estimación de la estructura de Tasas nominales de chile: aplicación del modelo dinámico nelson-siegel

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1 Volume 4 - º / dcembre 0 estmacó de la estructura de Tasas omales de chle: aplcacó del modelo dámco elso-segel Rodrgo Alaro A. * Sebasá Becerra C. ** Adrés Sager T. *** I. IroduccIó La esmacó de la esrucura de asas de erés ha sdo ua area de erés, ao para los aalsas aceros como para los académcos. Los modelos de u solo acor, usualmee dervados e empo couo como Vascek (977) y Cox, Igersoll y Ross (985), cumple co el prcpo de o-arbraje, pero muesra u débl ajuse a los daos (Wlmo, 007). Esa evdeca ha llevado a los aalsas a preerr méodos maemácos más lexbles que perma u mejor ajuse. E esa líea, uo de los rabajos más desacados es el de Nelso y Segel (987), quees propoe u modelo que o solo presea u ajuse razoable a los daos, so que además coee asas coras y largas que so be dedas. Debold y L (006) señala que los res acores que caracerza ese modelo (vel, pedee y curvaura) so precsamee los que le perme u bue ajuse empírco. Coroeo, Nyholm y Vdova-Koleva (008) repora ua ampla lsa de orgazacoes públcas, bacos de versó y bacos cerales que ulza el modelo, o exesoes de ese, ao para ajusar la curva de redmeo como para realzar proyeccoes. Dero de las exesoes, desaca Svesso (994) que corpora u cuaro acor que correspodería a ua seguda curvaura, permedo así ua lexbldad aú mayor del modelo. Shreve (004), por su pare, presea la exesó para dos acores de los modelos de Vascek y Cox-Igersoll- Ross (CIR). El auor muesra que el modelo de Vascek ee orma cerrada, meras que para el caso de CIR la resolucó es umérca. E ambos casos, los modelos se obee luego de mpoer que o exse posbldad de arbraje, propedad que ambé es recoocda para la versó dámca del modelo de Nelso-Segel (DNS, de aquí e adelae) propuesa calmee por Debold y L (006) e ua aplcacó empírca de predccó co acores dámcos. Chrsese, Debold y Rudebusch (009) presea los resulados maeedo la modelacó e empo couo, meras que Alaro (0) ulza el acor de descueo esocásco al como se plaea e Campbell, Lo y MacKlay (997). Bajo homocedascdad de los acores, sus resulados dca que, e caso de o poder gorar dcho érmo, ese podría ser eoces cosderado como u premo por plazo. E ese arículo preseamos ua dervacó alerava del modelo DNS basada e la Hpóess de Expecavas e Logarmos. Dcho resulado se obee de ua modelacó explíca de la dámca de los acores que lo compoe (vel, pedee y curvaura). Por la mposcó de ua raíz uara e el modelo, demosramos dos propedades de seres de empo esperadas para las asas de erés: () la modelacó de cada ua de ellas debera ser ARIMA(,,), y () exse relacoes de largo plazo (coegracó) que volucra res asas * BBVA Research. E-mal: ** Gereca de Ivesgacó Facera, Baco Ceral de Chle. E-mal: *** Gereca de Ivesgacó Facera, Baco Ceral de Chle. E-mal: El modelo de Vascek (977) asume ormaldad de los acores, por lo que la suma de esos maee dcha propedad. E el caso de CIR, los acores ee dsrbucoes o egavas y la decacó de los parámeros es alamee o leal. 57

2 ECONOMÍA CHILENA de dsa madurez. S be el prmer elemeo puede ser úl para deermar empírcamee los parámeros del modelo, oamos que Campbell, Lo y MacKlay (997) señala que los daos sempre rechazará esa codcó de sobre-decacó. Por ello, ese arículo exploa las relacoes de largo plazo para decar los parámeros del modelo. Nuesros resulados se ecuera e líea co los de Herrera y Magedzo (994) y Morales (008) e lo que se reere al parámero de persseca de los acores. Adcoalmee, preseamos los resulados de u modelo macroacero reducdo dode se relacoa meddas de acvdad y precos co los acores pedee y curvaura de la esrucura de asas dervadas por DNS. Ulzado ucoes de mpulso-respuesa geeralzadas para la decacó de los shocks esrucurales, se observa la exseca de eecos ere varables aceras y reales. Desacamos el eeco que ee las meddas de acvdad sobre la pedee, y el eeco que ee la curvaura sobre la lacó. S be el prmero ha sdo recoocdo y documeado e la leraura, el segudo parece ser más ovedoso y guardaría relacó co la velocdad de ajuse de la asa de coro plazo a su valor de esado esacoaro. El arículo se orgaza de la sguee orma. E la seccó II se presea ua revsó de la leraura, se desarrolla el modelo DNS y se presea los prcpales resulados eórcos obedos. E la seccó III, se descrbe la esraega empleada e la decacó de los parámeros del modelo para Chle. La seccó IV aalza la eraccó dámca ere los acores de la esrucura de asas esmadas y u cojuo de varables macroecoómcas medae esmacoes VAR. Falmee, la seccó V cocluye. II. discusió eórica y empírica del modelo ds E esa seccó preseamos la revsó de la leraura reerda a la esmacó de la curva de redmeo e Chle para luego desarrollar e exeso el modelo dámco de Nelso-Segel (DNS), y presear sus prcpales propedades. La seccó cerra co las dculades empírcas relacoadas co la esmacó de los acores del modelo.. Leraura sobre Esrucura de Tasas Para Chle se ha realzado varos esudos que ea modelar la esrucura de asas de erés a ravés de dsos méodos. Uo de los prmeros rabajos es el desarrollado por Herrera y Magedzo (997), quees ulza los PRC (pagarés reajusables co cupoes del Baco Ceral de Chle) para esmar el modelo de Nelso y Segel (987) por mímos cuadrados o leales ulzado ormacó ao de las lcacoes de esos srumeos como de las rasaccoes del mercado secudaro obedas de la Bolsa de Comerco de Saago. Su meodología cosse e ecorar los acores de descueo que mmza la dsaca ere el preco observado del boo y el esmado. Los auores presea resulados para las asas reales ere marzo y juo de 996, y ecuera que, e promedo, la curva de redmeo ee pedee posva, exsedo así u premo posvo para los pagarés a mayores plazos. E parcular, se ecuera u spread ere los PRBC (Pagarés Reajusables del Baco Ceral de Chle) a 90 días y los PRC a 8 años de 6%. Co la msma meodología, Zúñga y Sora (999) esma empírcamee la esrucura emporal de asas de erés para el período compreddo ere 994 y 997 ulzado los boos de recoocmeo y los pagarés reajusables del Baco Ceral de Chle rasados e la Bolsa de Comerco de Saago. Agregado la ormacó dara e u promedo mesual esma la curva de redmeo, obeedo así 48 esmacoes de los parámeros que perme cosrur las curvas spo y orward, dode la prmera es sempre descedee. Por oro lado, Pars (998) ulza srumeos omales (pagarés descoables del Baco Ceral de Chle, PDBC) para el período 98 a 995, y esma por GMM ua curva de modelos aes para la asa de erés. Las demosracoes de las proposcoes éccas se ecuera e el Apédce. 58

3 Volume 4 - º / dcembre 0 de coro plazo dervada de los modelos de Vascek (977) y Cox, Igersoll y Ross (985). Esa modelacó correspode a la esmacó de u acor posblemee o homocedásco y se basa e la vesgacó empírca de Cha e al. (99). Zúñga (999) exede ese aálss medae máxma verosmlud para cosderar modelos de varaza codcoal del po GARCH; e ao, Ferádez (999) realza esmacoes ulzado la asa promedo de depósos erbacaros como ua aproxmacó de los PDBC, a ravés de méodos o paramércos. Leor y Walker (000) caracerza la esrucura de asas de erés reales y sus cambos a ravés del empo e ervalos de 5 días para el período compreddo ere 99 y 998. Los auores ulza ormacó dara para obeer esmacoes a mad y a de mes, cluyedo daos del mercado secudaro, prmaro, boos de recoocmeo, PRBC y PRC. Esmado el modelo de Nelso y Segel ecuera u bue grado de ajuse para la curva de redmeo, además de ua uere persseca de los acores esacoaros del modelo. Ua seguda ola de rabajos de curvas aes se ca co Ochoa (006) que exede el modelo de Vascek (977) co u compoee o observado sguedo a Balduzz, Das y Fores (998), meras que Corázar, Schwarz y Narajo (007) ulza de maera comercal u modelo de res acores para esmar la curva de redmeo de boos ao de gobero como de empresas. E ambos casos, el objevo es mmzar las derecas e los precos de los srumeos, para lo cual realza las esmacoes ulzado el lro de Kalma. Ochoa (006) perme la esmacó co u acor o observado, y Corázar, Schwarz y Narajo (007) perme ambé la esmacó co rasaccoes recuees. Morales (008) ulza asas de erés reajusables y explora la movacó de Debold y L (006) al cosderar el modelo DNS y su relacó co acores macroecoómcos ulzado esmacoes VAR. El auor muesra que el algormo smplcado de dos eapas propueso por Debold y L (006), el cual mplca calbrar el parámero o leal y realzar esmacoes leales, o geera derecas mayores que la esmacó co lro de Kalma. Falmee, Alaro (0) propoe ua versó dscrea del modelo DNS y demuesra que el modelo pereece a la clase de los modelos aes. Esa es ua prueba alerava a la preseada por Chrsese, Debold y Rudebusch (009), quees basa sus resulados e la exseca de o-arbraje.. Modelo Dámco Nelso-Segel Nelso y Segel (987) esablece u modelo de empo couo dode la asa de madurez, z(), correspode a la sguee orma ucoal: z() + exp( α) + exp( α ) exp ( α ) α α, () dode a > 0 es u parámero o leal, el cual supodremos coocdo por el vesgador, meras que los parámeros l so esmados para las dsas echas e las que se desea compuar la curva de redmeo y los deremos como acores de la curva. Esa orma ucoal ha sdo basae cómoda para ajusar los dversos perles de la curva de redmeo observados e dsos países. A dereca de los ajuses vía polomos, la orma ucoal propuesa por los auores coee e los límes eror y superor valores acoados para las asas. E parcular, oamos que la ucó exp(a) oma valor cuado la madurez es 0, meras que coverge a 0 cuado la madurez es grade ( ). Dado que, e geeral, la madurez se mde e úmero de meses, puede omar u valor máxmo de 60 (boo a 0 años). Debdo a que la ucó expoecal es acoada, podemos obeer valores exacos para los casos e que la madurez es cero (asa saáea), y para ua asa cca cuya madurez es a. E el prmer caso, el elemeo que acompaña al segudo acor coverge a, meras que el elemeo asocado al ercer acor se hace 0. De ese modo, la asa más cora del modelo es smplemee la suma de los prmeros dos acores. 59

4 ECONOMÍA CHILENA Para el caso de la asa larga, eemos que ao el segudo como el ercer acor se hace cero. Por ao, la asa larga del modelo correspode solo al prmer acor. E coclusó, el modelo mplca que el prmer acor correspode a la asa larga, meras que el segudo es la dereca ere la asa cora y la asa larga. Debold y L (006) esablece que el prmer acor correspode al vel de la curva, y el segudo correspode al egavo del premo por plazo. Ese úlmo se eede como la dereca ere la asa larga y la asa cora, e mplca la pedee de la curva de redmeo. El ercer acor o parcpa e esas asas, pero perme que el modelo sea lo suceemee lexble como para acomodar dsas curvas de redmeo, por lo que los auores lo deoma curvaura. S be el modelo Nelso-Segel ha sdo exoso para ajusar curvas de redmeo, es mporae señalar que él coee mplcacas ecoómcas que puede ser eresaes para el aálss dámco del mercado de srumeos de rea ja. Sguedo a Alaro (0), omaremos la versó dscrea del modelo DNS, la cual puede ser eedda como ua aproxmacó de la ecuacó () cuado se cosdera exp(-a) y se oma ua aproxmacó de Taylor: z + +. () Por la cosruccó del modelo dscreo, observamos que la asa cora correspode a, es decr la asa a mes. Es ácl oar que, cuado, dcha asa es la suma de los prmeros dos acores, al gual que e el modelo de empo couo. Por ora pare, la asa larga se obee de gual orma que e el caso couo ( grade).. Resulados Teórcos El modelo DNS e empo dscreo dado por la ecuacó (), puede obeerse a ravés de la dámca de los acores, para lo cual cosderaremos dos supuesos: () la asa cora es ucó de los dos prmeros acores dámcos, es decr, z l + l ; y () la asa de madurez es u promedo smple de las asas coras esperadas. El prmer supueso se ecuera aleado co la dscusó aeror por lo que se emarca drecamee, meras que e el segudo mpoemos como válda la hpóess de expecavas e logarmos (Campbell, Lo y MacKlay, 997), lo que mplca que la asa larga es el promedo de los valores esperados de las asas coras uuras: z E ( z + ). () 0 Ese úlmo supueso se basa e que la esraega de compra de u boo largo y maecó a madurez orece ua reabldad smlar a la de comprar sucesvamee boos coros. Dado que las reabldades de los boos coros o so coocdas al co de la decsó de versó, se cosdera valores esperados. El modelo DNS dscreo se obee de ulzar la ecuacó () e mpoer cera esrucura dámca a los acores que la compoe. La sguee proposcó recoge dchos supuesos. Proposcó : Para obeer el modelo DNS preseado e (), requermos asumr ceras dámcas de los acores. E parcular, el vel o prmer acor, debe ser ua camaa aleaora: l l - + e, meras que el segudo acor que correspode al egavo de la pedee debe ser AR() esacoaro co edeca esocásca ambé AR(); eso es: l l - + ( )l - + e, co l l - + e. 60

5 Volume 4 - º / dcembre 0 De la proposcó aeror, oamos que los acores so dámcos del po AR(); por ello es posble esablecer ua modelacó e seres de empo para las asas de erés. Dado que las asas so combacoes leales de esos acores, eoces ua modelacó ARIMA(p,d,q) podría caracerzar cada ua de ellas, resulado que resummos e la sguee proposcó. Proposcó : El modelo DNS dscreo mplca que la asas de madurez a puede modelarse co u proceso ARIMA(,,). Las raíces del polomo AR esacoaro so guales, meras que los sgos de los coecees del compoee MA depede de la madurez de la asa. S be la Proposcó os erega u camo dreco para ecorar los parámeros del modelo, el hecho de que el modelo DNS cuee co res acores uerza a que la marz de varaza y covaraza del modelo se ecuere sobredecada para más de res asas observadas. Campbell, Lo y MacKlay (997) dscue el hecho de que los daos sempre rechazará esa codcó de sobredecacó. Por lo aeror, e ese arículo exploamos la relacó de largo plazo (coegracó) de las asas de erés. E esa líea, Hall, Aderso y Grager (99) y Shea (99) emplea esa meodología para esear la hpóess de expecavas. E uesro caso, se mpoe resrccoes adcoales para esear cojuamee dcha hpóess más u modelo dámco de acores. La sguee proposcó resume los elemeos que os perme exploar la relacó de largo plazo. Proposcó : S se seleccoa res asas de erés de dsa madurez, eoces puede obeerse los acores como ua combacó leal de dchas asas de erés. E parcular, los poderadores del prmer acor suma, meras que los poderadores del segudo y ercer acor suma 0. Co ello, se puede caracerzar drecamee ua cuara asa medae las res aerores. Vale decr, exse q a, q b y q c, al que z q a z a + q b z b + q c z c, dode q a + q b + q c. La Proposcó mplca que la esmacó del parámero puede realzarse exploado la relacó de coegracó de las asas de erés. A su vez, eso mplca que es ecesaro mpoer resrccoes sobre los parámeros. 4. Implemeacó Empírca E la prácca, y debdo a la exseca de boos cero para los ramos más largos e la curva de redmeo, la mplemeacó empírca del modelo DNS ulza la TIR de u boo co madurez (z ) para calcular la duracó D. E parcular, la aproxmacó supoe que z es equvalee a la asa de u boo cero cupó cuya madurez es D (z D ). La relacó es evdee s la curva de redmeo es plaa, e cuyo caso la TIR del boo será equvalee a la úca asa que represea la curva. Para los boos de cora madurez, e geeral la duracó cocde co la madurez, debdo a que el pago del prcpal es relavamee más mporae que los pagos de los cupoes compromedos. Alaro y Becerra (0) vesga sobre los errores de ulzar esa aproxmacó bajo el supueso de que la esrucura de asas se rge por el modelo DNS. Los auores cocluye que el error de la aproxmacó colleva 5 puos base e el caso que la curva de redmeo presee pedee o curvaura moderada (cuadro ). Por oro lado, los srumeos que se rasa e u deermado momeo puede mpacar e la esmacó de la curva debdo a que ellos, e geeral, se cocera e alguos ramos especícos. Los bechmarks so aproxmacoes a puos de la curva que ee mayor prouddad, por lo que podría evar sobreajuses a ramos que esá muy rasados y subajuses a ramos de baja prouddad. La mayoría de los cálculos para bechmark so mecácos y o coee supuesos sobre la curva. Por ejemplo el bechmark para u boo a 5 años podría clur odos aquellos boos que se rasa e el período deermado y cuya madurez es ere.5 y 6 años. 6

6 ECONOMÍA CHILENA cuadro Error de Aproxmacó TIR/Duracó a (puos base) Madurez Duracó C % C 5% C 8% C % C 5% C 8% BCP- BCP BCP Fuee: Alaro y Becerra (0). a. BCPx boo bulle emdo a x años por el Baco Ceral de Chle co asa de cupó C. Los valores del cuadro se obee ere el cálculo exaco de la TIR y su aproxmacó co la duracó bajo el modelo Nelso-Segel. Por ejemplo, para u BCP a 5 años, exse u error de 7 pb s el boo ee u cupó de 8%. Falmee, la esmacó del modelo DNS puede realzarse por el lro de Kalma, como lo realza Corázar, Schwarz y Narajo (007), o Tapa (008) para el caso de Chle. E ese úlmo rabajo se repora ua baja esabldad e la esmacó medae ese procedmeo. Eso es u problema coocdo e la esmacó de esrucura de asas (Duee, 00). E parcular, Söderld (00) propoe ua solucó e la cual el modelo al se esma sobre la base de valores cales geerados por u modelo co meos acores. E ese rabajo se realza esmacoes e dos eapas para decar el parámero y poserormee los acores. III. esimació del parámero E esa seccó preseamos los resulados que se obee al esmar el parámero de persseca del segudo acor del modelo DNS (). Los prmeros resulados se basa e calcular a ravés de ua grlla el valor ópmo, para luego exploar los resulados de la Proposcó e los cuales se hace uso de la relacó de coegracó ere las asas. Los daos ulzados e esa seccó correspode a las asas de capacó prme a,, 6 y meses, y los boos omales (BCP) emdos por el Baco Ceral de Chle a, 5 y 0 años desde julo de 004 hasa juo de 0, cosderado como dao mesual el valor daro del cerre de mes.. Uso de Grlla Para cada mes, se esma la ecuacó () por mímos cuadrados ordaros ulzado u secllo procedmeo de grlla sobre el parámero o leal que abarca valores desde 0.70 a 0.99 co ervalos de 0.0. Los resulados cocde co los ecorados por Herrera y Magedzo (997) y Morales (008), quees realza la esmacó de asas dexadas para Chle (cuadro ). Por ejemplo, vía la raíz del error cuadráco medo dero de muesra (RMSE), se obee 0.9. S basamos uesra decsó e los creros de ormacó, obeemos 0.9. Falmee, bajo ua medda de ajuse global como el R Ajusado (R -A) ecoramos que esa se maxmza co Co odo, uesros resulados dca que o exse gra dereca s cosderamos valores de ere 0.88 y 0.9. Por lo aeror, cosderamos almee u valor promedo de 0.90 para dcho parámero. 6

7 Volume 4 - º / dcembre 0 cuadro Creros para Deermar a RMSE BIC AIC R -A Fuee: Elaboracó propa. a. Los creros cosderados correspode a la raíz del error cuadráco medo dero de muesra (RMSE), Schwarz (BIC), Akake (AIC) y el coecee de ajuse global R Ajusado (R A). Aleravamee, podemos remover el prmer acor de las asas de erés co u lro que elme la edeca esocásca coeda e ellas. Para eso, ulzamos u promedo móvl cerado de períodos. De esa orma, se puede obeer el segudo y el ercer acor co el procedmeo aeror. E ese coexo, la eleccó de aumea a 0.97 s ulzamos RMSE o R -A. Los creros de ormacó de Akake (AIC) y Schwarz (BIC), por su pare, arroja valores guales a 0.95 y 0.97, respecvamee (cuadro ). 6

8 ECONOMÍA CHILENA cuadro Creros para Deermar co Daos Flrados a RMSE BIC AIC R -A Fuee: Elaboracó propa. a Los creros cosderados correspode a la raíz del error cuadráco medo dero de muesra (RMSE), Schwarz (BIC), Akake (AIC) y el coecee de ajuse global R Ajusado (R A).. Relacó de Coegracó Sobre la base de la Proposcó, se omará como regresores res pos de asas: cora (uo, res o ses meses), medaa (doce meses o dos años) y larga (cco o dez años). Co ellas se esmará para cada ua de las cuaro asas de erés resaes ua regresó leal mpoedo: () que la suma de los coecees sea, y () que el cocee ere el coecee de la asa cora sobre el de la asa larga (q a /q b ) sasaga u cero valor especíco de. Las dsas combacoes de asas de erés mplca que 0.89 maxmza el promedo armóco de las meddas de ajuse global R obedas e las regresoes (cuadro 4). 64

9 Volume 4 - º / dcembre 0 cuadro 4 Promedo Armóco R de las Cuaro Regresoes a, b Regresores / Z, Z, Z N/D N/D N/D Z, Z, Z N/D Z, Z 4, Z N/D N/D Z, Z 4, Z Z, Z, Z N/D N/D N/D Z, Z, Z N/D Z, Z 4, Z N/D N/D N/D Z, Z 4, Z Z 6, Z, Z N/D N/D N/D Z 6, Z, Z Z 6, Z 4, Z N/D N/D N/D N/D Z 6, Z 4, Z Fuee: Elaboracó propa. a. Valores e egra dca el máxmo promedo armóco para el R. Como regresores se cosderó ua combacó de asas segú su plazo (coro, medao y largo). b. N/D: o dspoble por ser egavo. Falmee, e el cuadro oamos que los resduos de cada ua de las ecuacoes so esacoaros, lo que da cuea de ua relacó de largo plazo (coegracó) ere las asas de erés cosderadas. Regresores cuadro 5 Tes ADF sobre el Resduo de las Dsas Regresoes a, b () () () (4) () () () (4) () () () (4) () () () (4) Z, Z, Z Z, Z, Z Z, Z 4, Z Z, Z 4, Z Z, Z, Z Z, Z, Z Z, Z 4, Z Z, Z 4, Z Z 6, Z, Z Z 6, Z, Z Z 6, Z 4, Z Z 6, Z 4, Z Fuee: Elaboracó propa. a. Correspode al Tes de Dckey-Fuller Aumeado (ADF). b. Los valores crícos asócos para el es de coegracó al %, 5% y 0% so -4.9, -.74 y -.45, respecvamee. Valores obedos de Davdso y MacKo (99). I 65

10 ECONOMÍA CHILENA v. aplicació macroecoómica E esa seccó se esuda la eraccó dámca ere los acores de la esrucura de asas y u cojuo de varables macroecoómcas por medo de esmacoes del po VAR(p). E parcular, las esmacoes cosdera el egavo de la pedee (l ) y la curvaura (l ) de la esrucura de asas obeda e la seccó aeror, y el cclo ecoómco es caracerzado por varables macroecoómcas (cuadro 6). cuadro 6 Descrpcó de Varables Empleadas Varable Descrpcó Udades Fuee Observacoes l Pedee de la curva de %, aual Elaboracó redmeo propa. l Curvaura de la curva de %, aual Elaboracó redmeo propa. g Varacó del Ídce Mesual %, aual BCCh a de Acvdad Ecoómca u Tasa de desempleo desesacoalzada y lrada %, promedo rmesral INE b El lro empleado correspode a ua meda móvl cerada de períodos. π Ilacó %, aual INE b Varacó aual del IPC geeral. a. Baco Ceral de Chle. b. Isuo Nacoal de Esadíscas. El aálss de seres de empo de las varables aerores dca que ambos acores de la esrucura de asas de erés so esacoaros, meras que odas las varables macroecoómcas so egradas de orde (cuadro 7). El prmer resulado es oalmee esperable debdo a que 0 < < de acuerdo co la Proposcó. El segudo resulado, por su pare, os señala la ecesdad de rasormar las varables que caracerza el cclo ecoómco de al orma que ellas sea esacoaras. E ese sedo, la leraura VAR emplea radcoalmee el compoee cíclco de seres o esacoaras obedas medae el lro Hodrck-Preco (HP). S embargo, es be sabdo que la ulzacó de ese po de lros colleva u súmero de problemas. Por ello se empleó u méodo aleravo smlar al aplcado e la seccó aeror: la edeca de las seres ue removda medae ua meda móvl cerada de períodos. Ese procedmeo se aplcó para la asa de desempleo y la lacó (ũ y π, respecvamee). Para el caso del Imacec, e ao, se ulzó la varacó aual (g).. Se ulza u úmero reducdo de varables co el de maeer los grados de lberad e valores razoables debdo a que la muesra abarca el período de julo 004 a juo 0, es decr, coorma ua muesra de cerca de 85 observacoes. 66

11 Volume 4 - º / dcembre 0 cuadro 7 Tes de Raíces Uaras a Varable -sasc p-value l l g u π Fuee: Elaboracó propa. a. El es empleado correspode a Phllps-Perro. Co odo, el modelo VAR(p) se puede descrbr ormalmee como: p X c+ Φ X + e (4) dode X [l,, l,, g, ũ, π ] y el vecor de errores e se supoe depedee e décamee dsrbudo ormal, co meda cero y marz de varazas W. De (4) oamos que la esmacó del modelo VAR(p) requere coocer la esrucura de rezagos p. Para lo aeror (cuadro 8), opamos por u VAR() basado e el error de predccó al (FPE) y los creros de ormacó de Akake y Haa-Qu (AIC y HQ, respecvamee). cuadro 8 Creros de Eleccó de Rezagos a,b Rezago log(l) LR FPEc AIC BIC HQ 0, , , , , Fuee: Elaboracó propa. a. Los creros cosderados correspode al Tes de Razó de Verosmlud (LR), Error de Predccó Fal (FPE), Akake (AIC), Schwarz (BIC) y Haa-Qu (HQ) b. Valores e egra dca rezago seleccoado por el respecvo crero. c. Valores x0-. La decacó de los shocks esrucurales del modelo VAR() ue realzada medae los mpulsorespuesa geeralzados popularzados por Pesara y Sh (998), debdo a que esa esraega o requere la orogoalzacó de los shocks y es varae al orde causal recursvo de las varables del VAR. 4 El gráco muesra la respuesa del secor real de la ecoomía ae shocks rasoros e el mercado acero. U prmer resulado que se desprede de ese gráco, y que se ecuera e líea co Esrella y 4. La robusez de uesros resulados ue examada empleado esraegas de decacó aleravas (o reporadas). E parcular, los resulados obedos so smlares a la esraega empleada por Debold, Rudebush y Aruoba (006), la cual cosse e ua descomposcó Cholesky y ordear prmero las varables macroecoómcas segudas de los acores de la esrucura de asas. 67

12 ECONOMÍA CHILENA Gráco Respuesa del Secor Real a u Shock e el Secor Facero A. Respuesa de g a u shock e l B. Respuesa de g a u shock e l C. Respuesa de u a u shock e l D. Respuesa de u a u shock e l E. Respuesa de π a u shock e l F. Respuesa de π a u shock e l Fuee: Elaboracó propa. Hardouvels (99), correspode a la dsmucó (aumeo) de la acvdad ecoómca ae ua dsmucó (aumeo) e la pedee de la esrucura de asas de erés. 5 A dereca de la evdeca reporada por Morales (008), la acvdad ecoómca reaccoa ere res y ses meses luego de ocurrdo el shock e el secor acero, meras que e érmos de la asa de desempleo, la respuesa de dcha varable ocurre co u semesre de rezago. U segudo resulado que se observa a parr del gráco correspode al aumeo de la lacó ae aumeos de la curvaura de la esrucura de asas. De acuerdo co Alaro y Sager (0), la curvaura puede erprearse como la velocdad a la cual las asas de erés de coro plazo de la ecoomía coverge a su 5. Se debe recordar que l correspode al egavo de la pedee de la esrucura de asas, por lo que u aumeo de ese parámero es equvalee a ua dsmucó de la pedee de dcha curva. 68

13 Volume 4 - º / dcembre 0 valor de largo plazo. Por cosguee, u aumeo rasoro de ese parámero se raducría e u aumeo a medao plazo de la lacó (e oro a ses meses luego de ocurrdo el shock). El gráco, por su pare, muesra la respuesa del mercado acero ae shocks e el secor real de la ecoomía. De ella aprecamos que sólo los shocks e la acvdad ecoómca aeca de orma esadíscamee sgcava a la pedee de la curva de redmeo. S be e el muy coro plazo u aumeo rasoro de la acvdad ecoómca o se raduce e u cremeo sgcavo de la pedee de la curva redmeo (ua dsmucó del parámero l ), e el medao plazo ere ses y ueve meses luego de ocurrdo el shock la pedee de la curva de redmeo edería a dsmur, e líea co Esrella y Hardouvels (99). Gráco Respuesa del Secor Facero a u Shock e el Secor Real A. Respuesa de l a u shock e g B. Respuesa de l a u shock e g C. Respuesa de l a u shock e π D. Respuesa de l a u shock e π E. Respuesa de l a u shock e u F. Respuesa de l a u shock e u Fuee: Elaboracó propa. 69

14 ECONOMÍA CHILENA v. coclusioes E ese arículo preseamos la dervacó del modelo DNS ulzado la hpóess de expecavas e logarmos, lo que lleva a u resulado smlar al de Alaro (0). De esa orma, es posble resumr la esrucura de asas de erés co res acores. Adcoalmee se presea dos caraceríscas de las asas de erés las cuales puede ser ulzadas para esmar la esrucura de asas. E parcular, e ese arículo se exploa la relacó de coegracó la cual os perme decar el parámero de persseca del segudo y ercer acor del modelo DNS. Falmee, ua aplcacó macroecoómca da cuea de la relacó ere las varables aceras meddas de acvdad y vel de precos. reerecias Alaro, R. (0). Ae Nelso-Segel Model. Ecoomcs Leers 0():. Alaro, R. y J.S. Becerra (0). Uso de la Aproxmacó TIR/Duracó e la Esrucura de Tasas: Resulados Cuaavos Bajo Nelso-Segel. Documeo de Trabajo N 66, Baco Ceral de Chle. Alaro, R. y A. Sager (0). Sress Tesg or Bakg Secor: A Techcal Noe. Documeo de Trabajo N 60, Baco Ceral de Chle. Balduzz, P., S. Das y S. Fores (998). The Ceral Tedecy: A Secod Facor Bod Yelds. Revew Ecoomcs ad Sascs 80: 6 7. Campbell, J.Y., A.W. Lo y A.C. MacKlay (997). The Ecoomercs o Facal Markes. Prceo, NJ, EE.UU.: Prceo Uversy Press. Cha, K., G. Karoly, F. Logsa y A. Saders (99). A Emprcal Comparso o Alerave Models o he Shor- Term Ieres Rae. Joural o Face 47(): Chrsese, J.H.E., F.X. Debold y G.D. Rudebusch (009). The Ae Arbrage Free Class o Nelso Segel Term Srucure Models. Documeo de Trabajo N 07 09, Deparameo de Ecoomía, Uversdad de Pesylvaa. Coroeo, L., K. Nyholm y R. Vdova Koleva (008). How Arbrage Free s he Nelso Segel Model? Documeo de Trabajo N 874, Baco Ceral Europeo. Corázar, G., E. Schwarz y L. Narajo (007). Term Srucure Esmao Markes wh Ireque Tradg. Ieraoal Joural o Face ad Ecoomcs (4): Cox, J., J. Igersoll y S. Ross (985). A Theory o he Term Srucure o Ieres Rae. Ecoomerca 5: Davdso, R. y J. Macko (99). Esmao ad Ierece Ecoomercs. Oxord Uversy Press. Debold, F.X. y C. L (006). Forecasg he Term Srucure o Goverme Bod Yeld. Joural o Ecoomercs 0: Debold, F.X., G.D. Rudebush y S.B. Aruoba (006). The Macroecoomy ad he Yeld Curve: A Dyamc Lae Facor Approach. Joural o Ecoomercs : Duee, G.R. (00) Term Prema ad Ieres Rae Forecas Ae Models. Joural o Face 57(): Esrella, A. y G. Hardouvels (99). The Term Srucure as a Predcor o Real Ecoomc Acvy. Joural o Face 46(): Ferádez, V. (999). Esrucura de Tasas de Ierés e Chle: La Vía No Paramérca. Cuaderos de Ecoomía 6(09): Hall, A.D., H.M. Aderso y C. Grager (99). A Coegrao Aalyss o Treasury Bll Yelds. Revew o Ecoomcs ad Sascs 74: 6 6. Herrera, L.O. e I. Magedzo (997). Expecavas Faceras y la Curva de Tasas Forward de Chle. Documeo de 70

15 Volume 4 - º / dcembre 0 Trabajo N, Baco Ceral de Chle. Leor, F. y E. Walker (000). The Srucure o Real Ieres Raes Chle. Ecoomía Chlea (): 5. Morales, M. (008) The Real Yeld Curve ad Macroecoomc Facors he Chlea Ecoomy. Appled Ecoomcs 008:. Nelso, C. y A. Segel (987). Parsmoous Modelg o Yeld Curve. The Joural o Busess 60(4): Ochoa, J. (006). A Ierpreao o a Ae Term Srucure Model or Chle. Esudos de Ecoomía (): Pars, F. (998). Tasa de Ierés Nomal de Coro Plazo e Chle: Ua Comparacó Empírca de sus Modelos. Cuaderos de Ecoomía 5(05): 6 8. Pesara, H. y Y. Sh (998). Geeralzed Impulse Respose Aalyss Lear Mulvarae Models. Ecoomc Leers 58: 7 9. Shea, G.S. (99). Bechmarkg he Expecaos Hypohess o he Ieres-Rae Term Srucure: A Aalyss o Coegrao Vecors. Joural o Busess ad Ecoomc Sascs 0: Shreve, S. (004). Sochasc Calculus or Face II: Couous Tme Models, Sprger Face. Söderld, P. (00) Reaco o Swss Term Prema o Moeary Polcy Surprses. Swss Joural o Ecoomcs ad Sascs 46(): Spegel, M. y J. Lu (999). Mahemacal Hadbook o Formulas ad Tables, seguda edcó. Schaum s Oule Seres: McGraw-Hll. Svesso, L.E.O. (994). Esmag ad Ierpreg Forward Ieres Raes: Swede Documeo de Trabajo N 579, Sockholm Ieraoal Ecoomc Sudes. Tapa, C. (008). Modelacó de Spreads e Mercados Emergees: Esmacó Mul-Famla Usado Flro de Kalma. Mmeo, Poca Uversdad Caólca de Chle. Vascek, O. (977). A Equlbrum Characerzao o he Term Srucure. Joural o Facal Ecoomcs 5(): Wlmo, P. (007). Paul Wlmo Iroduces Quaave Face, seguda edcó. NJ, EE.UU.: Joh Wley & Sos Ld. Zúñga, S. (999). Modelos de Tasas de Ierés e Chle: Ua Revsó. Cuaderos de Ecoomía 6(08): Zúñga, S. y K. Sora (999). Esmacó de la Esrucura Temporal de Tasas de Ierés e Chle, Esudos de Admsracó 6():

16 ECONOMÍA CHILENA apédice Demosracoes Ese apédce presea las demosracoes de las proposcoes preseadas e el exo. Proposcó Recordemos que el modelo supoe que la asa cora depede de dos acores dámcos (z l + l ), los cuales obedece a ua dámca cojua como sgue: Λ ( ) 0 0 e + e e, (A.) dode los errores ee meda cero y varazas y covarazas as. Lo aeror ambé puede ormularse de orma compaca, deedo: 0 0 F 0 ( ). (A.) 0 0 De esa orma L FL - + U, dode U coee el vecor de errores del modelo. Para cosrur la curva de redmeo, ecesamos compuar E (z + ), el cual correspode al valor esperado de la asa cora, la que es ua combacó leal de los acores y. Tomado u vecor la como b ( 0), podemos escrbr la asa cora como bl. De orma aáloga, eemos que E (z + ) E (bl + ) be (L + ) bf L, es decr, lo que ecesamos para coocer el valor esperado es obeer F. Podemos dervar lo aeror de orma recursva. Noamos que F ( ) 0 ( ) 0 ( ), meras que ( ) 0 ( ) 0 ( ) F Geeralzado, eemos que F ( ). (A.) 0 0 7

17 Volume 4 - º / dcembre 0 7 Co ello, eemos que el valor esperado que os eresa calcular correspode a E z bf ( ) ( ) ( ) Λ + + ( ) (A.4) Así, pese a que la asa cora o depede drecamee del ercer acor, su valor esperado sí, debdo a que ese correspode a la edeca esocásca del segudo acor. Por ese movo, se cosdera el ercer acor como ua varable laee. Por seres, sabemos que (Spegel y Lu, 999): 0 y + ( ) ( ). (A5) El úlmo resulado es relevae para aalzar el compoee que acompaña al ercer acor e la predccó de la asa cora. E parcular, oamos que: ( ) ( ) 0 +. De ese modo, aplcado la Hpóess de Expecavas e Logarmo, eemos que z ( ) ( ) + La úlma ecuacó se obee de aplcar los resulados de seres preseados aerormee. Co odo, observamos que el resulado al mplca que el modelo obedo correspode a Nelso-Segel. Proposcó Ulzado el operador de rezagos L, eemos que los acores y puede ormularse como sgue: e L e L e L e L y ( ) ( ) ( ) ( ). + + (A.6)

18 ECONOMÍA CHILENA Cosderado F, G ( )/[( )] y H G F -, eemos que la asa de madurez es z l + G l + H l. Tomado la prmera dereca, eemos que z ( )+ G( )+ H ( ) e + G ( ) + ( ) + e + H ( ) + e e + G e + H e + ( ) ( G G H ) e Ge He ( ) ( F G ) e Ge He ( ) X (A.7) dode X e e L e F G L ( ) + ( ) ( L) ( L) F e G ( ) e G ( Le ) ( L) (A.8) Reemplazado (A.8) e (A.7), oamos que el lado derecho de ese úlmo puede ser acorzado bajo u mímo comú deomador ( L), lo que mplca que el umerador edrá ua esrucura smlar a u proceso MA(). Noamos que los sgos de las auocovarazas depede de la madurez de la asa. Proposcó De acuerdo co lo aeror, la asa es z l + G l + H l, co G y H dedos e la Proposcó. Luego, para res asas z a, z b y z c eemos lo sguee: z a zb z c G G G a b c H H H a b c l l l (A.9) De orma compaca, Z AL. Eoces, para B A -, eemos Lˆ BZ, sedo GH b cgh c b GH c agh a c GH a bgh b a B Hb Hc Hc Ha Ha Hb, D G G G G G G a c b a c b co D G a (H b - H c ) - G b (H a - H c ) + G c (H a - H b ). Tomado b j como el compoee de la la y la columa j de B, se ee que: b D y b b 0. k k k k k k Así, exse el vecor Q (q a q b q c ), al que z q a z a + q b z b + q c z c. Eso, porque: z ( G H ) Lˆ ( G H )BZ QZ. Noamos que q a b + b G + b H, q b b + b G + b H y q c b + b G + b H ; por lo ao, q a + q b + q c. 74

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