PROBLEMAS RESUELTOS DE PLANO INCLINADO. Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga Colombia 2010

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1 PROBLEMAS RESUELOS DE PLANO INCLINADO Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga Colombia 010 Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere006@yahoo.com 1

2 Un bloque de 5 Kg. se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una velocidad inicial de 8 m/s. El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual está inclinado un ángulo de 30 respecto a la horizontal. Determine: a. El cambio de la energía cinética del bloque b. El cambio en su energía potencial c. La fuerza de fricción ejercida sobre él (supuestamente constante) d. El coeficiente de fricción cinético. V f = 0 m/seg. N a. El cambio de la energía cinética del bloque 1 E * Cinicial = m V 0 1 m ECinicial = *5kg * 8 = 160 julios seg V O = 8 m/seg. x = 3 m 60 0 W h =? 1 E * Cfinal = m V f 1 m ECfinal = * 5kg * 0 = 0 julios seg Energía cinética final Energía cinética inicial = julios Δ energía cinética = julios b. El cambio en su energía potencial Es necesario hallar la altura (h) h sen 30 = 3 h = 3 * sen 30 h = 3 * 0,5 h = 1,5 metros Nota: Si el cuerpo se desplaza 3 metros por el plano inclinado, es necesario calcular la altura h que es la que ocasiona energía potencial. La energía potencial al iniciar el movimiento es cero por que no tiene altura, pero a medida que va ganando altura en el eje vertical, la energía potencial va aumentando Energía potencial inicial = m*g * h Energía potencial inicial = 5 Kg. * 9,8 m/seg * 0 m Energía potencial = 0 julios Energía potencial final = m*g * h Energía potencial final = 5 Kg. * 9,8 m/seg * 1,5 m Energía potencial = 73,5 julios Δ energía potencial = Energía potencial final - Energía potencial inicial Δ energía potencial = 73,5 julios 0 julios Δ energía potencial = 73 julios 0 (V F ) = (V 0 ) * a * X a x = (V 0 )

3 m m 8 64 ( V ) seg seg O m a = = = = 10,66 x *3 m 6 m seg a = - 10,66 m/seg (es negativa por que el movimiento pierde velocidad hasta que sea cero es decir es un movimiento retardado.) Pero: W X = W * sen 30 W X = m * g * sen 30 W X = 5 kg * 9,8 m/seg * 0,5 W X = 4,5 Newton N W Y = W * cos 30 W Y = m * g * cos 30 W Y = 5 kg * 9,8 m/seg * 0,866 W Y = 4,43 Newton ΣF Y = 0 N = W Y N = 4,43 Newton W X W W Y Pero: = μ * N = μ * 4,43 = 4,43 μ ΣF x = m * a -W X - = m *a (Ecuación 1) -4,5 4,43 μ = 5 * (-10,66) -4,5 4,43 μ = -53,3 multiplicando la ecuación x (-1) 4,5 + 4,43 μ = 53,3 4,43 μ = 53,3-4,5 4,43 μ = 8,8 8,8 μ = = 0,678 Coeficiente de fricción cinético 4,43 Hallar la fuerza de fricción = μ * N = 0,678 * 4,43 = 8,8 Newton La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento, por eso se dibuja en sentido contrario al movimiento Un bloque de 5 Kg. es empujado una distancia de 6 metros, subiendo por la superficie de un plano inclinado 37 grados, mediante una fuerza F de 500 Newton paralela a la superficie del plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque es 0,. a) que trabajo a realizado el agente exterior que ejerce la fuerza F? b) hállese el aumento de energía potencial del mismo? Datos: F = 500 Newton d = 6 metros 3

4 μ = 0, m = 5 Kg. cos 37 = FX F F X = F cos 37 F X = 500 * 0, = 391,33 Newton F X = 399,31 Newton F = 500 N sen 37 = FY = FY F 500 F Y = 500 * sen 37 F Y = 500 * 0, F Y = 300,9 Newton 37 0 Pero: sen 37 = WX = WX = WX W 5 * 9,8 49 W X = 49 * sen 37 W X = 49 * 0, W X = 9,48 Newton N F X 37 0 F Y 37 0 F = 500 N cos 37 = WY = WY = WY W 5 * 9,8 49 W Y = 49 * cos 37 W Y = 49 * 0, W Y = 39,13 Newton W Y W X W = m * g N W Y - F Y = 0 N 39,13-300,9 = 0 N = 39, ,9 N = 340,03 Newton = μ * N = 0, * 340,03 = 68 Newton Σ F X = m * a F X - W X = m * a 399, ,48 = m * a 301,83 = m * a 301,83 301,83Newton a = = = 60,36 m 5kg m seg d = 6 m h =?? rabajo efectuado por la fuerza aplicada de 500 Newton F X = F cos 37 F X = 500 * 0, F X = 399,31 Newton 37 0 Pero: d = 6 metros 4

5 W = F X * d = 399,31 * 6 W = 395,86 Newton * metro W = 395,86 julios h sen 37 = 6 h = 6 * sen 37 h = 6 * 0, h = 3,61 metros Nota: Si el cuerpo se desplaza 6 metros por el plano inclinado, es necesario calcular la altura h que es la que ocasiona energía potencial. La energía potencial al iniciar el movimiento es cero por que no tiene altura, pero a medida que va ganando altura en el eje vertical, la energía potencial va aumentando Energía potencial = m*g * h Energía potencial = 5 Kg. * 9,8 m/seg * 3,61 m Energía potencial = 176,93 julios PROBLEMA DE REPASO DE LA FISICA DE SERWAY Pág. 13 de la cuarta edición Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama. Si el plano inclinado es sin fricción y el sistema esta en equilibrio, determine (en función de m, g y θ). a) La masa M b) Las tensiones 1 y. Bloque m Bloque m ΣF x = 0 1 W 1X = 0 Pero: W 1X = W 1 sen θ W 1 = (m) * g W 1X = (m * g) sen θ W 1X N 1 Reemplazando 1 W 1X = 0 1 (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) θ 1 W 1 = m*g W 1Y m θ 1 1 m M Bloque m ΣF x = 0-1 W X = 0 Bloque m N 1 Pero: W X = W sen θ W X = (m * g) sen θ W = m * g Reemplazando - 1 W X = 0-1 (m*g) sen θ = 0 (Ecuación ) W X θ W Y Resolviendo las ecuaciones tenemos: 1 ( m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) - 1 (m * g) sen θ = 0 (Ecuación ) W = m*g ( m * g) sen θ (m * g) sen θ = 0 5

6 (3 m * g) sen θ = 0 = (3 m*g) sen θ 1 W 1X = 0 1 = W 1X = ( m * g) sen θ 1 = ( m*g) sen θ Bloque M ΣF Y = 0 W 3 = 0 = W 3 W 3 = M * g = M * g Pero: = (3 m * g) sen θ = M * g M * g = (3m*g) sen θ M = (3m) sen θ a) La masa M M = 3 m sen θ Bloque M W 3 = M * g Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleración de cada bloque. d) Las tensiones 1 y. La masa es M = 3 m sen θ El problema dice que se duplique la masa M = * (3 m sen θ) M = 6 m sen θ Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha. Bloque m Bloque m N W 1X 1 ΣF x = ( m) * a 1 W 1X = m * a 1 W 1Y W θ X Pero: W 1X = W 1 sen θ W 1 = m * g θ W 1X = (m * g) sen θ W 1 = m*g Reemplazando 1 W 1X = m * a W = m*g 1 ( m * g) sen θ = m * a (Ecuación 1) N 1 m θ 1 Bloque m 1 m W Y M 6

7 Bloque m ΣF x = (m) * a - 1 W X = m * a Pero: W X = W sen θ W X = (m * g) sen θ W = m*g Reemplazando - 1 W X = m * a - 1 (m * g) sen θ = m * a (Ecuación ) Bloque M ΣF Y = (6 m sen θ) * a W 3 - = 6 m sen θ * a W 3 = 6 m sen θ * g Reemplazando 6 m sen θ * g - = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) Resolviendo las ecuaciones tenemos: 1 (m * g) sen θ = m * a (Ecuación 1) - 1 (m*g) sen θ = m * a (Ecuación ) 6 m sen θ * g - = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) Bloque M W 3 = 6 m sen θ * g (m*g) sen θ (m *g) sen θ + 6 m sen θ * g = m * a + m * a + 6 m sen θ * a (3m*g) sen θ + 6 m sen θ * g = 3m * a + 6 m sen θ * a 3 m g sen θ = 3 m * a + 6 m sen θ * a Cancelando las masas m m g sen θ = m * a + m sen θ * a g sen θ = a + sen θ * a a + sen θ * a = g sen θ Factorizando la aceleración a(1 + sen θ) = g sen θ g senθ a = 1+ senθ Despejando la ecuación 3 para hallar 6 m sen θ * g - = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) 6 m sen θ * g - 6 m sen θ * a = 6 m sen θ ( g - a ) = Pero: g senθ a = 1+ senθ Reemplazando 7

8 g senθ 6 m sen θ g - = 1+ sen θ Factorizando g senθ 6 m g sen θ 1 - = 1+ sen θ 1 + senθ - senθ 6 m g sen θ = 1+ sen θ 1 + senθ 6 m g sen θ = 1+ sen θ ( 6 m g sen θ )* (1 + senθ ) = 1+ sen θ Despejando la ecuación 1 para hallar 1 1 (m*g) sen θ = m * a (Ecuación 1) 1 = m * a + m*g sen θ g senθ Pero: a = 1+ senθ g sen θ 1 = m + m g senθ 1+ sen θ ( m) g sen θ 1 = + m g senθ 1+ sen θ 1 m g sen θ = [( m g senθ )( 1+ senθ )] + 1+ sen θ m g sen m g sen θ + θ + 1 = 1+ sen θ 4 m g sen 4 m g sen θ + θ 1 = 1+ sen θ Factorizando 4 m g sen θ 1 ( 1 + ) 4 m g sen θ senθ = 1+ sen θ Si el coeficiente de fricción estática entre m y m y el plano inclinado es μ S y el sistema esta en equilibrio encuentre: e) El valor mínimo de M. f) El valor máximo de M. g) Compare los valores de cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Para hallar el valor mínimo de M se considera 8

9 que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto. m Bloque m 1 m 1 Bloque m ΣF x = W 1X = 0 W 1X N 1 1 θ M Pero: W 1X = W 1 sen θ W 1 = m * g W 1X = (m * g) sen θ θ W 1Y Reemplazando W 1 + W 1X = 0 1 = m*g 1 + (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) ΣF Y = 0 N 1 - W 1Y = 0 Pero: W 1Y = W 1 cos θ Pero: W 1 = m g W 1Y = m g cos θ N 1 = W 1Y N 1 = m g cos θ (Ecuación ) Pero: = μ S * N 1 (Ecuación 3) = μ * m g cos θ Reemplazando en la ecuación 1, tenemos 1 + (m * g) sen θ = μ * m g cos θ ( m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) Bloque m ΣF x = W X = 0 Pero: W X = W sen θ W = m * g W X = (m * g) sen θ W X = (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 5) ΣF Y = 0 N W Y = 0 W X N 1 Bloque m θ W = m*g W Y W Y = W cos θ Pero: W = m g N = W Y = m g cos θ 9

10 Pero: = μ * N = μ * m g cos θ (Ecuación 6) Reemplazando la ecuación 6 en la ecuación (m*g) sen θ = 0 + μ * m g cos θ - 1 (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) Bloque M ΣF Y = 0 W 3 - = 0 = W 3 Bloque M W 3 = M * g = M * g M * g - = 0 (Ecuación 8) W 3 = M * g Resolviendo las ecuaciones tenemos: 1 + μ * m g cos θ ( m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) + μ * m g cos θ - 1 (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) M * g - = 0 (Ecuación 8) μ * m g cos θ ( m * g) sen θ + μ * m g cos θ (m*g) sen θ + M * g = 0 Sumado términos semejantes μ *3 m g cos θ (3 m * g) sen θ + M * g = 0 M * g = 3 m g sen θ - 3 μ m g cos θ Se cancela la g (gravedad) como termino común M = 3 m sen θ - 3 μ m cos θ M = 3 m (sen θ - μ cos θ ) (Este es el valor mínimo de M para que el sistema se mantenga en equilibrio) Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos M * g - = 0 (Ecuación 8) 3 m (sen θ - μ cos θ ) * g - = 0 Despejando = 3 m (sen θ - μ cos θ )* g Este es el valor de, cuando M es mínimo f) El valor máximo de M. Para hallar el valor máximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque m ΣF x = W 1X = 0 Pero: W 1X = W 1 sen θ W 1 = m * g W 1X = (m*g) sen θ 10

11 Reemplazando 1-1 W 1X = (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 9) ΣF Y = 0 N 1 - W 1Y = 0 Pero: W 1Y = W 1 cos θ Pero: W 1 = m g Bloque m N 1 W 1X θ 1 W 1Y N 1 = W 1Y N 1 = m g cos θ (Ecuación 10) Pero: = μ * N 1 = μ * m g cos θ (Ecuación 11) Reemplazando la ecuación 11 en la ecuación 9, tenemos 1 - (m*g) sen θ = μ * m g cos θ ( m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) W 1 = m*g Bloque m ΣF x = W X = 0 (Ecuación 13) Bloque m Pero: W X = W sen θ W = m * g W X = (m*g) sen θ W X N 1 Pero: W = m g Pero: W Y = W cos θ W Y = m g cos θ θ W Y ΣF Y = 0 N W Y = 0 N = W Y = m g cos θ (Ecuación 14) W = m*g Pero: = μ * N = μ * m g cos θ (Ecuación 15) Reemplazando la ecuación 15 en la ecuación W X = 0 (Ecuación 13) (m*g) sen θ = 0 - μ * m g cos θ - 1 (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16) Bloque M ΣF Y = 0 W 3 - = 0 = W 3 W 3 = M * g = M * g M * g - = 0 (Ecuación 17) Bloque M W 3 = M * g 11

12 Resolviendo las ecuaciones tenemos: 1 - μ * m g cos θ ( m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) - μ * m g cos θ - 1 (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16) M * g - = 0 (Ecuación 17) - μ * m g cos θ ( m * g) sen θ - μ * m g cos θ (m * g) sen θ + M * g = 0 - μ *3 m g cos θ (3 m * g) sen θ + M * g = 0 Se cancela la g (gravedad) como termino común M * g = 3 m g sen θ + 3 μ S m g cos θ M = 3 m sen θ + 3 μ m cos θ M = 3 m (sen θ + μ cos θ ) El valor máximo de M, para que el sistema no se desplace hacia la derecha Reemplazando M en la ecuación 17, hallamos M * g - = 0 (Ecuación 17) 3 m (sen θ + μ cos θ )* g - = 0 Despejando = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g Este es el valor de, cuando M es máximo. g) Compare los valores de cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Despejando = 3 m (sen θ - μ cos θ ) * g Este es el valor de, cuando M es mínimo Despejando = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g Este es el valor de, cuando M es máximo. PROBLEMA 5 33 Serway CUARA EDICION Un bloque de masa m = Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo θ = 60 0 mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 33. a) Determine el valor de F, la magnitud de F. b) Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). Σ F X = 0 F X W X = 0 (Ecuación 1) F X = W X Pero: F X = F cos 60 W X = W sen 60 F cos 60 = W sen 60 sen 60 F = W = W tg 60 = m g tg 60 = *9,8*1,73 = 33,94 Newton cos 60 F = 33,94 Newton F W 60 0 N W X W Y F X 60 0 W EJE X F Y Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). F 1

13 N W Y F Y = 0 (Ecuación ) Pero: F Y = F sen 60 W Y = W cos 60 Reemplazando en la ecuación N W Y F Y = 0 (Ecuación ) N W cos 60 F sen 60 = 0 N m g cos 60 F sen 60 = 0 N * 9,8 * 0,5 33,94 * 0,866 = 0 N 9,8-9,39 = 0 N = 9,8 + 9,39 N = 39,19 Newton Problema 5 33 Serway Quinta edición; Problema 5-5 Serway sexta edición A un bloque se le da una velocidad inicial de 5 m/seg. Hacia arriba de un plano sin fricción con una inclinación de 0 0 Cuan alto se desliza el bloque sobre el plano antes de que se detenga Σ F X = m a W X = m a Pero: W X = W sen 0 N W sen 0 = m a N m g sen 0 = m a g sen 0 = a a = 9,8 sen 0 a = 3,351 m/seg W X 0 0 W W Y 0 0 X 70 0 W Pero; V 0 = 5 m/seg. 0 (V F ) = (V 0 ) - * a * X (V 0 ) = * a * X ( V ) 5 5 X = 0 = = = 3,79 metros a *3,351 6,703 X = 3,79 metros Problema 5 34 Serway quinta edición; Problema 5 6 Serway sexta edición Dos masas están conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como en la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m 1 = Kg. m = 6 Kg. y θ = 55 0 encuentre: a) Las aceleraciones de las masas b) La tensión en la cuerda c) La rapidez de cada masa seg. Después de que se sueltan desde el reposo. 13

14 m 1 = kg. m = 6 kg. θ = 55 0 Pero: P 1 = m 1 g P 1 = * 9,8 = 19,6 Newton P 1 = 19,6 Newton Bloque m 1 Σ F y = m 1 a P 1 = m 1 a 19,6 = a (Ecuación 1) Bloque m 1 m 1 = 1 Pero: P = m g P = 6 * 9,8 = 58,8 Newton P = 58,8 Newton Bloque m P X = P sen 55 P X = 58,8 sen 55 P X = 48,166 Newton Σ F X = m a P X = m a 48,166 = 6 a (Ecuación ) Bloque m P Y 55 0 N P X m 1 = 55 0 m = 6 19,6 = a (Ecuación 1) 48,166 = 6 a (Ecuación ) P = m g - 19,6 + 48,166 = a + 6a 8,566 = 8a 8,566 = a(8 ) 8,566 a = = 8 3,57 m seg b) La tensión en la cuerda 19,6 = a (Ecuación 1) 19,6 = * 3,57 19,6 = 7,14 = 7, ,6 = 6,74 Newton La rapidez de cada masa seg. Después de que se sueltan desde el reposo. 0 V F = V 0 + a t V F = a t 14

15 V F = 3,57 * V F = 7,14 m/seg. Problema 5 40 Edición cuarta; Problema 5-3 quinta edición; Problema 5 sexta edición Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de θ = Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es metros, encuentre: La magnitud de la aceleración del bloque? a) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente? W Y N = 0 V 0 = 0 W Y = N W cos θ = N Σ F X = m a W X = m a Pero: W Y = W cos θ X = metros θ = 15 0 Pero: W X = W sen θ W sen θ = m a N Pero: W = m g m g sen θ = m a W X g sen θ = a a = 9,8 * sen 15 a =9,8 * 0,58 a =,536 m/seg (V F ) = (V 0 ) + * a * X W = m g W Y a x = (V F ) V F = a X = *,536 * = 3,18 m seg Problema 5 41 Serway Edición cuarta; Problema 5 6 Serway Edición quinta Un bloque de masa m = Kg. se suelta del reposo a una altura h = 0,5 metros de la superficie de la mesa, en la parte superior de una pendiente con un ángulo θ = como se ilustra en la figura La pendiente esta fija sobre una mesa de H = metros y la pendiente no presenta fricción. a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. e) La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores. 15

16 a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente P X = P sen 30º F X = m a P X = m a P X = m g sen 30 h = 0,5 θ = D V 0Y V X V 0 = - 3,13 m/seg. P Y P P X P X = m a m g sen 30 = m a g sen 30 = a a = 9,8 * 0,5 a = 4,9 m/seg Y = m V X La aceleración del bloque cuando se desliza hacia abajo por el plano inclinado X V Y V h h 0,5 sen 30 = D = = = 1 metro D sen,5 D = 1 metro Cual es la velocidad del bloque cuando deja el plano inclinado 0 (V F ) = (V 0 ) + * a * X a x = (V F ) V F = a X = * 4,9 * 1 = 3,13 m seg b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. La velocidad con la cual llega al final del plano inclinado, es la misma velocidad que el cuerpo inicia el tiro parabólico. (Ver grafico.) Es decir la velocidad inicial en el tiro parabólico es 3,13 mseg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo. (V 0 = - 3,13 m/seg.) V 0Y = V o sen 30 V 0Y = 3,13 sen 30 V 0Y = - 1,565 m/seg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo. V 0Y V X V 0 = - 3,13 m/seg. d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. iempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico 16

17 Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el plano inclinado. V F = V 0 + a t pero V 0 = 0 V F = a t V 3,13 m seg t = F = = 0,638 seg a 4,9 m seg t = 0,638 seg. (tiempo del cuerpo en el plano inclinado) Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el tiro parabolico Pero Y = metros (V 0Y = - 1,565 m/seg.) g * t - Y = - V0Y t - Multiplicando la ecuación por (-1) g * t Y = V0Y t + 9,8* t = 1,565 t + = 1,565 t + 4,9 t Ordenando la ecuación, hallamos el tiempo que el cuerpo demora en el aire. 4,9 t + 1,565 t =0 a = 4,9 b = 1,565 c = - t = t = - b ± b - a 4 a c = -1,565 ± 41,649 9,8 - (1,565) t = ± (1,565) - 4 * 4,9 * (-) * 4,9-1,565 ± 6,453 9,8-1,565 = -1, ,4536 4,88 t 1 = = 9,8 9,8 t = 0,4988 seg. (tiempo del cuerpo en el IRO PARABOLICO) ±,449 9,8 + 39, iempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico iempo total = 0,638 seg. + 0,4988 seg. iempo total = 1,137 seg. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. X = V X * t t es el tiempo del cuerpo en el IRO PARABOLICO = 0,4988 seg. V X = V o cos 30 V X = 3,13 * 0,866 V X =,71 m/seg. Esta velocidad es positiva por que va dirigida hacia la derecha. V 0Y V X V 0 = - 3,13 m/seg. 17

18 X = V X * t X =,71 * 0,4988 X = 1,351 metros La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores. No, la masa se cancela y por lo tanto no influye en los calculos. Problema 5 57 Edición cuarta; Problema 5 45 edición quinta; Problema 5-41 Edición sexta Un bloque de 3 Kg. parte del reposo en la parte superior de una pendiente de Y se desliza metros hacia abajo en 1,5 seg. Encuentre: a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. N d) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado metros. V 0 = 0 La magnitud de la aceleración del bloque. m = 3 Kg. X = metros t = 1,5 seg. V 0 = 0 X = metros t = 1,5 seg W X = V 0 t + 1 X = X = a t a t 1 a t X * 4 a = = = = 1,77 t 1,5,5 m seg N a = 1,77 m/seg W X El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. F X = m a W X = m a (Ecuación 1) Pero: W X = W sen 30 W X = m g sen 30 W X = 3 * 9,8 * 0,5 W X = 14,7 Newton. W W Y F Y = 0 N W Y = 0 N = W Y = W cos 30 N = m g cos 30 N = 3 * 9,8 * 0,866 N = 5,461 Newton = μ * N = μ * 5,461 18

19 Reemplazando en la ecuación 1 W X = m a (Ecuación 1) 14,7 μ * 5,461 = 3 * 1,77 14,7 - μ 5,461 = 5,31 μ 5,461 = 14,7-5,31 μ 5,461 = 9,39 9,39 μ = = 0,368 5,461 μ = 0,368 coeficiente de fricción cinética La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. = μ N = 0,368 * 5,461 = 9,36 Newton La rapidez del bloque después de que se ha deslizado metros. V F = V 0 +a * t pero: V 0 = 0 t = 1,5 seg. V F = a * t pero: a =1,77 m/seg V F = 1,77 * 1,5 V F =,65 m/seg. Problema 5-85 serway cuarta edición Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es,35 cm/seg a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: a) Las tensiones en la cuerda b) El coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (Supóngase la misma μ para ambos bloques) Datos: m 1 = 10 kg. m = 5 kg. m 3 = 3 Kg. a =,35 cm/seg g = 9,8 m/seg Bloque m 1 F Y = m 1 a P 1 1 = m 1 a (Ecuación 1) P 1 = m 1 g P 1 = 10 * 9,8 = 98 Newton P 1 = 98 Newton 1 1 m m = m 1 a 98-1 = 10 *, = 3, ,5 = 1 1 = 74,5 Newton m Bloque m F X = m a 1 = m a (Ecuación ) F Y = 0 P N = 0 P = N 19

20 m g = N P = m g P = 5 * 9,8 = 49 Newton P = N = 49 Newton Pero: = μ N = μ 49 Bloque m N Bloque m 1 1 Reemplazando en la ecuación 1 = m a (Ecuación ) 74,5 - μ 49 = m a = 5 *,35 = 11,75 74,5 - μ 49 = 11,75 74,5-11,75 - μ 49 = 1 P = m g FR P 1 = m 1 g 6,75 - μ 49 = (Ecuación 3) Bloque m 3 F X = m 3 a P 3X 3 = m 3 a Pero: P 3X = P 3 sen 5 P 3X = 3 * 9,8 sen 5 P 3X = 1,4 Newton F Y = 0 P 3Y N 3 = 0 P 3Y = N 3 P 3Y = P 3 cos 5 P 3Y = 3 * 9,8 sen 5 P 3Y = 6,64 Newton N 3 = 6,64 Newton Bloque m 3 N 3 P 3X P 3Y 5 0 P 3 = m 3 g 3 3 = μ N 3 3 = μ 6,64 Reemplazando en: P 3X 3 = m 3 a 1,4 - μ 6,64 = 3 *,35 = 1,4 + μ 6,64 + 7,05 = 19,47 + μ 6,64 (Ecuación 4) Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cinético de fricción 6,75 - μ 49 = (Ecuación 3) = 19,47 + μ 6,64 (Ecuación 4) 6,75 - μ 49 = 19,47 + μ 6,64 6,75 19,47 = μ 6,64 + μ 49 0

21 43,8 = 75,64 μ 43,8 μ = = 75,64 0,57 Para hallar la tensión se reemplaza en la ecuación 4 = 19,47 + μ 6,64 (Ecuación 4) = 19,47 + 0,57 * 6,64 = 19, ,3 = 34,7 Newton Problema 5 87 Serway cuarta edición; Problema 5-7 Serway quinta edición; Problema 5-68 Serway sexta edición Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción (figura p 5 87). Las pendientes son sin fricción: Encuentre: a) La magnitud de la aceleración de cada bloque? b) La tensión en la cuerda? m 1 = 3,5 kg. m = 8 kg. Pero: P 1X = P 1 sen 35 = m 1 g sen 35 P 1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P 1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P 1X = 19,67 Newton m m NO HAY ROZAMIENO Bloque m 1 Σ F X = P 1X = m 1 * a 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) Bloque m Σ F X = m * a P X = m * a Pero: P X = P sen 35 P X = m g sen 35 P X = 8 * 9,8 * 0, = 44,96 Newton 44,96 = 8 a (Ecuación ) Bloque m 1 P 1X N P 1Y P 1 = m 1 g Bloque m P Y N P X 35 0 P = m g Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) 44,96 = 8 a (Ecuación ) -19, ,96 = 11,5a 1

22 11,5a = 5,9 5,9 m a =, 11,5 seg a =, m/seg b) La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1) -19,67 = 3,5 *, = 7,7 + 19,67 = 7,37 Newton Problema 5 88 cuarta edición; Problema 5-73 quinta edición El sistema mostrado en (figura p5 87). iene una aceleración de magnitud igual a 1,5 m/seg. Suponga que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas pendientes.: Encuentre: a) El coeficiente de fricción cinético. b) La tensión en la cuerda? m 1 = 3,5 kg. m = 8 kg. HAY ROZAMIENO 1, que se oponen a que el sistema se desplace hacia la derecha. Pero: P 1X = P 1 sen 35 = m 1 g sen 35 P 1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P 1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P 1X = 19,67 Newton Bloque m 1 Σ F X = m 1 * a P 1X - 1 = m 1 * a 19,67-1 = 3,5 * 1,5 19,67-1 = 5,5 P 1Y N 1 = 0 P 1Y = N 1 Pero: P 1 = m 1 g P 1Y = P 1 cos 35 = m 1 g cos 35 P 1Y = 3,5 * 9,8 * 0,8191 P 1Y = 8,09 Newton Bloque m 1 N 1 P 1X P 1Y P 1 = m 1 g P 1Y = N 1 = 8,09 Newton Pero: 1 = μ N 1 1 = 8,09μ 19,67-1 = 5,5 19,67 8,09μ = 5,5 (Ecuación 1)

23 Pero: P X = P sen 35 P X = m g sen 35 P X = 8 * 9,8 * 0,5735 P X = 44,96 Newton Bloque m Σ F X = m * a P X - = m * a 44,96 - = 8 * 1,5 44,96 - = 1 P Y N = 0 P Y = N Pero: P = m g P Y = P cos 35 = m g cos 35 P Y = 8 * 9,8 * cos 35 P Y = 8 * 9,8 * 0,8191 P Y = 64,1 Newton P Y = N = 64,1 Newton Bloque m P Y N P X 35 0 P = m g Pero : = μ N = 64,1μ 44,96 - = 40 44,96 64,1μ = 1 (Ecuación ) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. 19,67 8,09μ = 5,5 (Ecuación 1) 44,96 64,1μ = 1 (Ecuación ) -19,67 8,09μ + 44,96 64,1μ = 5, ,9-9,3μ = 17,5 9,3μ = 5,9-17,5 9,3 μ = 8,04 8,04 μ = = 0,087 9,3 μ = 0,087 coeficiente de fricción cinética La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 19,67 8,09μ = 5,5 (Ecuación 1) 19,67 8,09* 0,087 = 5,5 19,67,44 = 5,5 = 19,67 +,44 + 5,5 = 3,51 Newton 3

24 CAPIULO 1 COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECORES 1.3 SEARS ZEMANSKY Un bloque es elevado por un plano inclinado 0 0 mediante una fuerza F que forma un ángulo de con el plano. a) Que fuerza F es necesaria para que la componente F X paralela al plano sea de 8 Kg. b) Cuanto valdrá entonces la componente F Y F X = 8 Kg F X = F cos 30 8 = F cos 30 8 = F 0,866 8 F = = 0,866 F = 9,3 Kg. 9,3 F X F Y F Y = F sen 30 F Y = 9,3 * (0,5) F Y = 4,61 Kg. CAPIULO EQUILIBRIO SEARS ZEMANSKY Problema.13 Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. Bloque P 1 = 14 Kg. Σ F X = 0 P 1X = 0 (Ecuación 1) Bloque m 1 P 1 = 14 Kg. Pero: P 1X = P 1 sen θ P 1X = 14 sen θ N 1 Pero: P 1Y = P 1 cos θ P 1Y = 14 cos θ P 1X θ 0 P 1Y N 1 - P 1Y = 0 (Ecuación ) N 1 = P 1Y N 1 = 14 cos θ = μ * N 1 (Ecuación 3) = 1/7 * (14 cos θ) = cos θ P 1 = m 1 * g P 1 = 14 Kg. Bloque m θ 0 P = 10 Bloque m P = 0 (Ecuación 4) P = Pero: P = 10 Kg. = P = 10 Kg. P = m * g P = 10 Kg. Reemplazando en la ecuación 1 4

25 P 1X = 0 (Ecuación 1) senθ - cos θ = 0 pero : sen θ + cos θ = 1 1/ cosθ = 1- sen θ = 1- sen θ Reemplazando senθ - cos θ = senθ - (1-sen θ) 1/ = senθ - (1-sen θ) 1/ = senθ = (1-sen θ) 1/ Elevando al cuadrado en ambos lados 1/ [ ] sen sen θ = θ 5 70 senθ + 49 sen θ = 1 sen θ 49 sen θ + sen θ 70 senθ = 0 50 sen θ 70 sen θ + 4 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. a = 5 b =-70 c= 4 sen θ = - (- 70) ± ( - 70) (50) - 4 (50) 4 = 70 ± sen θ = 70 ± ± 10 = sen θ 1 = = = 0,8 θ 1 = arc sen 0, θ 1 = 53,13 0 P 1 = sen θ = = = 0,6 θ = arc sen 0, θ = 36,86 0 θ 1 = 53,13 0 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha. 53,13 0 P = 10 θ = 36,86 0 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda. CAPIULO EQUILIBRIO SEARS ZEMANSKY Problema.14 Un bloque que pesa 100 Kg. esta colocado sobre un plano inclinado de y conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3. a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 Kg. se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? 5

26 Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 Kg. se eleva por el plano a velocidad constante. Bloque P 1 (Cuando se desplaza hacia la derecha) Σ F X = 0 Bloque P P 1 1X = 0 (Ecuación 1) P 1 = 100 Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) P 1X = 50 kg. N 1 Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. P 1X P 1Y N 1 - P 1Y = 0 (Ecuación ) N 1 = P 1Y N 1 = 86,6 Kg. P 1 = 100 La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinético = μ C * N 1 (Ecuación 3) μ C = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) = 0,3 * (86,6) = 5,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. P 1X = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = 50 kg. = 5,98 Kg. = P 1X + = 0 = ,98 = 75,98 Kg. BLOQUE W (por que se desplaza a velocidad constante) W = 0 = W (Ecuación 4) Pero = 75,98 Kg. W = 75,98 Kg. Bloque W W = m * g W =? Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. 6

27 Bloque P 1 (Cuando se desplaza hacia la izquierda) Σ F X = 0 Bloque P P 1X - = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) P 1X = 50 kg. Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. N 1 P 1X P 1Y P 1 = 100 N 1 - P 1Y = 0 (Ecuación ) N 1 = P 1Y N 1 = 86,6 Kg. P 1 = m 1 * g P 1 = 100 Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinético = μ C * N 1 (Ecuación 3) μ C = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) = 0,3 * (86,6) Bloque W = 5,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación P 1X - = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = 50 kg. = 5,98 Kg. = P 1X - = 0 = 50-5,98 = 4,0 Kg. W = m * g W =? La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. W =? BLOQUE W (por que se desplaza a velocidad constante) W = 0 = W (Ecuación 4) Pero = 4 Kg. W = 4 Kg. Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? SI el cuerpo intenta moverse hacia la derecha, la fuerza de rozamiento actúa hacia la izquierda Bloque P 1 (Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la derecha) Σ F X = 0 P 1X - = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) P 1X = 50 kg. Pero: P 1Y = P 1 cos 30 Bloque P 1 7 NB1

28 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. N 1 - P 1Y = 0 (Ecuación ) N 1 = P 1Y N 1 = 86,6 Kg. = μ C * N 1 (Ecuación 3) μ C = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) = 0,4 * (86,6) = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. P 1X - = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = 50 kg. = P 1X + = 0 = 5,98 Kg. Bloque W = ,64 = 84,64 Kg. BLOQUE W W = 0 La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico = W (Ecuación 4) Pero = 84,64 Kg. W = 84,64 Kg. W = m * g W =? SI el cuerpo intenta moverse hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento actúa hacia la derecha Σ F X = 0 Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la izquierda) P 1X + = 0 (Ecuación 1) Bloque P 1 Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) P 1X = 50 kg. N 1 Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. P 1X P 1Y N 1 - P 1Y = 0 (Ecuación ) N 1 = P 1Y N 1 = 86,6 Kg. = μ C * N 1 (Ecuación 3) μ C = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) P 1 = m 1 * g P 1 = 100 La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico = 0,4 * (86,6) = 34,64 Kg. 8

29 Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. P 1X + = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = 50 kg. = 5,98 Kg. = P 1X - = 0 = 50-34,64 = 15,36 Kg. Bloque W BLOQUE W W = 0 = W (Ecuación 4) Pero = 15,36 Kg. W = 15,36 Kg. W = m * g W =? Problema -16 Sears zemanski El bloque A, de peso W, desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado S cuya pendiente es 37 0 mientras la tabla B, también de peso W, descansa sobre la parte superior de A. La tabla esta unidad mediante una cuerda al punto más alto del plano. a) Dibujar un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque A. b)si el coeficiente cinético de rozamiento entre las superficies A y B y entre S y A es el mismo, determinar su valor. sen 37 = W BX W B W BX = W B B sen 37 = m g sen 37 W AX = W A sen 37= m g sen 37 cos 37 = W BY W B W BY = W B B cos 37 = m g cos 37 W AY = W A cos 37 = m g cos 37 1 = fuerza de rozamiento entre los dos bloques = fuerza de rozamiento entre el bloque B y el plano inclinado B A 37 0 B B W BX Bloque B F X = 0 Por que el bloque B no se desplaza por que la cuerda no lo permite. Bloque A - W BX 1 = 0 Bloque B Pero: 1 = μ N BB N A N B F Y = 0 W N AX B WBY = 0 1 N B = WBY = m g cos 37 W BX W BY W A = m g Bloque A 37 0 F Y = 0 N A W AY W BY = 0 N A = W AY + W BY W B = m B g W B = m g 1 W AY W BY 9

30 N A = W B B cos 37 + W cos 37 BB N A = m g cos 37 + m g cos 37 N A = m g cos 37 Por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD CONSANE, la aceleración es cero. F X = W BX W AX = 0 W BX = W B B sen 37 = m g sen 37 W AX = W A sen 37= m g sen 37 Pero : W AX = W BX 1 + = W BX + W AX 1 + = m g sen 37 + m g sen = m g sen 37 (Ecuación 1) 1 = μ N B B (+) = μ N A 1 + = μ N B B + μ NA 1 + = μ (N B B + NA) (Ecuación ) Pero: N A = m g cos 37 N B B = m g cos 37 Reemplazando en la ecuación 1 + = μ (N B B + NA) (Ecuación ) 1 + = μ (m g cos 37 + m g cos 37 ) 1 + = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) Igualando la Ecuación 1 y la Ecuación = m g sen 37 (Ecuación 1) 1 + = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) m g sen 37 = μ (3m g cos 37 ) Cancelando los términos semejantes m g sen 37 = μ (3m g cos 37 ) sen 37 = μ (3 cos 37 ) Despejamos μ sen 37 μ = = 3 cos 37 3 μ = 0,666 tg 37 tg 37 Capitulo Equilibrio Sears - Zemansky 30

31 Problema 17 Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura -1 y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 0 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B c) Cual es el peso del bloque C? C 37 0 Bloque A F X = 0 Por que se desplaza Bloque B a velocidad constante, luego la aceleración es cero. 1 1 = 0 (Ecuación 1) 1 = 1 Bloque A 1 F Y = 0 Bloque W A N 1 = 0 W A = N 1 W A = N 1 = 0 Newton 1 Pero: 1 = μ N 1 1 = μ 0 = 0,5 * 0 1 = 10 Newton 1 = 1 1 = 10 Newton Bloque B Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. F X = 0 W BX 1 = 0 (Ecuación ) Pero: W BX = W B sen 37 W BX = 0 sen 37 = 1,036 Newton W BX = 1,036 Newton 1 Bloque A 1 1 N 1 1 W A W A 1 Bloque B N 1 W BX 37 0 W BY 1 = 10 Newton W B F Y = 0 W BY N = 0 W BY = N = W B B cos 37 = 0 cos 37 W BY = N = 15,97 Newton Pero: = μ N = μ 0 = 0,5 * 15,97 = 7,986 Newton Bloque C Reemplazando en la ecuación, hallamos la tensión W BX 1 = 0 (Ecuación ) = W BX = 1, ,986 = 30 Newton W C Bloque C 31

32 Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. F Y = 0 W C = 0 W C = = 30 Newton W C = 30 Newton PARE 1 RESNICK HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 13 Un bloque de masa m 1 = 43,8 kg. en un plano inclinado liso que tiene un ángulo de esta unido mediante un hilo que pasa por una pequeña polea sin fricción a un segundo bloque de masa m = 9, Kg. que cuelga verticalmente (Figura 5 17). a) Cual es la aceleración sobre cada cuerpo? b) Cual es la tensión en la cuerda? Pero: P 1X = P 1 * sen 30 P 1 = m 1 * g P 1X = m 1 * g * sen 30 P 1X = 43,8 * 9,8 * 0,5 P 1X = 14,6 Newton P 1X Bloque m 1 m 1 = 43,8 m = 9, Kg. Bloque m 1 Σ F X = m 1 * a P 1X = m 1 * a 14,6 = 43,8a (Ecuación 1) P 1 = m 1 * g P 1Y Bloque m Σ F Y = m * a P - = m * a P = m * g P = 9, * 9,8 P = 86,16 Newton Reemplazando P - = m * a 86,16 - = 9, * a (Ecuación ) Resolviendo la ecuación 1 y ecuación, hallamos la aceleración del sistema. Bloque m P = m * g 14,6 = 43,8a (Ecuación 1) 86,16 - = 9,a (Ecuación ) -14,6 + 86,16 = 43,8a + 9,a 71,54 = 73 a 71,54 a = = 73 a = 0,98 m/seg m 0,98 seg 3

33 Cual es la tensión en la cuerda? Reemplazando 86,16 - = 9,a (Ecuación ) 86,16 - = 9, * 0,98 86,16 - = 8,61 = ,616 = 57,54 Newton DINAMICA DE LAS PARICULAS RESNICK HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 0 Remítase a la figura 5-5. Sea la masa del bloque 9, Kg. ( slugs) y el ángulo θ =. a) Encuentre la tensión en la cuerda y la fuerza normal que obra en el bloque. b) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción Pero: P 1X = P 1 * sen 30 P 1 = m 1 * g P 1X = m 1 * g * sen 30 P 1X = 9, * 9,8 * 0,5 P 1X = 143,08 Newton P 1X N m = 9, Bloque m Σ F X = 0 P 1X = 0 (Ecuación 1) 143,08 = 0 = 143,08 Newton. P 1Y P 1 = m 1 * g N P 1Y = 0 N = P 1Y Pero: P 1Y = P 1 * cos 30 P 1 = m 1 * g P 1Y = m 1 * g * cos 30 N = P 1Y = m 1 g cos 30 N = 9, * 9,8 * 0,866 N = 47,8 Newton c) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción Σ F X = m a P 1X = m a (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 * sen 30 P 1 = m 1 * g P 1X = m 1 * g * sen 30 (Ecuación ) P 1X N P 1Y P 1 = m 1 * g Reemplazando la ecuación en la ecuación 1 P 1X = m a (Ecuación 1) m 1 * g * sen 30 = m a Cancelando términos semejantes 33

34 m 1 * g * sen 30 = m a g * sen 30 = a a = 9,8 * 0,5 a = 4,9 m/seg En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. NO HAY ROZAMIENO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. 1 Bloque m 1 Σ F X = 0 1 P 1X = 0 Pero: P 1X = P 1 sen 40 P 1 = m 1 g Bloque m 1 m 1 = 15 Kg m =? P = m * g 1 P 1 sen 40 = 0 (Ecuación 1) 1 m 1 g sen 40 = 0 1 = m 1 g sen 40 1 = 15 * 9,8 * 0,64 1 = 94,374 Newton Bloque m P 1 = 0 (Ecuación ) P = 1 P = 96,418 Newton SI HAY ROZAMIENO μ = 0,4 P 1X N m 1 = 15 Kg. P 1 = m 1 * g P 1Y Bloque m 1 m =? P = m * g Bloque m 1 Σ F X = 0 1 P 1X = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 sen 40 P 1X = m 1 g sen 40 P 1X = 15 * 9,8 * 0,64 P 1X = 94,37 Newton Pero: P 1Y = P 1 cos 40 P 1Y = m 1 g cos 40 P 1Y = 15 * 9,8 * 0,766 P 1Y = 11,6 Newton N 1 - P 1Y = 0 (Ecuación ) N 1 = P 1Y N 1 = 11,6 Newton P 1 = m 1 g P 1 = m 1 g P 1X Bloque m 1 Bloque m N m 1 = 15 Kg. P 1 = m 1 * g 1 P 1Y m =? P = m * g μ = 0,4 = μ * N 1 (Ecuación 3) 34

35 mb1b = = 0,4 * 11,6 = 7,0 Newton 1 P 1X = 0 (Ecuación 1) 1 = P 1X + Pero: P 1X = 94,37 Newton 1 = 94,37 + 7,0 1 = 11,39 Newton Bloque m P 1 = 0 (Ecuación 4) P = 1 P = 11,39 Newton En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. NO HAY ROZAMIENO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m 1 Σ F X = 0 P 1X = 0 (Ecuación 1) P 1X = P 1 sen 30 P 1 = m 1 g P 1 sen 30 = 0 m 1 g sen 30 = 0 = m 1 g sen 30 = 60 * 9,8 * 0,5 = 300 Newton = 94 Newton Bloque m P x = 0 (Ecuación ) P x = = 94 Newton P x = P sen P PX = = = 368,14 sen 53 0,7986 P = 368,14 Newton Bloque m 1 P 1X Newton N 1 P 1Y m 1 = 15 Kg. P 1 = m 1 * g Bloque m P Y 53 0 m 1 = 60 N P X 53 0 P m =? P = m * g SI HAY ROZAMIENO 60 Kg. 35

36 Bloque m 1 Σ F X = 0 P 1X 1 = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = m 1 g sen 30 P 1X = 60 * 9,8 * 0,5 P 1X = 94 Newton P 1 = m 1 g Bloque m 1 Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = m 1 g cos 30 P 1Y = 60 * 9,8 * 0,866 P 1Y = 509, Newton P 1 = m 1 g N 1 - P 1Y = 0 (Ecuación ) N 1 = P 1Y N 1 = 509, Newton 1 P 1X N 1 m 1 = 15 Kg. P 1 = m 1 * g P 1Y La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. μ = 0,4 1 = μ * N 1 (Ecuación 3) 1 = 0,4 * 509, 1 = 1, Newton P 1X 1 = 0 (Ecuación 1) = P 1X + 1 Pero: P 1X = 94 Newton = , = 416, Newton Bloque m P Y 53 0 N P X Bloque m N P Y = 0 (Ecuación 4) N = P Y Pero: P Y = P cos 53 P = m g N = P Y = P cos 53 m =? P = m * g = μ * N (Ecuación 5) = 0,4 * P cos 53 = 0,4 * P * 0,6018 = 0,144 P Pero: P X = P sen 53 = 416, Newton = 0,144 P Σ F X = 0 P X - = 0 (Ecuación 6) P sen , - 0,144 P = 0 36

37 0,7986 P - 0,144 P = 416, 0,654 P = 416, 416, P = = 636,39 Newton 0,654 37