13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría

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1 Integral indefinida. Reglas de integración Piensa y calcula Calcula: a y =, y' = b y' =, y = c y = cos, y' = d y' = cos, y = a y' = b y = c y' = sen d y = sen Aplica la teoría. 7 Se aplica la integral de una función polinómica Se aplica la integral de una función racional cos 6 6 sen 6. e Se aplica la integral de una función eponencial. e. + Se aplica la integral de una función logarítmica. L + 6. e sen Se aplica la integral de las operaciones. e + cos 7. 6 Se aplica la integral de una función eponencial. 6 L 8. Se aplica la integral de una función logarítmica. L 9. sen cos 0 SOLUCIONARIO

2 Se aplica la integral de una función irracional cos sen. 9 + arc tg. sec + tg +. 9 arc sen. sen cos cotg 8. Se aplica la integral de una función irracional. 9. e / Se aplica la integral de una función eponencial. e / 0. sen + cos Se aplica la integral de las operaciones. cos + sen. Se aplica la integral de una función racional.. + Se aplica la integral de una función polinómica cotg Se aplica la integral de una función polinómica cosec L sen. Se aplica la integral de una función eponencial. L TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

3 . Se aplica la integral de una función racional cotg L sen 7. + Se aplica la integral de una función logarítmica. L + 8. sen cos 9. tg L cos 0. Se aplica la integral de una función irracional.. arc sen. e 7 Se aplica la integral de una función eponencial. e 7 7. Se aplica la integral de una función logarítmica. L. tg L cos 6. cos sen 7. + arc tg 8. sen cos 9. Se aplica la integral de una función polinómica.. e sen e cos e 0. e cos e sen e SOLUCIONARIO

4 . Integración por partes Piensa y calcula Calcula la derivada de: y = e + y' = e + + e = e Aplica la teoría. e Se resuelve aplicando el método de integración por u = dv = e e. sen Se resuelve aplicando el método de integración por u = dv = sen cos + sen. + cos. arc sen Se resuelve aplicando el método de integración por u = arc sen dv = arc sen + 6. e Se resuelve aplicando el método de integración por u = dv = e Hay que hacerla otra vez, por e + + Se resuelve aplicando el método de integración por u = + dv = cos + sen + cos. sen L Se resuelve aplicando el método de integración por u = sen L dv = Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación. sen L cos L 7. L Se resuelve aplicando el método de integración por u = L dv = 8. sen L 6 Se resuelve aplicando el método de integración por TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

5 u = dv = sen Hay que hacerla otra vez, por + cos + sen 9. + L Se resuelve aplicando el método de integración por u = L dv = + + L 9 0. cos Se resuelve aplicando el método de integración por u = dv = cos Hay que hacerla otra vez, por sen + cos. + e Se resuelve aplicando el método de integración por u = + dv = e e +. L + Se resuelve aplicando el método de integración por u = L + dv = + L +. + e Se resuelve aplicando el método de integración por u = + dv = e Hay que hacerla otra vez, por e + 6. e cos Se resuelve aplicando el método de integración por u = cos dv = e Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación. e sen + cos. e sen 6. arc tg Se resuelve aplicando el método de integración por u = sen dv = e Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación. e sen + cos Se resuelve aplicando el método de integración por u = arc tg dv = arc tg L + SOLUCIONARIO

6 . Integración de funciones racionales con raíces reales en el denominador Piensa y calcula Realiza la siguiente división entera y haz la prueba: Prueba: 9 = 7 + Aplica la teoría L 8. + L El denominador tiene raíces reales simples. + + L + L El denominador tiene una raíz real múltiple. + L El denominador tiene una raíz real múltiple. + L El denominador tiene una raíz real múltiple L TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

7 L El denominador tiene raíces reales simples L L El denominador tiene raíces reales simples. + + L + + L El denominador tiene una raíz real múltiple. + L El denominador tiene una raíz real múltiple. + L +. Integración de funciones racionales con raíces complejas o de varios tipos Piensa y calcula Halla mentalmente las raíces imaginarias de la siguiente ecuación: + 9 = 0 = ±i Aplica la teoría Raíces del denominador: = ± i Son imaginarias simples. L + + arc tg 6 SOLUCIONARIO

8 Raíces del denominador: = real simple, = real doble. + + L + + L Raíces del denominador: = real simple. = ±i imaginarias simples L + L + + arc tg Raíces del denominador: = ± i imaginarias simples. L arc tg +. Integración por cambio de variable o sustitución y de funciones definidas a trozos Piensa y calcula Resuelve mentalmente las siguientes integrales inmediatas. e a b e + a L b L e + Aplica la teoría 7. L L 7. [L ] L = t = e t = e t dt L L = t = e t = e t dt L [L ] TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA 7

9 7. e + e = t = L t dt = t L e + e 7. e e = t = L t dt = t e + L e = t + = t = t = t dt = t + = t = t = t dt + L = t = t = t dt L = t = t = t dt L = t = t 6 = 6t dt L + 8. = t = t = t dt + + L si Ì 8. Sea f = si > Calcula f / si Ì si > 8 SOLUCIONARIO

10 sen si Ì 0 8. Sea f = / si > 0 Calcula f cos si Ì 0 L si > 0 8. Sea f = si Ì e si > Calcula f / si Ì e si > 6. Integración de funciones trigonométricas Piensa y calcula Escribe la fórmula fundamental de la trigonometría. sen + cos = Aplica la teoría 8. sen cos Es impar en el sen y en el cos sen 88. sen cos Es impar en el sen cos cos sen cos Es impar en el sen y en el cos sen 89. sen Es par en el sen sen 87. sen cos 90. sen Es impar en el cos sen Es par en el sen cos sen + [ sen ] TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA 9

11 9. sen sen Se transforma el producto en suma o resta. sen + sen Se aplica el cambio de variable. = sen t = cos t dt 8 arc sen cos cos Se transforma el producto en suma o resta. sen 6 sen + 9. sen cos Se transforma el producto en suma o resta. cos 8 cos 9. Se aplica el cambio de variable. = sen t = cos t dt arc sen Se aplica el cambio de variable. = sen t = cos t dt arc sen Se aplica el cambio de variable. = tg t = sec t dt Se aplica el cambio de variable. = tg t = sec t dt SOLUCIONARIO

12 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: Señala la solución correcta: + arc tg L + L L + L + L + L + L + L + L + L L L + L L + + L L L + + L L + + L L + 6 L + L + 6 L + L L + + L e + e e e e e arc tg + L + e + L + + arc tg L + + arc tg L L L L L + L L L + e e TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

13 Ejercicios y problemas. Reglas de integración 99. Se aplica la integral de una función polinómica Se aplica la integral de una función racional. 0. cos 0. e sen Se aplica la integral de una función eponencial. e Se aplica la integral de una función eponencial. L Se aplica la integral de una función logarítmica. L sen cos 08. Se aplica la integral de una función irracional. 09. cos + 0. Se aplica la integral de una función logarítmica. L 0. cos e Se aplica la integral de las operaciones. e + sen 0. sen sec arc tg tg SOLUCIONARIO

14 . arc sen. sen 7 cos sen cos Se aplica la integral de las operaciones. cos sen Se aplica la integral de las operaciones. + L Se aplica la integral de una función polinómica.. cosec + cotg 0. Se aplica la integral de una función polinómica. 8. cotg L sen 6. Se aplica la integral de una función irracional. 7. e/ 8 Se aplica la integral de una función eponencial. e /. 7 Se aplica la integral de una función eponencial. 7 L Se aplica la integral de una función racional cotg L sen TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

15 Ejercicios y problemas. + + Se aplica la integral de una función logarítmica. L +. e Se aplica la integral de una función eponencial. e 6. sen + Se aplica la integral de una función trigonométrica cos +. + Se aplica la integral de una función logarítmica. L + 7. tg L cos +. tg + L cos Se aplica la integral de una función irracional cos sen arc sen 0. e sen e cos e. 6 + arc tg 6. sen cos Se aplica la integral de una función polinómica. + + SOLUCIONARIO

16 8. e cos e sen e 9. Calcula tres primitivas de la función: y = sen Represéntalas. En qué se parecen? y = cos y = cos y = cos Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. Y X. Integración por partes. e Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = dv = e e 9. sen Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = dv = sen + cos + sen 0. Dada la función: y = cos a calcula su integral indefinida. b halla la primitiva que pasa por el punto P0, c dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. a cos = sen b sen 0 = ò k = y = + sen c Y X. cos Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = dv = cos sen + cos. L + Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = L + dv = L + + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

17 Ejercicios y problemas. arc tg Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = arc tg dv = + arc tg 6. e Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = dv = e Hay que hacerla otra vez, por e L Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = L dv = L cos Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = dv = cos Hay que hacerla otra vez, por sen + cos 7. L Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = L dv = L. e Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = dv = e e 8. + sen. e sen Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = + dv = sen Hay que hacerla otra vez, por + cos + sen Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = sen dv = e Hay que hacerla otra vez, por partes, y planear una ecuación. e sen cos 6 SOLUCIONARIO

18 . L Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = L dv = L. e Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = dv = e Hay que hacerla otra vez, por e. Integración de funciones racionales con raíces reales en el denominador L L. e cos Se resuelve aplicando el método de integración por u = cos dv = e Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación. e sen cos 9. El denominador tiene raíces reales simples. La descomposición es: L + L arc tg Se ha de resolver aplicando el método de integración por u = arc tg dv = arc tg L El denominador tiene una raíz real múltiple. La descomposición es: L + + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA 7

19 Ejercicios y problemas El denominador tiene una raíz real múltiple. + L El denominador tiene una raíz real múltiple L El denominador tiene raíces reales simples L L El denominador tiene una raíz real múltiple L L El denominador tiene raíces reales simples L + L El denominador tiene una raíz real múltiple L Integración de funciones racionales con raíces complejas o de varios tipos SOLUCIONARIO

20 Raíces del denominador: = ± i Son imaginarias simples. L arc tg Raíces del denominador: = real simple. = real doble L L Raíces del denominador: = real simple. = ±i imaginarias simples L + + L + 9 arc tg. Integración por cambio de variable o sustitución y de funciones definidas a trozos 7. L L = t = e t = e t dt L L 7. L [L + ] L = t = e t = e t dt L [L + ] 7. e e = t = L t dt = t + L e Raíces del denominador: = ± i imaginarias simples. L arc tg e 7. e + e = t = L t dt = t e L e + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA 9

21 Ejercicios y problemas 76. = t = t = t + = t dt = t = t = t + = t dt L = t = t 6 = 6t dt L 8. + = t = t = t dt + L + si Ì 8. Sea f = si > = t = t = t dt L = t = t = t dt L Calcula f si Ì si > / si < 0 8. Sea f = cos si Ó 0 Calcula f L si < 0 sen si Ó 0 / si Ì 8. Sea f = e / si > Calcula f / si Ì e / si > 0 SOLUCIONARIO

22 6. Integración de funciones trigonométricas 8. sen cos Es impar en el sen cos 86. sen cos Es impar en el sen y en el cos cos 90. cos Es par en el cos + sen cos cos + [ 9. sen cos Se transforma el producto en suma o resta. cos cos ] 87. sen cos Es impar en el sen cos 9. sen sen Se transforma el producto en suma o resta. sen 8 + sen 88. sen cos Es impar en el cos sen cos cos cos 6 cos Se transforma el producto en suma o resta. sen 0 + sen 89. tg Es par en el sen y en el cos + tg 9. 9 TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

23 Ejercicios y problemas Se aplica el cambio de variable. = sen t = cos t dt 9 arc sen Se aplica el cambio de variable. = sen t = cos t dt arc sen Se aplica el cambio de variable. = sen t = cos t dt arc sen Se aplica el cambio de variable. = tg t = sec t dt Se aplica el cambio de variable. = tg t = sec t dt + Para ampliar 99. Calcula tres primitivas de la función: y = Represéntalas. En qué se parecen? y = y = + y = Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. Y X 00. Dada la función: y = + a calcula su integral indefinida: b halla la primitiva que pasa por el punto P, c dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. a + = + b + = k = y = + + SOLUCIONARIO

24 c Y 0. Calcula la integral de la función: f = L 0. Halla la integral de la siguiente función definida a trozos: f = si < f = / si Ó si < si Ó X Se calcula por u = L dv = L 06. Calcula la integral de la función: y = e + Es la integral de una función eponencial. e + 0. Calcula la integral de la función: f = L 0. Calcula la integral de la función: f = Es la integral de un polinomio. 0. Calcula la integral indefinida: + e Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución. e = t ò = L t dt = t L e Calcula la integral de la función: f = + e Se calcula por u = + dv = e e 08. Calcula: 6 El denominador tiene raíces reales simples L L Halla una función f sabiendo que: f' = e Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el método. La primera vez se hacen los cambios: u = dv = e e + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

25 Ejercicios y problemas 0. Calcula la integral de la función: f = Se aplica la integral de una función irracional. e = t ò e = dt dt = t e. Calcula: e Se calcula por partes; tiene que aplicarse dos veces el método: La primera vez se hacen los cambios: u = dv = e e. Calcula una primitiva de la función: y = El denominador tiene raíces reales simples. + L + L. Calcula: e Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.. Calcula una primitiva de la función: y = Es la integral de una función irracional. Problemas. Calcula tres primitivas de la función: y = Represéntalas. En qué se parecen? y = y = + y = Y 6. Dada la función: y = e a calcula su integral indefinida. b halla la primitiva que pasa por el punto P, c dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. a e = e b e = ò k = e ò y = e + e c Y Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. X X SOLUCIONARIO

26 7. Halla la integral de la siguiente función definida a trozos: si Ì f = e si > f = / si Ì e si > 8. Calcula: Es la integral de una función irracional. e 9. Calcula la integral de la función: f = e mediante un cambio de variable. e e Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución. e = t ò = L t dt = t L e 0. Calcula la integral de la función: f = + + L. Calcula la integral de la función: f = + Es la integral de una función logarítmica. L +. Calcula + Es la integral de una función logarítmica. L +. Calcula la integral de la función: f = Es la integral de un polinomio Calcula la integral de la función: f = L. Calcula la integral de la función: f = L + 6. Calcula: + + El denominador tiene raíces reales simples L L + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

27 Ejercicios y problemas 7. Calcula:. Sea la integral: + e Se calcula por partes, hay que aplicar dos veces el método. La primera vez se hacen los cambios: u = + dv = e e Calcula la integral de la función: 6 f = + Es la integral de una función racional Calcula la integral de la función: y = e Es la integral de una función eponencial. e 0. Calcula la integral de la función: f = e Se calcula por u = dv = e e. Calcula: cos Es la integral de una función trigonométrica. sen e sen e a Intégrala mediante el cambio t = e b Calcula la constante de integración para que la función integral pase por el origen de coordenadas. a Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución. e = t ò = L t e = t dt = t Luego hay que hacerla por e cos e + sen e b Para = 0, y = 0 e 0 cos e 0 + sen e 0 = 0 cos + sen = 0 k = cos sen. La recta que pasa por los puntos 0, 6 y, 0 observa el dibujo es la gráfica de la función derivada segunda f de una cierta función f: 8. Se sabe que el origen pertenece a la curva y = f y que en ese punto la recta tangente tienen pendiente igual a. Determina una epresión de la función f f" = 6 6 f' = 6 f'0 = ò k = f' = 6 + f = + f0 = 0 ò k = 0 f = + Y y = f'' X Y X 6 SOLUCIONARIO

28 . Calcula la integral de la función: f = El denominador tiene raíces reales simples Calcula: + + L L + El denominador tiene raíces reales simples L L + 6. Calcula la integral de la función: y = Es la integral de una función logarítmica. L 7. Calcula la integral de la función: y = + Es la integral de una función trigonométrica. + arc tg 8. Calcula la integral de la función: f = + e Se calcula por u = + dv = e e + 9. Calcula: sen cos Se llama I a la integral buscada. Se aplica la integración por u = sen dv = cos Se obtiene la siguiente ecuación: I = sen sen I Se resuelve la integral trigonométrica que es par en el seno. sen = cos = sen Queda: I = sen + sen sen I = + sen 8 0. Calcula: e + e Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución. e = t ò = L t e = t dt = t e e + L e + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA 7

29 Ejercicios y problemas. Calcula una primitiva de la función: f = L + c Y Se calcula por u = L + dv = [ + L + ]. Calcula: + Se aplica la integral de una función irracional. + + Para profundizar. Calcula tres primitivas de la función: y = e Represéntalas. En qué se parecen? y = e y = e + y = e Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. Y X. Halla la integral de la siguiente función definida a trozos: sen si Ì f = e si < < cos si Ó cos si Ì f = e si < < sen si Ó 6. Calcula la integral de la función: f = + Es la integral de una función trigonométrica. arc tg 7. Calcula la integral de la función: f = e Se calcula por u = dv = e e + X. Dada la función: y = sen a calcula su integral indefinida. b halla la primitiva que pasa por el punto Pπ, c dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. a sen = cos b cos π = ò k = y = cos + 8. Calcula la integral de la función: + y = L 8 SOLUCIONARIO

30 9. Calcula la integral de la función: f = Es la integral de una función logarítmica. L + + L + L + 0. Calcula: L donde L denota el logaritmo neperiano de un número positivo Se calcula por u = L dv = L. Calcula la integral de la función: f = + Es la integral de un polinomio Calcula la integral de la función: f = sen Usa el cambio de variable = t Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución. = t ò = t ò = tdt Luego hay que hacerla por sen cos. Calcula la integral de la función: f = Es la integral de una función racional.. Halla una función f sabiendo que: f' = e Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el método. La primera vez se hacen los cambios: u = dv = e e +. Calcula: + + El denominador tiene raíces reales simples. 6. Haciendo el cambio de variable e = t, calcula: e e Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución. e = t ò = L t e = t dt = t L e L e + 7. Calcula: f = + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA 9

31 Ejercicios y problemas El denominador tiene raíces reales simples. + + L L 8. Calcula la integral de la función: f = Se aplica la integral de una función irracional. 9. Calcula una primitiva de la función: y = tg Es la integral de una función trigonométrica. L cos 60. Calcula: e Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el método. La primera vez se hacen los cambios: u = dv = e e 6. Calcula una primitiva de la función: y = L + L 6. Utiliza el cambio de variable L = t para calcular la integral: + L + L + L Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución. L = t ò = e t + t + t e t + t = e t dt I = e t dt = dt = + t + t = dt = t + dt = t + t = = L + L 6. Calcula la integral: + t + t + t cos sen Se aplica la integral de la función racional. I = cos = sen sen 0 SOLUCIONARIO

32 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 6. Calcula la siguiente integral indefinida: e + cos Resuelto en el libro del alumnado. 6. Calcula la integral: F = Halla la primitiva que pase por el punto P,. Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. Resuelto en el libro del alumnado. 66. Calcula la integral: cos Sustituye la constante k por los números enteros de 0 a 0. Representa la familia de funciones que obtienes. Qué observas en las gráficas? Resuelto en el libro del alumnado. 67. Calcula la integral: y haz la descomposición en fracciones simples del integrando. Resuelto en el libro del alumnado. 68. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 69. cos 7. e 70. L 7. e sen TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

33 Linu/Windows En los siguientes ejercicios haz la descomposición en fracciones simples del integrando y calcula la integral Calcula las siguientes integrales: 80. L e SOLUCIONARIO

34 Windows Derive cos cos cos sen cos cos 9. L TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

35 Linu/Windows 9. L 96. Calcula la integral: F = Halla la primitiva que pase por el punto P,. Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. 9. e LL L SOLUCIONARIO

36 Windows Derive 97. Calcula la integral: sen Sustituye la constante k por los números:,,,,, 0,,,, y. Representa la familia de funciones que obtienes. Qué observas en las gráficas? 98. Calcula la integral: sen cos Sustituye la constante k por los números:,,,,, 0,,,, y. Representa la familia de funciones que obtienes. Qué observas en las gráficas? TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA

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