Física General III Ley de Gauss Optaciano Vásquez García CAPITULO III LEY DE GAUSS

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1 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía CAPITULO III LY D GAUSS 9

2 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía 3.1 INTRODUCCIÓN n el capitulo anteio apendimos el significado del campo eléctico y como emplea la ley de Coulomb paa detemina el campo eléctico de distibuciones de caga. n este capítulo se descibiá un método altenativo paa evalua los campos elécticos, esto es, el uso de la Ley de Gauss. sta ley es una expesión fundamental de la ley de Coulomb y constituye una de las leyes fundamentales del electomagnetismo. La aplicación de la ley de Gauss facilita en muchos casos el cálculo de los campos elécticos. n paticula simplifica mucho el cálculo del campo eléctico cuando la distibución pesenta una alta simetía. Además la aplicación de la ley de Gauss pemite analiza el compotamiento de los conductoes. Paa aplica la ley de Gauss se necesita en pime luga el conocimiento del flujo eléctico, magnitud física análoga a aquel flujo que se estudió en mecánica de fluidos. 3. FLUJO LCTRICO l estudio cualitativo de las líneas de fueza fue ealizado ampliamente en el Capítulo II. Sin embago, es necesaio pone de manifiesto la utilidad de estas líneas, denominadas ahoa líneas de flujo eléctico, apoyándonos en una base cuantitativa, explicándose como deben tazase. Al hace esto, debe tenese en cuenta que las líneas de flujo eléctico son sólo epesentación ya que no tienen existia física eal, su justificación es su utilidad como ayuda paa concebi las situaciones y ejecuta los cálculos. Las líneas deben tazase de tal manea que indiquen la diección de la fueza eléctica sobe una caga de pueba positiva estacionaia. l único equisito es que el númeo de líneas N que pasen a tavés del áea unitaia pependicula A a las líneas sea numéicamente igual a la intensidad de campo eléctico. s deci # de líneas N A A (3.1) Una foma gáfica de la situación expesada anteiomente se muesta en la figua 3..1, Figua 3..1 Líneas de fueza que ataviesan una supeficie pependicula Flujo de un campo unifome a tavés de una supeficie plana Se define el flujo eléctico (Φ ), que ataviesa una supeficie pependicula al campo como el poducto del campo eléctico que ataviesa la supeficie po unidad de áea. Puesto que la intensidad del campo eléctico es popocional al númeo de líneas de fueza que ataviesa la supeficie, el flujo eléctico es po tanto popocional al númeo de líneas que ataviesan el áea. Matemáticamente el flujo se puede expesa como A (3.) Las unidades del flujo eléctico en el sistema intenacional de unidades es el Nm /C. Po oto lado si el áea A no es pependicula a las líneas de campo, como lo muesta en la figua 3.., debe obsevase que en este caso las líneas de flujo eléctico ozan la supeficie y ninguna ingesa o sale de la supeficie, entonces (3.3) 91

3 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Figua 3... Las líneas de fueza no ataviesan la supeficie po tanto el flujo es nulo Si la supeficie en consideación no es pependicula a las líneas de fueza, el flujo eléctico que pasa a tavés de ella debe se meno que el dado po la ecuación (3.). sto puede vese en la figua 3..3 en donde la supeficie de áea A no es pependicula a sino que se uenta fomando un ángulo θ con el campo eléctico. Del gáfico se obseva que el númeo de líneas de fueza que ataviesan el áea A es igual al númeo de líneas de fueza que ataviesan el áea poyectada A, áea que sí es pependicula al campo eléctico. Las áeas se uentan elacionadas po. (a) (b) Figua 3..3 (a) Líneas de fueza atavesando una supeficie inclinada. l vecto unitaio ángulo θ con el campo eléctico. (b) vista de pefil, foma un Debido a que el flujo a tavés del áea es el mismo que el flujo a tavés de A se concluye que el flujo a tavés de una supeficie inclinada no pependicula al campo eléctico, es A Acos (3.4) Teniendo en cuenta la definición del poducto escala, la ecuación (3.4) se escibe Donde, es un vecto unitaio pependicula al áea A.. A. na (3.5) 3.. Flujo en geneal. La expesión paa el flujo eléctico puede ahoa se genealizado paa el caso de campos en geneal que vaían espacialmente y que pasan a tavés de supeficies que no son planas. Paa esto, dividimos a la supeficie en un gan númeo de elementos muy pequeños (incemento de áea) que en buena apoximación pueden considease planos con un vecto áea dado po, donde es el incemento de áea del elemento y es un vecto unitaio pependicula a dicho elemento en dicha posición como se muesta en la figua Paa elementos suficientemente pequeños puede considease a éstos como si fuean planos y po tanto podemos despecia la vaiación del campo eléctico en todo el elemento. Paa cada uno de los elementos, el flujo eléctico, a tavés de él está dado po la ecuación., i iai cos i. ni Ai i. n Ai (3.6) 9

4 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Figua 3..4 Flujo eléctico a tavés de una supeficie de foma abitaia l flujo neto a tavés de toda la supeficie es la suma de los flujos de cada uno de los elementos extendida a todos los elementos. Po oto lado, si el áea A de cada uno de éstos elementos se hace tende a ceo, entonces el númeo de elementos tiende al infinito, esta suma tiende a se una integal. Po consiguiente, el flujo eléctico se define como lim (. ). (3.7) i niai nda Ai o S La integal de la ecuación (3.7) es un integal de supeficie y po ello debe evaluase sobe toda la supeficie hipotética en estudio. n el caso de una supeficie ceada como la mostada en la figua 3..5, los vectoes, apuntan en difeentes diecciones paa los divesos elementos de la supeficie. n cada punto, estos vectoes son nomales a la supeficie y po conveniia siempe apuntan hacia afuea de la supeficie. Así en el elemento indicada con el númeo 1 el campo eléctico está diigido hacia el inteio de la supeficie y como tal el ángulo está compendido ente en este caso el flujo eléctico es negativo, en el elemento las líneas de fueza ozan la supeficie po tanto es pependicula al vecto unitaio nomal y aquí, el flujo en este elemento es nulo. n el punto 3, las líneas de fueza están diigidas saliendo de la supeficie y como tal el vecto unitaio nomal a la supeficie y el vecto campo foman un ángulo agudo en estas condiciones el flujo es positivo. Figua 3..5 Flujo eléctico a tavés de una supeficie ceada Debe obsevase además que debido a que el flujo neto es popocional al númeo total de líneas que pasan a tavés de la supeficie, entonces el flujo neto es igual númeo de líneas que salen de la supeficie menos el 93

5 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía númeo de líneas que entan en la supeficie. Po lo tanto, si el númeo de líneas que ingesan a la supeficie es meno que las que salen, entonces el flujo es positivo (ve figua 3..6a), po el contaio si ingesan más líneas que las que salen el flujo es negativo (figua 3..6b) y finalmente, si el númeo de líneas que ingesan en la supeficie es igual al númeo de líneas que salen, entonces el flujo es nulo (figua 3..6c). l flujo neto a tavés de una supeficie ceada pude escibise como Figua 3..6 (a) Flujo eléctico positivo, (b) flujo negativo y (c) flujo nulo Po lo tanto, el flujo eléctico total a tavés de una supeficie ceada se uenta sumando todos los flujos asociados a los pequeños incementos de áea. Cuando los incementos son muy pequeños, es deci, cuando los elementos son infinitesimales el flujo eléctico se define como: lim (. ). (3.8) i niai nda Ai o s jemplo 3.1. Flujo eléctico a tavés de un plano. Una hoja plana de papel con un áea de,5 m, está oientada de tal modo que la nomal a la hoja foma un ángulo de 6 con un campo eléctico unifome cuya magnitud es de 14 N/C. (a) Detemine la magnitud del flujo eléctico a tavés de la hoja, (b) Depende su espuesta al inciso (a) de la foma de la hoja? Poqué?. (c) Con qué ángulo θ ente la nomal a la hoja y el campo eléctico es la magnitud del flujo a tavés de la hoja i) máximo, ii) mínimo? Solución. Pate (a). Asumamos que la hoja tiene la foma ectangula y está ubicada como se muesta e la figua l flujo eléctico seá. na cos A o (14 N / C)(cos6 )(,5 m ) 1,75 N. m / C Pate (b). l flujo NO depende de la foma de la hoja ya que depende únicamente del áea, del campo eléctico y del áea de la hoja de papel. 94

6 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Pate (c). n este ejemplo al se el áea y el campo eléctico constantes, entonces es el ángulo el que da el flujo máximo y mínimo: i) Flujo máximo. ste flujo es máximo cuando θ =, es deci cuando el campo eléctico es pependicula al áea na A N C m,max. cos (14 / )(1/ )(, 5 ),max 3,5 N. m / C ii) Flujo mínimo. ste flujo es máximo cuando θ = 9, es deci cuando el campo eléctico es paalelo al áea na A N C m,min. (cos9 ) (14 / )()(,5 ) jemplo 3.. Flujo eléctico de un campo vaiable a tavés de un plano. (a) Detemina el flujo eléctico a tavés de una supeficie cuadada de lado, debido a una caga + localizada a una distancia pependicula desde el cento del plano como se muesta en la figua. (b) Utilizando el esultado obtenido en la pate (a), si la caga es + es ahoa localizada en el cento del cubo como se muesta en la figua. Cuál es flujo total emegente del cubo? Solución Pate (a). l campo eléctico paa una caga puntual positiva +. esta dado po ˆ ( xi yj zk ) ( x y z ) 3 3/ Sobe la supeficie S, y el elemnto de áea es. ntonces el flujo a tavés del áea difeial seá l flujo a tavés de toda el áea seá d. da ( xi lj zk ).( dxdzj) 3/ 4 ( x l z ) d ldxdz 3/ 4 ( x l z ) 95

7 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía l l l dz l l z dx dx 4 ( x l z ) 4 ( x l )( x l z ) l l 3/ l 1/ l l l ldx 1 x tg 1/ l ( x l )( x l ) x l l 1 1 tg tg l l Pate (b) De los agumentos de simetía, el flujo a tavés de cada caa seá el mismo. Po lo tanto el flujo a tavés del cubo completo seá seis veces el flujo a tavés una caa, es deci, cubo 6 6 jemplo 3.3. Flujo eléctico a tavés de una supeficie cilíndica Un campo eléctico vale paa x > y, paa x <. Un cilindo cicula ecto de cm de longitud y 5 cm de adio tiene su cento en el oigen y su eje está a lo lago del eje x de modo que una de las caas está en x = +1 cm y la ota x = -1 cm. (a) Cuál es el flujo saliente que ataviesa cada caa?. (b) Cuál es el flujo a tavés de la supeficie lateal del cilindo?. (c) Cuál es el flujo neto que ataviesa toda la supeficie cilíndica?. Solución n la figua se muesta la supeficie cilíndica Flujo a tavés de S 1. Flujo a tavés de S.. n da ( i ).( i ) da ( ) (,5) S1 S1 S1 S1 1 1,57 N. m / 1,57 N. m / 96 C. n da ( i ).( i ) da ( ) (,5) C

8 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Flujo a tavés de S n3da ( i ).( j) da ( )( i. j) S1 S1 3 N. m / C l flujo neto a tavés de la supeficie cilíndica completa seá Neto Neto N. m / C 1,57 N. m / C 1,57 N. m / C 3.3 LY D GAUSS. La ley de Gauss fomulada po uno de los más gandes matemáticos de todos los tiempos Kal Fiedich Gauss ( ), elaciona el flujo eléctico a tavés de una supeficie ceada, llamada supeficie gaussiana, con la caga total eada po la supeficie existiendo ente ellos una popocionalidad. Paa una supeficie ceada, podemos elimina el signo ambiguo en el flujo paa mosta la oientación asociada con la nomal hacia el exteio Caga puntual en el cento de una esfea Nosotos desaollaemos la ley de Gauss gadualmente, pimeo consideaemos el caso de una caga puntual q en el cento de una supeficie esféica Gaussiana de adio R, tal como se muesta en la figua l flujo eléctico a tavés del áea da, está dado po d. da. nda (a) Paa detemina el flujo neto a tavés de toda la supeficie esféica debe sumase (integase), la ecuación (a) sobe toda el áea de la supeficie esféica, esto es. nda (b) S Figua Flujo eléctico a tavés de una supeficie esféica imaginaia de adio debido a una caga puntual. n este caso el campo eléctico es adial y según la ley de Coulomb esta dado po. Aquí la integal se evalúa sobe la supeficie de adio R. es un vecto unitaio nomal a la supeficie esféica, peo también es adial como lo es el vecto unitaio. Debido a que el adio de la supeficie esféica Gaussiana pemanece constante y de acuedo a la definición de poducto escala se cumple que, entonces se tiene 97

9 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía kq 1. nda e. nda kq e. nda R R S S S kq R S da La evaluación de la integal sobe el áea de la supeficie gaussiana y teniendo en cuenta que, obtenemos kq kq da R kq R (4 ) 4 R S q (3.9) La ecuación (3.9) indica que el flujo neto a tavés de una supeficie gaussiana esféica con una caga puntual en su ceto, es independiente del adio R de la supeficie esféica. Depende únicamente de la caga q eada en la supeficie. ste esultado puede intepetase también en téminos de las líneas de fueza. La figua 3.3. muesta dos supeficies esféicas concénticas de adios R y R, espectivamente centadas en la caga puntual q. Cada línea de flujo que ataviesa la supeficie pequeña también ataviesa la supeficie gande, po lo que el flujo neto a tavés de cada supeficie es el mismo. Lo que es vedad aceca de la supeficie esféica gaussiana en su totalidad lo es también paa cualquie poción de la supeficie. n la figua 3.3. un áea da apaece dibujada sobe la supeficie de adio R y luego poyectada sobe la supeficie de adio R tazando líneas que paten del cento y que pasan sobe la fontea de da. l áea poyectada sobe la supeficie más gande es ahoa 4dA. No obstante, dado que el campo paa una caga puntual decece con, la magnitud del campo es cuato veces meno en la supeficie de adio R que en la de adio R. Po lo tanto el flujo eléctico en ambas áeas es el mismo e independiente de R. Figua 3.3. Poyección de un elemento de áea da de una esfea de adio R sobe una supeficie esféica de adio R Caga puntual eada po una supeficie iegula Los esultados anteioes pueden extendese consideando alguna supeficie de foma abitaia ceada conteniendo la caga. Recalcamos aquí que el flujo eléctico es una medida del númeo de líneas de campo eléctico pasando a tavés de una supeficie. Una línea de campo que pasa a tavés de una esfea también pasaá a tavés de alguna supeficie ceada de foma abitaia peo que contiene a la caga. Notamos también que cuando una línea de campo enta a una supeficie hay una contibución negativa al flujo y existe una contibución negativa cuando abandonan la supeficie. Una línea que a la vez que ingesa a la supeficie, sale de ésta, no contibuye al flujo. De ello se deduce que cualquie supeficie ceada que contiene la caga tiene un flujo. Sin embago, en cualquie supeficie ceada que no contiene la caga el flujo es ceo. 98

10 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía La discusión anteio es menos pecisa que uno podía pensa. Hemos apelado a la noción intuitiva de que el flujo es una medida del númeo de líneas pasando a tavés de una supeficie, peo la discusión caece de pecisión. Podemos hace estos comentaios más pecisos consideando el ángulo sólido. Un ángulo sólido (en esteeoadianes) puede se definido como un áea de una egión en una esfea unitaia. l áea total de una esfea unitaia es 4π, de modo que es el máximo ángulo sólido. Paa detemina el flujo a tavés de una supeficie ceada no esféica consideemos una caga puntual q en el inteio de una supeficie ceada S, de foma abitaia tal como se muesta en la figua (a) (b) Figua (a) caga puntual eada po una supeficie de foma abitaia mostando que el flujo a tavés del áea da es popocional al ángulo sólido subtenido po el elemento de áea, (b) ángulo solido subtenido po elemento Paa evalua el flujo eléctico dividamos a la supeficie en elementos de áea da ubicados a una distancia de la caga puntual +q, el campo eléctico seá colineal con el vecto unitaio a lo lago de y el vecto unitaio nomal a la supeficie, está fomando un ángulo θ con el campo eléctico. Po lo tanto el flujo eléctico a tavés de da seá d. da. nda kq. cos da d e nda kq (3.1) l flujo neto a tavés de la supeficie de foma abitaia se obtiene sumando (integando) la ecuación (3.1), es deci d kq cos da Ò (3.11) S De la definición de ángulo sólido dω, subtendido po elemento de supeficie visto desde la caga (véase la figua 3.3.3b), se tiene. e cos nda da d (3.1) Remplazando la ecuación (3.1) en (3.11) se tiene Ò (3.13) kq d kq S Sabemos que el ángulo sólido alededo de toda la supeficie es esteeoadianes, con lo cual el flujo seá 99

11 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía q q 4 4 (3.14) ste esultado es el mismo que el ontado en la sección anteio paa el caso de una caga puntual eada en una supeficie esféica. Po lo tanto, el flujo eléctico a tavés de una supeficie de foma abitaia con una caga en su inteio es independiente de la posición de la caga dento de la supeficie y solo depende de la caga. Si ahoa consideamos que la caga puntual q está fuea de la supeficie como se muesta en la figua 3.3.4a, el flujo eléctico neto a tavés de la supeficie es nulo, ello se justifica obsevando que el númeo de líneas de campo que ingesan a la supeficie es igual al númeo de líneas que salen de la supeficie. Ò (3.14). nda S Los esultados anteioes se pueden amplia a un sistema de cagas puntuales N en el inteio de la supeficie gaussiana y oto sistema N de cagas puntuales en el exteio como se muesta en la figua 3.3.4b. (a) (b) Figua (a) caga puntual situada en un punto exteio a supeficie gaussiana, (b) supeficie que contiene cagas exteioes así como cagas inteioes l flujo eléctico neto a tavés de la supeficie gaussiana seá igual a la suma de los flujos poducidos po cada una de las cagas. n este caso la ley de Gauss se escibe qi q1 q... qn i1 Ò. nda (3.15) S N Donde, es el campo esultante en cualquie punto de la supeficie y es la caga total eada po la supeficie gaussiana Paa el caso en el cual la distibución de caga es continua (lineal, supeficial o volumética), la caga eada se obtiene integando cada dq asumida. Po tanto el flujo eléctico es 1 Ò. nda dq (3.16) S Después de habe calculado el flujo eléctico paa difeentes configuaciones estamos en condiciones de enuncia la ley de Gauss, la misma que establece: 1

12 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Dada una distibución de caga, disceta o contínua, el flujo eléctico total poducido po la caga y que va a tavés de cualquie supeficie gaussiana ceada S, está elacionada con la caga total dento de la supeficie po la ecuación. nda (3.17) Ò S Donde, es el campo eléctico poducido po todas las cagas, las inteioes y las exteioes, y es la caga total contenida en la supeficie gaussiana. 3.4 APLICACIONS D LA LY D GAUSS. La ley de Gauss es una de las leyes fundamentales del electomagnetismo. También puede considease como una heamienta podeosa paa calcula campos elécticos en aquellos casos en los cuales existe un alto gado de simetía, de tal foma que la intensidad de campo tenga una magnitud constante sobe la supeficie gaussiana. n esta sección se utilizaá la ley de Gauss paa detemina el campo eléctico poducido po difeentes distibuciones Campo eléctico de una distibución de caga lineal. Un alambe delgado infinito tanspota una caga distibuida unifomemente a lo lago de su longitud con una caga po unidad de longitud λ. Detemine el campo eléctico en un punto situado a una distancia pependicula al alambe. Solución Debido a que el alambe es infinito o muy lago su campo eléctico apunta alejándose de las cagas positivas. Paa evalua la diección con mayo pecisión se usa una supeficie gaussiana cilíndica de adio y longitud l que envuelve al alambe, tal como se muesta en la figua 3.4.1a. (a) (b) Figua (a) Supeficie gaussiana paa una baa cagada unifomemente, (b) Líneas de campo alededo de un caga de la vailla. La supeficie gaussiana cilíndica puede dividise en tes supeficies. Dos tapas (S 1 y S ), es deci secciones pependiculaes al campo eléctico ceado po la distibución y una supeficie lateal S 3. Po tanto, el flujo eléctico a tavés de la supeficie es. nda. n da. n da. n da Ò S S1 S S3 Debido a que el campo eléctico es paalelo a las supeficies (S 1 y S ) y como tal pependicula a los vectoes, entonces su poducto escala es ceo, es deci no existe flujo a tavés de las tapas. Sin embago, en la supeficie lateal del cilindo el campo eléctico es pependicula a la supeficie en cada punto y como tal paalelo a. 11

13 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Además el módulo del campo pemanece constante en toda la supeficie cilíndica y como tal puede sacase fuea de la integal. ntonces el flujo seá cos9 da cos9 da da o o 1 S1 S S3 sup, lat ( A ) ( l) Donde l es el áea lateal del cilindo. Aplicando ahoa la ley de Gauss se tiene ( l) Del gáfico puede obsevase que la caga neta en el inteio de la supeficie gaussiana es ecuación anteio se escibe, entonces la l ( l) e 3.4. Campo eléctico de una distibución de caga lamina. Una lámina plana delgada e infinita tanspota una caga distibuida unifomemente a lo lago su supeficie con una caga po unidad de áea σ. Detemine el campo eléctico ceado po la lámina en un punto situado a una distancia z pependicula a la supeficie. Solución Debido a que la lámina es infinita o muy gande su campo eléctico apunta alejándose del áea alejándose de las cagas positivas véase la figua 3.4.a. Paa detemina el campo eléctico se usa una supeficie gaussiana cilíndica de adio y longitud H tal como se muesta en la figua 3.4.b (a) (b) Figua 3.4. (a)) Líneas de campo eléctico paa un plano infinito cagado positivamente, (b) Supeficie gaussiana utilizada paa detemina el campo eléctico. Paa detemina el flujo eléctico a tavés de la supeficie cilíndica dividimos a esta en tes supeficies las dos tapas (S 1 y S ), es deci secciones pependiculaes al campo eléctico ceado po la distibución y una supeficie lateal S 3. Po tanto, el flujo eléctico a tavés de la supeficie es 1

14 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía. nda. n da. n da. n da Ò S S1 S S3 Debido a que el campo eléctico es pependicula a las supeficies (S 1 y S ) y como tal paalelo a los vectoes y entonces su poducto escala es igual a 1, es deci si existe flujo a tavés de las tapas, además el módulo del campo pemanece constante y como tal puede sacase fuea de la integal. Sin embago, en la supeficie lateal del cilindo el campo eléctico es paalelo a la supeficie en cada punto y como tal pependicula a. ntonces el flujo seá o cos da cos da cos9 da 1 3 S1 S S3 A A ( ) A Debido a que la distancia ente las tapas y la lámina cagada es la misma entonces el módulo del campo eléctico es el mismo en ambas supeficies, po tanto se tiene A Aplicando la ley de Gauss paa detemina el campo eléctico, nos da A A z n z La expesión vectoial del campo es z k k paa z paa z Campo eléctico de una coteza cilíndica. Una coteza cilíndica de longitud muy gande y de adio R que posee una densidad de caga supeficial σ se uenta ubicada tal como se muesta en la figua Detemine el campo eléctico en puntos exteioes e inteioes a la coteza. Figua Distibución de caga cilíndica Solución 13

15 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Pate (a). Campo eléctico paa puntos exteioes. Paa esolve el poblema tacemos una supeficie gaussiana cilíndica de adio, de longitud L y coaxial con la coteza cilíndica tal como se muesta en la figua 3.4.4, epesentada po línea ininteumpida Figua Supeficie gaussiana cilíndica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos exteioes a la distibución Una vez más, debido a la simetía, el campo eléctico está diigido en diección adial y solo puede vaia con la distancia al eje del cilindo. Además debe obsevase que en las tapas los vectoes nomales son pependiculaes al campo po tanto el flujo en estas supeficies es nulo l flujo eléctico a tavés de la supeficie gaussiana es. nda. n da. n da. n da Ò S S1 S S3 Debido a que las nomales y el campo en las tapas son pependiculaes sus flujos son ceo y solo queda el flujo en la supeficie lateal, entonces se tiene cos9 da cos9 da da o o 1 S1 S S3 sup, lat ( A ) ( L) Aplicando la ley de Gauss se tiene ( L) Del gáfico puede obsevase que la caga neta en el inteio de la supeficie gaussiana es, entonces la ecuación anteio se escibe ( RL) ( L) R e Podemos ahoa expesa la densidad supeficial en función de la densidad lineal, es deci la coteza tanspota una caga, entonces la caga po unidad de longitud seá, que al se emplazada en la ecuación anteio esulta 14

16 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía R R R e e e paa R Pate (b). Campo eléctico paa puntos inteioes. Paa esolve el poblema tacemos una supeficie gaussiana cilíndica de adio, de longitud L y coaxial con la coteza cilíndica tal como se muesta en la figua 3.4.5, epesentada po línea ininteumpida Figua Supeficie gaussiana cilíndica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos inteioes a la distibución l flujo eléctico a tavés de la supeficie gaussiana es. nda. n da. n da. n da Ò S S1 S S3 Debido a que las nomales y el campo en las tapas son pependiculaes sus flujos son ceo y solo queda el flujo en la supeficie lateal (S 3 ), entonces se tiene cos9 da cos9 da da o o 1 S1 S S ( A ) ( L) sup, lat Aplicando la ley de Gauss se tiene ( L) Del gáfico puede obsevase que la caga neta en el inteio de la supeficie gaussiana es ecuación anteio se escibe, entonces la ( L) e s deci el campo eléctico es nulo en todos los puntos dento de una coteza 15

17 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Campo eléctico de un cilindo sólido cagado. Un cilindo no conducto de adio R y longitud muy gande que posee una densidad de caga volumética unifome ρ se uenta ubicada tal como se muesta en la figua. Detemine el campo eléctico en puntos exteioes e inteioes a la distibución Solución Pate (a). Campo eléctico paa puntos exteioes. Paa esolve el poblema tacemos una supeficie gaussiana cilíndica de adio, de longitud L y coaxial con el cilindo tal como se muesta en la figua Figua Supeficie gaussiana cilíndica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos exteioes a la distibución Una vez más, debido a la simetía, el campo eléctico está diigido en diección adial y solo puede vaia con la distancia al eje del cilindo. Además debe obsevase que en las tapas los vectoes nomales son pependiculaes al campo po tanto el flujo en estas supeficies es nulo l flujo eléctico a tavés de la supeficie gaussiana es. nda. n da. n da. n da Ò S S1 S S3 Debido a que las nomales y el campo en las tapas son pependiculaes sus flujos son ceo y solo queda el flujo en la supeficie lateal, entonces se tiene cos9 da cos9 da da o o 1 S1 S S ( A ) ( L) sup, lat Aplicando la ley de Gauss se tiene ( L) Del gáfico puede obsevase que la caga neta en el inteio de la supeficie gaussiana es, entonces la ecuación anteio se escibe 16

18 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía ( R L) R ( L) R e Podemos expesa nuevamente la densidad volumética en función de la densidad lineal, es deci en cilindo tanspota una caga, entonces la caga po unidad de longitud seá, que al se emplazada en la ecuación anteio esulta R e e R R e paa R sta ecuación indica que el campo eléctico en puntos exteioes a un cilindo sólido no conducto es el mismo que si toda la caga estuviese distibuida a lo lago del eje del cilindo. Pate (b). Campo eléctico paa puntos inteioes. Paa esolve el poblema tacemos una supeficie gaussiana cilíndica de adio, de longitud L y coaxial con el cilindo tal como se muesta en la figua 3.4.7, epesentada po línea ininteumpida Figua Supeficie gaussiana cilíndica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos inteioes a la distibución l flujo eléctico a tavés de la supeficie gaussiana es. nda. n da. n da. n da Ò S S1 S S3 Debido a que las nomales y el campo en las tapas son pependiculaes sus flujos son ceo y solo queda el flujo en la supeficie lateal (S 3 ), entonces se tiene cos9 da cos9 da da o o 1 S1 S S ( A ) ( L) sup, lat Aplicando la ley de Gauss se tiene 17

19 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía ( L) Del gáfico puede obsevase que la caga neta en el inteio de la supeficie gaussiana es, entonces la ecuación anteio se escibe ( L) ( L) e paa R Una vez más puede expesase la densidad volumética en función de la densidad lineal, es deci, con lo cual se tiene e e paa R R R s deci el campo eléctico en todos los puntos inteioes al cilindo no conducto sólido es popocional a la distancia medida pependiculamente desde el eje del cilindo Campo eléctico de una coteza esféica cagada. Una cáscaa esféica delgada de adio R tiene una caga + distibuida unifomemente sobe su supeficie. Detemine la intensidad de campo eléctico dento y fuea de la cáscaa. Solución La distibución de caga es siméticamente esféica, con una densidad de caga, donde es el áea de la supeficie de la esfea. La intensidad de campo eléctico puede se adialmente simético y diigido hacia afuea como se muesta en la figua Aquí tataemos dos egiones y, sepaadamente Figua Distibución de caga en foma de coteza esféica. l campo eléctico es adia y saliente si la caga es positiva. Pate (a). Intensidad de campo paa. legimos una supeficie gaussiana de foma esféica de adio, en el inteio de la cáscaa., como muesta la figua3.4.9a, con un adio 18

20 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía (a) (b) Figua (a) Supeficie gaussiana esféica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos inteioes a la distibución. (b) Supeficie gaussiana esféica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos exteioes a la distibución Debido a que la distibución de caga iea a la supeficie gaussiana, la caga que eada seá, ello se debe a que la caga está localizada sobe la supeficie de la cáscaa. Po lo tanto, la aplicación de la ley de Gauss nos da Ò. nda SG, SG, o cos da (4 ) e paa R Ò Pate (b). Intensidad de campo paa. legimos una supeficie gaussiana de foma esféica de adio, como muesta la figua 3.4.9b. Debido a que la supeficie gaussiana iea completamente a la distibución de caga, la caga que eada seá. Po lo tanto, la aplicación de la ley de Gauss da Ò. nda Ò SG, SG, cos (4 ) e paa R 4 o da Campo eléctico de una esfea sólida aislante cagada. Una caga eléctica + es unifomemente distibuida en una esfea sólida no conductoa de adio R. Detemine la intensidad de campo eléctico dento y fuea de la cáscaa. Solución 19

21 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía La distibución de caga es siméticamente esféica con una densidad de caga dada po V (4 / 3) R Donde V es el volumen de la esfea. n este caso, el campo eléctico es adialmente simético y está diigido hacia afuea como se ve en la figua Po tanto la magnitud de la intensidad de campo eléctico es constante sobe la supeficie esféica de adio. Aquí tataemos dos egiones y, sepaadamente 3 Figua sfea dieléctica cagada unifomemente. l campo eléctico es adial y saliente en puntos inteioes y exteioes si la caga es positiva. Pate (a). Intensidad de campo paa. legimos una supeficie gaussiana de foma esféica de adio, como muesta la figua3.4.11a. l flujo eléctico a tavés de la supeficie gaussiana seá nda da da Ò Ò Ò o. cos (4 ) S, G S, G S, G (a) (b) Figua (a) Supeficie gaussiana esféica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos inteioes a la distibución. (b) Supeficie gaussiana esféica utilizada paa detemina el campo eléctico en puntos exteioes a la distibución de caga Po oto lado la caga neta eada po la supeficie gaussiana de adio es dv V R R 11

22 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía l cual es popocional al volumen de la caga eada. Aplicando la ley de Gauss se tiene 3 3 R e paa 3 R 4 R (4 ) Pate (b). Intensidad de campo paa. n este caso, nuesta supeficie gaussiana es una esfea de adio, como muesta la figua b. Debido a que el adio de la supeficie gaussiana es mayo que el adio de la esfea toda la caga es eada en nuesta supeficie gaussiana. Po lo tanto, y la aplicación de la ley de Gauss nos da Ò. nda Ò SG, SG, cos (4 ) e paa R 4 o da l campo fuea de la esfea es el mismo como si caga estuviese concentada en el cento de la esfea. 3.5 CAMPO LÉCTRICO Y CARGA N CONDUCTORS s sabido que un aislado tal como el plástico, vidio o papel es un mateial en el cual los electones son ataídos po algunos átomos en paticula y no pueden movese libemente. Po oto lado, dento de un conducto, los electones son libes de movese en su alededo. Las popiedades básicas de un conducto son 1. l campo eléctico dento de un conducto es nulo Si colocamos un conducto sólido en un campo eléctico contante y exteno, las cagas positivas y negativas pueden movese hacia las egiones polaizadas del conducto tal como se muesta en la figua 3.5.1, en consecuia inducen un campo eléctico. Dento del conducto el campo apunta en el sentido opuesto a la diección del campo exteno. Debido a que las cagas son móviles, ellas podán continua su movimiento hasta que cancele completamente dento del conducto. n el equilibio electostático, el campo eléctico en el inteio del conducto puede desapaece. Fuea del conducto, el campo eléctico debido a la distibución de caga inducida coesponde a un campo de un dipolo, y el campo total es simplemente. Las líneas campo eléctico son mostadas en la figua. 111

23 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía (a) (b) Figua (a) Conducto en un campo eléctico exteno, (b) Supeficie gaussiana paa evalua el campo eléctico en el inteio de un conducto sólido.. Cualquie caga neta puede esidi en la supeficie del conducto. Si hubiese una caga neta dento del conducto sólido, entonces po la ley de Gauss, no seá ceo allí. Po lo tanto, todo el exceso de caga puede flui hacia la supeficie del conducto como se muesta en la figua 3.5.1b. 3. La componente tangial del campo eléctico es ceo en la supeficie del conducto. Siempe hemos obsevado que paa un conducto aislado, el campo eléctico es ceo en su inteio. Algún exceso de caga localizada en el conducto puede se distibuido sobe la supeficie del conducto, como lo muesta la aplicación de la ley de Gauss. Consideemos la integal de línea alededo de una tayectoia ceada mostada en la figua 3.5.a. Debido a que el campo eléctico, es consevativo, la integal de línea alededo de la tayectoia ceada abcd desapaece, es deci. ds t ( l) n ( x ') ( l) n( x) abcd (a) (b) Figua 3.5. (a) componentes tangial y nomal del campo eléctico inmediatamente fuea del conducto, (b) Supeficie gaussiana paa evalua el campo eléctico en el exteio de un conducto sólido. Donde t y n son las componentes tangial y nomal del campo ele ctico, espectivamente, y hemos oientado el segmento ab tal que es paalelo a t. n el límite ambos y, además tenemos. Sin embago, debido a que la longitud del elemnto es finito, concluimo que la componente tangial del campo eléctico sobe la supeficie de un conducto desapaece: 11

24 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía sobe la supeficie del conducto t sto implica que la supeficie de un conducto en equilibio electostático es una supeficie equipotial. ste tipo de supeficies seán estudiadas con más detalle en el siguiente capítulo. 4. l campo eléctico justo fuea del conducto es pependicula a la supeficie. Si la componente tangial del campo eléctico es inicialmente difeente de ceo, las cagas podían entonces movese alededo hasta desapaece. Situación que en el caso de equilibio electostático no sucede. Po lo tanto, solamente existe la componente nomal. Paa detemina el campo eléctico justo fuea del conducto, consideemos la supeficie gaussiana cilíndica con la mitad del cilindo dento del conducto y la ota mitad fuea del conducto como se muesta en la figua tal como se muesta en la figua 3.5.b. Usando la ley de Gauss y teniendo en cuenta que el flujo a tavés de la base es ceo po esta dento del conducto, el flujo en la supeficie lateal también es nulo poque es pependicula al vecto nomal y solamente queda el flujo a tavés de la tapa. n da. n da. n da 3 3 tapa,1 base, S. lat o. n da cos da tapa,1 tapa,1 A A e n l esultado anteio vale paa un conducto de foma abitaia. l patón de las líneas de campo eléctico y su diección son mostadas en la figua 3.5.3a. Como en los casos de un plano no conducto infinitamente gande y de una cáscaa esféica, la componente del campo eléctico exhibe una discontinuidad en su fontea: ( ) ( ) n n n Figua (a) l campo eléctico justo fuea del conducto es siempe pependicula a la supeficie, (b) conducto con una cavidad. 113

25 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía jemplo. Conducto con una caga puntual en el inteio de una cavidad. Considee al conducto hueco mostado en la figua 3.5.3b, el cual lleva una caga neta +. adicionalmente, existe una caga puntual +q dento de la cavidad. Cuál es la caga en la supeficie del conducto?. Solución Consideemos una supeficie gaussiana dento del conducto (línea ininteumpida). Debido a que el campo eléctico dento de un conducto es nulo, entonces la caga neta eada po la supeficie gaussiana mostada en la figua, puede se ceo. sto implica que una caga q debe se inducida en la supeficie intena de la cavidad. Además debido a que el conducto mismo tiene una caga +q, la cantidad de caga sobe la supeficie extena del conducto es. 114

26 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Poblema 1 Una supeficie plana de áea,14 m se uenta fija en el plano xy. Si existe en la egión un campo eléctico dado po, detemine el flujo eléctico a tavés de esta supeficie. Solución Debido a que la supeficie esta en el plano xy, ella puede epesentase po un vecto A na Ak (,14 k ) m l flujo eléctico a tavés del áea seá A i j k N C k m 3,14 m (3,5.1 N / C)( k. k ) 3. (5, )1 /.((,14 ) ) Poblema. 49 N. m / Una caga puntual, está a una distancia de una supeficie cicula S de adio R = 3 cm como se muesta en la figua. Detemine el flujo del vecto a tavés de S C l flujo difeial debido al campo de la caga puntual en el elemento seá d. da e.( ) nda 4 d d (cos ) da ( ada) 4 4 d d( ada) d ( ada) ( a d ) 3 3/ l flujo neto a tavés de la supeficie se obtiene integando la expesión anteio, esto es d R ada d 1 ( a d ) a d Poblema 3 a 3/ 1 R d d Un hilo muy lago cagado unifomemente y situado en el eje de un cículo de adio R se apoya con uno de sus extemos en el cento del cículo. La caga del hilo po unidad de longitud es igual a λ. Detemine el flujo del vecto a tavés del áea del cículo. R Solución Solución. Paa detemina el flujo a tavés del cículo se divide a la supeficie en anillos de adio a y espeso da, entonces y se detemina el flujo a tavés de dicho elemento, poducido po el campo eléctico de la caga puntual l campo eléctico en un punto sobe el anillo difeial es kdq kdy ( d e ) ai yj 3/ ( a y ) l campo total debido a la vailla semi-infinita es dy ydy ka i k j 3/ 3/ ( a y ) ( a y ) 115

27 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía k k i j a a l flujo que ataviesa el elemento difeial da, seá k k d. nda i j.( j) da a a k d ( ada) a l flujo eléctico total a tavés del cículo se obtiene integando la ecuación anteio R 1 k da R 4 R Poblema 4 La intensidad de campo eléctico en una egión del espacio está dado po. Detemine: (a) el flujo eléctico que emana del cubo, (b) la caga neta contenida en el cubo de 1 m de lado. Flujo a tavés de S 1. n da (4xi yj ).( k ) da 1 1 s1 s1 Flujo a tavés de S s s 1. n da (4xi yj ).( k ) da Flujo a tavés de S s3 s3 3 S3 S3 3. n da (4xi yj ).( j) da yda (1) da A (1) Flujo a tavés de S s4 s4 4 N. m /. n da (4xi yj ).( j) da S4 S4 4 N. m / C yda () da C Solución Pate (a). l flujo eléctico se evalúa en cada una de las caas del cubo y después se suma. sto es Flujo a tavés de S 5. n da (4xi yj ).( i ) da 5 5 s5 s5 Flujo a tavés de S 5 4 S5 S5 6 6 s6 s xdA 4(1) da 4 N. m /. n da (4xi yj ).( i ) da S6 S6 4 N. m / C 4xdA 4() da C Remplazando estos valoes en la ecuación de flujo neto obtenemos. 116

28 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía , N. m / C Pate (b).paa detemina la caga neta se usa la ley de Gauss, esto es N m C Poblema 5 53pC 1 8,85.1 (6. / ) Utilizando la definición de flujo, detemine el flujo de campo eléctico de una distibución lineal λ a tavés de una supeficie esféica de adio R con el cento en un punto de la línea. Solución n la figua se muesta la distibución lineal asi como la supeficie gaussiana. l flujo eléctico a tavés de toda la supeficie esféica se obtiene integando la ecuación anteio, es deci R R sen d Poblema 6 R cos Una cáscaa cilíndica de adio 7, cm tiene su caga distibuida unifomemente sobe su supeficie. La magnitud del campo eléctico en un punto 19, cm adialmente hacia afuee de su eje (medido desde el punto medio del cascaón) es 36 kn/c. Use elaciones de apoximación paa onta: (a) La caga neta sobe el cascaón y (b) l campo eléctico en un punto a 4 cm del eje, medido adialmente hacia afuea desde el punto medio del cascaón. Solución Debido a que el punto a 19 cm es mayo que el adio de la cáscaa cilíndica entonces escogemos una supeficie gaussiana de adio y longitud L, fuea de la distibución como se muesta en la figua. Aplicando la ley de Gauss, se tiene n el ejemplo N se demostó que el campo eléctico paa una línea infinita cagada está dado po e l flujo a tavés del elemento de áea, es d d. nda e.( nda) ( R cos ) d (cos )( R sen d ) R send Ò. nda S. n da. n da. n da S1 S S 3 o o L 1cos9 da cos9 da da S1 S S L L ( Asup, lat ) ( L) R e 117

29 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Remplazando valoes se tiene 3 3, 6.1 / N C 1 (8,85.1 C / N. m )(,19 m) 38 nc / m La caga total que se ha distibuido seá L C m m 8 ' 38.1 / (, 4 ) 91nC Pate (b). Debido a que el punto = 4 cm, es meno que el adio del cilindo, la caga neta dento de la supeficie gaussiana inteio a la cáscaa es, entonces se tiene La caga que posee el elemento difeial de volumen dv, es 3 d dv ( A)(4 d) 4 A d La caga total distibuida en la esfea es 4 R 3 d 4A d 4A 4 AR Pate (b). Campo eléctico paa puntos inteioes n la figua se muesta la supeficie gaussiana de adio > R 4 R Poblema 7. nda Ò S ( L) e R Una esfea sólida no conductoa de adio R posee una densidad de caga popocional a la distancia desde el cento dada po paa, donde A es una constante. (a) ncuente la caga total sobe la esfea, (b) ncuente la expesión paa el campo eléctico dento de la esfea y fuea de la esfea y (c) epesente la magnitud del campo eléctico como una función de de la distancia. Solución. Pate (a). Paa detemina la caga total, se divide a la distibución de caga en elementos en foma de cáscaas cilíndicas de adio < R y de espeso d tal como se muesta en la figua Aplicando la ley de Gauss se tiene Ò nda S. 1 1 (4 ) dv A(4 d) A 1 3 1( 1 ) A e d Campo paa puntos exteioes. n este caso se usa una supeficie Gaussiana esféica de adio > R como se muesta en la figua. 118

30 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Aplicando la ley de Gauss se tiene Ò S R R 3 ( ) 4. nda 1 1 (4 ) dv A(4 d) A d 4 AR e paa R Solución n la figua se muesta la sección tansvesal de la cascaa, así mismo se obseva que debido a que la coteza es conductoa, en esta se inducen cagas, es deci, en la supeficie intena se inducen cagas negativas distibuidas en toda su supeficie y en la supeficie exteio se induce cagas positivas + n geneal se tiene 4 4 A e paa R 4 AR paa e R Pate (c). La gafica en función de es Pate (a). i) Campo paa. Paa esto se usa una supeficie gaussiana tal como se muesta en la figua Poblema 8 Una coteza esféica conductoa cuyo adio inteno es R 1 y exteno R, tiene una caga neta ceo. Una caga puntual + es localizada en el cento de la coteza tal como se muesta en la figua. (a) Use la ley de Gauss y las popiedades de los conductoes en equilibio electostático paa onta el campo eléctico en las tes egiones ; y, donde es la distancia desde el cento. (b) Gafique las líneas de campo en todas las egiones. (c) nconta las densidades de caga en la supeficie intena y extena de la coteza. Aplicando la ley de Gauss se tiene. nda Ò S (4 ) 4 ii) Campo paa esto se usa una supeficie gaussiana dento del conducto como se ve en la figua 119

31 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía. nda Ò S ( ) (4 ) iii) Campo paa, esto se usa una supeficie gaussiana fuea del conducto como se ve en la figua Campo paa. Tazando una supeficie gaussiana en el exteio del cilindo y aplicando la ley de Gauss, tenemos Ò. nda S. n da. n da. n da S1 S S3 cos9 da cos9 da da o o 1 S1 S S L( R R1 ) R ( Asup, lat ) ( L) ( R R1 ) R e Pate (b). n la figua se muesta la distibución de cagas en el conducto, así mismo se taza las líneas de fueza coespondientes, note que dento del conducto no existen líneas de fueza poque =. Campo paa Tazando una supeficie gaussiana en el inteio del cilindo y aplicando la ley de Gauss, tenemos Pate (c). Las densidades de cagas en las supeficies intena y extena son: Poblema 9 int 4 R1 ext 4 R Sobe la coteza cilíndica dieléctica de adio inteno R 1 y adio exteio R muy laga se ha distibuido una densidad de caga po unidad de volumen ρ en foma unifome. Detemine el campo eléctico en las tes egiones ; y.. nda Ò S ( Asup, lat ) ( L) e R1 Campo paa Tazando una supeficie gaussiana en el exteio del cilindo y aplicando la ley de Gauss, tenemos.. nda Ò S L( R1 ) ( Asup, lat ) ( L) Solución 1

32 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Poblema 1. ( R ) 1 R1 R e Un sistema se compone de una bola de adio R de caga, cuya caga tiene simetía esféica, y el medio cicundante con densidad volumética de caga, donde A es una constante y, la distancia desde el cento de la bola. Detemine la caga de esta última que asegue que el módulo del vecto de intensidad de campo eléctico fuea de ella no dependa de. Cuál es esta intensidad de campo?. Las constantes dielécticas de la bola y del medio cicundante se suponen iguales a la unidad. Solución n la figua se muesta la gafica de la esfea y el medio cicundante. (4 ) 4 A A( R ) R 1 A( R ) 4 La condición del poblema exige que el campo fuea de él deba se independiente de, po lo tanto ( R) ( ) 1 1 A( R R ) A( R ) 4 4 R A R R AR ( ) La intensidad de campo eléctico seá 1 A R 4 ( ) 1 AR A R 4 A e ( ) Poblema 11. Debido a que la esfea está en el inteio del medio, escogemos una supeficie gaussiana de foma esféica de adio > R, que odea a la esfea, como se muesta en la figua y aplicamos la ley de Gauss. Paa la configuación que se muesta en la figua, suponga que, y. Además suponga que el campo eléctico en un punto a 1 cm del cento al se medido es 3,6 kn/c adialmente hacia adento, mientas que el campo en un punto a 5 cm del cento es, kn/c adialmente hacia afuea. Con esta infomación, detemine: (a) la caga sobe la esfea aislante; (b) las cagas totales en las supeficies intena y extena, espectivamente del cascaón. La ley de Gauss nos da Ò SG,. nda A 4 dv (4 d) R Solución Pate (a). Caga de la esfea aislante. Consideemos una supeficie Gaussiana esféica cuyo adio es >a como se muesta en la figua. 11

33 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Las cagas en la supeficie intena y extena son, espectivamente b 4nC 4nC 9,56nC 5,56nC c Poblema 1 Aplicando la ley de Gauss se tiene SG, Ò SG, Ò. nda cos18 da (4 ) (8,85.1 )(,1) (3, 6.1 ) 4nC sta caga induce cagas + en la supeficie intena de la coteza y cagas en la supeficie exteio a la coteza po se conductoa, peo paa detemina la caga neta en esta última se aplica la ley de Gauss en un punto exteio como se en la figua. Una esfea sólida no conductoa de adio a con su cento en el oigen tiene una cavidad de adio b con su cento en el punto como se muesta en la figua. La esfea tiene una densidad de caga volumética unifome ρ. Detemine la intensidad de campo eléctico en cualquie punto inteio a la cavidad. Solución l campo esultante dento de la cavidad es la supeposición de dos campos, uno, debido a la esfea de adio a considead compacta con densidad de caga positiva unifome y el oto campo, debido a la esfea de adio b consideada con densidad de caga negativa unifome. Po tanto Campo. Se usa la supeficie gaussiana mostada y se aplica la ley de Gauss La ley de Gauss da. nda Ò Ò SG, cos da SG, (4 ) 1 4 (8,85.1 )(,5) () 5,56nC 4nC 5,56nC 9,56nC SG, Ò SG,. nda cos da dv 4 d 4 3 (4 ) 3 e 3 Ò 1

34 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía La expesión vectoial del campo es e Campo. Se usa la supeficie gaussiana mostada y se aplica la ley de Gauss ( ) 3 b bi 3 3 sta ecuación muesta que el campo dento de la cavidad es de magnitud constante y su diección es el eje x. Poblema 13. Una placa plana muy gande de espeso d es unifomemente cagada con una densidad de caga volumética ρ. ncuente la intensidad de campo eléctico paa todos los punto. SG, Ò SG,. nda cos18 da dv 4 d Ò 4 3 e 3 3 (4 ) Solución. Campo paa puntos inteioes a la placa de dieléctico. Paa esto usamos una supeficie gaussiana en foma de cilindo de longitud x y adio R, como se muesta en la figua. Además asumimos que la placa en diecciones, y y z se extiende hacia el infinito yen la diección x existe un espeso d. Po ello consideamos que el campo eléctico está diigido a lo lago del eje x. La expesión vectoial del campo es e Paa aplica el pincipio de supeposición se taza los vectoes campo en un punto inteio a la cavidad como se ve en la figua donde se ve que l campo esultate seá Aplicando la ley de Gauss, se tiene en Ò. nda SG,. n da. n da. n da 1 3 S1 S S3 V A A ( R ( x)) R xi ( ) cil en 13

35 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía l campo en foma vectoial seá xi paa x xi paa x. Detemine la intensidad de campo eléctico en el punto P (, 1 ) cm. Solución n la figua se muesta la ubicación de las distibuciones de caga Campo paa puntos exteioes a la placa. Paa esto usamos una supeficie gaussiana en foma de cilindo de longitud x y adio R como se ve en la figua Aplicando la ley de Gauss, se tiene en Ò. nda SG,. n da. n da. n da 1 3 S1 S S3 V A A ( R ) d i l campo en foma vectoial seá Poblema 14 cil ( Rd) d i paa x d i paa x Una coteza cilíndica infinitamente laga, coaxial con el eje y tiene un adio de 15 cm y posee una densidad de caga supeficial,. Una coteza esféica de 5 cm de adio está centada en el eje x en y posee una densidad supeficial en 14 Campo debido a la distibución cilíndica. Debido a que el cilindo es muy lago, se usa una supeficie gaussiana que pase po P y se aplica la ley de Gauss, es deci en Ò. nda SG,. n da. n da. n da 1 3 S1 S S3 A As, g C C 1 lat, cil 1( RH C ) C ( H ) 1R C R Remplazando valoes se tiene C C R 1 C (,15) 1 8,85.1 (, ) (58 kn / C) i Campo debido a la distibución esféica i en. nda cos da S, G S, G C i en Ò Ò en

36 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía A A s, g 1 esf (4 R ) (4 ) La expesión vectoial seá R R e 6 1.1, 5 C 1 e 8,85.1,3,1 (847 kn / C) e n componentes x, y y se tiene e (847 kn / C) cosi sen j kn / C i j 31,6 31,6 (79i 98 j) kn / C Campo neto en P. Se obtiene sumando vectoialmente los campos de las distibuciones. C 58 kn / Ci (79i 98 j) kn / C (198i 98 j) kn / C Poblema 15 Dos láminas infinitas de caga, no conductoas, se uentan paalelas ente sí. Como se obseva en la figua. La lámina de la izquieda tiene una densidad de caga supeficial unifome y la decha tiene una densidad de caga supeficial. Detemine el campo eléctico: (a) a la izquieda de, (b) en el cento y (b) a la deecha de las láminas. Consideemos que los campos debido a las láminas son + y - y epesentémoslo en un gafico en el cual se muesta la vista de pefil de las láminas. Hemos demostado anteiomente que el campo de una lámina es constante y de diección pependicula a las láminas su módulo es (a) Campo a la izquieda de la lámina positiva. 1 i i (b) Campo en el cento de las láminas i i i (c) Campo a la deecha de la lámina negativa 3 i i. Poblema 15 n la figua, una coteza esféica no conductoa de adio inteno y adio exteno, tiene una densidad de caga volumética positiva (dento de su goso), donde A es una constante y es la distancia desde el cento de la cáscaa. Adicionalmente, una caga puntual positiva es localizada en el cento, como se muesta en la figua. ué valo debeía tene A si el campo eléctico dento de la coteza debe pemanece unifome (constante)?. Solución 15

37 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Solución n la figua se muesta a la distibución de caga y la supeficie Gaussiana utilizada pada detemina el campo eléctico dento del dieléctico. Aplicando la ley de Gauss a la supeficie gaussiana de adio a < < b se tiene 1 1 A a a 1 4 q 4A d a 4 (4 ) SG q. nda q dv q d 1 4 A q 4 ( ) a [ q A( a )] 4 Debido a que el campo debe pemanece unifome en la coteza, es deci en la egión compendida a < < b, entonces se tiene ( a) ( b) neta [ q A( a a )] [ q A( b a )] 4 a 4 b q q A b a a b q A a [ ( )] 16

38 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Poblemas popuestos 1. ncuente el flujo eléctico a tavés de un áea ectangula de 3 cm x cm ente dos placas paalelas donde hay un campo eléctico constante de 3 N/C paa las siguientes oientaciones del áea: (a) paalela a las placas; (b) pependicula a las placas y (c) la nomal al áea hace un ángulo de 3 con la diección del campo eléctico. Rta: (c),16 N.m /C. Una caga puntual +q se uenta a una distancia d/ sobe el cento de un cuadado de lado d. Cuál es la magnitud del flujo eléctico a tavés del cuadado? 3. Una piámide de base hoizontal cuadada, de 6, m de lado y con una altua de 4 m está colocada en un campo eléctico vetical de 5 N/C. Detemine el flujo eléctico: (a) a tavés de la base de la piámide y (b) el flujo eléctico total que pasa a tavés de las cuato supeficies inclinadas de la piámide. Rta. 1,87 kn.m /C Rta: (a) ; (b) 8. Dos gandes placas de aluminio tienen un áea 15 cm cada una y están sepaadas una distancia de 3 mm. Las placas son cagadas con cagas iguales peo de signo opuesto. nconta el flujo a tavés de un cículo de 3 cm de adio el cual está ente las placas y se uenta fomando un ángulo de 5 con la nomal a las placas. Rta. 4,4.1 5 N.m /C 9. Un campo eléctico unifome es paalelo al eje de un hemisfeio hueco de adio R, como se muesta en la figua. Cuál es el flujo eléctico a tavés de la supeficie hemisféica?. (b) Cuál seía el esultado si se aplica en diección pependicula al eje?. 4. Un cono con una base de adio R y altua H se coloca en una mesa. Si existe un campo eléctico vetical como se muesta en la figua. Detemine el flujo eléctico: (a) a tavés de la base y (b) a tavés de la supeficie lateal. 1. l flujo eléctico total a tavés de un caja cúbica de 8 cm de lado es 1,84 kn.m /C. Cuál es la caga eada po la caja?. 5. l flujo eléctico a tavés de un áea en foma de cuadado de 5 cm de lado el cual está ceca de una lámina gande es de N.m /C cuando el áea es paalela a la placa. Detemine la densidad de caga en la lámina. Rta: 4, C/m. 11. n cieta egión del espacio, el campo eléctico es constante en diección (diección x), peo su magnitud disminuye desde = 56 N/C en x = hasta = 41 N/C en x = 5 cm. Detemine la caga dento de la caja cúbica de lado L = 5 m, en donde la caja es oientada tal que cuato de sus lados son paalelos a las líneas de campo como se muesta en la figua. 6. Un cubo de lado L está ubicado en un campo eléctico unifome con sus bodes paalelos a las líneas de campo eléctico. (a) Cuál es el flujo neto a tavés del cubo?. (b) Cuál es el flujo a tavés de cada una de las seis caas?. 7. Una caga puntual se localiza justo po ima del cento de la caa plana de un hemisfeio de adio R, como se muesta en la figua. Detemine el flujo eléctico que pasa: (a) a tavés de la supeficie cuva y (b) a tavés de la caa plana. 17

39 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía 1. Un cubo sólido de metal tiene una cavidad esféica en su cento como se muesta en la figua. n el cento de la cavidad se uenta una caga puntual = +8 μc. l cubo metálico lleva una caga neta q = -6,1 μc. Detemine: (a) la caga total sobe la supeficie de la cavidad esféica y (b) La caga total sobe la supeficie exteio del cubo. 13. Una caga puntual está localizada en el cento de un cilindo coto. l diámeto del cilindo es igual a su longitud L. Cuál es el flujo total a tavés de la supeficie lateal del cilindo?. 14. Un cubo de lado L tiene su vétice en el oigen de coodenadas y se extiende a lo lago de los ejes x, y y z positivos. Suponiendo que el campo eléctico en esta egión está dado po. Detemine la caga dento del cubo. 16. Un cubo de 4 cm de lado se uenta fijo en el pime octante con una esquina en el oigen de coodenadas. n la egión existe un campo eléctico dado po, donde x está dado en m y en N/C. ncuente el flujo neto a tavés del cubo. 17. n el espacio existe un campo eléctico dado po. Detemine el flujo eléctico a tavés de un cubo unitaio, cuyas esquinas están en (,, ); (1,, ); (1, 1, ); (, 1, ); (, 1); (1,, 1); (1, 1, 1) y (, 1, 1) en metos. 18. l campo eléctico en deteminada egión del espacio tiene la diección del eje z y su magnitud es, en el que x y z se miden a pati de cieto oigen detemine el flujo eléctico a tavés de un cuadado pependicula al eje z, las esquinas del cuadado son (1, 1, 3); (1,, 3); (,, 3) y (, 1, 3). l campo se mide en N/C y la distancia en metos. Rta: 18 N.m /C 19. Una patícula cagada está ocupando el cento de dos cascaones esféicos conductoes y concénticos cuya sección tansvesal se muesta en la figua (a). La figua (b) da el flujo neto a tavés de una esfea gaussiana centada en la patícula, como función del adio de la esfea. La escala del eje vetical es ajustado po. Detemine: (a) la caga de la patícula cental y (b) la caga neta de los cascaones A y B. 15. Un cubo de lado se uenta en un campo eléctico dado po: Donde. Si el cubo tiene sus lados paalelos a los ejes coodenados, detemine la caga neta dento del cubo. Considee un campo eléctico y un elemento de supeficie de 4 mm con su nomal a lo lago de. ncuente; (a) el vecto unitaio nomal, (b) el flujo eléctico po unidad de áea y (c) el flujo a tavés de la supeficie. 1. Una cáscaa hemisféica de adio R ubicada sobe el plano z =, tiene su cento en el oigen. Un campo eléctico unifome está diigido a lo lago del eje z. ncuente el flujo que ataviesa la cáscaa.. Una caga puntual está ubicada en el cento de un tetaedo egula. l flujo a tavés de una de las caas es -75 N.m /C. ncuente el valo de la caga colocada dento del tetaedo. 3. Un dipolo eléctico consiste de dos caga +q y -q sepaadas po una distancia b. Un cículo de adio 18

40 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía R, oientado nomalmente al eje del dipolo, fijo con su cento en el cento del eje del dipolo. Mueste que la magnitud del flujo eléctico penetante en el cículo es 31. La figua muesta la sección de un tubo metálico delgado y lago de adio R = 3, cm, con una caga po unidad de longitud. Cuál es la magnitud del campo eléctico a una distancia adial (a) y (b)?. (c) Gafique vesus paa el ango = a = R 4. Una esfea aislante de adio R posee una caga unifome po unidad de volumen ρ. Si Ud. se desliza a tavés de la esfea, definiía un cículo cuyo cento es fijo a una distancia del cento de la esfea. Mueste que la magnitud del flujo que ataviesa el cículo es. Rta. (a) = ; (b) 5,99 kn/c 5. Una caga puntual es localizada sobe el eje x a una distancia d del plano de un disco de adio R. Mueste que si una cuata pate del flujo eléctico de la caga pasa a tavés del disco, entonces 6. Cuál es el flujo eléctico a tavés de cada supeficie ceada mostada. 3. La figua muesta la sección de una baa conductoa de adio y longitud dento de una cascaa conductoa cilíndica coaxial de adio y de la misma longitud L. La caga neta en la baa es y en la cascaa es. Detemine: (a) la magnitud y diección del campo eléctico a una distancia, (b) la magnitud y diección del campo eléctico a una distancia, (c) La caga en la supeficie inteio y exteio de la coteza cilíndica. 7. Una caga puntual de, está embebida en el cento de una caga de un cubo no conducto peviamente descagado. Si el cubo tiene 3 cm de lado. Cuál es el flujo a tavés del cubo completo?. 8. Una caga de densidad unifome, llena la egión ente y. Detemine la magnitud del campo eléctico en cualquie punto con. Rta. 17 N/C. 9. Una placa conductoa plana e infinita tiene una caga po unidad de áea igual a.1-1 C/m. Detemine el campo eléctico a una distancia sobe la supeficie de la placa. 33. n la figua, un hueco cicula pequeño de adio ha sido cotado en el cento de una supeficie plana no conductoa e infinita que tiene una densidad de caga unifome. Un eje z, con su oigen en el cento del hueco, es pependicula a la supeficie. Cuál es el campo eléctico en un punto P en. Sugeia: use el pincipio de supeposición Rta.,6 N/C. 3. Dos gandes placas metálicas paalelas de están sepaadas una distancia de 4, cm. llas tienen cagas iguales y opuestas de +34 pc y -34 pc. Cuál es la magnitud del campo eléctico en el punto medio ente las placas lejos de los bodes. Rta. 19

41 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía 34. n la figua, una esfea pequeña no conductoa de masa y caga (distibuida unifomente en su volumen) cuelga de un hilo aislante de 5 cm de longitud el cual foma un ángulo con una lámina no conductoa vetical cagada unifomemente (mostada en sección tansvesal). Consideando la fueza gavitacional sobe la esfea y asumiendo que la lámina se extiende veticalmente y dento y fuea de la página. Detemine la densidad de caga supeficial σ de la lámina. 37. Una patícula cagada es colocada en el cento de dos cascaones esféicos conductoes y concénticos. La figua (a) muesta la sección tansvesal. La figua (b) da el flujo a tavés de una esfea gaussiana centada en la patícula, como una función del adio de la esfea. Detemine (a) la caga de la patícula localizada en el cento y (b) las cagas netas de los cascaones A y B Rta: 5, nc/m 35. n la figua, una coteza esféica no conductoa de adio inteno y adio exteno tiene una densidad de caga volumética positiva, donde A es una constante y es la distancia desde el cento de la cáscaa. Adicionalmente, una pequeña esfea de caga es localizada en el cento. ué valo podía tene A si el campo eléctico dento de la coteza debe pemanece unifome?. Rta. (a) -7,97 μc, (b) 38. n la figua se muestan secciones cotas de dos líneas de cagas paalelas y muy lagas, fijas en ese luga, sepaadas po una distancia. Las densidades de caga unifome son paa la línea 1 y paa la línea. Dónde a lo lago del eje x mostado el campo eléctico neto de las dos líneas es ceo?. Rta. 36. Una esfea no conductoa sólida tiene una densidad de caga volumética unifome ρ. Si es un vecto diigido desde el cento de la esfea a cualquie punto p en geneal dento de la esfea. (a) mueste que el campo eléctico en el punto P está dado po. (note que el esultado es independiente del adio de la esfea). (b) Una cavidad esféica es pacticada dento de la esfea, como se muesta en la figua. Usando conceptos de supeposición, mueste que el campo eléctico paa todos los puntos dento de la cavidad es igual, donde es el vecto de posición diigido desde el cento de la esfea al cento de la cavidad. (note que su esultado es independiente del adio de la esfea y el adio de la cavidad Rta: x = 8 cm 39. La figua muesta una lámina no conductoa muy gande que tiene una densidad de caga supeficial unifome ; también muesta a una patícula de caga, a una distancia d de la lámina. Ambos están fijos en ese luga. Si, en que coodenada sobe el eje x (a) positiva y (b) negativa, el campo eléctico neto de la patícula y el plano es ceo?. (c) Si, n qué coodenada x el campo eléctico neto es ceo?. 13

42 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía Si el campo eléctico en el punto P es nulo Cuál es la azón de la caga total q en la esfea a la caga total q 1 en la esfea 1?. Rta. (a) (b) (c) sobe el eje x positivo sobe el eje x negativo Rta: 4. La figua muesta dos cascaones esféicos no conductoes fijos en su luga sobe el eje x. l cascaón 1 tiene una densidad de caga supeficial unifome sobe su supeficie exteio y adio, mientas que el cascaón tiene una densidad de caga supeficial de sobe su supeficie de adio, cm; los centos están sepaados po L = 6 cm. n qué punto sobe el eje x difeente del infinito el campo eléctico es nulo?. Rta: -3,3 cm 41. La figua muesta un cascaón esféico con densidad de caga volumética unifome, adio inteno y adio exteno. Detemine la magnitud del campo eléctico a las distancias adiales (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) y (f) 43. Una distibución de caga que es siméticamente esféica peo adialmente no unifome poduce un campo eléctico de magnitud diigido adialmente hacia afuea desde el cento de la esfea. Aquí es la distancia adial desde el cento y K es una constante. Cuál es la densidad de caga volumética ρ de la distibución?. Rta. 44. l eje de un cilindo metálico hueco lago de adio inteno, adio exteio coincide con un alambe delgado. l alambe tiene una densidad de caga lineal mientas que el cilindo hueco tiene una caga neta po unidad de longitud. Detemine (a) la densidad de caga supeficial de la supeficie exteio del cilindo, (b) l campo eléctico paa puntos exteioes al cilindo. Rta. (a) 95,49 nc/m 45. La figua muesta la sección tansvesal de tes láminas no conductoas infinitamente gandes sobe las cuales ha sido distibuido unifomemente caga. Las densidades de cagas son ; y y la distancia. Detemine la expesión vectoial del campo eléctico en el punto P. Rta. (a) ceo; (b) ceo; (c) ceo; (d) 7,3 N/C; (e) 1,1 N/C; (f) 1,35 N/C 4. La figua muesta, la sección tansvesal de dos esfeas sólidas con caga unifomemente distibuida en sus volúmenes. Cada una tiene un adio R. Mientas que el punto P está ubicado sobe la línea que une los cento de las esfeas, a una distancia adial de, desde el cento de la esfea 1. Rta: = 5, N/C 46. Considee una nube esféica de caga de adio a, con una densidad de caga no unifome, esto es, caga po unidad de volumen, dada po, 131

43 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía donde A es una constante y la distancia adial desde el cento. sta es odeada po un cascaón conducto concéntico de adio inteno b y adio exteio c el cual lleva una caga neta, cuya magnitud es mayo que la caga total en la nube inteio. (a) Use la ley de Gauss paa detemina el campo eléctico en todos los puntos del espacio. (b) mueste en una figua la dependia adial del campo eléctico. (c) Cuáles son las densidades de caga σ b y σ c sobe la supeficie exteio e inteio del conducto?. mm y 3 mm, espectivamente. Detemine la magnitud del campo eléctico en un punto el cual está a, mm desde el eje de simetía. 51. La densidad de caga unifome es distibuida sobe una supeficie cilíndica de adio 1 cm, y una segunda supeficie coaxial de adio 3 cm lleva una densidad de caga de. Detemine la magnitud del campo eléctico en un punto a 4 cm desde el eje de simetía de las dos supeficies. Rta:,73 kn/c 5. Un cilindo sólido aislante lago de adio 3, cm contiene una densidad de caga no unifome donde A es igual a y es la distancia adial desde el eje del cilindo. Detemine la magnitud del campo eléctico a una distancia de 4, cm desde el eje del cilindo. 47. Considee una nube esféica de caga de densidad de caga unifome ρ y adio a, conteniendo una cavidad esféica de adio, como se muesta en la figua. Detemine el campo eléctico en el punto P a una distancia x desde el cento de la nube esféica. 53. Un cascaón esféico no conducto delgado de adio tiene una caga total que está distibuida unifomemente sobe su supeficie. Una segunda cáscaa no conductoa delgada de adio que es coaxial con la pimea tiene una caga que es distibuida unifomemente sobe su supeficie. (a) use la ley de Gauss paa obtene expesiones del campo eléctico en cada una de las tes egiones:, y. (b) Cuál podía se la azón de las cagas y el signo elativo paa y paa que el campo eléctico sea ceo en la egión?. Rta. (a) ceo; ; (b) -1 Rta. 48. La caga po unidad de volumen en una esfea de adio,5 mm vaia con la distancia adial desde el cento de la esfea como sigue. Cuál es la magnitud del campo eléctico a una distancia de, mm desde el cento de la esfea?. 49. Un cascaón esféico simético tiene un adio inteno de 5 cm y un adio exteno de 7 cm. l cascaón tiene una densidad de caga unifome de. Cuál es la magnitud del campo eléctico a,65 m desde el cento del cascaón. Rta: 5. La densidad de caga es distibuida dento de una egión cilíndica hueca fomada po dos supeficies cilíndicas coaxiales de adios, 1, 54. Una esfea sólida no conductoa de adio R tiene una densidad de caga volumética que es popocional a la distancia desde el cento. sto es, paa, donde A es una constante. (a) ncuente la caga total en la esfea, (b) Detemine expesiones paa el campo eléctico dento y fuea de la esfea y (c) epesenta la magnitud del campo eléctico como una función de la distancia desde el cento de la esfea. 55. Una esfea de adio R tiene una densidad de caga volumética paa, donde B es una constante y paa. (a) uente la caga total sobe la esfea. (b) uente expesiones paa el campo eléctico dento y fuea de la esfea y (c) epesente la magnitud del campo eléctico como una función de la distancia desde el cento de la esfea. 56. La caga po unidad de volumen en un aislado esféico de adio R vaía de acuedo con la elación, donde es el valo de ρ en el cento de la esfea. (a) detemine la magnitud del 13

44 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía campo eléctico paa, (b) detemine paa, (c) paa qué valo de el campo eléctico es máximo?. Cuál es el valo de?. 57. Considee una esfea aislante de adio R con una caga po unidad de volumen unifome. Suponga que Ud. podía talada un pequeño hueco a tavés de la esfea a lo lago del diámeto. Mueste que el movimiento de una caga puntual dento del agujeo es amónico simple y entonces detemine el tiempo que podía tomale a esta caga puntual en i y volve al mismo luga. 58. Un plano infinito de caga de densidad supeficial es paalelo al plano xz en y = -,6 m. Un segundo plano infinito de densidad de caga supeficial es paalelo al plano yz en x = 1m. Una esfea de 1 m de adio con su cento en el plano xy en la intesección de los planos cagados (x = 1 m, y =-,6 m) posee una densidad de caga supeficial. Detemine la magnitud y diección del campo eléctico sobe el eje x en: (a) x =,4 m y (b) x =,5 m. Rta: (a) 59. Una coteza esféica cagada unifomemente con una densidad de caga supeficial σ, tiene un oificio cicula en su supeficie. l adio del oificio a es muy pequeño compaado con el adio de la esfea R. (a) Cuál es el campo eléctico en el cento del oificio; (b) Cuál es el campo eléctico en un punto P el cual esta a una distancia desde el cento de la esfea y diectamente sobe el cento del oificio pequeño?. (c) Cómo seía el campo en un punto P a una distancia desde el cento de la esfea y diectamente debajo del cento del oificio pequeño?. 6. La figua muesta una poción de un cable concéntico lago en sección tansvesal. l conducto inteno posee una caga ; el conducto exteio está descagado. (a) Detemine el campo eléctico paa todos los valoes de, donde es la distancia desde el eje del sistema cilíndico. (b) Cuáles son las densidades supeficiales de caga sobe las supeficies inteio y exteio del conducto exteno?. Rta. (a) ceo paa ; paa, (b),1.1-8 C/m ; C/m 61. Un cilindo sólido aislante muy lago de adio R tiene un hueco cilíndico de adio a taladado a lo lago de su longitud. l eje del hueco está a una distancia b del eje del cilindo, donde. l mateial sólido del cilindo tiene una dnsidad de caga volumética unifome ρ. Detemine la magnitud del campo eléctico dento del hueco y mosta que es unifome sobe el hueco completo. 6. Una placa plana de espeso d tiene una densidad de caga volumética unifome, donde x se mide a pati del cento de la placa y C es una constante positiva. Detemine el campo eléctico en todos los puntos en el espacio (a) dento y (b) fuea de la placa, en téminos de la distancia x. 63. Una placa de mateial aislante tiene un espeso d y está oientada tal que sus caas son paalelas al plano yx y esta dado po el plano y. Las dimensiones y y z de la placa son muy gandes en compaación con d y pueden considease esialmente infinitas. La placa tiene una densidad de caga volumética dada po, donde es una constante positiva. ncuente la magnitud y diección del campo eléctico en todos los puntos del espacio como una función de x 64. Una placa dieléctica de extensión infinita tiene un espeso d y lleva una densidad volumética de caga, donde α es una constante positiva. sta placa dieléctica infinita está pegada a un plano infinito con densidad supeficial de caga unifome. Detemine el campo eléctico paa (a) ; (b) y (c) 65. Un cilindo dieléctico muy lago de adio R cagado con una densidad ρ unifome adialmente simética, tiene una cavidad esféica de adio con su cento coincidiendo con el eje del cilindo. Detemine el campo eléctico en el punto P (x,y,z) fuea del cilindo. 133

45 Física Geneal III Ley de Gauss Optaciano Vásquez Gacía 66. La figua muesta el pefil de un conjunto de cilindos muy lagos. l cilindo inteio de adio a es metálico y tiene una caga +. nte a y b existe un cascaón cilíndico dieléctico cuya densidad de caga vaía adialmente en la foma, donde α es una constante positiva. nte b y c existe un cascaón cilíndico metálico con caga. Detemine el campo eléctico en todo el espacio en función de la distancia adial al eje del sistema de cilindos. 69. Paa el poblema N 63, uenta el campo eléctico en el punto, cuando este punto está fuea del cilindo, detemine además el campo en un punto dento del cilindo gande peo fuea de los agujeos. 7. La figua muesta un cilindo sólido delgado y cagado que es coaxial con una cáscaa cilíndica cagada muy laga. Ambos son no conductoes y delgados y tienen densidades de cagas supeficiales sobe sus supeficies exteioes. La figua muesta la componente adial del campo eléctico en función de la distancia desde el eje común. La escala en el eje vetical es ajustado po. Cuál es la densidad de caga lineal en la cáscaa. 67. Se tiene un sistema fomado po una esfea metálica de adio a, inicialmente descagada, conectada a tiea y un cascaón metálico esféico de adios b y c. Sobe este cascaón se deposita una caga +. Calcula la caga, que se debe induci sobe la esfea inteio de adio a (lo cual es posible debido a su conexión a tiea) y el campo eléctico en todas las egiones es deci ; ; y. 71. Tes láminas muy gandes están sepaadas po distancias iguales de 15 cm como se muesta en la figua. La pimea y la tecea lámina son muy delgadas y no conductoas y tienen una caga po unidad de áea σ de y, espectivamente. La lámina cental es conductoa peo no tiene caga neta. (a) Cuál es el campo eléctico en el inteio de la lámina cental?. (b) Cuál es el campo eléctico ente la lámina izquieda y la lámina del cento?, (c) Cuál es el campo eléctico ente la lámina cental y la lámina deecha?. (d) Cuál es la densidad de caga supeficial en ambos lados de la lámina cental?. 68. Un cilindo dieléctico de adio R y lago infinito tiene una densidad volumética de caga adialmente unifome, es deci. Si se le hacen dos agujeos cilíndicos infinitamente lagos, cada uno de adio R, halla el campo eléctico en el punto P en función de la distancia adial x mostada en la figua. 134

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