Pruebas de Hipótesis de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

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1 Pruebas de ipótesis de Una y Dos Muestras UCR ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

2 ipótesis Estadísticas Conceptos Generales En algunos casos el científico o el ingeniero necesitan la formación de un procedimiento de decisión que se base en los datos, el cual ofrezca una conclusión acerca de algún sistema científico. Se postula o conjetura algo acerca de un sistema. Se deben incluir el uso de datos experimentales y la toma de decisiones basadas en ellos. De manera formal la conjetura se puede poner en forma de hipótesis estadística. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

3 ipótesis Estadísticas Conceptos Generales (cont.) Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura con respecto a una o más poblaciones. La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con absoluta certidumbre, a menos que examinemos toda la población; lo cual es poco práctico en la mayoría de la situaciones. Por lo cual, se toma una muestra aleatoria de la población de interés, y se utilizan los datos contenidos en esta muestra para proporcionar evidencia que apoye o no la hipótesis. La evidencia de la muestra que sea inconsistente con la hipótesis que se establece conduce al rechazo de la misma. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 3

4 ipótesis Estadísticas Conceptos Generales (cont.) Un procedimiento de decisión debe hacerse con la noción de la probabilidad de una conclusión errónea. El rechazo de una hipótesis simplemente implica que la evidencia de la muestra la refuta. El rechazo significa que hay una pequeña probabilidad de obtener la información muestral observada cuando, de hecho, la hipótesis es verdadera. Como resultado, el analista de los datos establece una conclusión firme cuando se rechaza una hipótesis. Cuando el análisis de datos formaliza la evidencia experimental con base en la prueba de hipótesis, es muy importante la declaración o el establecimiento formal de la hipótesis. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 4

5 ipótesis Estadísticas Conceptos Generales (cont.) La estructura de la prueba de hipótesis se formula usando el término hipótesis nula, el cual se refiere a cualquier hipótesis que se desea probar y se denota con. El rechazo de conduce a la aceptación de la hipótesis alternativa, que se denota con. La hipótesis alternativa representa la pregunta que se debe responder o la teoría que se debe probar y, por ello, su especificación es muy importante. La hipótesis nula anula o se opone a, y a menudo es el complemento lógico para. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 5

6 ipótesis Estadísticas Conceptos Generales (cont.) El analista llega a una de las dos conclusiones siguientes: Rechace : A favor de debido a evidencia suficiente en los datos. No rechace : Debido a evidencia insuficiente en los datos. Las conclusiones no implican una aceptación formal o literal de, a menudo representa el status quo contrario a una nueva idea, conjetura, etc., enunciada en. En tanto que no rechazar representa la conclusión adecuada. Por lo general, la hipótesis nula se plantea de tal modo que especifique un valor exacto del parámetro. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 6

7 ipótesis Estadísticas Conceptos Generales (cont.) El mejor ejemplo para entender la prueba de hipótesis es el veredicto de un jurado. La hipótesis nula y alternativa son: : el acusado es inocente. : el acusado es culpable. La acusación proviene de una sospecha de culpabilidad. La hipótesis (status quo) se establece en oposición a y se mantiene a menos que se apoye con evidencia más allá de una duda razonable. El no rechazo de no implica inocencia, sino que la evidencia fue insuficiente para lograr una condena. De esta manera el jurado no necesariamente acepta, sino que no la rechaza. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 7

8 Prueba de una ipótesis Estadística Una prueba o contraste de una hipótesis estadística es una regla o procedimiento que conduce a una decisión de aceptar o rechazar cierta hipótesis con base en los resultados de una muestra. Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en una muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis se concluye que es verdadera. En caso contrario, la información es inconsistente con la hipótesis, se concluye que es falsa. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

9 Prueba de una ipótesis Estadística (cont.) Estadístico de prueba. Valor obtenido a partir de la información muestral, se utiliza para determinar si se rechaza o no la hipótesis. Toda prueba de hipótesis lleva implícita un estadístico para probarla. Este estadístico depende del problema planteado y de la codificación de las variables. Región crítica. Región de rechazo de la hipótesis nula. Se denomina C (subconjunto del espacio muestral) a la región crítica de una prueba dada si nos lleva a rechazar la hipótesis nula cuando la muestra cae en la región C. Valor crítico. El punto que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

10 Prueba de una ipótesis Estadística (cont.) Nivel de significancia. Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se denota con α. Error Tipo I. Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. La probabilidad de cometer un error tipo I se le llama nivel de significancia. Error Tipo II. Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II es imposible de calcular a menos que tengamos una hipótesis alternativa específica. Se denota con β. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

11 Prueba de una ipótesis Estadística (cont.) Al probar cualquier hipótesis estadística, hay cuatro situaciones posibles que determinan si nuestra decisión es correcta o errónea (ver la siguiente tabla). Decisiones Posibles Situaciones Posibles verdadera falsa No rechazar Decisión correcta Error tipo II Rechazar Error tipo I Decisión correcta α = β = P P ( error tipo I) = P( Rechazar verdadera) = P( Muestra dentro de C ) ( error tipo II) = P( No rechazar falsa) = P( Muestra fuera de C ) UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

12 Prueba de una ipótesis Estadística (cont.) Los valores para la significancia de una prueba de uso más común son.,.5 y.; o sea, el investigador está dispuesto a permitir %, 5% o % de cometer un error tipo I. Idealmente se desearía que la probabilidad de error tipo I fuera igual a cero. Sin embargo, si se desea α =, nunca se podría tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula. La decisión de rechazar la hipótesis nula es importante, ya que la decisión se basa en una muestra y no en la población; por lo cual existe la posibilidad de cometer un error tipo I. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

13 Prueba de una ipótesis Estadística (cont.) UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

14 Prueba de una ipótesis Estadística (cont.) Propiedades importantes de una prueba de hipótesis: Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Por lo general, una disminución en la probabilidad de uno tiene como resultado un incremento en la probabilidad del otro. El tamaño de la región crítica y, por lo tanto, la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el(los) valor(es) crítico(s). Un aumento en el tamaño de la muestra n reducirá a α y β de forma simultánea. Si la hipótesis nula es falsa, β es un máximo cuando el valor real de un parámetro se aproxima al valor hipotético. Cuando más grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipotético, β será menor. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

15 Prueba de una ipótesis Estadística (cont.) La cantidad β se conoce como el poder de la prueba o potencia, es la probabilidad de rechazar cuando es falsa (en realidad debe ser rechazada). Idealmente se quiere tener pruebas cuyo poder sea alto. ( Rechazar falsa) P( Muestra dentro de C ) = β = P = A menudo diferentes tipos de pruebas se comparan al contrastar propiedades de potencia. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

16 Pruebas de Una y Dos Colas Una prueba de cualquier hipótesis estadística, donde la alternativa es unilateral como : θ = θ : θ = θ o : θ > θ : θ < θ se denomina prueba de una sola cola. Por lo general, la región crítica para la hipótesis alternativa θ > θ yace en la cola derecha de la distribución del estadístico de prueba; en tanto que la región crítica para la hipótesis alternativa θ < θ yace en la cola izquierda. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 6

17 Pruebas de Una y Dos Colas (cont.) Una prueba de cualquier hipótesis estadística, donde la alternativa es bilateral como : θ = θ : θ θ se denomina prueba de dos colas. La región crítica se divide en dos partes, que a menudo tienen probabilidades iguales que se colocan en cada cola de la distribución del estadístico de prueba. La hipótesis alternativa θ θ establece que ya sea θ < θ o que θ > θ. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 7

18 Pruebas de Una y Dos Colas (cont.) Ejemplo. Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el contenido promedio de grasa saturada no excede de.5 gramos. Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizar para probar esta afirmación y determinar dónde se localiza la región crítica. Solución. La afirmación del fabricante se debe rechazar sólo si μ es mayor que.5mg y no se debe rechazar si es menor o igual que.5mg. La prueba es de una sola cola, el símbolo mayor indica que la región crítica yace en la cola derecha de la distribución de nuestro estadístico de prueba X. : µ =.5 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística : µ >.5 8

19 Pruebas de Una y Dos Colas (cont.) Ejemplo. Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el contenido promedio de grasa saturada no excede ni disminuye de.5 gramos. Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizar para probar esta afirmación y determinar dónde se localiza la región crítica. Solución. La afirmación del fabricante se debe rechazar sólo si μ es mayor o menor que.5mg y no se debe rechazar si es igual que.5mg. La prueba es de dos colas, con la región crítica dividida por igual en ambas colas de la distribución de nuestro estadístico de prueba X. : µ =.5 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística : µ.5 9

20 Uso de Valores P para la Toma de Decisiones en la Prueba de ipótesis Un valor P es el nivel (de significancia) más bajo donde es significativo el valor observado del estadístico de prueba. El valor P es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o más que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera. Si el valor p es menor que el nivel de significancia, se rechaza. Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, no se rechaza. Prueba de una cola: valor P = P(z el valor absoluto del estadístico de prueba calculado) Prueba de dos colas: valor P = P( z el valor absoluto del estadístico de prueba calculado). UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

21 Uso de Valores P para la Toma de Decisiones en la Prueba de ipótesis (cont.) ipótesis clásica α es fija. El punto más importante en la conclusión de rechazar o no rechazar es α. ipótesis con valor P α no es fija. Las conclusiones se obtienen con base en el tamaño del valor P según la apreciación subjetiva del científico o ingeniero. Los valores P son producidos por el moderno software computacional. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

22 Uso de Valores P para la Toma de Decisiones en la Prueba de ipótesis (cont.) Pasos de la prueba de hipótesis clásica, con probabilidad fija del error tipo I Establezca las hipótesis nula y alternativa. Elija un nivel de significancia α fijo. Seleccione un estadístico de prueba adecuado y establezca la región crítica con base en α. A partir de estadístico de prueba calculado, rechazar si el estadístico de prueba está en la región crítica, de otra manera, no rechazar. Obtenga conclusiones científicas y de ingeniería. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística

23 Uso de Valores P para la Toma de Decisiones en la Prueba de ipótesis (cont.) Pasos de la prueba de significancia, aproximación al valor P Establezca las hipótesis nula y alternativa. Elija un estadístico de prueba adecuado. Calcule el valor P con base en los valores calculados del estadístico de prueba. Utilice el juicio con base en el valor P y reconozca el sistema científico. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 3

24 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variables aleatoria normal estándar Z, donde X µ Z = n ( Se sabe que bajo (si μ = μ ), entonces X µ ) ( ) n tiene una distribución n(x;,) y, por lo tanto, se puede utilizar la expresión X µ P zα < < zα = α n para escribir una región de aceptación adecuada. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 4

25 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida (cont.) Prueba de hipótesis bilateral sobre la media. : µ = µ : µ µ La región crítica está en x µ x µ z = > zα o z = < zα n n Si z α/ < z < z α/ no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ = μ. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 5

26 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x. x < a o x > b Rechazar si, donde a = Ver la figura siguiente. z y b = µ + n µ α α Las pruebas de hipótesis unilaterales sobre la media incluyen el mismo estadístico que se describe en el caso bilateral. La diferencia es que la región crítica sólo está en una cola de la distribución normal estándar. z n UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 6

27 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida (cont.) : µ = µ : µ µ UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 7

28 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola izquierda) sobre la media. : µ = µ : µ < µ La región crítica está en x µ z = < z n Si z > z α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de, la señal que favorece proviene de valores pequeños de z. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ = μ. α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 8

29 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x. Rechazar si x < a, donde a = µ zα n : µ = µ : µ < µ UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 9

30 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola derecha) sobre la media. : µ = µ : µ > µ La región crítica está en x µ z = > n Si z < z α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de, la señal que favorece proviene de valores grandes de z. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ = μ. z α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 3

31 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Conocida (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x. Rechazar si x > b, donde b = µ + zα n : µ = µ : µ > µ UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 3

32 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variables aleatoria T, con v = n grados de libertad, donde X µ T = s n ( Se sabe que bajo (si μ = μ ), entonces X µ ) ( ) s n tiene una distribución t con v = n grados de libertad y, por lo tanto, se puede utilizar la expresión X µ P tα < < tα = α s n para escribir una región de aceptación adecuada. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 3

33 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) Prueba de hipótesis bilateral sobre la media. : µ = µ : µ µ La región crítica está en x µ x µ t = > tα o t = < tα s n s n Si t α/ < t < t α/ no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ = μ. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 33

34 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x. x < a o x > b Rechazar si, donde s a = µ tα y b = µ + tα n Ver la figura siguiente. Las pruebas de hipótesis unilaterales sobre la media incluyen el mismo estadístico que se describe en el caso bilateral. La diferencia es que la región crítica sólo está en una cola de la distribución normal estándar. s n UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 34

35 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) : µ = µ : µ µ UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 35

36 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola izquierda) sobre la media. : µ = µ : µ < µ La región crítica está en x µ t = < t s n Si t > t α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de, la señal que favorece proviene de valores pequeños de t. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ = μ. α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 36

37 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x. Rechazar si x < a, donde s a = µ tα n : µ = µ : µ < µ UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 37

38 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola derecha) sobre la media. : µ = µ : µ > µ La región crítica está en x µ t = > t s n Si t < t α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de, la señal que favorece proviene de valores grandes de t. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ = μ. α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 38

39 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Media Varianza Poblacional Desconocida (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x. Rechazar si x > b, donde s b = µ + tα n : µ = µ : µ > µ UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 39

40 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Conocidas Es conveniente estandarizar X X e incluir de manera formal la variables aleatoria normal estándar Z, donde ( X ) X ( µ µ ) Z = n + n Se sabe que bajo (si μ = μ ), entonces Z tiene una distribución n(x;,) y, por lo tanto, se puede utilizar la expresión ( ) ( µ µ ) X X P z α < < zα = α n + n para escribir una región de aceptación adecuada. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 4

41 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Conocidas (cont.) Prueba de hipótesis bilateral sobre la media. La región crítica está en Si z α/ < z < z α/ no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. 4 ( ) ( ) o α α z n n d x x z z n n d x x z < + = > + = : : d d = µ µ µ µ

42 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Conocidas (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x x. x x < a o x x > b Rechazar si, donde a = d z y n α n + n b = d + zα n + Las pruebas de hipótesis unilaterales sobre la media incluyen el mismo estadístico que se describe en el caso bilateral. La diferencia es que la región crítica sólo está en una cola de la distribución normal estándar. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 4

43 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Conocidas (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola izquierda) sobre la media. : µ µ = d : µ µ < d La región crítica está en ( x x ) d z = n + n < z Si z > z α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 43

44 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Conocidas (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola derecha) sobre la media. : µ µ = d : µ µ > La región crítica está en ( x ) x d z = > z α n + n Si z < z α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. d UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 44

45 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Conocidas (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x x. x x < a Rechazar si, donde a zα n + n Rechazar si, donde b = = d x x > d b + zα n + n UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 45

46 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Iguales Es conveniente estandarizar X X e incluir de manera formal la variables aleatoria T con v = n + n grados de libertad, donde ( ) X X ( µ µ ) s ( n ) + s ( n ) T = s p = s + n + n p n n Se sabe que bajo (si μ = μ ), entonces T tiene una distribución t con v = n + n grados de libertad y, por lo tanto, se puede utilizar la expresión ( ) ( µ µ ) X X P t α < < tα = α s p n + n para escribir una región de aceptación adecuada. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 46

47 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Iguales Prueba de hipótesis bilateral sobre la media. La región crítica está en Si t α/ < t < t α/ no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. 47 ( ) ( ) o α t α n n s d x x t t n n s d x x t p p < + = > + = : : d d = µ µ µ µ

48 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Iguales La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x x. x x < a o x x > b Rechazar si, donde a = d tα s p n + n y b = d + tα s p n + n Las pruebas de hipótesis unilaterales sobre la media incluyen el mismo estadístico que se describe en el caso bilateral. La diferencia es que la región crítica sólo está en una cola de la distribución normal estándar. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 48

49 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Iguales Prueba de hipótesis unilateral (cola izquierda) sobre la media. : µ µ = d : µ µ < d La región crítica está en ( x x ) d t = s n + n p Si t > t α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. < t α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 49

50 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Iguales Prueba de hipótesis unilateral (cola derecha) sobre la media. : µ µ = d : µ µ > d La región crítica está en ( x x ) d t = s n + n p Si t < t α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. > t α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 5

51 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Iguales La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x x. x x < a Rechazar si, donde a p + n = d tα s n x x > Rechazar si, donde b b p + n = d + tα s n UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 5

52 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Diferentes Es conveniente estandarizar e incluir de manera formal la variables aleatoria T con v grados de libertad, donde Se sabe que bajo (si μ = μ ), entonces T tiene una distribución t aproximada con v grados de libertad aproximados y, por lo tanto, se puede utilizar la expresión para escribir una región de aceptación adecuada. 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' + + = + = n n s n n s n s n s v n s n s X X T µ µ X X ( ) ( ) α µ µ α α = < + < t n s n s X X t P

53 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Diferentes (cont.) Prueba de hipótesis bilateral sobre la media. La región crítica está en Si t α/ < t < t α/ no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. 53 ( ) ( ) ' o ' α α t n s n s d x x t t n s n s d x x t < + = > + = : : d d = µ µ µ µ

54 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Diferentes (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x x. x x < a o x x > b Rechazar si, donde a y s n + s n = d tα s n + s n b = d + tα Las pruebas de hipótesis unilaterales sobre la media incluyen el mismo estadístico que se describe en el caso bilateral. La diferencia es que la región crítica sólo está en una cola de la distribución normal estándar. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 54

55 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Diferentes (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola izquierda) sobre la media. : µ µ = d : µ µ < d La región crítica está en ( x x ) d t' = s n + s n Si t > t α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. < t α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 55

56 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Diferentes (cont.) Prueba de hipótesis unilateral (cola derecha) sobre la media. : µ µ = d : µ µ > La región crítica está en ( x ) x d t ' = > t α s n + s n Si t < t α no se rechaza. El rechazo de implica la aceptación de. Con la definición de la región crítica habrá la probabilidad α de rechazar cuando, en realidad, μ μ = d. d UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 56

57 Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Diferencia de Medias Varianzas Poblacionales Desconocidas Diferentes (cont.) La región crítica se puede escribir en términos del promedio calculado x x. x x < a Rechazar si, donde a + = d tα s n s n x x > Rechazar si, donde b b + = d + tα s n s n UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 57

58 Elección del Tamaño de la Muestra para Probar Medias Prueba de hipótesis sobre una media, varianza poblacional conocida Caso de un sola cola (región crítica): ( z + z ) α β n = δ = µ µ δ Nivel de significancia α Potencia Caso de dos colas (región crítica): UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística ( z + z ) α β n δ = µ µ δ Nivel de significancia α Potencia = β = β 58

59 Elección del Tamaño de la Muestra para Probar Medias (cont.) Prueba de hipótesis sobre dos medias, varianzas poblacionales conocidas (n = n = n ) Caso de un sola cola (región crítica): ( ) ( z + z + ) α β n = δ Nivel de significancia α Caso de dos colas (región crítica): ( ) ( z + z + ) α n δ Nivel de significancia α UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística β δ = µ µ Potencia = β δ = µ µ Potencia = β 59

60 Elección del Tamaño de la Muestra para Probar Medias (cont.) Prueba de hipótesis sobre una media, varianza poblacional desconocida La distribución utilizada para estos cálculos se llama distribución t no central. La tabla A.8 da los tamaños muestrales necesarios para controlar los valores α y β para diversos valores de para los casos de una y de dos colas (región crítica). UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística δ µ µ = = Nivel de significancia α Potencia = β 6

61 Elección del Tamaño de la Muestra para Probar Medias (cont.) Prueba de hipótesis sobre dos medias, varianzas poblacionales desconocidas iguales (n = n = n ) La distribución utilizada para estos cálculos se llama distribución t no central. La tabla A.9 da los tamaños muestrales necesarios para controlar los valores α y β para diversos valores de para los casos de una y de dos colas (región crítica). UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística δ µ µ µ = = Nivel de significancia α Potencia = β 6

62 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Varianza En este tipo de pruebas se trata con alguna de las siguientes hipótesis: Es estadístico apropiado sobre el que se basan las conclusiones es el chi-cuadrado χ. Si es verdadera, χ es un valor de la distribución chicuadrada con v = n grados de libertad. 6 : : o : :, : : > = < = = ( ) χ s n =

63 Prueba de ipótesis sobre Una Muestra Referente a la Varianza (cont.) Prueba de dos colas en el nivel de significancia α la región crítica es χ < χ -α/ o χ > χ α/. Prueba de una cola (izquierda) en el nivel de significancia α la región crítica es χ < χ -α. Prueba de una cola (derecha) en el nivel de significancia α la región crítica es χ > χ α. UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística 63

64 UCR-ECCI CI-35 Probabilidad y Estadística Prueba de ipótesis sobre Dos Muestras Referente a la Razón entre Varianzas En este tipo de pruebas se trata con alguna de las siguientes hipótesis: Es estadístico apropiado sobre el que se basan las conclusiones es el valor f. Si es verdadera, f es un valor de la distribución F con v = n y v = n grados de libertad. 64 : : o : :, : : > = < = = s s f =

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