Integrales impropias

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1 Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección extenderemos el cálculo de l integrl de Riemnn :. Funciones definids en intervlos no cotdos: integrles impropis de primer espécie. 2. Funciones no cotds: integrles impropis de segund especie.

2 Integrles impropis de primer especie: Ls integrles de este tipo son de l form + f, + f, e siendo f cotd en el intervlo correspondiente. f, Observción Es evidente que ls propieddes de l integrl permiten reducir su estudio l cso siendo f cotd en [, + ). + f, Supongmos que se conoce un primitiv F de l función f. Entonces, + x I = f = f = (F (x ) F ()). x + x + 2

3 Definición Se f : [, + ) R un función cotd.. Se dice que + f es convergente si, y sólo si, f es Riemnn integrble pr todo intervlo [, x], existe el límite y es un número rel. x + x En este cso diremos que l función f es Riemnn integrble en el intervlo [, + ). 2. Se dice que + f es divergente si, y sólo si, f es Riemnn integrble pr todo intervlo [, x], existe el límite y no es finito. x + x 3. Se dice que + f es oscilnte en el cso en que f no se Riemnn integrble en un intervlo [, x] o no exist el límite x + x f f f. Observción 2 L ide que subyce trs ls integrles impropis de primer especie es integrr hst un punto x rbitrrio y, después, hcer tender x l infinito. 3

4 Ejemplo Ddo > 0, estudiremos el crácter de l integrl impropi de primer especie + x s dx, según los vlores del prámetro s R. Como I = + tenemos que, x s dx = x x + x s dx = x + [ ] x s x s, s, ), s =, ( ln x x +. Si s >, entonces es convergente y I = s s. 2. Si s, I es divergente. Si f : [, + ) R es tl que f 0 y es Riemnn integrble en todo intervlo [, x], entonces f es Riemnn integrble en [, + ) si, ysólo si, existe un M 0 tl que pr todo x se tiene que x f M. Los principles criterios que tenemos pr verigur si un integrl impropi de primer especie es convergente se resumen en los siguientes resultdos. Teorem (Criterio de comprción) Se f : [, + ) R tl que f es Riemnn integrble en todo intervlo de l form [, x]. Si existe g : [, + ) R tl que pr todo x perteneciente [, + ) se tiene que 0 f(x) g(x) y demás g es Riemnn integrble en [, + ), entonces f es Riemnn integrble en [, + ). 4

5 Si utilizmos ls funciones del ejemplo, como corolrio tenemos lo siguiente: Corolrio Se f : [, + ) R tl que f es Riemnn integrble en todo intervlo de l form [, x]. Entonces:. Si pr todo x perteneciente [, + ) se tiene que 0 f(x) x s con s > entonces f es Riemnn integrble en [, + ). 2. Si pr todo x perteneciente [, + ) se tiene que f(x) x s con s, entonces f es divergente en [, + ). Teorem 2 (Criterio de comprción por pso l límite) Sen f, g : [, + ) R tles que son Riemnn integrbles en todo intervlo de l form [, x] y, demás, f 0, g > 0. Se entonces: α = f(x) x + g(x),. Si α = 0 y g es Riemnn integrble en [, + ), tenemos que f es Riemnn integrble en [, + ). 2. Si α = +, tenemos que, si f es Riemnn integrble en [, + ), se verific que g es Riemnn integrble en [, + ). 3. Si α es un número rel no nulo, tenemos que f es Riemnn integrble en [, + ) si, ysólo si, g es Riemnn integrble en [, + ). 5

6 Observción 3 Nótese que en ls condiciones del teorem nterior tmbión se tiene que. Si α = 0 y l integrl de f es divergente en [, + ), tenemos que l integrl de g es divergente en [, + ). 2. Si α = +, tenemos que, si l integrl de g es divergente en [, + ), se verific que l integrl de f es divergente en [, + ). 3. Si α es un número rel no nulo, tenemos que l integrl de f es divergente en [, + ) si, ysólo si, l integrl de g es divergente en [, + ). Tmbión en este cso, si utilizmos ls funciones del ejemplo, obtenemos el siguiente corolrio: Corolrio 2 Se f : [, + ) R tl que f es Riemnn integrble en todo intervlo de l form [, x] y, demás, f 0. Se f(x) α =, x + x s entonces:. Si α es finito y s >, entonces f es Riemnn integrble en [, + ). 2. Si α es no nulo y s <, entonces l integrl es divergente. + f(x) dx 6

7 Ejemplo 2 Pr l integrl tenemos que I = + x 2 (2 + x 2 ) 2 dx. x + x 2 (2 + x 2 ) 2 = x + x s x 2+s 4 + 2x 2 + x 4, y este último límite es R, si s = 2. Entonces l integrl es convergente y x 2 f(x) = (2 + x 2 ) 2 es Riemnn integrble en [, + ). 7

8 Integrles impropis de segund especie: En este cso, nos encontrremos con funciones definids en intervlos tles que tienen un comportmiento sintótico en lguno de sus extremos. En el cso de que l función presentse un comportmiento similr en otros puntos del dominio (por ejemplo, un intevlo de extremos, b), y estos fuesen x,, x n, plicndo ls propieddes de l integrl, tenemos que x xi+ f = f + + f + + f x i x n con lo que podemos reducir el estudio l cso dondesólo tengmos síntots en los extremos del intervlo. Es más, podemos pensr que l síntotsólo está en un extremo del intervlo y que pr todo c (, b), se tiene que f = c f + c. Pr este cso, si existiese un primitiv F de f, entonces,. Si f(x) no está cotd en b: f(x) dx = x b x 2. Si f(x) no está cotd en : f(x) dx = x + f(x) dx = x b [F (x ) F ()]. x f(x) dx = x +[F (b) F (x )]. Por lo tnto, podemos firmr que l ide básic que inspir el cálculo de ls integrles impropis de segund especie es integrr hst un punto x rbitrrio en el interior de [, b) y, después, hcer tender x l extremo de integrción donde l función se no cotd. 8

9 Definición 2 Se f : [, b) R un función tl que f(x) = x b y que no present más síntots verticles en [, b). Entonces:. Se dirá que l integrl f es convergente, si f es Riemnn integrble en [, x] pr todo x [, b), existe el límite y es un número rel. x b x f(x) dx En este cso se dirá que l función f es Riemnn integrble en [, b). 2. Se dirá que l integrl f es divergente, si f es Riemnn integrble en [, x] pr todo x [, b), existe el límite y no es finito. x b x f(x) dx 3. Se dirá que l integrl f es oscilnte en el cso en que f no se Riemnn integrble en un intervlo [, x], con x [, b), o no exist el límite x b x f(x) dx. 9

10 De l mism form podrímos definir l integrbilidd cundo l síntot está en el extremo del intervlo de definición de l función (en este cso, f : (, b] R es un función tl que f(x) = y no present más síntots verticles en (, b]). x +. Se dirá que l integrl f es convergente, si f es Riemnn integrble en [x, b] pr todo x (, b], existe el límite f(x) dx x + x y es un número rel. En este cso se dirá que l función f es Riemnn integrble en (, b]. 2. Se dirá que l integrl f es divergente, si f es Riemnn integrble en [x, b] pr todo x (, b], existe el límite y no es finito. x + x f(x) dx 3. Se dirá que l integrl f es oscilnte en el cso en que f no se Riemnn integrble en un intervlo [x, b], con x (, b], o no exist el límite x + x f(x) dx. 0

11 Ejemplo 3 Vemos un ejemplo en el cul precen uns funciones que posteriormente servirán como funciones de referenci pr estudir l convergenci, o no, de numeross integrles impropis de segund especie. Ests funciones son de l form f(x) = (c x) s, f(x) = (x c) s.. En el cso de no cotción en el extremo superior de integrción, x I = dx = (b x) s x b (b x) dx s (b x ) s (b ) s, s, = ( s ) s x b b ln, s =, b x (b ) s, s <, por tnto integrl convergente, = s, s, como consecuenci integrl divergente. 2. En el cso de no cotción en el extremo inferior de integrción, I = (x ) dx s se puede probr que, l igul que en el cso nterior, l integrl es convergente si, ysólo si, s <.

12 Al igul que pr ls integrles de primer especie, pr ls de segund tenemos un serie de resultdos que nos permiten sber cundo un integrl de este tipo es convergente. Teorem 3 Se f : [, b) R un función tl que f(x) = x b y que no present más síntots verticles en [, b). Supongmos que, pr todo x [, b), f es Riemnn integrble en [, x] y que f 0. Entonces, f es Riemnn integrble en [, b) si, ysólo si, existe un M 0 tl que x f M pr todo x [, b). Análogmente, se f : (, b] R un función tl que f(x) = x + y que no present más síntots verticles en (, b]. Supongmos que, pr todo x (, b], f es Riemnn integrble en [x, b] y que f 0. Entonces, f es Riemnn integrble en (, b] si, ysólo si, existe un M 0 tl que x f M pr todo x (, b]. Obvimente, en culquier de los dos csos, cundo existe, b f M. Teorem 4 (Criterio de comprción) Se f : [, b) R tl que es Riemnn integrble en todo intervlo de l form [, x] con x [, b). Si existe g : [, b) R tl que pr todo x perteneciente [, b), se tiene que 0 f(x) g(x) y, demás, g es Riemnn integrble en [, b), entonces f es Riemnn integrble en [, b). Se f : (, b] R tl que es Riemnn integrble en todo intervlo de l form [x, b] con x (, b]. Si existe g : (, b] R tl que pr todo x perteneciente (, b], se tiene que 0 f(x) g(x) y, demás, g es Riemnn integrble en (, b], entonces f es Riemnn integrble en (, b]. Por ejemplo, plicndo el nterior criterio con ls funciones del ejemplo 3, tenemos que si f : [, b) R es Riemnn integrble en todo intervlo de l form [, x] con x [, b) y f(x) (b x) s, s <, 2

13 entonces f es Riemnn integrble en [, b). Si, por otro ldo, f(x) (b x) s, s, entonces f es divergente. De l mism form, tenemos que si f : (, b] R es Riemnn integrble en todo intervlo de l form [x, b] con x (, b] y f(x) (x ) s, s <, entonces f es Riemnn integrble en (, b]. Si por otro ldo, entonces f(x) f es divergente. (x ) s, s, Teorem 5 (Criterio de comprción por pso l límite) Sen f, g : [, b) R tles que son Riemnn integrbles en todo intervlo de l form [, x], con x [, b) y, demás, f 0, g > 0. Se f(x) α = x b g(x) entonces:. Si α = 0 y g es Riemnn integrble en [, b) tenemos que f es Riemnn integrble en [, b). 2. Si α = + tenemos que si f es Riemnn integrble en [, b), se verific que g es Riemnn integrble en [, b). 3. Si α es un número rel no nulo tenemos que f es Riemnn integrble en [, b) si, ysólo si, g es Riemnn integrble en [, b). 3

14 Aplicndo este resultdo ls funciones del ejemplo 3 se tiene que, pr un función no cotd en el extremo superior b del intervlo de integrción, ddo el límite entonces: α = x b f(x) (b x) s,. Si α es finito y s <, entonces l integrl converge. 2. Si α es no nulo y s, entonces l integrl diverge. f(x) dx f(x) dx De l mism form tenemos resultdos nálogos pr el otro extremo del intervlo. Teorem 6 (Criterio de comprción por pso l límite) Sen f, g : (, b] R tles que son Riemnn integrbles en todo intervlo de l form [x, b] y, demás, f 0, g > 0. Se entonces: α = x + f(x) g(x),. Si α = 0 y g es Riemnn integrble en (, b] tenemos que f es Riemnn integrble en (, b]. 2. Si α = +, tenemos que, si f es Riemnn integrble en (, b], se verific que g es Riemnn integrble en (, b]. 3. Si α es un número rel no nulo, tenemos que f es Riemnn integrble en (, b] si, ysólo si, g es Riemnn integrble en (, b]. 4

15 Aplicndo este resultdo ls funciones del ejemplo 3 se tiene que, pr un función no cotd en el extremo inferior del intervlo de integrción, ddo el límite entonces: α = x + f(x) (x ) s,. Si α es finito y s <, entonces l integrl converge. 2. Si α es no nulo y s, entonces l integrl diverge. Ejemplo 4 En este ejemplo estudiremos el crácter de I = 3 dx (x )(9 x2 ). f(x) dx f(x) dx Como podemos observr l integrl present problems en los puntos x = y x = 3. Por tnto, con objeto de tener problems en unsólo extremo de integrción se hce l decomposición 3 dx 2 (x )(9 x2 ) = dx 3 (x )(9 x2 ) + estudindo por seprdo cd un de ls integrles.. L primer integrl I = 2 2 dx (x )(9 x2 ), dx (x )(9 x2 ) present problems en el extremo inferior del intervlo de integrción. Y que x + (x )(9 x2 ) = (x )s 2 x + (9 x 2 ) 2, (x ) s 5

16 pr s = 2, el vlor del límite es un número rel (/ 8) y, por lo tnto, I es convergente. 3 dx 2. L segund integrl I = es un integrl de un función no cotd en el extremo superior 2 (x )(9 x2 ) x = 3. Y que x 3 (x )(9 x2 ) = x 3 (3 x)s 2 (3 + x) 2 (x ) 2, (3 x) s tomndo s = 2, se tiene que el vlor del límite es un número rel (/(2 3)). Así pues, I 2 tmbién es convergente. Finlmente, el hecho de ser convergentes I e I 2, implic que l integrl de prtid es convergente. 6

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