LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

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1 Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez Ptrici Molinàs Ángel A. Jun ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones Integrl Definid Aritmétic El prolem del áre Funciones Esclonds Integrl de Riemnn Áres Volúmenes Método de Exhución Regl de Brrow Sólidos de Revolución Propieddes Bjo un función Entre dos funciones Proyecto e-mth 1 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

2 Integrl Definid y Aplicciones INTRODUCCIÓN En este mth-ock trtremos el prolem del cálculo del Áre y su importnci en otrs rms de l cienci pr l resolución de situciones reles, tles como puede ser el cálculo del espcio recorrido por un móvil en Físic. Le dremos un enfoque histórico y veremos lgunos ejemplos que surgieron hce más de. ños, cundo los griegos inventron el método de exhución pr clculr áres de figurs plns. Veremos l relción que hy entre el áre y l integrl definid y l regl de Brrow, conexión entre el Cálculo Diferencil y el Cálculo Integrl. Clculremos tmién volúmenes de revolución, demás de áres, por medio de integrles definids. OBJETIVOS 1. Conocer y plicr el método de exhución.. Clculr integrles definids de funciones esclonds y ser sus propieddes.. Clculr el áre encerrd por un función y el eje OX en un determindo intervlo. 4. Hllr l superficie encerrd entre dos curvs. 5. Ser utilizr l regl de Brrow pr clculr integrles definids y conocer l relción entre ls derivds y ls integrles. 6. Clculr volúmenes de revolución engendrdos por el giro lrededor del eje OX del recinto limitdo por un o dos funciones. CONOCIMIENTOS PREVIOS A fin de poder provechr l máximo est unidd es recomendle tener conocimientos ásicos sore funciones de un vrile, derivción e integrción indefinid, y uso del progrm Mthcd. CONCEPTOS FUNDAMENTALES El prolem del cálculo del áre Uno de los prolems que más repercusión h tenido en l histori de ls mtemátics es el del estudio del áre encerrd jo un curv, pues tiene un plicción inmedit en lgunos prolems de físic. Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con un velocidd constnte de m/s. L gráfic velocidd-tiempo del cuerpo es l representd en el diujo. Clculr el espcio recorrido por el cuerpo entre t = y t = 6, con ls fórmuls de físic conocids. Estudir l relción que existe entre este resultdo y el áre encerrd por ls rects t =, t = 6, v = y v =. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

3 Integrl Definid y Aplicciones v Solución: t El hecho de que l velocidd se constnte nos indic que estmos en un cso de MRU, por lo que deeremos usr l fórmul e = v*t que nos d el espcio recorrido por el cuerpo si conocemos su velocidd y el tiempo trnscurrido t. Por lo tnto, pr clculr el espcio recorrido por el cuerpo desde t = hst t = 6 hcemos e = *6 = 18, que coincide con el áre del rectángulo coloredo, y que es l mismo tiempo el áre encerrd por ls rects: t =, t = 6, v = O y v =. Hst hor hemos clculdo el áre encerrd por funciones continus pero qué hrímos pr clculr el áre encerrd jo l función del diujo 1 entre x = 1 y x = 4?, es siempre posile descomponer l figur encerrd jo un curv en figurs cuy áre conocemos? Pr investigrlo, consideremos l gráfic velocidd-tiempo del diujo, y clculemos el espcio recorrido entre t = y t = 1. Cómo clculrímos, proximdmente, el áre encerrd jo est función entre t = y t = 1?. Acotremos dich áre superior e inferiormente, utilizndo rectángulos. Cómo podrímos hcer que ests cotciones fuesen cd vez más excts? y v x Diujo 1. Gráfic función esclond Diujo. Gráfic v(t) = -t + t + 1 t Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

4 Integrl Definid y Aplicciones Es intuitivo que el áre encerrd por l función del diujo 1 se clcul sumndo ls áres de los rectángulos que define l función entre dichos puntos. Este tipo de funciones cuy gráfic en un intervlo son trmos de rects prlels l eje de ls x, se llmn funciones esclonds, y ls estudiremos con más detlle más delnte. Como se ve en el diujo, no siempre es posile descomponer el áre encerrd jo un curv, en figurs geométrics simples. En el cso del ejercicio, dich áre se encuentr comprendid entre un rectángulo de se 1 y ltur 1, y un rectángulo de se 1 y ltur 1.5, por lo tnto semos que se encuentr entre uno y uno y medio, pero no podemos decir con exctitud cuál es su vlor. Pr estos csos precismente es pr los que se ideó el método de exhución. El método de Exhución. El método de exhución fue idedo por el mtemático griego Arquímedes pr determinr el áre de un recinto. Este método consiste en inscriir y circunscriir el recinto considerdo en regiones poligonles cd vez más próxims él, tendiendo llenrlo y cuys áres se pueden clculr fácilmente. Así se otienen vlores myores y menores que el áre que desemos clculr y que se proximn, tnto más dicho vlor, cunto myor se el número de ldos de regiones poligonles inscrits y circunscrits. Según el método de exhución, pr proximr el áre encerrd entre l función, el eje OX, y ls rects x =, x =, tommos poligonles que inscrin y circunscrin dicho recinto. En este cso dichs poligonles son rectángulos y es evidente que el áre se conocerá con myor exctitud cunto menor se l se de los rectángulos tomdos. Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este cso l sum de ls áres de los rectángulos es menor que el áre del recinto, pero se vn proximndo más su vlor según vymos tomndo rectángulos de menor se, como podemos ver en ls proximciones de los diujos. Si considermos hor rectángulos que circunscrin l recinto, es evidente que l sum de ls áres de dichos rectángulos es myor que el áre que encierr l función, pero medid que vmos tomndo rectángulos cuys ses sen menores, nuestr proximción será más exct. Proyecto e-mth 4 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

5 Integrl Definid y Aplicciones Todo ello pone de mnifiesto que l dividir el intervlo [,] en un número infinitmente grnde de intervlos igules, el áre por defecto coincide con el áre por exceso y ms con el áre del recinto que se está clculndo. Integrl de un función esclond. Propieddes. Nos prece interesnte, ntes de definir l integrl de un función culquier, estudir l integrl de funciones esclonds, por dos rzones: primer, y siguiendo nuestro principio de dr los conceptos de form grdul según su nivel de dificultd, que son más intuitivs y fáciles, y tods ls propieddes de ests integrles son ls misms que ls de ls integrles de funciones generles; y segund, porque l definición que dremos de integrl de un función generl, será prtir de ests funciones. Ls funciones esclonds hcen de nexo entre el método de exhución y ls integrles definids de culquier función. Ejemplo: Dd l función del diujo, clculr mno el áre que delimitn f(x), ls rects x =, x = 5 y el eje OX. Proyecto e-mth 5 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

6 Integrl Definid y Aplicciones Como vimos en el prtdo 1, este tipo de funciones se llmn esclonds. Nos interes clculr el áre que delimitn f(x), ls rects x =, x = 5 y el eje OX. El áre que nos interes se puede descomponer en tres rectángulos: el rectángulo A cuy se es el intervlo [,1], y ltur 1; el rectángulo B de se [1,], y ltur ; y el rectángulo C de se [,4], y ltur 5. Por lo tnto, pr clculr el áre totl hemos de sumr el áre de estos tres rectángulos. Si denotmos por x, x 1, x, x los puntos que delimitn ls ses de los rectángulos y por r 1, r, r ls lturs de dichos rectángulos tenemos que: A = (1-O) * 1 = 1 = (x 1 -x ) * r 1 A = (-1) * = 4 = (x -x 1 ) * r A c = (4-) * 5 = = (x -x ) * r Luego: A = A + A + A c = (x 1 -x ) * r 1 + (x -x 1 ) * r + (x -x ) * r = k = 1 ( x k x k 1 ) r k Definición: Un función f, definid en un intervlo [, ], es esclond cundo existe un prtición del intervlo [, ] de modo que f tom vlores constntes en el interior de cd uno de los intervlos de l prtición. Un Prtición del intervlo [, ] es un colección de intervlos contenidos en [, ], disjuntos dos dos (sin ningún punto en común) y cuy unión es [,]. Se denot por P: P = { = x < x1 < < xn = }. Por lo tnto, en un función esclond culquier, el áre vendrá dd por l siguiente fórmul: A = n ( xk xk 1 ) rk k = 1 Se define l integrl desde hst de l función esclond f, y se denot número rel f = n ( x ) ( xk xk 1 ) rk k = 1 f x) (, l Como se puede ver, l integrl de un función esclond desde hst coincide con el áre encerrd por dich función, el eje OX y ls rects x =, x =. Propieddes: Vemos continución ls propieddes que verificn ls integrles de ls funciones esclonds. Ests propieddes son consecuenci inmedit de ls propieddes del áre de un conjunto, deido l definición que hemos ddo de integrl de un función esclond. 1. ( ( x) + g( x)) = f ( x) +. k f x) = k f ( x) k f g( x) ( R Proyecto e-mth 6 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

7 f ( x) x, f ( x). Si [ ] 4. Si ( x) g( x) x [, ] f ( x) f g( x) c 5. ( x) = f ( x) + c f f ( x) 6. ( x) = f f ( x) 7. f ( x) = Integrl Definid y Aplicciones Ests propieddes ls verificrá tmién l integrl de un función culquier. Integrl de Riemnn. Vmos definir l integrl de un función culquier, f(x), en un intervlo [, ], con l únic condición de que esté cotd. Se tomn tods ls funciones esclonds g(x) por defecto, y tods ls funciones esclonds h(x) por exceso, es decir, g(x) f(x) h(x) cundo x [, ]. En ests condiciones, si existe un único número I que cumpl g ( x) l h( x), este número l se le llm integrl de f(x) entre y. Se represent: Teorem: l f x) = ( y se lee integrl desde hst, de f(x), diferencil de x. Tod función continu en un intervlo es integrle en dicho intervlo. Teorem Fundmentl del Cálculo Si f(x) es integrle en el intervlo [, ], su función áre, A(t), se define de l siguiente form: ( t) = t f ( x t [, ] A ) función A es un primitiv de l función f en [, ].. En ests condiciones, si f es continu en [, ], l y = f(x) A(t) t Proyecto e-mth 7 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

8 Integrl Definid y Aplicciones Regl de Brrow: Si f(x) es un función continu en [, ], y F(x) un primitiv de f(x), es decir, F '(x) = f(x) pr culquier x (, ), entonces: L importnci de l regl de Brrow es dole: Por un prte, es un método de cálculo de integrles definids que no exige hllr funciones esclonds; por otro ldo, represent un conexión entre el Cálculo Diferencil y el Cálculo Integrl. Áre del recinto limitdo por un función en [,] Áre del recinto limitdo por un función positiv en [,] Semos que l integrl de un función esclond entre x = y x = coincide con el áre encerrd por dich función, el eje y =, y ls rects x = y x =. Vemos que est relción se cumple tmién con l integrl definid de un función culquier, pr ello, plnteremos el cálculo de áres encerrds por funciones no esclonds, y que se pueden clculr geométricmente, y l posterior comproción de que dich áre coincide con el vlor de l integrl. Ejemplo: Hllr el áre del triángulo determindo por l isectriz del primer cudrnte, el eje OX y l rect x = 4. Clculr est áre geométricmente, y compror que coincide con l integrl entre x = y x = 4 de l función f(x) = x (isectriz). 4 4 = = = Geométricmente tenemos un triángulo, cuy áre vle: 8 A T Proyecto e-mth 8 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

9 Integrl Definid y Aplicciones 4 = = L integrl entre y 4 de l función f(x) = x vle: 8 4 x x = Luego si un función positiv f(x), definid en un intervlo [,], es integrle, l integrl ( represent el áre del recinto delimitdo por l gráfic de l función, el eje f x) de sciss y ls rects x = y x =. 4 Áre del recinto limitdo por un función negtiv en [,] Vemos l relción que hy entre los recintos limitdos por ls gráfics de f(x) (siendo ést negtiv) y -f(x), por medio de un ejemplo sencillo y clculremos, en este ejemplo, el áre del recinto determindo por dich función negtiv. Ejemplo: Se f(x) = -x y [,] = [,4]. Hemos clculdo, en el prtdo nterior, el áre que encierr f(x) = x entre y 4. Vemos, clrmente, que el áre del recinto limitdo por un función negtiv f(x) en [,] es l mism que l limitd por l gráfic de -f(x), cuy función es y positiv y podemos clculr el áre medinte un integrl como en el prtdo nterior. L integrl entre y 4 de l función f(x) = -x vle: 4 x x = 4 4 = = 8 Proyecto e-mth 9 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

10 Integrl Definid y Aplicciones Compromos que si cmimos el signo de l función, l integrl simplemente cmi de signo, pero el vlor soluto es el mismo. Luego, pr funciones negtivs: Áre = f ( x). Conviene tener presente lo nterior pr que los resultdos sen correctos; esto pone de mnifiesto que los conceptos de integrl definid y áre de un recinto son distintos. En definitiv, tnto pr funciones positivs como pr ls negtivs, el áre o superficie vendrá dd por: S f x) = (. Áre del recinto limitdo por un función que cmi de signo en [,] Finlmente, si l gráfic de un función qued prte por encim, y prte por dejo del eje de sciss, l integrl se descompondrá en vrios sumndos cundo se quier clculr el áre de l región que delimit con el eje de sciss en el intervlo [, ]. Semos que: Si l función f se nul y cmi de signo en más puntos, se procede de form nálog, clculndo ls áres de cd uno de los recintos. Proyecto e-mth 1 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

11 Integrl Definid y Aplicciones Áre del recinto limitdo por dos funciones En este prtdo vmos clculr el áre de recintos plnos más generles que los estudidos en los prtdos nteriores. Uno de los prolems que suele plnterse es l determinción exct de l región cuy áre queremos clculr. Como norm conviene, siempre que se posile, hcer un representción lo más proximd posile de dich región o recinto. Sen f y g dos funciones continus en [,]. Supongmos que sus gráfics se cortn en [,] pr x = 1, x =,..., x = n, con lo que determinn n+1 regiones R 1, R,..., R n+1. i El áre de cd región R i es ( f ( x) g( x)), luego el áre limitd por ls dos i 1 funciones en el intervlo [,] vle: 1 Áre= R1 + R + + Rn+ 1 = ( f ( x) g( x)) + ( f ( x) g( x)) ( f ( x) g( x)) n Proyecto e-mth 11 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

12 Integrl Definid y Aplicciones Cálculo de volúmenes Dd un función f continu y R el recinto limitdo por l gráfic de f y ls rects de ecuciones x =, x =, y =, hcemos girr dicho recinto lrededor del eje OX, engendrndo un cuerpo sólido de revolución. Se trt hor de hllr el volumen de este cuerpo engendrdo por R. Pr ello hy que seguir un proceso completmente nálogo l relizdo en l definición de integrl definid. Consideremos un prtición culquier de [,]: P = { = x < x1 < < xn = }, y se V(f;,) el volumen del sólido de revolución. Tl como se oserv en l figur el volumen V(f;,) del cuerpo de revolución está comprendido entre l sum de los volúmenes de los cilindros interiores y l sum de los volúmenes de los cilindros exteriores. Teniendo en cuent que el volumen de un cilindro es Πr h, se tiene que: n n m i xi xi V f M π ( 1) ( ;, ) π i ( xi xi 1 ) i= 1 i= 1 donde mi = mín{ f ( x) / xi 1 x xi} y M i = máx{ f ( x) / xi 1 x xi}, los cules existen por ser l función f continu. Proyecto e-mth 1 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

13 Integrl Definid y Aplicciones Si el número de puntos de l prtición ument, ls sums inferiores y superiores tienden l integrl definid de l función Πf en el intervlo [,]. Prece, pues, nturl signr l volumen del sólido de revolución l integrl definid f π ( x) es decir, = V ( f ;, ) π f ( x) Podemos hcer est integrl porque l ser f continu, tmién lo es Πf. Not: Si considermos dos funciones f y g tles que f(x) g(x) en [,], el volumen del sólido de revolución que genern l girr lrededor del eje OX es: V = V ( f ;, ) V ( g;, ) = f ( x) g π π ( x) = π [ f ( x) g ( x) ] Si l región R determind por dos funciones no cumple ls condiciones del enuncido siempre se podrán elegir intervlos en que sí se verifiquen; hecho esto, se clculrín por seprdo los volúmenes y se sumrín. Proyecto e-mth 1 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

14 Integrl Definid y Aplicciones CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Ejemplo de relción áre-espcio recorrido Clculr el espcio recorrido desde t = hst t = 6 por un cuerpo cuy gráfic v-t viene dd por l función v(t) = 1 + t. Semos que el espcio recorrido coincide con el áre encerrd por ls rects t =, t = 6, v = y v = 1+ t. Pr clculrl, descomponemos l figur en dos prtes: A y B. Como se oserv en l imgen, A es un rectángulo de se 6 y ltur 1. Por lo tnto, su áre es A = 6*1 = 6. Por su prte, B es un triángulo de se 6 y ltur 6 y, consiguientemente, su áre es A = 1/(6*6) = 6/ = 18. Finlmente, el áre totl i.e., el espcio recorrido- es l sum de dichs áres A T = A +A = 6+18 = 4. Proyecto e-mth 14 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

15 Integrl Definid y Aplicciones Ejemplo de relción áre-integrl definid Hllr el áre del trpecio determindo por l rect de ecución y = x + 1, el eje OX, l rect x = y x = 1. Clculr est áre geométricmente y compror que coincide con el vlor de l 1 integrl definid ( x + 1). Geométricmente tenemos un trpecio, cuy áre vle: 1 1 = 1 1+ = A T. L integrl entre y 1 de l función f(x) = x + 1 vle: 1 ( x + 1) = x + x 1 1 = = Con el Mthcd: Proyecto e-mth 15 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

16 Integrl Definid y Aplicciones Ejemplo de áre entre dos funciones Determinr el áre del recinto limitdo por ls curvs f ( x) = x x + 8 y g( x) = x en el intervlo [-,]. Averigüemos si ls dos curvs se cortn en lgún punto del intervlo [-,]: y = x x + 8 x x + 8 = x x = 8 x =. y = x L figur nos muestr el recinto considerdo (est figur es un pntll de un progrm que se llm funciones pr windows). Tenemos dos regiones, sí que: = ( x + 8) + Con el Mthcd: Áre = R1 + R = ( f ( x ) g( x )) + ( f ( x ) g( x )) = ( x 4 x + 8) == + 8x 4 4 x + + 8x 4 = = =.5 4 Proyecto e-mth 16 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

17 Integrl Definid y Aplicciones Ejemplo de cálculo de volúmenes Clculr el volumen del sólido de revolución engendrdo l girr -lrededor del eje OX- l gráfic de l función f(x) = cos (x) en el intervlo [-Π, Π/4]. En l siguiente pntll se muestrn los cálculos relizdos con yud de Mthcd y el resultdo finl: Proyecto e-mth 17 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

18 Integrl Definid y Aplicciones BIBLIOGRAFÍA [1] Benker, H. (1999): "Prcticl use of Mthcd. Solving mthemticl prolems with computer lger system", Springer-Verlg New York, Inc. [] Moreno, J.A.; Ser, D. (1999): "Mthcd 8. Mnul de usurio y guí de referenci de Mthcd 8", ediciones Any Multimedi, S.A. [] Agulió, F.; Bods, J.; Grrig, E.; Villlí, R. (1991): Temes clu de càlcul. Brcelon: UPC. [4] Cournt, R.; John, F. (1971): Introducción l cálculo y l nálisis mtemático. México: Limus. [5] Vquero, A.; Fernández, C. (1987): L Informátic Aplicd l Enseñnz. Eudem S.A. Mdrid.P 7. [6] Orteg J. (199): Introducció l nàlisi mtemátic. Brcelon: Puliccions de l Universitt Autónom de Brcelon. [7] Tng, S. (1986): Applied Clculus. PWS Pulishers. [8] Burull, D.(199): Self-Tutor for Computer Clculus Using Mple. Prentice Hll. [9] Hunt, R. (1994): "Clculus". Ed. Hrper Collins. Proyecto e-mth 18 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

19 Integrl Definid y Aplicciones ENLACES [W1] Págin we sore un rticulo que gnó el segundo premio en el "concurso de progrms eductivos pr ordendor", orgnizdo por el M.E.C. en el ño 199. Trt sore el progrm funciones pr windows, e incluye ejemplos gráficos. Este progrm es cpz de representr funciones, clculr los puntos de corte entre ells, hllr el áre que encierrn, etc. Un progrm muy completo, interesnte y fácil de mnejr. [W] Págin we con ejercicios sore todos los spectos que rc l integrción definid, desde ls funciones esclonds hst ls plicciones de ls integrles l cálculo de áres y volúmenes. L págin está estructurd en un guí de ejercicios, un enlce pr resolver integrles en líne (INTEGRATOR) y otros contenidos que trt. [W] Págin we con prolems resueltos sore l regl de Brrow y áre jo un función. [W4] Págin we de l enciclopedi de PlnetMth.org sore Integrl de Riemnn. Tmién se pueden uscr en otros conceptos como Prtición, etc. [W5] Págin we de Slvdor Ver Bllesteros, profesor del Deprtmento de mtemátics plicd de l universidd de Málg. Contiene prolems, exámenes y puntes sore l integrl definid y sus plicciones. [W6] Págin we que trt sore un curso de cálculo diferencil. Se introduce el concepto de áre en el cpitulo 4.. En el cpitulo 9. hl de l integrción y l ntiderivción. Hy teorí y ejercicios. [W7] Págin we del Deprtmento de mtemátics plicd de l Universidd Politécnic de Mdrid. Contiene ejercicios y exámenes sore integrción. [W8] Págin we que trt sore un curso de prendizje de Mthcd. Hy ejemplos sore funciones de vris vriles. [W9] Págin complet sore todo lo relciondo con ls mtemátics. Aprecen mtemáticos fmosos y plicciones de ls mtemátics diversos cmpos. Proyecto e-mth 19 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

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