SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

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1 págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4, 5,..., 9, 0}; o bie cuado por algua razó se tiee solamete al cojuto de los úmeros pares {, 4, 6, 8, 0,... } ; o quizás los oes {,, 5, 7, 9,... }, etc. De cualquier forma, existe siempre ua regla bajo la cual se forma el siguiete elemeto de la sucesió a partir del primero. E el caso del cojuto de los pares y tambié de los oes, la regla es sumar al último úmero formado. La primera parte del estudio de las sucesioes cosistirá e descubrir por simple ituició cuál es dicha regla. Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 7, 0,, 6, 9,, 5,... Solució: Puede verse fácilmete que cada úmero se forma sumado al que le precede, por lo que esa es la regla. Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió:, 4, 9, 6, 5, 6, 49,... Solució: E este ejemplo la sucesió está formada por los cuadrados de cada úmero atural. Ejemplo : Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 8, 4,,,,,,

2 págia 06 Solució: Aquí cada úmero correspode a la mitad del que le atecede. Esa es la regla. Ejemplo 4: Ivestigar la regla de formació de la siguiete sucesió: 4 4 5,,,,, Solució: E este caso cada umerador correspode a la sucesió de los úmeros aturales mietras que los deomiadores so los cuadrados de,, 4, 5, 6, etc.. ELEMENTO GENERAL DE LA SUCESIÓN El siguiete paso e el estudio de las sucesioes es ecotrar ua maera de escribir matemáticamete la regla de formació de ua sucesió determiada, ua vez que por ituició, como se hizo e el tema aterior, se descubrió ésta. A dicha fórmula se le llama elemeto geeral de la sucesió, ya que a partir de él se puede formar uo por uo todos los demás elemetos. El elemeto geeral de la sucesió debe ser ua fució de, e dode solamete puede tomar valores eteros positivos, de tal maera que cuado se le dé el valor de, al sustituir e la fórmula se obtega el primer elemeto; que cuado, al sustituir e la fórmula se obtega el segudo elemeto; que cuado, al sustituir e la fórmula se obtega el tercer elemeto; y así sucesivamete. Para obteer el elemeto geeral cuado la regla de formació de la sucesió es sumar ua catidad fija, basta seguir estos dos pasos: a) Poer como coeficiete de a esa catidad que se suma; b) agregar u segudo térmio idepediete de, llamado desplazamieto, que es la catidad que hace falta sumar al primer térmio de la fórmula para que cuado se obtega el primer elemeto. Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: 5, 7, 9,,, 5,... Solució: Se trata de los úmero oes a partir del 5, lo que sigifica que la regla de formació de esta sucesió es sumar. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es.

3 págia 07 Para ecotrar el segudo térmio de la fórmula buscada, o sea el desplazamieto, basta hacer e, lo que da () y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar al resultado obteido e () para llegar al 5 (primer elemeto), el cual es el desplazamieto. Por lo tato, el elemeto geeral es a + COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a () + 5 primer elemeto a () + 7 segudo elemeto a () + 9 tercer elemeto 4 a 4 (4) + cuarto elemeto 5 a 5 (5) + quito elemeto Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: 9,, 5, 8,, 4... Solució: La regla de formació de esta sucesió es sumar. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es. Para ecotrar el segudo térmio de esta fórmula, o sea el desplazamieto, basta hacer e lo que da () y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el 9. La coclusió es que hay que sumar 6 al resultado obteido e () para llegar al 9 (primer elemeto). COMPROBACIÓN: Por lo tato, el elemeto geeral es a + 6 para se obtiee que es el a () primer elemeto a () + 6 segudo elemeto a () tercer elemeto 4 a 4 (4) cuarto elemeto 5 a 5 (5) + 6 quito elemeto

4 págia 08 Ejemplo : Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: -,, 5, 9,, 7... Solució: La regla de formació de esta sucesió es sumar 4. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es 4. Para ecotrar el segudo térmio de esta fórmula, o sea el desplazamieto, basta hacer e 4, lo que da 4() 4 y comparar co el primer elemeto de la sucesió dada que es el -. La coclusió es que hay que restar - 7 al resultado obteido e 4() para llegar al - (primer elemeto). Por lo tato, el elemeto geeral es a 4 7 COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a 4() primer elemeto a 4() - 7 segudo elemeto a 4() tercer elemeto 4 a 4 4(4) cuarto elemeto 5 a 5 4(5) - 7 quito elemeto Ejemplo 4: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: ,,,,, Solució: La regla de formació del umerador de esta sucesió es sumar 0. Por lo tato, el primer térmio de la fórmula es 0. Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el umerador, basta sustituir e 0, lo que resulta 0() 0 y comparar co el umerador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 8. La coclusió es que hay que restar al resultado obteido e 0() para llegar al 8 (primer elemeto). Por lo tato, el elemeto geeral del umerador es 0 -. Por su parte, el deomiador está formado por los úmeros aturales a partir del 5, que equivale a sumar. El primer térmio del deomiador es etoces.

5 págia 09 Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el deomiador, basta sustituir e, lo que resulta y comparar co el deomiador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar 4 al resultado obteido. Por lo tato, el elemeto geeral del deomiador es + 4. De maera que el elemeto geeral de la sucesió dada es a COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a 0() a 0( ) a 0( ) a 4 0( 4) a 5 0( 5) primer elemeto segudo elemeto tercer elemeto cuarto elemeto quito elemeto Ejemplo 5: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió: ,,,,, Solució: La regla de formació del umerador de esta sucesió so los cuadrados de los úmeros aturales a partir del, o sea existe u desplazamieto de +. Por lo tato, la fórmula del umerador es ( + ). Por su parte, el deomiador está formado por los úmeros oes a partir del 5, que equivale a sumar. El primer térmio del deomiador es etoces.

6 págia 0 Para ecotrar el desplazamieto, o sea el segudo térmio de la fórmula e el deomiador, basta sustituir e, lo que resulta () y comparar co el deomiador del primer elemeto de la sucesió dada que es el 5. La coclusió es que hay que sumar al resultado obteido. Por lo tato, el elemeto geeral del deomiador es + De maera que el elemeto geeral de la sucesió dada es a ( + ) + COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el ( + ) a () primer elemeto ( + ) a ( ) segudo elemeto ( + ) a ( ) tercer elemeto ( 4 + ) 4 a 4 4 ( ) + 6 cuarto elemeto ( 5 + ) 5 a 5 5 ( ) + 49 quito elemeto Ejemplo 6: Deducir la fórmula del elemeto geeral de la siguiete sucesió:,, 4, 8, 6,, 64,... Solució: La regla de formació de esta sucesió es multiplicar por. E casos así e los que e vez de sumar ua catidad fija, se multiplica, el primer térmio está formado por dicha catidad elevada a la potecia y el desplazamieto debe localizarse e el mismo expoete.

7 págia De maera que, segú la regla aterior, el elemeto geeral sería, pero como cuado se obtiee, se ve que hay u desplazamieto de u elemeto hacia adelate; e otras palabras, es ecesario regresar uo. Por lo tato, la fórmula del elemeto geeral es a -. COMPROBACIÓN: para se obtiee que es el a - 0 primer elemeto a - segudo elemeto a - 4 tercer elemeto 4 a cuarto elemeto 5 a quito elemeto EJERCICIO Deducir la fórmula de elemeto geeral de las siguietes sucesioes: ) ,,,,,, ) 7, 0,, 6, 9,, 5, 8,... ) - 8, - 4, 0, 4, 8,, 6, 0,... 4) 00, 95, 90, 85, 80, 75, 70, 65,... 5) 5, 50, 49, 48, 47, 46, 45, 44,...

8 págia 6), 5, -, - 7, -, - 9, - 5, -,... 7) ,,,,,, ) ,,,,,, ) ,,,,,, ) ,,,,,, ) 7 7 7,,,,,, ) -, 4, - 8, 6, -, 64, - 8,... ) ,,,,, ) ,,,,,... 5) ,,,,, PROBLEMA INVERSO El problema iverso a lo estudiado e el tema aterior cosiste e que dada la fórmula del elemeto geeral de ua serie, a partir de ella se escriba los primeros k elemetos. Ejemplo : Escribir los primeros cico elemetos de la sucesió: Solució: a +

9 págia para se obtiee que es el a () + 5 primer elemeto a () + 8 segudo elemeto a () + tercer elemeto 4 a 4 (4) + 4 cuarto elemeto 5 a 5 (5) + 7 quito elemeto Por lo tato, los cico primeros elemetos so: 5, 8,, 4, 7,... Ejemplo : Escribir los primeros seis elemetos de la sucesió: Solució: a 7 para se obtiee que es el ( ) a ( ) a 7 5 primer elemeto 7 segudo elemeto a a a a ( ) 7 tercer elemeto 9 ( ) 4 7 cuarto elemeto ( ) 5 7 quito elemeto ( ) sexto elemeto 6 6 6

10 págia 4 Por lo tato, los seis primeros elemetos so: 5 5,,,,,, Ejemplo : Escribir los primeros tres elemetos de la sucesió: a Solució: para se obtiee que es el a a a 9 primer elemeto segudo elemeto tercer elemeto Por lo tato, los tres primeros elemetos so: 9,,,... Que tambié se puede escribir así: 0,,,...

11 págia 5 EJERCICIO Escribir los primeros cico elemetos de las sucesioes: ) a ( ) ) 4 a ( )( + 4) + ) a + 4) a ) a + ( ) 6) a ( ) ( + ) 7) a ( ) ( + ) 8) a ( ) ( + 4) 9) a.4 SERIES Las sucesioes vistas como sucesioes ada más, o sirve realmete para ada, o aporta ada e la resolució de problemas; si acaso su úica utilidad es el ejercicio metal que co ellas se puede realizar, como lo fue e los ejercicios ateriores. Cuado los elemetos de ua sucesió se suma se covierte e series y es allí e dode aparece lo verdaderamete utilizable desde el puto de vista matemático. Se podría decir que para o tratar co desprecio a las sucesioes, puede afirmarse que éstas so las madres de las series porque a partir de las sucesioes se forma las series. Ua serie es la suma de los elemetos de ua sucesió. Como e Álgebra u térmio es cada catidad que se está sumado, etoces e ua serie, e vez de elemetos habrá térmios. Es icorrecto e ua sucesió llamarles "térmios" a los elemetos porque éstos o se está sumado, e cambio, e ua serie sí so estrictamete térmios. Las series puede ser fiitas o ifiitas. Cuado se trata de series ifiitas, para idicar que cotiúa así idefiidamete se escribe putos suspesivos.

12 págia 6 Ejemplos de series fiitas so las siguietes: ) ) ) Ejemplos de series ifiitas so las siguietes: 4) ) ) Como ua serie es la suma de los elemetos de ua sucesió, etoces las reglas vistas ateriormete para las sucesioes so aplicables a las series co la úica diferecia que debe hacerse la suma. Es decir, si e las sucesioes existe la fórmula del elemeto geeral que es el que da la regla de formació, e las series es lo mismo, solamete que se llama térmio geeral. E ua serie, se defie la suma de los primeros térmios como s. Por ejemplo, e la serie defiida por el térmio geeral a 4 + 5, se tiee que la suma de los dos primeros térmios es s 9 + la suma de los cuatro primeros térmios es s la suma de los seis primeros térmios es s y así sucesivamete..4. SUMATORIAS Como ua serie es ua sumatoria de térmios, ésta se puede escribir co el símbolo uiversal de sumatoria e Matemáticas, o sea b a a que sigifica que se debe sumar los térmios que resulte desde que a hasta b, dode a y b so los úmeros defiidos que limita desde qué valor hasta qué otro valor deberá efectuarse la suma. Ejemplo : Efectuar la sumatoria 4 7

13 págia 7 Solució: Sigifica que debe sumarse los térmios que resulte haciedo hasta 4, esto es: para se obtiee que es el a 7() primer térmio a 7() - segudo térmio a 7() - 0 tercer térmio 4 a 4 7(4) - 7 cuarto térmio 4 de maera que Ejemplo : Efectuar la sumatoria 5 Solució: Sigifica que debe sumarse los térmios que resulte haciedo hasta 5, esto es: para se obtiee que es el a - () - primer térmio a - () - segudo térmio a - () 0 tercer térmio 4 a ()4 4 cuarto térmio 5 a ()5 0 quito térmio de maera que

14 págia 8 EJERCICIO Efectuar las sumatorias idicadas: 5 ) ) 4 ( + ) 6 ) 4) ) 6) ( + ) 7) 9 ( ) 8) 6 4 ( ) 9) 4 ( ) 0) 6 ( 5 ) ) 8 ( ) ) 5 4 ( + ) ) 4 ( )( + ) 4) 4 +

15 págia 9.4. FORMULA GENERAL DE UNA SERIE Las series, que como ya se dijo so la suma de los térmios que resulta de ua sucesió, tiee ua fórmula geeral co la cual se puede obteer la suma de los térmios idicados si ecesidad de efectuar la suma misma. E dicha fórmula, la se iterpreta de dos formas, segú se trate de la expresió escrita al lado izquierdo del sigo "igual" o de la escrita a la derecha, de la siguiete maera: cuado: e el lado izquierdo: e el lado derecho: se obtiee el primer térmio. se obtiee el segudo térmio. se obtiee el tercer térmio. se obtiee el resultado de la suma del primer térmio. se obtiee el resultado de la suma de los dos primeros térmios. se obtiee el resultado de la suma de los tres primeros térmios. y así sucesivamete. Por lo proto el alumo o debe preocuparse por saber de dóde o cómo se obtuvo dicha fórmula, sio de saberla aplicar coforme a los ejemplos que sigue. Ejemplo : Obteer la suma de los primeros 5 térmios de ( - ) Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio 5º, haciedo 5 e el térmio geeral ( - ), el cual es: (5) - 9. Es idispesable defiir e el lado izquierdo hasta qué úmero se desea sumar, es decir el último térmio de la suma que se quiere obteer su resultado, ya que de lo cotrario carecería de setido hablar del resultado de algo idefiido. Es el equivalete a decir ada más: "hay que sumar + + 5, etcétera. Siempre surgiría la preguta: Hasta dóde? La suma de los primeros quice térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 5 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que

16 págia 0 Nótese que e el lado izquierdo del segudo regló o debe poerse el valor de 5, de la siguiete maera: falso! Es falso, o e el setido de que doscietos veiticico o sea igual a doscietos veiticico, lo que es verdadero, sio e el setido de que e ese lado izquierdo o se realizó igua operació; simplemete se está afirmado que la suma de hasta + 9 es igual a 5. Poerlo sigifica que e el lado izquierdo se realizó la operació suma de cada térmio y eso es falso. Tambié obsérvese que debe poerse e cocreto el decimoquito térmio, e este caso el + 9, que se obtuvo de sustituir 5 e el térmio geeral - Ejemplo : Obteer la suma de los primeros 75 térmios de ( + ) Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio septuagésimo quito, haciedo 75 e el térmio geeral, el cual es 75. Es idispesable defiir e el lado izquierdo hasta qué úmero se desea sumar, es decir el último térmio de la suma que se quiere obteer su resultado, ya que de lo cotrario carecería de setido hablar del resultado de algo idefiido. Equivaldría a decir ada más: "hay que sumar + +, etcétera. Siempre surgiría la preguta: Hasta dóde?. La suma de los primeros seteta y cico térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 75 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que 75( 75 + ) Nótese que e el lado izquierdo NO debe poerse el valor de 850 de la siguiete maera: 75( 75 + ) falso! Es falso, o e el setido de que dos mil ochocietos cicueta o sea igual a dos mil ochocietos cicueta, lo que es verdadero, sio e el setido de que e ese lado izquierdo o se realizó igua operació; simplemete se está afirmado que la suma de hasta 75 es igual a 850. Poerlo sigifica que e el lado izquierdo se realizó la operació suma de cada térmio y eso es falso.

17 págia Tambié obsérvese que debe poerse e cocreto el septuagésimo quito térmio, e este caso el 75 que se obtuvo de sustituir 75 e el térmio geeral. Ejemplo : Obteer la suma de los primeros diez y seis térmios de Solució: Lo primero que debe defiirse es el último térmio del lado izquierdo, o sea el térmio 6º haciedo 6 e el térmio geeral, el cual es La suma de los primeros diez y seis térmios de la serie se obtiee aplicado la fórmula, co 6 e el lado derecho. Debe etederse que el objetivo de la fórmula es obteer el resultado de la suma si efectuarla, sobretodo cuado el úmero de térmios a sumarse es grade y resulta fastidioso hacer realmete la suma. De maera que

18 págia EJERCICIO 4 Obteer la suma de los primeros veite térmios de: ) ( + ) 4 ) ( + )( + ) ) ( + ) 4) ( ) 5) ) ( 7 - ) 7) (5-7) 8) ( + ) + 9)

19 págia.5 PROGRESIONES U caso particular de series de mucha aplicació práctica es el de las llamadas progresioes, de las cuales se estudiará e este curso solamete las progresioes aritméticas y las progresioes geométricas..5. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Ua progresió aritmética (p.a.) es aquella e la que cada térmio, después del primero, se forma sumado ua catidad fija al térmio precedete. A dicha catidad fija se le llama diferecia. Ejemplos de progresioes aritméticas so los siguietes: * (diferecia: + 6 ) * (diferecia: - 0 ).5.. FÓRMULAS E las progresioes aritméticas existe cico variables: el primer térmio, el último térmio, el úmero de térmios, la diferecia y la suma de todos esos térmios. Coocidas tres de ellas se puede calcular las otras dos co la utilizació de las tres fórmulas que se deducirá a cotiuació: Sea: a primer térmio de la p.a. l último térmio de la p.a. úmero de térmios d diferecia de la p. a. s suma de los térmios. Etoces el primer térmio es a el segudo térmio es a + d el tercer térmio es a + d + d a + d el cuarto térmio es a + d + d a + d el quito térmio es a + d + d a + 4d y así sucesivamete. De maera que, cosiderado que se tiee térmios, el último térmio es l a+ ( - ) d ( ) La suma de los térmios viee dada por la fórmula

20 págia 4 s a + l ( ) ( ) o bie, sustituyedo () e (): s a+ ( - ) d ( ) Co esas fórmulas, coocidas tres de las cico variables, se puede calcular las otras dos. Ejemplo : Solució: El primer térmio de ua p.a. es y el último 58. Sabiedo que costa de 7 térmios, hallar la diferecia y la suma de esos 7 térmios. E esta caso se tiee coocidos a ; l 58 ; 7. Para obteer la diferecia d se utiliza la fórmula ( ): l a+ ( - ) d sustituyedo valores: 58 + (7 - )d d 6 6d 6 9 d 6 4 y para obteer la suma de esos diecisiete térmios, co la fórmula sustituyedo valores: s a + l ( ) 7 s + 58 s 680 ( ) Ejemplo : El primer térmio de ua p.a. es - y el último 45. Sabiedo que la suma de todos sus térmios es de 7, calcular el úmero de térmios de que costa dicha progresió y escribirla completa.

21 págia 5 Solució: E esta caso se tiee coocidos a - ; l 45 ; s 7. Para obteer el úmero de térmios de que costa se utiliza la fórmula: s a + l ( ) sustituyedo valores: ( 4 ) ( 45) y para escribir completa la progresió aritmética se requiere saber la diferecia. Calculádola co la fórmula sustituyedo valores: l a+ ( - ) d ( - )d d 48 d d 4 así que la p.a. completa referida es: Coviee comprobar co la calculadora que efectivamete la suma de todos estos térmios da el resultado obteido a través de la fórmula, o sea s 7. Ejemplo : solució: Para la p.a , calcular la suma de los primeros 0 térmios y el último térmio dicha progresió y escribirla completa. E esta caso se tiee coocidos a - 9 ; 0 ; d 5 (basta restar u térmio meos el aterior). Para obteer la suma de los primeros 0 térmios se utiliza la fórmula: s a+ ( - ) d sustituyedo: 0 s + [ ( 9) ( 0 ) 5]

22 págia 6 [ ( ) ] s s 5 ( ) s 5 Para calcular el último térmio se emplea la fórmula sustituyedo: l a+ ( - ) d l (0 - )5 l (9)5 l l 6 de maera que la progresió aritmética completa es Coviee comprobar co la calculadora que efectivamete la suma de todos estos térmios da el resultado obteido a través de la fórmula, o sea s 5. Ejemplo 4: Solució: Ua p.a. que costa de 4 térmios, comieza e - 6. Si la suma de sus 4 térmios es cero, calcular el último térmio y escribirla toda completa para explicarse por qué la suma da cero. E esta caso se tiee coocidos a - 6 ; 4 ; s 0. Para obteer el úmero de térmios de que costa, utiliza la fórmula: s a + l ( ) sustituyedo: ( 6 ) ( 6+ l) 0 6+l l 6 para escribir completa la p.a. se requiere saber la diferecia. Calculádola co la fórmula sustituyedo valores: l a+ ( - ) d

23 págia (4 - )d d 5 d d 4 así que la progresió aritmética completa es: Es fácil ver que la suma da cero, ya que es simétrica, es decir, para cada úmero positivo existe uo egativo que al sumarse se aula. Ejemplo 5: Ua progresió aritmética termia e. Si la suma de sus térmios es s 76 y la diferecia es d, calcular el primer térmio y el úmero de térmios de que costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos l ; s 76 ; d. Para obteer el primer térmio, se utiliza la fórmula: sustituyedo: s a + l ( ) 76 ( a + ) 5 ( a + ) (6.) Resulta ua ecuació co dos icógitas. Etoces, de acuerdo a la ley de las ecuacioes que dice que se ecesita tatas ecuacioes como icógitas se tega para que el sistema tega solució, se requiere dos ecuacioes. La seguda se obtiee, igual que la aterior, co otra de las fórmulas de progresioes aritméticas. De maera que empleado ahora la fórmula y sustituyedo: l a+ ( - ) d a + ( - ) a + - a 4 - (6.) Se tiee ya dos ecuacioes co dos icógitas, de maera que sustituyedo el valor de (6.) e la ecuació (6.), se obtiee que 5 (4 - + ) 5 (7 - ) 5 7 -

24 págia Se trata de ua ecuació de segudo grado que se resuelve co la fórmula de segudo grado: b b 4ac ± a ( )( ) ( ) 7 ± ± 7 ± 9 8 Como se obtuviero dos solucioes, sigifica que existe dos progresioes aritméticas que tiee como último térmio l, diferecia d y cuya suma es s 76. Efectivamete, esas dos progresioes aritméticas so: a) Para 9 El primer térmio, sustituyedo e la fórmula a + ( - ) d, es a + (9 - )() a + 8 a - 5 Por lo tato, la primera progresió es: cuya suma se puede obteer fácilmete sumado úicamete del + 6 hasta el +, ya que los demás térmios se aula por pares, ya que existe u - 5 y u + 5 que se aula, u - 4 y u + 4 que se aula, etc. Así que la suma se reduce a s que se puede obteer tambié co la fórmula

25 págia 9 s a + l ( ) s 9 + s 76 ( 5 ) b) Para 8 El primer térmio, sustituyedo e la fórmula a + ( - ) d, es a + (8 - )() a + 7 a 6 Por lo tato, la progresió es: cuya suma es la misma que e la caso aterior, es decir s Ejemplo 6: El cuarto térmio de ua p.a. es y el décimo es 5. Calcular la suma de los primeros térmios. Solució: Para resolver este problema existe dos métodos: método : Se basa e que cualquier parte o subcojuto de ua progresió aritmética es a su vez por sí misma ua progresió aritmética co la misma diferecia d que la total. Por ejemplo, de la p.a , el subcojuto es por sí misma ua progresió aritmética co la misma diferecia d que la origial. De tal maera que si el cuarto térmio de ua p.a. es y el décimo es 5, puede cosiderarse este segmeto como ua p.a. por sí misma, o sea, como si el primer térmio fuera a y el último l 5, co 7 térmios. A partir de ellos puede obteerse su diferecia, que es la misma de la p.a. origial. De maera que utilizado la fórmula sustituyedo valores: a + ( - )d 5 + (7 - )d 5 + 6d 6d d

26 págia 0 Ahora cosiderado el subcojuto que va del primero al cuarto térmio, se tiee que 4, y d, co lo que puede calcularse su primer térmio co la fórmula sustituyedo valores: a + ( - )d a + ( 4 ) a + a Este primer térmio tambié es el primer térmio de la p.a. origial, de maera que e este mometo ya se tiee los siguietes datos sobre la p.a. origial: a d de maera que para obteer la suma de esos primeros térmios se emplea la fórmula y sustituyedo valores: s a + ( - ) d s ( ) ( ) + s 4 ( ) + s 5 método : Se basa e la defiició de cada térmio, o sea que

27 págia el primer térmio es el segudo térmio es el tercer térmio es el cuarto térmio es el quito térmio es a a + d a + d a + d a + 4d etc., de tal maera que el cuarto térmio es y el décimo térmio es a + d (6.) a + 9d 5 (6.4) de maera que se tiee dos ecuacioes co dos icógitas a + d (6.) a + 9d 5 (6.4) por suma y resta, cambiádole de sigo a la primera ecuació se obtiee - a + d - a + 9 d 5 6 d d sustituyedo e la ecuació (6.) : a + a + a la suma de los primeros trece térmios, co a, d y, se obtiee co la fórmula y sustituyedo valores: s a + ( - ) d

28 págia s ( ) ( ) + s 4 ( ) + s 5 EJERCICIO 5 E los siguietes problemas, calcular las dos variables que falta. ) a 4 ; 5 ; 0 ) a ; 6 ; s 45 ) a - 6 ; ; d 4) a - 4 ; 7 ; s 5) a 4 ; ; d 6) a ; s ; d 7) 0 ; ; s 8) - ; 7 ; 9) ; s ; d d 0) ; s 44 ; d ) El segudo térmio de ua p.a es 0 y el octavo es 44, Obteer la suma de los primeros catorce térmios de dicha progresió. ) El tercer térmio de ua p.a es y el sexto es 5, Obteer la suma de los primeros doce térmios de dicha progresió. ) El tercer térmio de ua p.a es 7 y el udécimo es 0, Obteer la suma de los primeros veite térmios de dicha progresió.

29 págia.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Lo iteresate de las progresioes está e las aplicacioes que tiee a problemas prácticos. Dado u problema, el procedimieto que debe seguirse para resolverlo es bastate secillo, pues basta idetificar los datos del euciado y asigarlos a la variable que le correspode; dicho de otra forma, se trata de trasformar los datos y la preguta del problema dados co palabras, ya sea e el primer térmio de ua progresió aritmética, o e el último, o e la suma, o e la diferecia o e el úmero de térmios, para después aplicar la fórmula correspodiete, coforme a la preguta. Al fial, es idispesable cotestar la preguta co palabras. Ejemplo : Solució: U obrero comieza a trabajar co u salario de $ al mes durate el primer año, co el coveio de que recibirá u aumeto aual de $ Cuál será su sueldo al cabo de 7 años de servicio? Se tiee los siguietes datos: a 500 ; 7 y d 65, mietras que lo que se preguta se trata del último térmio de ua p.a. De maera que co la fórmula ( ) l a + d sustituyedo valores: (7 - )(65) (65) Al cabo de siete años su sueldo será de $ Ejemplo : Ua pelota rueda sobre u plao icliado y recorre dos metros durate el primer segudo. E cada segudo posterior recorre.5 metros más que e el segudo imediato aterior. Qué distacia habrá recorrido durate los primeros seis segudos? Solució: Se tiee los siguietes datos: a ; 6 y d.5, mietras que lo que se preguta se trata de la suma de los primeros seis térmios de ua p.a. De maera que co la fórmula s a + ( ) d sustituyedo valores: 6 s ( ) + ( 6 )(. 5 ) ( ) ( ) s s ( ) s 64.5

30 págia 4 Al cabo de seis segudos habrá recorrido ua distacia de 64.5 metros. Ejemplo : Se acomoda 85 postes e forma piramidal, colocado postes e la hilera del piso; luego e la siguiete y así sucesivamete. De cuátas hileras costa el arreglo y cuátos postes tiee la hilera de hasta arriba? Solució: Si se cosidera a la fila del piso como el primer térmio de la progresió aritmética, se tiee los siguietes datos: a ; s 85 y d -, mietras que lo que se preguta se trata del úmero de térmios de la p.a. (las filas) y del último térmio (el úmero de postes de la fila de arriba). De maera que co la fórmula s a + ( ) d la variable represeta el úmero de filas; así que sustituyedo valores: 85 ( ) + ( )( ) [ ] (7 - ) ( ) Se trata de ua ecuació de segudo grado que se resuelve co la fórmula geeral, obteiédose dos solucioes: ± a b b 4ac

31 págia 5 ± ( )( ) ( ) ± ± y la seguda solució es Para deducir cuál de las dos solucioes de la ecuació de segudo grado resuelta es la que correspode, como es el úmero de filas del arreglo de los postes, basta aalizar co cada uo de los valores e iterpretarlo. Para 7, es decir, si se supoe que existe 7 filas, como la primera (la del piso) tiee postes, la siguiete tiee uo meos y así sucesivamete, a lo más que se puede llegar es hasta la décima tercera fila que tedría u solo poste. Por lo tato, como o puede ser que 7, el valor buscado es el otro, o sea 0. Hay 0 filas. El último térmio (el úmero de postes de la fila de arriba) se obtiee co la fórmula sustituyedo: ( ) l a + d + (0 - )(- ) Las respuestas a las pregutas so: El arreglo costa de 0 filas y e la fila de arriba se acomodaro 4 postes.

32 págia 6 Ejemplo 4: Solució: Ua persoa debe pagar ua deuda de $ 00 e pagos mesuales durate u año, a codició de que cada mes pague $0.00 más que la vez aterior. Cuáto debe pagar la primera vez? Se tiee los siguietes datos: s 00 ; y d 0, mietras que lo que se preguta se trata del primer térmio de ua p.a. De maera que co la fórmula s a + ( ) d sustituyedo valores: 00 a + ( )( 0) 00 6 (a + 0 ) 00 a a + 0 a 50-0 a 40 a 0 La respuesta a la preguta es: El primer pago debe ser de $ 0.00 COMPROBACIÓN: Los doce pagos mesuales so: EJERCICIO 6 ) Ua persoa que ahorra sistemáticamete deposita cierta catidad de diero e su alcacía; luego, al mes siguiete deposita $ más que la vez aterior, y así sucesivamete durate seis veces e total, hasta acumular $ Cuál fue la primera catidad que depositó? Nota: Etiédase por seis veces las accioes de ir a depositar diero a la alcacía, la que icluye la primera vez.

33 págia 7 ) Ua persoa tiee que depositar iicialmete e su alcacía $ ; a la siguiete semaa tiee que depositar la misma catidad más algo adicioal (fijo), y así sucesivamete durate 9 veces. Cuáto es lo que debe añadir cada vez al depósito aterior para que al cabo de esas ueve ocasioes tega acumulados $ ? ) Se deja caer u objeto desde u aeroplao y durate el primer segudo cae 9.8 metros. Durate cada segudo posterior cae 9.8 metros más que e el segudo aterior. Si tarda siete segudos e llegar al piso, a qué altura se ecotraba el aeroplao? 4) Se deja caer u objeto desde u aeroplao y durate el primer segudo cae 9.8 metros. Durate cada segudo posterior cae 9.8 metros más que e el segudo aterior. Cuátos metros recorrerá durate los primeros 6 segudos? 5) U saco que cotiee 00 libras de grao tiee u pequeño orificio e el fodo que cada vez se hace más grade. El primer miuto sale / de oza y de allí e adelate, e cada miuto siguiete se sale / de oza más que durate el miuto aterior. Cuátas libras de grao queda e el saco después de ua hora? Nota: Ua libra tiee 6 ozas. 6) Ua deuda puede ser pagada e semaas pagado $5.00 la primera semaa, $8.00 la seguda semaa, $.00 la tercera semaa, y así sucesivamete. Hallar el importe de la deuda. 7) E el primer año de egocios, u hombre gaó $ y e el último gaó $ Si e cada año gaó $00.00 más que e el año aterior, cuátos años tuvo el egocio? 8) Ua persoa deposita cada mes e el baco ua catidad igual al mes aterior más algo adicioal fijo. El quito mes depositó $08.00 y el oveo mes $ Cuáto tedrá depositado a los catorce meses? 9) Se ordea 49 postes e forma piramidal, como lo muestra la figura de abajo, colocado 0 postes e la parte iferior (primera hilera) y e los huecos la siguiete hilera (uo meos). De cuátos postes se compoe la hilera de arriba? 0)Se ordea 95 postes e forma piramidal, como lo muestra la figura aterior. Si la 5ª hilera (cotado de arriba hacia abajo) tiee postes y la 0ª hilera tiee 8, Cuátas hileras hay? )Las pérdidas e cico años de ua casa de comercio está e progresió aritmética. El último año perdió $ y la pérdida de cada año fue de $00.00 meos que el año aterior. Cuáto perdió el primer año? )Las gaacias e tres años de u almacé está e p.a. Si el primer año gaó $ y el tercer año gaó $ , Cuál fue la gaacia del º año?

34 págia 8.5. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Ua progresió Geométrica (p.g.) es aquella e la que cada térmio, después del primero, se forma multiplicado ua catidad fija al térmio precedete. A dicha catidad fija se le llama razó. Ejemplos de progresioes geométricas so los siguietes: * (razó: + ) * (razó: ) FÓRMULAS E las progresioes geométricas, igual que e las aritméticas, existe cico variables: el primer térmio, el último térmio, el úmero de térmios, la razó y la suma de todos esos térmios. Coocidas tres de ellas se puede calcular las otras dos co la utilizació de ua de las tres fórmulas que se deducirá a cotiuació: Sea: a primer térmio de la p.g. último térmio de la p.g. úmero de térmios r razó de la p. g. s suma de los térmios. Etoces, el primer térmio es a el segudo térmio es ar el tercer térmio es (ar)r ar el cuarto térmio es (ar )r ar el quito térmio es (ar )r ar 4 y así sucesivamete. De maera que, cosiderado que se tiee térmios, el último térmio es l ar (5) La suma de los térmios viee dada por la fórmula s a ar r para r (6)

35 págia 9 o bie s l a r r para r (7) Co esas fórmulas, coocidas tres de las cico variables, se puede calcular las otras dos. Ejemplo : El primer térmio de ua p.g. es 6 y el último 8. Sabiedo que costa de 5 térmios, hallar la razó y la suma de esos 5 térmios. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 6 ; 8 ; 5. Para obteer la razó r se utiliza la fórmula (5): sustituyedo: - l ar 8 6 r 8 6 r 8 6 r 4 (5 - ) 4 r r ± y para obteer la suma de esos cico térmios, co la fórmula s l a r r sustituyedo valores: s s

36 págia 40 s s COMPROBACIÓN: Los cico térmios de la p.g. so: Primer térmio: 6 segudo térmio: ( 6 ) tercer térmio: ( 4 ) cuarto térmio: ( 6 ) quito térmio: ( 54 ) Así que la p.g. y su suma es: Ejemplo : El último térmio de ua p.g. es 9. y la razó r -. Obteer el primer térmio sabiedo que costa de 7 térmios. Calcular la suma. Solució: E esta caso se tiee coocidos 9 ; r - ; 7. Para obteer el úmero de térmios de que costa se utiliza la fórmula: sustituyedo: - l ar 9 a (- ) 7-9 a (- ) a a a 9 64 La suma se obtiee utilizado la fórmula

37 págia 4 s l a r r sustituyedo valores: s s ( ) ( ) ( ) s 9 COMPROBACIÓN: El primer térmio es el segudo térmio es ( - ) - 6 el tercer térmio es - 6 ( - ) el cuarto térmio es ( - ) - 4 el quito térmio es - 4 ( - ) 48 el sexto térmio es 48 ( - ) - 96 el séptimo térmio es - 96 ( - ) 9 así que la p.g. completa referida es: Ejemplo : El primer térmio de ua progresió geométrica es 7, el último térmio es y la razó es r 0;. obteer la suma de esos térmios y determiar de cuátos térmios costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 7 ; ; r 0.. Para obteer la suma utiliza la fórmula: s a rl r sustituyedo: s ( ) s Para calcular el úmero de térmios debe emplearse la fórmula - l ar

38 págia 4 o bie s a ar r E cualquiera de los dos casos la icógita es que aparece como expoete. Para despejarla después de hacer sustitucioes es ecesario utilizar logaritmos. E caso ecesario, e el apédice se ecuetra u repaso de logaritmos. Utilizado la primera de estas fórmulas: - l ar (0.) Por la ley de las igualdades, aplicado logaritmos e ambos lados se obtiee: log log 0. - Y por las propiedades de los logaritmos, pasado el expoete del argumeto como coeficiete del logaritmo: despejado: log ( - ) log 0. log log Ejemplo 4: La razó e ua progresió geométrica es r 0., el primer térmio es 5 y la suma es s ; determiar de cuátos térmios costa. Solució: E esta caso se tiee coocidos a 5 ; r 0. y s Para obteer el úmero de térmios se utiliza la fórmula:

39 págia 4 s a ar r sustituyedo valores: (. ) ( - 0.)( ) 5-5 (0.) (0.) (0.) (0.) Por la ley de las igualdades, aplicado logaritmos e ambos lados se obtiee: log log 0. Y por las propiedades de los logaritmos, pasado el expoete del argumeto como coeficiete del logaritmo: despejado: log log 0. 6 log log 0. Cotestado la preguta: Costa de seis térmios la p.g.

40 págia 44 EJERCICIO 7 E los siguietes problemas, calcular las dos variables que falta( ) a ; ; 8 ) a ; s 8 ; 9 ) a ; - ; r - 4) a 765 ; r ; s 56 5) a 8000 ; ; s ) 04 ; s 68 ; r ) r ; 8 ; s PROBLEMAS DE APLICACIÓN Como se dijo e las progresioes aritméticas, lo iteresate de las progresioes está e las aplicacioes que tiee a problemas prácticos. Dado u problema, el procedimieto que debe seguirse para resolverlo es bastate secillo pues basta idetificar los datos del euciado y asigarlos a la variable que le correspode; dicho de otra forma, se trata de trasformar los datos y la preguta dados co palabras del problema ya sea e el primer térmio de ua progresió geométrica, o e el último, o e la suma, o e la razó, o e el úmero de térmios, para después aplicar la fórmula correspodiete, coforme a la preguta. Al fial, es idispesable cotestar la preguta co palabras. A diferecia de los problemas de aplicació de las progresioes aritméticas, e las geométricas e la mayoría de los problemas, o e todos, el úmero de térmios de que costa la progresió es uo más de lo que aparetemete so. Por otra parte, u caso muy iteresate es el que se refiere a los problemas de iterés compuesto, lo cual se detallará e los ejemplos correspodietes. Ejemplo : Ua persoa debe pagar ua deuda de $775.6 e seis mesualidades, a codició de que cada mes pague el 0% más que la vez aterior. Cuáto debe pagar la primera vez? Solució: Se tiee los siguietes datos: s ; 6 y r., mietras que lo que se preguta se trata del primer térmio de ua p.g. El total de la deuda es la suma de ua p.g., ya que ésta es la suma de lo que pague el primer mes, más lo que aboe el segudo mes, más el pago del tercer mes, etc. Por otro lado, la razó es. ya que si debe pagar 0% más que la vez aterior esto es lo que pagó la vez aterior (00%) más ese 0% que se pide, o sea es el 0%, que covertido a factor de multiplicació dividiédolo etre 00, resulta ese..

41 págia 45 De maera que co la fórmula s a ar r Sustituyedo valores: ( ) 6 a a.. a. 7756a a a a 000 Debe pagar $ la primera vez. COMPROBACIÓN: El primer pago debe ser de $ el segudo pago debe ser de ($ )(.) $ el tercer pago debe ser de ($ 00.00)(.) $ 0.00 el cuarto pago debe ser de ($ 0.00)(.) $.00 el quito pago debe ser de ($.00)(.) $ 464. el sexto pago debe ser de ($ 464.)(.) $ 60.5 TOTAL: $ Ejemplo : Las edades de seis persoas coicidirá detro de u año a ser el doble ua respecto de su imediata meor, de maera que la suma de todas las edades será 89. Cuál es la edad actual de cada ua de esas seis persoas? Solució: Se debe cosiderar iicialmete las edades que tedrá detro de u año, porque ese es el tiempo e que formará la progresió geométrica. Ua vez obteidas, la respuesta a la preguta será u año meos para cada persoa. Se tiee los siguietes datos: s 89 ; 6 y r, mietras que lo que se preguta, auque e forma implícita, es el primer térmio a para poder deducir las demás edades. Así que utilizado la fórmula s a ar r

42 págia 46 sustituyedo valores: a a ( ) 6 a 64a 6a 89 6a a Sigifica que la persoa más chica tedrá años detro de u año y las siguietes 6,, 4, 48 y 96 años. Pero eso será detro de u año. Como se pide las edades actuales, éstas so:, 5,, 47 y 95 años. Ejemplo : Ua persoa deposita $ e u baco que le paga el % de iterés mesual. Si reivierte los itereses, Cuál será su capital al cabo de u año? Solució: Obsérvese la siguiete tabla para comprobar que se trata de ua progresió geométrica: t (meses) INTERESES CAPITAL que se obtiee de multiplicar etcétera. Sigifica que al tiempo t 0, o sea al istate de depositar, se tiee e la cueta solamete los iiciales $ ; al cocluir el primer mes se geera los primeros itereses que equivale a $00. 00, los cuales sumados a los $ iiciales hace que al primer mes tega u capital de $ Obsérvese que al primer mes ya se tiee dos térmios de la p.g. Es decir, el úmero de térmios siempre va a ser uo más de los meses que geera itereses. La razó e casos de iterés compuesto se obtiee haciedo

43 págia 47 r + % de itereses 00 Co las ateriores cosideracioes, se tiee ua progresió geométrica co los siguietes datos: a 5000 ; r 0. y. El último térmio de la p.g. es el capital que tedrá al cabo de doce meses. Así que co la fórmula sustituyedo - l ar 5000 (.0) (.0) 5000 (.6847) 90.6 Así que tedrá u capital de $ Ejemplo 4: Solució: Ua persoa deposita $ e u baco que le paga el % de iterés bimestral. Si reivierte los itereses y además cada bimestre vuelve a depositar otros mil pesos, Cuál será su capital al cabo de u año? Como e el ejemplo aterior se trata de ua progresió geométrica, solamete que ahora su capital será la suma de la p.g. Co los datos a 000 ; r.0 y 7 (so seis bimestres al año, pero e la p.g. se añade u térmio más por el térmio iicial), co la fórmula s s s a ar r (. ) (. ) s Así que su capital al cabo de u año será de $ Ejemplo 5: Solució: U microorgaismo se reproduce por mitosis dividiédose e dos partes cada hora. Cuátos habrá al cabo de u día? Co los datos a ; r y 5 (so 4 horas al día, pero el istate iicial geera otro térmio e la p.g.), se busca el último térmio co la fórmula

44 págia 48 - l ar sustituyedo: () Habrá microorgaismos. Ejemplo 6: Solució: U isecto es capaz de reproducirse ua sola vez e su vida, teiedo exactamete dos crías; a su vez, las crías tambié puede reproducirse úicamete ua vez e su vida teiedo dos crías, y así sucesivamete. Si se reproduce cada semaa, Cuátos isectos habrá al cabo de diez semaas, supoiedo que iguo hubiera muerto? Co los datos a ; r y (so 0 semaas de reproducció, pero el istate iicial geera otro térmio e la p.g.), se busca la suma co la fórmula s a ar r s ( ) s 048 s 047 Habrá, pues, 047 isectos. Ejemplo 7: Ua pelota se suelta desde ua altura de metros y cada vez que llega al suelo rebota a / de la altura de la que descedió. Cuado lleva recorridos.5 metros e el aire, cuátas veces ha tocado el piso? figura. Solució: Obsérvese que el úmero de bajadas es igual al úmero de subidas, meos la bajada iicial. O sea, que la distacia que lleva recorrida d.5 metros es la suma correspodiete al doble de todas las bajadas. E otras palabras, si a la suma de distacias recorridas dadas d.5 se le suma la subida que o efectuó de y el resultado se divide etre dos, se obtiee la suma de las distacias recorridas de bajada (o de subida). Esto es

45 págia 49 d bajada d bajada. 875 Co los datos a ; s.875 y puede obteer co la fórmula r / se s a ar r ( 066. ) Aplicado logaritmos a ambos lados de la igualdad: log log

46 págia 50 y por las propiedades de los logaritmos, se obtiee que log log log log Así que e ese istate estará tocado el piso por quita vez. EJERCICIO 8 ) Ua persoa deposita $ el día primero de Eero y mil más el día primero de cada mes. Sabiedo que el baco le paga u iterés mesual del 4%, cuál será su capital para el día último de diciembre, si reivierte los itereses? Nota: debe cosiderarse el iterés del mes de diciembre tambié. ) Ua població de aimales de la misma especie, iicialmete u macho y ua hembra, se reproduce de maera que cada dos meses duplica la població. Cuátos aimales habrá al cabo de u año? ) Se suelta ua pelota desde ua altura de 6.56 metros de altura y ésta al rebotar sube / de la altura que descedió. Cuátos metros llevará recorridos cuado llegue al piso por cuarta ocasió? 4) Si al fial de cada año el valor de u vehículo es / de su valor al pricipio del año, ecuetre el valor de u automóvil de $ al fial de cuatro años. 5) La població de ua ciudad es de habitates. Cosiderado que cada 5 años la població aumeta 50% de lo que era al pricipio de esos 5 años, ecotrar la població al fial de 0 años. NOTA: Se debe eteder por "població" al úmero total de persoas que exista al mometo, elimiado ya los fallecidos y agregado a los acidos. 6) U recipiete de 0 litros es lleado co agua. Se retira u litro de agua y es reemplazado co alcohol. Ahora se retira u litro de la mezcla aterior y se vuelve a reemplazar co alcohol. Este proceso cotiúa hasta que se ha hecho 5 reemplazamietos. cuál es el porcetaje de alcohol e la Solució del recipiete al fial de la última operació? 7) U hombre que ahorra cada año lo / de lo que ahorró el año aterior, ahorró el quito año la catidad de $ Cuáto ha ahorrado e los 5 años? 8) Se compró u terreo e aboos a pagar del siguiete modo: $.00 el primer año; $.00 el segudo año; $9.00 el tercer año, y así sucesivamete. Cuáto costó el terreo si se debe pagar e quice años? 9) Qué catidad se debe ivertir al % de iterés compuesto aual para que después de años se tega mil pesos?

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