PROYECTO INTEGRADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA

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1 PROYECTO INTEGRADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA SISTEMA DEL CONTROL DEL CIRCUITO DE ALTA PRESIÓN PARA ENSAYO DE MECANISMOS (CAPEM) DEL REACTOR CAREM Alejandro Jorge D Benedetto Dr. Andrés Etchepareborda DIRECTOR Dr. Darío Fabán Delmastro CO-DIRECTOR Juno 008 Centro Atómco Barloche Insttuto Balsero Comsón Naconal de Energía Atómca Unversdad Naconal de Cuyo Argentna

2 a m hermano II

3 Resumen: En este trabajo se realzó el dseño de los lazos de control del CAPEM. Los lazos a resolver fueron los sguentes: control de presón en el recpente, control de dferenca de presón dsponble para el sstema generador de pulso, el control de caudal del crcuto prncpal y el control del grado de subenframento de los mecansmos del CAPEM. En este trabajo se dseñaron de manera tentatva resolver el control de subenframento. los tres prmeros lazos, quedando sn Para el dseño de los lazos de control fue necesaro generar modelos que smulen los transtoros de la planta. A partr de estos modelos se obtenían las varables de estado a controlar y sobre ellos se ejecutaban las accones de control. El dseño se realzó con técncas de control multvarable, para lograr el desacople de los lazos. Se obtuveron compensadores del tpo ntegral para los tres casos. Sendo ellos, expresados en transformada de Laplace: lazo de caudal C =, lazo de presón s 0.03 dsponble C =, lazo de control de presón en el recpente s C = 1. s Tambén se resolveron los lazos de presón dsponble y caudal de manera alternatva con el uso de un PLC. Se obtuveron en este caso controladores del tpo PI, con constantes: lazo de caudal: constante de lazo Kc=0,3, tempo ntegral T=0,06 mnutos; lazo de presón dsponble: constante de lazo Kc=-0,1, tempo ntegral T=0,11 mnutos. Palabras clave: control, CAPEM, nultvarable, smulacón, modelo, PI, PLC, CAREM III

4 CONTROL SYSTEM OF THE HIGH-PRESSURE CIRCUIT FOR TEST MECHANISM (CAPEM) OF CAREM REACTOR Abstract: The present work approaches the desgn of CAPEM control loops. The loops needed to calculate were: control of pressure nsde the vessel, control of avalable dfferental pressure for the pulse generator system, flow control for the man crcut and control of the sub-coolng level n the CAPEM mechansms. In ths work a prelmnary desgn of the three frst loops was acheved, leavng the sub-coolng control left. For desgnng the control loops t was necessary to generate models capable of smulatng transtory states of the plant. State varables could be obtaned from these models and then control actons were executed over them. The desgn was performed usng multvarable technques n order to unjont the loops. For all three cases ntegral-type-compensators were obtaned. Noted as Laplace transform such compensators resulted: flow control loopc =, avalable dfferental pressure s 0.03 loopc =, and for the control loop for vessel s nternal pressure C = 1. s s Avalable pressure and flow control loops were also resolved alternatvely by usng a PLC. In ths case PI controllers were obtaned wth the followng constants: flow loop: loop constant Kc=0.3, ntegral tme T=0.06 mn; avalable pressure loop: loop constant Kc=-0.1, ntegral tme T=0.11 mn. Keys: control, CAPEM, nult-varable, smulaton, model, PI, PLC, CAREM IV

5 ABREVIATURAS: CAPEM: Crcuto de Alta Presón para Ensayo de Mecansmos MSAC: Mecansmos del Sstema de Accón y Control MSER: Mecansmos del Sstema de Extncón rápda EC: Elemento Combustble PI: proporconal ntegral I: ntegral PLC: Controlador Lógco Programable V

6 CONTENIDO: 1 INTRODUCCIÓN, OBJETIVOS Y CONCEPTOS BÁSICOS INTRODUCCIÓN Descrpcón general del CAPEM: Crcuto prncpal: Crcuto secundaro de purfcacón: Sstema generador de pulsos: Lazos de control del CAPEM: Control de presón del Recpente a Presón: Control del caudal total: Control de presón dferencal del sstema generador de pulsos: Control del grado de subenframento: Control de nvel en el Recpente de Presón: OBJETIVOS: Metodología del trabajo: Esquema del trabajo: CONCEPTOS BÁSICOS: Característcas de las válvulas: Característcas de los lazos PI:... 9 MODELADO DEL CIRCUITO PRINCIPAL: MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS: Balance de masa: Balance de momentos: Balance global de momentos: Modelado de la presón: Pérddas por frccón: Fuerzas boyantes: Aceleracones: Balance de energía: Ecuacón de energía para el agua: Ecuacón de energía para la pared: Smplfcacones: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE LAS ECUACIONES: Resolucón numérca de la ecuacón de momento: Defncón de los coefcentes de pérddas: Crtero de cálculo de las fuerzas boyantes: Método utlzado y solucón numérca: Resolucón numérca de la ecuacón de energía: Método explícto: Método mplícto: Comparacón: Actualzacón de la densdad y el calor específco: CÁLCULO DE ESTACIONARIOS: Esquema del programa: LIMITACIONES: MODELADO DEL RECIPIENTE A PRESIÓN BR-001: ESTRUCTURA DEL MODELO: MODELADO DEL DOMO: Balance de masas: Balance de energía: Cálculo de la transferenca de calor Qe: Formulacón de las ecuacones: Expresón de la entalpía en funcón de las varables de estado: Expresón de la presón en el domo en funcón de las varables de estado: Ecuacón de estado para la presón de vapor: VI

7 3..4 Resolucón de las ecuacones: Consderacones: Resultados: MODELADO DEL TRAMO DE CIRCULACIÓN: Dmensones característcas: Balances de energía: Balance de energía para la pared del recpente: Balance de energía para el barrel: Balance de energía para el elemento combustble: Balance de energía para el fludo: Solucón de las ecuacones: Resultados: LIMITACIONES DEL MODELO: ACOPLE DE LOS MODELOS DEL RECIPIENTE A PRESIÓN Y DEL CIRCUITO PRINCIPAL: VARIABLES DE INTERACCIÓN ENTRE LOS MODELOS: Esquema general del modelo: Crcuto prncpal: Domo: Tramo de crculacón: Funconaldad del modelo: RESOLUCIÓN NUMÉRICA: Varables de entrada: Resultados: DISEÑO DE LAZOS DE CONTROL: DISEÑO DE LOS CONTROLES DE CAUDAL Y PRESIÓN DISPONIBLE: Eleccón del punto de equlbro: Funcones de transferenca: Estratega de dseño de los controladores: Dseño del controlador: Verfcacón del dseño del compensador: DISEÑO DEL CONTROL DE PRESIÓN EN EL RECIPIENTE: VERIFICACIONES COMPLEMENTARIAS DEL DISEÑO DE LOS LAZOS DE CAUDAL Y PRESIÓN DISPONIBLE: CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS CONCLUSIONES: SUGERENCIAS:... 7 A VERIFICACIÓN DE CHOQUEO DE LA VÁLVULA DPCV A.1 DEFINICIONES: A. ECUACIONES Y CORRELACIONES UTILIZADAS: A.3 METODOLOGÍA DE CÁLCULO Y RESULTADOS: A.3.1 Valores de entrada: A.3. Metodología y resultados: B DISEÑO DE LOS LAZOS DE CONTROL DE CAUDAL Y PRESIÓN DISPONIBLE DEL CAPEM IMPLEMENTADOS EN PLC B.1 DISEÑO DE LOS LAZOS DE CONTROL DE CAUDAL Y PRESIÓN DISPONIBLE: B.1.1 Dseño del control de caudal: B.1. Dseño del control de presón dsponble: B. PANTALLA DE ADQUISICIÓN: AGRADECIMIENTOS: BIBLIOGRAFÍA: VII

8 Capítulo 1 1 Introduccón, objetvos y conceptos báscos En este capítulo se realza una breve ntroduccón para encuadrar el marco del trabajo, una descrpcón del CAPEM y sus lazos de control. Se enuncan además los objetvos generales del trabajo. Se detallan además algunos conceptos fundamentales, necesaros para el desarrollo del trabajo. En partcular se descrben los lazos del tpo proporconal-ntegral (PI) e ntegral (I), utlzados para accones de control y algunas característcas generales de las válvulas soporcentuales. 1.1 Introduccón La motvacón de realzar una nstalacón como el CAPEM (Crcuto de Alta Presón para Ensayo de Mecansmos) surge con la necesdad de ensayar prototpos de los mecansmos hdráulcos del sstema de accón y control (MSAC) y los mecansmos del sstema de extncón rápda (MSER) del reactor CAREM. Estos ensayos además podrán realzarse bajo condcones de operacón del reactor, a presón y temperatura de trabajo. En el marco de este desarrollo surge la necesdad de analzar el crcuto medante smulacones, de manera de poder estmar respuestas transtoras del sstema y lograr defnr los compensadores a utlzar para las accones de control de la planta. Dentro de esta necesdad se desarrolla el presente trabajo. Los mecansmos del reactor CAREM se acconan hdráulcamente y están contendos dentro del recpente a presón como se apreca en la Fgura 1-1. En la Fgura 1- se muestra un esquema del Recpente a Presón del CAPEM con los mecansmos nternos. Las nstalacones del CAPEM permtrán desarrollar dversos ensayos sobre estos mecansmos, a saber: Verfcacón y ajuste de los parámetros operatvos del MSAC y MSER Ensayos funconales de durabldad del MSAC y MSER 1

9 Ensayos en estados anormales de operacón Ensayos en estados ncdentales Ensayos de durabldad del elemento combustble (EC) del reactor CAREM Fgura 1-1 Esquema del reactor CAREM Fgura 1- Esquema del recpente a presón destacando los mecansmos Descrpcón general del CAPEM: El CAPEM está ntegrado por dos crcutos uno prncpal y otro secundaro. En el crcuto prncpal se encuentran los equpos necesaros para los ensayos antes descrptos. El crcuto secundaro, de purfcacón, es el encargado de mantener el agua en las condcones de trabajo detalladas en documentos de referenca. El crcuto prncpal es autopresurzado. El recpente a presón BR-001 es el encargado de mantener la presurzacón medante el equlbro de agua vapor. La cámara de vapor en el recpente mpde que trabaje en modo sóldo. La autopresurzacón se logra calentando

10 el agua crculante. En caso de ser necesaro, la nstalacón permte el agregado de ntrógeno para aumentar la presón en las líneas Crcuto prncpal: En la Fgura 1- se puede ver esquemátcamente la dstrbucón de los componentes prncpales de este crcuto. Fgura 1-3 Esquema smplfcado del crcuto prncpal del CAPEM Dentro de los componentes prncpales se deben destacar: Recpente a Presón CAPEM-BR-001 donde se alojarán los mecansmos a ensayar reproducendo las característcas de operacón del CAREM. Los detalles se pueden ver en la Fgura 1-. Bomba de recrculacón CAPEM-AB-004: permte la recrculacón del agua a través del Recpente a Presón y los mecansmos MSAC/MSER, además de brndar la presón para el sstema generador de pulsos. Calentador CAPEM-BI-005: asegura alcanzar y mantener las condcones de presón y temperatura requerdas en el Recpente a Presón, compensando las pérddas de calor al ambente, el subenframento requerdo en los mecansmos MSER/MSAC y el enframento neto del crcuto de purfcacón. 3

11 Fltro CAPEM-BF-006: permte retener partículas sóldas mpdendo que lleguen a los mecansmos MSER/MSAC. Aeroenfrador CAPEM-BI-007: asegura el subenframento requerdo para la operacón de los mecansmos MSER/MSAC. Son parte del crcuto prncpal las líneas de caudal de sustentacón de los mecansmos MSAC/MSER y las de generacón de los pulsos de ascenso y descenso, las válvulas generadoras de pulsos, la válvula de Scram (no presente en el esquema) y las de habltacón a los mecansmos Crcuto secundaro de purfcacón : El crcuto de purfcacón del CAPEM toma un caudal pequeño del crcuto prncpal y lo purfca hacéndolo pasar por un lecho de resnas de ntercambo ónco. Esta purfcacón es necesara para mantener las característcas requerdas en el agua del crcuto prncpal. Tambén permte el tratamento del agua prevo a la carga ncal del crcuto, llevando el ph y la concentracón de oxígeno al valor especfcado. Por este crcuto crculan 0,3m 3 /h de caudal, mentras que por el crcuto prncpal crculan 0m 3 /h. Bajo estas condcones se desprecan las nfluencas térmca y dnámca sobre el crcuto prncpal Sstema generador de pulsos: El sstema generador de pulsos es el encargado de producr el descenso o ascenso de los mecansmos hdráulcos, producendo pulsos negatvos o postvos en la presón respectvamente. Tene tres líneas prncpales: sustentacón, pulsos de ascenso (+) y de descenso (-). Para generar los pulsos postvos de ascenso se utlza la válvula NV-013. Dcha válvula conecta la zona de alta presón del crcuto con la entrada al caudal de mecansmos. Con su apertura y posteror cerre se logra un pulso de presón actuando sobre el caudal que permte el ascenso de los mecansmos. 4

12 Para la generacón de los pulsos de descenso se utlza la válvula NV-014, que derva caudal a la succón de la bomba actuando de manera smlar a la anteror pero dsmnuyendo la presón provocando el descenso de los mecansmos. Además cuenta con válvulas de habltacón para cada rama y válvulas de regulacón de los caudales para los pulsos y para la sustentacón Lazos de control del CAPEM: Los lazos de control de la nstalacón son los sguentes: Control de presón del Recpente a Presón: El control de la presón de vapor en el domo del Recpente a Presón CAPEM-BR-001 se realza en forma ndrecta medante un lazo cerrado de control de temperatura que regula la potenca eléctrca sumnstrada al calefactor CAPEM-BI-005. El lazo de control se cerra con la medcón de temperatura a la salda del calefactor. Se debe tener en cuenta además que el calefactor debe compensar las pérddas del sstema, por lo cual la consgna de temperatura se dará en operacón Control del caudal total: El caudal total de la bomba de recrculacón CAPEM-AB-004 se controla medante un lazo cerrado, mdendo caudal a la salda de la bomba AB-004 con un caudalímetro del tpo Annubar ubcado aguas abajo (FE-003). La accón de control se ejerce con la apertura de la válvula de control FV-003 nstalada sobre la descarga de la bomba. El caudal de consgna varía según el ensayo a realzar: Ensayos del MSAC: 0m 3 /h Ensayo del MSER: 0m 3 /h Ensayo de durabldad del elemento combustble: 50m 3 /h 5

13 Control de presón dferencal del sstema generador de pulsos: El control de la presón dferencal dsponble para el generador de pulsos se realza medante un lazo cerrado de control mdendo la dferenca de presón entre la línea de almentacón para acconamento del mecansmo y la presón de referenca en el domo del Recpente a Presón. Se requere una presón dsponble entre 1 y 4 bar. La accón de control se logra regulando la apertura de la válvula de control DPCV-07, ubcada en la línea de caudal de dervacón a la entrada del Recpente a Presón BR-001. La caída de presón en la válvula orgna la aparcón de un flujo de dos fases de título 1% aproxmadamente Control del grado de subenframento: Para evtar la cavtacón en los mecansmos se recurre a enfrar el caudal que crcula por éste. El grado de subenframento de la corrente de almentacón para acconamento del mecansmo se controla medante un lazo cerrado de temperatura dferencal entre la línea de caudal de sustentacón y el Recpente a Presón. El control del subenframento se realza sobre el aeroenfrador BI-007, regulando el caudal de are entrante Control de nvel en el Recpente de Presón: El control de nvel en el Recpente de Presón se realza en forma manual, medante la purga o nyeccón de agua en el crcuto durante los transtoros de calentamento y enframento. 1. Objetvos: Los objetvos del trabajo son los sguentes: Realzar un modelo que permta la smulacón de los estados transtoros para el CAPEM y permta obtener las varables de estado deseadas. Dseñar los lazos de control automátcos para la operacón del CAPEM. 6

14 1..1 Metodología del trabajo: Las varables de estado se defnen en smulacones numércas por lo cual resulta necesara la creacón de modelos que descrban la dnámca de la planta y su resolucón numérca. Esto conlleva al estudo profundo del funconamento de la planta y la necesdad de famlarzarse con el uso de métodos numércos de resolucón de ecuacones. La resolucón numérca del modelo se realza bajo la plataforma Matlab. Esto se debe a las facldades de programacón que brnda el msmo y sus apttudes en la realzacón de smulacones de modelos. El dseño de los lazos de control se hace obtenendo a partr de los estados smulados las varables de medcón de los lazos. Luego se resuelven con algortmos tpo PI o I, tambén en smulacón, las accones de control. 1.. Esquema del trabajo: En el Capítulo se muestra el modelo realzado para el crcuto prncpal, no tomando en cuenta la rama de generacón de pulsos. Además se descrbe la resolucón numérca adoptada para dcho modelo y se muestran resultados a modo de ejemplo. En el Capítulo 3, se descrbe el modelo empleado para el estudo del Recpente a Presón BR-001, destacando la estratega de modelado y su resolucón numérca. Tambén se muestran resultados prelmnares. El Capítulo 4 estuda la solucón del modelo en su conjunto, acoplando los modelos descrptos anterormente destacando las varables de nteraccón entre ellos. El modelo en conjunto defne las varables necesaras para cerrar los lazos de control. El Capítulo 5 descrbe el dseño de los lazos de control; la estratega de control y su mplementacón. En el Anexo A se realza una verfcacón de choqueo para la válvula de control de dferenca de presón debdo al flujo bfásco. En el Anexo B se muestra un dseño alternatvo de los lazos de control de presón dsponble y caudal, realzados con el uso de un PLC Smtatc S- de Semens. Por últmo se darán las conclusones del trabajo y sugerencas para trabajos futuros. 7

15 1.3 Conceptos báscos: Característcas de las válvulas: La caída de presón en las válvulas suele expresarse en funcón del coefcente Cv, dependente de la apertura de las msmas. El Cv se defne como el coefcente de capacdad de caudal de una válvula. En fórmula se descrbe como: Cv = Q P ρ ρ 0 Sendo Q el caudal, P la caída de presón en la válvula, la densdad y 0 la densdad de referenca a temperatura a 60ºF (15,6ºC). Se puede relaconar con el coefcente de pérdda K como se descrbrá en el capítulo sguente. El Cv es funcón de la apertura de las válvulas x y suele haber en el mercado dos tpos de relacón: soporcentual y lneal. Lneal: Cv ( x) = Cvmax x + Cv0, con Cv max y Cv 0 constantes. Isoporcentual: Cv 1 x ( x) = Cvmax a. Consderando caída de presón constante se puede observar la varacón de caudal para cada caso en funcón de la apertura en la Fgura 1-4 (caudal y apertura normalzados). Caudal normalzado 1 0,8 0,6 0,4 0, Lneal Isoporcentual 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 Apertura Fgura 1-4 Varacón del caudal con la apertura para las válvulas soporcentuales y lneales 8

16 La apertura varía entre 0 y 1 pero nunca tene caudal nulo o caída de presón nula la válvula. Es decr, la apertura 0 no mplca la obstruccón total del flujo en las válvulas y la apertura 1 no mplca cero pérdda Característcas de los lazos PI: Los lazos cerrados de compensacón del tpo proporconal-ntegral PI se pueden esquematzar como muestra el dagrama en bloques de la Fgura 1-5. Tenen una respuesta frente a la señal de error como la sguente: Kc PI( t) = Kc e( t) + e( ) d + PI (0) T τ τ t 0 entendendo como señal de error e(t) a la dferenca entre la referenca r(t) y la salda de la planta y(t) como muestra el dagrama en bloques. Sendo Kc la gananca del lazo y T el tempo ntegral. PI(0) es el valor ncal. Fgura 1-5 Dagrama en bloques de un controlador PI a lazo cerrado La respuesta en frecuenca esperada para el compensador PI se puede ver en los dagramas de Bode de la Fgura 1-6. Dcha respuesta está compuesta por un polo en el orgen y un cero en la nversa del tempo ntegral T (1 en el ejemplo). Un lazo ntegrador puro (I) sólo contene el polo en el orgen, por lo cual su respuesta es una recta que cae 0dB por década en el dagrama. 9

17 Fgura 1-6 Dagramas de Bode representatvos de un compensador PI En el caso de tener una planta de prmer orden, la accón esperada por el compensador es lograr una respuesta smlar a un sstema de segundo orden frente a un escalón untaro de entrada (ej. un osclador armónco amortguado). Esto se muestra en la Fgura 1-7. Se puede aprecar el valor estaconaro en 1, una osclacón alrededor de este punto y un pco máxmo en el prmer cclo. Varando los valores de K y T se pueden obtener respuestas sn sobrepco (sobre amortguadas). Estas respuestas serán las buscadas en el trabajo. Fgura 1-7 Respuesta temporal a un escalón untaro para un sstema de segundo orden 10

18 Capítulo Modelado del crcuto prncpal: En este capítulo se descrben los métodos utlzados para realzar el modelo de planta de la red hdráulca del crcuto prncpal del CAPEM, descrpto en el capítulo anteror. Además se descrbe la solucón numérca de dcho modelo. El modelo tene por objeto smular el comportamento dnámco de proceso que se puede descrbr con las varables de caudal másco, presón y temperatura a lo largo de todo el crcuto. Se presenta en la Fgura -1 un esquema smplfcado del crcuto donde se destacan los componentes prncpales. Fgura -1 Esquema smplfcado del crcuto prncpal del CAPEM destacando componentes prncpales.1 Método de volúmenes fntos: El modelo se supone undmensonal para el crcuto y se utlza el método de volúmenes fntos para descrbrlo. Este método dscretza la varable espacal del sstema, 11

19 quedando éste separado en tramos de cañería y resuelve para cada uno de ellos las ecuacones para volúmenes de control de balance de masa, momento y energía. En la Fgura - se puede ver un esquema del método Tn Wn Tp g Tout Wout L L Pn T G Pout Fgura - Esquema representatvo del método de volúmenes fntos A cada tramo se le puede asocar una densdad un momento G y una temperatura T para el agua y Tp para la pared de la cañería. S consderamos a z la varable espacal, L el largo de los tramos, la dervada en dcha dmensón de una funcón arbtrara f queda expresada por: f z = f ( + L) L f ( ).1.1 Balance de masa: Consderando el volumen de control descrpto anterormente, el balance de masa se puede escrbr de la sguente manera para el tramo -ésmo: dm dt = d( ρvol) dt ρ = Vol + Wout Wn t = 0 (.1) donde m es la masa, Vol el volumen del tramo, la densdad y Wn y Wout los caudales máscos de entrada y salda totales (es decr la suma de todos los caudales entrantes y salentes) respectvamente del volumen de control. El volumen del tramo está dado por el largo L y el área A. El ángulo es el relatvo a la dreccón del fludo contra la gravedad g. El caudal másco se puede relaconar con la velocdad V o el caudal volumétrco Q con la expresón W = ρ A V = ρ Q. 1

20 .1. Balance de momentos: Para cada volumen -ésmo se asoca un momento G = ( mv A) geometría del volumen G = ( W L A) másco. La ecuacón de momento se puede escrbr como:, o relaconando con la, quedando el momento en funcón del caudal dg dt L W W = + ( Wout Wn) = P = ( Pn Pout + Pabf ) A t (.) A donde Pn y Pout son las presones de entrada y salda del volumen de control y Pabf son los cambos de presón debdo a aceleracones, fuerzas boyantes y frccón presentes en el sstema, que se descrben con más detalle posterormente..1.3 Balance global de momentos: Esta ecuacón se suele resolver en su expresón global, ntegrando espacalmente sobre un crcuto cerrado a la expresón.. Por lo cual obtenemos una ecuacón para el momento total: G =G. (.3) dg dt donde = ( Pn Pout) + Pabf (.4) Pabf = Pabf son los cambos totales de presón debdo a los aportes de cada tramo -ésmo, Pn y Pout son funcones de la presón en el recpente, que es dato de entrada en este modelo, cerrando el crcuto como se muestra en la Fgura -1. Entonces, conocda la presón en el recpente Pd, ambas presones se calculan como sgue (en KPa): Pout = Pd Q Pn = Pd Q [m3/h] [m3/h] + Ph Ph = ρ g ( Nvel)0.001 [Kpa] sendo Ph la columna de agua en funcón del nvel de líqudo en el recpente (-1,76m nomnal). Las pérddas para la presón de entrada se deben prncpalmente a frccones 13

21 nternas en el recpente a presón. La dferenca de presón en la salda del crcuto frente a la del recpente se debe a la expansón abrupta que sufre el agua al ngresar al msmo y al dstrbudor de película descendente que posee el recpente..1.4 Modelado de la presón: El térmno de la ecuacón.4 Pabf descrbe los cambos de presón presentes en los volúmenes de control. Estos cambos se asocan a tres fenómenos: las pérddas por frccón Pf, los cambos de presón por fuerzas boyantes Pb y las aceleracones que sufra el fludo en el tramo Pa. Entonces: Pabf = Pf + Pb + Pa tpo Pérddas por frccón: Estas pérddas son proporconales al cuadrado del caudal, con una forma funconal del Pf = K ( ρ) W. K es una constante que en general depende de la densdad y de la geometría. Se puede dstngur además la forma funconal de las pérddas asocadas a las líneas de presón y a los componentes del crcuto. Para las líneas: L W D ρa Pf = f (.5) con D el dámetro de la línea y f el factor de frccón que se puede obtener del dagrama de Moody, conocendo el número de Reynolds. Para los componentes se suele obtener una relacón: W ρa Pf = K (.6) con K dependendo de la geometría del componente. Es mportante dstngur para este caso la descrpcón de las pérddas para las válvulas, cuya pérdda se expresa en funcón del Cv, descrpto en el capítulo anteror, por la ecuacón: 14

22 W P = [ KPa] (.7) ρ ρ (15º C) Cv( x) con 0 ( 1000γ ) x 1 Cv ( x) = Cvmax a para las válvulas so-porcentules donde =7, transforma a undades nternaconales la expresón dada en undades brtáncas. Se denota entonces que las pérddas se asocan a la apertura de la válvula x. Con datos del fabrcante v se obtenen las expresones correspondentes a cada válvula reflejados en la sguente tabla (Tabla -1): Válvula Cvmax a FV ,1 16,464 DPCV Tabla -1 Constantes para la expresón del Cv de cada válvula de control.1.4. Fuerzas boyantes: Los cambos de presón debdos a las fuerzas boyantes, asocadas al peso de la columna de agua, se pueden expresar en cada tramo como: ( ρ g z cosα ) Pb = (.8) Aceleracones: En el caso de estudo el únco térmno de aceleracón lo provee la bomba AB-004. Dcha bomba tene una característca dada por el fabrcante como se muestra en la Fgura -3 v. 0 ρ λ con H 0 =146,97m y Se puede aproxmar por la funcón Pa bomba = ( H g W g ) bomba =1316,16s/m. 15

23 Fgura -3 Altura desarrollada por la bomba AB004 en funcón del caudal volumétrco.1.5 Balance de energía: Es necesaro plantear las ecuacones de energía para cada volumen -ésmo tanto para el agua como para la pared. Para el modelo consderamos las sguentes smplfcacones: Se despreca la conduccón axal para el agua puesto que el térmno advectvo es predomnante en la ecuacón. Se despreca la conduccón axal para las paredes ya que la transferenca con el agua es predomnante. Se despreca el calentamento por frccón en las cañerías. Sólo se tomará en cuenta el presente en la bomba. Se asocará a una fuente de calor dada por ella, proporconal a su potenca de consumo. La entrada de calor del calefactor se consdera una fuente para el tramo asocado en la red. Con todas estas consderacones en cuenta, las ecuacones se pueden expresar como se muestra a contnuacón. 16

24 Ecuacón de energía para el agua: La ecuacón de energía tendrá su térmno predomnante en la parte advectva, asocada a la velocdad (o al caudal másco), luego estarán los térmnos asocados a transferencas externas. La varacón de energía la descrbe la ecuacón sguente: d ( m ct ) dt dt dm dt = c m + ct = ct ( Wn Wout ) + c m (.9) dt dt dt donde c es el calor específco del agua. En el volumen de control se obtene el balance expresado como: d ( m ct ) dt dqe = + ( ctn) Wn ( ctout) Wout (.10) dt consderando que la temperatura de salda del volumen es la del agua en el tramo (Tout=T), el balance de energía queda expresado por la ecuacón: dt mc dt dqe = + c dt ( Tn T ) Wn (.11) con Qe que ndca el calor recbdo de forma externa y está dado por la transferenca a la pared por conveccón y por las fuentes asocadas a cada tramo, en partcular el tramo de la bomba y el calefactor. Su varacón se expresa como: dqe dt ( h At ( Tp T ) + Fuentes) = (.1) con Tp la temperatura de la pared, ( ) At = π φ L el área de transferenca y h el coefcente de conveccón. Dcho coefcente debdo a que el flujo se puede consderar turbulento v se puede obtener con la correlacón de Dttus-Boelter / 3 k h = 0.03 Re Pr (.13) φ con Pr el número de Prandtl, k la conductvdad térmca y Re el número de Reynolds. En los regmenes de trabajo se utlza un valor medo de h=1000 calculado a partr de valores de referenca v. 17

25 .1.5. Ecuacón de energía para la pared: El cambo de temperatura de la pared de la cañería queda drectamente expresado por la transferenca con el agua de la sguente manera: dtp cp mp dt = ( h At ( Tp T )) (.14) con cp=477j/kgk el calor específco para la pared y su densdad p=7900kg/m 3, datos del acero noxdable 304L. La masa de la pared mp se puede expresar en funcón del espesor e y el dámetro de cada caño (para DN 3 = 73,7mm, e=7,6mm nomnales y en el caso del caño DN 4 = 87,3mm, e=13,49mm nomnales). π mp = L ρp ( φ + e) φ ) Smplfcacones: Consderando el fludo ncompresble la ecuacón.1 del balance de masa queda reducda a la forma sguente: Wn = Wout = W donde se puede asocar a un únco caudal por tramo W. Este resultado tambén se ve reflejado en la ecuacón.4 de momentos de la sguente manera: L W = ( Pn Pout + Pabf ) (.15) A t Se pueden dferencar tres seccones prncpales en la línea como se dstngue en la Fgura -4. Una seccón caracterzada por la línea DN 4 hasta la bomba con caudal W 1.Otra hasta la dervacón del caudal de mecansmos con cañería DN 3, tambén con caudal W 1 y la línea restante, con el caudal de dervacón W. Como el caudal dervado por mecansmos Wmec es dato, el caudal de dervacón se puede obtener como W = W 1 Wmec. 18

26 Fgura -4 Esquema ndcando las seccones del crcuto prncpal De esta manera, entonces, las pérddas por frccón se pueden expresar en funcón del caudal crculante por la bomba W 1 y el caudal por mecansmos de la sguente manera: ( K + K + K ) W + ( K ) Wmec ( K ) W Wmec Pf = Pf = (.16) donde K j se asoca con el coefcente total de pérdda equvalente para la seccón j con (j=1,,3), calculado como la suma de todos los coefcentes de pérdda de los tramos asocados a la seccón. La ecuacón.15 se reduce entonces al cálculo del caudal crculante por la bomba W1 de la sguente manera: dw 1 Pn Pout + Pabf = (.17) dt L A con las pérddas por frccón calculadas como ndca la ecuacón.15.. Resolucón numérca de las ecuacones: En prmer lugar se muestra un esquema de la red modelada en la Fgura -5 v. En éste se pueden dstngur los componentes prncpales que producen pérddas localzadas, como ser el calefactor, caudalímetro, entre otros. Además se producen pérddas localzadas en los codos que presenta la línea. 19

27 Fgura -5 Esquema representatvo de la red modelada numércamente..1 Resolucón numérca de la ecuacón de momento: Antes de resolver la ecuacón para obtener el nuevo caudal es necesaro defnr las pérddas y la forma de cálculo de las fuerzas boyantes Defncón de los coefcentes de pérddas: A partr del documento de referenca v se pueden obtener los coefcentes para los componentes prncpales y las cañerías (consderando una rugosdad de 0,05mm). Éstos se muestran en la sguente tabla (Tabla -): Componente Coefcente Valor Descrpcón Línea 3n f 0,0187 Nomenclatura DN 3 Sh 80 Línea 4n f 0,0177 Nomenclatura DN 4 Sh 160 Codo K 0,4 90º Dervacón T K 1,6 Dervacón al caudal de mecansmos Reductor 4 a 3n K Caudalímetro K 86,6 FE-003, meddor Annubar de caudal Swtch K 1, FSL-007, swtch ndcador de bajo caudal Calefactor K 1,5 CAPEM-BI-005 Tabla - Coefcente de pérdda asocados a los componentes prncpales de la red modelada 0

28 ..1. Crtero de cálculo de las fuerzas boyantes: Conocendo la altura de los codos v se puede defnr s cada tramo es vertcal a favor o en contra de la gravedad u horzontal, de esta manera se asoca a los tramos entre codos una ndcacón para su orentacón y los cambos de presón por fuerzas boyantes se calculan a partr de.8 como ( ) Pb = ρ g L ver con ver el ndcador sendo ver=1 s la seccón es vertcal y el sentdo concdente con la gravedad, -1 s el sentdo es opuesto a ella y 0 s la seccón resulta horzontal Método utlzado y solucón numérca: Como se mostró anterormente esta ecuacón queda reducda a la obtencón del caudal másco crculante a través de la bomba W 1. La respuesta dnámca de esta ecuacón es cerca de un orden de magntud menor que la respuesta asocada al transporte en la ecuacón de energía. Para evtar el uso de dos constantes de tempo dferentes se optó por resolver esta ecuacón con un método de Euler mplícto, que no arrastra problemas de convergenca. S se asoca al avance temporal la varable k y el tempo de muestreo ts, en forma general el método de Euler mplícto para una ecuacón del tpo x = f ( x, t) se puede t expresar como: x k + 1 x ts k = f k + ( x 1, t) Bajo este método la ecuacón de caudal queda reducda a una expresón cuadrátca de la forma: k+ 1 k+ 1 ( W ) a + W a + a = (.18) en donde: a a a 1 0 = = ( K + K + K ) 1 1 = gλ + ts 3 L A k ( K ) 3 k Wmec k k k k 1 ( K ) ( ) L 3 Wmec H 0ρbomba g Pn Pout Pb A ts W k 1

29 cuya solucón es la raíz postva de dcha ecuacón 1 W k + 1 = a 1 + a 1 a 4a a 0 En las Fguras -6 podemos observar la evolucón de la solucón. Tenemos dos casos de estudo, con semlla nula de caudal para la Fgura -6 a y con 60m 3 /h para la Fgura - 6 b. El caudal de dervacón W, que crcula a partr de la dervacón a mecansmos se obtene drectamente restando el caudal de mecansmos Wmec al obtendo en la resolucón. a) Semlla de caudal 0m3/h b) Semlla de caudal 60m3/h Fgura -6 Evolucón temporal del caudal volumétrco para dstntos valores de entrada.. Resolucón numérca de la ecuacón de energía: Se puede ver que las ecuacones de energía quedan reducdas al cálculo de la temperatura del agua T y de la pared Tp en cada tramo de la red. En prncpo se solucona el problema numérco con el método up-wnd. Pero este método puede resolverse tanto de manera explícta como mplícta. Para el método explícto conocda T en el tramo y en el -1 a tempo k, se calcula T en el tramo a tempo k+1. En el mplícto, en cambo, conocda T en el tramo -1 a tempo k+1 y T en el tramo a tempo k, se calcula T en el tramo a tempo k+1. El esquema mostrado en la Fgura -7 ejemplfca la explcacón anteror.

30 Explícto Implícto Tempo k+1 Tempo k+1 Conocdo k -1 k -1 Nuevo Tramo Tramo Fgura -7 Esquema representatvo del método up-wnd para el sstema mplícto y explícto En este trabajo se han resuelto las ecuacones de energía por ambos métodos y se compararon para decdr por el más convenente....1 Método explícto: Para el método explícto la solucón de las ecuacones.11 y.14 quedan expresadas de la sguente manera: k k k k k k ( c W ( T T ) + h At ( Tp T ) Fuentes ) k+ 1 k ts T = T + k k 1 + m c (.19) Tp k+1 = Tp k ts k mp cp k h At k k ( Tp T ) (.0) La ventaja de este método es que, bajo certas condcones de convergenca, puede segur al frente de onda dado por el térmno advectvo. Pero es necesaro actualzar el tempo de muestreo para que esto suceda y la ecuacón converja. La condcón de convergenca está dada por: ts W m ts V L con V, velocdad del fludo. Para la condcón de gualdad se consgue segur el frente de onda. Pero esta condcón de convergenca trae otro problema, al tener áreas dstntas para mantener la gualdad hay que corregr el largo del tramo por la seccón. Además es necesaro recalcular el tempo de muestreo al actualzar el caudal. 3

31 ... Método mplícto: Las ecuacones.11 y.14 para el método up-wnd mplícto tenen las sguentes solucones: T k+ 1 = T k ts + k m c k c k W ts 1+ k m c k k k + 1 ( T ) 1 k c W k k Tp + h At + Fuentes ts 1+ k k h At mp cp ts h At k k + h At mp cp 1 ts 1+ h At k k mp cp (.1) Tp k+ 1 = Tp k ts + h At T k k mp cp ts 1+ h At k k mp cp k+ 1 (.) Este método es ncondconalmente convergente, pero trae aparejado problemas de dfusón numérca, no pudendo segur el frente de onda de manera correcta....3 Comparacón: En la Fgura -8 se pueden aprecar las ventajas y desventajas comparatvas de cada método. a) Ventaja mplícto b) Ventaja explcto Fgura -8 Gráfca comparatva de los resultados obtendos para el método mplícto y explícto de solucón de la ecuacón de energía. 4

32 A pesar de que el método explícto aproxma de mejor manera la ecuacón su uso presenta nestabldades en el rango de nterés y es problemátco para tempos de muestreo fjos. Por estos motvos y la establdad presente en el método mplícto, se opta por este últmo para el modelo...3 Actualzacón de la densdad y el calor específco: Puesto que el rango de temperaturas de funconamento cubre desde temperatura ambente hasta temperaturas del orden de los 330ºC, se optó por recalcular los valores de densdad y de calor específco con cálculos de saturacón asocadas a partr de 100ºC, hasta ese valor se utlza c=4186j/kgk v..3 Cálculo de estaconaros: Para valdar el modelo se contrasta contra valores de referenca v. Defnendo las aperturas de las válvulas de control de manera de tener el msmo Cv de operacón que el documento de referenca, se puede comparar la solucón para el caudal como se muestra en las Fgura -9 a, b. Se analza la evolucón a caudales de 0m 3 /h correspondente a los ensayos para los mecansmos MSAC y MASER (a) y 50m 3 /h (b) para el ensayo de durabldad de elementos combustbles. Para el últmo caso se reemplaza la válvula DPCV07 por un tramo de caño. Se parte de una semlla de 0m 3 /h en ambos casos. Se observa un error de estado estaconaro menor al 10% en los casos de nterés. No se cuenta con documentacón valdada para contrastar las ecuacones de energía, sólo se corroboró que respondan en forma funconal a la solucón real esperada para la ecuacón de transporte del tpo: f t f + v z = 0 En las Fguras -10 a y b se puede aprecar la evolucón espacal y temporal del frente de onda quedando marcado claramente el problema de dfusón numérca asocado al método. Sn embargo para el nterés del trabajo la respuesta es satsfactora. En ambos casos se colocó un escalón de entrada de 14ºC sobre el equlbro. 5

33 a) Ensayo MSAC/MSER b) Ensayo durabldad de EC Fgura -9 Valdacón del modelo contra valores conocdos en la obtencón del caudal volumétrco Fgura -10 Evolucón de la temperatura.3.1 Esquema del programa: El programa recbe como datos de entrada las aperturas de las válvulas de control FV003 y DPCV07, la presón en el recpente Pd, la temperatura de salda del recpente Tn, el tempo de corrda y la potenca del calefactor. A contnuacón se descrbe la secuenca smplfcada de cálculo del programa: 1. Defncón por el usuaro de valores ncales (semllas), de caudal, temperatura y densdad. Inco del loop de cálculo 6

34 a. Actualzacón del calor específco b. Cálculo de coefcentes de pérdda y fuerzas boyantes c. Solucón de la ecuacón de momento, obtencón del caudal másco a tempo k+1 d. Solucón de las ecuacones de energía, obtencón de las temperaturas de pared y agua e. Actualzacón de la densdad f. Cálculo de saldas requerdas por el usuaro a partr de los datos actualzados g. Se defnen los datos actualzados como nuevas semllas 3. Fnalzacón del loop, vuelta al punto hasta que se alcance el tempo de corrda defndo por el usuaro..4 Lmtacones: La lmtacón fundamental de este modelo se presenta en la dfusón numérca asocada a la ecuacón de calor para el agua. El modelo no representa la dnámca del crcuto de mecansmos con el generador de pulsos. Esto no hace posble la descrpcón de la dnámca de los pulsos de ascenso y descenso de los mecansmos. 7

35 Capítulo 3 3 Modelado del recpente a presón BR-001: En este capítulo se muestra el modelo físco desarrollado para la smulacón de la evolucón dnámca de las varables asocadas al recpente a presón BR-001 del CAPEM. Luego muestra la resolucón numérca del msmo. El modelo caracterza el equlbro aguavapor y el transporte del frente temperatura haca la salda del recpente, en dos esquemas separados. Como varables de estado del recpente se van a obtener la presón en el recpente Pd, sus balances de masa de agua (mlv) y ntrógeno (mn ) y la temperatura de salda del msmo Tout. 3.1 Estructura del modelo: El recpente a presón se esquematza en la Fgura 3-1 v. Las varables allí presentes se descrbrán más adelante. Woutg, houtg Wmec, T WnN, hnn Pd, mlv, mn Tp Wd Wn, Tn, hn Domo Barrel Tb Elemento combustble Tec Succón de la bomba Wout, Tout Agua T Pared Tt Tramo de crculacón Fgura 3-1 Esquema del recpente a presón del CAPEM BR 001 8

36 El recpente a presón BR 001 está construdo sobre un caño DN 1 en acero AISI 31 de dámetro nterno 57,1mm y externo de 33,85mm. Un esquema detallado del msmo se muestra en la Fgura 3- v, donde se pueden aprecar sus dmensones característcas. Más adelante en este capítulo se darán dmensones necesaras para los cálculos. Fgura 3- Modelo detallado del recpente a presón BR 001 9

37 El modelo separa el recpente en dos partes, una llamada domo donde se analza la dnámca del equlbro agua-vapor y ntrógeno que caracterza la presurzacón del recpente. Y la otra parte llamada tramo de crculacón que caracterza el transporte de energía (frente de temperatura), desde la regón anteror hasta la succón de la bomba, atravesando el elemento combustble. 3. Modelado del domo: En esta parte se resuelve el modelo para la regón de equlbro agua-vapor, con la posbldad de agregado de ntrógeno. Las varables de entrada y salda del modelo se pueden aprecar en la Fgura 3-1. Estas son: Wn caudal de entrada, hn entalpía de entrada, Tn temperatura de entrada, Wd caudal dervado al crcuto de crculacón, Woutg caudal salente de gas, houtg entalpía de ese caudal, WnN caudal de entrada de ntrógeno con su entalpía asocada hnn, por últmo Wmec es el caudal por los mecansmos con T el subenframento asocado. Para el modelo se tenen en cuenta las sguentes hpótess: Se consdera un equlbro de fases agua-vapor en el recpente, sendo las propedades de estas fases las de saturacón. Para la mezcla de N y vapor se consdera una mezcla de Gbbs-Dalton. No se toman en cuenta efectos de compresón que puedan afectar las respuestas de las fases gaseosas. La mezcla de Gbbs-Dalton marca que la presón dentro del domo Pd será la obtenda para el vapor (en este caso la de saturacón) Pv y la presón de ntrógeno PN. Entonces: Pd = Pv + PN (3.1) Además el volumen del domo Vd es una varable conocda (0,1m 3 ) y puede ser expresado en funcón de la masa de agua líquda ml y de vapor mv o así tambén por la masa de ntrógeno mn, puesto que la mezcla consdera que ambos gases ocupan el msmo volumen. Resulta: 30

38 ml ρl mv ρv ml ρl mn ρn Vd = Vl + Vg = + = + = 0,1 m 3 (3.) sendo l, v y N las densdades de agua líquda, vapor y ntrógeno respectvamente, Vl el volumen ocupado por líqudo y Vg el ocupado con fase gaseosa. Las densdades para el agua se calculan para saturacón medante el uso de relacones conocdas v. Por últmo, la entalpía del domo Hd estará expresada en funcón de las entalpías de cada componente y fase, hl para el líqudo, hv para el vapor y hn para el ntrógeno. Entonces: Hd = hn mn + hl ml + hv mv (3.3) La entalpía asocada al ntrógeno se calcula como: hn = cn Td (3.4) con Td la temperatura en el domo a saturacón y cn el calor específco del ntrógeno (741,794J/KgK) x Balance de masas: Se plantean balances de masa para el ntrógeno y para el agua en sus dos fases sumadas, generando una masa llamada mlv, que es la masa total de agua. A partr de la Fgura 3-1 se pueden deducr las sguentes expresones: dmn dt = WnN mn Woutg mn + mv (3.5) dmlv dt mv = Wn Wd Woutg mn + mv (3.6) donde Wn es la entrada de agua, WnN es la entrada de ntrógeno, Wd el caudal dervado al crcuto de crculacón y Woutg el caudal salente de gas. 3.. Balance de energía: La varacón de entalpía dentro del domo se puede expresar de la sguente manera: dhd dt dpd Vd dt dqe = Wn hn Wd hl + WnN hnn Woutg houtg + (3.7) dt 31

39 sendo hnn la entalpía de entrada del ntrógeno y houtg la de salda de gas. Qe ndca el ntercambo de calor con los componentes del recpente y será descrpto a contnuacón. En los cálculos consderamos Wd=Wn Cálculo de la transferenca de calor Qe: Se puede aprecar en la Fgura 3-1 que en la seccón de estudo el ntercambo de calor con el medo se puede relaconar con la transferenca de calor a la pared del recpente y al caño de entrada a mecansmos con su caudal subenfrado. Para la transferenca de calor a la pared suponemos una resstenca térmca formada por el pelo de agua descendente de 3mm de espesor e. Dcha resstenca se puede calcular como: R e = k At = º K ( KW ) sendo R la resstenca térmca, k la conductvdad del agua líquda (0,6W/mK) y At el área de transferenca (1,9385m). El calor transferdo a la pared se puede expresar como: dqep dt = dtp mp cp dt = 1 R ( Tp Td ) (3.8) sendo Tp la temperatura meda en la pared del domo, mp su masa (1000Kg en el domo) y el calor específco de la pared cp (477J/KgK para acero). Para cuantfcar la transferenca haca el caudal entrante de mecansmos, se supone que éste no camba su temperatura y que mantene su subenframento respecto de la temperatura de entrada al domo Tn. Se consdera que este tramo produce en régmen de operacón la condensacón de vapor. Se puede hallar un coefcente de conveccón para este caso de la forma : 0,5 3 g ρl ( ρl ρv) k hfg h = 0,943 = 3,885 l T L µ KW º Km donde g es la gravedad (9,81m/s ), hfg calor necesaro para el cambo de fase (1700KJ/Kg), l la densdad del líqudo (tomada 700Kg/m 3 ), v la densdad de vapor (1/600Kg/m 3 ), l la vscosdad del agua líquda ( Pas), L el largo (,4m) y el subenframento T de 5ºK. 3

40 Entonces la transferenca de calor en este caso con un área de transferenca de 0,518m resulta (En KW): dqem dt =, 447 (( Tn T ) Td ) 0 (3.9) sendo T el subenframento del caudal de mecansmos. Sumando ambos obtenemos la transferenca externa total: dqe dt dqep dqem = + (3.10) dt dt 3..3 Formulacón de las ecuacones: En prmer lugar se ntroduce una notacón para smplfcar la lectura: f f x = y f = x df dt Se selecconan varables de estado para resolver las ecuacones anterores en funcón de éstas. Como se trabaja con propedades de saturacón una buena eleccón es la presón de vapor Pv, ya que todas las propedades para el agua se pueden expresar en funcón de ella. Para completar el modelo se usa la masa de agua mlv y la de ntrógeno mn cuyas expresones ya fueron obtendas (3.5 y 3.6). Se completa el esquema agregando la temperatura de la pared Tp, que es ndependente a las otras varables Expresón de la entalpía en funcón de las varables de estado: A partr de la ecuacón 3.3 se puede escrbr: Hd = hn mn + hl ml + hv ( mlv ml) (3.11) Pero es necesaro elmnar la masa de líqudo de la ecuacón, entonces a partr de la ecuacón 3.: mlv Vd ρv ml = ρv ρl (3.1) 33

41 Reemplazando las ecuacones 3.1 y 3.4 en la ecuacón 3.11 se obtene la expresón: Hd = cn Td Pv) mn + f ( Pv) mlv f ( Pv) Vd (3.13) ( + 1 sendo las funcones auxlares f 1 y f funcones de la presón de vapor. Éstas se pueden expresar de la sguente manera x : hl hv f 1 ( Pv) = 1 1 ρl ρv f ( Pv) f1 = hv ρv Por últmo Td se calcula en condcones de saturacón a la presón de vapor Pv v. Luego dervando la expresón 3.13 se obtene la sguente expresón de la entalpía en funcón de la varacón de las varables de estado: H d ( cn Tp mn + f mlv + f Vd ) Pv + cn Td mn f m lv = (3.14) Pv Pv 1Pv Expresón de la presón en el domo en funcón de las varables de estado: Consderando mezcla de Gbbs-Dalton, y la ecuacón 3., la presón de ntrógeno se puede expresar como: mn PN = ρ N RN Td = ρv RN Td (3.15) mv con la constante de los gases para el ntrógeno RN =(8314.3/8,01403)J/KgK. Además la masa de vapor se puede obtener a partr de las ecuacones 3.1 y 3.6, resultando: mlv Vd ρl mv = ρv ρl (3.16) 34

42 Por lo cual la ecuacón 3.1 se puede expresar en funcón de las varables de estado de la sguente manera: Pd = f 3 + Pv (3.17) con f 3 una funcón auxlar de las varables de estado cuya expresón es: mn ( ρl ρv) f3 ( Pv, mlv, mn ) = RN Td mlv ρlvd Dervando la expresón 3.17 se obtene la dnámca de la presón del domo como funcón de la dnámca de las varables de estado. La expresón queda: P d ( 1 + f ) Pv + f mn + f m lv = (3.18) 3 Pv 3mN 3mlv Ecuacón de estado para la presón de vapor: A partr de las ecuacones 3.18 y 3.14 obtenemos la dnámca de la presón de vapor reemplazando a ambas en la ecuacón Entonces queda: Wn hn Wd hl + Wn hnn Pv = + ( cn TpPv + f Pv mlv + f1pv Vd Vd ( 1+ f3 Pv ) ( cn Tp mn + f mlv ) + Vd ( f3 mn mn + f 3mlv mlv ) ( cn Tp + f mlv + f Vd Vd ( 1+ f ) Pv Pv Woutg houtg + Qe + 1Pv 3 Pv (3.19) Con esta últma ecuacón se tenen planteadas todas las ecuacones para las varables de estado Resolucón de las ecuacones: Para resolver las ecuacones 3.19, 3.5, 3.8 y 3.6, se utlza el método explícto de Runge Kutta 4, dscretzando en la varable temporal como varable k. A contnuacón se detallan los pasos a segur en la resolucón. Conocdo el estado a tempo k 1. Con WnN, Woutg, mn a tempo k a. Se obtene mv a tempo k de la ecuacón 3.16 b. Se obtene mn a tempo k+1 a partr de la resolucón numérca de la ecuacón

43 . Con Wn, Wd, Woutg, mv, mn a tempo k a. Se obtene mlv a tempo k+1 resolvendo numércamente por el método elegdo la ecuacón Se calcula la temperatura de Td en el tramo k+1 a partr de Con f, f 1, f 3, sus dervadas, y las entradas y saldas de entalpías a. Se obtene dqe/dt de 3.10 en funcón de las varables de estado b. Se calcula Pv a tempo k+1 de la ecuacón Conocdo el estado a tempo k+1 se puede obtener a. La presón del domo Pd a tempo k+1 de la ecuacón 3.17 b. La masa de líqudo de la expresón Consderacones: Las funcones f 1 y f son conocdas al gual que sus dervadas v. Pero se tene que estmar numércamente la funcón f 3 dervada en funcón de la presón de vapor (las dervadas con respecto a las otras varables de estado son analítcas). Se resuelve el problema realzando la dervada por perturbacón numérca: f3 Pv = f mlv, mn, Pv + Pv) f Pv ( mlv, mn, Pv) 3 ( 3 Se estmó la varacón en Pv=0.05Pv Resultados: Se analza un caso en partcular partendo de un estado de saturacón a 36ºC sn presón de ntrógeno y sn agregado de dcho componente. Consderamos una masa ncal de agua total mlv=15kg y la pared en equlbro térmco con el domo. Los parámetros de entrada se toman de la sguente manera: hn como la entalpía de líqudo en saturacón a la temperatura de entrada Tn; Wn=Wd=3,61Kg/s; las entradas houtg, hnn, WnN, Woutg nulas; Tn=36.7ºC y el subenframento de 5ºC. Los resultados se pueden aprecar en las Fguras 3-3 a b c d, en las que se denotan las evolucones temporales de las prncpales varables. Cabe destacar que debdo a la elevada 36