potencial ahora es:

51 V y U debido a cargas puntuales. Esta ecuación muestra que la integral de E dl es independiente de la trayectoria entre los puntos A y B. La diferencia de potencial eléctrico debido a cargas puntuales es independiente de la trayectoria entre los puntos inicial y final.

52 V y U debido a cargas puntuales. Multiplicando por una carga q 0 que se mueve entre los puntos A y B, se calcula el cambio en la energía potencial y se obtiene una integral que también es independiente de la trayectoria: Conclusión: el cambio en la energía potencial es independiente de la trayectoria que sigue la carga entre los puntos inicial y final.

53 V y U debido a cargas puntuales. Si consideramos la definición del trabajo para el sistema carga-campo eléctrico: se obtiene una expresión para el trabajo que realiza la fuerza eléctrica, y como ésta integral es independiente de la trayectoria, se demuestra que la fuerza eléctrica es conservativa, y que el campo relacionada con dicha fuerza, E, es un campo conservativo (i.e. el campo eléctrico de una carga puntual fija es conservativo)

54 V y U debido a cargas puntuales. Además, la ecuación: establece que la diferencia de potencial (ΔV) entre cualesquiera dos puntos A y B dentro de un campo eléctrico establecido por una carga puntual, depende únicamente de las coordinadas radiales r A y r B.

55 V y U debido a cargas puntuales. Por lo general, se elige como referencia del potencial eléctrico para una carga puntual que V = 0 en r A =. Con esta elección de referencia, el potencial eléctrico establecido por una carga puntual a cualquier distancia r desde la carga es: El potencial eléctrico es positivo o negativo dependiendo del signo de la carga q.

56 V y U debido a cargas puntuales. Si una carga testigo positiva q 0 se deja en libertad en un punto situado a una distancia r de una carga puntual positiva q que se mantiene fija en el origen, la carga testigo es acelerada en la dirección del campo eléctrico establecido por la carga q. El trabajo realizado por el campo eléctrico cuando la carga testigo se mueve de r a es:

57 V y U debido a cargas puntuales. Este trabajo es la energía potencial electrostática del sistema formado por la dos cargas (sería negativo si consideráramos el sistema carga-campo eléctrico): La energía potencial es, por tanto, el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando la carga testigo se desplaza de r a.

58 V y U debido a cargas puntuales. Alternativamente, la energía potencial puede definirse como el trabajo que debe realizar una fuerza aplicada F ap = q 0 E para trasladar una carga positiva q 0 desde el infinito hasta una distancia r medida desde una carga puntual q.

59 V y U debido a cargas puntuales. No confundir: la primera es la ecuación para calcular el potencial eléctrico debido a una carga puntual, y la segunda es la ecuación para calcular el campo eléctrico debido una carga puntual.

60 V y U debido a cargas puntuales. El efecto de una carga en el espacio que la rodea puede describirse de dos maneras diferentes: La carga establece un vector campo eléctrico E, el cual está relacionado con la fuerza que experimenta una carga de prueba que se coloca dentro del campo eléctrico. También establece un potencial eléctrico escalar V, el cual está relacionado con la energía potencial de un sistema de dos cargas cuando una carga de prueba se coloca dentro del campo eléctrico establecido por una carga puntual.

61 V y U debido a cargas puntuales. La siguiente figura muestra una gráfica del potencial eléctrico alrededor de una carga positiva localizada en el plano xy. La función potencial eléctrico para una carga negativa se vería como un hoyo en lugar de una colina La línea roja muestra la dependencia o naturaleza 1/r del potencial eléctrico.

62 V y U debido a cargas puntuales. Piensen en la siguiente analogía respecto al potencial gravitacional: imaginen intentar hacer rodar una canica grande hacia la cima de una colina con la forma de la superficie en esta figura. Empujar la canica hacia arriba es análogo a empujar un objeto cargado positivamente hacia otro objeto cargado positivamente.

63 V y U debido a cargas puntuales. Similarmente, la gráfica de potencial eléctrico para la región alrededor de una carga negativa es análoga a un hoyo con respecto a cualesquiera objetos cargados positivamente que se acerquen. Un objeto cargado debe estar infinitamente distante de otro objeto cargado antes de que la superficie de la gráfica de potencial eléctrico sea plana y el potencial eléctrico sea cero. La energía potencial de dos cargas es cero cuando están infinitamente separadas.

64 V y U debido a cargas puntuales. La elección del potencial eléctrico igual a cero a una distancia infinita desde una carga puntual es, simplemente, una elección por conveniencia. También es posible establecer el mismo convenio del potencial cero para un sistema de cargas siempre que el sistema sea finito, es decir, siempre y cuando no existan cargas a una distancia infinita de las otras cargas del sistema. A distancias suficientemente grandes de cualquier distribución de carga, esta se comporta como una carga puntual y la función potencial V se aproxima a la ecuación V = k e Q/r, en donde Q es la carga neta de la distribución.

65 V y U debido a cargas puntuales. Se obtiene el potencial eléctrico resultante de dos o más cargas puntuales aplicando el principio de superposición del campo eléctrico. Para determinar el potencial eléctrico en un punto debido a varias cargas puntuales, hay que calcular el potencial eléctrico en dicho punto debido a cada carga por separado y sumar todos ellos. Es decir, el potencial eléctrico total en algún punto P debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales eléctrico en dicho punto P debido a cada una de las cargas.

66 V y U debido a cargas puntuales. Si E i es el campo eléctrico en un punto debido a la carga q i, el campo eléctrico total en dicho punto producido por todas las cargas es: Según la definición de diferencia de potencial, para un desplazamiento dl:

67 V y U debido a cargas puntuales. Si la distribución de carga es finita, es decir, si no hay cargas en el infinito, podemos considerar que el potencial eléctrico es cero en el infinito. De esta manera, para calcular el potencial eléctrico correspondiente a cada carga puntual se puede utilizar la ecuación:

68 V y U debido a cargas puntuales. Por lo tanto, para un grupo de cargas puntuales q i, se puede establecer que el potencial eléctrico total en el punto P es: donde la suma debe extenderse a todas las cargas y r i es la distancia desde la carga q i al punto P donde se quiere calcular el potencial. No se debe olvidar que se considera que el potencial eléctrico es cero en el infinito pues no hay cargas ahí presentes.

69 V y U debido a cargas puntuales. Es importante señalar que la suma en la ecuación es una suma algebraica de escalares en lugar de una suma vectorial (la cual se utiliza para calcular el campo eléctrico de un grupo de cargas puntuales). Entonces, por lo general es más fácil evaluar el potencial eléctrico V que evaluar el campo eléctrico E.

70 V y U debido a cargas puntuales. En la siguiente figura se ilustra el potencial eléctrico alrededor de un dipolo. Se debe notar la empinada pendiente del potencial entre las cargas, la cual representa una región de un campo eléctrico fuerte.

71 V y U debido a cargas puntuales. Nota (muy) importante respecto al trabajo W: Hay una diferencia entre el trabajo W realizado por un miembro de un sistema sobre otro miembro del mismo sistema y el trabajo W realizado por un agente externo sobre un sistema. En nuestro siguiente análisis, consideraremos a un grupo de cargas como el sistema y a un agente externo que realiza o efectúa un trabajo W sobre el sistema para mover las cargas desde una distancia infinita hasta una pequeña distancia.

72 V y U debido a cargas puntuales. Analicemos ahora la energía potencial U de un sistema de dos partículas cargadas. Si V 2 es el potencial eléctrico en un punto P debido a la carga q 2, entonces el trabajo W que un agente externo debe hacer para traer a una segunda carga q 1 desde el infinito hasta el punto P sin aceleración es:

73 V y U debido a cargas puntuales. Este trabajo W = q 1 V 2, representa una transferencia de energía hacia el sistema, y la energía aparece en el sistema como energía potencial U cuando las partículas están separadas por una distancia r 12 (ver figura). Por lo tanto, se puede expresar la energía potencial de sistema como:

74 V y U debido a cargas puntuales. Se debe notar que si las cargas son del mismo signo, U es positiva. Este resultado es consistente con el hecho de que un agente externo debe hacer trabajo positivo sobre el sistema para acercar a las dos cargas debido a que las cargas del mismo signo se repelen.

75 V y U debido a cargas puntuales. Si las cargas son de signos opuestos, U es negativa. Este resultado significa que un agente externo hace trabajo negativo en contra de la fuerza atractiva entre las cargas de signos opuestos conforme dichas cargas se acercan una a la otra. Es decir, se debe aplicar una fuerza contraria al desplazamiento para impedir que q 1 se acelere hacia q 2.

76 V y U debido a cargas puntuales. En la siguiente figura se ha quitado q 1. En la posición que ocupaba previamente esta carga, que ahora denominamos el punto P, se puede utilizar las ecuaciones: para definir un potencial eléctrico debido a la carga q 2 :

77 V y U debido a cargas puntuales. Entonces, si el sistema consiste de más de dos partículas cargadas, se puede obtener la energía potencial total calculando U para cada par de cargas y sumando algebraicamente dichos términos. Por ejemplo, la energía potencial total para el sistema de tres cargas mostrado en la siguiente figura es:

78 V y U debido a cargas puntuales. COMPROBACIÓN: si tenemos una carga puntual q 1, el potencial eléctrico a una distancia r 12 de dicha carga, se obtiene a partir de: El trabajo necesario para trasladar una segunda carga puntual q 2 desde el infinito hasta una distancia r 12 es:

79 V y U debido a cargas puntuales. Ahora, para transportar una tercera carga, debe realizarse trabajo contra el campo eléctrico producido por sendas cargas q 1 y q 2. El trabajo necesario para transportar una tercera carga q 3 que dista r 13 de q 1 y r 23 de q 2 es:

80 V y U debido a cargas puntuales. El trabajo total para reunir las tres cargas es, por tanto: Este trabajo W es la energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas puntuales. El resultado es independiente del orden en que las cargas son transportadas a sus posiciones finales.

81 V y U debido a cargas puntuales. En general, se puede concluir que la energía potencial electrostática de un sistema de cargas puntuales es igual al trabajo necesario para transportar las cargas desde una separación infinita a sus posiciones finales.

82 V y U debido a cargas puntuales. Un globo esférico contiene en su centro un objeto cargado positivamente. Conforme el globo se infla a un mayor volumen mientras el objeto cargado permanece en el centro: 1) el potencial eléctrico sobre la superficie del globo? (a) aumenta, (b) disminuye, o (c) permanece igual. 2) El flujo eléctrico a través de la superficie del globo? (d) aumenta, (e) disminuye, o (f) permanece igual.

83 V y U debido a cargas puntuales. En la siguiente figura, consideren que q 1 es una carga fuente negativa y que q 2 es una carga de prueba. Si q 2 inicialmente es positiva y se cambia a una carga de la misma magnitud pero negativa, el potencial eléctrico en la posición de q 2 debido a q 1 : (a) aumenta (b) disminuye (c) permanece igual. Cuando la carga q 2 se cambia de positiva a negativa, la energía potencial del sistema de la dos cargas: (a) aumenta (b) disminuye (c) permanece igual.

84 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico El campo eléctrico E y el potencial eléctrico V están relacionados según la ecuación: además, sabemos que las líneas del campo eléctrico apuntan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico. Entonces, si se conoce el potencial eléctrico, puede utilizarse para calcular el campo eléctrico.

85 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Consideren un pequeño desplazamiento dl dentro de un campo eléctrico arbitrario E. La variación del potencial eléctrico, o bien, la diferencia de potencial dv entre dos puntos separados por una distancia dl, se puede expresar como: donde E l es el componente de E paralelo al desplazamiento (si E y dl son paralelos, entonces θ = 0º y cosθ = 1)

86 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Por ejemplo, si el campo eléctrico E sólo tienen una componente E x, entonces: y, por lo tanto, la variación del potencial eléctrico se puede escribir como:

87 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Dividiendo por dl (o, en nuestro ejemplo, por dx), se obtiene: Para nuestro ejemplo, significa que la componente x del campo eléctrico es igual al negativo de la derivada del potencial eléctrico respecto de x (afirmaciones similares se pueden hacer respecto de las componentes y y z).

88 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Estas ecuaciones, además, demuestran, matemáticamente, el hecho de que el campo eléctrico es una medida de la velocidad de cambio del potencial eléctrico con la posición.

89 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Experimentalmente, el potencial eléctrico y la posición se pueden medir con un voltímetro y una regla o un metro. Consecuentemente, un campo eléctrico puede determinarse midiendo el potencial eléctrico en diferentes puntos dentro del campo y graficando los resultados. De acuerdo a la ecuación: la pendiente de una gráfica de V en función de x en un punto dado, proporciona la magnitud del campo eléctrico en dicho punto.

90 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Para el caso general, se puede establecer que si el desplazamiento dl es perpendicular al campo eléctrico, el potencial no varía. La variación más grande de V se produce cuando el desplazamiento dl es paralelo o antiparalelo a E. Un vector que señala en la dirección de la máxima variación de una función escalar y cuyo módulo (longitud del segmento que lo representa, i.e. proporcional al valor de su magnitud) es igual a la derivada de la función con respecto a la distancia en dicha dirección, se denomina gradiente ( : operador gradiente) de la función.

91 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Si el vector campo eléctrico, o las líneas del campo eléctrico, apuntan en la dirección de máxima disminución de la función potencial eléctrico, entonces el campo eléctrico E es opuesto al gradiente del potencial eléctrico V. dónde, en notación vectorial y para un sistema coordinado Cartesiano

92 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Toda esta información es verdadera, al menos, matemáticamente, no se le puede encontrar objeción alguna. Pero sería conveniente demostrarla aplicando a ejemplos concretos los conceptos, definiciones y fórmulas que se han estudiado hasta el momento.

93 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Cuando una carga de prueba experimenta un desplazamiento dl a lo largo de una superficie equipotencial, entonces dv = 0 debido a que el potencial eléctrico es constante a lo largo de un superficie equipotencial. De la ecuación: podemos establecer que si dv = E dl = 0; entonces, E debe ser perpendicular al desplazamiento a lo largo de una superficie equipotencial (para que el resultado del producto punto sea cero, θ = 90º cosθ = 0, pues E y dl son diferentes de cero)

94 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico El resultado anterior demuestra que las superficie equipotenciales siempre deben ser perpendiculares a las líneas de campo eléctrico que pasan a través de ellas. Por ejemplo, las superficies equipotenciales para un campo eléctrico uniforme consisten de una familia de planos perpendiculares a las líneas de campo (ver figura).

95 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Por otra lado, si la distribución de carga que crea un campo eléctrico tiene una simetría esférica de tal manera que la densidad de carga volumétrica depende únicamente de la distancia radial r, entonces el campo eléctrico es radial. Por ejemplo, el potencial eléctrico de una carga puntual es: Debido a que el potencial eléctrico V es una función sólo de r, el potencial eléctrico tiene simetría esférica.

96 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Además, sabemos que el campo eléctrico debido a una carga puntual se define como: es decir, la magnitud del campo eléctrico debido a una carga puntual sólo depende del cuadrado de r y, por lo tanto, el campo eléctrico E también tiene simetría esférica. De hecho, se establece que las líneas de campo de una carga puntual apuntan radialmente hacia fuera para una carga positiva, y hacia dentro para una carga negativa.

97 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico La siguiente figura muestra las líneas de campo eléctrico debidas a una carga puntual q positiva situada en el origen. Si se desplaza una carga de prueba perpendicularmente a estas líneas de campo, no se realiza trabajo y el potencial no varía (las superficies sobre las cuales el potencial eléctrico es constante se denominan superficies equipotenciales, y éstas son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico).

98 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Entonces, para el potencial eléctrico producido por una carga puntual en el origen, las superficies equipotenciales son una familia de superficies esféricas concéntricas respecto a la carga puntual (el ejemplo más simple de una distribución de carga de simetría esférica) definidas por r = constante.

99 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico RECAPITULACIÓN: si las líneas de campo eléctrico correspondientes a una carga puntual son líneas radiales y las superficies equipotenciales a dicha carga puntual son esferas concéntricas debido a la simetría esférica de la función potencial eléctrico para una carga puntual (recuerden, sólo depende de r): entonces el potencial eléctrico debido a una carga puntual sólo cambia en la dirección radial, i.e. no cambia en ninguna dirección perpendicular a r.

100 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Consecuentemente, un desplazamiento paralelo a un campo eléctrico radial se puede escribir en la forma: y la variación del potencial eléctrico se convierte en: Analicemos el producto punto en esta ecuación.

101 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico La magnitud de E es: E = E r debido a que se trata de un campo eléctrico radial. La magnitud del vector unitario r es 1. Como el desplazamiento es paralelos al campo eléctrico radial, θ = 0, por lo tanto: cosθ = 1. De esta manera:

102 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Sustituyendo en la ecuación para la variación del potencial eléctrico para un desplazamiento paralelo a un campo eléctrico radial : y, despejando la magnitud del campo eléctrico radial (originado por una carga puntual):

103 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Para cualquier distribución de carga esféricamente simétrica, el potencial varía sólo con r. La relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico es: En general, el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas espaciales (x, y, z).

104 Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico Si V(r) está dado en términos de las coordenadas cartesianas, las componentes del campo eléctrico E x, E y y E z se pueden calcular fácilmente a partir de V(x,y,z) como las derivadas parciales: Por lo tanto:

105 V y U :distribuciones continuas de carga. Se puede calcular el potencial eléctrico debido a distribuciones continuas de carga de dos manera. Si se conoce la distribución de carga se utiliza inicialmente la ecuación para el potencial eléctrico de una carga puntual pero se considera que el potencial se debe a un pequeño elemento de carga dq (i.e. al elemento de carga dq se le asocia un comportamiento de carga puntual).

106 V y U :distribuciones continuas de carga. La variación del potencial eléctrico dv en algún punto P debido al elemento de carga dq es: donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto P. Para obtener el potencial eléctrico total en el punto P, se integra (de esta manera se incluye la contribución de todos los elementos de la distribución de carga).

107 V y U :distribuciones continuas de carga.

108 V y U :distribuciones continuas de carga. Debido a que cada elemento es, en general, a una distancia diferente del punto P (i.e. es una variable, pues puede variar) y como k e es constante: Se debe notar que esta expresión para el potencial eléctrico V utiliza una referencia específica: el potencial eléctrico se considera que es cero cuando el punto P está infinitamente lejos de la distribución de carga.

109 V y U :distribuciones continuas de carga. Por otra parte, si el campo eléctrico de la distribución continua de carga se conoce inicialmente, el potencial eléctrico debido a ésta se puede calcular a partir de: Por ejemplo, si la distribución de carga tiene suficiente simetría, primero se evalúa E en algún punto utilizando la ley de Gauss y se sustituye su valor en la ecuación anterior para determinar la diferencial de potencial ΔV entre cualesquiera dos puntos. Finalmente se debe elegir que el potencial eléctrico V es cero en algún punto conveniente.

110 Pistas: cálculo del potencial eléctrico Recordar que le potencial eléctrico es una cantidad escalar, no tiene componentes vectoriales. Por lo tanto, al aplicar el principio de superposición para evaluar el potencial eléctrico en un punto debido a un sistema de carga puntuales, se utiliza la suma algebraica del potencial debido a cada carga. Cuidado con los signos. El potencial eléctrico es positivo para cargas positivas y negativo para cargas negativas.

111 Pistas: cálculo del potencial eléctrico Sólo son significativos los cambios en el potencial eléctrico (tal y como ocurre con la energía potencial gravitacional en la mecánica clásica). Entonces, el punto donde el potencial es cero es una elección arbitraria. Al tratar con cargas puntuales o una distribución de carga de tamaño finito, usualmente se define V = 0 en un punto infinitamente lejos de la(s) carga(s).

112 Pistas: cálculo del potencial eléctrico Para evaluar el potencial eléctrico en algún punto P debido a una distribución continua de carga se divide la distribución de carga en elementos infinitesimales de carga dq localizados a una distancia r del punto P. Entonces, se considera un elemento de carga como una carga puntual. Se obtiene el potencial eléctrico total en el punto P integrando dv sobre toda la distribución de carga.

113 Pistas: cálculo del potencial eléctrico Al integrar, es conveniente expresar dq y r en términos de una sola variable. Para simplificar la integración, se debe analizar la geometría involucrada en el problema (hay que buscar siempre elementos de simetría).

114 Pistas: cálculo del potencial eléctrico Otro método para obtener el potencial eléctrico debido a una distribución continua de carga finita supone considerar la definición de la diferencia de potencial (ΔV). Si se conoce o se puede determinar fácilmente el E (ley de Gauss), se puede evaluar el negativo de la integral de E dl.

115 V debido a un conductor cargado. Cuando un conductor sólido está cargado y en equilibrio electrostático, la carga reside en su superficie externa, el campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie y el campo eléctrico dentro del conductor es cero En cualquier punto sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio electrostático está al mismo potencial eléctrico.

116 V debido a un conductor cargado. Consideren dos puntos A y B sobre la superficie de un conductor cargado (ver figura). A lo largo de una trayectoria superficial que conecte dichos puntos, E siempre es perpendicular al desplazamiento dl; entonces, E dl = 0; y la diferencia de potencial eléctrico entre A y B es necesariamente cero.

117 V debido a un conductor cargado. Esta resultado aplica a cualesquiera dos puntos sobre la superficie. Por lo tanto, el potencial eléctrico V es constante en cualquier puntos sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio electrostático. La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio electrostático es una superficie equipotencial. Además, debido a que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se puede concluir que el potencial eléctrico es constante en cualquier punto dentro del conductor e igual a su valor sobre la superficie.

118 V debido a un conductor cargado. Consecuentemente, no se requiere efectuar ningún trabajo para mover una carga de prueba desde el interior de un conductor cargado hasta su superficie.

119 V debido a un conductor cargado. Por otro lado, cuando una carga neta se coloca en un conductor esférico, la densidad de carga superficial es uniforme (i.e. la carga está distribuida uniformemente sobre toda la superficie). Sin embargo, si el conductor no es esférico, la densidad de carga superficial es mayor donde el radio de curvatura es pequeño, y es menor donde el radio de curvatura es grande.

120 V debido a un conductor cargado. Debido a que el campo eléctrico justo fuera del conductor es proporcional a la densidad de carga superficial: el campo eléctrico es mayor cerca de los puntos convexos con radio de curvatura pequeño, alcanzando valores muy grandes en zonas puntiagudas. La densidad de líneas de campo eléctrico es mayor en la punta aguda del conductor a la izquierda y en los extremos muy curvados del conductor de a derecha.

121 V debido a un conductor cargado. La siguiente figura muestra las líneas de campo alrededor de dos conductores esféricos: uno con una carga neta Q (positiva), y otro más grande (en tamaño) con una carga neta de cero. En esta caso, la densidad de carga superficial no es uniforme en ninguno de los conductores

122 V debido a un conductor cargado. La esfera de carga neta de cero tiene una carga negativa inducida en el lado que da hacia la esfera cargada y una carga positiva inducida en el lado opuesto a la esfera cargada. Las líneas punteadas azules representan la sección transversal (i.e. intersección con la pantalla) de las superficies equipotenciales para esta configuración de carga.

123 V debido a un conductor cargado. Efectivamente, las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies conductoras en todos los puntos., y las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico en todo el espacio.

124 V debido a un conductor cargado. Supongan un conductor de forma arbitraria y con una cavidad (ver figura) Asuman que no hay cargas dentro de la cavidad. En este caso, el campo eléctrico dentro de la cavidad debe ser cero, independientemente de la distribución de carga fuera del conductor. Además, el E en la cavidad es cero aunque exista un campo eléctrico fuera del conductor.

125 V debido a un conductor cargado. Para probar este punto, se utiliza el hecho de que cualquier punto sobre el conductor está al mismo potencial eléctrico, y por lo tanto, cualesquiera dos puntos A y B sobre la superficie de la cavidad deben de estar al mismo potencial eléctrico. Imaginar que un campo eléctrico E existe en la cavidad y evaluar la diferencia de potencial V B V A :

126 V debido a un conductor cargado. Debido a que V B V A = 0, el negativo de la integral de E dl debe ser cero para todas las trayectorias entre cualesquiera dos puntos A y B en el conductor. La única manera mediante la cual lo anterior puede ser verdad para todas las trayectorias es si E es cero en toda la cavidad. Una cavidad rodeada de una pared conductora es un región libre de campo eléctrico siempre y cuando no haya cargas dentro de la cavidad.

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