OBJETIVO GENERAL Fijar esquemas de razonamiento a través del ejercicio de actividades lógico- formales.

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS TALLER # 2. ELEMENTOS DE LÓGICA Grado 11 Taller # 2 Nivel II INTRODUCCIÓN Aristóteles fue el primero que sistematizó la lógica que usamos en la vida diaria. Muchas personas piensan que la lógica de Aristóteles y el análisis del cómo funcionan las cosas, están ligados inseparablemente a las formas en que a los occidentales se les enseña a pensar. Gottfried Leibniz, uno de los primeros inventores de la lógica simbólica, Leibniz deseó construir un modelo totalmente objetivo para el razonamiento humano y así reducir todos los errores de razonamiento a errores más pequeños de cálculo. Hasta ahora su sueño ha resultado imposible. Dentro de este proceso destacaremos muy especialmente la vida de George Boole. Sin el álgebra Booleana y la lógica formal, no hubiese sido posible la existencia de las modernas computadoras. Reseña histórica (George Boole) George Boole ( ) creció en medio de la pobreza. Su padre, un mercader londinense, le dio sus primeras lecciones de matemáticas y le enseñó a hacer instrumentos ópticos. En gran medida Boole fue autodidacta. A los 16 años trabajó en una escuela elemental y a los 20 había abierto su propia escuela. Boole estudió matemáticas en sus ratos libres y murió por una enfermedad pulmonar a la edad de 49 años. Las ideas de Boole han sido usadas en el diseño de computadoras y sistemas telefónicos. OBJETIVO GENERAL Fijar esquemas de razonamiento a través del ejercicio de actividades lógico- formales. OBJETIVOS ESPECIFICOS Trabajar estrategias generales que puedan emplearse para abordar problemas que están en contraste con las reglas o algoritmos de muchos libros de texto. Desarrollar operaciones lógicas a la par con la teoría de conjuntos Usar los símbolos básicos empleados en lógica. Interpretar expresiones lógicas sencillas. Comprobar algunas equivalencias básicas del Álgebra de Boole. GLOSARIO Argumento, argumento lógico, argumento válido, conectivos lógicos, cuantificador, estrategia, falacia, instinto, proposición. ELEMENTOS TEÓRICOS Y EJEMPLOS Los elementos teóricos los organizaremos en tres bloques. El primer bloque estará referido a estrategias de pensamiento y ejercicios de agilidad mental. El segundo bloque estará referido al desarrollo del pensamiento lógico a través del cálculo proposicional y el tercer bloque se refiere a cómo las operaciones lógicas se plasman en la formación de los conjuntos que verifican las 1

2 propiedades, expresadas por dichas operaciones. La lógica se va desarrollando a la par con la teoría de conjuntos 1 1. EJERCICIOS DE AGILIDAD MENTAL Los procedimientos básicos que utilizan los seres vivos a fin de conocer las cosas lo bastante como para reaccionar ante ellas de manera apropiada, son cuatro EL INSTINTO: Es una reacción fija, integrada de tal modo que el organismo ante un estimulo determinado produce automáticamente una respuesta. Como ventajas podríamos considerar, la respuesta instintiva es inmediata, no requiere aprendizaje alguno y su sentido nunca cambia. 1.2 APRENDIZAJE DE PRIMERA MANO: Este es el aprendizaje en el cual un organismo responde mediante ensayo y error. Este aprendizaje permite desarrollar respuestas para algunas situaciones nuevas, es lento y como es directo puede ser peligroso (por ejemplo: descubrir un enchufe eléctrico introduciendo los dedos en él) 1.3 APRENDIZAJE DE SUGUNDA MANO: Es un aprendizaje transmitido o derivado. Proviene de la televisión, de la escuela, de los amigos, de los padres. Este tipo de aprendizaje se puede almacenar, transmitir en libros, grabaciones etc. Este aprendizaje es una especie de respuesta promedio que se acomoda a cualquier persona. Como las fuentes de aprendizaje son indirectas, se puede transmitir respuestas antagónicas. 1.4 APRENDIZAJE POR COMPRENSIÓN: Este es el proceso por el cual transformamos una situación desconocida en una situación conocida, para saber así como reaccionar ante ella. Esta transformación se efectúa en la mente a medida que vamos pasando de una idea a la otra, hasta percibir que la situación desconocida se parece o se deriva de otras situaciones familiares. Este pasar de una idea a la otra es el pensamiento. Comprender es pensar. 2 la comprensión es el proceso 2. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO A TRAVÉS DEL CALCULO PROPOSICIONAL En este bloque abordaremos el estudio de la lógica simbólica, que utiliza letras para presentar proposiciones (enunciados) y símbolos para palabras tales como y, o, no una de las aplicaciones principales de la lógica está en el estudio del valor de verdad (veracidad o falsedad) de proposiciones con varias partes. El valor de verdad de estas proposiciones depende de los componentes que la conforman. La lógica simbólica estudia los enunciados basados en hechos en los cuales se define una: proposición: oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas de manera simultánea. Proposición compuesta: se forma por la combinación de dos o más proposiciones simples. Para la formación de proposiciones compuestas pueden usarse varios conectivos lógicos tales como y, o, no, si, entonces. En este bloque consideraremos entonces los conectivos, expresados antes, sus símbolos y tipo de proposición. CONECTIVO SÍMBOLO TIPO DE PROPOSICIÓN Y ^ CONJUNCIÓN O v DISYUNCIÓN NO ~ NEGACIÓN SI... ENTONCES CONDICIONAL 1 Mejía La Verde Clara. Introducción a la lógica matemática por medio de los bloques lógicos. Editorial Zuluaga. Universidad de Antioquia primera edición De Bono Edward. El pensamiento practico. Editorial Paidos. Barcelona, segunda edición

3 P SI Y SOLO SI Q BICONDICIONAL 2.1 APLICACIONES QUE SE DERIVAN DE ESTE BLOQUE DE LÓGICA FORMAL: Cómo utilizar diagramas de Euler para analizar argumentos válidos, cómo utilizar tablas de verdad para comprobar la validez de un argumento. 2.2 PROBLEMAS REFERIDOS A MOSTRAR LA FUNCION VITAL QUE CUMPLE LA IMPLICACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE ARGUMENTACIONES LÓGICAS 3. LA LÓGICA SE VA DESARROLLANDO A LA PAR CON LA TEORÍA DE CONJUNTOS En este bloque se trata de desarrollar el razonamiento lógico utilizando cuantificadores y de aprovechar además la tendencia que tenemos las personas de encontrar orden y patrones en las cosas. En matemáticas, esta tendencia a agrupar se representa con la idea de conjunto. 3.1 CUANTIFICADORES (universales, existenciales y negación de cuantificadores) 3.2 PROPOSICIONES CATEGÓRICAS (universal afirmativa, universal negativa, particular afirmativa y particular negativa) 3.3 EL METODO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN APLICADOS A RAZONAMIENTOS QUE INVOLUCRAN CUANTIFICADORES EN MÁS DE DOS CLASES Ejemplos 1. EL RAZONAMIENTO DE LA EDAD: Jaime y Leoncio son de la misma edad. Jaime es mayor que Roberto, quien su vez es mayor que Carmen. Hugo, aunque es mayor que Carmen, es más joven que Jaime y Roberto. Leoncio es más joven que el amigo de Hugo, Esteban. Enumera a estas seis personas siguiendo el orden de sus respectivas edades. Solución: * La edad de Jaime y Leoncio son iguales L edad de Leoncio, J edad de Jaime L=J * Jaime es mayor que Roberto, quien su vez es mayor que Carmen R edad de Roberto, C edad de Carmen J>R>C entonces tenemos que L=J>R>C (1) * Hugo, aunque es mayor que Carmen, es más joven que Jaime y Roberto H edad de Hugo R>H>C, J>H>C, entonces por (1) tenemos que L=J>R>H>C (2) * Leoncio es más joven que el amigo de Hugo, Esteban E edad de Esteban E>L, entonces por (3) tenemos que E>L=J>R>H>C De mayor a menor quedan organizados de la siguiente manera Esteban, Leoncio, Jaime, Roberto, Hugo y Carmen 2. Si voy en un auto a mi trabajo, entonces llegaré cansado No estoy cansado cuando llego a mi trabajo.. Yo no voy en auto a mi trabajo Solución: P Voy en un auto a mi trabajo Q llegaré cansado 3

4 En forma de proposiciones tenemos P Q ~ Q ~ P P Q Tengo que esto es verdadero, luego también es verdadera ~Q ~P, además me dicen que ~Q es verdadera y por tanto ~P es verdadera y este ejemplo seria una Tautología TALLER 1. Alberto, Ricardo, Jaime y Tomas han estado contando los resultados de un día de pesca: 1- Tomas ha pescado más que Jaime; 2- Alberto y Ricardo han pescado entre los dos, lo mismo que Jaime y Tomas; 3- Alberto y Tomas no han cogido tantos como Ricardo y Jaime. Quién ha pescado más, quién ha sido el segundo, quién el tercero y quién el último? A -TOMAS, ALBERTO, RICARDO, JAIME B- RICARDO, TOMAS, JAIME, ALBERTO C -ALBERTO, JAIME, RICARDO, TOMAS D- JAIME, RICARDO, TOMAS, ALBERTO 2. Tres misioneros y tres caníbales llegan a la orilla de un río, en medio de una espesa jungla. Encuentran un bote en el que solamente caben dos personas. Los misioneros se dan cuenta de que deben tener cuidado de no dejar nunca que los caníbales les superen en número, o de lo contrario correrán el riesgo de ser devorados. Cómo pueden atravesar todos el río, sin que los caníbales puedan comerse a ningún misionero? 3. Un prisionero debe hacer una elección entre dos puertas: detrás de una de ellas está una hermosa dama y detrás de la otra se haya un tigre hambriento Qué sucedería si cada una de las puertas tuviera un letrero y el hombre sabe que solamente un letrero es verdadero? El letrero de la primera puerta dice: EN ESTE CUARTO HAY UNA DAMA Y EN EL OTRO CUARTO HAY UN TIGRE El letrero de la segunda puerta dice: EN UNO DE ESTOS CUARTOS HAY UNA DAMA Y EN UNO DE ESTOS CUARTOS HAY UN TIGRE. 4. El gerente, el contable, el cajero y el auditor de nuestro banco son la señora verde, la señora blanca, el señor negro y el señor marrón, pero no consigo nunca decir quién es quién. 1) El señor marrón es mas alto que el auditor o el cajero 2) el gerente almuerza solo 3) la señora blanca juega a las cartas con el señor negro 4) el más alto de los cuatro juega al baloncesto 5) la señora verde almuerza con el auditor y el cajero 6) el señor negro es mayor que el auditor 7) el señor marrón no practica ningún deporte Puedes ayudarme a determinar con seguridad quién es quién exactamente? 5. (EL JUGADOR DE TENIS). Dos mujeres, Alicia y Carolina y dos hombres, Bruno y David, son atletas. Uno nada, otro patina, el tercero hace gimnasia y el cuarto juega al tenis. Un día se sentaron alrededor de una mesa cuadrada, en las posiciones siguientes: El nadador estaba sentado a la izquierda de Alicia El gimnasta estaba sentado enfrente de Bruno Carolina y David se hallaban sentados uno al lado del otro 4

5 A la izquierda del que patinaba estaba sentada una mujer Quién es el que juega tenis? 6. (LA VACA, LA CABRA Y EL GANSO). Un granjero posee unos pastos que debe aprovechar al máximo para alimentar a su ganado, que consiste en una vaca, una cabra y un ganso. Sabe que la cabra y el ganso, comen tanta hierba como la vaca y que el pasto en todo caso, no durará más de 90 días. Además sabe que el campo alimentará a la vaca y al ganso durante 60 días; o sea, que alimentará a la vaca y a la cabra durante 45 días. Lo que le gustaría saber ahora es cuanto tiempo alimentaría ese campo a los tres animales sin necesidad de esperar a ver qué pasa, porque, si no va a durar lo suficiente, quizá no pueda conseguir el pasto adicional cuando lo necesite. 7. ( CAFÉ CON LECHE?). Una pareja entra en una cafetería a desayunar. A ella le gusta el café con un poco de leche, y a él le gusta la leche con un poco de café. Ella pide una taza de café solo, y él pide una taza de leche. Con el fin de satisfacer sus respectivos gustos, ella toma una cucharada de leche de la taza de leche y la mezcla con la taza de café. A continuación, él añade una cucharada de esa mezcla de café con leche a su taza de leche. La pregunta es: Hay más leche en el café, más café en la leche, o hay la misma cantidad de café en la leche que de leche en el café? 8. (EL RAZONAMIENTO DE LA EDAD). Jaime y Leoncio son de la misma edad. Jaime es mayor que Roberto, quien su vez es mayor que Carmen. Hugo, aunque es mayor que Carmen, es más joven que Jaime y Roberto. Leoncio es más joven que el amigo de Hugo, Esteban. Enumera a estas seis personas siguiendo el orden de sus respectivas edades. ESTABLEZCA SI EL ARGUMENTO ES VÁLIDO O NO. SI ES VÁLIDO IDENTIFIQUE LA TAUTOLOGÍA O TAUTOLOGÍAS EN QUE SE BASA. 1. Si voy en auto a mi trabajo, entonces llegaré cansado Yo no voy en auto a mi trabajo.. No llegaré cansado 2. Me volveré famoso o no me convertiré en escritor Me convertiré en escritor.. Me volveré famoso 3. Si lo intento con ahínco y tengo talento, me convertiré en músico Si me convierto en músico, entonces seré feliz.. Si no voy a ser feliz, entonces no intentaré con ahínco o no tengo talento 5