INTEGRACION NUMERICA Método se Simpson

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1 Ojetivos: Geerles Específicos Oservcioes Prelimires Clculo de Áres El método de Simpso Desrrollo del modelo de Simpso Ejemplos Progrm e diferetes legujes L jerrquí de clses INTEGRACION NUMERICA Método se Simpso Ig Ymil Armdo Cerquer Rojs cerque@gmil.com Especilist e Sistems Uiversidd Nciol Docete Uiversidd Surcolomi Neiv - Huil OBJETIVOS GENERALES Ojetivos: Resolver el prolem de cálculo del áre jo l curv etre dos límites coocidos, dividiedo e N su áres pr clculr su vlor, sumiedo cd su áre como u pequeño rco de prol.. Compreder ls ses coceptules de l itegrció proimd.. Compreder los rsgos geerles de l itegrció proimd utilizdo el método de Simpso.. Compreder l proimció del error por trucmieto de l itegrció proimd utilizdo el método de Simpso, frete l vlor ecto.. Resolver prolems de itegrció proimd utilizdo el método de Simpso. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Coocer l iterpretció geométric de l itegrl defiid.. Recoocer que el método de Simpso represet, geométricmete, el áre jo u fució poliomil de segudo orde (Cudrátic o Prólic.. Deducir l fórmul de Simpso prtir de l iterpretció geométric de l itegrl defiid.. Acotr el error cometido e l itegrció uméric por el método de Simpso. 5. Eplicr l oteció de fórmuls más preciss pr clculr, uméricmete, itegrles defiids. 6. Aplicr el método de Simpso, pr clculr uméricmete, ls proimcioes de lgus itegrles defiids. Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

2 OBSERVACIONES PRELIMINARES Cudo se reliz u eperimeto, geerlmete, se otiee u tl de vlores que se esper, teg u comportmieto fuciol. Si emrgo, o se otiee l represetció eplícit de l fució que represet l regl de correspodeci etre ls vriles ivolucrds. E estos csos, l relizció de culquier operció mtemátic sore l ue de putos que preted trtrl como u relció fuciol, tropezrá co dificultdes cosiderles l o coocerse l epresió eplícit de dic relció. Etre ests opercioes se ecuetr l itegrció de fucioes. Además, es coocido que eiste reltivmete pocs fórmuls técics de itegrció, frete l ctidd eistete de fucioes que se puede itegrr. Es decir, u gr úmero de itegrles de fucioes elemetles o puede ser epresd e térmios de ells. Etre estos csos sigulres se tiee, mer de ejemplo: d l( e d,, d, si( d, d,... Pr clrr l cotrdicció tes señld, se dee recordr l codició ecesri pr que u fució se itegrle. Dic codició se mecio de imedito, si demostrció: Proposició (Codició ecesri de Itegrilidd. Si u fució f es cotiu e el itervlo [, ], etoces l fució f es itegrle e el itervlo [, ]. No ostte que ls codicioes de l proposició so summete geerles, o se tiee grtí de que, l plicr los métodos usulmete coocidos pr resolver itegrles, se pued ecotrr l tiderivd de u fució f( culquier ecesri pr oteer l itegrl defiid. Estos putes pretede ilustrr l lector de form detlld lo ms secillo posile, u de ls técics ásics que permite resolver dic situció, ciedo uso de los métodos o modelos uméricos, trvés de l deomid INTEGRACIÓN APROXIMADA, POR EL MÉTODO DE SIMPSON. Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

3 CÁLCULO DE ÁREAS Uo de los prolems mtemáticos más frecuetes es el cálculo del áre que se form etre u fució f(, el eje los límites. Por ejemplo, se ecesit clculr el áre A que prece e l Fig., reiterdo que dic áre est por dejo de l fució f( etre los límites : Fig. Prtiedo del eco que l fució f ( los vlores so coocidos. se cosider como el limite iferior se cosider como límite superior. E este tipo de prolems se puede oteer dos tipos de solucioes: Solucioes lgerics: se otiee u fórmul precis ect pr el áre solicitd. Solucioes umérics: se clcul uméricmete u estimció del áre. Desde luego, l solucioes lgerics so mejores que ls umérics, porque so ects. Pero veces, l complejidd de ls fucioes ce imposile (o difícil oteer l solució lgeric, por lo que u solució uméric permite orrr tiempo. EL MÉTODO DE SIMPSON Además de plicr l regl trpezoidl o Rectgulr co segmetos o su áres cd vez más pequeñs, otr mer de oteer u estimció ú más ect de u itegrl, es l de usr poliomios de orde superior pr coectr los putos, e el cso prticulr del método que us orde, es decir de l form c. A ls fórmuls resulttes de clculr l itegrl jo estos poliomios se les cooce como regls de Simpso. E este procedimieto, se tom el itervlo de cur, compredido etre, se sustitue l fució f( por l práol que ps por tres putos i i Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

4 ( i, i, ( i, i, ( i, i. El vlor del áre proimd, somred e l figur, se clcul co u poco más de trjo el resultdo es [ ], que se demuestr e seguid. i i i DESARROLLO DEL MODELO DE SIMPSON: Pr efectos de l demostrció del método de Simpso, se sume cd su áre como u pequeño rco de práol de l form c co límites sí: Limite iferior e, limite superior e, por ede l mitd de l pequeñ su áre se ecotrrá e el Puto, tl como se ilustr e Fig.. Fig. Se procede itegrr dico rco de práol etre los límites descritos se tedrá: ( c d se tiee: c, reemplzdo cd uo de los límites, c c tedrá:, or destruedo prétesis se c c c, simplificdo u poco l solució se otedrá l ecució que se muestr cotiució. Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

5 ( c d [ 6c] Ec Fig. Oservdo l Fig, e lo que respect ls otcioes, se puede decir que f ( f (, f ( f ( i i i i, f ( f ( i i, Etoces se podrí oteer el siguiete sistems de ecucioes, evludo l ecució geerl de l práol c e cd uo de los putos de l pequeñ su áre [,-]: f ( c, se puede tomr est ltur como f ( i f ( c, se tom est ltur como f ( i f ( c, est ltur como f ( i De lo terior se puede decir que: c Ec Retomdo l Ec se puede epresr igulmete de l siguiete mer: c Ec ( c d [ c c] Ec Reemplzdo ls ecucioes e l Ec se tiee que: Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 5 de 8

6 [ ] ( c d A Ec 5 Iterpretdo l ecució Ec 5 co se e l su áre selecciod A pr desrrollr el modelo de Simpso, se dirí que el áre del segmeto es igul l sum de l ltur o fució evlud e el ldo izquierdo ms cutro veces l fució evlud e l prte cetrl de l su áre ms l fució evlud e el ldo dereco de l su áre, todo esto multiplicdo por el co del su áre dividido por. L simple ispecció visul de est figur l que descrie el procedimieto de los trpecios o los rectágulos, cofirm que el método de Simpso deerá ser muco más ecto que los procedimietos meciodos. Si se deomi como, f ( i i se represet medite u poliomio de Lgrge de segudo orde, etoces l itegrl es: I X X ( ( f ( ( ( ( ( f ( d ( ( ( ( f ( ( ( Después de itegrr de reorder los térmios, result l siguiete ecució: I f ( f ( f ( ( Ec 5 6 Si se tom ( / 6 /, f (, f (, f (, etoces se tiee como solució de l su áre I (, que serí lo mismo mostrdo e l ecució 5. Aor, se se que el áre que se dese ecotrr serí l sumtori de tods ls su áres que se clcule. Al igul que los métodos de l regl trpezoidl de l regl rectgulr, etre ms su áres teg l itegrl clculr, ms ecto será el vlor ecotrdo. El áre proimd e el itervlo [, ] es: Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 6 de 8

7 Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 7 de 8 A A A A d f... (, or dejdo est ecució e térmios de l ecució 5 se tedrá: (... ( ( ( d f Simplificdo / sumdo los térmios se tedrá:... ( ( 6 5 d f, dode serí el úmero de su áres e el cul se dividido el áre que se dese clculr. A mer de ejemplo, si el áre clculr se uier dividido e Su áres etoces e térmios de l solució seri: ( ( d f Bie, depediedo como se grupe los térmios se llegrí epresr l solució de dos mers: [ ] ( ( ( d f Ec 6 ó [ ] ( ( ( d f Ec 7 Los primeros térmios del prétesis, cotiee los vlores de l evlució de l fució e los etremos, el segudo, l sum de los térmios de ídice impr, el tercero l sum de los térmios de ídice pr. Ls dos ecucioes se pudier represetr e térmios de sumtoris de l siguiete mer. L Ec 6: ( i i i i d f Ec 8

8 L Ec 7: f ( d [ ] i i Ec 9 i Pr efectos de progrmció e lo que respect mi cocepto persol, es mejor l solució represetd como Ec 9 co ell se cotiú el trjo. H que teer e cuet que es el úmero de su áres e l que se divide el áre totl clculr d /. Aor lo que se cooce e u mometo determido, cudo se dese clculr el vlor de l itegrl defiid, so los siguietes térmios: Límite iferior Límite Superior Número de su áres f ( L fució sore l cul se dese itegrr. Co los vlores teriores se pude clculr el vlor de d sí: d /. d ( / E ecesrio etoces dejr l ecució e térmios de f (,, d ó sí: Los primeros térmios: f ( f ( Alizdo or los térmios impres: f ( d /, f ( d /, f ( 5d /, por tto se tedrí de mer geerl: 5 i f ( (i d / ó f ( (i i Ec Alizdo or los térmios pres: f ( d, f ( d, f ( d, por tto se tedrí de mer geerl: 6 f ( id i ó f ( i i Ec Dejdo l ecució Ec 9 e térmios de lo epresdo e ls ecucioes Ec Ec se tedrá e form defiitiv l solució sí: Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 8 de 8

9 f ( d f ( f ( [ ] f ( (i d / f ( id Ec i Ejemplos Ejemplo : Utilizr l regl de Simpso pr proimr l itegrl: Teg e cuet que el vlor rel es.66 e d. Fig. Solució: Usdo l fórmul directmete co los siguietes dtos: f ( Si se sume el áre clculr como u solo rco de práol, se tedrí etoces que d ( / ó ( d /. 5 plicdo l ecució Ec 5 se tiee que: e d [ ] A e e.5 [ e e e ].5 e d.5 d [ (.8.78] Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 9 de 8

10 e d.757 Aor si compr los resultdos oteidos l plicr l regl del Trpecio o l regl de los Rectágulos, co respecto l vlor rel l vlor oteido por l regl de Simpso tedrí que lizr lo siguiete: Itegrl Vlor Rel Rectgulr Trpezoidl Simpso f ( e Er.% 7.%.9% E Vle l pe clrr que pr los tres métodos se trjó u sol su áre. Desrrolldo e MtL se tedrí el siguiete resultdo.»sms»fep(^;»itegrlit(f itegrl -/*i*pi^(/*erf(i* ERF Error de l fució. Y ERF(X es el error de l fució pr cd elemeto de X. X dee ser rel. El error de l fució está defiido como: erf( /sqrt(pi * itegrl desde de ep(-t^ dt. Alice lo terior. Ejemplo : Aplicr l regl de Simpso pr proimr l itegrl se sudivide el áre totl e 5 itervlos. e d si Solució: E este cso, se idetific 5, ls prticioes geerds estrí delimitds por los putos P{.,.,.,.6,.8,.} sore el eje. Así, plicdo l fórmul: f ( d ( Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

11 Si se sume el áre clculr como cico pequeños rcos de práol, se tedrí etoces que d ( /5. ó ( d /. plicdo l ecució Ec 7 se tiee que: f d [ ( ( ] ( f ( e e, ( f e. 78 Los térmios impres se ecotrrí de cuerdo co l fórmul f ( (i f ( sí: i i. f ( f (. e.. f ( f (. e.9.5 f (5 f (.5 e 5.7 f (7 f (.7 e f (9 f (.9 e Y l sumtori igul : Los térmios pres se ecotrrí de cuerdo l fórmul i f ( sí:. f ( f (. e.8. f ( f (. e f ( 6 f (.6 e.8 f ( 8 f (.8 e 8 f ( f ( e Y l sumtori igul : Por tto el vlor de l itegrl será igul :. f ( d.78 (7.685 (8.6. [ ] 67 i Itegrl Vlor Rel Rectgulr Trpezoidl Simpso f ( e Er.685%.75%.68% E Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

12 Ejemplo : Usr l regl de Simpso pr proimr l itegrl: e d. Solució: Igul que e el ejemplo terior, se sustitue los dtos de mer direct e l fórmul de Simpso dividiedo el áre e cutro ( su áres. E este cso, se tiee los dtos:,, f ( e / d (-/.5 d/.5 Por lo tto, se tiee que: f d ( [ ( ] ( f ( e / e /.695, f ( e / Los térmios impres se ecotrrí de cuerdo co l fórmul f ( (i f ( sí: i i.5 f ( f (.5 e / f ( f (.75 e / f ( 5 f (.5 e / f ( 7 f (.75 e / Y l sumtori igul : Los térmios pres se ecotrrí de cuerdo l fórmul f ( i i sí:.5 f ( f (.5 e / f ( f (. e / f ( 6 f (.5 e / f ( 8 f (. e / Y l sumtori igul :.679 Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

13 Por tto el vlor de l itegrl será igul :.5 f ( d (9.795 (.679 [ ] Ejemplo : Evlur l fució f ( d, usdo l siguiete tl: f( Solució. Fig 5 Oserve e l fig 5 que e el itervlo [,.] se puede plicr l regl del trpecio, e el itervlo [.,.7] l regl de Simpso de /8 e el itervlo [.7,.] l regl de Simpso de /. Así, se tiee ls siguietes itegrles:.. I f ( d [ f ( f (.] I f ( d [ f (. f (. f (.5 f (.7] I f ( d [ f (.7 f (.95 f (.] Filmete, l itegrl uscd es l sum de ls tres itegrles teriores: Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

14 f ( d Ejemplo 5: Clcul l itegrl f ( d, usdo l siguiete tl de dtos: f( Si se desrroll l gráfic co Mtl justdo los dtos de l tl terior medite splies cúicos, se tedrí lo siguiete:» [ ];» [ ];» -:.:.5;» splie(,,;» plot(,,'o',, Fig. 6 Solució comido vrios métodos de itegrció. Pr este cso, se puede plicr l regl de Simpso de / e el itervlo [-,], l regl del trpecio e el itervlo [,] l regl de Simpso de /8 e el itervlo [,.5]. Así, se tiee ls siguietes itegrles: I I ( f ( d 6 [ f ( f (.5 f (]. 667 f ( d [ f ( f ( ]. 5 Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi de 8

15 I.5.5 f ( d f 8 [ f ( f (.75 f (.5 (.5]. 98 Por lo tto, l itegrl uscd es l sum de ls tres itegrles teriores:.5 f ( d Vle l pe cometr que o siempre tiee que suceder que se plique ectmete ls tres regls. E relidd, esto depede de cómo se ecuetr espcidos los itervlos de l tl de dtos l form que pued teer l curv. Ejemplo 6: Clculr l siguiete Itegrl: jo l curv mostrd e l Fig. 7 etre los límites. Itervlo: Método: Regl de Simpso su itervlos, dode d (-/. log( d, correspodiete l áre Se utiliz l regl de Simpso co d. ó.5, su itervlos l tl l( de vlores pr f ( d Fig. 7 Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 5 de 8

16 TABLA de vlores ( f i.. Y Y Y Y..855 Y Y5 El resultdo plicdo l siguiete fórmul serí: (Teg e cuet que solo se trj su áres I f d [ ( ( ] ( I.5/ * ( * ( * ( I Progrm e diferetes legujes Progrmció del método de Simpso e leguje C. Supog que l fució f evlú l fució f(. Etoces l siguiete fórmul permite clculr el áre de cd u de ls seccioes: f ( d f ( f ( i [ f ( (i d / f ( id ] Progrm e leguje C: Se supoe que l fució re se dee llmr co los prámetros,, que serí límite iferior, límite superior úmero de su áres respectivmete. doule re(doule, doule, it { doule d (-/; doule sum f(-f(; for (it i; i<; i { doule impr(*i-*d; doule pr (i*d; sum *f(impr*f(pr; } retur d*sum/6; } doule f(doule { doule ;... // Se descriirí l fució l cul se le dese clculr l itegrl retur ; } Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 6 de 8

17 Est solució es álog l que se progrmó pr uscr los ceros de u fució. El prolem de est solució, es que cudo se dese clculr l itegrl de vris fucioes distits, que progrmr u fució pr clculr el áre de cd fució. Si se progrm pr MtL el progrm serí fuctio resimpso(,, d(-/; sum f(-f( for i:, impr(*i-*d/ pr i*d sumsum *f(impr*f(pr; ed re d*sum/6 Y l fució f estrí dd por (Como cso prticulr se coloc ^-, pero solo cmie l fució f le itegr lo que desee: fuctio f( ^-; %Puede cmir est fució L jerrquí de clses pr C. Se cre u clse se strct deomid Simpso, que defi l fució miemro itegrl que clcul l itegrl defiid de culquier fució f( por el procedimieto de Simpso. pulic strct clss Simpso { pulic doule itegrl(doule, doule, it { doule d(-/; doule sumf(-f(; for(it i; i<; i { sum*f((*i-*d *f(i*d; } retur (sum*d/6; } strct pulic doule f(doule ; } E l clse derivd Fucio de Simpso se defiirá l fució f( cu itegrl se dese clculr. Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 7 de 8

18 pulic clss Fucio eteds Simpso { pulic doule f(doule { retur Mt.cos(; } } Pr llr l itegrl defiid de est fució etre los límites p /, se cre u ojeto de l clse Fucio medite ew se llm desde este ojeto l fució itegrl psádole e el primer rgumeto el límite iferior, e el segudo el límite superior, pi/, por último, el úmero de divisioes del itervlo. doule resultdoew Fucio(.itegrl(., Mt.PI/, ; Sstem.out.pritl("itegrl "resultdo; Comprdo los resultdos oteidos por este procedimieto por el procedimieto de los trpecios se puede compror l mor ectitud de éste último. Uiversidd Surcolomi Neiv Huil - Colomi 8 de 8