CAPITULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.

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1 Cap. 3 Mimien en d Dimenine CAPITULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. En geneal e1 mimien de l bje edade e ealiza en el epaci eal idimeninal. E1 mimien de una paícula que e ealiza en un plan e un mimien en d dimenine, i el mimien e ealiza en el epaci, e pduce en e dimenine. En ee capíul e eudia la cinemáica de una paícula que e muee be un plan. Ejempl de un mimien en d dimenine n el de un cuep que e lanza al aie, al cm una pela, un dic giand, el al de un cangu, el mimien de planea aélie, ec. El mimien de l bje que gian en una óbia cua aecia e una cicunfeencia, e cnce cm mimien cicunfeencial; e un ca de mimien en d dimenine, que ambién e eudiad en ee capíul. El uel de una mca, el de un aión el mimien de la nube e pduce en e dimenine. 3.1 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. Cninuam eingiend el eudi del mimien al ca de una paícula que e muee cn aceleación cnane, e deci que u magniud diección n cambian duane el mimien. E1 ec pición de una paícula que e muee en el plan x e una función del iemp, e ecibe cm: ( ) x( )ˆ i + ( ) ˆj P definición, la elcidad de la paícula en mimien en el plan x e, el cambi de pición en el ancu del iemp e puede deemina p: d d dx d iˆ + ˆj xiˆ + d d ˆj e deci, ( ) x ( )î + ( ) ĵ 75

2 Cap. 3 Mimien en d Dimenine dnde x n la cmpnene de la elcidad en la diección x e. Si la aceleación e cnane, u cmpnene a x en la diección x, a en la diección, ambién l n. Aplicand la ecuacine cinemáica de la elcidad deducida paa el mimien en una dimenión, independienemene en cada diección x e, paa una paícula que en el inane inicial e muee cn elcidad inicial iˆ x + ˆ j e bienen la cmpnene de la elcidad en función del iemp: x x + a ( x ) + a ( ) eemplazand en la expeión de ( ), e biene la elcidad en cualquie inane : ( ) ( ) ( [ + a ( )] iˆ + [ + a ( )] x x x iˆ + ˆ) j + ( a x iˆ + a ˆ)( j ) ˆj ( ) + a( ) (3.1) De manea imila eemplazand la expeine de la pición en función del iemp en cada diección x e, paa una paícula que en el inane inicial e encuena en la pición inicial xiˆ + ˆ j e biene la pición ( ) de la paícula, en cualquie inane : x x + x 1 ( ) + ax ( ) 76

3 Cap. 3 Mimien en d Dimenine + 1 ( ) + a ( ) 1 ( ) + ( ) + a( ) (3.) Se cnclue que el mimien bidimeninal cn aceleación cnane e equialene a d mimien independiene en la dieccine x e cn aceleacine cnane a x a. A ea ppiedad e le llama pincipi de independencia del mimien. 3. MOVIMIENTO DE PROYECTILES. Cualquie bje que ea lanzad en el aie cn una elcidad inicial de diección abiaia, e muee decibiend una aecia cua en un plan. Si paa ea fma cmún de mimien e upne que: a) la aceleación de gaedad e cnane en d el mimien (apximación álida paa el ca en que el deplazamien hiznal del cuep en mimien ea pequeñ cmpaad cn el adi de la Tiea) b) e depecia el efec de la mlécula de aie be el cuep (apximación n mu buena paa el ca en que la apidez del cuep en mimien ea ala), ennce a ee ip de mimien e le llama mimien de pecil e pduce en d dimenine. Se elige el iema de cdenada (x, ) adicinal cm e e en la figua 3.1, dnde e dibuja la aecia de una paícula en mimien en d dimenine, jun cn l ece elcidad aceleación de gaedad. Supniend que en el inane inicial el pecil e encuena en la pición inicial (x, ) miénde cn una elcidad inicial que fma un ángul α cn la hiznal, baj la acción de la aceleación de gaedad g, la ecuacine paa la pición del cuep en mimien en d dimenine, e pueden ecibi, a pai de la ecuación geneal de pición 3., paa cada cmpnene x e p epaad. Pe del gáfic (x, ) de la figua 3.1 e pueden bene la cmpnene de la elcidad inicial, de magniud, la cmpnene de la aceleación a de magniud g: 77

4 Cap. 3 Mimien en d Dimenine 78 g a a en x x 0,,, c α α Figua 3.1 Siema de efeencia paa el mimien de un pecil. Reemplazand en la cmpnene de la ecuación 3., e biene: ) ( 1 ) ( ) ( c g en x x + + α α (3.3) Paa la cmpnene de la elcidad e biene: ) ( c x g en α α (3.4)

5 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Cm n ha aceleación en la diección hiznal x, la cmpnene x de la elcidad e cnane, cm la aceleación en la diección eical e g, la cmpnene de la pición de la elcidad en ea diección n idénica a la ecuacine paa caída libe, cn α 90º. Ennce el mimien de pecil e cmpne de la upepición de un mimien en diección x cn elcidad cnane un mimien en diección de caída libe: e el pincipi de upepición del mimien. La ecuación de la aecia, e e la cua geméica que decibe el cuep duane el mimien del pecil, e puede bene depejand el paáme - de la ecuación en x eemplazand en la ecuación paa : x x cα ( x x ) + enα cα 1 ( x x ) g c α g + anα ( x x ) (3.5) ( x x ) c α que e la ecuación de una paábla, p l an la aecia del pecil e paabólica queda almene cncida i e cnce α. La elcidad del pecil e iempe angene a la aecia en cualquie inane, p l que la diección la magniud de la elcidad en cualquie inane e puede calcula en fma geméica de la ecuacine: anα x, x + Ejempl 3.1: Paa un pecil que e lanza en el inane inicial 0 dede el igen, cn una elcidad inicial fmand un ángul α cn la hiznal, calcula: a) la alua máxima, b) la diancia hiznal. 79

6 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Slución: la iuación e puede gafica en el equema de la figua 3.. Figua 3. Ejempl 1. a) Cuand el pecil alcanza u máxima alua, la cmpnene de la elcidad e ce a que n igue ubiend, ademá e ignifica que la elcidad en ea pición e hiznal, ennce de e biene: enα g 0 enα g que e el iemp que ada en llega a la alua máxima. Reemplazand en máx máx enα g en α g enα 1 g g enα b) Paa deemina la diancia hiznal, cncid ambién cm alcance hiznal, uam la cndición que en ea pición el pecil e encuena en (x,) (x,0), aí que igualand la ecuación paa a ce e biene: 80

7 0 enα enα g Cap. 3 Mimien en d Dimenine que e el iemp que dema el pecil en llega a la pición (x,0), e bea que e el dble del iemp que dema en llega a la alua máxima. Reemplazand ee iemp en x e biene la diancia hiznal x alcance: 1 g x cα enα enα g g Cm cnecuencia de ea expeión paa la diancia hiznal, e puede bene el alcance máxim paa una elcidad inicial cncida, ee e pduce cuand enα 1, ennce en α 1 α 90º α 45º E1 alcance máxim e pduce paa un ángul de lanzamien igual a 45, cm e muea en la figua 3.3a. Ademá paa cualquie ángul diin de 45 e puede bene un mim alcance paa d ángul cmplemenai, ale cm α 30 α 60, iuación que e ilua en la figua 3.3b. a) b) Figua 3.3. a) Alcance máxim, b) igual alcance paa ángul cmplemenai. 81

8 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Ejempl 3.. Se lanza un pecil de manea que la diancia hiznal que ece e el dble de u alua máxima, calcula u ángul de lanzamien Slución: Dad x máx, e pide calcula α. De l eulad benid en el ejempl 1 paa alua máxima diancia hiznal, e iene: max α g en x en α g x max enα en α g g en α en α Uand la idenidad ignméica en α enα cα epaand en α en u face, e biene la expeión: en α cα ( enα)( enα) cα enα de dnde e cnclue que: anα α Ejempl 3.3. Se lanza una pela dede la eaza de un edifici, cn una apidez inicial de 10 m/ en un ángul de 0º debaj de la hiznal, dema 3 en llega al uel. Calcula a) la diancia hiznal que ece la pela b) la alua dede dnde e lanzó, c) el iemp que ada en llega a 10 m debaj del pun de lanzamien, d) la ecuación de la aecia. Slución: e debe hace un equema en un iema de efeencia cn la infmación que e da en el enunciad del ejempl; un appiad puede e el que e muea en la figua 3.4, pe dejam en cla que ee n e el únic pible, p ejempl, e puede cambia el igen O ubical dnde cmienza el 8

9 Cap. 3 Mimien en d Dimenine mimien n en el uel, cm en ee ca ( n e neceai dibuja el edifici). Figua 3.4 Siema de efeencia paa el ejempl 3. Reemplazand l da iniciale en la ecuacine geneale paa el mimien de pecil (ec. 3.3), e iene: x x + (c α ) x 10(c 0) 9. 4 enα 5 10( en0) 5 a) Paa 3, eemplazand en x, x m b) En 3 la pela llega al uel dnde 0, eemplazand en, 0 10en m c) Se pide calcula cuand m, eemplazand en : ( en0) 5 83

10 Cap. 3 Mimien en d Dimenine ± (3.4) ± El al álid e 1, el iemp negai e un eulad maemáic cec, pe n e fíicamene pible. d) Paa encna la ecuación de la aecia (x), e cneniene depeja de la ecuación x 9.4 x/9.4; eemplaza ee al de en la ecuación paa : x 5x (9.4) ( x) x 0.056x Ejecici: dibuja la ecuación de la aecia uand Excel, paa ell da ale a x en el ang 0 < x < 8 calcula l ale de. 3.3 MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL. O ca paicula de mimien en d dimenine e el de una paícula que e muee decibiend una aecia cicunfeencial, cn elcidad. Paa un bje que e muee en una aecia cicunfeencial, i la apidez e cnane, el mimien e llama cicunfeencial unifme. Si en el inane inicial i el bje iene una elcidad inicial i un inane pei f iene una elcidad final f, cm la apidez e cnane ennce i f cambia ól la diección de la elcidad. Se puede calcula la aceleación media a m de la paícula uand u definición: 84

11 Cap. 3 Mimien en d Dimenine a m f i De la figua 3.5 e puede bene geméicamene. En la cicunfeencia (figua 3.5a) la lngiud del ac, ubendid p el ángul θ, e apximadamene igual al lad del iángul que une l pun de i f. Obeand que l iángul de lad ( ) en la cicunfeencia de lad i ( ) f de la figua 3.5b n emejane, ennce cm i f, e iene la iguiene elación de emejanza de iángul: Reemplazand ee al de en la magniud de la aceleación media, e biene: a m Figua 3.5 a) izquieda, b) deecha. 85

12 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Si e mu pequeñ, endiend a ce, ambién l n, e hace pependicula a, p l an apuna hacia el cen de la cicunfeencia. En el límie cuand 0, a m a e puede ecibi: a lim lim a 0 0 Ennce en el mimien cicunfeencial cn apidez cnane, la aceleación apuna hacia el cen de la cicunfeencia (a que en el límie apuna hacia el cen), p l que e llama aceleación cenípea a c (ambién e uan l nmbe cenal adial) el ec cn u magniud e: a c ( ˆ), a c (3.6) dnde ˆ e un ec uniai adial diigid dede el cen de la cicunfeencia hacia fuea, que e muea en la figua 3.5a. Paa el ca en que duane el mimien cicunfeencial de la paícula cambia la elcidad an en diección cm en magniud, la elcidad iempe e angene a la aecia (figua 3.6), pe aha la aceleación a n e adial, in que fma un ángul cualquiea cn la elcidad. En ee ca e cneniene ecibi la aceleación en d cmpnene eciale, una adial hacia el cen a a angene a la aecia a, ennce a e ecibe cm: a a + a a ( ˆ) + a ˆ, dnde ˆ e un ec uniai angene a la aecia, en la diección del mimien. En ea ecuación, la cmpnene adial de la aceleación e la aceleación cenípea iginada p el cambi en la diección de la elcidad la 86

13 Cap. 3 Mimien en d Dimenine cmpnene angencial e pducida p el cambi en la magniud de la elcidad, p l an u al numéic e: a d d Figua 3.6 Ennce la aceleación al en el mimien cicunfeencial e: a ˆ + d ˆ d (3.7) En la figua 3.7 e en l ece uniai paa un mimien cicunfeencial. Obea que en el ca del mimien cicunfeencial unifme ce, ennce d/d 0 a a ac. Y i n cambia la diección de,, a 0, el mimien e en una dimenión cn a a d / d. Aunque ea deducción fue ealizada paa el mimien cicunfeencial, e álida paa cualquie aecia cua, cnideand el adi de cuaua de la aecia dede el pun dnde e miden la aiable haa el cen de cuaua de la aecia en ee pun. 87

14 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Figua 3.7 Ejempl 3.4. Calcula la apidez bial de la alación eee aleded del Sl la aceleación cenípea cepndiene. Slución: la diancia media ene el Sl la Tiea e d ST x 10 6 km. La Tiea cmplea una uela en n al Sl en un añ día, ennce la apidez bial e: x x 0 + ( π d 1añ TS 0 ) x x 0 ( 11 π m ).98 x π 4 m km Na que la Tiea iene una apidez de alación enme en u mimien en n al Sl, e un de l bje ma elce que cualquie que e muea be la upeficie eee. Pe u aceleación cenípea e mu pequeña (cmpaada cn g p ejempl), cm e biene del calcul iguiene: a c d TS ( ) m 88

15 Cap. 3 Mimien en d Dimenine 3.4 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR. Una paícula que gia ubicada en un pun P a una diancia del igen, decibe una cicunfeencia en n al igen. La pición de la paícula e puede expea en cdenada plae (,θ), dnde la única cdenada que cambia en el iemp e el ángul θ. Si la paícula e muee dede el eje x pii, dnde θ 0 haa un pun P, el ac de lngiud ecid p la paícula, el ángul, cm e e en la figua 3.8, e definen cm: θ θ (3.8) Se bea que el ángul e una aiable adimeninal, pe e le aigna cm unidad de medida el nmbe del ángul, llamad adian, cn ímbl ad. De la ecuación 3.8, e define un adian cm el ángul ubendid p un ac de cicunfeencia de igual lngiud que el adi de la mima. Cm en una cicunfeencia, π, π (ad) 360º, e puede encna la elación ene adiane gad: π θ ( ad ) θ º 360º De aquí e deduce que el al en gad de un adian e 1 ad 57.3º, que p ejempl, 45º π/4 ad. Figua

16 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Cuand una paícula e muee dede P haa Q egún la figua 3.9, en un ineal de iemp, el adi e muee un ángul θ, que e el deplazamien angula. De manea análga al mimien lineal, e definen la apidez angula ω aceleación angula α cm: dθ ω, α d dω d Su unidade de medida n ad/ ad/, ecdand que el adian n e una unidad de medida, p l que en el análii dimeninal e bienen paa ea aiable la dimenine de 1/ 1/. De la definición de ea aiable e deduce ademá que paa la ación de un cuep aleded de un eje, da la paícula ienen la mima elcidad angula la mima aceleación angula. Figua 3.9 Deplazamien angula θ dede P a Q Cinemáica de ación. El deplazamien, elcidad aceleación angula n análg a u imilae aiable lineale. Aí la ecuacine cinemáica del mimien de ación cn aceleación angula cnane ienen la mima fma que la cepndiene al mimien lineal haciend l eemplaz x p θ, p ω a p α, p l que la ecuacine cinemáica del mimien angula n: 90

17 Cap. 3 Mimien en d Dimenine 1 θ θ + ω ) + α( ( ) (3.9) ω ω + α( ) (3.10) 3.4. Relación ene la aiable angulae lineale. Paa da paícula que gia decibiend una aecia cicunfeencial, exie una elación ene la magniude angulae cn la cepndiene lineale. Si la paícula ece una diancia lineal, miénde un ángul θ be una aecia cicunfeencial de adi, iene una elcidad que p e angene a la aecia e llama elcidad angencial, iene aceleación angencial cenípea, ennce la elacine ene la aiable n: θ d d( θ ) dθ ω d d d d d( ω) dω a a α d d d a c ω (3.11) La magniud de la aceleación en el mimien cicunfeencial e: a a c + a 91

18 Cap. 3 Mimien en d Dimenine P úlim e debe deci que e ua cmúnmene cm unidad de medida de la aiación angula el émin elución, que cepnde a una uela cmplea, ó 360º ó π (ad). Y paa elcidad angula e uan la uela elucine p minu, cn unidad de medida e/min. Siempe e debe ene en mene que la uela elucine n medida de ángul, p l an n un núme adimeninal. Ejempl 3.5. Tanfma 1 e/min a ad/. Slución: e 1 min e 1min π ( ad) ad min 60 1e 1 Ejempl 3.6. Calcula la apidez angula, la elcidad angencial aceleación cenípea a) en un pun be el ecuad paa la ación eee, b) paa la alación de la Tiea en n al Sl. Slución: a) la Tiea da una uela en 3 ha 56' 4" un día u adi medi e 6371 km. Paa un pun be el ecuad e iene: π ω T día π ad ωr T ad ( m m) a c R T ω R T ad m m b) La alación de la Tiea en n al Sl e cmplea en un añ la diancia media de la Tiea al Sl e apximadamene km: 9

19 Cap. 3 Mimien en d Dimenine π ω T añ π ad ωr ST ad m m 9.8 km a c R ω R ad m m Ejempl 3.7. Un dic de 10 cm de adi que gia a 30 e/min dema un minu en deenee cuand e l fena. Calcula: a) u aceleación angula, b) el núme de elucine haa deenee, c) la apidez angencial de un pun del bde del dic ane de empeza a fena, d) la aceleación cenípea, angencial al paa un pun del bde del dic. Slución: Da: 0.1m, 1 min 60. Pime e anfman la 30 e/min a ad/. e π ( ad) 1min ω min 1e 60 ad (a) Uand la ecuacine de cinemáica de ación: ω ω + α( ) depeja α, cuand e deiene ω 0:, e 0 ω + α ω α 3.14 ad 60 ad 0.05 (b) Se pide calcula θ, uand la ecuación 1 θ θ + ω α eemplazand l da, e biene: ( ) + ( ) 93

20 Cap. 3 Mimien en d Dimenine ad 1 θ θ S e θ 94.ad 15e π ( ad) ( 60) 94.ad (c) Se puede calcula la apidez cn la ecuación: ω ad 0.1m (d) La aceleación cenípea, angencial al e: ( 0.314) m m a c a m α a a c + a m ( 0.98) + ( 0.005) MOVIMIENTO RELATIVO. Paa una paícula en mimien, beade ubicad en iema de efeencia difeene medián ale diin de la aiable cinemáica, aunque el mimien e el mim. P ejempl, un bje que e deja cae dede un ehícul en mimien: el bead en el ehícul que deja cae el bje l e cae eicalmene, pe un bead en iea l e mee cm mimien paabólic en d dimenine. E un mim mimien i en fma difeene p beade en iema de efeencia difeene, e llama mimien elai, e pduce en d dimenine. Paa decibi el mimien elai cnideam beade en d iema de efeencia: un iema de efeencia (x,) fij epec a la Tiea cn igen O iema de efeencia (x, ) que e muee epec al fij, cn 94

21 Cap. 3 Mimien en d Dimenine igen O, cm e e en la figua 3.10, dnde l eje x x eán upepue. Supngam ademá que el iema de efeencia móil e muee en línea eca en diección x cn elcidad cnane u epec al iema de efeencia fij. Figua Vece de pición de una paícula en mimien elai. La pición de la paícula P en mimien epec al iema de efeencia fij eá epec al iema de efeencia móil eá. Si en 0 amb ígene cinciden, x 0, cm u ce, la pición del iema de efeencia móil en el inane eá: x x0 + u + x u 1 a Del diagama de ece de la figua 3.10, e biene que la pición de la paícula cumple la iguiene elación ecial: x + ' u + ' De ea expeión e puede bene la elcidad de la paícula 95

22 Cap. 3 Mimien en d Dimenine d d d ' + u d ' + u Ennce, la elcidad de la paícula medida en el iema de efeencia fij e igual a la elcidad epec al iema de efeencia móil má la elcidad u del iema de efeencia móil epec al iema de efeencia fij. Ea ecuación e cnce cm la anfmación galileana de elcidade. La aceleación e puede bene deiand la elcidad d d' du + d d d du cm u ce 0, ennce a a' d Se cnclue que d beade ubicad en iema de efeencia difeene miden elcidade difeene paa la paícula, pe i la elcidad del iema de efeencia móil e cnane, l d miden la mima aceleación de la paícula en mimien. Uaem la iguiene nación: i P e la paícula, F el iema de efeencia fij M el iema de efeencia móil, ennce la elcidad PF de la paícula epec al iema de efeencia fij e igual a la elcidad PM de la paícula epec al iema de efeencia móil má la elcidad MF del iema de efeencia móil epec al iema de efeencia fij, e e: PF PM + MF (3.1) 96

23 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Ejempl 3.8. La apidez del agua de un í e 5 km/h unifme hacia el ee. Un be que e diige hacia el ne cuza el í cn una apidez de 10 km/h epec al agua. a) Calcula la apidez del be epec a un bead en la illa del í. b) Calcula la diección dnde debe diigie el be i e quiee llega ju al fene en la illa puea. c) Calcula aha u apidez epec a la iea. Slución: El iema de efeencia fij e la iea, el iema de efeencia móil el í la paícula e el be, ennce: PM 10 km/h MF 5 km/h PF? : apidez del be (paícula) epec al agua (SR móil) : apidez del agua (SR móil) epec a iea (SR fij) : apidez del be (paícula) epec a iea (SR fij) a) E cneniene hace el diagama de ece de elcidade, que e muea en la figua 3.11a: a. b. Figua 3.11 Ejempl 8. La magniud de la elcidad del be epec a iea PF, que iene una cmpnene a fa de la ciene, e puede calcula del iángul ecángul de ece de la figua 3.11a PF PF PF PM km 11. h MF 15 97

24 Cap. 3 Mimien en d Dimenine u diección e: MF 5 1 an θ θ 6.6º NE 10 PM b) Si quiee llega ju al fene dede dnde ale, cm la ciene del í l aaa hacia el ee, haciend el diagama de ece, figua 3.11b, e bea que debe apuna en diección α hacia el nee, ennce: MF 5 1 en α α 30º 10 PM c) Aha, la apidez PF e: PM MF + PF PF PM MF PF PF 8.7 km h Cm debe ema cn una cmpnene de la elcidad en cna de la ciene, la elcidad eulane del be en ee ca e men que en la pae a), dnde una cmpnene de la elcidad e a fa de la ciene. 98

25 Cap. 3 Mimien en d Dimenine PROBLEMAS Se dipaa un pecil dede el pi cn elcidad ( 1ˆ i + 4 ˆ) j m /. a) Cuál e la elcidad depué de 4? b) Cuále e la pición del pun en el cual la alua e máxima? c) Cuál e la diancia hiznal? R: a) 1i-15j m/, b) 30i+30j m. 3.. Dede el bde de un acanilad e lanza una pieda hiznalmene cn una apidez de 15 m/. El acanilad eá 50 m de alua epec a una plaa hiznal. a) En que inane la pieda glpeaá la plaa baj el acanilad?, b) Dónde glpea? c) Cn qué apidez ángul glpeaá la plaa? d) Encna la ecuación de la aecia de la pieda. R: a) 3.16, b) 47.4m, c) 35m/, 65º, d) 50-(x /45) Un balón de fúbl que e paea a un ángul de 50 cn la hiznal, ece una diancia hiznal de 0 m ane de chca cna el uel. Calcula a) la apidez inicial del balón b) el iemp que pemanece en el aie c) la alua máxima que alcanza. R: a) 14.m/, b)., c) 6m Se lanza hiznalmene una pela dede la pae upei de un edifici que iene 35 m de al. La pela chca cna el pi en un pun que e encuena a 80 m de la bae del edifici. Calcula: a) el iemp que la pela e encuena en el aie, b) u apidez inicial c) la elcidad ju ane de que chque cna el uel. R: a).6, b) 30 m/, c) 30i-6j m/ Se lanza una pieda de manea que la diancia hiznal que ece e el iple de u alua máxima, calcula u ángul de lanzamien. R: 53.1º En el póxim paid de Chile cn la elección de Micmicn, el Che Cpee debeá paea un i libe dede un pun a 5m del ac cua alua e.5m. Cuand paea, la pela ale del céped cn una apidez de 0m/ en un ángul de 0º be la cancha. Supniend que la pela n ufe ninguna aleación de u aecia, a) e cniee n el gl? b) Cn qué elcidad cuza p el ac? c) Obenga la ecuación de la aecia de la pela. (P cuan pedeá Chile cn l Micmicne). R: a) i, paa a 0.5m del uel, b) 18.8i-6.5j m/. 99

26 Cap. 3 Mimien en d Dimenine 3.7. Se lanza un chee fmand un ángul de 60º cn la hiznal cn una apidez inicial de 100 m/. El chee e muee a l lag de u diección inicial de mimien cn una aceleación de 30 m/ duane 3. En ee inane deja de acelea empieza a mee cm un pecil. Calcula: a) la alua máxima alcanzada p el chee; b) u iemp al de uel, c) la diancia hiznal. R: a) 1730m, b) 38, c) 3543m Un pecil e dipaa dede ciea alua 0 en un ángul de 45º, cn la inención que glpee a un móil que e muee cn elcidad cnane de 1 m/ hacia la deecha, que e encuena ubicad a 70 m del igen be el eje x en el inane del dipa. Si el pecil impaca al móil al cab de 10, calcula a) la apidez inicial del pecil, b) u pición inicial, c) u alua máxima dede el uel. R: a) 39.6m/, b) 0m, c) 59.m Ka le lanza un chicle (nue) dede una alua de 1.5 m a Pepe, que e encuena epaad a 3 m de Ka. El chicle paa un egund depué a una alua de 1 m p dnde eá Pepe, pe cm él eaba pajaeand n l ma. a) Hace un equema de la iuación en un SR. b) Calcula la elcidad inicial que Ka le impime al chicle. c) A qué diancia deá de Pepe caeá el chicle?, en ee ca qué e debe upne? d) Deemina la ecuación de la aecia del chicle de Ka. R: b)3i+4.5j m/, c)0.45m Luch e encuena a 5m de una paed eical cuand lanza una pela de báquebl dede.5m de alua, cn una elcidad inicial de -10i +10j m/. Cuand la pela chca cn la paed, la cmpnene hiznal de la elcidad de la pela e iniee la cmpnene eical n cambia u diección (pe i u magniud). a) Hace el equema de la iuación. b) A que diancia de Luch caá el uel la pela? R: b) 1m deá Un en e muee cn apidez cnane de 54 km/h. Dede una enana del en ubicada a m del uel, un cabchic ia un bje hiznal pependiculamene a la diección de mimien del en, cn una apidez de 5 m/. Calcula la pición dnde caeá el bje epec al pun de lanzamien. R: 3.15i+9.45j+0k m. 100

27 Cap. 3 Mimien en d Dimenine 3.1. Se apuna un ifle hiznalmene a aé de u mia hacia el cen de un blanc gande que ea a 00 m. La elcidad inicial de la bala e de 500 m/. a) En dónde glpea la bala en el blanc? b) Calcula el ángul de eleación del cañón paa da en el cen del blanc. R: a) 0.8m debaj de la alua del ifle, b) 0.3º Un cañón dipaa un pecil cn una apidez inicial inclinad en un ángul α. Si el ángul e cambia a β, el alcance del pecil aumena en una diancia D. Demuee que D g ( enβ enα ) La diancia hiznal máxima a la que puede paea la pela un aque e 10 m. En un aque dede el ac, glpea la pela cn la mima apidez inicial cn la que alcanza ea diancia máxima, pe fmand un ángul de 5º cn la hiznal. Calcula a que diancia del ac llegaá la pela cn un chue del aque Una pulga puede ala una alua eical h. a) Cuál e la diancia hiznal máxima que puede ece? b) Cuál e u pemanencia en el aie en amb ca? Un camión e muee al ne cn una elcidad cnane de 10 m/ en un am de camin hiznal. Un cabchic que paea en la pae pei del camión deea lanza una pela miena el camión e eá miend aapala depué de que el camión haa ecid 0 m. a) Depeciand la eiencia del aie, a qué ángul de la eical debeía e lanzada la pela? b) Cuál debe e la apidez inicial de la pela? c) Cuál e la fma de aecia de la pela ia p el cabchic? d) Una pena be la iea bea que el muchach lanza la pela la aapa. En ee mac de efeencia fij del bead, deemine la fma geneal de la aecia de la pela la elcidad inicial de ea Un cabchic ia una pela al aie l má fuee que puede lueg ce cm una liebe paa pde aapa la pela. Si u apidez máxima en el lanzamien de la pela e 0 m/ u mej iemp paa ece 0 m e 3, calcula la alua de la pela paa que pueda mala. 101

28 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Una pela de glf ale dede el pi en un ángul α glpea a un ábl a una alua H del uel. Si el ábl e encuena a una diancia hiznal D del pun de lanzamien, a) demuee que anα H/D. b) Calcula la apidez inicial de la pela en émin de D H Una paícula cmienza a gia dede el ep haa una apidez angula de 15 ad/ en 3 egund. Calcula a) u aceleación angula, b) el núme de uela en ee iemp Una ueda de biciclea de 30 cm de adi cmienza a gia dede el ep cn una aceleación angula cnane de 3 ad/. Depué de 10 egund calcula: a) u apidez angula, b) el deplazamien angula, c) la apidez angencial de un pun del bde, d) u aceleación al paa un pun del bde. R: a) 30 ad/, b) 150 ad, c) 9 m/, d) 70 m/ Buque la infmación neceaia paa calcula la aceleación cenípea al niel del ma de un pun be el Ecuad, en Cncepción, en 45º de laiud u en el Pl Su. R: m/, 0.07 m/, 0.04 m/, La óbia de la Luna aleded de la Tiea e apximadamene cicula, cn un adi pmedi de 3.84 x 10 8 m. La Luna cmplea una elución en n a la Tiea en n a u eje en 7.3 día. Calcula a) la apidez bial media de la Luna, b) la apidez angula, c) aceleación cenípea. R: a) 103m/, b).7x10-6 ad/, c).7x10-3 m/ Calcula la apidez bial media de la Tiea en n al Sl u apidez angula en n a u eje de ación. R: 9.8km/h, 7.7x10-5 ad/ A la paícula del exem de un péndul de lag un me e la hace gia de fma al que u mimien decibe una cicunfeencia en un plan hiznal. Cuand el péndul e ha deiad 30º de la eical, la paícula cmplea una uela cada 3 egund. Calcula a) u apidez angula b) u apidez angencial, c) u aceleación cenípea. R: a).1 ad/, b) 1.05 m/, c). m/ Una cenífuga cu amb iene 50 cm de diáme, cmienza a gia dede el ep haa alcanza una apidez angula de 1000 pm en 10. a) Calcula u aceleación angula. b) Si depué de l 10 gia cn a- 10

29 Cap. 3 Mimien en d Dimenine pidez cnane duane 5 minu, calcula el núme de uela que da cada minu. c) calcula la apidez angencial, aceleación cenípea angencial en la paede del amb. d) Si depué de l 5 minu ada 0 en deenee, calcula u aceleación angula. R: a)10.5ad/, b)10 3, d)-5./ Un dic cmienza a gia dede el ep cn aceleación angula cnane haa una apidez angula de 1 ad/ en 3. Calcula: a) la aceleación angula del dic, b) el ángul que decibe. R: a) 4ad/, b) 18ad Un m elécic hace gia un dic a azón de 100 e/min. Cuand e apaga el m, u aceleación angula e ad/. Calcula: a) el iemp que dema el dic en deenee, b) el núme de uela que gia en ee iemp. R: a) 5., b) 7.5 ad Un dic cmienza a gia dede el ep cn aceleación angula cnane de 5 ad/ p 8. Lueg el dic e llea al ep cn una aceleación angula cnane en 10 elucine. Calcula: a) u aceleación angula, b) el iemp que dema en deenee. R: a) 1.7 ad/, b) π Un lane de m de diáme, cmienza a gia dede el ep cn aceleación angula cnane de 4 ad/. En el inane inicial un pun P del bde del lane fma un ángul de 57.3º cn la hiznal. Calcula paa el inane : a) u apidez angula, b) la apidez lineal de P, c) la aceleación lineal de P, d) la pición de P. R: a) 8 ad/, b) 8 m/, d) 9 ad Un dic de 8 cm de adi, gia cn una apidez angula cnane de 100 e/min. Calcula: a) la apidez angula del dic, b) la apidez lineal de un pun a 3 cm del dic, c) la aceleación adial de un pun en el bde del dic, d) la diancia al ecida p un pun del bde en. R: a) 16 ad/ b) 3.8 m/, c) 1.6 km/, d) 0.1m La pición de una paícula que e muee en el plan x aía cn el iemp egún la ecuación a c(ω )i + a en(ω )j, en dnde a e miden en m, ω en -1 en. a) Demuee que la aecia de la paícula e una cicunfeencia que iene a m de adi u cen eá en el igen. b) deemine l ece de elcidad de aceleación c) 103

30 Cap. 3 Mimien en d Dimenine Demuee que el ec aceleación iempe apuna hacia el igen (pue a ) iene una magniud de / Supeman (n el Vaga, el de edad), que le anda echand el j a Luia Lane, uela hacia el nee, dnde e encuena ella, cn una apidez de 54 km/h epec al aie. El ien pla hacia el nee a 7.5 m/ epec de iea. a) Calcula la apidez de Supeman epec de iea. b) Supeman, que n apbó Fíica I, n e encuena cn Luia p qué? R: a) 60.3 km/h, b) pque e deía 6.6º Un cónd (n el Rja, in un de edad) uela hacia el ee cn una apidez de 1 km/h epec del aie, en peencia de un ien que pla hacia el nee (a 45º) cn una apidez de 5 m/. a) Calcula la apidez eulane del cónd. b) Qué diancia e deía cada minu epec a la diección ee? R: a) 7.8km/h, b) 1m El pil de un aión e iena hacia el ee en peencia de un ien que pla hacia el u a 75 km/h. Si la apidez del aión epec al ien e 500 km/h, a) Cuál e u apidez epec a la iea? b) en qué diección e deía el aión? c) en qué diección debe diigie el aión paa i hacia el ee? d) En ee ca cuál eá u apidez epec a la iea? R: a) 506 km/h, b) 8.5º, c) 8.6º, d) km/h El pil de una aión bea que la bújula indica que a diigiénde hacia el ee. La apidez del aión epec al aie e de 150 km/h. Si exiiea un ien de 30 km/h hacia el ne, calcule la elcidad del aión epec a la Tiea. R: 153km/h, 11.3ºNW Un pecad deea cuza un í de 1 km de anch, el cual iene una ciene de 5 km/h hacia el ne. El pecad eá be el lad ee. Su be e impula cn una apidez de 4 km/h epec del agua. a) En qué diección debeá apuna paa hace el cuce en un iemp mínim?, b) Cuán iemp le maá paa cuza?, c) Deemine la elcidad del be cn epec a un bead eacinai en la Tiea, d) Encuene el deplazamien final ciene abaj. R: a) ee, b) 15min, c) 6.4km/h, 51.3º NE, d) 1.5 km. 104

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