2 El lenguaje lógico

Transcripción

1 17 2 El lenguaje lógico Contenidos 1. Introducción: palabras lógicas y deducción 2. Conectivas 3. Símbolos especiales para las conectivas 4. Qué expresan las conectivas 5. Cuantificadores 6. Predicados y constantes de individuo 7. Qué expresan los cuantificadores? 8. Representación en el simbolismo lógico 1. Introducción: palabras lógicas y deducción Cuando, en breve, se analice un método para determinar la validez de razonamientos deductivos, se pondrá de relieve la importancia de ciertas frases o palabras. Estas son las expresiones lógicas o términos lógicos, y representan lo que se llamará constantes lógicas. En lo que sigue vamos a enumerar y clasificar estas expresiones lógicas y sentar las bases de un simbolismo para representarlas, con el que se puede desarrollar un lenguaje lógico. Si se retoman los ejemplos ya analizados al presentar el concepto de razonamiento, se pueden encontrar en ellos expresiones lógicas. Así, en Todos los partidos bonaerenses están al sur del trópico de Capricornio Quilmes es un partido bonaerense. Quilmes está al sur del trópico de Capricornio. aparece la palabra todos en la primera premisa. En el siguiente ejemplo Si la temperatura de la superficie terrestre aumenta, entonces la precipitación pluvial aumenta y el nivel de los mares se eleva. La temperatura de la superficie terrestre está aumentando. El nivel de los mares se eleva.

2 18 se expresa en la primera premisa una condición con el término si. La segunda premisa afirma que se da la condición indicada en la primera premisa. De aquí que se pueda inferir lo que está condicionado. Esta frase si..., entonces.., también cumple una función lógica; es una expresión lógica. En el razonamiento (*)El Banco Central deja de comprar dólares o el índice de inflación será mayor al previsto. El Banco Central no deja de comprar dólares. El índice de inflación será mayor al previsto. la primera premisa se refiere a una situación en la que se presentan dos alternativas, indicada por o, y la segunda premisa excluye la primera alternativa al incluir un no. La palabra o es también una expresión lógica. Todos, si..., entonces, o, no cumplen un papel extremadamente importante en la consideración de esos razonamientos como válidos. Nótese que estas palabras son muy diferentes en su significado de otras que aparecen en el lenguaje cotidiano. Piénsese en nombres como Juan o Argentina, en expresiones como estudiante, número primo, rojo, alegre, ministerio, balance de una empresa, núcleo atómico, planilla de asistencia. Todas estas palabras o frases se refieren a cosas de diferentes ámbitos de la realidad. En cambio, las palabras lógicas del párrafo anterior no tienen esa característica; de qué habla la palabra o? Las expresiones lógicas parecen pertenecer a otra categoría, pues cumplen con una función distinta. Se puede comparar el papel que desempeñan las palabras lógicas con el de las operaciones de suma, resta, multiplicación, etc. en aritmética. Estas operaciones son imprescindibles para hacer cuentas en aritmética: uno suma, resta o multiplica cantidades y las características de estas operaciones se fundan en leyes o principios propios de la aritmética, que garantizan, en definitiva, que las cuentas sean correctas. Así como la aritmética estudia estas operaciones, la lógica estudia aquello a lo que se refieren las palabras lógicas (y sus versiones en los diferentes idiomas, por cierto). Frente a este hecho, uno tiende a pensar que tendrá que ocuparse de problemas gramaticales, y en este caso de la gramática del castellano, pues se habla de palabras y su función. Pues bien, esto es así, pero sólo hasta cierto punto. Es cierto, en primer lugar, que nos ocuparemos de entidades lingüísticas, pero no de un idioma concreto (como el castellano, el chino, el árabe, etc.), sino de lo que esas palabras significan. En segundo lugar, tendremos que ver problemas que se pueden considerar gramaticales, pero de una gramática en un sentido más general: una gramática lógica, que no está ligada a ningún idioma o lengua histórica en particular. Se distinguirá dos tipos de expresiones lógicas: las conectivas y los cuantificadores.

3 19 2. Conectivas Tómese el ejemplo siguiente: (*) Si Buenos Aires está en Colombia, entonces está próxima al Ecuador y no está sobre el Río de la Plata. Si Buenos Aires está en Brasil, entonces no está sobre el Río de la Plata. Buenos Aires está sobre el Río de la Plata. No se da que Buenos Aires esté en Colombia o esté en Brasil. Tanto en las premisas como en la conclusión de este razonamiento aparecen expresiones lógicas que pertenecen al tipo de las conectivas. Las conectivas del castellano que figuran aquí son: si,...entonces, y, no, no se da que. Se las llama conectivas porque conectan enunciados. Estas son palabras del castellano que cumplen una función lógica; se refieren a operaciones lógicas. Veremos ahora cada una de ellas La negación Considérese el razonamiento A partir de suponer que Mar del Plata está a orillas del Mediterráneo, se sigue que Mar del Plata está en el hemisferio Norte. Pero Mar del Plata está en el hemisferio Sur. No es cierto que Mar del Plata esté a orillas del Mediterráneo Su conclusión dice No es cierto que Mar del Plata esté a orillas del Mediterráneo. La frase no es cierto que está expresando la negación. Emplear la palabra no es la forma estándar para negar que se dé un hecho o situación determinada. En castellano tenemos otras formas sinónimas, tales como: Mar del Plata no está a orillas del Mediterráneo, No se da que Mar del Plata esté a orillas del Mediterráneo 2.2. La conjunción Tenemos aquí otro ejemplo muy elemental de razonamiento: Estados Unidos es un país industrial. Estados Unidos exporta trigo. Estados Unidos es un país industrial y Estados Unidos exporta trigo.

4 20 En la conclusión de este razonamiento se afirma una conjunción entre dos enunciados: Estados Unidos es un país industrial y Estados Unidos exporta trigo. La palabra y expresa de manera estándar la conjunción. La conjunción sirve para indicar que se dan conjuntamente dos hechos, es decir, brinda información conjuntiva. Formas sinónimas, desde el punto de vista lógico, son: Estados Unidos es un país industrial y exporta trigo. Estados Unidos es un país industrial pero exporta trigo. Estados Unidos es un país industrial aunque exporta trigo. Estados Unidos tanto es un país industrial como exporta trigo. Estados Unidos es a la vez un país industrial y exporta trigo. Las palabras pero, no obstante, aunque (y otras semejantes) expresan un matiz adversativo: se dan conjuntamente dos hechos, pero con una cierta oposición. Sin embargo, no tomaremos en cuenta este matiz adversativo ya que, desde el punto de vista lógico, lo importante es que estas expresiones indican que dos hechos se dan conjuntamente. 2.3 La disyunción Véase el siguiente ejemplo de razonamiento: Bolivia le vende gas a Brasil o Paraguay le vende electricidad a Brasil. Bajo el supuesto que se dé cualquiera de estos dos casos, Brasil soluciona su problema energético. Brasil soluciona su problema energético La primera premisa del razonamiento dice: Bolivia le vende gas a Brasil o Paraguay le vende electricidad a Brasil. Aquí tenemos una disyunción. La palabra o expresa de manera estándar la disyunción. La disyunción sirve para expresar información alternativa: indicar situaciones que pueden darse, pero no se sabe cuál de ellas sucederá (o, incluso, si ocurrirán las dos conjuntamente, lo cual será también posible). Algunas formas sinónimas, desde el punto de vista lógico, son: Ya Bolivia le vende gas a Brasil, ya Paraguay le vende electricidad a Brasil. Se da el caso de que Bolivia le vende gas a Brasil o el caso de que Paraguay le vende electricidad a Brasil. O bien Bolivia le vende gas a Brasil o bien Paraguay le vende electricidad a Brasil. Bolivia le vende gas a Brasil a menos que Paraguay le venda electricidad a Brasil.

5 El condicional Préstese atención al razonamiento Si Argentina exporta software, entonces exporta tecnología informática. Argentina exporta software. Argentina exporta tecnología informática. La primera premisa dice: Si Argentina exporta software, entonces exporta tecnología informática. La expresión si..., entonces expresa de manera estándar el condicional. En un enunciado condicional se afirma que la ocurrencia de un hecho (que Argentina exporte tecnología informática, en este ejemplo) está condicionada o depende de que suceda otro acontecimiento, la condición (que Argentina exporte software). Por eso, el condicional transmite información hipotética, es decir, indica qué condiciones deben cumplirse para que ocurra el evento condicionado. La condición se indica en el antecedente del condicional ( Argentina exporta software ). Lo condicionado se describe en el consecuente del condicional ( Argentina exporta tecnología informática ). Otras formas de expresar información condicional, además de la estándar, son: Suponiendo que Argentina exporte software, Argentina exporta tecnología informática. Argentina exporta software, sólo si Argentina exporta tecnología informática. Argentina exporta tecnología informática, si exporta software. (Inversión de antecedente y consecuente) Argentina exporta tecnología informática, a condición de que exporte software. Argentina exporta tecnología informática, en caso de que exporte software. El hecho de que Argentina exporta software implica que exporta tecnología informática Condiciones necesarias y suficientes El antecedente de un condicional expresa las condiciones suficientes para que suceda lo afirmado en el consecuente: basta que ocurra el hecho indicado en el antecedente para que tenga lugar lo descripto en el consecuente. Así, en el ejemplo precedente, que Argentina exporte software es condición suficiente para afirmar que exporta tecnología informática. El consecuente de un condicional expresa condiciones necesarias del antecedente. Toda vez que ocurra lo indicado en el antecedente, entonces necesariamente sucederá lo descripto en el consecuente. En el ejemplo anterior, el hecho de que Argentina exporte tecnología informática es condición necesaria para que exporte software.

6 22 3. Símbolos especiales para las conectivas Como se ha visto, en castellano existen diferentes palabras y frases que se pueden emplear para referirse a las conectivas. En cuanto a su uso exclusivamente en razonamientos deductivos, las expresiones sinónimas hacen referencia a la misma conectiva, entendida como una operación lógica o constante lógica. Esta variedad de frases y palabras puede llevar a confusiones, pueden presentarse situaciones en que no quede claro a cuál conectiva se está refiriendo una frase o palabra determinadas. Evitar estas situaciones es importante, pues establecer qué conectivas aparecen en un razonamiento es un paso imprescindible para determinar la validez de muchos razonamientos deductivos. Con el fin de resolver este problema se introducen símbolos especiales para las conectivas que se acaba de presentar. De este modo, queda claro cuál es la conectiva que se emplea en cada caso. Esto es algo usual en la historia de la ciencia y de la técnica. Un ejemplo sencillo está dado por la numeración arábiga, tal como la empleamos en diferentes aspectos de la vida. Los numerales 1, 2, 3, etc. se refieren a números y significan respectivamente lo mismo que las palabras uno, dos, tres, etc. del castellano. No obstante, sus ventajas posicionales y composicionales son obvias. Así, con nuestro sistema decimal, agrupar los dígitos del 0 al 9 en un orden, da lugar a nuevas expresiones que designan otros números. Así, 256 se refiere al número que se designa en castellano con la frase doscientos cincuenta y seis, y está claro que este número es diferente de nombrado con el numeral 562, pese a contener los mismos dígitos. Piénsese ahora en los símbolos para las operaciones aritméticas de suma y de resta + y -, que expresan lo mismo que las palabras más y menos, eliminando sus ambigüedades y dándole un carácter universal: compárese la expresión numérica 7+5 con la frase siete más cinco. Mientras que la segunda requiere comprender la lengua castellana, la primera únicamente exige conocimiento de la simbología aritmética, conocimiento que posee cualquier persona que conozca aritmética, independientemente de la lengua histórica que hable. El uso de símbolos, además de ofrecer ventajas visuales, permite alcanzar un nivel de abstracción mayor. Fácilmente, pueden introducirse variables para los individuos del dominio en consideración (es decir, expresiones que sirven para referirse de manera indeterminada a cualquier elemento de un cierto conjunto) y así expresar generalidades, como la propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x, que es mucho más engorroso y complicado de formular en palabras del castellano (u otra lengua histórica). El ejemplo de los numerales y el de los símbolos de operaciones aritméticas muestran lo que puede denominarse un lenguaje técnico (o simbología técnica), que aparece en el contexto de una lengua histórica (tómese, por ejemplo, cualquier manual de álgebra escrito en castellano). Otro caso muy conocido es el de los símbolos para los elementos de la tabla periódica ( H para el hidrógeno, Fe para el hierro, etc.) y la manera de hacer referencia a otras sustancias empleando combinaciones de los mismos (como H 2 O para el agua). Lo característico de este lenguaje técnico es que es específico de una disciplina o un área del conocimiento y lo emplean los expertos en ella. Estos simbolismos especiales tienen un carácter convencional, es decir resultan de una cierta decisión o acuerdo entre los que trabajan en la disciplina concreta (álgebra, química o lógica). Se toman decisiones acerca de los símbolos a emplear y la manera de componerlos. Se pueden resumir las ventajas de introducir símbolos especiales para las expresiones específicas de una disciplina en los siguientes tres puntos:

7 23 (a) universalidad de la simbología, (b) estandarización (o unificación) de las expresiones, (c) construcción de un método formal o un cálculo. Se indican, a continuación, los símbolos correspondientes a cada conectiva 3.1. Negación: (que se lee simplemente no ) La conclusión del razonamiento visto en 2.1. se representa así: Mar del Plata está a orillas del Mediterráneo Se entiende que este enunciado afirma Mar del Plata no está a orillas del Mediterráneo, o cualquiera de sus expresiones sinónimas Conjunción: (que se lee y ) La conclusión del razonamiento que figura en 2.2. se reescribe como Estados Unidos es un país industrial Estados Unidos exporta trigo. Se entiende que este enunciado dice Estados Unidos es un país industrial y Estados Unidos exporta trigo, o cualquiera de sus sinónimos Disyunción: (que se lee o ) La primera premisa del razonamiento de 2.3. se expresa del siguiente modo: Bolivia le vende gas a Brasil Paraguay le vende electricidad a Brasil. Este enunciado dice, mediante el simbolismo lógico, lo mismo que Bolivia le vende gas a Brasil o Paraguay le vende electricidad a Brasil, o cualquiera de sus sinónimos Condicional: (que se lee si..., entonces ) La premisa analizada en ejemplo de 2.4. se representa ahora como Argentina exporta software exporta tecnología informática que quiere decir: Si Argentina exporta software, entonces exporta tecnología informática, o cualquiera de sus sinónimos.

8 Lenguaje regimentado El lenguaje que estamos usando, el castellano en este caso, queda entonces regimentado o normalizado respecto de las conectivas: Las expresiones lógicas del lenguaje quedan normalizadas en estos símbolos, que tendrán un significado específico -como se verá más adelante-. Adviértase que, como sucede en aritmética, el símbolo es independiente de cualquier idioma concreto (puede usarse en textos escritos en diferentes idiomas). Para dar un ejemplo, en química H 2 O designa la sustancia agua, pero tal como ésta es concebida en química, no según la idea que se tiene en la vida cotidiana del agua El caso del bicondicional Introducimos una nueva conectiva que se define por medio del condicional y la conjunción, que es el bicondicional. Se lo expresa de manera estándar en castellano empleando la frase si y sólo si. Considérese el ejemplo: (1) Laura vive en Buenos Aires si y sólo si vive en la ciudad capital de la República Argentina. Resulta evidente que este enunciado puede inferirse de los dos enunciados siguientes tomados conjuntamente: (1a) Si Laura vive en Buenos Aires, entonces vive en la ciudad capital de la República Argentina. (1b) Si Laura vive en la ciudad capital de la República Argentina, entonces Laura vive en Buenos Aires. Asimismo, de (1) se infieren deductivamente (1a) y (1b). El enunciado (1) dirá, por lo tanto, lo mismo que el enunciado (1c) Si Laura vive en Buenos Aires, entonces vive en la ciudad capital de la República Argentina y si Laura vive en la ciudad capital de la República Argentina, entonces Laura vive en Buenos Aires. El bicondicional es un condicional para ambos lados y por ello se simboliza con una doble flecha. Así, la forma regimentada de expresar (1) será (1d) Laura vive en Buenos Aires Laura vive en la ciudad capital de la República Argentina.

9 Tabla de resumen de las conectivas Conectiva símbolo expresiones en castellano Negación no, no se da que, etc. Conjunción y, tanto... como, pero, aunque, si bien, etc. Disyunción o, o bien... o bien, ya... ya, etc.. Condicional si..., entonces, sólo si, en caso de que, etc. Bicondicional si y sólo si, etc Símbolos para enunciados Se puede observar que, mientras la negación afecta a un único enunciado, las demás conectivas vinculan dos. La negación es una conectiva unaria, mientras que las demás, conjunción, disyunción y condicional, son binarias. A fin de concentrar la atención en las conectivas y destacar la estructura lógica de los enunciados, podemos introducir letras del alfabeto latino, que estarán en lugar de los enunciados afectados por las conectivas. Para eso se usarán las letras A, B, C, D y E para indicar enunciados cualesquiera. Funcionarán como abreviaturas de los enunciados que representan. Así se ve claramente que la negación es unaria, pues si se representa Mar del Plata está a orillas del Mediterráneo con la letra A, el enunciado Mar del Plata no está a orillas del Mediterráneo se reescribirá A. En cambio, si se sustituyen Estados Unidos es un país industrial por la letra B, y Estados Unidos exporta trigo por la C, entonces Estados Unidos es un país industrial y Estados Unidos exporta trigo se representara B C. Análogamente, si se reemplazan Bolivia le vende gas a Brasil por la letra D y Paraguay le vende electricidad a Brasil por la D, entonces Bolivia le vende gas a Brasil o Paraguay le vende electricidad a Brasil se rescribirá D E. Similarmente, si representamos Argentina exporta software con la letra D y Argentina exporta tecnología informática con la C, expresaremos el enunciado Si Argentina exporta software, entonces exporta tecnología informática mediante D C, etc Composición de enunciados. Si se toma el razonamiento formulado al comienzo de la sección 2 y se desea simbolizar la primera premisa: Si Buenos Aires está en Colombia, entonces está próxima al Ecuador y no está sobre el Río de la Plata se tiene la impresión de que hay dificultades para representar adecuadamente cómo las conectivas afectan a los enunciados que son, a su vez, parte de este enunciado. Por ejemplo, en esta premisa aparecen el condicional, la conjunción y la negación, así que debe aclararse cuáles son los enunciados directamente vinculados mediante cada una de estas conectivas. Lo que hay aquí es una composición de enunciados en un grado creciente de complejidad, y esta complejidad debe ser analizada. La conjunción y el condicional son conectivas binarias, así que sólo pueden conectar dos

10 26 enunciados. Queda claro que aquí la negación afecta sólo a Buenos Aires está sobre el Río de la Plata. La conjunción y está vinculando dos enunciados Buenos Aires está próxima al Ecuador y Buenos Aires no está sobre el Río de la Plata, que constituyen el consecuente de un condicional. El enunciado Buenos Aires está en Colombia es el antecedente de ese condicional. Vemos una complejidad creciente que va de enunciados más simples a otros más complejos. A fin de indicar esta complejidad creciente generada por sucesivas composiciones de enunciados emplearemos los paréntesis ( y ). Así, podemos representar en lenguaje regimentado estos enunciados como (1) ( Buenos Aires está sobre el Río de la Plata) y luego (2) (Buenos Aires está próximo al Ecuador ( Buenos Aires está sobre el Río de la Plata)) Finalmente, se tendrá (3) (Buenos Aires está en Colombia (Buenos Aires está próximo al Ecuador ( Buenos Aires está sobre el Río de la Plata))) Los tres pasos muestran la manera en que los enunciados se van componiendo hasta llegar a la premisa que se deseaba representar. El enunciado (3) refleja de manera precisa la lectura lógica del enunciado original en castellano. A su vez, si representamos Buenos Aires está en Colombia con A, Buenos Aires está próximo al Ecuador con B y Buenos Aires está sobre el Río de la Plata con C, se obtiene la expresión: (3 ) ( A ( B ( C) ) ) Por cuestiones prácticas, se pueden obviar los paréntesis externos, dándolos por sobreentendidos, sin que esto cree problema alguno en su lectura e interpretación. Lo mismo puede hacerse con los paréntesis que encierran una negación, que es una conectiva unaria. El esquema destaca con precisión cuál es la estructura del enunciado respecto de las conectivas, esta será su estructura lógica. La posibilidad de representar estas estructuras será muy importante en la unidad 3, cuando se pretenda llegar a una definición satisfactoria de validez Enunciados atómicos y moleculares Acabamos de ver cómo se componen enunciados más complejos a partir de enunciados más simples por medio de conectivas. En la terminología de la lógica se llamarán atómicos a los enunciados que no tengan conectivas (y, en general, que no tengan expresiones lógicas), y a los enunciados que tienen al menos una conectiva se los llamará moleculares. Debe subrayarse una vez más la importancia de los paréntesis para indicar la molecularidad del enunciado.

11 27 4. Qué expresan las conectivas? 4.1. Introducción. Condiciones de verdad El problema general de caracterizar las constantes lógicas parte de analizar el uso y la finalidad de expresiones lógicas en el lenguaje cotidiano. Esta cuestión se puede plantear también por medio de la pregunta Por qué necesitamos expresiones lógicas en el lenguaje cotidiano? En el lenguaje cotidiano se emplean nombres para las cosas de las que hablamos, palabras que indican propiedades o características de aquello a lo que nos referimos, verbos para indicar acciones realizadas por nosotros u otras entidades, etc. Qué lugar ocupan, en este panorama, las expresiones lógicas, considerando que no tienen este aspecto descriptivo? Piénsese qué ocurriría si en el lenguaje cotidiano no tuviéramos expresiones lógicas, qué situaciones seríamos incapaces de describir en ese caso. No podríamos decir, por ejemplo, Si el lunes es feriado, entonces no tendremos clase, Después del examen, me tomo una cerveza o me voy a ver una película, etc. Hay miles de afirmaciones más que no podríamos formular. Antes que nada, las constantes lógicas se emplean en contextos en los que se hacen inferencias deductivas: las usamos cuando queremos hacer deducciones, extraer conclusiones, encontrar una inconsistencia. Es por eso que las constantes lógicas son útiles en relación con la obtención de conocimiento. Así pues, un punto de partida para estudiar el problema del significado de las constantes lógicas es buscar una respuesta a la pregunta: qué podemos deducir en forma más directa o inmediata de un enunciado que contenga una constante lógica determinada? Esta cuestión, a su vez, sugiere la otra pregunta: en qué circunstancias (o bajo qué condiciones) podemos deducir un enunciado con una constante lógica determinada? En lo que sigue se verá el caso de las conectivas en particular. Los símbolos especiales que se han introducido para las conectivas regimentan o normalizan las expresiones usadas en cualquier lengua histórica para expresar ciertos conceptos lógicos. De este modo, son tratadas con total independencia del idioma en el que se empleen. Este hecho será de particular importancia para el estudio de la lógica. Los símbolos especiales introducidos para las conectivas tienen un significado que hasta ahora estuvo implícito en nuestro uso del lenguaje cotidiano. Pero este significado ahora debe hacerse explícito: debemos desarrollar, aunque sea aproximadamente, las características de las conectivas. Ahora bien, al brindar una primera idea de la noción de validez, resultó fundamental el hecho de que en un razonamiento válido nunca puede tener premisas verdaderas y conclusión falsa. La verdad se transmite de las premisas a la conclusión. Esta manera de caracterizar la validez da por supuesto que una propiedad de los enunciados es que tienen un valor de verdad: cada uno de ellos es verdadero o falso. Las razones por las cuales un enunciado es rotulado como verdadero o falso pueden ser, obviamente, externas a la lógica. Los motivos que nos llevan a considerar verdaderos o falsos enunciados como El índice de inflación en Argentina durante el mes de noviembre de 2005 fue superior al 1%, Hay vida en alguna luna de Júpiter o Todos los argentinos son hinchas de algún club de fútbol son de diversa naturaleza y eso no entra en cuestión aquí. Conviene reiterar que verdad y falsedad se consideran propiedades de enunciados. Estas propiedades pueden verse como meras etiquetas que se les aplica a los enunciados: desde el punto de vista de la lógica, todos los enunciados se consideran como ya etiquetados con la verdad o la falsedad. El hecho de que lleven una u otra etiqueta es independiente de la lógica. Pero es de suma importancia la relación que tienen verdad y falsedad con la caracterización de

12 28 validez: en los razonamientos válidos no podrá darse que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. También debe recordarse que en un conjunto consistente de enunciados no puede ocurrir que un enunciado aparezca una vez con el valor verdadero y otra vez con el valor falso. Más específicamente, se supondrá que todo enunciado es verdadero o es falso. El principio de que para todo enunciado hay dos valores de verdad: verdadero y falso, y todo enunciado tiene exactamente uno de ellos (o sea, no hay enunciados que carezcan de valor de verdad) se denomina principio de bivalencia. Este supuesto tienen un alto grado de idealización, pues en diversas situaciones puede darse el caso de enunciados que carezcan de valor de verdad, pero no se tomarán en cuenta aquí enunciados con esta característica. El principio de bivalencia conduce, así, a una partición del conjunto de todos los enunciados en dos conjuntos: el de los que son verdaderos y el de los que son falsos. Los enunciados con constantes lógicas son también verdaderos o falsos. Una forma de fijar qué entendemos por una conectiva es estableciendo las condiciones que hacen verdaderos o falsos los enunciados en los que estas aparecen. Esta manera refleja con bastante aproximación las ideas implícitas en el uso de las expresiones correspondientes en el lenguaje cotidiano, al menos en un número importante de contextos y situaciones. Se ofrece a continuación las condiciones de verdad para cada una de las conectivas vistas Conjunción El caso de la conjunción puede presentarse en los siguientes términos: el hecho de que una conjunción sea verdadera significa que ambos miembros de la conjunción son verdaderos. Así, Laura estudia Administración y Damián estudia Educación es verdadero cuando y únicamente en el caso de que sean verdaderos los dos enunciados Laura estudia Administración y Damián estudia Educación. En otras palabras, A B es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos. Si uno de los dos es falso, la conjunción no podrá ser verdadera Disyunción La disyunción puede entenderse del siguiente modo: una disyunción es verdadera cuando y únicamente cuando alguno de los dos miembros de la disyunción es verdadero. Nuevamente, se advierte la indeterminación que expresa la disyunción. De aquí, si un enunciado A B es verdadero, entonces A es verdadero o B es verdadero, pero no puede determinarse cuál de los dos casos se da. Así, si es verdadero el enunciado Damián estudia Administración o estudia Educación, es verdadero Damián estudia Administración o es verdadero Damián estudia Educación, pero no se sabe cuál de las dos alternativas se da (incluso podrían darse conjuntamente). Lo que no puede ocurrir si aquella disyunción es verdadera, es que ambos miembros sean falsos. Esta posibilidad queda excluida Nota sobre la disyunción Obsérvese en el ejemplo precedente que, de la verdad del enunciado Damián estudia Administración, se sigue el enunciado Damián es estudiante universitario, entre otros muchos enunciados posibles. Pero también de Damián estudia Educación se sigue Damián es estudiante universitario. Por lo tanto, resulta evidente que si es verdadero Damián estudia Administración o es verdadero Damián estudia Educación, entonces, en cualquiera de los dos casos, será verdadero que Damián es estudiante universitario. Esto quiere decir que de una disyunción podrá deducirse todo

13 29 aquello que se deduzca de suponer ambos miembros de la disyunción. Este es un ejemplo del tipo de casos en los que se usan enunciados disyuntivos, y está vinculado con la idea de dilema. Una disyunción sirve para expresar dilemas Negación Una negación es verdadera si y sólo si el enunciado afectado por la negación es falso. Así, rotular el enunciado Laura no estudia Educación como verdadero equivale a decir que el enunciado Laura estudia Educación es falso. Entonces, afirmar A es verdadero es lo mismo que indicar A es falso Nota sobre negación y contradicción Una manera de afirmar la verdad de un enunciado negado es mostrar que la suposición del enunciado (sin la negación) conduce a una contradicción. En efecto, si un enunciado permite deducir una contradicción, el enunciado es falso, y por lo tanto su negación es verdadera. Un ejemplo ilustrará esta idea. Recuérdese el caso visto en relación con el concepto de consistencia en la Unidad 1. Si se afirma que Puerto Madryn está al sur de Río Gallegos, entonces se llega a contradicciones tales como la expresada en Puerto Madryn está al norte del paralelo 50 y no está al norte del paralelo 50. Luego, es falso que Puerto Madryn esté al sur de Río Gallegos, y por lo tanto es verdadero que Puerto Madryn no está al sur de Río Gallegos. Otro hecho evidente es que una contradicción (un enunciado que nunca puede ser verdadero) se deduce de afirmar un enunciado cualquiera y su negación (ya que ambos no pueden ser verdaderos conjuntamente). Esta relación entre negación y contradicción será de gran importancia más adelante, al presentar el método de deducción natural Condicional El condicional requiere alguna reflexión preliminar. La verdad del enunciado Si Laura estudia Administración, entonces Laura es estudiante universitaria debe interpretarse en el sentido de que nunca puede ser verdadero su antecedente Laura estudia administración y falso el consecuente Laura es estudiante universitaria. O sea, un condicional es falso si y sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En símbolos: A B es falso, si A es verdadero y B falso. En los restantes casos el condicional no será falso, de modo que, por el principio de bivalencia, A B deberá ser verdadero. Esto lleva a situaciones paradójicas como las siguientes: (a) Un condicional con el antecedente falso es verdadero. (b) Basta que el consecuente de un condicional sea verdadero para que el condicional sea verdadero. Así, el enunciado Si Buenos Aires está en Colombia, entonces Buenos Aires tiene clima templado húmedo es, en la situación actual, verdadero. Este es el sentido usual que tiene el condicional en lógica, llamado condicional material, que no cubre todos los usos del condicional propios del lenguaje cotidiano. No obstante, debe quedar claro que la interpretación básica del condicional lleva a considerar falso un condicional con antecedente verdadero y consecuente falso. Por lo tanto, un condicional que tenga antecedente verdadero, deberá tener consecuente también verdadero, si el condicional es verdadero. En símbolos: si A B es verdadero y A es verdadero, entonces B es verdadero.

14 Nota sobre el condicional y la relación de deducción Existe un paralelismo entre el condicional y la relación de deducción. Un razonamiento es válido (según la definición provisional formulada en la Unidad 1), si siempre que tiene premisas verdaderas, la conclusión también lo es. En el caso de un razonamiento que tenga una única premisa, el razonamiento es válido si siempre que esa única premisa es verdadera la conclusión también lo es (en ese caso la conclusión se deduce de la premisa). Pero, en estas circunstancias, el condicional formado por la premisa como antecedente y la conclusión como consecuente será verdadero. En suma: Un condicional A B es verdadero si B se deduce de A. Por ejemplo, la verdad del enunciado Laura estudia Administración Laura es estudiante universitaria se sigue de que Laura es estudiante universitaria puede deducirse (seguramente junto con otros enunciados) de Laura estudia Administración. Por lo tanto, el condicional verdadero puede verse como una manera de expresar la relación de deducción entre dos enunciados Bicondicional El bicondicional es la conjunción de dos condicionales: un condicional y la conversión de antecedente y consecuente en el mismo. En símbolos: A B es la conjunción de A B y B A. Así pues, sus condiciones de verdad resultan de combinar las condiciones de verdad del condicional y la conjunción. De aquí se sigue que un bicondicional es verdadero si sus dos enunciados componentes tienen el mismo valor de verdad Resumen de las condiciones de verdad para las conectivas ( ) Un enunciado A B es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos. ( ) Un enunciado A B es verdadero si y sólo si A es verdadero o B es verdadero. ( ) Un enunciado A es verdadero si y sólo si A es falso. ( ) Un enunciado A B es verdadero si y sólo si no se da que A sea verdadero y B sea falso (es decir que, si A es verdadero, entonces B es verdadero). ( ) Un enunciado A B es verdadero si y sólo si se da que A y B son ambos verdaderos o A y B son ambos falsos (en suma, si A y B tienen ambos el mismo valor de verdad)

15 Tablas de verdad Si se representa los valores de verdad verdadero y falso con las letras v y f, se pueden presentar las condiciones de verdad para las conectivas en la forma de una tabla o matriz, tal como sigue A B A A B A B A B A B v v f v v v v f v v f v v f v f f f v f f f f v f f v v Nótense algunas de las conclusiones que pueden extraerse de la tabla. (1) Para que una conjunción sea falsa es suficiente que uno de sus miembros sea falso. (2) Para que una disyunción sea verdadera basta con que uno de sus miembros sea verdadero. (3) Para que un condicional sea verdadero es suficiente que el antecedente sea falso o el consecuente verdadero Código de simbolización Al simbolizar con letras el enunciado (3) de la sección anterior, se estableció una correspondencia entre los enunciados atómicos en castellano que integraban (3) y letras mayúsculas para enunciados. Esta correspondencia puede indicarse así A: Buenos Aires está en Colombia B: Buenos Aires está próximo al Ecuador C: Buenos Aires está sobre el Río de la Plata Llamaremos a esta correlación o correspondencia código de representación en el simbolismo lógico o código de simbolización.

16 Ejercicios Luego de leer los siguientes enunciados: a. subraye las expresiones lógicas; b. exprese estos enunciados en el lenguaje regimentado, reemplazando las expresiones lógicas por los símbolos de las conectivas correspondientes; c. señale los enunciados atómicos que los componen; d. finalmente, reemplace cada enunciado atómico por alguna de las letras mayúsculas iniciales del alfabeto: A, B, C, D, etc. Recuerde indicar explícitamente qué letra asignará a cada enunciado atómico! Ejemplos: 1. Si Tagore nació en Calcuta, entonces hablaba bengalí, pero esta lengua está emparentada con el hindi o con el punjabí. (a). Si Tagore nació en Calcuta, entonces hablaba bengalí, pero esta lengua está emparentada con el hindi o con el punjabí. (b). (Tagore nació en Calcuta Tagore hablaba bengalí) (la lengua bengalí está emparentada con el hindi la lengua bengalí está emparentada con el punjabí). (c). Tenemos 4 enunciados atómicos a los que les asignaremos, respectivamente, las letras A, B, C y D, es decir, emplearemos el siguiente Código: A: Tagore nació en Calcuta B: Tagore hablaba bengalí C: la lengua bengalí está emparentada con el hindi D: la lengua bengalí está emparentada con el punjabí Estos enunciados atómicos componen los siguientes enunciados moleculares: Tagore nació en Calcuta Tagore hablaba bengalí la lengua bengalí está emparentada con el hindi la lengua bengalí está emparentado con el punjabí (Tagore nació en Calcuta Tagore hablaba bengalí) (la lengua bengalí está emparentada con el hindi la lengua bengalí está emparentada con el punjabí). (d) (A B) (C D) 2. El Adi Grant se redactó en punjabí, sólo si el punjabí era la lengua de los gurús de Pakistán y el Adi Grant es un libro sagrado para los fundadores de la religión sij. (a) El Adi Grant s e redactó en punjabí, sólo si el punjabí era la lengua de los gurús de Pakistán y el Adi Grant es un libro sagrado para los fundadores de la religión sij. (b) (El Adi Grant se redactó en punjabí (el punjabí era la lengua de los gurús de Pakistán el Adi Grant es un libro sagrado para los fundadores de la religión sij) )

17 33 (c) Tenemos 3 enunciados atómicos a los que les asignaremos, respectivamente, las letras A, B y C: Código: A: El Adi Grant se redactó en punjabí B: el punjabí era la lengua de los gurús de Pakistán C: el Adi Grant es un libro sagrado para los fundadores de la religión sij Estos enunciados atómicos componen los siguientes enunciados moleculares: el punjabí era la lengua de los gurús de Pakistán el Adi Grant es un libro sagrado para los fundadores de la religión sij El Adi Grant se redactó en punjabí (el punjabí era la lengua de los gurús de Pakistán el Adi Grant es un libro sagrado para los fundadores de la religión sij) (d) A (B C) Ahora, continúe Ud. 3. El irlandés y el galés son lenguas celtas, pero el vascón no lo es. 4. El acadio estuvo en contacto con el sánscrito o con el hebreo, si no estuvo emparentado con la primitiva lengua sumeria hablada en la Mesopotamia. 5. No es cierto que en América Central se hable aymará o quechua, pero en México aún se habla el náhuatl y el mixteca. 6. Ni el vascón ni el turco son lenguas románicas. 7. Es condición suficiente que el arameo sea una lengua semítica para que esté emparentado con el hebreo. 8. El vascón se hablaba ya en Europa antes de la llegada de los celtas, sólo si el primitivo pueblo vasco sobrevivió a la última glaciación y se expandió desde la Península Ibérica hacia Moldavia. 9. Es condición necesaria que el Tripitaka sea un antiguo texto budista y haya sido escrito en pali, para que ésta sea una lengua sagrada en Sri Lanka, Birmania y Tailandia. 10. Para que el sánscrito se considere una lengua sagrada en India, es condición necesaria que el Rig-Veda haya sido escrito en sánscrito. 11. El pueblo gitano habla una lengua derivada del sánscrito si y sólo si emplea una lengua que se parece fonética o gramaticalmente al sánscrito.

18 Simbolización de razonamientos. Si consideramos nuevamente el ejemplo formulado al comienzo de la sección 2, y se agrega al código propuesto en 4.9. la siguiente representación D: Buenos Aires está en Brasil se puede simbolizar el razonamiento (*) como A (B C) D C C (A D) Esta simbolización nos permite destacar las conectivas y concentrarnos en la estructura lógica del razonamiento. Lo que se obtiene es la representación lógica del razonamiento original formulado en castellano Ejercicios En los siguientes razonamientos: a. subraye la conclusión; b. exprese las premisas y la conclusión en el lenguaje regimentado, colocando en una misma columna cada premisa y la conclusión, e indicando con una línea horizontal el paso de premisas a conclusión; c. simbolice los razonamientos, reemplazando los enunciados atómicos por letras mayúsculas. Recuerde indicar qué letra asignará a cada enunciado atómico! Ejemplos: 1. Malinzin fue intérprete de Hernán Cortés, sólo si hablaba castellano y también náhuatl o quiché. Por lo tanto, Malinzin hablaba castellano y náhuatl; pues era la intérprete de Hernán Cortés pero no hablaba quiché. (a) Malinzin fue intérprete de Hernán Cortés, sólo si hablaba castellano y también náhuatl o quiché. Por lo tanto, Malinzin hablaba castellano y náhuatl; pues era la intérprete de Hernán Cortés pero no hablaba quiché. (b) Malinzin era intérprete de Hernán Cortés (Malinzin hablaba castellano (Malinzin hablaba náhuatl Malinzin hablaba quiché) ) Malinzin era la intérprete de Hernán Cortés Malinzin hablaba quiché Malinzin hablaba castellano Malinzin hablaba náhuatl

19 35 (c ) Código: A: Malinzin era intérprete de Hernán Cortés B: Malinzin hablaba castellano C: Malinzin hablaba náhuatl D: Malinzin hablaba quiché (d) A (B (C D)) A D B C 2. Si el japonés está emparentado con el coreano, entonces no pertenece a la familia lingüística del chino clásico. Pero si no pertenece a esta familia, entonces tampoco está vinculado con el tibetano. En consecuencia, el japonés está emparentado con el coreano, sólo si no lo está con el tibetano. (a) Si el japonés está emparentado con el coreano, entonces no pertenece a la familia lingüística del chino clásico. Pero si no pertenece a esta familia, entonces tampoco está vinculado con el tibetano. En consecuencia, el japonés está emparentado con el coreano, sólo si no lo está con el tibetano. (b) el japonés está emparentado con el coreano el japonés pertenece a la familia lingüística del chino clásico el japonés pertenece a la familia del chino clásico el japonés está vinculado con el tibetano el japonés está emparentado con el coreano el japonés está emparentado con el tibetano (c ) Código: A: el japonés está emparentado con el coreano. B: el japonés pertenece a la familia lingüística del chino clásico C: el japonés está vinculado con el tibetano. (d) A B B C A C 3. Es condición suficiente que tanto el presidente Kirchner como el vicepresidente Scioli renuncien, para que Balestrini asuma la presidencia de la nación. Pero no es cierto que Balestrini, haya asumido la presidencia de la nación. De modo que no renunció el presidente Kirchner o bien el vicepresidente Scioli no lo hizo. (a) Es condición suficiente que tanto el presidente Kirchner como el vicepresidente Scioli renuncien, para que Balestrini asuma la presidencia de la nación. Pero no es cierto que Balestrini, haya asumido la presidencia de la nación. De modo que no renunció el presidente Kirchner o bien el vicepresidente Scioli no lo hizo.

20 36 (b) (el presidente Kirchner renunció el vicepresidente Scioli renunció) Balestrini asumió la presidencia de la nación Balestrini asumió la presidencia de la nación renunció el presidente Kirchner renunció el vicepresidente Scioli (c) Código: A: el presidente Kirchner renunció. B: el vicepresidente Scioli renunció C: Balestrini asumió la presidencia de la nación (d) (A B) C C A B Ahora, continúe Ud. 4. La Escalera de los Jeroglíficos de Copán o el Caracol de Chichén Itzá fueron observatorios, si y sólo si la civilización maya apreciaba la astronomía. Efectivamente, la Escalera de los Jeroglíficos de Copán y el Caracol de Chichén Itzá fueron observatorios. En consecuencia, la civilización maya apreciaba la astronomía. 5. El galés se habla en la provincia de Chubut, sólo si la población de Gaiman habla galés y Gaiman está ubicada en la provincia de Chubut. Ahora bien, el galés se habla en Chubut aunque es una lengua celta. Por lo tanto, la población de Gaiman habla galés. 6. Si el punjabí era la lengua hablada por los primeros gurús, entonces ésta es una lengua sagrada para los sijs. Así pues, el punjabí es una lengua sagrada para los sijs; ya que el punjabí era la lengua hablada por los primeros gurús pero no lo era el hindi. 7. El Popol Vuh no fue escrito en náhuatl. Pues éste es un antiquísimo texto maya. Pero para que sea un texto maya, es condición necesaria que el Popol Vuh haya sido escrito en lengua quiché y no en náhuatl. 8. Rigoberta Menchú es guatemalteca y defiende los derechos civiles de la población quiché. Era condición suficiente que ella defienda los derechos civiles de los quiché para que gane el Premio Nobel de la Paz. Por consiguiente, Rigoberta Menchú ganó el Premio Nobel de la Paz.

21 37 5. Cuantificadores Las conectivas no capturan todas las expresiones lógicas de los razonamientos deductivos. Piénsese en el siguiente ejemplo, que bien podría ser extraído de alguna información sobre la organización administrativa de la Provincia de Buenos Aires. Todas las cabeceras de partido tienen adjudicada al menos una oficina de correos Hay al menos una oficina de correos que Puán tiene adjudicada, si Puán es cabecera de partido Cuesta pensar que la estructura lógica de este razonamiento pueda analizarse exclusivamente en términos de conectivas. En la conclusión, está claro que se habla de Puán: se dice de Puán que es cabecera de partido y que tiene adjudicada al menos una oficina de correos. Por lo tanto, hay una conjunción implícita aquí. Pero esto no es lo más importante en este razonamiento; en él aparecen las palabras todos y hay al menos uno como imprescindibles. Las palabras todos (tal como sus sinónimos: cualquier, cada, etc.) y alguno (así como sus sinónimos: existe al menos uno, hay, etc.) se llaman cuantificadores y son expresiones lógicas, del mismo modo que las conectivas. Pero tienen características distintas. Cuando en un enunciado se dice todos los... o algún... se hace referencia a una cantidad no precisada de objetos o individuos de cierto tipo. Por lo tanto, se presupone que hay un cierto conjunto de cosas (las de ese tipo, cualquiera sea). En el lenguaje técnico de la lógica se denomina universo de discurso o dominio de cuantificación a ese conjunto, e individuos a las cosas que lo integran. Así, cuando nos referimos a una cantidad de entidades de un dominio sin indicar cuántos son ni enumerarlos, sino empleando las expresiones todos los... o algún..., estamos cuantificando con respecto a los individuos de ese dominio o universo. Para aclarar estas ideas, tómese el ejemplo siguiente. Todo es perecedero Aquí se está expresando que cualquiera sea la entidad que se considere, esa entidad es perecedera. El enunciado hace una afirmación acerca de todo lo que hay. Sencillamente llamamos dominio de cuantificación a ese conjunto universal integrado por todo lo que hay. En cambio, mediante el enunciado Algo es perecedero se indica que hay alguna entidad que es perecedera. Así, el enunciado hace una afirmación acerca de al menos un objeto del dominio de cuantificación. Una vez más, las palabras todo y algo presuponen un conjunto de entidades (a las que llamamos individuos ) al cual se aplican estas expresiones lógicas. Se parte, entonces, de un dominio de objetos (o universo de discurso), a cuyos miembros (los individuos del dominio) se adscriben propiedades o atributos, o se los relaciona con otras entidades. En general, se dirá que se predica de estos individuos. Se considerarán los dos cuantificadores que se indican a continuación.

22 Cuantificador universal Supóngase que, en un texto referido a países o estados nacionales del mundo, aparece el siguiente razonamiento: Todos tienen gobiernos autónomos Chipre tiene un gobierno autónomo El enunciado con el cuantificador universal es la premisa Todos tienen gobiernos autónomos. Este enunciado contiene la palabra todos, que expresa la cuantificación universal. Hay variados recursos en castellano para expresar la cuantificación universal. Estas son algunas expresiones que tomaremos como sinónimos (desde el punto de vista lógico) de la premisa que estamos analizando: Cada uno tiene gobierno autónomo. Cualquiera tiene gobierno autónomo. El razonamiento va de una afirmación referida a todos los objetos del dominio a otra afirmación acerca de un caso particular, el de Chipre. En la premisa se está queriendo decir: Cualquier cosa (del dominio) tiene gobierno autónomo. La expresión todo cuantifica sobre el dominio y por ello es un cuantificador. Esas cosas o individuos del dominio no están necesariamente especificados: no se indica cuáles son o que características tienen, sino que se supone únicamente que son elementos del dominio de cuantificación. Al hablar de individuo del dominio se hace un uso implícito de variables para las entidades del dominio, que podemos representar (como es habitual en matemática) mediante las letras x, y o z. Así resulta que la premisa del razonamiento se reescribe como Para todo objeto x (del dominio), x tiene gobierno autónomo. Es decir, las frases lógicas son para todo x, cada x, cualquier x, etc Cuantificador existencial Siguiendo con el mismo tema de países del mundo, tómese el ejemplo: Holanda es una monarquía Hay una monarquía

23 39 La cuantificación existencial está expresada en la conclusión de este razonamiento: Hay una monarquía. Sinónimos, desde el punto de vista lógico, son, entre otros: Existe una monarquía. Algo es una monarquía. Alguno es monarquía. Al menos hay una monarquía. En el razonamiento se concluye que hay al menos un individuo del dominio de cuantificación que es una monarquía (por eso es una cuantificación existencial). Este enunciado no afirma que sea un individuo en particular, ni que sea uno solo; podrían ser más de uno. La cuantificación existencial expresa una indeterminación: hay al menos uno, pero no se especifica cuál o cuáles son. También se cuantifica aquí sobre todo el dominio, pero se dice que hay al menos un individuo del que se afirma algo (en este caso, que es una monarquía). Para indicar que se hace referencia a los elementos del dominio de manera indeterminada, nuevamente se puede hacer uso de las variables x, y, z, etc., de modo que el enunciado queda como: Existe al menos un x tal que x es monarquía. Debe subrayarse que los cuantificadores incluyen variables de individuo, las que pueden considerarse también como expresiones lógicas Símbolos especiales para los cuantificadores. En el caso de los cuantificadores, del mismo modo que ocurría con las conectivas, se emplearán símbolos especiales, que reemplazarán en el lenguaje técnico de la lógica a frases del castellano como para todo x, cualquier x y otros sinónimos, regimentando el uso de estas expresiones. En el caso de la cuantificación universal el símbolo especial será x (llamado cuantificador universal ). De este modo, la premisa del razonamiento visto en se escribirá del siguiente modo: x ( x tiene gobierno autónomo) Para la cuantificación existencial, usaremos el signo x, indicando en el simbolismo de la lógica lo que en castellano se dice con las expresiones hay al menos un x, y sus sinónimos. La conclusión del razonamiento visto en se representai x ( x es monarquía) 5.4. Tabla de resumen de los cuantificadores Cuantificador Símbolo expresiones en castellano Universal x todo, cualquiera, cada uno, todos los, los, etc. Existencial x existe, hay al menos uno, algún, algunos, etc.