Integración por fracciones parciales

Transcripción

1 Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integración de una función racional puede conducirnos a funciones que no son racionales por ejemplo: ln + C y arctan ) + C + ahora daremos un método para calcular la integral de una función racional cualquiera y se verá que el resultado puede epresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos. La idea del método es descomponer la función racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de técnicas ya conocidas de debe realizar la descomposición en fracciones parciales de la función racional considerada). f) Supongamos entonces que g) es una función racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda f ) g ) Q ) + R ) g ) donde Q es un polinomio el cociente de la división) y R ) es el resto de la división note que el grado del resto es menor que el del divisor g )), de esta forma toda función racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una función racional propia. Cómo puede mostrarse que determinada función no es racional?

2 Del curso de complementos de mat0 sabemos que toda función racional propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma y donde k, m N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y A α + β) k 0.0.) B + C a + b + c) m 0.0.) b 4ac < 0 en 0.0.) lo que nos dice que es una cuadrática sin raíces reales. Luego el calculo de la integral de una función racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios que ya sabemos calcular) y a calculo de integrales de la forma A α + β) k y B + C) a + b + c) m aprenderemos a calcular este tipo de integrales. Ejemplo. Consideremos la integral ) la función racional es propia el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las raíces reales del denominador, como + + ) ) se sigue que ) ) Apuntes de Clases

3 por el método de las fracciones parciales, eisten constantes A y B tales que A + + B para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los métodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la epresión por el denominador 5 + A ) + B + ) evaluando la igualdad en obtenemos 8 A 0 + 4B B evaluando la igualdad en se obtiene 5 + A 4) + B 0 A se sigue ) ) + + ln + + ln + C el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas raíces reales como el grado del polinomio y todas las raíces distintas. Ejemplo. Calcular ) ) ) ) Como ya conocemos las raíces del denominador, efectuamos la descomposición en fracciones parciales: ) ) ) ) A + B + C Apuntes de Clases

4 y aplicamos alguna técnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador A ) ) + B ) ) + C ) ) evaluando tal igualdad en obtenemos evaluando en se obtiene A ) ) + B 0 + C 0 A ) ) A 4 A 0 + B ) 4 ) + C 0 B y finalmente, evaluando en se obtiene ) ) A 0 + B 0 + C se sigue C ) ) C 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) + 8 ln + ln 4 ln + C ) ln 4 + C donde ln recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por ). Apuntes de Clases 4

5 Ejercicio. Calcular Ejercicio. Calcular ) ) + ) + 5) Ejercicio. Calcular veamos ahora que pasa si la raíces se repiten: Ejemplo. Calcular + + ) ) + ) notemos que es una función racional propia, podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales no necesitamos dividir los polinomios) desarrollando encontramos se sigue + + ) ) + ) A + B + + A, B y C + + ) ) + ) + ln C + ) + ) ln C Apuntes de Clases 5

6 Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo A α + β) k para k la integral es A α + β A ln α + β + C α para k > podemos efectuar un cambio de variables u α + β eso implica du α de donde A du α + β) k A αu k A u k+) α k + ) + C Ejemplo 4. Calcular A α + β) k+) + C α k + ) ) Desarrollo: Podemos hacer la sustitución u du se sigue du ) u u du u C 4 u + C 4 ) + C Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo B + C) a + b + c) m con b 4ac < 0. Ejemplo 5. Calcular + + Apuntes de Clases 6

7 note que en este caso, es denominador no posee raíces reales < 0 y + + ya es una fracción parcial no tenemos que aplicar la técnica de descomposición), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la forma v + que sabemos calcular arctan v) completemos cuadrados en el denominador, ) + si hacemos el cambio de variable + ) u + du + ) + u ) du u + ) udu u + du u + note que la primera es calculable por una simple sustitución v u + esto es general para las integrales del tipo + α ) m las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v + α ) y la segunda es conocida, udu u + du u + ln u + arctan u) + C volvemos a la variable original + ) + ln + ) + arctan + ) + C Apuntes de Clases 7

8 entonces, toda integral de la forma B + C) a + b + c) m la podemos escribir como B a + b + c) m + C pero B a + b + c) m B a a + b b) a + b + c) m B a + b) a a + b + c) m Bb a de esta forma B + C) a + b + c) m B a la integral a + b + c) m a + b + c) m a + b) a + b + c) m + C Bb ) a a + b) a + b + c) m a + b + c) m se puede calcular mediante la sustitución u a + b + c du a + b), por lo que no presenta mayor dificultad. El problema ahora, es calcular integrales del tipo a + b + c) m completemos cuadrado de binomio a + b + c a + b a + b 4a a + b ) + a 4ac b 4a ) b 4a + c Apuntes de Clases 8

9 note que b 4ac < 0 4ac b > 0 obtenemos a + b + c) m a + b ) a + 4ac b 4a a m hagamos el cambio de variables entonces se sigue a m + b a ) + b ) m a + 4ac b 4a + b a 4ac b 4a v 4ac b 4a a m a m 4ac b 4ac b 4a ) 4ac b m 4a ) m ) + 4ac b 4a 4a ) v + ) m 4ac b 4a 4ac b 4a v + ) m de donde obtenemos que el cálculo de las integrales de la forma a + b + c) m puede ser reducido al cálculo de integrales de la forma v + ) m )) m y estas pueden ser abordadas a través de integración por partes, en efecto v v + ) m + ) m v m + ) m v Apuntes de Clases 9

10 pongamos k + ) m v dk m + ) m ) v v dr v m r v m+ m + ) v m+ v + ) m + ) m ) v m+ m + v m + ) m ) ) m + v v es decir v + ) m v v + ) m m m + v m + ) v + ) m ) v m+ v + ) m m + v m v ) m m + v m+ + ) si en lugar de m ponemos m entonces ) v + ) m v m ) m ) + ) v + ) m m ) + es decir v + ) m v m + ) v + ) m ) m m + v + ) m m + ) v m + v + ) m m + ) m ) v m + ) m v m m ) v m + + ) m v + ) m v + ) m v + ) m Ejemplo 6. Calcular + ) Desarrollo: Aplicando la fórmula de recurrencia anterior + ) + ) ) + arctan + C Apuntes de Clases 0

11 Ejemplo 7. Calcular + ) Desarrollo: con la fórmula de recurrencia + ) ) + ) ) ) + ) utilizando el ejercicio anterior + ) 4 + ) ) + arctan 4 + ) ) + 8 arctan + C ) + C Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una función racional cualquiera aunque nuestros cálculos se ven limitados por tener que encontrar las raíces que nos permitan hacer la descomposición en fracciones parciales, para encontrar una descomposición de polinomios muy generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproimar las raíces) Ejemplos resueltos. Calcular + Desarrollo: Primero notamos que la función racional es propia, podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las raíces del denominador ) + + ) notemos que el segundo factor no tiene raíces reales, + A + B + C + + Apuntes de Clases

12 desarrollando encontramos A, B y C ln para calcular la integral reordenamos en la forma ln + + ) ahora debemos calcular + + para ello completamos cuadrados + + hacemos el cambio de variable + ) ) u du 4 Apuntes de Clases

13 ) du ) 4 u du u + arctan u 4 4 arctan + )) + C + ln + ln + + ) + 4 arctan + )) + C. Calcular ) + ) Desarrollo: La función racional es propia. Efectuamos la descomposición en fracciones parciales: ) + ) A + B + C + + D + E + ) las constantes nos dan se sigue A, B, C, D, E ) + ) ) Apuntes de Clases

14 4 + + ) + ) + + ln ) + + ) pero + ln + y + la podemos calcular con el cambio de variable u du du + u + du u + arctan u ) arctan ) + ) ln + ln + arctan y para es simplemente hacer la sustitución + ) u + du ) + ) Apuntes de Clases 4

15 + ) du u u du u + C + ) + C ) + ) ln + ln + arctan ) + + ) + C Ejercicios propuestos a) d) g) + ) ) + 5) 4 + b) e) + ) ) h) + ) + ) + ) c) + ) + ) + ) f) 4 i) ) + + ) Apuntes de Clases 5