Comparación de Relajaciones de Términos Bi-Lineales: Aplicación al Problema de Programación de Mezclado Multi-Período

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Comparación de Relajaciones de Términos Bi-Lineales: Aplicación al Problema de Programación de Mezclado Multi-Período"

Transcripción

1 Comparación de Relajaciones de Términos Bi-Lineales: Aplicación al Problema de Programación de Mezclado Muli-Período Danilo A. Figueroa P., Rafael R. A. Vargas, Aldo R. Vecchiei y José Espinosa INGAR, Insiuo de Desarrollo y Diseño, Avellaneda 3657, S3002GJC Sana Fe, Argenina hp://www.ingar.sanafe-conice.gov.ar Resumen En los modelos de muchas aplicaciones indusriales en las que se realizan procesos de mezclado surgen frecuenemene érminos que incluyen el produco de dos variables coninuas. Esos érminos, denominados bi-lineales, generan no-convexidades que dificulan la opimización de dichos procesos. En paricular el problema de Pooling y sus derivados, se caracerizan por conener muchas resricciones con dicho ipo de érminos. En la lieraura conemporánea se encuenran diversas aproximaciones, cuyo objeivo es enconrar una solución eficiene a ese ipo de problemas. Algunos de esos enfoques, cuyas soluciones se conrasan en el presene esudio, se basan en la aproximación por ramos de los érminos bilineales con envoluras de McCormick y la descomposición muliparamérica de alguna de las variables. Palabras Clave: Relajación de McCormick con Dominio Paricionado, Desagregación Muliparamérica, Términos Bilineales 1 Inroducción Un problema común que se presena en procesos del campo de la ingeniería ales como refinerías de peróleo y sisemas de suminisro y raamieno de agua, es maximizar la uilidad, sujeo a resricciones de disponibilidad de suminisros, capacidad inermedia de almacenamieno, demanda y especificaciones de produco. Tal problema recibe el nombre de pooling [1]. En ese problema básico se supone una configuración definida de la red del proceso, debiendo seleccionarse los flujos enre los disinos nodos, siendo modelado a ravés de un Programa No Lineal (NLP). Se denomina problema de Pooling Generalizado a la variane del problema descripo aneriormene, en el cual se debe seleccionar la configuración ópima de la red, eligiendo las inerconexiones enre los nodos fuene, inermedios y salida, mediane decisiones discreas, generando un Programa Mixo Enero No Lineal (MINLP) que exhibe múliples soluciones localmene ópimas. Los problemas descripos incorporan la suposición de una operación en esado esacionario, es decir que la variación emporal en los suminisros y demandas de producos no son modeladas. El Problema de Programación de Mezclado Muli-período, de imporancia en las indusrias de refinería y peroquímica, puede enenderse como un problema de pooling generalizado que incorpora la operación no esacionaria del proceso al considerar múliples periodos discreos. Consecuenemene, 43 JAIIO - SII ISSN: Página 66

2 el amaño del modelo se incremena susancialmene al ener en cuena un mayor número de decisiones discreas. El problema de pooling y sus derivados son ampliamene esudiados debido a que conllevan una gran dificulad para enconrar un ópimo global. Su complejidad es causada por la no-convexidad generada por los érminos bi-lineales presenes en las resricciones que describen los procesos de mezclado, y en el caso específico de pooling generalizado y programación de mezclado muli-periodo se incremena aún más su dificulad debido a la oma de decisiones discreas por medio de variables binarias. Para la resolución de esos programas maemáicos los resolvedores locales no garanizan la opimalidad global de la solución mienras que resolvedores globales suelen fallar al converger u obener una solución facible [2]. La formulación y resolución de ese ipo de problemas, pueden abordarse de disinas maneras. Una aproximación clásica es el uso de envoluras de McCormick, [3],[11], para los érminos bi-lineales, aunque más recienemene se han presenado envoluras alernaivas como las de Ruiz y Grossmann [4]. Esos úlimos ambién buscaron aplicar la programación disyuniva generalizada para acoar las bi-linealidades [5]. Karuppiah y Grossmann demosraron la uilidad de agregar resricciones redundanes de balance de masa como un mecanismo para ajusar el acoamieno en las envoluras de McCormick y aplicaron esa écnica al problema de las redes de agua [8]. Wicaksono y Karimi han propueso un nuevo méodo para obener sub y sobre esimadores para programas bi-lineales basados en el paricionado del dominio [7]. Esos auores resalan la imporancia de esa écnica en el área de sínesis de procesos. Recienemene varios refinamienos de las aproximaciones aneriores han sido desarrolladas por Misener, Tompson y Floudas, [1], especialmene usando envoluras de McCormick en conjuno con aproximaciones por ramos de los érminos bi-lineales. Dado que un érmino bi-lineal iene dos variables en su composición se presenan res alernaivas de paricionado, dos de ellas corresponden al paricionado de sólo una de las variables, raamieno al cual se llama paricionado uni-variado, en ano que el paricionado de ambas variables a la vez se denomina bi-variado [2]. Por lo general las formulaciones uilizan un paricionado uni-variado, [7],[2], sin embargo Karuppiah y Grossmann mencionan la posibilidad de usar un paricionado bi-variado, aunque prefieren segmenar una sola variable en sus esudios, argumenando que la adición de variables coninuas y binarias podrían incremenar el esfuerzo compuacional hasa un límie inacepable [8]. Wikaksono y Karimi reporan una mejora en la calidad de la relajación usando un paricionado bi-variado pero presenan poca información acerca del desempeño [7]. Kolodziej e al. [9] presenaron un algorimo que uiliza una relajación MILP del problema original, basada en la écnica de descomposición muli-paramérica y envoluras de McCormick. Esa écnica ofrece una coa superior (maximización) cuyo ajuse puede ser mejorado incremenando la precisión de la descomposición. Además, señalaron su eficiene desempeño comparando dicho algorimo con resolvedores globales [9]. La propuesa de ese rabajo consise en la uilización de dos écnicas: McCormick paricionado y descomposición muliparamérica con el objeivo de obener una relajación MILP de problemas de programación de mezclado muliperiodo. El desempeño de los modelos MILP será medido ano por la calidad de la relajación como por la carga compuacional resulane; eso permiirá realizar una evaluación que 43 JAIIO - SII ISSN: Página 67

3 mosrará las venajas o desvenajas de la aplicación de cada una de las écnicas. 2 Planeo del Problema El problema de programación de mezclado muliperiodo se represena por una red de nodos; cada nodo simboliza un anque. Figure 1: Esquema de una red en un problema de pooling. Se consideran res subconjunos de anques, diferenciados según su función, sea de suminisro, mezclado ó demanda ; siendo. Las corrienes que van desde un anque a oro se muesran como inerconexiones enre nodos, paricularmene esas corrienes se dan en una sola dirección y siempre desde un anque de suminisro a mezclado, suminisro a demanda, mezclado a mezclado ó mezclado a demanda. La programación secuencial de mezclado se realiza considerando múliples periodos discreos en los cuales se efecúan las operaciones de ranspore, llenado, mezclado y vaciado. Se asume que un anque de mezclado no se puede llenar y vaciar en el mismo periodo de iempo. El conenido de cada anque por periodo se maneja como un invenario el cual puede esar limiado por una capacidad máxima y mínima de cada anque y. El flujo que va desde un anque a oro en cada periodo de iempo esá resringido por los valores y ; además, los flujos de suminisro y demanda son especificados en cada periodo de iempo por, y, ; ésos ienen asociado un coso uniario para el suminisro, y un precio uniario para la demanda,. La concenración asociada a un componene o especie se maneja para cada uno de los anques y periodos. Por simplicidad la composición para los anques de suminisro se maniene fija en odos los periodos, en un valor dado por mienras que la composición en los anques de demanda pueden variar enre y, para cumplir con los esándares deseados. La decisión de usar una deerminada inerconexión se realiza acivando la variable binaria, lo 43 JAIIO - SII ISSN: Página 68

4 que conlleva un coso fijo y un coso de circulación. Finalmene, la uilidad del proceso se genera por la vena de la producción demandada menos el consumo de suminisros y cosos operaivos. El objeivo por ano es maximizar la uilidad seleccionando adecuadamene las inerconexiones y el valor de flujo en cada periodo, cumpliendo con las resricciones de la operación del proceso. En la figura (1) se represena una red de anques de suminisro, mezclado y demanda y sus posibles conexiones. 3 Formulación del Modelo Una de las formulaciones del problema de programación de mezclado muliperíodo, descripo aneriormene, es la represenada por las ecuaciones (1) a (15), que definen un modelo MINLP. La ecuación (1) es la función objeivo que maximiza el valor de la uilidad calculado como la vena de una canidad de produco demandado menos los cosos por suminisros consumidos y los cosos de operación fijos y variables por circulación de flujos. max sdn Fn, n, sdn F n, n, T n S B n D n S n B D T n, n CNN Y F (1) n, n n, n, n, n n, n, El modelo se encuenra sujeo a las resricciones expresadas de (2) a (15). UP Fn, n, Fn, n, Yn, n, n, n CNN; T (2) LO Fn, n, Fn, n, Yn, n, n, n CNN; T (3) Las ecuaciones (2) y (3) limian el flujo enre su coa superior e inferior. Las variables binarias Y n,n, son iguales a 1 cuando la conexión exise, 0 en caso conrario. C C M 1 Y q Q; n B; n D; T (4) UP q, n, 1 q, n n, n, C C M 1 Y q Q; n B; n D; T (5) UP q, n, 1 q, n n, n, Las ecuaciones (4) y (5) obligan a que en cada período cualquier flujo que sea inroducido a los anques de demanda saisfaga los valores de concenración limies especificados. Esas resricciones son del ipo BigM, las cuales deben saisfacerse cuando Y n,n, es igual a 1 y la conexión enre anques exise, si no la variable se hace 0 y la resricción es redundane en el modelo. Para el caso del período =0 los valores de las variables coninuas oman valores consanes, deerminados por las condiciones iniciales del sisema que se esa represenando. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 69

5 I = I F F n S; T (6) IN n, n, 1 n, n, n, n ( B D) I = I F F n B; T (7) n, n, 1 n, n, n, n, n S B n B D I = I F F n D; T (8) OUT n, n, 1 n, n, n, n S B Las ecuaciones (6) a (8) son los balances de maeria oal sobre los anques de suminisro, mezclado y demanda, respecivamene. Esa resricción indica que el conenido de los anques en un periodo, es igual al conenido en el período anerior, más los flujos de enrada, menos los de salida. I C = I C F C F C IN n, q, n, n, 1 q, n, 1 n, n, q, n n, n, q, n, 1 n S n B n B D Fn, n, Cq, n, 1 q Q; n B; T (9) La ecuación (9) represena el balance maerial individual por componene en cada anque de mezclado. Se observa en esa resricción el conenido de los érminos bi-lineales y, los cuales son la fuene de complejidad en ese problema. Para poder resolver eficienemene el problema se requieren relajaciones lineales de esos érminos. Yn, n, Yn, n, 1 n S B ; n B; n B D ; T (10) La ecuación (10) asegura que en un mismo periodo no puedan realizarse cargas y descargas en un ciero anque de mezclado. I I I n S B D T (11) LO UP n n, n ; Yn, n, 0,1 n, n CNN; T (12) Fn, n, 0 n, n CNN; T (13) In, 0 n S B D ; T (14) 0 C 1 q Q; n B; T (15) q, n, Las resricciones del (11) al (15) especifican el dominio de las variables coninuas y binarias del modelo. 4 Aproximaciones Lineales El conenido de érminos bi-lineales en un modelo causa no-convexidades. Una forma de convexificar el problema es realizar una relajación lineal mediane envoluras de McCormick, la cual se obiene reemplazado un ermino bi-lineal por una variable 43 JAIIO - SII ISSN: Página 70

6 coninua y resringiéndola por las inecuaciones (16) a (19). En donde los parámeros y son los limies inferior y superior de las variables e del dominio del problema. L L L L z x y x y x y (16) U U U U z x y x y x y (17) L U U L z x y x y x y (18) U L L U z x y x y x y (19) U L U L x x y y 4 Esa relajación posee una máxima separación enre el érmino bi-lineal y su envolura, definida por la ecuación (20) [3]. Así, un dominio de menor amaño ofrece una menor separación y por ano mejor ajuse. Por ora pare, el enfoque de Descomposición Muliparamérica [12] se basa en la discreización de una variable coninua represenada como una función de poencias de una base numérica, aproximando el valor de dicha variable en función de variables binarias. Tal como se expresa en la ecuación (21). Donde es un número naural no nulo, que define la base sobre la que se desea descomponer la variable coninua. y definen la mayor y menor poencia de la base que se uilizarán en la aproximación y es una variable binaria que deermina los valores que oma la variable coninua que se desea discreizar. P R 1 l= p k =0 kl, (20) l x = R k VB (21) La variable binaria omara el valor uniario en la represenación cuando se engan unidades en la posición correspondiene a del número represenado. Una caracerísica especial de ese enfoque es que al incremenar una cifra significaiva la precisión de la discreización, aumena linealmene la canidad de variables binarias necesarias. 4.1 Relajación Lineal usando envoluras de McCormick con dominio paricionado Como se mencionó aneriormene la disminución del dominio sobre el que se aplican las envoluras de McCormick es beneficiosa debido a que aumena el ajuse de la relajación. Para realizar eso se recurre a la división del dominio original en subdominios. Eso se puede lograr a ravés de un modelado con decisiones discreas. Nos referimos a esa relajación como Relajación por envoluras de McCormick Paricionado (RMP). Para implemenar la relajación con envoluras de McCormick en cada subdominio, se apoyó el modelado mediane el uso de programación disyuniva. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 71

7 La formulación se realizó reemplazando los érminos bi-lineales y por su variable de aproximación y respecivamene, cambiando la resricción (9) por la (22) y adicionando las disyunciones (23) y (24), dando como resulado un modelo disyunivo generalizado. W = W F C W 1 1 IN 2 q, n, q, n, n, n, q, n q, n, n n S n B n B D 2 Wq, n, n q Q; n B; T; = 1 (22) El balance de maeria por componene en cada anque de mezclado queda ahora expresado linealmene como lo muesra la ecuación (22). 1 K p, q, n, W 1 L LO LO L I, C I C I C q n n p n q n n p W 1 U UP UP U I, C I C I C q n n p n q n n p W 1 L UP UP L q, n, I n, C I C p n q, n, I C n p W 1 U LO LO U q, n, I n, C I C p n q, n, I C n p LO UP I n I n, I n L U C p C q, n, C p 2 K p, q, n, n,, W 2 L LO LO L F C F C F C q n n n n p n n q n n n p W 2 U UP UP U F C F C F C q n n n n p n n q n n n p W 2 L UP UP L q, n, n,, F n, n, C F p n, n, C q, n, F n, n, C p U LO LO U W q, n, n,, n, n, p n, n, q, n, n, n, p LO UP F n, n, n, n, n, n, L U C p C q, n, C p p P p P 2 q Q; n B; T; q Q; n B; n B D F C F C F C T; F F = 1 ; (23) (24) En las disyunciones (23) y (24), los parámeros y son los limies de concenración en el subdominio. Las variables de decisión y se acivan cuando la concenración se encuenra denro de los limies correspondienes a la parición, forzando a que las variables y sean acoadas por las envoluras de McCormick. La implemenación se realizó uilizando resricciones ipo Big-M para obener un modelo MILP. Por lo que se agregan para cada érmino bi-lineal anas variables binarias de decisión como número de subdominios hayan. La división del dominio original en subdominios se realiza usando un paricionado univariado. La variable seleccionada fue la concenración, ya que paricipa a la vez en los érminos bilineales y de la resricción (9). Se dividió en segmenos de igual longiud y el número de divisiones van desde 2 hasa 5, cuyas 43 JAIIO - SII ISSN: Página 72

8 disribuciones de subdominios obenidas se denominan U2, U3, U4 y U Relajación lineal basada en descomposición muliparamérica y envoluras de McCormick La relajación MILP presenada por Kolodziej [9] se desarrolla omando la aproximación discrea por descomposición muliparamérica de una de las variables que inervienen en el érmino bilineal y adicionando una holgura coninua acoada denro del nivel de precisión de la descomposición, con lo que se obiene una aproximación coninua de la variable discreizada. Luego al desarrollar el produco de la aproximación coninua y la variable resane, surgen nuevos érminos bilineales, los cuales son acoados mediane envoluras de McCormick para obener una relajación MILP del problema original. A esa aproximación la denominaremos Relajación por Descomposición Muliparamérica (RDM). La aplicación de ese méodo al problema de programación de mezclado muliperiodo se presena en [10]. La formulación del problema MILP se obiene a parir del MINLP formulado originalmene, cambiando la resricción (9) por (25), y agregando las resricciones definidas por las ecuaciones (26) a (38). W = W F C W IC IC IN FC q, n, q, n, 1 n, n, q, n q, n, n, n S n B n ( B D) W q Q; n B; T (25) FC q, n, n, La ecuación (25) es la linealización de la ecuación de balance de maeria por componenes. Donde las variables y reemplazan a los érminos lineales y respecivamene. P 9 1 l p q, n, k, l, q, n, k, q, n, l= p k =0 k =0 C = 10 k Z 10 k Z q Q; n B; T (26) El primer érmino del segundo miembro de la ecuación (26), expresa la aproximación discrea de la concenración. Se observa la presencia de la variable binaria que oma valor 1 cuando se encuenra el enero en el lugar decimal del número represenado. Según esa expresión el valor de concenración más pequeño represenable es, por lo ano define la precisión de la discreización. En ano que limia el máximo número represenable. El érmino resane del segundo miembro represena la holgura, que puede omar valores enre 0 y. Siendo una variable auxiliar coninua acoada enre 0 y 1. P 9 1 FC l ˆ p q, n, n, = 10 k, l, q, n, n, 10 k, q, n, n, l= p k =0 k =0 W k F k F q Q; n B; n ( B D); T (27) 43 JAIIO - SII ISSN: Página 73

9 P 9 1 IC l ˆ p q, n, k, l, q, n, k, q, n, l= p k =0 k =0 W = 10 k I 10 k I q Q; n B; T (28) En forma similar a la resricción (26), las resricciones (27) y (28) definen los valores de y, expresándolas como la suma de una aproximación discrea del produco bilineal y una holgura coninua. Para realizar eso se inroducen variables auxiliares, coninuas y posiivas e. Las ecuaciones (29) a (38) complean el modelo, acoando las variables auxiliares. F ˆ F Z l p,..., P ; k 0,...,9 ; U k, l, q, n, n, n, n k, l, q, n, U k, l, q, n, n, k, l, q, n, q Q; n B; n ( B D); T (29) I ˆ I Z l p,..., P ; k 0,...,9 ; q Q ; n B ; T (30) U Fk, q, n, n, Fn, n Zk, q, n, k 0,1 ; q Q; n B; n ( B D); T (31) 9 k =0 U Ik, q, n, In, Zk, q, n, k 0,1 ; q Q; n B; T (32) Fˆ = F l p,..., P ; q Q; n B; n ( B D); T (33) k, l, q, n, n, n, n, 1 9 k =0 Iˆ = I l p,..., P ; q Q; n B; T (34) k, l, q, n, n, k =0 9 k =0 F = F q Q; n B; n ( B D); T (35) k, q, n, n, n, n, 1 k, l, q, n, I = I q Q; n B; T (36) k, q, n, n, k =0 Z = 1 l p,..., P ; q Q; n B; T (37) 1 k =0 Z = 1 q Q; n B; T (38) k, q, n, 4.3 Comparación del amaño de los problemas relajados El número de variables binarias que uiliza cada relajación se muesra en la Tabla 1. Donde es el conjuno de conexiones enre los disinos anques, son las conexiones enre los anques de mezclado y enre los de mezclado y demanda. Así mismo es el conjuno de anques de mezclado, el de periodos considerados, las caracerísicas de calidad conroladas, las pariciones usadas en la aproximación por ramos, y los coeficienes que muliplican y los exponenes que se uilizan en la descomposición muliparamérica. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 74

10 Tabla 1: Esimación de variables binarias Como se observa, en el caso de la RMP el número de variables binarias se incremena linealmene con la canidad de pariciones. No obsane, se ha informado que se requiere un incremeno exponencial en la canidad de variables binarias para aumenar el número de cifras significaivas en el valor ópimo de la función objeivo, asimismo, un comporamieno similar ocurre con el número oal de variables y resricciones [9]. Sin embargo, Kolodziej desaca en [9] que con la écnica de descomposición muliparamérica el número de variables binarias se incremena logarímicamene respeco a la canidad de punos discreos. Y además el aumeno de precisión en una cifra significaiva en el valor de la función objeivo ópima es acompañado con un crecimieno lineal de variables binarias. En la Tabla (1) se puede observar que en ambas aproximaciones la canidad de variables es idénica, ya que ésas forman pare del problema original. Siendo y las variables binarias que se agregan en la formulación por ramos y las definidas siguiendo el enfoque de descomposición muliparamérica. Respeco de la aproximación RMP se iene que el número de variables es proporcional a la canidad de conexiones alernaivas enre los anques de mezclado y enre los de mezclado y de demanda, mienras que para se iene una proporcionalidad con la canidad de nodos. En cambio para la RDM, las variables agregadas son sólo proporcionales a la canidad de nodos. Como los problemas de Pooling se caracerizan por ener muchas conexiones enre los disinos anques, al agregar un nuevo anque de mezclado a un ciero problema, el incremeno en la canidad de conexiones será aproximadamene proporcional a la canidad de nodos inicial. Eso hace que el amaño del conjuno crezca en forma aproximadamene exponencial respeco de la canidad de anques. A causa de eso el enfoque RDM es más apropiado para problemas con un gran número de anques, ya que endrá un menor incremeno de variables binarias auxiliares que la RMP, faciliando la resolución de los problemas. 5 Meodología En ese rabajo se probarán res problemas de programación de mezclado muli-periodo presenados en [10], específicamene los problemas B.4 8T-3P-2-721, B.2 8T-3P-2Q-146 y B.5 8T-4P-2Q-480, a los cuales denominamos P0, P1 y P2 43 JAIIO - SII ISSN: Página 75

11 respecivamene. Todos los modelos fueron implemenados en el lenguaje de modelado GAMS [13] y ejecuados en una compuadora personal con un procesador Inel Core GHz), 8 GB de RAM y con sisema operaivo Windows7 x 64 bis. Cada problema MILP se resolvió hasa un 0% de gap relaivo o una duración máxima de 5h, usando el resolvedor lineal GUROBI. Al finalizar se recopilan el valor de la solución, el iempo de cómpuo y el gap relaivo. 6 Resulados y Discusión En la Tabla 2 se presenan los resulados de los problemas relajados que se ensayaron. En los casos P0 y P1, que se pudieron resolver hasa opimalidad con la RMP en el iempo esablecido (excepo para P1 con 5 pariciones), se observa que la función objeivo iende muy lenamene al ópimo global con los incremenos en la canidad de pariciones; sin embargo los iempos de cómpuo aumenan de manera significaiva. Por eso úlimo no fue viable realizar relajaciones con más de 5 pariciones. Por ora pare, respeco de RDM se observa que con una precisión de para la concenración el problema relajado converge al ópimo global, mienras que el problema P2 lo hace con una precisión de denro del iempo esablecido. En cambio P1 con una precisión de obiene una sobre-esimación de la función objeivo ópima y con mayor precisión no se enconró el ópimo denro de el iempo previso. Por medio de relajación basada en descomposición muliparamérica se obuvo la convergencia al ópimo global en los problemas P0 y P2 denro del iempo esipulado, y para el P1 se obuvo una coa para la función objeivo ópima con un error relaivo de 0,001. Mienras que la relajación basada en parición del dominio y envoluras de McCormick sólo se obuvo la solución ópima, en el iempo esablecido, en el problema P0. Para los problemas P1 y P2 las mejores coas obenidas RMP uvieron un error relaivo de 0,03 en ambos casos, es decir un orden de magniud mayor a la obenida por RDM. En la Tabla 3 se presenan la canidad de resricciones y variables que resulan luego del preprocesamieno del modelo. Se puede observar que para la RMP, un incremeno de subdominios en el paricionado univariado aumena el número de variables binarias y resricciones, en forma aproximadamene lineal. La comparación enre los problemas P0 y P1 con P2, que se diferencian principalmene en que los primeros poseen 3 períodos y el úlimo iene 4, muesra que para ambas aproximaciones ocurre un incremeno de aproximadamene 33% en la canidad de variables y resricciones, lo que esá de acuerdo a lo anes expueso sobre la proporcionalidad del amaño del modelo respeco de la canidad de períodos. En la figura (2) se observa el máximo número de binarias que pueden requerir problemas similares a los abordados, pero con un numero creciene de anques de mezclado. Esas canidades de binarias fueron calculadas con las formulas presenadas en la abla (1), suponiendo dos problemas hipoéicos en el que odos los anques de mezclado se conecan enre si (caso más desfavorable). El problema hipoéico 2S-2D-3P-2Q iene en cuena 2 caracerísicas de calidad, 2 anques de suminisro, 2 de demanda y enre 4 y 16 de mezclado, con 3 periodos de iempo. Mienras que el problema 2S-2D-4P-2Q difiere únicamene en que posee 4 43 JAIIO - SII ISSN: Página 76

12 periodos de iempo. Al igual que lo observado en el cuadro (3), ambién en la figura se encuenra una proporcionalidad enre la canidad de binarias y la canidad de periodos, para ambos modelos. En ano que se disingue en el caso de la RMP un incremeno relaivo mucho más grande en la canidad de variables binarias al aumenar el número de anques de un problema, que el que experimena la RDM. Tabla 2: Resulados obenidos mediane relajaciones RDM y RMP Tabla 3: Esadísicas para los disinos modelo. Los problemas resuelos a opimalidad global fueron del amaño que podría presenarse en una pequeña refinería, para esos modelos se reporaron convergencias muy lenas con la uilización de resolvedores globales comerciales [11]. El modelado mediane RMP expresado en forma disyuniva es más sencillo de inerprear al RDM, 43 JAIIO - SII ISSN: Página 77

13 pero su impemeneación fue igual de compleja, ya que se lo radujo a un MILP mediane resricciones Big-M. Los rendimienos compuacionales fueron mucho mejores en el caso del modelo RDM. Por ora pare, la complejidad de realizar la implemenación de esos modelos en el lenguaje de modelado GAMS es relaivamene baja, ya que se realiza en base al modelo MINLP, reemplazando la única ecuación que coniene erminos bilineales por un conjuno de ecuaciones lineales, posibiliando obener soluciones globales de un problema con muchas no-convexidades. Por lo ano, los modelos RDM poseen una mejor relación enre coso compuacional y complejidad de implemenación. Figura 2: Canidad máxima de binarias en función del número de anques de mezclado. 7 Conclusiones En ese arículo se conrasó el desempeño de las relajaciones RMP y RDM en el problema de Programación de Mezclado Muliperíodo, comparando su coso compuacional y el ajuse de las soluciones obenidas. En los problemas analizados, el rendimieno de la RMP fue peor que el obenido con RDM, aún cuando la canidad de resricciones, variables coninuas y binarias de RMP fueron apenas una fracción de las uilizadas por RDM. Lo cual indica que el problema generado mediane RMP es más complejo. En el modelamieno de un nuevo problema de programación de mezclado muliperiodo que requiera la adición más anques, periodos o caracerísicas de calidad, el amaño del problema formulado por RMP crecerá de manera exponencial por cada anque añadido y linealmene por cada periodo o calidad agregada. En conrase, la relajación RDM incremenará linealmene el amaño para cada anque, periodo o caracerísica de calidad adicionados. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 78

14 Teniendo en cuena las observaciones aneriores se considera que el enfoque de la relajación basada en desagragación muliparamérica es más apo para la formulación de ese ipo de problemas que la basada en envoluras de McCormick y paricionado del dominio. 8 Agradecimienos Ese rabajo fue financiado con fondos del proyeco PIP 688 de CONICET. References 1. Misener, R., Thompson, J. P., Floudas, C. A.: Apogee: Global opimizaion of sandard, generalized, and exended pooling problems via linear and logarihmic pariioning schemes. Compu. Chem. Eng., 35: , Faruque Hasan, M. M., Karimi, I. A.: Piecewise linear relaxaion of bilinear programs using bivariae pariioning. AIChE J., 56(7): , McCormick, G. P.: Compuabiliy of global soluions o facorable nonconvex programs: Par 1- convex underesimaing problems. Mahemaical Programming, 10: , Al-Khayyal F.A., Falk J.E.: Joinly consrained biconvex programming. Mah Oper Res., 8: , Ruiz, J. P., Grossmann, I. E.: Exploiing vecor space properies o srenghen he relaxaion of bilinear programs arising in he global opimizaion of process neworks. Opimizaion Leers, 5:1-11, Ruiz, J. P., Grossmann, I. E.: Srenghening of lower bounds in he global opimizaion of bilinear and concave generalized disjuncive programs. Compu. Chem. Eng., 34: , Karuppiah, R., Grossmann, I. E.: Global opimizaion for he synhesis of inegraed waer sysems in chemical processes. Compu. Chem. Eng., 30: , Wicaksono, D. S., Karimi, I. A.: Piecewise milp under-and overesimaors for global opimizaion of bilinear programs. AIChE Journal, 54: , Kolodziej, S., Casro, P. M., Grossmann, I. E.: Global opimizaion of bilinear programs wih a muliparameric disaggregaion echnique. Journal of Global Opimizaion, hp://dx.doi.org/ /s , Teles, J. P., Casro, P. M., Maos H. A.: Muliparameric Disaggregaion Technique for Global Opimizaion of Polynomial Programming Problems. J. Glob. Opim.. doi /s , Kolodziej, S., Grossmann, I. E., Furman, K. C., Sawaya, N. W.: A discreizaion-based approach for he opimizaion of he muliperiod blend scheduling problem. Compu. Chem. Eng., 53: , Brook, A., Kendrick, D., Meeraus, A.: GAMS: A user's guide. The Scienific Press Series, JAIIO - SII ISSN: Página 79

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. Sistemas analógicos y digitales.

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. Sistemas analógicos y digitales. T-1 Inroducción a la elecrónica digial 1 TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL El raamieno de la información en elecrónica se puede realizar de dos formas, mediane écnicas analógicas o mediane écnicas

Más detalles

1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA

1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA hp://www.vinuesa.com 1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA 1.1.- INTRODUCCIÓN Los filros de pila consiuyen una clase de filros digiales no lineales. Un filro de pila que es usado

Más detalles

Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden

Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden Capíulo 4 Sisemas lineales de primer orden 4. Definición de sisema lineal de primer orden Un sisema de primer orden es aquel cuya salida puede ser modelada por una ecuación diferencial de primer orden

Más detalles

UNA MODELIZACIÓN PARA LOS ACCIDENTES DE TRABAJO EN ESPAÑA Y ANDALUCÍA

UNA MODELIZACIÓN PARA LOS ACCIDENTES DE TRABAJO EN ESPAÑA Y ANDALUCÍA UNA MODELIZACIÓN PARA LOS ACCIDENTES DE TRABAJO EN ESPAÑA Y ANDALUCÍA Por Mónica Orega Moreno Profesora Esadísica. Deparameno Economía General y Esadísica RESUMEN El aumeno de la siniesralidad laboral

Más detalles

Modelo de regresión lineal simple

Modelo de regresión lineal simple Modelo de regresión lineal simple Inroducción Con frecuencia, nos enconramos en economía con modelos en los que el comporamieno de una variable,, se puede explicar a ravés de una variable X; lo que represenamos

Más detalles

6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA

6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA 38 6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA 6.1 Méodo general Para valorar los usos recreacionales del agua, se propone una meodología por eapas que combina el uso de diferenes écnicas

Más detalles

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo Coberura de una carera de bonos con forwards en iempo coninuo Bàrbara Llacay Gilber Peffer Documeno de Trabajo IAFI No. 7/4 Marzo 23 Índice general Inroducción 2 Objeivos......................................

Más detalles

Y t = Y t Y t-1. Y t plantea problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de valores de distintas variables.

Y t = Y t Y t-1. Y t plantea problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de valores de distintas variables. ASAS DE VARIACIÓN ( véase Inroducción a la Esadísica Económica y Empresarial. eoría y Pácica. Pág. 513-551. Marín Pliego, F. J. Ed. homson. Madrid. 2004) Un aspeco del mundo económico que es de gran inerés

Más detalles

Un algoritmo para la Planificación de Producción en un Sistema en Red de Fabricación basada en Sistemas Multiagente 1

Un algoritmo para la Planificación de Producción en un Sistema en Red de Fabricación basada en Sistemas Multiagente 1 X Congreso de Ingeniería de Organización Valencia, 7 y 8 de sepiembre de 2006 Un algorimo para la Planificación de Producción en un Sisema en Red de Fabricación basada en Sisemas Muliagene 1 Julio J. García-Sabaer

Más detalles

1 Introducción... 2. 2 Tiempo de vida... 3. 3 Función de fiabilidad... 4. 4 Vida media... 6. 5 Tasa de fallo... 9. 6 Relación entre conceptos...

1 Introducción... 2. 2 Tiempo de vida... 3. 3 Función de fiabilidad... 4. 4 Vida media... 6. 5 Tasa de fallo... 9. 6 Relación entre conceptos... Asignaura: Ingeniería Indusrial Índice de Conenidos 1 Inroducción... 2 2 Tiempo de vida... 3 3 Función de fiabilidad... 4 4 Vida media... 6 5 Tasa de fallo... 9 6 Relación enre concepos... 12 7 Observaciones

Más detalles

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Learning by Doing (versión en tiempo discreto)

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Learning by Doing (versión en tiempo discreto) Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 4 - Soluciones 1 Learning by Doing (versión en iempo discreo) Considere una economía cuyas preferencias, ecnología, y acumulación

Más detalles

Métodos de Previsión de la Demanda Datos

Métodos de Previsión de la Demanda Datos Daos Pronósico de la Demanda para Series Niveladas Esime la demanda a la que va a hacer frene la empresa "Don Pinzas". La información disponible para poder esablecer el pronósico de la demanda de ese produco

Más detalles

METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001

METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001 METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001 Insiuo Nacional de Esadísica y Censos (INDEC) Dirección

Más detalles

Metodología de cálculo del diferencial base

Metodología de cálculo del diferencial base Meodología de cálculo del diferencial base El diferencial base es el resulado de expresar los gasos generales promedio de operación de las insiuciones de seguros auorizadas para la prácica de los Seguros

Más detalles

PRÁCTICA 3: Sistemas de Orden Superior:

PRÁCTICA 3: Sistemas de Orden Superior: PRÁCTICA 3: Sisemas de Orden Superior: Idenificación de modelo de POMTM. Esabilidad y Régimen Permanene de Sisemas Realimenados Conrol e Insrumenación de Procesos Químicos. . INTRODUCCIÓN Esa prácica se

Más detalles

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE.

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. Invesigación y écnicas de Mercado Previsión de Venas ÉCNICAS CUANIAIVAS ELEMENALES DE PREVISIÓN UNIVARIANE. (II) écnicas elemenales: Modelos Naive y Medias Móviles. Medición del error de previsión. Profesor:

Más detalles

Práctica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO

Práctica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO Prácica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO OBJETIVOS Esudiar los procesos de carga y de descarga de un condensador. Medida de capacidades por el méodo de la consane de iempo. MATERIAL Generador

Más detalles

IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas.

IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas. IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: esudio usando aplicaciones informáicas. onenido. apial financiero... 2. Leyes financieras: capialización y descueno...4 2. Leyes de capialización...4 2.2 Leyes de

Más detalles

Sistemade indicadores compuestos coincidentey adelantado julio,2010

Sistemade indicadores compuestos coincidentey adelantado julio,2010 Sisemade indicadores compuesos coincideney adelanado julio,2010 Sisema de Indicadores Compuesos: Coincidene y Adelanado SI REQUIERE INFORMACIÓN MÁS DETALLADA DE ESTA OBRA, FAVOR DE COMUNICARSE A: Insiuo

Más detalles

Modelos de Ajuste Nominal Incompleto. Por Agustín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeton. Analía Olgiati, BID. Javier DiFiori, Morgan Stanley

Modelos de Ajuste Nominal Incompleto. Por Agustín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeton. Analía Olgiati, BID. Javier DiFiori, Morgan Stanley Modelos de Ajuse Nominal Incompleo Por Agusín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeon. Analía Olgiai, BID. Javier DiFiori, Morgan Sanley JEL CLASS: E12 - Keynes; Keynesian; Pos-Keynesian E13 - Neoclassical

Más detalles

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Diarios

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Diarios La Conducción de la Políica Monearia del Banco de México a ravés del Régimen de Saldos Diarios INDICE I. INTRODUCCIÓN...2 II. LA OPERACIÓN DEL BANCO DE MÉXICO EN EL MERCADO DE DINERO...3 III. IV. II.1.

Más detalles

UNIDAD IX. Técnicas de Suavización

UNIDAD IX. Técnicas de Suavización UNIDAD IX Técnicas de Suavización UNIDAD IX La esadísica demuesra que suele ser más fácil hacer algo bien que explicar por qué se hizo mal. Allen L. Webser, 1998 Cuál es el objeivo de la Técnica de suavización?

Más detalles

Análisis espectral Tareas

Análisis espectral Tareas Análisis especral Tareas T3.1: Implemenación y represenación del periodograma El objeivo de esa area es que los alumnos se familiaricen con la función más sencilla de análisis especral no paramérico. Programe

Más detalles

Representación gráfica de curvas en forma paramétrica x a(t sent) 1.- Representar la curva dada por

Representación gráfica de curvas en forma paramétrica x a(t sent) 1.- Representar la curva dada por Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x a( sen) 1.- Represenar la curva dada por, siendo a > 0. y a(1 cos).- Emparejar cada curva con su gráfica ì ì x = a) ï x = í b) ï ì í ï c) ï x = - sen

Más detalles

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 1 - Soluciones 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizone Finio Considere un problema de ahorro-consumo sobre un horizone finio

Más detalles

Medición del tiempo de alza y de estabilización.

Medición del tiempo de alza y de estabilización. PRÁCTICA # 2 FORMAS DE ONDA 1. Finalidad Esudiar la respuesa de configuraciones circuiales simples a diferenes formas de exciación. Medición del iempo de alza y de esabilización. Medición del reardo. Medición

Más detalles

RE01 DIFERENCIA DEL LOGRO PROMEDIO EN COMPRENSIÓN LECTORA Y MATEMÁTICAS PARA 6 DE PRIMARIA Y 3 DE SECUNDARIA ENTRE 2000 Y 2005

RE01 DIFERENCIA DEL LOGRO PROMEDIO EN COMPRENSIÓN LECTORA Y MATEMÁTICAS PARA 6 DE PRIMARIA Y 3 DE SECUNDARIA ENTRE 2000 Y 2005 RESULTADOSEDUCATIVOS RE01 DIFERENCIA DEL LOGRO PROMEDIO EN COMPRENSIÓN LECTORA Y MATEMÁTICAS PARA 6 DE PRIMARIA Y 3 DE SECUNDARIA ENTRE 2000 Y 2005 FÓRMULA RE01 NOMBREdelINDICADOR Diferencia del loro promedio

Más detalles

Uso de Análisis Factorial Dinámico para Proyecciones Macroeconómicas

Uso de Análisis Factorial Dinámico para Proyecciones Macroeconómicas Uso de Análisis Facorial Dinámico para Proyecciones Macroeconómicas Alvaro Aguirre y Luis Felipe Céspedes * Resumen En ese rabajo implemenamos el méodo desarrollado por Sock y Wason (998) de análisis facorial

Más detalles

Tema 8: SERIES TEMPORALES

Tema 8: SERIES TEMPORALES Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE Tema 8: ERIE TEMPORALE. Concepo y componenes de una serie emporal. Definiremos una serie emporal como cualquier conjuno de N observaciones cuaniaivas

Más detalles

Metodología del Índice de Nivel de Actividad Registrada (INA R)

Metodología del Índice de Nivel de Actividad Registrada (INA R) Meodología del Índice de Nivel de Acividad Regisrada (INA R) Dirección responsable de la información esadísica y conenidos: DIRECCIÓN DE ESTADÍSTICAS ECONÓMICAS Realizadores: Ligia ordillo Pasquel Corrección

Más detalles

MECANISMOS DE TRANSMISIÓN

MECANISMOS DE TRANSMISIÓN MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DE LA POLÍTICA MONETARIA EN MÉXICO MIGUEL MESSMACHER LINARTAS* * Las opiniones expresadas en ese documeno son exclusivamene del auor y no necesariamene reflejan las del Banco

Más detalles

Capítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden

Capítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden Capíulo 5 Sisemas lineales de segundo orden 5. Definición de sisema de segundo orden Un sisema de segundo orden es aquel cuya salida y puede ser descria por una ecuación diferencial de segundo orden: d

Más detalles

Tema 3. El modelo neoclásico de crecimiento: el modelo de Solow-Swan

Tema 3. El modelo neoclásico de crecimiento: el modelo de Solow-Swan Tema 3. El modelo neoclásico de crecimieno: el modelo de Solow-Swan Inroducción Esquema El modelo neoclásico SIN progreso ecnológico a ecuación fundamenal del modelo neoclásico El esado esacionario Transición

Más detalles

EVALUACIÓN DE LOS EFECTOS DE LAS POLÍTICAS DE EXPORTACIÓN Y DE PRODUCTIVIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO A PARTIR DE MICROSIMULACIONES

EVALUACIÓN DE LOS EFECTOS DE LAS POLÍTICAS DE EXPORTACIÓN Y DE PRODUCTIVIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO A PARTIR DE MICROSIMULACIONES INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 6: 41 60 (2006) ISSN 1814-6333 EVALUACIÓN DE LOS EFECTOS DE LAS POLÍTICAS DE EXPORTACIÓN Y DE PRODUCTIVIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO A PARTIR DE MICROSIMULACIONES

Más detalles

MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO

MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEA INSTITUTO VASCO DE ESTADISTICA Donosia-San Sebasián, 1 01010 VITORIA-GASTEIZ

Más detalles

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Acumulados

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Acumulados La Conducción de la Políica Monearia del Banco de México a ravés del Régimen de Saldos Acumulados INDICE I. INTRODUCCIÓN...2 II. LA OPERACIÓN DEL BANCO DE MÉXICO EN EL MERCADO DE DINERO...3 II.1. ETIVOS

Más detalles

Optimización del Despacho de Unidades Generadoras en una Central Hidroeléctrica Utilizando Algoritmos Evolutivos Multiobjetivo

Optimización del Despacho de Unidades Generadoras en una Central Hidroeléctrica Utilizando Algoritmos Evolutivos Multiobjetivo Opimización del Despacho de Unidades Generadoras en una Cenral Hidroelécrica Uilizando Algorimos Evoluivos Muliobjeivo Carolina Villasani Universidad Caólica Nuesra Señora de la Asunción Faculad de Ciencias

Más detalles

Consorcio de Investigación Económica y Social (CIES) Concurso de Investigación CIES - IDRC - Fundación M.J. Bustamante 2012. Informe Técnico Final

Consorcio de Investigación Económica y Social (CIES) Concurso de Investigación CIES - IDRC - Fundación M.J. Bustamante 2012. Informe Técnico Final Consorcio de Invesigación Económica y Social (CIES) Concurso de Invesigación CIES - IDRC - Fundación M.J. Busamane 2012 Informe Técnico Final (Agoso 2013) Creación y Desrucción de Empleos en Economías

Más detalles

Control de un péndulo invertido usando métodos de diseño no lineales

Control de un péndulo invertido usando métodos de diseño no lineales Conrol de un péndulo inverido usando méodos de diseño no lineales F. Salas salas@caruja.us.es J.Aracil aracil@esi.us.es F. Gordillo gordillo@esi.us.es Depo de Ingeniería de Sisemas y Auomáica.Escuela Superior

Más detalles

Las derivadas de los instrumentos de renta fija

Las derivadas de los instrumentos de renta fija Las derivadas de los insrumenos de rena fija Esrella Peroi, MBA Ejecuivo a cargo Capaciación & Desarrollo Bolsa de Comercio de Rosario eperoi@bcr.com.ar Como viéramos en el arículo el dilema enre la asa

Más detalles

INSTITUTO NACIONAL DE PESCA

INSTITUTO NACIONAL DE PESCA INSTITUTO NACIONAL DE PESCA Dirección General de Invesigación Pesquera en el Pacífico Nore Subdirección de Tecnología en el Pacífico Nore. Indicadores económico-financieros para la capura de camarón y

Más detalles

Matemática financiera

Matemática financiera UNDAD 2 Maemáica financiera L a necesidad de efecuar numerosos y complicados cálculos dio origen a los logarimos. Los más usados son los logarimos neperianos, llamados así en honor de John Neper (156 1617),

Más detalles

4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE

4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE Evaluación de Proyecos de Inversión 4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE La generación de indicadores de renabilidad de los proyecos de inversión, surge como respuesa a la necesidad de disponer

Más detalles

Observatorio * EL AUMENTO DEL IVA EN ESPAÑA: UNA CUANTIFICACIÓN ANTICIPADA DE SUS EFECTOS **

Observatorio * EL AUMENTO DEL IVA EN ESPAÑA: UNA CUANTIFICACIÓN ANTICIPADA DE SUS EFECTOS ** Revisa de Economía Aplicada E Número 53 (vol. XVIII), 2010, págs. 163 a 183 A Observaorio * EL AUMENTO DEL IVA EN ESPAÑA: UNA CUANTIFICACIÓN ANTICIPADA DE SUS EFECTOS ** GONZALO FERNÁNDEZ-DE-CÓRDOBA Universidad

Más detalles

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones GUIA 1 Ecuaciones diferenciales, concepos básicos y aplicaciones Las ecuaciones diferenciales ordinarias son una herramiena básica en las ciencias y las ingenierías para el esudio de sisemas dinámicos

Más detalles

ECONOMÍA. Teoría del control óptimo: Una guía para principiantes! David Bardey y Hélène Bonnet ISSN 0124 4396

ECONOMÍA. Teoría del control óptimo: Una guía para principiantes! David Bardey y Hélène Bonnet ISSN 0124 4396 ISSN 0124 4396 ECONOMÍA BORRADORES DE INVESTTI I IGACIÓN No. 87. Enero 2006 Teoría del conrol ópimo: Una guía para principianes! David Bardey y Hélène Bonne UNIVERSIDAD DEL ROSARIO Colegio Mayor de Nuesra

Más detalles

ELECTRONICA DE POTENCIA

ELECTRONICA DE POTENCIA LTRONIA D POTNIA TIRISTORS Anonio Nachez A4322 LTRONIA IV A4.32.2 lecrónica IV 2 3 INDI 1. onmuación naural 2. onmuación forzada 3. Méodos de apagado: lasificación 4. lase A: Auoconmuado por carga resonane

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DIRECCIÓN DE OPERACIONES. Federico Garriga Garzón

PROBLEMAS RESUELTOS DIRECCIÓN DE OPERACIONES. Federico Garriga Garzón PROBLEMAS RESUELTOS DE DIRECCIÓN DE OPERACIONES Federico Garriga Garzón Open Access Suppor Si encuenra ese libro ineresane le agradeceríamos que diera sopore a sus auores y a OmniaScience para coninuar

Más detalles

6. ALGEBRAS DE BOOLE

6. ALGEBRAS DE BOOLE 6.1. Relaciones de orden Relación de orden Se llama relación de orden sobre un conjuno A a cualquier relación R enre sus elemenos que verifica las siguienes res propiedades: 1. Refleiva: ara, para cualquier

Más detalles

MODELO PARA EL CÁLCULO DE TARIFAS DE EMPRESAS ELÉCTRICAS DE DISTRIBUCIÓN CONSIDERANDO ASPECTOS ECONÓMICO-FINANCIEROS

MODELO PARA EL CÁLCULO DE TARIFAS DE EMPRESAS ELÉCTRICAS DE DISTRIBUCIÓN CONSIDERANDO ASPECTOS ECONÓMICO-FINANCIEROS MODELO PARA EL CÁLCULO DE TARIFAS DE EMPRESAS ELÉCTRICAS DE DISTRIBUCIÓN CONSIDERANDO ASPECTOS ECONÓMICO-FINANCIEROS Marcos Facchini (*), Albero Andreoni (*), Andrés Koleda (**), Ángel Garay (**), María

Más detalles

Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria

Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria Aplicaciones de la Probabilidad en la Indusria Cuara pare Final Dr Enrique Villa Diharce CIMAT, Guanajuao, México Verano de probabilidad y esadísica CIMAT Guanajuao,Go Julio 010 Reglas para deección de

Más detalles

Anexo SNIP 22 Lineamientos para PIP mediante APP cofinanciada

Anexo SNIP 22 Lineamientos para PIP mediante APP cofinanciada Lineamienos para PIP mediane APP cofinanciada Se provee el presene insrumeno meodológico con el objeo de conribuir a mejorar la oma de decisiones respeco a la modalidad de ejecución de un proyeco de inversión

Más detalles

LA VELOCIDAD DE CIRCULACION DE DINERO EN EL ECUADOR

LA VELOCIDAD DE CIRCULACION DE DINERO EN EL ECUADOR 1 LA VELOCIDAD DE CIRCULACION DE DINERO EN EL ECUADOR José Luis Moncayo Carrera 1 Ec. Manuel González 2 RESUMEN El presene documeno iene como objeivo, presenar la aplicación de écnicas economéricas en

Más detalles

13.0 COSTOS Y VALORACIÓN ECONÓMICA

13.0 COSTOS Y VALORACIÓN ECONÓMICA 13.0 COSTOS Y VALORACIÓN ECONÓMICA 13.1 INTRODUCCIÓN En esa sección, se calcula el valor económico de los impacos ambienales que generará el Proyeco Cruce Aéreo de la Fibra Ópica en el Kp 184+900, el cual

Más detalles

CORRELACIÓN LINEAL Y ANÁLISIS DE REGRESIÓN

CORRELACIÓN LINEAL Y ANÁLISIS DE REGRESIÓN CORRELACIÓN LINEAL Y ANÁLISIS DE REGRESIÓN Auores: Alicia Vila (avilag@uoc.edu), Máximo Sedano (msedanoh@uoc.edu), Ana López (alopezra@uoc.edu), Ángel A. Juan (ajuanp@uoc.edu), MAPA CONCEPTUAL Definición

Más detalles

TEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0,

TEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0, TEMA: FUNCIONES: ÍNDICE:. Inroducción.. Dominio y recorrido.. Gráficas de funciones elemenales. Funciones definidas a rozos. 4. Coninuidad.. Crecimieno y decrecimieno, máimos y mínimos. 6. Concavidad y

Más detalles

En el campo del control industrial se diferencian dos tipos de sistemas: MONITORIZACIÓN. Display S A L I D A. Alarmas S A L I D A

En el campo del control industrial se diferencian dos tipos de sistemas: MONITORIZACIÓN. Display S A L I D A. Alarmas S A L I D A MUESTREO DE SEÑALES Tipos de Señales de los Procesos Indusriales El ipo de señales usadas en conrol de procesos dependen del nivel en el que nos siuemos. Así, a nivel alo se uilizan señales de comunicación

Más detalles

Análisis de inversiones y proyectos de inversión

Análisis de inversiones y proyectos de inversión Análisis de inversiones y proyecos de inversión Auora: Dra. Maie Seco Benedico Índice 5. Análisis de Inversiones 1. Inroducción. 2. Crierios para la valoración de un proyeco. 3. Técnicas de valoración

Más detalles

TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES. Función Logarimo Todos conocemos la definición de logarimo en base b, siendo b un número enero posiivo disino de. u = log b x x = b u y la propiedad fundamenal log b (xy)

Más detalles

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS 9.2 La asa naural de desempleo y la curva de Phillips La relación enre el desempleo y la inflación La curva de Phillips, basada en los daos aneriores

Más detalles

Dispositivos semiconductores

Dispositivos semiconductores Deparameno de Telecomunicaciones Disposiivos semiconducores 3 Inroduccion Veremos los disposiivos semiconducores más básicos: los diodos. Veremos las variables más comunes de esos semiconducores; El diodo

Más detalles

Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase

Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase Lección 5 Técnicas cualiaivas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendienes y líneas de fase 5.. Técnicas Cualiaivas Hasa ahora hemos esudiado écnicas analíicas para calcular,

Más detalles

ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS)

ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS) ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS) Anexo VI Prácicas de Sismología e Ingeniería Sísmica PRACTICA 5. TRATAMIENTO DE ACELEROGRAMAS. 1. OBJETIVO Aprender a llevar a cabo

Más detalles

LÍNEAS DE FASES. Fig. 1. dx (1) dt se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω.

LÍNEAS DE FASES. Fig. 1. dx (1) dt se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω. LÍNEAS DE FASES E. SÁEZ Sea el dominio Ω R R y la función F : Ω R. F R Ω Una epresión de la forma Fig. 1 d (1) = F(,), o bien, ẋ = F(,) se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden

Más detalles

Intercambiador de Tubo y Coraza. Operaciones Unitarias. Intercambiadores de Calor de Tubo y Carcasa

Intercambiador de Tubo y Coraza. Operaciones Unitarias. Intercambiadores de Calor de Tubo y Carcasa Inercambiador de Tubo y Coraza Operaciones Uniarias Inercambiadores de Calor de Tubo y Carcasa El inercambiador de ubos y coraza (ubos y carcasa, ubos y casco), es hasa ahora, enre los equipos de ransferencia

Más detalles

Unidades Vinculadas al PBI:

Unidades Vinculadas al PBI: Unidades Vinculadas al PBI: Meodología y Valuación. Tesina de Licenciaura en Economía Mercedes Mac Mullen Universidad Caólica Argenina, 2007 TUTOR: Francisco Ciocchini I. Inroducción En el rabajo se provee

Más detalles

FÍSICA. PRUEBA ACCESO A UNIVERSIDAD +25 TEMA 8. Corriente eléctrica

FÍSICA. PRUEBA ACCESO A UNIVERSIDAD +25 TEMA 8. Corriente eléctrica FÍSC. PUEB CCESO UNESDD +5 TEM 8. Corriene elécrica Una corriene elécrica es el desplazamieno de las cargas elécricas. La eoría aómica acual supone ue la carga elécrica posiiva esá asociada a los proones

Más detalles

Nota Técnica Índice de Tipo de Cambio Efectivo Real Multilateral con ponderadores móviles

Nota Técnica Índice de Tipo de Cambio Efectivo Real Multilateral con ponderadores móviles Noa Técnica Índice de Tipo de Cambio Efecivo Real Mulilaeral con ponderadores móviles 1. Inroducción: La presene noa écnica preende inroducir y explicar al público el Índice de Tipo de Cambio Efecivo Real

Más detalles

Criterios de evaluación y selección de los proyectos de inversión en Cuba

Criterios de evaluación y selección de los proyectos de inversión en Cuba Crierios de evaluación y selección de los proyecos de inversión en Cuba Auor: Msc. Eliover Leiva Padrón E-Mail: eleyva@ucfinfo.ucf.edu.cu Insiución: Universidad de Cienfuegos Carlos Rafael Rodríguez Carreera

Más detalles

UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temístocles Montás

UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temístocles Montás UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temísocles Monás Puede el comporamieno acual de la políica fiscal sosenerse sin generar una deuda pública que crezca sin límie?

Más detalles

LÍNEAS DE MONTAJE CON TIEMPOS DEPENDIENTES DEL TIPO DE OPERARIO

LÍNEAS DE MONTAJE CON TIEMPOS DEPENDIENTES DEL TIPO DE OPERARIO 27 Congreso Nacional de Esadísica e Invesigación Operaiva Lleida, 8-11 de abril de 2003 LÍNEAS DE MONTAJE CON TIEMPOS DEPENDIENTES DEL TIPO DE OPERARIO A. Corominas 1, R. Pasor 1, J. Plans 2 1 Insiuo de

Más detalles

Definición. Elementos de un Sistema de Control

Definición. Elementos de un Sistema de Control TEORÍA DE CONTROL. Tema 1. Inroducción a los Sisemas de Conrol Sisema de Conrol Los conroles auomáicos o sisemas de conrol consiuyen una pare muy imporane en los procesos indusriales modernos, donde se

Más detalles

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 9

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 9 4 Reconoce el significado de los eponenes racionales posiivos negaivos uiliza las lees de los eponenes. Por ejemplo: 7 7 7 + 7 4 7 7 7 7 40 ( 7 / ) / 7 / / 7 /0 0 7,... Uiliza la noación cienífica para

Más detalles

COMPARACION DE PLANES DE PENSIONES DESDE LA PERSPECTIVA DEL INVERSOR

COMPARACION DE PLANES DE PENSIONES DESDE LA PERSPECTIVA DEL INVERSOR COMPARACION DE PLANES DE PENSIONES DESDE LA PERSPECTIVA DEL INVERSOR Monserra Guillén 1, Jens Perch Nielsen 2 y Ana M. Pérez-Marín 3 RESUMEN En ese rabajo se comparan res producos básicos de ahorro exisenes

Más detalles

Enfoques de Programación Matemática para la Previsión de la Demanda mediante descomposición de series temporales

Enfoques de Programación Matemática para la Previsión de la Demanda mediante descomposición de series temporales IX Congreso de Ingeniería de Organización Gijón, 8 y 9 de sepiembre de 2005 Enfoques de Programación Maemáica para la Previsión de la Demanda mediane descomposición de series emporales Josefa Mula Bru,

Más detalles

EVALUACION EMPIRICA DE LAS IMPLICACIONES DE LARGO PLAZO DEL MODELO NEOCLASICO DE CRECIMIENTO ECONOMICO EN LA ECONOMIA VENEZOLANA. Raúl J.

EVALUACION EMPIRICA DE LAS IMPLICACIONES DE LARGO PLAZO DEL MODELO NEOCLASICO DE CRECIMIENTO ECONOMICO EN LA ECONOMIA VENEZOLANA. Raúl J. EVALUACION EMPIRICA DE LAS IMPLICACIONES DE LARGO PLAZO DEL MODELO NEOCLASICO DE CRECIMIENTO ECONOMICO EN LA ECONOMIA VENEZOLANA Raúl J. Crespo* Noviembre, 2002 El presene rabajo es una versión del ariculo

Más detalles

Metodología de Cálculo Mensual de los Índices de Precios de Comercio Exterior

Metodología de Cálculo Mensual de los Índices de Precios de Comercio Exterior Meodología de Cálculo Mensual de los Índices de Precios de Comercio Exerior Dirección Técnica de Indicadores Económicos Dirección Ejecuiva de Índices de Precios LIMA PERÚ Ocubre de 2013 1 ÍNDICE Pág. Inroducción

Más detalles

APUNTE: ELECTRICIDAD-1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

APUNTE: ELECTRICIDAD-1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA APUNTE: EECTRICIDAD- INDUCCIÓN EECTROMAGNÉTICA Área de EET Página de 3 Derechos Reservados Tiular del Derecho: INACAP N de inscripción en el Regisro de Propiedad Inelecual #. de fecha - -. INACAP 00. Página

Más detalles

domótico Extras 2.1 Unidad de control 2.2 Dispositivos de entrada 2.4 Electrodomésticos domóticos 2.5 Medios de comunicación en redes domésticas

domótico Extras 2.1 Unidad de control 2.2 Dispositivos de entrada 2.4 Electrodomésticos domóticos 2.5 Medios de comunicación en redes domésticas 2 Elemenos de un sisema domóico Conenidos 2.1 Unidad de conrol 2.2 Disposiivos de enrada 2.3 Acuadores 2.4 Elecrodomésicos domóicos 2.5 Medios de comunicación en redes domésicas 2.6 Tecnologías aplicadas

Más detalles

3 Aplicaciones de primer orden

3 Aplicaciones de primer orden CAÍTULO 3 Aplicaciones de primer orden 3.2. Modelo logísico El modelo de Malhus iene muchas limiaciones. or ejemplo, predice que una población crecerá exponencialmene con el iempo, que no ocurre en la

Más detalles

Keywords: seguro de vida, provisión matemática, probabilidad, función de distribución, solvencia, value at risk, VAT, valor actual neto, VAN.

Keywords: seguro de vida, provisión matemática, probabilidad, función de distribución, solvencia, value at risk, VAT, valor actual neto, VAN. El seguro de vida como variable aleaoria. Cómo calcular su función de disribución. Nieo Ranero, Armando Universiy of Valencia, Spain Do. Maemáicas Económico Empresarial, Edificio Deparamenal Orienal, Av.

Más detalles

SERIES TEMPORALES. Cecilia Esparza Catalán

SERIES TEMPORALES. Cecilia Esparza Catalán SERIES TEMPORALES Cecilia Esparza Caalán Cecilia Esparza Caalán ÍNDICE Página.- INTRODUCCIÓN.. 2 2.- ANÁLISIS PRELIMINAR DE UNA SERIE... 3 - Tendencia y nivel de la serie.... 4 - Esacionalidad.... 9 -

Más detalles

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003 ADAPTACION DE LOS TIPOS DE INTERES DE INTERVENCION A LA REGLA DE TAYLOR. UN ANALISIS ECONOMETRICO Carlos Paeiro Rodríguez 1, Deparameno de Análisis

Más detalles

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 2

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 2 Fundamenos de Elecrónica - Análisis de Circuios en Corriene Alerna 1 Análisis de Circuios en Corriene Alerna 1. Inroducción: Coninuando con el esudio de los principios básicos que rigen el comporamieno

Más detalles

Examen Parcial de Econometría II. Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo:

Examen Parcial de Econometría II. Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo: Escuela Superior Poliécnica del Lioral Faculad de Economía y Negocios 30-11-2011 Examen Parcial de Economería II Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo: REGLAMENTO DE EVALUACIONES Y CALIFICACIONES

Más detalles

Factores Cíclicos y Estructurales en la Evolución de la Tasa de Desempleo *

Factores Cíclicos y Estructurales en la Evolución de la Tasa de Desempleo * Facores Cíclicos y Esrucurales en la Evolución de la Tasa de Desempleo * Nikia Céspedes Reynaga 1. Inroducción El esudio de la relación enre los agregados económicos iene una imporancia vial para quienes

Más detalles

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace Capíulo 8 La ransformada de Laplace 8.. Inroducción a las ransformadas inegrales En ese aparado aprenderemos un méodo alernaivo para resolver el problema de valores iniciales (4.5.) y (x) + py (x) + qy(x)

Más detalles

Metodología del Índice de Precios al Consumidor BASE JULIO 2006

Metodología del Índice de Precios al Consumidor BASE JULIO 2006 Meodología del Índice de Precios al Consumidor BASE JULIO 2006 San José, Cosa Rica SETIEMBRE 2006 Meodología del Índice de Precios al Consumidor Base Julio 2006 BASE JULIO 2006 San José, Cosa Rica SETIEMBRE

Más detalles

Indicadores de Comercio Exterior y Dinamismo Comercial Aplicación para Uruguay en el período 1997 al 2012 1

Indicadores de Comercio Exterior y Dinamismo Comercial Aplicación para Uruguay en el período 1997 al 2012 1 Indicadores de Comercio Exerior y Dinamismo Comercial Aplicación para Uruguay en el período 1997 al 2012 1 Ec. Diego G. Fernández RESUMEN En ese rabajo se realiza un esudio descripivo en el cuál se elabora

Más detalles

Introducción a la Estadística Empresarial. Capítulo 4.- Series temporales Jesús Sánchez Fernández

Introducción a la Estadística Empresarial. Capítulo 4.- Series temporales Jesús Sánchez Fernández Inroducción a la Esadísica Empresarial. Capíulo 4.- Series emporales CAPITULO 4.- SERIES TEMPORALES 4. Inroducción. Hasa ahora odas las variables que se han esudiado enían en común que, por lo general,

Más detalles

IGUALDAD DE OPORTUNIDADES: UNA APLICACIÓN AL SISTEMA TRIBUTARIO CHILENO*

IGUALDAD DE OPORTUNIDADES: UNA APLICACIÓN AL SISTEMA TRIBUTARIO CHILENO* Igualdad Esudios de Economía. Oporunidades: Vol. 32 /- Fernando Nº 1, Junio Cabrales, 2005. Págs. Ana 69-96 Fernández, Friz Grafe 69 IGUALDAD DE OPORTUNIDADES: UNA APLICACIÓN AL SISTEMA TRIBUTARIO CHILENO*

Más detalles

Test. Cada pregunta correcta está valorada con 0.5 puntos y cada incorrecta resta 0.25 puntos

Test. Cada pregunta correcta está valorada con 0.5 puntos y cada incorrecta resta 0.25 puntos Teléf.: 91 533 38 4-91 535 19 3 8003 MADRID EXAMEN DE ECONOMETRÍA (enero 010) 1h 15 Apellidos: Nombre: Tes. Cada preguna correca esá valorada con 0.5 punos y cada incorreca resa 0.5 punos 1.- Al conrasar

Más detalles

CARACTERÍSTICAS DEL DESEMPLEO EN MEDELLÍN Y EL VALLE DE ABURRÁ: 1988-2000 JUAN BYRON CORREA FONNEGRA *

CARACTERÍSTICAS DEL DESEMPLEO EN MEDELLÍN Y EL VALLE DE ABURRÁ: 1988-2000 JUAN BYRON CORREA FONNEGRA * CARACTERÍSTICAS DEL DESEMPLEO EN MEDELLÍN Y EL VALLE DE ABURRÁ: 988 - JUAN BYRON CORREA FONNEGRA * Inroducción En las úlimas dos décadas en Colombia se ha presenado un aumeno en los esudios sobre economía

Más detalles

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES UNIDD 5: MTRICES Y DETERMINNTES ÍNDICE DE L UNIDD - INTRODUCCIÓN - MTRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MTRICES 3- OPERCIONES CON MTRICES 4 4- TRNSFORMCIONES ELEMENTLES EN UN MTRIZ6 5- MTRIZ INVERS 7 6-

Más detalles

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO PROCESOS ESOCÁSICOS PROCESOS ESOCÁSICOS INEGRAL ESOCÁSICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESOCASICAS: LEMA DE IO Procesos esocásicos Un proceso esocásico describe la evolución emporal de una variable aleaoria.

Más detalles

Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores S.A.B. de C.V. (en adelante IPC y BMV respectivamente).

Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores S.A.B. de C.V. (en adelante IPC y BMV respectivamente). Auorización SHCP: 09/11/2010 Fecha de publicación úlima modificación: 29/08/2014 Fecha de enrada en vigor: 05/09/2014 Condiciones Generales de Conraación del Conrao de Fuuro sobre el Índice de Precios

Más detalles

TEMA 3 EXPECTATIVAS, CONSUMO E INVERSIÓN

TEMA 3 EXPECTATIVAS, CONSUMO E INVERSIÓN TEMA 3 EXPECTATIVAS, CONSUMO E INVERSIÓN En el Tema 2 analizamos el papel de las expecaivas en los mercados financieros. En ése nos cenraremos en los de bienes y servicios. El papel que desempeñan las

Más detalles

El crecimiento económico colombiano en el siglo XX: aspectos globales

El crecimiento económico colombiano en el siglo XX: aspectos globales El crecimieno económico colombiano en el siglo XX: aspecos globales Por GRECO Grupo de esudios del crecimieno económico colombiano Direcor : Invesigadores : Asisene de invesigación: Miguel Urruia Adriana

Más detalles

INFORME FINAL POR FEDESARROLLO

INFORME FINAL POR FEDESARROLLO INFORME FINAL LA INDUSTRIA DEL CEMENTO EN COLOMBIA ESTUDIO REALIZADO PARA CÁMARA COLOMBIANA PARA LA CONSTRUCCIÓN - CAMACOL POR FEDESARROLLO Mauricio Cárdenas S. Carolina Mejía M. Fabián García A. FEBRERO

Más detalles