Tema 3 (cont.). Birrefringencia.

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1 Tma 3 (cont.). Birrfringncia. 3.8 Anisotropía. Dobl rfracción. 3.9 Modlo d Lorntz para la birrfringncia 3.10 Polarizadors dicroicos. Ly d Malus 3.11 Propagación a través d una lámina rtardadora 3.1 Aplicacions d la luz polarizada Análisis d luz polarizada Fotolasticidad Polarimtría lásr Mjora d imágns Pantallas d cristal líquido Prismas polarizadors Migul Antón Rvilla Dpartamnto d Óptica UO 1

2 3.8 Anisotropía Hasta ahora hmos asumido qu l índic d rfracción d un mdio no dpnd d la dircción d propagación d la luz n l mdio, s dcir, las propidads ópticas dl mdio matrial son las mismas n todas las dirccions. S dic ntoncs qu l mdio s isótropo. Sin mbargo, xistn matrials n los qu l índic d rfracción varía con la dircción d propagación n l matrial. A stos matrials s ls dnomina anisótropos. n la naturalza xistn muchos matrials ópticamnt anisótropos. Los mdios matrials stán formados por agrgados d átomos y moléculas. Sgún l stado d agrgación n qu s ncuntrn, los matrials s pudn comportar d forma isótropa o anisótropa al paso d la luz. Un jmplo s l cristal d calcita (CO 3 Ca). Cuando la luz pasa a través d un cristal d calcita, n dtrminadas dirccions s produc una dobl imagn o dobl rfracción. n la figura s ha colocado un cristal d calcita ncima d un papl dond s han dibujado una flcha y casi prpndicular a lla, una raya más grusa. S pud obsrvar qu la fcha s v dobl, mintras qu la raya no. Así pus, sgún n la dircción n qu s propagu la luz, tndrmos dobl o simpl rfracción.

3 La razón d st comportaminto stá n la structura molcular d la calcita. l grupo carbonato s compon d trs átomos d oxigno y un átomo d carbono dscansa n un mismo plano, con l átomo d carbono n l cntro d un triángulo formado por los átomos d oxígno. l átomo d calcio stá n otro plano. Si miramos l cristal a lo largo d una lína imaginaria qu pasa por los átomo d calcio, y qu s prpndicular al plano dl grupo carbonato, ncontraríamos una distribución atómica como la qu s mustra n la figura (c). sta lína la dnominarmos j óptico dl cristal. Si una onda s propaga n la dircción dl j óptico, l campo léctrico asociado vibra prpndicularmnt a sta dircción, sto s, n l plano d los átomos d carbono y oxígno. l campo s ncuntra la misma distribución atómica n todas las dirccions, por lo qu l cristal prsntará un mismo índic d rfracción n todas las dirccions. Sin mbargo, si la onda incid prpndicularmnt al j óptico, una componnt dl campo léctrico podrá vibrar n la dircción dl j óptico tndindo a dsplazar al átomo d calcio rspcto dl grupo carbonato, mintras qu la otra componnt dl campo léctrico vibra n l plano dl grupo carbonato y tndrá a movr a st grupo d átomos cuyos nlacs son distintos qu los qu xistn ntr l calcio y l grupo carbonato. llo conducirá a dos índics d rfracción difrnts para cada componnt d la onda. (b) (c) Algunos mdios matrials anisótropos s indican n la tabla adjunta: Cristal no n Turmalina Calcita Cuarzo Nitrato sódico Hilo Rutilo( Ti O)

4 Para vr las conscuncias sobr la propagación, supongamos qu un haz d luz polarizado n l plano dl papl, incid sobr un cristal d calcita n una dircción qu no coincid con l j óptico. Podrmos ntoncs dscomponr l campo n una componnt paralla al j óptico y otra prpndicular. l campo parallo al j óptico gnrará una onda qu s propaga a una vlocidad v y n dircción prpndicular al j óptico. Por su part, la componnt d campo qu vibra prpndicularmnt al j óptico xprimnta un índic d rfracción difrnt, por lo qu gnrará una onda qu s propaga a una vlocidad vo. l rsultado srá una onda dformada qu dará lugar a la onda xtraordinaria. Si l campo incidnt vibra prpndicularmnt al plano dl j óptico dl cristal, s gnrará una onda sférica ya qu ahora no hay componnt n la dircción dl j óptico. La onda rsultant s propagará n la misma dircción dl haz incidnt. 4

5 3.9. Modlo d Lorntz para la birrfringncia Los mdios matrials stán formados por agrgados d átomos y moléculas. Sgún l stado d agrgación n qu s ncuntrn, los matrials s pudn comportar d forma isótropa o anisótropa al paso d la luz. También hay moléculas qu son anisótropas d por sí. llo s db a qu la distribución d carga no tin simtría sférica, dbido a qu las furzas d los nlacs atómicos o molculars varían d una dircción a otra dntro d la molécula. Por jmplo una molécula típica d cristal líquido conocida como 5CB s caractriza por tnr una forma lipsoidal y sr más fácilmnt polarizabl n la dircción dl j mayor qu n la dircción transvrsal. La agrgación d stas moléculas también pud dar lugar a difrnts comportamintos: Si las moléculas anisótropas stán orintadas d forma rgular como n un cristal, l mdio s anisótropo. Si las moléculas son anisótropas y no stán totalmnt al azar, como n los cristals líquidos, l mdio s comporta d forma anisótropa. Si las moléculas anisótropas stán distribuidas al azar, como ocurr n gass, líquidos y sólidos amorfos, éstos s comportan macroscópicamnt d forma isótropa. 5

6 Para caractrizar l comportaminto d stos matrials, podmos adaptar l modlo d Lorntz studiado para mdios isótropos a sta nuva situación. n fcto, n los mdios diléctricos homogénos isótropos, la intracción d un lctrón o un ión con l núclo s isótropa, lo qu quir dcir qu si actúa un campo léctrico sobr st mdio, l lctrón o ión xprimnta idénticas furzas rcupradoras n todas las dirccions dl spacio, indpndintmnt d la dircción dl campo léctrico. Sin mbargo, la molécula d cristal líquido conocida como 5CB s caractriza por tnr una forma lipsoidal y sr más fácilmnt polarizabl n la dircción dl j mayor qu n la dircción transvrsal. D una manra intuitiva s pud acomodar l modlo d Lorntz studiado antriormnt, para xplicar las propidads ópticas d stos matrials asumindo qu cada lctrón o ión stá somtido a furzas rstauradoras con difrnt constant rcupradora sgún las trs dirccions dl spacio, dos d llas iguals. llo conduciría a la aparición d dos frcuncias naturals ω 0x y ω 0z difrnts, s dcir, sta molécula absorbría un campo d frcuncia ω 0x qu vibran n la dircción OX, así como campos d frcuncia ω 0z qu vibran a lo largo dl j OZ. Por jmplo, si s aplica un campo léctrico constant, stas moléculas s pudn alinar con l campo dbido a su alta polarizabilidad n la dircción longitudinal tal y como s indica n la figura: 6

7 l rsultado s qu los lctrons d cada molécula prsntarán una furza d intracción qu srá muy difrnt n la dircción OX qu n la dircción OZ. Podmos modlar sta intracción asociando al moviminto lctrónico n cada dircción sndas constants rcupradoras difrnts, sgún los js OX y OZ. D sta manra cab sprar qu l índic d rfracción xprimntado por un campo qu s propagu vibrando parallamnt a una d las dos dirccions X o Z srá difrnt, ya qu los dsplazamintos d carga inducidos por st campo también lo son. l rsultado s qu a la salida dl matrial una d las componnts dl campo s habrá rtrasado rspcto d la otra componnt, por lo qu la lámina habrá altrado l stado d polarización dl haz incidnt. Admás, st matrial pud también prsntar una absorción slctiva n una u otra d las dirccions OX y OZ. Por lo qu sabmos a partir dl modlo d Lornzt para mdios isótropos, l matrial prsntado más arriba pos dos frcuncias d rsonancia ω 0x y ω 0z qu son difrnts. Así, si, por jmplo, incid una radiación lctromagnética dspolarizada d frcuncia ω 0x, la componnt x dl campo srá furtmnt absorbida por l matrial, pudindo llgar a dsaparcr. D sta manra, al otro lado dl matrial sólo tndríamos un campo léctrico vibrando n la dircción vrtical, sto s, un campo linalmnt polarizado. n st caso l matrial prmitiría polarizar la luz d frcuncia ω 0x y tndríamos un polarizador. n st caso l j OZ s dnomina j d transmisión dl polarizador. Como s pud sprar, si a continuación colocamos otro matrial idéntico al antrior pro girado 90 0, l campo srá furtmnt absorbido y habrá xtinción. D una manra gnral, si l sgundo matrial s gira d tal manra qu l j d transmisión form un cirto ángulo θ, simpr podrmos proyctar l campo sobr la dircción d transmisión yn una dircción prpndicular. D sta manra, l campo mrgnt srá p = 0 cos θ. La irradiancia transmitida a través d los dos polarizadors srá I p = I 0 cos θ. Tnmos así una primra aplicación d stos matrials. Podmos polarizar la luz y controlar la irradiancia transmitida dl haz incidnt para la frcuncia ω 0x. 7

8 Vamos a dscribir con más dtall stos fctos dsarrollando n modlo matmático d Lorntz. n fcto, la situación antrior pud modlars asumindo qu cada lctrón o ión stá somtido a furzas rstauradoras con difrnt constant sgún las trs dirccions dl spacio, dos d llas iguals. llo conduciría a la aparición d dos frcuncias naturals ω 0x y ω 0z difrnts. Supongamos qu haz linalmnt polarizado con azimut θ con l j OX, incid sobr una lámina birrfringnt d spsor. Podmos dscomponr l campo léctrico n las dos dirccions ortogonals. D sta manra, cada una d las componnts, inducirá un moviminto n los lctrons o ions cuya cuación, n cada dircción, srá similar a la ya studiada n l modlo d Lorntz: d x + γ dt d z dt + γ 0x 0z dx dt dz dt + ω x = 0x + ω z = 0z q m q m 0x 0z iωt iωt., sto conduc a qu los índics d rfracción xprimntados por cada componnt dl campo al atravsar la lámina vndrán dados por n n x z = 1+ = 1+ Nq ε m 0 Nq ε m 0 ω ω 0x 0z 1 ω + iγ 1 ω + iγ 0x 0z, ω. ω La part ral imaginaria dan cunta dl índic d rfracción y d la constant d absorción, rspctivamnt. n función d la frcuncia ω dl campo incidnt, stas funcions prsntan la dpndncia qu s mustra n la figura: n la dircción dl j OX, l matrial prsnta una rsonancia n ω 0x., mintras qu n l j OZ, la frcuncia d rsonancia, y por lo tanto, la absorción ocurr a una frcuncia mayor, ω 0z. Así, si incid una onda lctromagnética con una frcuncia ω 1 l matrial srá bastant transparnt aunqu con dos índics d rfracción ligramnt difrnts, n x (ω 1 ) n z (ω 1 ). ω 0x ω 0z 8

9 Pro si incid una onda lctromagnética con una frcuncia qu coincid con una d las frcuncias d rsonancia dl matrial n uno u otro d los js, la componnt dl campo léctrico incidnt qu vibra parallamnt a dicho j srá furtmnt absorbida, mintras qu la otra componnt pasará a través d la lámina. n st caso, la lámina limina una d las componnts incidnts y dja al campo mrgnt linalmnt polarizado. S dic ntoncs qu la lámina actúa como un polarizador. Analizarmos stos casos con más dtall n l apartado siguint. Pro vmos qu l modlo d Lorntz nos prmit sacar conscuncias d intrés y rflxionar sobr l orign físico d cirtos fnómnos Polarizadors dicroicos. Ly d Malus Una vz caractrizada la lámina mdiant sus índics d rfracción, s pud analizar cómo actúa ésta sobr un haz linalmnt polarizado. l comportaminto s muy difrnt si la frcuncia dl campo stá próxima a una d las bandas d absorción dl matrial o por l contrario stamos n una rgión d transparncia. Vamos a analizar ahora l primr caso. Los polarizadors dicroicos son matrials birrfringnts qu actúan absorbindo slctivamnt una d las componnts dl campo incidnt sobr llos, djando inaltrada la componnt dl campo prpndicular a la antrior. D sta manra, la luz transmitida sólo tin una componnt, por lo qu stá linalmnt polarizada. sta dircción dtrmina l j d polarización dl polarizador. l procso físico s ntind si nos fijamos n las curvas d disprsión d un matrial dicroico prsntadas más abajo. Supongamos qu sobr st matrial incid un campo, d frcuncia ω, linalmnt polarizado formando un cirto ángulo θ con l j OZ. st campo simpr so podrmos dscomponr n suma d dos vctors parallos a los js d la lámina. Como pud vrs, la frcuncia dl campo incidnt prtnc a una banda d absorción dl matrial n una d las dirccions (OX), pro stá aljada d la banda d absorción n la dircción prpndicular. Por lo tanto, la componnt x srá absorbida A la salida sólo qudará la componnt z prmitindo así slccionar l stado d polarización d la radiación mrgnt d la lámina. n st caso la lámina actúa como un polarizador dicroico linal con su j d transmisión n la dircción OZ. l campo transmitido vndría dado por: z = 0 cos θ La irradiancia transmitida srá: I z = I 0 cos θ 9

10 Al girar l polarizador irá variando la intnsidad. I I z = I 0 cos θ ( t) = I 0 cos Ω t Si ahora incidira luz dspolarizada, podríamos aplicar todo lo dicho más arriba. Salvo qu ahora l ángulo θ(t) qu forma l campo con l j OY dpnd dl timpo d manra alatoria. D sta manra, sólo las componnts vrticals pasan n cada momnto. Por llo al otro lado d la lámina solo qudará luz con su campo léctrico vibrando n la dircción OY, sto s, luz linalmnt polarizada n la dircción dl j d transmisión dl polarizador. Por otra part, la irradiancia transmitida s pud obtnr aplicando la ly d Malus: θ(t) I z = I cos θ ( t ) = 0 I 0 j d transmisión dl polarizador Por todo lo antrior, si disponmos d un matrial polarizador, podrmos sabr si un haz d luz stá total o parcialmnt polarizado. Para llo basta mirar a través un polarizador ir girándolo. Si notamos cambio n la irradiancia transmitida s qu la luz qu incid sobr él stará parcialmnt polarizada. Hay muchos jmplos: La luz qu procd d las pantallas d cristal líquido d los ordnadors portátils stá polarizada. 10

11 La luz qu procd d muchas calculadoras d bolsillo o rlojs digitals. Si s coloca un polarizador ncima y s va girando, llgará un momnto qu dsaparcrá l fondo claro. La luz qu procd por rflxión d la suprficis pulidas bajo un cirto ángulo Todos stos hchos nos prmitn vislumbrar algunas aplicacions sncillas: liminación d los rfljos n las pantallas d monitors d imagn. 11

12 liminación d los rfljos mdiant gafas polarizadas. Obsérvs como s v l fondo mjor al liminar luz rfljada parcialmnt polarizada n ángulo d Brwstr, así como la luz dircta dl cilo, qu n dircción transvrsal al sol también stá polarizada. Los polarizadors pudn sr muy útils n fotografía para liminar la luz polarizada procd por rflxión d la suprficis pulidas. Obsérvs l fcto sobr una foto tomada con y sin polarizador. Pudn liminar parcialmnt la luz sparcida por l air y las hojas d los árbols y mjorar l contrast 1

13 3.11 Propagación a través d una lámina rtardadora. Vamos ahora a analizar l caso n l qu la frcuncia d la onda incidnt sobr l matrial uniáxico tin una frcuncia muy difrnt d las frcuncias d rsonancia dl matrial n ambas dirccions. n st caso, la lámina srá transparnt pro l índic d rfracción srá difrnt para cada componnt, por lo qu a la salida las componnts s habrán dsfasado. Si suponmos qu stamos n una rgión d transparncia s tndrá: ω ω ω ω 0x 0z Y si l campo a la ntrada val: x z = = 0x 0z i ωt ky i ωt ky,, dntro d la lámina, la onda x viajará a una vlocidad dada por vx=c/nx, mintras qu la componnt z lo hará a v y =c/n z. Si nos fijamos n un mismo punto z al otro lado d la lámina, l rtraso tmporal d una onda rspcto d otra srá θ x z i ωt ky = snθ i ωt ky + δ = cosθ., Δt = c ( n - ) x n z Por llo las ondas stán dsfasadas una cantidad δ = ω Δt = ω c ( n - ) x n z l campo mrgnt s podrá scribir como 13

14 Las componnts dl campo léctrico ya no stán n fas a la salida d la lámina, por lo qu l stado d polarización d la onda habrá cambiado. Dpndindo dl spsor dl mdio matrial, longitud d onda d la radiación y d la birrfringncia, s podrán obtnr difrnts stados d polarización dsados a la salida d la lámina. Vamos dos jmplos: (a) giro dl plano d polarización d un haz d luz linal: Lámina d mdia onda. θ(t) θ π n n λ o = (m + 1) π θ δ = ( m + 1)π z = o cosθ i t ω ky i ω t ky π x = o snθ (b) Obtnción d luz circularmnt polarizada: Lámina d cuarto d onda. θ(t) θ π δ = (m + 1) n n z x o = λ = (m + 1) 4 o cosθ i t ω ky i ω t ky π / = snθ o Luz 14

15 3.1. Aplicacions Análisis d luz polarizada. La utilización y análisis d luz polarizada prmit muchas aplicacions para obtnr información d structuras d matrials anisótropos. l lmnto más básico para l análisis d luz polarizada lo constituy l polariscopio. Consist d dos polarizadors cuyos js d transmisión s colocan parallos o prpndiculars ntr sí. ntr llos s insrta la mustra d matrial qu s dsa analizar. Supongamos qu s trata d un matrial uniáxico con sus js lnto y rápido orintados como n la figura. Si s ilumina st dispositivo con luz blanca, cada componnt monocromática xprimntará un dsfas difrnt dado por: π δ ( λ) = λ ( n - ) x n z Con lo qu l stado d polarización d cada componnt monocromática a la salida srá difrnt. Por jmplo, para fijar idas, aqullas longituds d onda para las qu la lámina d matrial introduzca un dsfas δ=(m+1)π, habrán girado su plano d polarización 90 grados y por lo tanto no pasarán a través dl polarizador. s dcir n la luz transmitida faltarán stos colors. θ(t) θ A la salida d la lámina, n gnral s tndrá un haz lípticamnt polarizado dpndindo d δ st campo incid sobr l polarizador cuyo j d transmisión stá situado n la dircción qu forma con l j OZ un ángulo α. La amplitud dl campo transmitido s obtndrá proyctando l campo mrgnt d la lámina sobr la dircción dl j d transmisión dl polarizador: dond r L = r uz0 + u cos r θ x 0 i t ky iδ ω snθ = 0z cos α + 0xsnα = 0 cosθ cosα + T 0 δ π λ ( λ) = ( n - ) n o iδ snθ snα 15

16 Si la radiación incidnt s luz blanca la xprsión antrior rprsntará l campo d cada componnt monocromática. La intnsidad transmitida srá proporcional al cuadrado dl módulo d la amplitud, s dcir I T D sta xprsión s obtinn algunas conscuncias qu nos prmitn analizar los rsultados: Si los polarizadors tinn sus js parallos y, pongamos a 45 0 dl j OZ, ntoncs θ=α=45 0, sto s, l campo incidnt sobr la lámina stá polarizado a 45 0 d cada lína nutras d la lámina, y la irradiancia transmitida val: La irradiancia s hac nula si s dcir ( ω) = I ( cosα cosθ + snα snθ ) 4snα snθ cosα cosθ sn 0 1 sn I T ( ) ω I 1 sn δ = 0 π λ δ = 0 δ = (m + 1) π ( n - n ) = (m 1) π o + sto xplica qu la lámina birrfringnt s va colorada cuando s obsrva ntr los dos polarizadors cruzados, ya qu, dpndindo dl spsor local y la birrfringncia (la cual, n muchos matrials sul sr proporcional a las tnsions locals dl matrial), cirtas longituds d onda habrán sido absorbidas por l sgundo polarizador y no starán prsnts n l spctro d la luz transmitida. Así por jmplo, si s analiza l contnido spctral d la luz transmitida n l montaj d más arriba, n l qu los polarizadors tinn sus js parallos, y la lámina s un matrial birrfringnt con sus línas nutras a lo largo d los js OX y OZ, s obtndrá un rsultado como l qu s mustra n la figura. Las línas oscuras corrspondn a las radiacions absorbidas por l polarizador, y a las qu la lámina ha introducido un dsfas: π n n = (m + 1) π λ o δ D la mdida d las longituds d onda dsaparcidas sucsivas s podrá dtrminar, por jmplo, l spsor d la mustra: π n n λ 1 π n n λ o o = (m + 1) π = (m + 1) π n n o = λ λ 1 λ λ 1 D igual modo s podría habr obtnido la birrfringncia (n-no), si l spsor s conocido. 16

17 3.1. Fotolasticidad. Si l matrial birrfringnt qu s sitúa ntr los polarizadors no tin un spsor uniform o su birrfringncia, sto s, los índics d rfracción cambian localmnt d un punto a otro, ntoncs, l dsfas introducido por la lámina dpndrá dl punto dl matrial (δ=δ(x,z), por lo qu cirtas longituds d onda habrán sido absorbidas por l sgundo polarizador y no starán prsnts n l spctro d la luz transmitida. La mustra aparcrá colorada, indicando cada color, l lugar gométrico dond l dsfas toma un valor constant. n la Figura (a) s mustra la luz transmitida por un polariscopio plano n l caso d colocar ntr dos polarizadors cruzados una lámina d plástico transparnt. La aparición d stas línas coloradas s una manifstación d las tnsions inducidas n l procso d fabricado. l análisis cualitativo y cuantitativo d stos diagramas cromáticos prmit obtnr información sobr los risgos d ruptura y la distribución d sfurzos n l matrial. La anisotropía d una sustancia pud sr intrínsca, pro también la aplicación d tnsions sobr las sustancias isótropas cab sprar qu produzca un cambio n la disposición spacial d los átomos y moléculas d tal manra qu éstas s rorintn n cirtas dirccions qu dpndn d las tnsions aplicadas. sta rorintación producirá un fcto aprciabl y qu s traduc n qu l matrial xhib comportaminto anisótropo al intraccionar con la radiación. n la fotografía s mustra la luz transmitida por difrnts matrials qu s ncuntran ntr dos polarizadors cruzados: θ(t) Luz l polarizador djara pasar aqullas radiacions qu tinn alguna componnt paralla a su j d transmisión. Así por jmplo, si los polarizadors tinn sus js prpndiculars, aqullas longituds d onda qu xprimntn un 17

18 dsfas d mπ tndrán su campo léctrico vibrando prpndicularmnt al j d transmisión dl sgundo polarizador y no pasarán. Por lo tanto, no starán prsnts n la luz transmitida. llo hac qu l spctro d la luz transmitida difira dl d la luz d ntrada. n dtrminados matrials somtidos a tnsions, las variacions d índic d rfracción son proporcionals a dichas tnsions por lo qu l polariscopio s pud utilizar parta su visualización y mdida. otos adjuntas s pudn vr las tnsions inducidas n una gafa ants dl montaj y dspués l montaj. n todos los casos, la lnt o la gafa s ncuntra situada ntr dos polarizadors cruzados. Sa un matrial transparnt isótropo al qu s l aplican tnsions mdiant adcuados lmntos xtrnos. n la figura adjunta s mustran las tnsions inducidas n una lnt oftálmica al sr montada: La lnt s ncuntra ntr dos polarizadors cruzados. Podmos considrar qu l matrial s comportará como una lámina rtardadora cuyo rtardo srá una función qu dpnd dl punto δ(x, z). n ocasions ocurr qu dbido a la gomtría dl matrial n studio y a la forma n la qu s aplican las tnsions, éstas y las dformacions qu provocan s producn sncialmnt n un plano, por jmplo l X-Z. D sta manra solamnt hmos d considrar los índics d rfracción principals a lo largo d sos js, nx y nz rspctivamnt, d tal manra qu la difrncia d tnsions n dos sccions principals srán proporcionals a las difrncias d los índics d rfracción inducidos. Si considramos qu l spsor d la mustra s constant, d, ntoncs l rtardo qu introduc sta lámina vndrá dado por π δ = λ ( x z) [ n (x,z) - n ( x, z) ], o n gnral l dsfas s función d las coordnadas ya qu las tnsions no tinn por qué distribuirs d manra homogéna. Como indicamos al principio d sta Scción, una manra d manifstar las tnsions n st tipo d matrials transparnts, consist n introducir la mustra ntr dos polarizadors linals cuyos js d transmisión stán cruzados. D manra qu al iluminar con un haz d radiación blanca s visualizará un diagrama colorado qu vamos a pasar a analizar. La irradiancia mrgnt dl sistma vndrá dada por la cuación: I T I ( x, z) = 0 sn θ ( x, z) ( 1 cosδ ( x, z )) La única difrncia con l caso sncillo d la página antrior striba n l hcho d qu l dsfas s función dl punto considrado y n l hcho d qu θ(x,z) varía con l punto. Así, la irradiancia s anula cuando θ(x,z)=mπ. Al lugar gométrico d los puntos d la mustra qu cumpl sta condición s l dnomina isoclina. Las isoclinas dtrminan los lugars gométricos d la mustra qu s comportan localmnt como línas nutras. También s obtndrán máximos cuando δ(x,z)=κπ, sindo K un númro ntro. Al lugar gométrico d los puntos d la mustra qu vrifica sta condición s l dnomina isocromas. Dbido a qu 18

19 δ(x,z) dpnd d la longitud d onda, s obsrvarán línas dl mismo color qu nos indican dónd las difrncias ntr las tnsions aplicadas s constant. l diagrama qu s obsrva s un conjunto d bandas oscuras (isoclinas) y un conjunto d bandas coloradas (isocromas). n la Figura s mustra l diagrama d isoclinas isocromas d una lnt oftálmica somtida a tnsions. l problma d usar un polariscopio plano como l dscrito antriormnt s qu aparcn conjuntamnt las bandas isoclinas y las isocromas. S pud mplar un polariscopio qu limin las bandas isoclinas: para llo s mpla un polariscopio circular, como l dscrito antriormnt pro qu incorpora ants d la mustra y dspués d la mustra dos láminas rtardadoras d cuarto d onda d manra qu los js rápido y lnto d ambas láminas san prpndiculars ntr sí. 19

20 3.1.3 Polarimtría lásr. La polarimtría lásr s una tcnología qu prmit stimar l spsor d la capa d fibras dl nrvio óptico in vivo a partir d una mdida dl rtardo (l producto d la birrfringncia por l spsor) qu xprimnta un haz lásr qu barr toda la suprfici dl nrvio óptico qu s comporta como un matrial birrfringnt. l haz qu incid n l nrvio óptico cambia su stado d polarización al sr rfljado, tal como s mustra n la simulación. La capa d fibras dl nrvio óptico transmit la sñal visual gnrada por lo los fotorrcptors. n la figura s mustra un cort transvrsal d la rtina con la capa qu constituy l nrvio óptico. Cada fibra individual dl nrvio óptico stá formada por una sri d microtúbulos cilíndricos, parallos ntr sí, d unos ntr 10 y 5 nm d diámtro. Dbido a sta distribución matrial, tal mdio prsnta birrfringncia para longituds d onda mayors qu stos tamaños. Cuanto mayor sa l númro d microtúbulos prsnt, mayor srá l rtardo qu xprimntará l haz rfljado. Así pus, una mdida dl rtardo n difrnts puntos dl nrvio óptico nos podría dar información d su distribución. n patologías tals como l glaucoma, la paulatina pérdida d tals microtúbulos rsulta n una pérdida d visión y pud dgnrar n cgura total. n la figura adjunta s mustra la capa dl nrvio óptico d un ojo sano y l progrsivo dtrioro d la misma n un ojo con glaucoma. 0

21 l squma dl polariscopio s mustra n la figura. La radiación d un lásr d diodo d 780 nm pasa a través d una unidad d polarización (conjunto d láminas rtardadoras) qu controlan l stado d polarización dl haz incidnt. l spjo rprsnta una unidad qu prmit barrr difrnts puntos dl nrvio óptico, cambiando l ángulo incidncia dl haz sobr l ojo. La luz rfljada pasa a través d una unidad d polarización qu prmit dtrminar su lips d polarización y d ahí obtnr l rtardo. Aquí s mustran mdidas xprimntals dl rtardo y dl spsor dl nrvio óptico n función d la posición angular 1

22 n la siguint página Wb s pud ncontrar información sobr l dispositivo comrcial.

23 3.1.4 Mjora d imágns. l control d la luz polarizada pud prmitir mjorar l contrast d las difrnts parts d un objto. La razón d llo stá n qu cuando s ilumina un objto con luz polarizada, la luz rfljada por las difrnts parts o txturas dl mismo pudn polarizar la luz rfljada d difrnt manra o incluso dspolarizarla casi por complto, tal como sucd con la luz rfljada por una hoja d papl blanco d cirta rugosidad. Si s rcog la luz rfljada y s analiza con otro polarizador ants d la formación d la imagn, por jmplo intrponindo un polarizador ants dl objtivo d una parts dl objto qu d otra manra no s vrían con iluminación convncional. n las fotografías d un tipo d placton marino s pud aprciar lo qu dcimos: La foto d la drcha s ha tomado con iluminación normal. S mjora notablmnt l contrast ntr dos polarizadors cruzados, incluso s vn structuras procsando la imagn n un computador mzclando las polarizacions d la luz rfljada. sta ida constituy una técnica habitual para mjorar imágns. Por jmplo, para la dtcción d patologías d la pil s mpla l dispositivo squmatizado n la figura. La luz blanca procdnt d la funt s polariza y s hac pasar por un filtro d color. st haz s colima con una lnt y s hac incidir sobr la mustra d pil. La luz sparcida por las capas suprficials d la pil s dspolariza dbido a la birrfringncia d las fibras d colágno. s posibl distinguir sta luz sparcida por stas capas d la d la luz difundida total qu provin d la luz rfljada por capas más profundas d la drmis. l método conllva la toma d dos imágns con una CCD qu llva incorporado 3

24 un polarizador analizador: una imagn (I par ) s adquir con l polarizador orintado parallo a la polarización dl haz incidnt y otra con la polarización prpndicular (I pr ). stas imágns s transfirn a un ordnador qu construy una imagn final (Ifinal) basada n la siguint opración I Final = I I par par I + I pr pr Dtalls dl trataminto d la imagn pudn vrs n Journal of biomdical Optics, 7(3), (July 00). n las fotografías s comparan las imágns normals con las obtnidas mdiant l uso d luz polarizada aplicando l método dscrito: (a) Imagn d una quratosis. (b) Imagn d un carcinoma basal. n ambos casos s pud obsrvar la mjora d la imagn gnrada. 4

25 stas técnicas s mplan también n microfotografía para obtnr difrnciación d difrnts parts d organismos o microcristals transparnts. n la figura s mustra l montaj d una cámara a un microscopio. n l sistma d iluminación s ha situado un polarizador. l sgundo polarizador stá situado dlant dl objtivo. La mustra, n st caso la pulga, hac d lámina rtardadora Pantallas d cristals líquidos. Hmos visto qu las moléculas d cristal líquido son intrínscamnt anisótropas aunqu l dsordn n quilibrio térmico da lugar a qu un panl llno d tals moléculas produzca un comportaminto isótropo. Si s aplica un campo léctrico o, dpndindo dl tipo d cristal líquido, si, s aumnta la tmpratura, las moléculas d cristal líquido s pudn orintal y dar lugar a un comportaminto birrfringnt. Una d las aplicacions d st comportaminto aparc n la formación d imágns n pantallas d ordnadors, d las calculadoras o n rlojs digitals. l principio d funcionaminto s sncillo, y s mustra n la figura. Las cldillas qu forman los númros stán llnas d moléculas d cristal líquido y conctada a lctrodos qu prmitn activar l campo n unas y no n otras. Las cldas activadas son las qu s vn oscuras. D las figuras, s pud inducir qu l rsto d la radiación qu no pasa por las cldas, stá linalmnt polarizada, dado qu con un polarizador podmos llgar a xtinguirla. 5

26 l principio d funcionaminto d stos displays s mustra n la figura. La luz dspolarizada pasa a través dl primr polarizador y quda polarizada vrticalmnt. Las cldas d cristal líquido actúan como láminas rtardadoras con sus js a 45 0 y s calculan para qu produzcan un dsfas d π/. Con llo la luz pasa a sr circularmnt polarizada dxtrógira. sta luz s rflja n un spjo por lo qu cambia a circular lvógira. Pasa d nuvo por la lámina y s produc un nuvo rtraso d π/. Εn total xprimnta un dsfas d π. Por lo tanto l campo a girado 90 0 por lo qu no pasa a través dl polarizador y no habrá luz a la salida. Las cldas no activadas son isótropas por lo qu la luz qu pasa por llas sigu sindo linal, s rflja mantniéndos linal y mrg a través dl polarizador. n la figura s mustra n fcto dl campo sobr un panl d moléculas d cristal líquido. n la figura s mustra un panl con los difrnts componnts: polarizadors, cristal líquido y filtro d color para producir imágns d color. stá sacado d una intrsant página sobr cristals líquidos: 6

27 3.1.6 Disño d prismas polarizadors Para concluir, dbmos notar qu la dobl rfracción s pud utilizar para obtnr dispositivos polarizadors qu slccionan una d las componnts dl haz incidnt. Un jmplo s l prisma d Glan-Foucault mostrado n la figura. S compon d dos prismas d calcita muy juntos, con su j óptico prpndicular al plano dl papl. La componnt paralla xprimnta un índic no = 1.65, mintras a qu la componnt prpndicular xprimnta un índic n o = n la intrfas calcita-air, la componnt paralla sufr rflxión total. Por lo qu al otro lado tndrmos luz polarizada prpndicularmnt al plano dl papl. Otro prisma d polarización s l prisma d Wollaston. sta constituido por dos prismas d calcita tallados d tal manra qu l primro tin su j n l plano dl papl, mintras qu l sgundo ha sido tallado con su j óptico prpndicular al plano dl papl. D sta manra, cuando incid una onda dspolarizada, la componnt paralla, durant l traycto n l primr prisma xprimnta un índic d rfracción xtraordinario n o = 1.48, pro al cambiar al sgundo prisma, sta componnt vibra prpndicularmnt al j óptico dl cristal, por lo qu l índic qu xprimnta n o = La ly d Snll para sta componnt s n sn θ = i p n o sn θ tp A la componnt prpndicular l ocurr lo contrario. n o sn θ = n i s sn θ ts Por lo tanto, los rayos s sparan, prmitindo obtnr luz polarizada a partir d luz natural. 7

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