Integración por fracciones parciales

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Integración por fracciones parciales"

Transcripción

1 Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integración de una función racional puede conducirnos a funciones que no son racionales por ejemplo: ln + C y arctan ) + C + ahora daremos un método para calcular la integral de una función racional cualquiera y se verá que el resultado puede epresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos. La idea del método es descomponer la función racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de técnicas ya conocidas de debe realizar la descomposición en fracciones parciales de la función racional considerada). f) Supongamos entonces que g) es una función racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda f ) g ) Q ) + R ) g ) donde Q es un polinomio el cociente de la división) y R ) es el resto de la división note que el grado del resto es menor que el del divisor g )), de esta forma toda función racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una función racional propia. Cómo puede mostrarse que determinada función no es racional?

2 Del curso de complementos de mat0 sabemos que toda función racional propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma y donde k, m N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y A α + β) k 0.0.) B + C a + b + c) m 0.0.) b 4ac < 0 en 0.0.) lo que nos dice que es una cuadrática sin raíces reales. Luego el calculo de la integral de una función racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios que ya sabemos calcular) y a calculo de integrales de la forma A α + β) k y B + C) a + b + c) m aprenderemos a calcular este tipo de integrales. Ejemplo. Consideremos la integral ) la función racional es propia el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las raíces reales del denominador, como + + ) ) se sigue que ) ) Apuntes de Clases

3 por el método de las fracciones parciales, eisten constantes A y B tales que A + + B para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los métodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la epresión por el denominador 5 + A ) + B + ) evaluando la igualdad en obtenemos 8 A 0 + 4B B evaluando la igualdad en se obtiene 5 + A 4) + B 0 A se sigue ) ) + + ln + + ln + C el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas raíces reales como el grado del polinomio y todas las raíces distintas. Ejemplo. Calcular ) ) ) ) Como ya conocemos las raíces del denominador, efectuamos la descomposición en fracciones parciales: ) ) ) ) A + B + C Apuntes de Clases

4 y aplicamos alguna técnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador A ) ) + B ) ) + C ) ) evaluando tal igualdad en obtenemos evaluando en se obtiene A ) ) + B 0 + C 0 A ) ) A 4 A 0 + B ) 4 ) + C 0 B y finalmente, evaluando en se obtiene ) ) A 0 + B 0 + C se sigue C ) ) C 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) + 8 ln + ln 4 ln + C ) ln 4 + C donde ln recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por ). Apuntes de Clases 4

5 Ejercicio. Calcular Ejercicio. Calcular ) ) + ) + 5) Ejercicio. Calcular veamos ahora que pasa si la raíces se repiten: Ejemplo. Calcular + + ) ) + ) notemos que es una función racional propia, podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales no necesitamos dividir los polinomios) desarrollando encontramos se sigue + + ) ) + ) A + B + + A, B y C + + ) ) + ) + ln C + ) + ) ln C Apuntes de Clases 5

6 Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo A α + β) k para k la integral es A α + β A ln α + β + C α para k > podemos efectuar un cambio de variables u α + β eso implica du α de donde A du α + β) k A αu k A u k+) α k + ) + C Ejemplo 4. Calcular A α + β) k+) + C α k + ) ) Desarrollo: Podemos hacer la sustitución u du se sigue du ) u u du u C 4 u + C 4 ) + C Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo B + C) a + b + c) m con b 4ac < 0. Ejemplo 5. Calcular + + Apuntes de Clases 6

7 note que en este caso, es denominador no posee raíces reales < 0 y + + ya es una fracción parcial no tenemos que aplicar la técnica de descomposición), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la forma v + que sabemos calcular arctan v) completemos cuadrados en el denominador, ) + si hacemos el cambio de variable + ) u + du + ) + u ) du u + ) udu u + du u + note que la primera es calculable por una simple sustitución v u + esto es general para las integrales del tipo + α ) m las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v + α ) y la segunda es conocida, udu u + du u + ln u + arctan u) + C volvemos a la variable original + ) + ln + ) + arctan + ) + C Apuntes de Clases 7

8 entonces, toda integral de la forma B + C) a + b + c) m la podemos escribir como B a + b + c) m + C pero B a + b + c) m B a a + b b) a + b + c) m B a + b) a a + b + c) m Bb a de esta forma B + C) a + b + c) m B a la integral a + b + c) m a + b + c) m a + b) a + b + c) m + C Bb ) a a + b) a + b + c) m a + b + c) m se puede calcular mediante la sustitución u a + b + c du a + b), por lo que no presenta mayor dificultad. El problema ahora, es calcular integrales del tipo a + b + c) m completemos cuadrado de binomio a + b + c a + b a + b 4a a + b ) + a 4ac b 4a ) b 4a + c Apuntes de Clases 8

9 note que b 4ac < 0 4ac b > 0 obtenemos a + b + c) m a + b ) a + 4ac b 4a a m hagamos el cambio de variables entonces se sigue a m + b a ) + b ) m a + 4ac b 4a + b a 4ac b 4a v 4ac b 4a a m a m 4ac b 4ac b 4a ) 4ac b m 4a ) m ) + 4ac b 4a 4a ) v + ) m 4ac b 4a 4ac b 4a v + ) m de donde obtenemos que el cálculo de las integrales de la forma a + b + c) m puede ser reducido al cálculo de integrales de la forma v + ) m )) m y estas pueden ser abordadas a través de integración por partes, en efecto v v + ) m + ) m v m + ) m v Apuntes de Clases 9

10 pongamos k + ) m v dk m + ) m ) v v dr v m r v m+ m + ) v m+ v + ) m + ) m ) v m+ m + v m + ) m ) ) m + v v es decir v + ) m v v + ) m m m + v m + ) v + ) m ) v m+ v + ) m m + v m v ) m m + v m+ + ) si en lugar de m ponemos m entonces ) v + ) m v m ) m ) + ) v + ) m m ) + es decir v + ) m v m + ) v + ) m ) m m + v + ) m m + ) v m + v + ) m m + ) m ) v m + ) m v m m ) v m + + ) m v + ) m v + ) m v + ) m Ejemplo 6. Calcular + ) Desarrollo: Aplicando la fórmula de recurrencia anterior + ) + ) ) + arctan + C Apuntes de Clases 0

11 Ejemplo 7. Calcular + ) Desarrollo: con la fórmula de recurrencia + ) ) + ) ) ) + ) utilizando el ejercicio anterior + ) 4 + ) ) + arctan 4 + ) ) + 8 arctan + C ) + C Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una función racional cualquiera aunque nuestros cálculos se ven limitados por tener que encontrar las raíces que nos permitan hacer la descomposición en fracciones parciales, para encontrar una descomposición de polinomios muy generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproimar las raíces) Ejemplos resueltos. Calcular + Desarrollo: Primero notamos que la función racional es propia, podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las raíces del denominador ) + + ) notemos que el segundo factor no tiene raíces reales, + A + B + C + + Apuntes de Clases

12 desarrollando encontramos A, B y C ln para calcular la integral reordenamos en la forma ln + + ) ahora debemos calcular + + para ello completamos cuadrados + + hacemos el cambio de variable + ) ) u du 4 Apuntes de Clases

13 ) du ) 4 u du u + arctan u 4 4 arctan + )) + C + ln + ln + + ) + 4 arctan + )) + C. Calcular ) + ) Desarrollo: La función racional es propia. Efectuamos la descomposición en fracciones parciales: ) + ) A + B + C + + D + E + ) las constantes nos dan se sigue A, B, C, D, E ) + ) ) Apuntes de Clases

14 4 + + ) + ) + + ln ) + + ) pero + ln + y + la podemos calcular con el cambio de variable u du du + u + du u + arctan u ) arctan ) + ) ln + ln + arctan y para es simplemente hacer la sustitución + ) u + du ) + ) Apuntes de Clases 4

15 + ) du u u du u + C + ) + C ) + ) ln + ln + arctan ) + + ) + C Ejercicios propuestos a) d) g) + ) ) + 5) 4 + b) e) + ) ) h) + ) + ) + ) c) + ) + ) + ) f) 4 i) ) + + ) Apuntes de Clases 5

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN C TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN C. CONCEPTOS PRELIMINARES C.. Función primitiva Sea f : I R, donde I es un intervalo real. Diremos que la función F : I R es una función primitiva de la función f en I si se cumple

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Ejercicios Resueltos del Tema 4

Ejercicios Resueltos del Tema 4 70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la

Más detalles

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real).

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real). Tema 5 Integral Indefinida 5.1 Introducción Dedicaremos este tema a estudiar el concepto de Integral Indefinida y los métodos más habituales para calcular las integrales indefinidas. De una manera intuitiva

Más detalles

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales.

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales. 1. 1.1 Epresiones algebraicas 1.1 Epresión algebraica. En matemáticas una epresión algebraica es un conjunto de letras y números, ligados por los signos de adición, sustracción, multiplicación, división,

Más detalles

9.Método de integración por partes.-

9.Método de integración por partes.- Matemáticas de º de bachillerato página 6 Integral indefinida P P P Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos: Sea u() una función. Para abreviar la epresaremos por

Más detalles

Integración por fracciones parciales

Integración por fracciones parciales Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. REPASO DE MATEMÁTICAS DISCRETA. CONGRUENCIAS. En el conjunto de los números enteros

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. REPASO DE MATEMÁTICAS DISCRETA. CONGRUENCIAS. En el conjunto de los números enteros AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS REPASO DE MATEMÁTICAS DISCRETA. CONGRUENCIAS. En el conjunto de los números enteros Z = {..., n,..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n, n + 1,...} tenemos definidos una suma y un producto

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

SESION 4. 1. El comando Integrate 2. Aproximación de integrales definidas 3. Integración de funciones racionales

SESION 4. 1. El comando Integrate 2. Aproximación de integrales definidas 3. Integración de funciones racionales SESION. El comando Integrate. Aproimación de integrales definidas. Integración de funciones racionales . El comando Integrate El cálculo de integrales definidas e indefinidas en MATHEMATICA es sencillo

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios 5 Operaciones con polinomios 5.1 Igualdades notables El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (a + b) a + ab + b El

Más detalles

Lección 4: Suma y resta de números racionales

Lección 4: Suma y resta de números racionales GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela. 00 Índice. CONCEPTO DE LÍMITE.. DEFINICIÓN.. LÍMITES LATERALES..

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante. Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente,

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 - SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 - SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina www.frro.utn.edu.ar e-mail: ingreso@frro.utn.edu.ar

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

164 Ecuaciones diferenciales

164 Ecuaciones diferenciales 64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación

Más detalles

resolución de problemas en cuanto a originalidad, ingenio y versatilidad de los métodos usados.

resolución de problemas en cuanto a originalidad, ingenio y versatilidad de los métodos usados. i PRESENTACIÓN Este teto tiene la intención de asistir como un importante material de apoyo en el área de matemática a los estudiantes que participan en el curso propedéutico que dicta la Facultad de Agronomía

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

Capitulo 4. Polinomios

Capitulo 4. Polinomios Capitulo 4. Polinomios Objetivo. El alumno usará y analizará los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para obtener raíces. Contenido. 4.1 Definición de polinomio. Grado de un polinomio.

Más detalles

El Cálculo Integral- 2 parte.

El Cálculo Integral- 2 parte. El Cálculo Integral- 2 parte. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Para la resolución de integrales se utilizan diferentes artificios de cálculo, cuyo objeto es transformar la expresión a integrar en otra, u otras,

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

Polinomios. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid

Polinomios. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Definición Un polinomio es una operación indicada de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Por: Edivar Fernández Hoyos INTRODUCCIÓN

CÁLCULO INTEGRAL. Por: Edivar Fernández Hoyos INTRODUCCIÓN CÁLCULO 1 INTEGRAL Por: Edivar Fernández Hoyos INTRODUCCIÓN Esta guía tiene como objetivo darte una introducción rápida para que inicies el curso de Cálculo Integral, comprendiendo: Qué es? Y Cómo se relaciona?

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 11 Teorema Fundamental

Más detalles

A modo de Presentación

A modo de Presentación Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Primera Parte Funciones Eulerianas Ing. Ramón Abascal Prof esor Titular de Análisi s de Señales y Sist emas y Teoría de los Circuit os I I en la UTN, Facultad

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42 PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Polinomios. Antes de empezar

Polinomios. Antes de empezar Antes de empezar Utilidad de los polinomios Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones polinómicas,

Más detalles

Contenido. Conoce los contenidos 1 Fracciones equivalentes 2. Suma de fracciones 5

Contenido. Conoce los contenidos 1 Fracciones equivalentes 2. Suma de fracciones 5 Contenido Unidad Conoce los contenidos Fracciones equivalentes Simplificación de fracciones Suma de fracciones 5 Resta de fracciones 6 Números mixtos y fracciones 7 Comparar y ordenar fracciones y números

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = 1 x dx x 2 dx = 1 2 x2 ln x x2

x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = 1 x dx x 2 dx = 1 2 x2 ln x x2 Tema 5 Integración Indefinida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = x dx dv =

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

Análisis Dinámico: Integración

Análisis Dinámico: Integración Análisis Dinámico: Integración Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 1 / 57 Integración indefinida

Más detalles

CÁLCULO ALGEBRAICO. Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo

CÁLCULO ALGEBRAICO. Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo CÁLCULO ALGEBRAICO Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo INTRODUCCIÓN Estas notas han sido elaboradas con el fin de ofrecer al ingresante a las carreras de la FaMAF herramientas elementales del cálculo

Más detalles

UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1

UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1 Unidad 1: Epresiones Algebraicas UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1 UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página Matemática Unidad

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción Actividad. Fracciones simples. Introducción En las actividades anteriores vimos las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como la jerarquía de ellas entre números enteros,

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Números 2 Polinomios 3 Funciones y su Representación

Más detalles

BOLETIN Nº 4 MATEMÁTICAS 3º ESO Operaciones con radicales

BOLETIN Nº 4 MATEMÁTICAS 3º ESO Operaciones con radicales Radicales " Raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica que elevada a una potencia "n"; reproduce la expresión dada. " Elementos de la raíz. - Radical:

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada.

INTEGRAL INDEFINIDA. Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada. 1. INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada. Ejm: La función F x = x es una primitiva de f x

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO.

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. En ocasiones, en matemáticas, necesitamos operar con números desconocidos. Para ello, se toman letras para representar esas cantidades desconocidas o

Más detalles

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CONCEPTOS IMPORTANTES FRACCIÓN: Es la simbología que se utiliza para indicar que un todo será dividido en varias partes (se fraccionará). Toda fracción tiene dos partes básicas:

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

Saint Louis School Educación Matemática NB2. Miss Rocío Morales Vásquez

Saint Louis School Educación Matemática NB2. Miss Rocío Morales Vásquez Saint Louis School Educación Matemática NB2 Miss Rocío Morales Vásquez Objetivo s de aprendizajes Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6,

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 página 38 SUMA DE FRACCIONES CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo

Más detalles

La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein. Unidad 6. Suma y resta d e monomios y polinomios. Objetivos

La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein. Unidad 6. Suma y resta d e monomios y polinomios. Objetivos La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein Unidad 6 Suma y resta d e monomios y polinomios Objetivos mat emát ic as 1 Introducción C uando estábamos en primaria la maestra nos

Más detalles

Ejercicios resueltos. Bloque 2. Álgebra Tema 1 Polinomios. 2.1-1 Realiza la suma de los siguientes polinomios: Solución. Ejercicios resueltos 1

Ejercicios resueltos. Bloque 2. Álgebra Tema 1 Polinomios. 2.1-1 Realiza la suma de los siguientes polinomios: Solución. Ejercicios resueltos 1 Ejercicios resueltos Bloque. Álgebra Tema 1 Polinomios.1-1 Realiza la suma de los siguientes polinomios: 5 p 6 7 6 q 5 5 p 9 1 10 5 q 5 1 15 p 5 6 8 q p 1 q 6 8 r 1 6 5 p 7 6 6 5 q 5 6 5 r 6 8 8 p 711

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e)

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e) Polinomios El 6 de septiembre del 00 se celebró el gran Premio de Singapur, la 5.ª prueba del mundial de Fórmula. La carrera constaba de 6 vueltas a un circuito de 5 067 m de longitud. Fernando Alonso,

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y 4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Calcular con fracciones para todos

Calcular con fracciones para todos Calcular con fracciones para todos 1 Calcular con fracciones para todos M. Riat riat@pobox.com Versión 1.0 Burriana, 2014 Calcular con fracciones para todos 2 ÍNDICE DE CAPÍTULOS Índice de capítulos...

Más detalles

Lección 2. Objetivo: Interpretar una fracción como división. Lección 2 5 4. Problema de aplicación (8 minutos) Estructura de lección sugerida

Lección 2. Objetivo: Interpretar una fracción como división. Lección 2 5 4. Problema de aplicación (8 minutos) Estructura de lección sugerida Lección 2 Objetivo: Interpretar una fracción como división. Estructura de lección sugerida Problema de aplicación Práctica de agilidad Desarrollo del concepto Resumen de alumnos Tiempo total (8 minutos)

Más detalles

Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales

Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales Alberto Cabada Fernández 4 de diciembre de. Índice general Introducción I. Ecuaciones de primer orden.. Método de las bandas características...................

Más detalles

1. Suma y producto de polinomios. Propiedades

1. Suma y producto de polinomios. Propiedades ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Resumen teoría Prof. Alcón 1. Suma y producto de polinomios. Propiedades Sea (A, +,.) un anillo conmutativo. Llamamos polinomio en una indeterminada x con coeficientes

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES Curso de Formación en Matemáticas - 06 - Autor: Lic. Esp. Fernando Javier Quiroga Villegas OBJETIVOS DEL CURSO Objetivo General: Afianzar los conocimientos adquiridos

Más detalles