Análisis de correspondencias

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1 Análisis de orrespondenias Eliseo Martínez H. 1. Eleiones en París Hemos deidido presentar un legendario ejemplo para expliar el objetivo del Análisis de Correspondenia. Este ejemplo se enuentra en el libro Introdution a L Analyse des Données realizado bajo la direión de Georges Morlat et al., y uriosamente editado por la SOCIETE de MATHEMATIQUES APPLIQUES et de SCIENCES HUMAINES, 1976 Los resultados en París de una eleión presidenial se pueden resumir en una tabla de ontingenia on p ilas y q olumnas. distritos j andidatos i m ij El número entero m ij denota el número de votos obtenido en el distrito j por el andidato i. Se onsidera aquí: tres onjuntos: el onjunto I de los andidatos; el onjunto J de los distritos; el onjunto K de los votantes dos araterístias ualitativas: el aráter andidato denotado por x; el aráter distrito denotado por y, donde los onjuntos de las modalidades son respetivamente I y J. La tabla de ontingenia desribe los eetos de las lases de la partiión induida sobre K por la apliaión K I J k (x(k),y(k)) = (i, j) en que a todo votante se asoia un andidato y un distrito. Nos interrogamos aquí: sobre el eletorado de los dierentes andidatos sobre el modo de votar en los dierentes distritos de París. Los andidatos i y i 0 son ellos eletoralmente omparables? 1

2 Los distritos j y j 0 están próximos en uanto a la destinaión de la papeleta del voto? Como podemos deduir en este ejemplo, el análisis de orrespondenia tiene omo objetivo dar respuesta a las dos interrogantes emanadas de este ejemplo, basada en la idea geométria de proximidad ya sea entre los andidatos o los distritos. Y las herramientas matemátias que elaboraremos se generarán de la tabla de ontingenia, y estableeremos una equivalenia on las omponentes prinipales y oordenadas prinipales para variables ualitativas. Por otro lado, una tabla de ontingenia está asoiada a las reuenias onjuntas de dos variables uantitativas, sin embargo, omo lo veremos en el próximo ejemplo, la ténia del análisis de orrespondenia se puede utilizar en otro tipo de tablas bidimensionales. 2. Presupuestos de los países Los presupuestos diseñados para dierentes países de la Europa pueden ser desritos en una tabla de p ilas y q olumnas. setores j países i m ij El número m ij es la antidad, expresada en millones de ranos 1, asignada al setor j por el país i omo presupuesto setorial. Nos interrogamos aquí: sobre la manera de estableer el presupuesto en los dierentes países, sobre la ontribuión de los países a los dierentes presupuestos setoriales. Dos estados i y i 0 son politiamente equivalentes en uanto a la asignaión de su presupuesto? Dos setores están próximos en uanto a las sumas asignadas por los dierentes estados? Nota: los números m ij no son en general enteros, pero haiendo un ambio adeuado de esala, se pueden onsiderar omo antidades enteras. Se onsidera aquí: - tres onjuntos: el onjunto de los países de Europa; el onjunto de los setores de prsupuesto para el estado; el onjunto K de ranos. - dos araterístias ualitativas: el aráter país denotado por x; el aráter setor 1 Si queremos atualizar el ejemplo, obtenido del mismo libro itado, deberíamos expresar el presupuesto en euros. 2

3 presupuestario denotado por y, donde los onjuntos de las modalidades son respétivamente I y J. Los valores de m ij, expresados en ranos, son los eetos de las lases de partidión induidas sobre K por la apliaión (x, y). En los dos ejemplos onsiderados, los elementos (i, j) del produto artesiano I J están asoiados a la masa m ij ; en eeto, si A es un subonjunto de I J paree lógio, tanto para el primero omo el segundo ejemplo, asoiar la masa: m(a) = X {m il / (i, j) A} donde m(a) representa por ejemplo la antidad en millones de ranos asignadas por Frania y Polonia a la investigaión y a la onstruión. En ambos asos, se ha asoiado al onjunto inito I J de p q elementos una medida positiva; en ambas situaiones el análisis (atorial) de orrespondenia es una ténia exelente: para preisar simultáneamente la proximidad entre elementos de I y entre elementos de J. para preisar la estrutura de dependenia entre los arateres ualitativos x e y. 3. Construión de una tabla de ontingenia Supongamos que queremos medir a una antidad de individuos o unidades muestrales dos araterìstias ualitativas, de tal menara que la primera araterístia puede asumir I valores, y la segunda araterístia puede asumir J valores, de tal manera que una unidad eventualmente puede tomar el par de valores dentro del onjunto I J. Para ijar ideas onsideremos una tradiional tabla de ontingenia presentada por Sir Ronald Fisher en 1940, que presenta la lasiiaión de 5387 esolares esoeses según su olor de pelo y olor de ojos. En este ejemplo los posibles valores para el olor de los ojos son {laros, azules, astaños, osuros}de manera que I =4, y para el olor del pelo tenemos los siguientes resultados {rubio, pelirrojo, astaño, osuro, negro} y en este aso J =5.Latabla de ontingenia elaborada por Fisher se entrega en la Tabla 1. Para deinir el olor de los ojos utilizaremos variables binarias on la siguiente odiiaión laros = (1, 0, 0, 0) azules = (0, 1, 0, 0) astaños = (0, 0, 1, 0) osuros = (0, 0, 0, 1) y on esto, entones, podemos onstruir una matriz binaria de dimensión , que llamaremos X a y uya ila indiará un determinado esolar y mediante sus olumnas de 3

4 manera unívoa determinará el olor de los ojos de tal esolar, esto es a modo de ejemplo X a = indiando on esto que el primer esolar tiene los ojos azules, el segundo esolar los tiene laros, el penúltimo esolar tiene los ojos astaños, y el último los tiene osuros. De manera similar odiiamos el olor del pelo mediante variables binarias omo sigue, rubio = (1, 0, 0, 0, 0) pelirrojo = (0, 1, 0, 0, 0) astaño = (0, 0, 1, 0, 0) osuro = (0, 0, 0, 1, 0) negro = (0, 0, 0, 0, 1) y así podemos generar una matriz X b de que entregará la inormaión de manera unívoa sobre el olor del pelo de ada uno de los esolares esoeses. Ahora si realizamos el produto X t a X b obtenemos esenialmente la Tabla 1, puesto que diho produto nos entregará la suma de todas las personas que tienen un determinado par de araterìstias. C. ojos Color del pelo rubio pelirrojo astaño osuro negro total laros azules astaños osuros total Tabla1 4. La matriz de reuenias ondiionadas por ilas R La matriz X t a X b,o en nuestro aso la matriz de la Tabla 2 se divide por el número n de asos observados, y de esta orma obtener la matriz de reuenias relativas F =( ij ) I J, donde ij es la reuenia relativa asoiada a la i ésima ila y j ésima olumna.. Entones IX JX ij =1 i=1 Desde el punto de vista de la teorìa de la probabilidad, la matriz F deine una probabilidad sobre el espaio I J de la manera siguiente P IJ {(i, j)} = ij (1) 4

5 uya interpretaión es elemental, por ejemplo de la distribuión de los esolares esoeses según el olor de los ojos y olor del pelo, la probabilidad de enontrar, entre esos 5387 esolares esoeses, un esolar on los ojos azules y el pelo negro es de P IJ {(2, 5)} = = Y además la probabilidad en (1) nos permite deinir dos tipos de probabilidades, a saber JX P J {i} = ij = i ; i I (2) P I {j} = IX ij = j ; j J (3) i=1 Interpretando estas probabilidades omo: P J es la probabilidad sobre el onjunto inito I (probabilidad marginal de I); y P I es la probabilidad sobre el onjunto J (probabilidad marginal de J). En el aso de nuestro ejemplo, sobre los esolares esoeses, la matriz F es obtenida de la siguiente tabla: C. ojos Color del pelo rubio pelirrojo astaño osuro negro laros azules astaños osuros Tabla 2 Haremos el análisis que sigue para las ilas I de la matriz F, no obstante el mismo análisis se puede etuar para las olumnas de F, será simétrio y equivalente toda vez que es arbitraria la eleión de ila y olumna asoiada a las dos variables ualitativas. LasilasdelamatrizF se deben onsiderar omo I puntos en el espaio R J.Yaligual que el análisis en omponentes prinipales vamos intentar representar estos I puntos en un espaio de dimensión inerior que nos permita apreiar sus distanias relativas, es deir se dará respuesta a la primera interrogante anuniada en los dos ejemplos preedentes. Debemos onsiderar dos tipos de inonvenientes en las ilas de la matriz F,queson: LasilasdelamatrizF, omo elementos de R J, no (siempre) tienen el mismo peso. A modo de ejemplo, podemos observar que las ilas de las reuenias de la Tabla 2 para los ojos laros y azules han sido generadas de universos sobre datos muy dispares donde los datos para los esolares de ojos laros supera largamente a los esolares esoeses de ojos azules. La distania eulídea omo una medida de proximidad no siempre es la más adeuada, por lo que presentaremos otro tipo de distania. 5

6 Cada ila de la matriz F, omo lo establae la euaión en (2), tiene asignada una medida o reuenia relativa, esta es i = P j ij, que se puede obtener matriialmente omo = F t 1 donde las entradas del vetor son preisamente los valores i. Luego podemos dar a ada ila un peso proporional a su reuenia relativa, de otra orma onsiderar sobre ada ila la distribuión ondiionada. Analítiamente, rearemos una matriz R =(r ij ) que tendrá las siguientes entradas: r ij = ij (4) i Y esta nueva matriz si que tendrá el mismo peso puesto que JX JX ij r ij = =1; i =1,...,I i Matriialmente R se orma omo sigue: R = D 1 F donde D = diag{ 1,..., I } es la matriz diagonal de orden I I uyos elementos sobre la diagonal son los elementos del vetor. Para nuestro ejemplo de los esolares esoeses la nueva tabla quedaría omo sigue: C. ojos Color del pelo rubio pelirrojo astaño osuro negro total laros azules astaños osuros Tabla 3 En lo que sigue se onstruirá sobre la matriz R una distania adeuada sobre sus ilas. 5. La matriz de reuenias estandarizada por olumna Y Cada ila r t i de la matriz R es un elemento del espaion RJ, y puesto que los elementos de esta ila suman 1, se tiene que el espaio generador de los vetores {r t i ; i =1,...,I} es de dimensión J 1. Ahora bien, nuestro objetivo entral es proyetar estos puntos en un espaio de dimensión menor de tal orma que estas proyeiones denunien la estrutura de proximidad entre los puntos (las ilas), es deir aquellos puntos que estén próximos se note geométriamente diha proximidad en el espaio de proyeión, y los puntos que estén alejados muestren su este alejamiento en sus proyeiones. Para este objetivo debemos deinir adeuadamente una distania entre los elementos ilas r t i y rt k. 6

7 Deinamos la siguiente distania uadrátia sobre las ilas de la matriz R JX D 2 (r ij r kj ) 2 (r i, r k )= j (5) Podemos notar que la distania deinida en (5) es esenialmente la distania uadrátia eulídea, donde ada dierenia entre las ilas es ponderada por las reuenias marginales de ada olumna. Esta ponderaión también obedee al heho de onsiderar el peso que puede otorgar el otro atributo que partiipa a través de las olumnas. De otra orma, la dierenia entre los atributos ilas será ponderada adeuadamente por ada atributo olumna, puesto que P j j =1. A la distania deinida en (5) se le llama distania χ 2 (ji-uadrado), y se alula matriialmente omo D 2 (r i, r k )=(r i r k ) t D 1 (r i r k ) donde D es la matriz diagonal de J J uyos elementos en la diagonal son los términos j. Notemos lo siguiente, Ã! JX D 2 (r ij r kj ) 2 2 JX r ij (r i, r k ) = p r kj p j j = j = Ã JX ij kj i p j i p j esta última igualdad en virtud de (4). De tal orma que la distania χ 2 no es más que la distania uadrátia eulídea esta vez sobre entre las ilas de la matriz Y de I J deinida por Ã! ij Y = i p j C. ojos Color del pelo! 2 rubio pelirrojo astaño osuro negro laros azules astaños osuros Tabla 4 La interpretaión que tienen las entradas de esta matriz es omo sigue. Las entradas de esta matriz representan las reuenias relativas ondiionadas por ilas, ij / i,peroestandarizadas por su variabilidad, representada por la raíz uadrada de la reuenia relativa de ada olumna, de esta orma las entradas de la matriz son omparables entre sí. En el ejemplo de los esolares esoeses, la matriz Y está dada en la Tabla 4. Podemos entones tratar a esta matriz omo una matriz de datos estándar de la manera 7

8 habitual, eso es que representa I observaiones on J variables de preguntas (en olumnas), y por lo tanto podemos intentar proyetar las observaiones en un espaio de dimensión menor de tal manera que se preserven las distanias existentes entre las observaiones (las ilas). Esto signiia enontrar una direión unitaria a t de tal orma que los puntos proyetados sobre esta direión Ya tengan variabilidad máxima. Si deinimos y p (a) =Ya el vetor direión a se enuentra maximizando y p (a) y y p (a) = a t Y t Ya sujeto a la ondiión a t a = 1, pero este problema es preisamente el álulo del omponente prinipal, de tal orma que el vetor a es el autovalor unitario de la matriz Y t Y asoiado al mayor autovalor de diha matriz. 6. La matriz estandarizada Z La unión que estamos maximizando tiene su armazón en la matriz Y, que hemos llamado de datos y onstruida e partir de la matriz de reuenias F. Sin embargo esta matriz Y le vamos a multipliar sus entradas por el ator i y así obtenemos una nueva matriz Z uyas entradas son ij z ij = p i j y de esta orma vamos a enontrar una direión a para proyetar los datos Y de tal mamnera que sea máxima la orma uadrátia a t Z t Za (6) on la ondiión a t a = 1. La maximizaión de (6) no es arbitraria puesto que a t Z t Za= a t D 1/2 F t D 1 a = a t Y t D Ya De orma tal que el operador D entrega mayor peso justamente a las ilas que tienen mayor reuenia relativa que tienen poa reuenia relativa en la matriz Y. En deinitiva la maximizaión de (6) entrega a ada ila un peso proporional al número de datos que ontiene. Ahora bien, sabemos que maximizar la expresión (6) signiia enontrar los omponentes prinipales de la matriz Z. Luego busamos entre los vetores propios, esto es Z t Za= λa on λ autovalor de Z t Z. En el aso de omponentes prinipales para matriz de datos uantitativos, el primer omponente era el autovalor unitario asoiado al mayor autovalor de la matriz obtenida por elprodutoentrelatraspuestadelamatrizdedatosylamatrizdedatos.estavez,estono será posible dada que la estrutura de Z ondue a que el mayor autovalor de Z t Z es el 1, y su autovetor asoiado D 1/2. Veamos la demostraión. Tenemos que 1/2 FD 8

9 multipliando por D 1/2 D 1/2 F t D 1 por la izquierda, 1/2 FD a = λa D 1 F t D 1 1/2 FD a = λ (D 1/2 a) Por otro lado las matries D 1 F y D 1 F t por onstruión satisaen lque D 1 1 F1= 1 ; D F t 1 = 1 y en onseuenia la matriz D 1 Luego haiendo (D 1/2 a uno, on vetor propio D 1/2 F t D 1 F tiene un autovalor 1 unido a un autovetor 1. a) =1 onluimos que la matriz Z t Z tiene un valor propio igual. Entones tenemos que obviar esta soluión trivial que no nos entrega inormai{on sobre la estrutura de las ilas, por lo tanto se hae neesario tomar el mayor valor propio menos a la unidad de la matriz Z t Z para determinar el vetor propio a, y entones proyetamos a la matriz Y sobre esta direión, esto es Ya = D 1 1/2 FD a y el vetor Ya es la mejor representaión de las ilas de la tabla de ontingenia en una dimensión. Análogamente, si extraemos el próximo autovetor asoiado al siguiente mayor autovalor obtenemos una segunda omponente, y así podemos representar las ilas en un espaio de dimensión dos. Las oordenadas C de la representaión de ada ila se obtienen de la siguiente orma C = YA 2 = D 1 1/2 FD A 2 donde A 2 = {a 1, a 2 } ontiene la olumna de los dos vetores propios de Z t Z. 9

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