Segmentación de imágenes y otros problemas singulares

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1 Segmentación de imágenes y otros problemas singulares Duvan Henao Manrique Facultad de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Chile XXIV Olimpiada Nacional de Matemáticas Sede Santiago Oriente, Campus San Joaquín 25 de agosto de 2012

2 Regularidad de una función y = 2,3 sen(3x/2)

3 Regularidad de una función y = 2x/ x

4 Regularidad de una función y = x

5 Regularidad de una función

6 Regularidad de una función

7 Regularidad de una función

8 Regularidad de una función

9 Regularidad de una función y = { x 2 5 2, x < 1 2 x 11 4, x 1 2 0,8-2,4-1,6-0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4-0,8-1,6-2,4

10 Regularidad de una función y = { x 2 5 2, x < 1 2 (x 11 4 )(1 + 0,7(x 1 2 )3 ), x ,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3-0,8-1,6-2,4-3,2

11 Raíces babilónicas α x α α x 1 2 ( ) x + α x (x n + αxn ) x 1 = α, x 2 = 1 2 (α + 1), x n+1 = 1 2

12 2 = 1, α x α α x x 1 = 2, ( ) x + α x x 2 = 1 2 (2 + 1) = 3 2 = 1, x 3 = 1 ( ) = = 1, x 4 = 1 ( ) = = 1, x 5 = 1 ( ) = 1,

13 Método de Newton Buscamos x tal que y 0 = f (x) a partir de una aproximación inicial x 0 tal que f (x 0 ) y 0

14 Método de Newton Buscamos x tal que y 0 = f (x) a partir de una aproximación inicial x 0 tal que f (x 0 ) y ,5 0 2,5 5-5

15 Método de Newton y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) x 1 = x f (x 0 ) (y 0 f (x 0 ))

16 Método de Newton, y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) x 1 = x f (x 0 ) (y 0 f (x 0 )) x 2 = x f (x 1 ) (y 0 f (x 1 )) x 3 = x f (x 2 ) (y 0 f (x 2 )).

17 Método de Newton, y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) x 1 = x f (x 0 ) (y 0 f (x 0 )) x 2 = x f (x 1 ) (y 0 f (x 1 )) x 3 = x f (x 2 ) (y 0 f (x 2 )). Convergencia x n+1 x C x n x 2 x n x 2 n2

18 Singularidades Método de Newton, y = f (x),

19 Singularidades Método de Newton, y = f (x), f C 1,

20 Singularidades Método de Newton, y = f (x), f C 1, f C 2

21 Singularidades Método de Newton, y = f (x), f C 1, f C 2 no todas las funciones son regulares...

22 Singularidades Método de Newton, y = f (x), f C 1, f C 2 no todas las funciones son regulares... Bolzano, Weierstrass: existen funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte

23 Singularidades Método de Newton, y = f (x), f C 1, f C 2 no todas las funciones son regulares... Bolzano, Weierstrass: existen funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte Banach: en el conjunto de las funciones continuas, el subconjunto de las que son diferenciables en al menos algún punto no es denso en ninguna parte

24 Singularidades

25 Movimiento Browniano

26 Análisis multifractal

27 Singularidades Singularidades en problemas de optimización

28 Singularidades Singularidades en problemas de optimización Qué problemas de optimización?

29 Optimización mín f (h, r) (r,h) A f (r, h) = 2πr 2 α + 2πrhβ A = {(h, r) R 2 : h > 0, r > 0, πr 2 h = 330ml}

30 Problemas infinito-dimensionales Ruta más corta entre dos puntos

31 Problemas infinito-dimensionales Ruta más corta entre dos puntos mín 1 0 x (s) 2 + y (s) 2 + z (s) 2 ds

32 Problemas infinito-dimensionales Ruta más corta entre dos puntos mín 1 0 x (s) 2 + y (s) 2 + z (s) 2 ds Distancia más corta de un lugar a otro

33 Problemas infinito-dimensionales Ruta más corta entre dos puntos mín 1 0 x (s) 2 + y (s) 2 + z (s) 2 ds Distancia más corta de un lugar a otro Qué forma debe tener un puente de modo que resista el pasar de la mayor cantidad posible de autos usando la menor cantidad de material posible? Asignación de tareas en el sector eléctrico

34 Problemas infinito-dimensionales Superficies mínimas mín x:d R 3 D x u x v du dv

35 Singularidades infinito-dimensionales x 2 2 ( x x u v 2 2 u x ) 2 x u u v + x 2 2 x v u 2 x u x v

36 Fenómeno de Laurentiev 1 [ mín (x 4 u 6 (x)) 2 u (x) 27 + ε u 2] dx u:[ 1,1] [ 1,1] 1 1 0,5-1 -0,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1-0,5-1

37 Segmentación de imágenes Chen & Pappas 2006

38 AP Segmentación Domain discretization de imágenes Parameter distribution We propose a non-uniform distribution for The domain of analysis (biventricular domain) time and is itsobtained relation with fromapd from empir magnetic-resonance images. Material 1, Kotikanyadanam et al., Hurtado & Kuhl 2012

39 Segmentación de imágenes Localización de tumores Medir volúmenes de tejidos Cirugía guíada por computador Identificación de objetos en imágenes satelitales (caminos, bosques, etc.) Reconocimiento de rostros, íris, huellas dactilares Reconocimiento de la patente de un auto Restauración de imágenes

40 Segmentación de imágenes mín u 2 dx + αh N1 (K Ω) + β u g 2 dx (u,k) Ω\K Ω mín (v 2 + ( ) (1 v) ε) u α + ε v 2 + β u g 2 (u,v) Ω Ω 4ε Ω

41 Fractura variacional mín W (e( u)) dx + αh N 1 (K Ω) u SBV (Ω;R N ) Ω\K S u K

42 Cavitación en poĺımeros Hydroxyl-terminated polybutadiene (HTPB) Cortesía de Robert Nevière, SNPE Matériaux Energétiques, Centre de Recherches du Bouchet, France

43 Fractura por coalescencia de cavidades N. Petrinic, J. L. Curiel Sosa, C. R. Siviour, B. C. F. Elliot: Improved Predictive Modelling of Strain Localisation and Ductile Fracture in a Ti-64Al-4V Alloy Subjected to Impact Loading. J. Phys. IV France 134 (2006),

44 Cavitación variacional [ µ ( mín u 2 log det u ) + λ ] u W 1,p (Ω;R 3 ) Ω 2 2 (det u 1)2 dx [Petrinic et al. 06] [Xu & H. 11] [Lian & Li, 12]

45 Cristales ĺıquidos

46 Texturas de Schileren

47 Landau-de Gennes Distorsión espacial + potencial de energía termotrópica Ω L 2 Q 2 + α(t T ) trq 2 b2 2 3 trq3 + c2 ( trq 2 ) 2 dx. } {{ 4 } f B (Q) Potencial electromagnético, energía de superficie, dinámica Premio Nobel de Física de 1991 por descubrir que métodos desarrollados para estudiar otros fenómenos de orden en sistemas simples pueden generalizarse a formas más complejas de materia, en particular a cristales ĺıquidos y a poĺımeros

48 El espíritu humano está destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla, Evariste Galois

49 Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemática, Henri Poincaré

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