7 Energía electrostática Félix Redondo Quintela y Roberto Carlos Redondo Melchor Universidad de Salamanca

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1 7 Eergía electrostática Félix Redodo Quitela y Roberto Carlos Redodo Melchor Uiersidad de alamaca Eergía electrostática de ua distribució de carga eléctrica Hasta ahora hemos supuesto distribucioes de carga, pero o hemos cosiderado la eergía ecesaria para formarlas. e llama eergía electrostática de ua distribució de carga eléctrica al trabajo que hay que realizar para trasladar esa carga desde regioes de potecial cero al lugar que ocupa e la distribució, supuesto que o hay más campo eléctrico que el que crea la carga de la distribució. Ese trabajo coicide co el que realizaría las fuerzas electrostáticas de la propia distribució, si se permitiera que se dispersara su carga para oler a su situació iicial. E lo que sigue, supodremos que el medio e el que se sitúa la distribució es u dieléctrico lieal y homogéeo respecto a la permitiidad!, que llea todo el espacio, y que su desidad de carga es iicialmete ula e todos sus putos, por lo que el campo eléctrico tambié es iicialmete cero e todos los putos del dieléctrico. upodremos el orige de poteciales e el ifiito 1. Eergía electrostática de ua distribució de cargas putuales Para traer ua carga putual q 1 desde el ifiito a u puto cuyo ector de posició es r 1, o hay que realizar trabajo, pues, segú las hipótesis de partida expuestas e el apartado aterior, el alor del campo eléctrico es cero e todos los putos, y la fuerza sobre q 1 es, por tato, cero. i ahora se trae la carga q desde el ifiito hasta el puto r, el trabajo que hay que realizar es dode W = q V 1 = 1 q 1 q!" r 1 V 1 = 1!" q 1 r 1 es el potecial del puto que a a ocupar la carga q, que solo está creado por la carga q 1. r 1 = r 1! r es la distacia etre los putos que ocupa las cargas q 1 y q. i a cotiuació traemos la carga q 3 al extremo de r 3, el trabajo ecesario ale dode ( ) = q 3 1 W 3 = q 3 V 13 +V 3 q q ( = 1 q 1 q 3 + q q 3 ( $!" r 13!" r 3 '!" $ r 13 r 3 ' 1 egú lo ya isto, el potecial que ua carga putual q crea e u puto situado a ua distacia R 1 q de ella e el acío es V = + C, dode C es el potecial del ifiito. Por tato, asigar potecial cero al!" 0 R ifiito es hacer C = 0 i el medio es u dieléctrico,! 0 debe sustituirse por la permitiidad! del dieléctrico. El trabajo W se realiza e cotra del campo eléctrico. El trabajo que realiza el campo es q ( V 1! V ) = q ( 0! V ) =!q V =!W.

2 V 13 + V 3 = 1 q q!" r 13!" r 3 es el potecial que las cargas q 1 y q crea e el extremo de r 3. De la misma forma, si se acerca a cotiuació la carga q hasta el puto r, el trabajo ale dode ( ) = q 1 W = q V 1 + V + V 3 = 1!" $ q q + 1 $!" r 1!" r!" q 1 q r 1 + q q + q 3 q ( r ' r 3 V 1 +V + V 3 = 1 q q + 1 q 3!" r 1!" r!" es el potecial creado por las cargas q 1, q y q 3 e el puto r. Y así sucesiamete. El trabajo para traer la carga q al puto r es W = $!" q ( V 1 + V 1 +L +V 1 ) = 1 q 1 q r 1 r 3 q 3 r 3 ( = ' + q q +L + q 1q ' ) r ( r 1, El trabajo total realizado para traer las cargas es la suma de los ateriores: De forma resumida, W = 1 q 1 q + q 1 q 3 + q q ) 3 ( + + q 1 q + q q + q 3 q ) ( + +L!" $ ' r 13 * ' r 1 r * r 1 " L + $ q 1q r 1 r 3 + q q r +L + q!1q r!1, ( '* )* = = 1 ) q 1 q + q 1q 3 + q 1q +L + q 1q + ( +!" * $ r 1 r 13 r 1 '! + q q 3 + q q + q q 5 " r 3 r r 5! + q 3q + q 3q 5 + q 3q 6 " r 3 r 35 r 36 r 1 +L + q q r +L + q 3q r 3 = 1 )!" q q 1 + q 3 + q +L + q + ( + * $ r 1 r 13 r 1 ' W = 1! q +q 3 + q + q 5 +L + " r 3 r r 5! q +q 3 + q 5 + q 6 +L + " r 3 r 35 r 36 1!" r 1 q r q r 3 $ + r 3 $ + $! +L + " $! + L + q '1 " q '1q r '1, q r '1, q h q $ $ k = 1 1 q $ q k h $ (1)!" k=1 kh r hk k=1 r hk kh El factor 1/ se debe a que el sumatorio hace aparecer dos eces e lugar de ua el producto de cada carga por las otras. $ ( * )* = $ ( * )*

3 Esta es la fórmula más útil para hallar la eergía electrostática de ua distribució de cargas putuales. e puede obteer otra equialete así: el potecial que todas las cargas de la distribució excepto q h crea e el puto que ocupa q h ale V h = 1 q $ k ()!" kh r kh Por tato, para traer la carga q h desde el ifiito, de potecial cero, hasta ese puto, el trabajo ale Poiedo (1) como se e que 1 q W h! = q h V h = q h k (3) " k$h r kh W = 1 1 q $ q k h $,!" k=1 kh r hk W = 1! q h V h () (3) da el trabajo que hay que realizar para llear la carga putual q h desde el ifiito al puto que ocupa e la distribució, pero supoiedo que las! 1 cargas restates está ya e su lugar. i ese trabajo se halla de la misma forma para todas las cargas, la fórmula () expresa que la eergía de la distribució es la semisuma de todos esos trabajos. La (1) muestra que la eergía electrostática de ua distribució de carga es iersamete proporcioal a la permitiidad!. Es así porque el campo que crea las cargas e u dieléctrico es meor que e el acío, por lo que e u dieléctrico hay que realizar meos trabajo que e el acío para acercar las cargas a su lugar. Eergía de ua distribució cotiua de carga ea dq =!d la carga de u olume d de ua distribució cotiua de carga e u medio dieléctrico lieal y homogéeo, de superficie límite e el ifiito, y V el potecial e d. V está creado por toda la carga o coteida e d. egú (), la eergía de la distribució es W = 1! Vdq = 1! q V"d (5) De forma similar, para distribucioes superficiales o lieales de desidades! y!. W = 1! Vdq = 1 q! V" d (6) W = 1! Vdq = 1! q V"dL (7) L Por ejemplo, si se tiee u úico coductor e equilibrio electrostático co ua carga q, la eergía de esa distribució de carga es W = 1! Vdq = 1 q V! dq = 1 qv (8) q 3

4 W se llama eergía electrostática de ese coductor. V es el potecial que la carga del coductor crea e los putos del coductor. V sale fuera de la itegral e la fórmula porque el potecial de u coductor e equilibrio electrostático es uiforme. (8) puede serir para hallar la eergía que almacea u codesador e ua red eléctrica. E las redes eléctricas los geeradores pasa electroes libres de ua placa a otra de cada codesador, de forma que si la carga de ua placa es q, la de la otra es su opuesta, -q. i se toma la placa co carga egatia como orige de poteciales, cargar u codesador cosiste e llear la carga q desde el orige de poteciales hasta la placa positia, de potecial V. La eergía electrostática es la del coductor que costituye la placa positia: W C = 1 qv = 1 CV V es la diferecia de potecial etre la placa positia y la egatia. e ha teido e cueta que q = CV. i la distribució cosiste e úicos coductores, al aplicar (5) su eergía resulta W = 1! q h V h Cada V h es el potecial del coductor h respecto a ua referecia comú. V h está creado por la propia carga del coductor h y la del resto de coductores. i la distribució está formada por carga co desidad! e cada puto además de coductores, la eergía es W = 1 " V!d + 1 q h V h V es el potecial creado e el olume ifiitesimal d por el resto de la distribució y por la carga de los coductores. V h es el potecial de cada puto del coductor h, que es uiforme. V h está creado por la carga del propio coductor h, la del resto de los coductores y por la carga distribuida e el dieléctrico, de desidad!. E la fórmula (5) V es el potecial e el olume ifiitesimal d creado por la carga o coteida e d.! es la desidad de carga e d. Por eso, si se aría el olume añadiedo o quitado olúmees e cuyos putos la desidad de carga sea cero, esos icremetos de olume o cotribuye a la itegral de la eergía, pues e todas esas partes!d = 0 por ser cero!. Eso sigifica que la eergía electrostática de ua distribució de carga es u úmero real característico de la distribució, idepediete del olume de itegració, siempre que ese olume cotega la distribució. Eergía del campo electrostático A partir de (5) es posible ecotrar ua fórmula equialete e la que iterega el campo electrostático. i, como eimos haciedo, el medio es u dieléctrico lieal y homogéeo respecto a la permitiidad ε, se cumple la ecuació de Poisso: y (5) se puede trasformar así:!" E = $, W = 1 " V! d = 1 " V$ E d = " V $ E d (13)

5 De la idetidad se obtiee ustituyedo e (13),!" ( VE) = E "!V + V! "E V! " E =! "( VE) E "!V ( ) d W =! $ V " E d =! $ " VE! $ E "V d = =! VE " d +! E d (1) e ha utilizado el teorema de Gauss de la diergecia. es la superficie que rodea el olume. El segudo miembro de la última fórmula parece idicar que su alor depede del olume, pues si se icremeta el olume, auque estos icremetos o cotega carga, el campo E creado por la distribució e los putos de esos icremetos o es, e geeral, ulo. Esta coclusió cotradiría la (5), que, como ya se ha dicho, idica que icremetos de olume co! = 0, o altera el alor de W. Pero solo es ua cotradicció aparete, pues, si! = 0, tambié!" E =0, y la cotribució de esa parte de olume es W =! $ V " E d =! $ VE d +! $ E d = 0 (15) Es decir, si e los icremetos de olume solo existe campo creado por carga exterior a esos icremetos, el icremeto de eergía electrostática es ulo, y los dos térmios del tercer miembro de (15) resulta opuestos. Por tato, el olume puede ser cualquiera, siempre que e los icremetos de la desidad de carga alga cero. Teiedo e cueta lo aterior, supogamos que elegimos la superficie que rodea a la distribució muy alejada de ella. Para mayor facilidad podemos pesar e ua superficie esférica de radio R co cetro e la distribució: =!R. Como R a a teder a ifiito, que el cetro esté a ua parte u otra de la distribució o ifluye e el resultado. Además, el campo e los putos de la superficie es aproximadamete igual al que crea ua carga putual situada e el cetro de la superficie esférica de alor igual al de toda la carga de la distribució. Esto es más cierto cuato más grade sea R. Tambié, debido a la distacia y a la simetría, el campo es perpedicular a esa superficie. Es decir, e cada puto de la superficie esférica y Por tato, y " VE! d = E = 1 q!" R 3 R V = q!"r q 1 q $R $ R R = $ R q 5

6 lim $ VE d = lim R = 0 R!" R!" q Etoces la eergía de la distribució está dada solo por la fórmula W =! $ " E d Eso sigifica que, a medida que la superficie límite se a alejado de la distribució, la cotribució de la itegral de superficie! VE " d al alor de la eergía a dismiuyedo. Pero como la eergía es la misma, quiere decir que el sumado! " E d a aumetado e la misma catidad. El resultado es que, si el olume e que se ealúa la aterior itegral es todo el espacio ifiito, etoces W =! $ E d (16) " es toda la eergía de la distribució. E es el campo creado e cada puto del espacio por la carga de la distribució. i E es el campo electrostático total e cada puto del uierso y el olume de todo el uierso, la aterior fórmula da la eergía electrostática de todo el uierso. uele llamarse eergía del campo electrostático o, tambié, eergía del campo eléctrico. Desidad de eergía electrostática i es E el campo electrostático e cada puto del espacio, la deriada w = dw d = 1! E (17) es úica para cada puto, y se llama desidad de eergía electrostática de ese puto. Es ua fució escalar que solo depede del alor del campo e cada puto. e prefiere, por eso, el ombre de desidad de eergía del campo eléctrico o, mejor, desidad de eergía del campo electrostático e ese puto. La desidad de eergía ada dice sobre la localizació de la eergía, u cocepto uca utilizado aquí. De hecho, la deriada de (5) dw d = 1 V! (18) tambié es ua desidad de eergía. Resultaría ula e todos los putos e los que la desidad de carga es ula, mietras (17) o lo es, pues solo depede del módulo del campo E. Es decir, si las deriadas de la eergía respecto al olume iformara de la localizació de la eergía, daría resultados cotradictorios, pues e putos idéticos las dos deriadas tiee alores distitos 3. 3 La localizació de la eergía es solo ua coeiecia ada precisa. Por ejemplo, se dice que cada quilogramo de carbó cotiee ua determiada eergía, que es la de combustió. Pero su obteció requiere la combiació co oxígeo. No está la eergía tambié e el oxígeo? Ua gra masa e alto cotiee eergía potecial, pero al caer, la tierra tambié cae hacia la masa. No está la eergía tambié e la tierra? La localizació de la eergía es u coecioalismo práctico: la eergía que se desprede al quemar carbó o se supoe e el oxígeo debido a la abudacia de este. 6

7 Problemas 1.- El radio clásico del electró es R =.8!10 "15 m. i cosideramos al electró ua esfera de tal radio y desidad olúmica de carga uiforme, hallar su eergía electrostática. La carga del electró es q = 1.60! 10 "19 C. olució: La eergía electrostática de ua distribució de carga es W = 1 " V! d La desidad de carga e cada puto de la esfera de radio R es! = q = q 3 "R3 = 3q "R 3 Y el potecial e u puto de la esfera que dista r del cetro es V = k 0 3!r 3 " r = k 0 3!r3 3q!R 3 r = k 0 qr R 3 Como el olume de la esfera es = 3!r 3, d =!r dr i se sustituye e la fórmula de la eergía, resulta: W = 1 " V!d = 1 R r q 3q " k 0 R 3 R 3 r 0 dr = 1 k 3q R 0 R 6 " r 0 dr = 3 10 k 0 Esta es la eergía electrostática de cualquier distribució esférica uiforme de carga q y radio R. Nótese que su sigo siempre es positio idepedietemete del sigo de la carga. Para el electró, W! 3 10 " 9 "109 " 19 ( 1.60 "10 ).8 " 10 15!.7 " 10 1 J =.7 fj q R.- Debido al leguaje que se emplea, alguie puede creer que las baterías eléctricas almacea carga eléctrica, es decir, que so depósitos que acumula cargas eléctricas. upogamos que así fuera y que, realmete, está reuidos e ua batería de 0 Ah los 0 Ah = 0 A! 3600s = 1000 C, que es su capacidad. Estimar la eergía electrostática que almacearía ua tal batería. Las baterías eléctricas so e realidad eutras: su carga eléctrica es cero. Lo que almacea es eergía e los compuestos químicos que cotiee: al fucioar la batería como geerador, estos compuestos se trasforma e otros de meor eergía. La pérdida de eergía se iierte e hacer circular corriete eléctrica desde el termial positio al egatio por el exterior. Cuado la batería se carga es porque otro geerador hace circular corriete eléctrica e setido cotrario: desde el termial positio al egatio por el iterior. Etoces la batería iierte la reacció química y produce el compuesto iicial, que almacea de ueo eergía a razó de ei julios por segudo. La creecia de que ua batería almacea carga eléctrica se puede deber al leguaje empleado cuado se quiere expresar que ua batería almacea eergía: se dice que se carga. La cofusió puede a su ez estar relacioada co la tambié erróea creecia de que los geeradores eléctricos echa cargas a los circuitos. 7

8 olució: Como es solo ua estimació, supodremos que la cocetració de la carga q es esférica de desidad olúmica uiforme ρ y radio R = 10cm, que da u olume o muy distito del de ua batería. Así se puede utilizar la fórmula deducida e el problema aterior: W = 3 10 k q 0 R! 3 " 9 " 109 " " 0.1! 5.60 "10 0 J! 1.6 " 10 8 GWh Para hacerse ua idea de esa catidad de eergía, recordemos que las dos cetrales de Aldeadáila suma 1. GW de potecia aproximadamete. i fucioara iiterrumpidamete a plea potecia, el tiempo que tardaría e producir la eergía almaceada e la batería sería t! 1.6 "108 1.! 1.3 "10 8 h! 150años! 15siglos Las baterías o almacea carga eléctrica, sio eergía. 3.- Puede poerse al problema aterior esta objeció: que, si la carga de la batería cosistiera e ua aglomeració de electroes y se permitiera su dispersió, como la carga de cada electró o se dispersa, la eergía electrostática de los electroes debería restarse de la calculada. La objeció es correcta. Por tato, para obteer ua mayor aproximació de la eergía de la batería, réstese a la catidad aterior la eergía electrostática de los electroes que almacearía. olució: El úmero de electroes que habría e la batería sería N = ! 10 "19 9! 103 electroes La eergía electrostática de cada electró, ya hallada, es.7! 10 "1 J. Por tato, la eergía de los electroes de la batería sería W e! 9 "10 3 ".7 " 10 1!. "10 10 J Que es ua catidad muy grade, pero despreciable frete a la de 5.60!10 0 J hallada e el problema aterior. De hecho, si se hace la resta, resulta 5.60!10 0 ".! ! 10 0 La razó es que el miuedo tiee eitiua cifras y el sustraedo oce. Por tato la resta solo afecta a las oce o doce últimas cifras del miuedo. 8

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