Contenido. 1 Definiciones y propiedades. 2. Método de la potencia. 3. Método de la potencia inversa. 4. Método de la potencia inversa desplazada.

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1 Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 7: Valores y vectores propios Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Abril 9 Versión 7 Contenido Definiciones y propiedades Método de la potencia 3 Método de la potencia inversa 4 Método de la potencia inversa desplazada Definiciones y propiedades Notaciones A matriz cuadrada n n v vector de dimensión n λ escalar Objetivo Buscar escalares λ y vectores no nulos v tales que ½ λ valor propio de A Av λv v vector propio asociado a λ Polinomio característico p(λ) det(a λi) Los valores propios de A son las raíces del polinomio característico λ valor propio p(λ) Cálculo de vectores propios

2 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios Para cada valor propio λ resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales (A λi) v que debe ser un sistema compatible indeterminado Espectro Radio espectral El espectro de una matriz es el conjunto de sus valores propios lo representamos por σ(a) σ(a) {λ : λ es valor propio de A} El radio espectral de la matriz es el módulo máximo de sus valores propios lo representamos por ρ(a) ρ(a) max{ λ : λ es valor propio de A} Diagonalización Sea A una matriz n n Si A tiene n valores propios distintos λ λ n y v v n son vectores propios asociados entonces D V AV D es matriz diagonal λ λ λ n V (v v v n ) tiene en columnas los vectores propios de A Ejemplo Dada la matriz A calcula: (a) Valores propios Radio espectral (b) Vectores propios asociados (d) Diagonaliza la matriz A 3 3

3 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 3 (a) Cálculo de los valores propios Empezamos por calcular el polinomio característico 3 λ p(λ) A λi λ 3 λ p(λ) (3 λ) ( λ) (3 λ) (3 λ) (3 λ)[(3 λ)( λ) ] (3 λ) (λ 5λ +4) {z } factorizamos Factorizamos el polinomio característico λ 5λ +4 λ 5 ± 5 6 ( p(λ) (λ )(3 λ)(λ 4) Los valores propios son las soluciones de la ecuación característica p(λ) El espectro de A es λ λ 3 λ 3 4 σ(a) { 3 4} El radio espectral de A es ρ(a) 4 (b) Cálculo de vectores propios Para cada valor propio λ tenemos que resolver el sistema (A λi) v Vectores propios asociados a λ Resolvemos el sistema por reducción ( a + a ) a (A I) v x y z x y x + y z y +z y z x + y z y +z

4 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 4 Eliminamos la tercera ecuación y resolvemos paramétricamente ½ x t y z y t x + y z z t t R Los vectores propios asociados a λ son de la forma v tv conv Vectores propios asociados a λ 3 Tenemos el sistema (A 3I) v x y z ½ x y z y x t t R y z t Los vectores propios asociados a λ 3son de la forma v tv con v Vectores propios asociados a λ 4 Resolvemos x y x y z y z (A 4I) v x y z ½ x + y y + z Vectores propios asociados a λ 4 ( a a ) ( a ) x t t R y t z t v t v 3 con v 3 x y y z y z

5 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 5 (c) Diagonalización Formamos la base de vectores propios B (v v v 3 ) La matriz de cambio tiene en columnas los vectores propios V Diagonalización Se cumple donde D es una matriz diagonal D V AV D 3 4 Verificamos la diagonalización /6 /3 /6 V / / 6 /3 /3 /3 V AV V AV Ejemplo Cálculo de V por Gauss-Jordan Partimos de (V I 3 ) yoperamosporfilas hasta obtener (I 3 V )

6 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 6 Resulta ( a a ) ( a ) 3 (3 a a ) (3 a ) ( 3 a ) ( a ) ( a ) (3 a ) 3 (3 a + a ) (3 a ) 3 a ( a ) / / 3 3a (3 a ) /3 /3 /3 /6 /3 /6 ( a a 3 a ) ( a ) / / /3 /3 /3 V /6 /3 /6 / / /3 /3 /3 Método de la potencia Definiciones Valor propio dominante Es el de mayor módulo Si λ > λ > > λ n entonces λ es el valor propio dominante Vector normalizado Dado un vector v v v v n decimos que la componente v j es una componente dominante si v j kvk max v j j

7 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 7 Observa que un vector puede tener más de una componente dominante pero todas las componentes dominantes deben tener el mismo valor absoluto Un vector está normalizado si sus componentes dominantes valen ± Si v dom es una componente dominante de v podemos obtener un vector normalizado ˆv en la dirección de v ˆv v v dom Ejemplo Dado el vector v 4 determina las componente dominantes y calcula un vector normalizado La componente dominante es vemos que Vector normalizado ˆv v dom v v dom v 3 4 v 3 kvk 4 4 /4 / /4 Observamos que la componente dominante el vector normalizado vale Método de la potencia Dada una matriz A matriz de dimensión n n el objetivo es calcular el valor propio dominante y un vector propio asociado Supondremos que la matriz A tiene valores propios distintos λ > λ > > λ n con vectores propios asociados v v v n También suponemos que tenemos un vector inicial x () que se puede escribir x () α v + + α n v n con α 6

8 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 8 Método y (j+) Ax (j) c j+ componente dominante de y (j+) x (j+) c j+ y (j+) Normalizado de y (j+) Si las hipótesis citadas son ciertas entonces se cumple: La sucesión de escalares (c j ) tiende al valor propio dominante λ c c c j j λ La sucesión de vectores x (j) tiende a un vector propio normalizado asociado a λ x () x () x (j) j ˆv Ejemplo Aproxima el valor propio dominante y un vector propio asociado de la matriz 3 A 3 Inicia las iteraciones con x () Fase Fase y () Ax () 3 3 c (componente dominante de y () ) x () y() y () Ax () x () c 3 /3 6667

9 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 9 Fase 3 y (3) Ax () Fase 4 Fase 5 Fase 6 Fase 7 c x (3) 99 y (4) Ax (3) c x (4) y (4) 9767 c 4 y (5) Ax (4) c x (5) y (5) 994 c 5 y (6) Ax (5) c x (6) y (6) 9985 c 6 y (7) Ax (6) c

10 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios Fase 8 x (7) y (7) c 7 y (8) Ax (7) c x (8) y (8) 9999 c 8 Fase y (9) Ax (8) c x (9) y (9) c 9 Fase 4 y () 4 4 C 4 x () x (9) El valor propio dominante es λ limc j 4 j y un vector propio asociado es v limx (j) j En el Ejemplo hemos visto que A tiene valores propios λ 4 λ 3 λ 3 y que los vectores propios asociados a λ son de la forma v t tv v está normalizado

11 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 3 Método de la potencia inversa Objetivo Calcular el valor propio de módulo mínimo y un vector propio asociado Es decir si los valores propios de A quecumplen λ > λ > > λ n > queremos calcular λ n Valores propios de la matriz inversa Sean (λ v) par valor-vector propio de A A invertible Entonces λ v es un par valor-vector propio de A Demostración Sabemos que se cumple Av λv premultiplicamos por la matriz inversa A (Av) A (λv) I n v λ A v v λ A v Si una matriz es invertible sus valores propios no pueden ser nulos ( por qué?) por lo tanto podemos multiplicar la útima igualdad por /λ yresulta A v λ v Es decir μ /λ es un valor propio de A con vector propio asociado v Método Sea A matriz n n invertible con valores propios λ > λ > > λ n > y vectores propios asociados v v n Según hemos visto la matriz B A tiene valores propios μ j λ j

12 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios Como se cumple resulta < < < λ λ λ n μ < μ < < μ n Además v j es un vector propio asociado a μ j Calculamos B A Aplicamos el método de la potencia a B y obtenemos el par μmax v ½ μmax valor propio dominante de B A v vector propio asociado a μ max 3 Entonces λ min eselvalorpropiodemódulomínimodea μ max v es un vector propio asociado a λ max Ejemplo 3 Dada la matriz A µ (a) Calcula el valor propio de módulo mínimo y un vector propio asociado Toma como vector inicial µ x () (b) Verifica el resultado (a) Empezamos calculando la inversa de A A Fase A µ µ 6 4 3/6 /3 8 3/ µ B A x () µ

13 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 3 Fase y () Bx () µ µ µ Fase y () Bx () c 666 x () µ y () c 486 µ µ 486 µ Fase 3 Fase 4 Fase 5 Fase 6 c 738 µ x () 4839 y (3) Bx () µ c x (3) µ y (3) c µ y (4) Bx (3) c 4 56 x (4) µ y (4) c µ y (5) Bx (4) c x (5) µ y (5) c µ y (6) Bx (5) c 6 58 x (6) µ y (6) c

14 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 4 Fase 7 Fase 8 Fase 9 y (7) Bx (6) µ c 7 56 x (7) µ y (7) c y (8) Bx (7) µ 5 5 c 8 5 x (8) µ y (8) c 8 5 y (9) Bx (8) µ 5 5 c 9 5 x (9) µ y (9) c 9 5 Podemos tomar como valor propio de módulo máximo de A μ max 5 vector propio asociado de μ max v µ 5 Entonces el valor propio de módulo mínimo de A será λ min μ max 5 con vector propio asociado v µ 5 (b) Para verificar el resultado calculamos los valores y vectores propios de A µ 8 4 A 6

15 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 5 Polinomio característico p (λ) A λi 8 λ 4 6 λ ( 8 λ)(6 λ) + 48 λ 8λ + Valores propios p(λ) λ 8x + λ 8 ± ± 6 ( λ 6 λ El vector propio de módulo mínimo es λ Calculamos los vectores propios asociado al valor propio de módulo mínimo µ 4 4 ½ x +4y x +4y (A I) v µ x y ½ x t y t t R µ ½ x +y x +y Los vectores propios asociados a λ son de la forma µ v tv con v Un vector propio normalizado es ˆv µ / 4 Método de la potencia inversa desplazada Objetivo Aproximar un valor propio λ y un vector propio asociado a partir de una estimación λ w λ Valores propios de C (A αi) Sea (λ v) par de valor-vector propio de A

16 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 6 Entonces (λ α v) es par valor-vector propio de C (A αi) Demostración Av λv Av αv λv αv (A αi) v (λ α) v Fundamento del método Si λ está próximo al valor propio λ de A entonces C A λi tiene un valor propio δ λ λ con δ pequeño y podemos aplicar el método de la potencia inversa a C para determinar δ λ λ Partimos de una matriz A de orden n n con valores propios λ > λ > > λ j > > λ n y vectores propios asociados v v v n Disponemos además de una estimación inicial λ w λ j El objetivo es aproximar el valor de λ j yobtener un vector propio asociado Calculamos C A λi que tiene un valor propio de módulo mínimo δ min λ j λ Calculamos B C que tiene un valor propio dominante μ max δ min λ j λ y aplicamos el método de la potencia a B para obtener μ max yun vector propio asociado v 3 Entonces μ max λ j λ λ j μ max + λ Ejemplo 4 Sabemos que la matriz 3 A 3 tiene un valor propio λ 8 Calcula el valor de λ y determina un vector propio asociado Empieza las iteraciones con el vector 5 x ()

17 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 7 Tenemos la aproximación λ 8 Calculamos C A λi 3 8 C A λi Vamos a calcular el valor propio de módulo mínimo de C aplicando el método de la potencia inversa Calculamos B C B Aplicamos el método de la potencia a B y determinamos μ max Fase 5 x () Fase y () Bx () Fase x () c y () y () Bx () c x () c

18 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 8 Fase 3 Fase 4 Fase 5 Fase 6 Fase 7 y (3) Bx () c x (3) y (3) c y (4) Bx (3) c x (4) y (4) c y (5) Bx (4) c x (5) y (5) c y (6) Bx (5) c x (6) y (6) c y (7) B x (6) c 7 5 x (7) y (7) c

19 Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 9 Fase 8 y (8) Bx (7) c 8 5 x (8) y (8) 84 6 c Podemos tomar como valor propio de módulo máximo de B C μ max 5 El vector propio asociado de μ max con 4 decimales es v El valor propio de A próximo a λ 8 es y el vector propio asociado es λ + μ λ +8 3 max 5 v