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1 EJEMPLO. Sobre dos alimentos diferentes tenemos la siguiente información por kilogramo: limento Calorías Proteínas (gr Precio (ptas B allar el coste mínimo de una dieta formada sólo por este tipo de alimentos y que al menos aporte calorías y gramos de proteínas. Solución: Definimos las variables originales como: kilogramos de alimento. kilogramos de alimento B. La función a minimizar, coste de la dieta, será: (, f + Las restricciones lineales del problema se formulan como: + (aportación mínima de calorías + (aportación mínima de proteínas Finalmente, por su definición, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:,

2 El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera: min f (, + s.a.: + +, Cambiando de signo a la función objetivo, simplificando en las restricciones, e introduciendo variables de holgura y artificiales obtenemos la forma estándar: ma s.a.: M M ,,, 4,, La solución factible básica inicial es:,, 4 4 sí, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: - -M M M -M M - M - -M -M Continuamos con las siguientes iteraciones:

3 / - / -M /4 -/ M M -M M - - / / -/ Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es: * * kilos de alimento,. kilos de alimento B Z * pesetas de coste mínimo Este problema puede ser resuelto aplicando el método gráfico, sin más que identificar a las variables e y como las cantidades (kilogramos de los alimentos y B respectivamente. sí pues, obtenemos el siguiente dibujo: C B + y + y + y

4 hora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: (4,, B (,., C (,. f ( 4, f(b, f(c Por tanto, obtenemos la misma solución: kilogramos del alimento y. del B, con un mínimo de pesetas. Notamos que al movernos por los ejes de coordenadas que limitan la región de factibilidad, la función objetivo crece hacia infinito, por lo que en dichos puntos no puede alcanzarse el mínimo buscado. EJEMPLO 7 En una eplotación agraria de hectáreas se desean realizar diferentes labores como son: cultivar dos tipos de cereal (trigo y cebada, plantar dos tipos de frutales (perales y manzanos, y reforestar, para lo cual se plantarán pinos y chopos. Los beneficios que se obtienen por cada hectárea cultivada de trigo y cebada son respectivamente y. unidades monetarias; así mismo, por cada hectárea de perales se obtienen. u.m. y por cada hectárea de manzanos, 4 u.m. Por otro lado, se obtiene una subvención por la reforestación y se otorgan u.m. por cada hectárea de pinos y 4. u.m. por cada hectárea de chopos. Las normas de la eplotación obligan a utilizar al menos el 4% del total de la tierra en el cultivo de los cereales, y como máimo un % de la tierra en cualquiera de las otras dos labores, frutales o reforestación. Calcular cómo ha de repartirse la tierra para obtener un máimo beneficio. 4

5 Solución: Definimos las variables originales como: hectáreas cultivadas de trigo. hectáreas cultivadas de cebada. hectáreas plantadas de perales. 4 hectáreas plantadas de manzanos. hectáreas plantadas de pinos. hectáreas plantadas de chopos. La función a maimizar, beneficio obtenido, será: (,,, 4,, f + Las restricciones lineales del problema se formulan como: (máimo de hectáreas ( ( ( (normas de la eplotación + + (normas de la eplotación + + (normas de la eplotación Finalmente, por su definición, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:,,, 4,, El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera: f,,,,, ma ( ( ( ( ,,, 4,, s.a.:

6 Simplificando las restricciones, e introduciendo las correspondientes variables de holgura obtenemos la forma estándar: ma s.a.: ,,, 4,,, 7, 8, 9, La solución factible básica inicial es:,, sí, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simple: Continuamos con las siguientes iteraciones: 4 7 / / -/ -/ -/ / 9 -/ -/ 7/ / / - - -/

7 / -/ -7/ -7/ -7/ / / 7/ -8/ -8/ -/ / /4 / -/ 7/ / / -/ Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es: 4, * *, *, *, *, Z * 9 u.m. de beneficio. * 4 Esto es, se cultivarán 4 hectáreas de trigo y ninguna de cebada; únicamente se plantarán hectáreas de manzanos (ninguna de perales; además, se reforestarán hectáreas con pinos y ninguna con chopos. Con todo esto, se obtendrá un beneficio de 9 unidades monetarias. 7

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