Comparación de Relajaciones de Términos Bi-Lineales: Aplicación al Problema de Programación de Mezclado Multi-Período

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1 Comparación de Relajaciones de Términos Bi-Lineales: Aplicación al Problema de Programación de Mezclado Muli-Período Danilo A. Figueroa P., Rafael R. A. Vargas, Aldo R. Vecchiei y José Espinosa INGAR, Insiuo de Desarrollo y Diseño, Avellaneda 3657, S3002GJC Sana Fe, Argenina hp:// Resumen En los modelos de muchas aplicaciones indusriales en las que se realizan procesos de mezclado surgen frecuenemene érminos que incluyen el produco de dos variables coninuas. Esos érminos, denominados bi-lineales, generan no-convexidades que dificulan la opimización de dichos procesos. En paricular el problema de Pooling y sus derivados, se caracerizan por conener muchas resricciones con dicho ipo de érminos. En la lieraura conemporánea se encuenran diversas aproximaciones, cuyo objeivo es enconrar una solución eficiene a ese ipo de problemas. Algunos de esos enfoques, cuyas soluciones se conrasan en el presene esudio, se basan en la aproximación por ramos de los érminos bilineales con envoluras de McCormick y la descomposición muliparamérica de alguna de las variables. Palabras Clave: Relajación de McCormick con Dominio Paricionado, Desagregación Muliparamérica, Términos Bilineales 1 Inroducción Un problema común que se presena en procesos del campo de la ingeniería ales como refinerías de peróleo y sisemas de suminisro y raamieno de agua, es maximizar la uilidad, sujeo a resricciones de disponibilidad de suminisros, capacidad inermedia de almacenamieno, demanda y especificaciones de produco. Tal problema recibe el nombre de pooling [1]. En ese problema básico se supone una configuración definida de la red del proceso, debiendo seleccionarse los flujos enre los disinos nodos, siendo modelado a ravés de un Programa No Lineal (NLP). Se denomina problema de Pooling Generalizado a la variane del problema descripo aneriormene, en el cual se debe seleccionar la configuración ópima de la red, eligiendo las inerconexiones enre los nodos fuene, inermedios y salida, mediane decisiones discreas, generando un Programa Mixo Enero No Lineal (MINLP) que exhibe múliples soluciones localmene ópimas. Los problemas descripos incorporan la suposición de una operación en esado esacionario, es decir que la variación emporal en los suminisros y demandas de producos no son modeladas. El Problema de Programación de Mezclado Muli-período, de imporancia en las indusrias de refinería y peroquímica, puede enenderse como un problema de pooling generalizado que incorpora la operación no esacionaria del proceso al considerar múliples periodos discreos. Consecuenemene, 43 JAIIO - SII ISSN: Página 66

2 el amaño del modelo se incremena susancialmene al ener en cuena un mayor número de decisiones discreas. El problema de pooling y sus derivados son ampliamene esudiados debido a que conllevan una gran dificulad para enconrar un ópimo global. Su complejidad es causada por la no-convexidad generada por los érminos bi-lineales presenes en las resricciones que describen los procesos de mezclado, y en el caso específico de pooling generalizado y programación de mezclado muli-periodo se incremena aún más su dificulad debido a la oma de decisiones discreas por medio de variables binarias. Para la resolución de esos programas maemáicos los resolvedores locales no garanizan la opimalidad global de la solución mienras que resolvedores globales suelen fallar al converger u obener una solución facible [2]. La formulación y resolución de ese ipo de problemas, pueden abordarse de disinas maneras. Una aproximación clásica es el uso de envoluras de McCormick, [3],[11], para los érminos bi-lineales, aunque más recienemene se han presenado envoluras alernaivas como las de Ruiz y Grossmann [4]. Esos úlimos ambién buscaron aplicar la programación disyuniva generalizada para acoar las bi-linealidades [5]. Karuppiah y Grossmann demosraron la uilidad de agregar resricciones redundanes de balance de masa como un mecanismo para ajusar el acoamieno en las envoluras de McCormick y aplicaron esa écnica al problema de las redes de agua [8]. Wicaksono y Karimi han propueso un nuevo méodo para obener sub y sobre esimadores para programas bi-lineales basados en el paricionado del dominio [7]. Esos auores resalan la imporancia de esa écnica en el área de sínesis de procesos. Recienemene varios refinamienos de las aproximaciones aneriores han sido desarrolladas por Misener, Tompson y Floudas, [1], especialmene usando envoluras de McCormick en conjuno con aproximaciones por ramos de los érminos bi-lineales. Dado que un érmino bi-lineal iene dos variables en su composición se presenan res alernaivas de paricionado, dos de ellas corresponden al paricionado de sólo una de las variables, raamieno al cual se llama paricionado uni-variado, en ano que el paricionado de ambas variables a la vez se denomina bi-variado [2]. Por lo general las formulaciones uilizan un paricionado uni-variado, [7],[2], sin embargo Karuppiah y Grossmann mencionan la posibilidad de usar un paricionado bi-variado, aunque prefieren segmenar una sola variable en sus esudios, argumenando que la adición de variables coninuas y binarias podrían incremenar el esfuerzo compuacional hasa un límie inacepable [8]. Wikaksono y Karimi reporan una mejora en la calidad de la relajación usando un paricionado bi-variado pero presenan poca información acerca del desempeño [7]. Kolodziej e al. [9] presenaron un algorimo que uiliza una relajación MILP del problema original, basada en la écnica de descomposición muli-paramérica y envoluras de McCormick. Esa écnica ofrece una coa superior (maximización) cuyo ajuse puede ser mejorado incremenando la precisión de la descomposición. Además, señalaron su eficiene desempeño comparando dicho algorimo con resolvedores globales [9]. La propuesa de ese rabajo consise en la uilización de dos écnicas: McCormick paricionado y descomposición muliparamérica con el objeivo de obener una relajación MILP de problemas de programación de mezclado muliperiodo. El desempeño de los modelos MILP será medido ano por la calidad de la relajación como por la carga compuacional resulane; eso permiirá realizar una evaluación que 43 JAIIO - SII ISSN: Página 67

3 mosrará las venajas o desvenajas de la aplicación de cada una de las écnicas. 2 Planeo del Problema El problema de programación de mezclado muliperiodo se represena por una red de nodos; cada nodo simboliza un anque. Figure 1: Esquema de una red en un problema de pooling. Se consideran res subconjunos de anques, diferenciados según su función, sea de suminisro, mezclado ó demanda ; siendo. Las corrienes que van desde un anque a oro se muesran como inerconexiones enre nodos, paricularmene esas corrienes se dan en una sola dirección y siempre desde un anque de suminisro a mezclado, suminisro a demanda, mezclado a mezclado ó mezclado a demanda. La programación secuencial de mezclado se realiza considerando múliples periodos discreos en los cuales se efecúan las operaciones de ranspore, llenado, mezclado y vaciado. Se asume que un anque de mezclado no se puede llenar y vaciar en el mismo periodo de iempo. El conenido de cada anque por periodo se maneja como un invenario el cual puede esar limiado por una capacidad máxima y mínima de cada anque y. El flujo que va desde un anque a oro en cada periodo de iempo esá resringido por los valores y ; además, los flujos de suminisro y demanda son especificados en cada periodo de iempo por, y, ; ésos ienen asociado un coso uniario para el suminisro, y un precio uniario para la demanda,. La concenración asociada a un componene o especie se maneja para cada uno de los anques y periodos. Por simplicidad la composición para los anques de suminisro se maniene fija en odos los periodos, en un valor dado por mienras que la composición en los anques de demanda pueden variar enre y, para cumplir con los esándares deseados. La decisión de usar una deerminada inerconexión se realiza acivando la variable binaria, lo 43 JAIIO - SII ISSN: Página 68

4 que conlleva un coso fijo y un coso de circulación. Finalmene, la uilidad del proceso se genera por la vena de la producción demandada menos el consumo de suminisros y cosos operaivos. El objeivo por ano es maximizar la uilidad seleccionando adecuadamene las inerconexiones y el valor de flujo en cada periodo, cumpliendo con las resricciones de la operación del proceso. En la figura (1) se represena una red de anques de suminisro, mezclado y demanda y sus posibles conexiones. 3 Formulación del Modelo Una de las formulaciones del problema de programación de mezclado muliperíodo, descripo aneriormene, es la represenada por las ecuaciones (1) a (15), que definen un modelo MINLP. La ecuación (1) es la función objeivo que maximiza el valor de la uilidad calculado como la vena de una canidad de produco demandado menos los cosos por suminisros consumidos y los cosos de operación fijos y variables por circulación de flujos. max sdn Fn, n, sdn F n, n, T n S B n D n S n B D T n, n CNN Y F (1) n, n n, n, n, n n, n, El modelo se encuenra sujeo a las resricciones expresadas de (2) a (15). UP Fn, n, Fn, n, Yn, n, n, n CNN; T (2) LO Fn, n, Fn, n, Yn, n, n, n CNN; T (3) Las ecuaciones (2) y (3) limian el flujo enre su coa superior e inferior. Las variables binarias Y n,n, son iguales a 1 cuando la conexión exise, 0 en caso conrario. C C M 1 Y q Q; n B; n D; T (4) UP q, n, 1 q, n n, n, C C M 1 Y q Q; n B; n D; T (5) UP q, n, 1 q, n n, n, Las ecuaciones (4) y (5) obligan a que en cada período cualquier flujo que sea inroducido a los anques de demanda saisfaga los valores de concenración limies especificados. Esas resricciones son del ipo BigM, las cuales deben saisfacerse cuando Y n,n, es igual a 1 y la conexión enre anques exise, si no la variable se hace 0 y la resricción es redundane en el modelo. Para el caso del período =0 los valores de las variables coninuas oman valores consanes, deerminados por las condiciones iniciales del sisema que se esa represenando. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 69

5 I = I F F n S; T (6) IN n, n, 1 n, n, n, n ( B D) I = I F F n B; T (7) n, n, 1 n, n, n, n, n S B n B D I = I F F n D; T (8) OUT n, n, 1 n, n, n, n S B Las ecuaciones (6) a (8) son los balances de maeria oal sobre los anques de suminisro, mezclado y demanda, respecivamene. Esa resricción indica que el conenido de los anques en un periodo, es igual al conenido en el período anerior, más los flujos de enrada, menos los de salida. I C = I C F C F C IN n, q, n, n, 1 q, n, 1 n, n, q, n n, n, q, n, 1 n S n B n B D Fn, n, Cq, n, 1 q Q; n B; T (9) La ecuación (9) represena el balance maerial individual por componene en cada anque de mezclado. Se observa en esa resricción el conenido de los érminos bi-lineales y, los cuales son la fuene de complejidad en ese problema. Para poder resolver eficienemene el problema se requieren relajaciones lineales de esos érminos. Yn, n, Yn, n, 1 n S B ; n B; n B D ; T (10) La ecuación (10) asegura que en un mismo periodo no puedan realizarse cargas y descargas en un ciero anque de mezclado. I I I n S B D T (11) LO UP n n, n ; Yn, n, 0,1 n, n CNN; T (12) Fn, n, 0 n, n CNN; T (13) In, 0 n S B D ; T (14) 0 C 1 q Q; n B; T (15) q, n, Las resricciones del (11) al (15) especifican el dominio de las variables coninuas y binarias del modelo. 4 Aproximaciones Lineales El conenido de érminos bi-lineales en un modelo causa no-convexidades. Una forma de convexificar el problema es realizar una relajación lineal mediane envoluras de McCormick, la cual se obiene reemplazado un ermino bi-lineal por una variable 43 JAIIO - SII ISSN: Página 70

6 coninua y resringiéndola por las inecuaciones (16) a (19). En donde los parámeros y son los limies inferior y superior de las variables e del dominio del problema. L L L L z x y x y x y (16) U U U U z x y x y x y (17) L U U L z x y x y x y (18) U L L U z x y x y x y (19) U L U L x x y y 4 Esa relajación posee una máxima separación enre el érmino bi-lineal y su envolura, definida por la ecuación (20) [3]. Así, un dominio de menor amaño ofrece una menor separación y por ano mejor ajuse. Por ora pare, el enfoque de Descomposición Muliparamérica [12] se basa en la discreización de una variable coninua represenada como una función de poencias de una base numérica, aproximando el valor de dicha variable en función de variables binarias. Tal como se expresa en la ecuación (21). Donde es un número naural no nulo, que define la base sobre la que se desea descomponer la variable coninua. y definen la mayor y menor poencia de la base que se uilizarán en la aproximación y es una variable binaria que deermina los valores que oma la variable coninua que se desea discreizar. P R 1 l= p k =0 kl, (20) l x = R k VB (21) La variable binaria omara el valor uniario en la represenación cuando se engan unidades en la posición correspondiene a del número represenado. Una caracerísica especial de ese enfoque es que al incremenar una cifra significaiva la precisión de la discreización, aumena linealmene la canidad de variables binarias necesarias. 4.1 Relajación Lineal usando envoluras de McCormick con dominio paricionado Como se mencionó aneriormene la disminución del dominio sobre el que se aplican las envoluras de McCormick es beneficiosa debido a que aumena el ajuse de la relajación. Para realizar eso se recurre a la división del dominio original en subdominios. Eso se puede lograr a ravés de un modelado con decisiones discreas. Nos referimos a esa relajación como Relajación por envoluras de McCormick Paricionado (RMP). Para implemenar la relajación con envoluras de McCormick en cada subdominio, se apoyó el modelado mediane el uso de programación disyuniva. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 71

7 La formulación se realizó reemplazando los érminos bi-lineales y por su variable de aproximación y respecivamene, cambiando la resricción (9) por la (22) y adicionando las disyunciones (23) y (24), dando como resulado un modelo disyunivo generalizado. W = W F C W 1 1 IN 2 q, n, q, n, n, n, q, n q, n, n n S n B n B D 2 Wq, n, n q Q; n B; T; = 1 (22) El balance de maeria por componene en cada anque de mezclado queda ahora expresado linealmene como lo muesra la ecuación (22). 1 K p, q, n, W 1 L LO LO L I, C I C I C q n n p n q n n p W 1 U UP UP U I, C I C I C q n n p n q n n p W 1 L UP UP L q, n, I n, C I C p n q, n, I C n p W 1 U LO LO U q, n, I n, C I C p n q, n, I C n p LO UP I n I n, I n L U C p C q, n, C p 2 K p, q, n, n,, W 2 L LO LO L F C F C F C q n n n n p n n q n n n p W 2 U UP UP U F C F C F C q n n n n p n n q n n n p W 2 L UP UP L q, n, n,, F n, n, C F p n, n, C q, n, F n, n, C p U LO LO U W q, n, n,, n, n, p n, n, q, n, n, n, p LO UP F n, n, n, n, n, n, L U C p C q, n, C p p P p P 2 q Q; n B; T; q Q; n B; n B D F C F C F C T; F F = 1 ; (23) (24) En las disyunciones (23) y (24), los parámeros y son los limies de concenración en el subdominio. Las variables de decisión y se acivan cuando la concenración se encuenra denro de los limies correspondienes a la parición, forzando a que las variables y sean acoadas por las envoluras de McCormick. La implemenación se realizó uilizando resricciones ipo Big-M para obener un modelo MILP. Por lo que se agregan para cada érmino bi-lineal anas variables binarias de decisión como número de subdominios hayan. La división del dominio original en subdominios se realiza usando un paricionado univariado. La variable seleccionada fue la concenración, ya que paricipa a la vez en los érminos bilineales y de la resricción (9). Se dividió en segmenos de igual longiud y el número de divisiones van desde 2 hasa 5, cuyas 43 JAIIO - SII ISSN: Página 72

8 disribuciones de subdominios obenidas se denominan U2, U3, U4 y U Relajación lineal basada en descomposición muliparamérica y envoluras de McCormick La relajación MILP presenada por Kolodziej [9] se desarrolla omando la aproximación discrea por descomposición muliparamérica de una de las variables que inervienen en el érmino bilineal y adicionando una holgura coninua acoada denro del nivel de precisión de la descomposición, con lo que se obiene una aproximación coninua de la variable discreizada. Luego al desarrollar el produco de la aproximación coninua y la variable resane, surgen nuevos érminos bilineales, los cuales son acoados mediane envoluras de McCormick para obener una relajación MILP del problema original. A esa aproximación la denominaremos Relajación por Descomposición Muliparamérica (RDM). La aplicación de ese méodo al problema de programación de mezclado muliperiodo se presena en [10]. La formulación del problema MILP se obiene a parir del MINLP formulado originalmene, cambiando la resricción (9) por (25), y agregando las resricciones definidas por las ecuaciones (26) a (38). W = W F C W IC IC IN FC q, n, q, n, 1 n, n, q, n q, n, n, n S n B n ( B D) W q Q; n B; T (25) FC q, n, n, La ecuación (25) es la linealización de la ecuación de balance de maeria por componenes. Donde las variables y reemplazan a los érminos lineales y respecivamene. P 9 1 l p q, n, k, l, q, n, k, q, n, l= p k =0 k =0 C = 10 k Z 10 k Z q Q; n B; T (26) El primer érmino del segundo miembro de la ecuación (26), expresa la aproximación discrea de la concenración. Se observa la presencia de la variable binaria que oma valor 1 cuando se encuenra el enero en el lugar decimal del número represenado. Según esa expresión el valor de concenración más pequeño represenable es, por lo ano define la precisión de la discreización. En ano que limia el máximo número represenable. El érmino resane del segundo miembro represena la holgura, que puede omar valores enre 0 y. Siendo una variable auxiliar coninua acoada enre 0 y 1. P 9 1 FC l ˆ p q, n, n, = 10 k, l, q, n, n, 10 k, q, n, n, l= p k =0 k =0 W k F k F q Q; n B; n ( B D); T (27) 43 JAIIO - SII ISSN: Página 73

9 P 9 1 IC l ˆ p q, n, k, l, q, n, k, q, n, l= p k =0 k =0 W = 10 k I 10 k I q Q; n B; T (28) En forma similar a la resricción (26), las resricciones (27) y (28) definen los valores de y, expresándolas como la suma de una aproximación discrea del produco bilineal y una holgura coninua. Para realizar eso se inroducen variables auxiliares, coninuas y posiivas e. Las ecuaciones (29) a (38) complean el modelo, acoando las variables auxiliares. F ˆ F Z l p,..., P ; k 0,...,9 ; U k, l, q, n, n, n, n k, l, q, n, U k, l, q, n, n, k, l, q, n, q Q; n B; n ( B D); T (29) I ˆ I Z l p,..., P ; k 0,...,9 ; q Q ; n B ; T (30) U Fk, q, n, n, Fn, n Zk, q, n, k 0,1 ; q Q; n B; n ( B D); T (31) 9 k =0 U Ik, q, n, In, Zk, q, n, k 0,1 ; q Q; n B; T (32) Fˆ = F l p,..., P ; q Q; n B; n ( B D); T (33) k, l, q, n, n, n, n, 1 9 k =0 Iˆ = I l p,..., P ; q Q; n B; T (34) k, l, q, n, n, k =0 9 k =0 F = F q Q; n B; n ( B D); T (35) k, q, n, n, n, n, 1 k, l, q, n, I = I q Q; n B; T (36) k, q, n, n, k =0 Z = 1 l p,..., P ; q Q; n B; T (37) 1 k =0 Z = 1 q Q; n B; T (38) k, q, n, 4.3 Comparación del amaño de los problemas relajados El número de variables binarias que uiliza cada relajación se muesra en la Tabla 1. Donde es el conjuno de conexiones enre los disinos anques, son las conexiones enre los anques de mezclado y enre los de mezclado y demanda. Así mismo es el conjuno de anques de mezclado, el de periodos considerados, las caracerísicas de calidad conroladas, las pariciones usadas en la aproximación por ramos, y los coeficienes que muliplican y los exponenes que se uilizan en la descomposición muliparamérica. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 74

10 Tabla 1: Esimación de variables binarias Como se observa, en el caso de la RMP el número de variables binarias se incremena linealmene con la canidad de pariciones. No obsane, se ha informado que se requiere un incremeno exponencial en la canidad de variables binarias para aumenar el número de cifras significaivas en el valor ópimo de la función objeivo, asimismo, un comporamieno similar ocurre con el número oal de variables y resricciones [9]. Sin embargo, Kolodziej desaca en [9] que con la écnica de descomposición muliparamérica el número de variables binarias se incremena logarímicamene respeco a la canidad de punos discreos. Y además el aumeno de precisión en una cifra significaiva en el valor de la función objeivo ópima es acompañado con un crecimieno lineal de variables binarias. En la Tabla (1) se puede observar que en ambas aproximaciones la canidad de variables es idénica, ya que ésas forman pare del problema original. Siendo y las variables binarias que se agregan en la formulación por ramos y las definidas siguiendo el enfoque de descomposición muliparamérica. Respeco de la aproximación RMP se iene que el número de variables es proporcional a la canidad de conexiones alernaivas enre los anques de mezclado y enre los de mezclado y de demanda, mienras que para se iene una proporcionalidad con la canidad de nodos. En cambio para la RDM, las variables agregadas son sólo proporcionales a la canidad de nodos. Como los problemas de Pooling se caracerizan por ener muchas conexiones enre los disinos anques, al agregar un nuevo anque de mezclado a un ciero problema, el incremeno en la canidad de conexiones será aproximadamene proporcional a la canidad de nodos inicial. Eso hace que el amaño del conjuno crezca en forma aproximadamene exponencial respeco de la canidad de anques. A causa de eso el enfoque RDM es más apropiado para problemas con un gran número de anques, ya que endrá un menor incremeno de variables binarias auxiliares que la RMP, faciliando la resolución de los problemas. 5 Meodología En ese rabajo se probarán res problemas de programación de mezclado muli-periodo presenados en [10], específicamene los problemas B.4 8T-3P-2-721, B.2 8T-3P-2Q-146 y B.5 8T-4P-2Q-480, a los cuales denominamos P0, P1 y P2 43 JAIIO - SII ISSN: Página 75

11 respecivamene. Todos los modelos fueron implemenados en el lenguaje de modelado GAMS [13] y ejecuados en una compuadora personal con un procesador Inel Core i7-2600(@3.4 GHz), 8 GB de RAM y con sisema operaivo Windows7 x 64 bis. Cada problema MILP se resolvió hasa un 0% de gap relaivo o una duración máxima de 5h, usando el resolvedor lineal GUROBI. Al finalizar se recopilan el valor de la solución, el iempo de cómpuo y el gap relaivo. 6 Resulados y Discusión En la Tabla 2 se presenan los resulados de los problemas relajados que se ensayaron. En los casos P0 y P1, que se pudieron resolver hasa opimalidad con la RMP en el iempo esablecido (excepo para P1 con 5 pariciones), se observa que la función objeivo iende muy lenamene al ópimo global con los incremenos en la canidad de pariciones; sin embargo los iempos de cómpuo aumenan de manera significaiva. Por eso úlimo no fue viable realizar relajaciones con más de 5 pariciones. Por ora pare, respeco de RDM se observa que con una precisión de para la concenración el problema relajado converge al ópimo global, mienras que el problema P2 lo hace con una precisión de denro del iempo esablecido. En cambio P1 con una precisión de obiene una sobre-esimación de la función objeivo ópima y con mayor precisión no se enconró el ópimo denro de el iempo previso. Por medio de relajación basada en descomposición muliparamérica se obuvo la convergencia al ópimo global en los problemas P0 y P2 denro del iempo esipulado, y para el P1 se obuvo una coa para la función objeivo ópima con un error relaivo de 0,001. Mienras que la relajación basada en parición del dominio y envoluras de McCormick sólo se obuvo la solución ópima, en el iempo esablecido, en el problema P0. Para los problemas P1 y P2 las mejores coas obenidas RMP uvieron un error relaivo de 0,03 en ambos casos, es decir un orden de magniud mayor a la obenida por RDM. En la Tabla 3 se presenan la canidad de resricciones y variables que resulan luego del preprocesamieno del modelo. Se puede observar que para la RMP, un incremeno de subdominios en el paricionado univariado aumena el número de variables binarias y resricciones, en forma aproximadamene lineal. La comparación enre los problemas P0 y P1 con P2, que se diferencian principalmene en que los primeros poseen 3 períodos y el úlimo iene 4, muesra que para ambas aproximaciones ocurre un incremeno de aproximadamene 33% en la canidad de variables y resricciones, lo que esá de acuerdo a lo anes expueso sobre la proporcionalidad del amaño del modelo respeco de la canidad de períodos. En la figura (2) se observa el máximo número de binarias que pueden requerir problemas similares a los abordados, pero con un numero creciene de anques de mezclado. Esas canidades de binarias fueron calculadas con las formulas presenadas en la abla (1), suponiendo dos problemas hipoéicos en el que odos los anques de mezclado se conecan enre si (caso más desfavorable). El problema hipoéico 2S-2D-3P-2Q iene en cuena 2 caracerísicas de calidad, 2 anques de suminisro, 2 de demanda y enre 4 y 16 de mezclado, con 3 periodos de iempo. Mienras que el problema 2S-2D-4P-2Q difiere únicamene en que posee 4 43 JAIIO - SII ISSN: Página 76

12 periodos de iempo. Al igual que lo observado en el cuadro (3), ambién en la figura se encuenra una proporcionalidad enre la canidad de binarias y la canidad de periodos, para ambos modelos. En ano que se disingue en el caso de la RMP un incremeno relaivo mucho más grande en la canidad de variables binarias al aumenar el número de anques de un problema, que el que experimena la RDM. Tabla 2: Resulados obenidos mediane relajaciones RDM y RMP Tabla 3: Esadísicas para los disinos modelo. Los problemas resuelos a opimalidad global fueron del amaño que podría presenarse en una pequeña refinería, para esos modelos se reporaron convergencias muy lenas con la uilización de resolvedores globales comerciales [11]. El modelado mediane RMP expresado en forma disyuniva es más sencillo de inerprear al RDM, 43 JAIIO - SII ISSN: Página 77

13 pero su impemeneación fue igual de compleja, ya que se lo radujo a un MILP mediane resricciones Big-M. Los rendimienos compuacionales fueron mucho mejores en el caso del modelo RDM. Por ora pare, la complejidad de realizar la implemenación de esos modelos en el lenguaje de modelado GAMS es relaivamene baja, ya que se realiza en base al modelo MINLP, reemplazando la única ecuación que coniene erminos bilineales por un conjuno de ecuaciones lineales, posibiliando obener soluciones globales de un problema con muchas no-convexidades. Por lo ano, los modelos RDM poseen una mejor relación enre coso compuacional y complejidad de implemenación. Figura 2: Canidad máxima de binarias en función del número de anques de mezclado. 7 Conclusiones En ese arículo se conrasó el desempeño de las relajaciones RMP y RDM en el problema de Programación de Mezclado Muliperíodo, comparando su coso compuacional y el ajuse de las soluciones obenidas. En los problemas analizados, el rendimieno de la RMP fue peor que el obenido con RDM, aún cuando la canidad de resricciones, variables coninuas y binarias de RMP fueron apenas una fracción de las uilizadas por RDM. Lo cual indica que el problema generado mediane RMP es más complejo. En el modelamieno de un nuevo problema de programación de mezclado muliperiodo que requiera la adición más anques, periodos o caracerísicas de calidad, el amaño del problema formulado por RMP crecerá de manera exponencial por cada anque añadido y linealmene por cada periodo o calidad agregada. En conrase, la relajación RDM incremenará linealmene el amaño para cada anque, periodo o caracerísica de calidad adicionados. 43 JAIIO - SII ISSN: Página 78

14 Teniendo en cuena las observaciones aneriores se considera que el enfoque de la relajación basada en desagragación muliparamérica es más apo para la formulación de ese ipo de problemas que la basada en envoluras de McCormick y paricionado del dominio. 8 Agradecimienos Ese rabajo fue financiado con fondos del proyeco PIP 688 de CONICET. References 1. Misener, R., Thompson, J. P., Floudas, C. A.: Apogee: Global opimizaion of sandard, generalized, and exended pooling problems via linear and logarihmic pariioning schemes. Compu. Chem. Eng., 35: , Faruque Hasan, M. M., Karimi, I. A.: Piecewise linear relaxaion of bilinear programs using bivariae pariioning. AIChE J., 56(7): , McCormick, G. P.: Compuabiliy of global soluions o facorable nonconvex programs: Par 1- convex underesimaing problems. Mahemaical Programming, 10: , Al-Khayyal F.A., Falk J.E.: Joinly consrained biconvex programming. Mah Oper Res., 8: , Ruiz, J. P., Grossmann, I. E.: Exploiing vecor space properies o srenghen he relaxaion of bilinear programs arising in he global opimizaion of process neworks. Opimizaion Leers, 5:1-11, Ruiz, J. P., Grossmann, I. E.: Srenghening of lower bounds in he global opimizaion of bilinear and concave generalized disjuncive programs. Compu. Chem. Eng., 34: , Karuppiah, R., Grossmann, I. E.: Global opimizaion for he synhesis of inegraed waer sysems in chemical processes. Compu. Chem. Eng., 30: , Wicaksono, D. S., Karimi, I. A.: Piecewise milp under-and overesimaors for global opimizaion of bilinear programs. AIChE Journal, 54: , Kolodziej, S., Casro, P. M., Grossmann, I. E.: Global opimizaion of bilinear programs wih a muliparameric disaggregaion echnique. Journal of Global Opimizaion, hp://dx.doi.org/ /s , Teles, J. P., Casro, P. M., Maos H. A.: Muliparameric Disaggregaion Technique for Global Opimizaion of Polynomial Programming Problems. J. Glob. Opim.. doi /s , Kolodziej, S., Grossmann, I. E., Furman, K. C., Sawaya, N. W.: A discreizaion-based approach for he opimizaion of he muliperiod blend scheduling problem. Compu. Chem. Eng., 53: , Brook, A., Kendrick, D., Meeraus, A.: GAMS: A user's guide. The Scienific Press Series, JAIIO - SII ISSN: Página 79