Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales."

Transcripción

1 Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund especie, () u(x) = φ(x)+λ k(x, y)u(y) dy. Aquí, φ(x) C (,b) es un función dd. Lfunción k(x,y), tmbiénes dd y se conocecomo el núcleo de l ecución integrl. Aquí supondremos que k(x, y) es un función continu en (, b) (, b). Queremos resolver l ecución () pr u(x). Estudiremos en primer lugr el cso en que k es un producto de l form (2) k(x, y) = s(x)s(y). Si k es de l form (2) diremos que es un núcleo simple. En el cso de núcleos simples es fácil resolver (). De hecho, reemplzndo (2) en (), tenemos (3) u(x) = φ(x)+λs(x) Llmemos (4) A = s(y)u(y) dy. s(y)u(y) dy. que es simplemente un número que depende de l función u. En términos de A, l ecución (3) se escribe como (5) u(x) = φ(x)+λas(x), de modo que u es un combinción linel de φ y s. Todo el problem se reduce encontrr el vlor de A. Pr ello, reemplzmos (5) en (4) y obtenemos ( ) (6) A Entonces si λ s(x) 2 dx λ = s(x)2 dx, s(x)φ(x) dx. l constnte A está dd por (7) A = s(x)φ(x)dx λ s(x)2 dx, y l solución de l ecución de Fredholm está dd por (5). Ahor consideremos, pr el mismo k (i.e., pr el núcleo simple ddo por (2), l ecución de Fredholm de primer especie, (8) λ k(x,y)u(y)dy = u(x). Si llmmos T l operdor integrl de núcleo k, l ecución nterior es de l form (9) T(u)(x) = λ u(x),

2 2 que es un ecución de vlores propios pr el operdor T. Reemplzndo (2) en (8) vemos que u es solución de (8) si es de l form () u(x) = Bs(x), en que () B = λ s(y)u(y) dy. Reemplzndo u, ddo por () en () vemos que (8) tiene solución no trivil pr u si y solo si, (2) λ = s(x)2 dx. En otrs plbrs, cundo el núcleo es de l form k(x,y) = s(x)s(y) el operdor integrl T tiene un solo utovlor (ddo por (2) y su correspondiente utofunción (s(x)). Si hor resumimos estos dos csos en uno sólo, tenemos un ilustrción de lo que se conoce hbitulmente como l lterntiv de Fredholm: Si λ no es un utovlor del oerdor integrl T con núcleo k, entonces existe un solución de l ecución integrl de Fredholm (). Consideremos l ecución integrl Método de Iterción: Series de Neumnn (3) u(x) = +λ x u(y) dy. Est es un ejemplo de ecución de Volterr de segund especie. Este ejemplo es muy simple de resolver en form cerrd reduciéndolo un ecución diferencil ordinri. De hecho, si derivmos (3) con respecto x, vemos que u stisfce du dx = λu, y, por otr prte, evlundo (3) en x =, vemos que u() =. L solución de est ecución diferencil, con est condición inicil es (4) u(x) = e λx. A continución, reobtendremos (4) usndo lo que se conoce como el método de iterción, o de ls series de Neumnn. Escribmos l solución desed en series de potenci del prámetro λ, i.e., (5) u(x) = λ n u (n) (x),) y remplcemos en (3). Así obtenemos x λ n u (n) (x) = + λ n+ u (n) (y)dy. n= y, redefiniendo el índice de l segund sum tenemos x (6) λ n u (n) (x) = + λ n u (n ) (y)dy. n= Igulndo los coeficientes de igules potencis de λ en l ecución nterior tenemos, (7) (8) n= n= n= u () (x) =, u (n) (x) = x u (n )(y)dy, pr n =,2,...

3 3 Resolviendo itertivmente (8) obtenemos (9) u (n) (x) = xn n!, y, finlmente, reemplzndo en (5) tenemos, (2) u(x) = n= λ nxn n! = eλx. El método de iterción siempre converge (i.e., d un solución) en el cso de ecuciones de Volterr de segund especie. En cmbio, pr ls ecuciones de Fredholm solo converge si λ es suficientemente pequeño: Resolvmos, por el método de iterción, l exución de Fredholm de segund especie, (2) u(x) = φ(x)+λ k(x,y)u(y)dy. Procedemos como en el cso nterior: escribiendo l solución en l form (5), y reemplzndo en (2) obtenemos l secuenci de ecuciones, (22) u () (x) = φ(x), u (n) (x) = (23) k(x,y)u (n )(y)dy. Resolviendo ls ecuciones nteriores encontrmos (24) u () (x) = φ(x), (25) u () (x) = k(x,y)φ(y)dy, (26)... (27) u (n) (x) = k(n) (x,y n )φ(y n )dy n, en que el núcleo k (n) (x,z) (que se conoce como núcleo iterdo) está ddo por (28) k (n) (x,z) =... k(x,y )k(y,y 2 )...k(y n,z)dy dy 2... dy n. LLmemos S n (x) = n m= λm u (m) (x) l sum prcil, que converge l soluciónde l ecuciónintegrl de Fredholm. Ahor vmos estimr l norm de S n. Usndo l desiguldd tringulr tenemos, (29) S n φ + λ m u (m). m= Pr estimr l norm de u (m) podemos usr l relción de recurrenci (23) y l desiguldd de Schwrz. Usndo l desiguldd de Schwrz, tenemos [ 2 ( b )( b ) b (3) k(x,y)u (m ) (y)dy] k(x,y) 2 dy u 2 (m ) (y)dy Integrndo est últim ecución en x (,b), usndo l definición de l relción de recurrenci (23), obtenemos [ ] b (3) u (m) 2 k(x,y) 2 dxdy u (m ) 2. Conviene hor definir (32) K = k(x,y) 2 dxdy.

4 4 En términos de K, prtir de (3) se obtiene l siguiente relción de recurrenci pr ls norms de ls iterciones sucesivs u (n) : (33) (34) Iterndo (34) obtenemos u () = φ, u (m) K u (m ), m. (35) u (m) K m φ. Reemplzndo est últim estimción en (29) obtenemos finlmente, ( n ) (36) S n λ m K m φ λ K φ, pr vlores de λ tles que m= λ K <. Así pués, ls sums prciles S n convergen pr vlores suficientemente pequeños de λ, i.e., pr vlores λ tles que (37) λ < K. Comentrio: L constnte K se conoce como l norm de Hilbert Schmidt del operdor integrl T de nucleo k. Consideremos el operdor integrl Propieddes Espectrles de Operdores Integrles (38) T(u)(x) λ k(x, y)u(y) dy, denúcleok(x,y). LlmemosK lnormdehilbert Schmidtde T (supongmosquek < ). Entonces, el operdor T mpe funciones de cudrdo integrble (en (, b)) en funciones de cudrdo integrble. De hecho, tenemos, Tu K u. Si definimos el producto interno usul en (,b), entonces, si el núcleo k es simétrico (i.e., si k(x,y) = k(y, x)) entonces el operdor T es utodjunto, en el sentido que (u,tv) = (Tu,v). (Aquí estoy suponiendo núcleos y productos internos reles; si considermos funciones complejs, tenemos que exigir que el núcleo stisfg k(x,y) = k(y,x) pr que el operdor T se utodjunto). Consideremos el problem espectrl (39) T(u i ) = λ i u i pr el operdor integrl T. Aquí, por uso hbitul en Teorí de Ecuciones Integrles, los utovlores se denotn por /λ i. Los resultdos principles concernientes l problem espectrl (39) se pueden resumir en el teorem siguiente:

5 5 Teorem (PropieddesEspectrlesdel OperdorT). i) Existe un sucesión de vlores propios, λ i >. ii) Ls correspondientes funciones propis son ortogonles. iii) Cd λ i tiene degenerción finit. iv) El único posible punto de cumulción de l secuenci {λ i } es infinito. v) b = k(x,y) 2 dxdy = K 2. i λ 2 i Como hemos visto, es fácil demostrr l existenci de un utovlor y de un utofunción cundo el núcleo del operdor T es simple (i.e., es de l form k(x, y = s(x)s(y)). Tmbién es reltivmente fácil hcerlo cundo el núcleo es un sum finit de núcleos simples, i.e., cundo es de l form k(x,y) = n m= s m(x)s m (y). En este último cso el problem espectrl del operdor integrl se reduce l problem espectrl de un mtriz simétric de n n. Si el núcleo k(x,y) es un función continu en un intervlo (, b) finito, por el Teorem de Weierstrss se puede proximr por sum de núcleos simples. Entonces uno puede estudir el espectro de los operdores integrles socidos estos núcleos proximdos. Esto no lo vmos hcer quí. El lector interesdo puede consultr, por ejemplo, R. Cournt, D. Hilbert, Methods of Mthemticl Physics, vol. I, Interscience Publishers, Inc., NY, 953, Chpter III, págs Aquí supodré que el operdor T tiene un secuenci numerble de utovlores λ i, y llmremos u i ls correspondienes utofunciones (que son ortonormles, pues T es utodjunto). Consideremos l siguiente desiguldd, ( ) 2 b (4) I k(x,y) u i (x)u i (y) dxdy. λ i i= Desrrollndo el cudrdo tenemos, (4) I = K 2 2 k(x,y) u i (x)u i (y)dxdy + λ i i= i,j= λ i λ j u i (x)u i (y)u j (x)u j (y)dxdy. Usndo l ortonormlidd de ls funciones u i y el hecho que son propis de T con vlor propio /λ i, prtir de (4) obtenemos (42) I = K 2 2 u i (x) 2 b dx+ δ i,j u i (y)u j (y)dxdy. λ i λ j i= De donde finlmente obtenemos, (43) K 2 es decir, (44) λ 2 i λ 2 i= i i,j=, λ 2 i= i K 2, que es l desiguldd de Bessel pr operdores integrles. L desiguldd de Bessel vle pr todo n. Si hy infinitos utovlores, tomndo el límite n tenemos (45) K 2, λ 2 i= i De hecho, se puede demostrr que si se considern todos los utovlores de T, se tiene l iguldd en (45).

6 6 De (45) observmos que si el operdor interl T tiene norm de Hilbert Schmidt finit (i.e., K < ) entonces, los λ i solo pueden tener degenerción finit, y solo se pueden cumulr en infinito. Si los u i formn bse de ls funciones de cudrdo intregrble en el intervlo (,b), se tiene l siguiente identidd pr el núcleo k(x, y): (46) k(x, y) = i= u i (x)u i (y) λ i. L representción (46) pr el núcleo k se conoce como fórmul de Mercer. Pr demostrr l fórmul de Mercer, sumiendo que ls utofunciones u i formn bse, podemos proceder como sigue: considermos k(x, y) como un función de y (que depende del prámetro x), y expndámosl en términos de ls funciones bse u i. Entonces, (47) k(x, y) = c i u i (y), y dd l ortogonlidd de los u i, los coeficientes están ddos por (48) c i = i= k(x,y)u i (y)dy = λ i u i (x). L primer iguldd en (48) sigue del hecho que los u i son ortonormles (dice que los coeficientes c i son l proyección ortogonl de k(x,y) lo lrgo de u i ) en tnto que l segund iguldd sigue del hecho que los u i son propios de T con vlor propio /λ i. Reemplzndo (48) en (47) obtenemos (46). Consideremos el operdor de Sturm Liouville Un plicción funciones de Green (49) Lu = d2 u dx 2 que ctú sobre funciones u C 2 (,), que stisfcen ls condiciones de borde u() = u() =. Como hemos visto en l clse nterior, el operdor L se puede invertir, y su inverso se puede escribir como un operdor integrl. Así, si considermos el problem (5) Lu = f, en que f es un función dd, y u stisfce u() = u() =, podemos resolver pr u como (5) u(x) = L (f)(x) = G(x,y)f(y)dy. Así, el inverso L se puede escribir como un operdor integrl. El núcleo del inverso de un operdor diferencil se conoce típicmente como función de Green. Pr el operdor L en cuestión (ddo por (49)) l función de Green (ver l clse nterior) está dd por (52) (53) G(x,y) = x( y), pr x y, G(x,y) = y( x), pr y x. Por otr prte ls funciones propis de L stisfcen (54) Lu n = λ n u n. Debidmente normlizds están dds por (55) u n (x) = 2sen(nπx), en tnto que los utovlores están ddos por (56) λ n = n 2 π 2,

7 7 pr n =,2,... Invirtiendo (54), usndo l función de Green, vemos que (57) λ n u n (x) = G(x,y)u n (y)dy, en que G(x,y) está ddo por (53). Usndo (53, 55, 56) en l fórmul de Mercer (46) obtenemos (58) (59) (6) n= Por otr prte, usndo l iguldd de Bessel = obtenemos 2 (nπ) sen(nπx)sen(nπy) = 2 = x( y) si x y, = y( x) si y x. λ 2 n= n n= G(x,y) 2 dxdy, n 4 = π4 9. Comentrio: Pr hcer l integrl doble de G(x,y) 2 usmos l simetrí de G (i.e., G(x,y) = G(y,x)). Así, I G(x,y)2 dxdy = 2 x (6) G(x,y)2 dxdy = (62) = 2 x y2 ( x) 2 dydx = 2 3 x3 ( x) 2 dx = 9. REFERENCIAS: [] F.G. Tricomi, Integrl Equtions, Dover Publictions, Inc., NY, 985. Nots bibliográfics: c Rfel Benguri D., 22

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones. Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

ECUACIONES INTEGRALES

ECUACIONES INTEGRALES ECUACIONES INTEGRALES JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA ECUACIONES INTEGRALES TEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

Integración de Funciones de Varias variables

Integración de Funciones de Varias variables Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Integración en el plano complejo

Integración en el plano complejo Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible

Más detalles

Ecuaciones Integrales Lineales

Ecuaciones Integrales Lineales Ecuciones Integrles Lineles Antonio Hernández Cbrer Deprtmento de Físic Básic Universidd de L Lgun Tenerife. Isls Cnris jhernn@ull.es 6 de febrero de 8 Índice generl. Ecuciones integrles lineles 7.. Introducción............................

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos

Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos Aplicción de l Mecánic Cuántic sistems sencillos Antonio M. Márquez Deprtmento de Químic Físic Universidd de Sevill Curso 15- Problem 1 Clcule los vlores promedio de x y x pr un prtícul en el estdo n =

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS

CONSIDERACIONES SOBRE LAS COMPUERTAS Abril de 006 CONSDERACONES SOBRE LAS COMPUERTAS Cátedr de Mecánic de los Fluidos Escuel de ngenierí Mecánic Autores: ngeniero Edgr Blbstro ngeniero Gstón Bourges e-mil: gbourges@fcei.unr.edu.r 1 Abril

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

CAPÍTULO 7 CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CAPÍTULO 7 CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES CAPÍTULO 7 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE 1. INTEOGANTE CENTALE EL CAPÍTULO Clculr integrles dobles en coordends crtesins y polres, sobre dominios sencillos. Usr l integrl doble pr el cálculo de áres.

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Espacios métricos 1. 1. Introducción. 2. Métricas

Espacios métricos 1. 1. Introducción. 2. Métricas MATEMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Escios métricos 1 1. Introducción L geometrí del escio tridimensionl en el que estmos sumergidos nos result

Más detalles

Determinización: Construcción de Safra

Determinización: Construcción de Safra Determinizción: Construcción de Sfr Ddo: Autómt de Büchi A = (Q,Σ,Q 0,δ,F) Supong que Q = {q 1,...,q n }. Vmos construir un utómt de Rin determinist B tl que L ω (A) = L ω (B), donde B está compuesto por:

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Julio 25 Rmón

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1 MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de

Más detalles

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Log P X Se llm ritmo en bse de P, y se escribe P, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener P. Log P P Ejemplo: 8 8 L l it b d 8 Leemos, ritmo en bse de 8 es porque elevdo es 8. Anámente podemos decir:

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura). TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

Operadores autoadjuntos.

Operadores autoadjuntos. Operdores utodjuntos. 1. Propieddes del Producto esclr Sen u,v,w vectores de un espcio de Hilbert y c un número complejo. Recordemos que el producto esclr tiene ls siguientes propieddes que utilizremos

Más detalles

Electromagnetismo. es nula. Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.

Electromagnetismo. es nula. Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio. Electromgnetismo olución Prueb 1 de Cátedr Profesor: José ogn C. 17 de Abril del 24 Ayudntes: Pmel Men. Felipe Asenjo Z. 1. Un distribución de crg esféricmente simétric de rdio tiene un densidd interior

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Continuidad. Funciones

Continuidad. Funciones I. E. S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Mtemátics de º de Bchillerto Continuidd de Funciones Por Jvier Crroquino CZs Ctedrático de mtemátics del I.E.S. Siete Colins Ceut 005 Continuidd De

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

Cálculo Integral. Métodos de integración

Cálculo Integral. Métodos de integración Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic

Más detalles

Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas.

Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas. Boletín de l Asocición Mtemátic Venezoln, Vol. XVIII, No. 2 (2011) 89 ARTÍCULOS Expnsión de ls soluciones pr ecuciones integrles cudrátics. Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Resumen. En este

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

Ecuaciones de Segundo Grado II

Ecuaciones de Segundo Grado II Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

Algoritmos matemáticos sobre matrices:

Algoritmos matemáticos sobre matrices: Algoritmos mtemáticos sobre mtrices: Representciones especiles de mtrices, Algoritmo de Strssen, multiplicción y tringulción de mtrices Jose Aguilr Mtriz Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011)

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011) APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elbordos por José Mnuel Rodríguez Versión brevid de Dmitry Ykubovich (20). INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se define el conjunto de

Más detalles

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI Cálculo integrl Betriz Cmpos Sncho Cristin Chirlt Monleon Deprtment de mtemàtiques Codi d ssigntur 35 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- Edit: Publiccions de l Universitt Jume I. Servei

Más detalles

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. .. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. Sistems de ritmos. Si ulquier número positivo puede tomrse omo Bse, eiste infinito número de sistems de logritmos, pero trdiionlmente, solo se utilizn dos sistems: o ritmos

Más detalles

1. Introducción 1. 2. Ecuación del calor 3. 3. Ecuación de onda 5. 4. Ecuación de Laplace 7. y 2 + D u. x + E u

1. Introducción 1. 2. Ecuación del calor 3. 3. Ecuación de onda 5. 4. Ecuación de Laplace 7. y 2 + D u. x + E u Tem 8.- INTRODUCCIÓN A AS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIAES Amplición de Mtemátics. Ingenierí Técnic Industril. Especilidd en Electrónic Industril. Índice 1. Introducción 1 2. Ecución del clor 3 3. Ecución

Más detalles

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 1 1. Intervlos Ddos dos números reles y,

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles