Matemáticas Discretas LOGICA PROPOSICIONAL

Transcripción

1 Matemáticas Discretas LOGICA PROPOSICIONAL

2 Matemáticas Discretas Estudio de objetos discretos Habilidad para razonar y argumentar Base otras áreas en computación Bases de datos Lenguajes formales Inteligencia Artificial Procesamiento Lenguaje natural Especificación formal de programas Web semántica..

3 Lógica Base razonamiento matemático Argumentación Reglas para dar significado preciso a enunciados Base construcción argumentos válidos Aplicaciones variadas(diseño circuitos lógicos, verificación de programas, etc.)

4 Lógica Razonamiento lógico Todos los matemáticos utilizan sandalias Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista Por lo tanto, todos los matemáticos son algebristas.

5 Lógica Proposicional Proposición Notación: p,q,r,... Constantes proposicionales: v,f alor de verdad (, ) Operadores (conectivos) lógicos órmulas simples y compuestas Precedencia de operadores lógicos

6 Lógica Proposicional Ejemplos de proposiciones Bogotá es la capital de Colombia Lima es la capital de Perú = 5

7 Lógica Proposicional Ejemplos afirmaciones no proposiciones Qué hora es? Mañana lloverá

8 Lógica Proposicional Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones x + 1 = 7 11 es un número primo Andrés vivirá 60 años Sara es inteligente

9 Lógica Proposicional Representación: letras del alfabeto q: Bogotá es la capital de Colombia r: Lima es la capital de Perú p: = 5 Cada proposición tiene un valor de verdad, e indica si ésta es erdadera () o alsa ()

10 Proposiciones Simples y Compuestas El secreto de la longevidad consiste en evitar el estrés Hoy es miércoles y la temperatura es de 21º C Si no llueve voy a la clase de MD No es cierto que Juan perdió el examen

11 Negación Sea p: Bogotá es la capital de Colombia, p indica, Bogotá NO es la capital de Colombia Cómo son los valores de verdad de p y de p

12 Negación Posibles valores de verdad de proposición p se pueden representar en la siguiente tabla p p Tabla de verdad para la negación de una proposición

13 Conjunción p: Bogotá es la capital de Colombia q: Washington es la capital de USA p q : Bogotá es la capital de Colombia y Washington es la capital de USA.

14 Conjunción p q p q Tabla de verdad para la conjunción Tabla de verdad para la conjunción

15 Ejemplos Los Red Sox ganaron la serie mundial y los Yankees fueron eliminados Ayer el Dólar bajó 5 pesos y el Euro subió 25 En este salón hay más hombres que mujeres y además tienen un buen promedio de calificaciones

16 Disyunción Los estudiantes quienes han visto cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada

17 or - inclusivo Disyunción Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación or - exclusivo En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada

18 OR-inclusivo Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación????

19 OR-inclusivo p q p q pvq Tabla de verdad del OR- inclusivo

20 OR-Exclusivo En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada????

21 OR-Exclusivo (p q) En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada p q p q Tabla de verdad del OR- exclusivo

22 Simbolización Usted puede hacer el examen parcial o el opcional Aquellas personas de 20 años o más, pueden entrar al concierto Carlos fue a jugar Béisbol o fue al cine Hamlet fue escrito en 1601 o en 1688 Sarah quiere a Oscar o a Juan

23 Condicional Considere la siguiente proposición Si es un día soleado entonces voy a la playa Qué debe ocurrir para que no se cumpla la proposición?

24 Condicional p q p q Tabla de verdad del Condicional

25 Recíproca Recríproca de p q es la proposición q p p: Hoy es martes q: Tengo un examen hoy p q: Si hoy es martes entonces tengo un examen q p: Si tengo un examen entonces es martes

26 Contrapositiva Contrapositiva de p q es la proposición q p p: Hoy es martes q: Tengo un examen hoy q p: Si NO tengo un examen entonces NO es martes

27 Bicondicional Sean p y q dos proposiciones, el bicondicional p q es la proposición que es verdadera cuando p y q tiene el mismo valor de verdad p q p q Tabla de verdad del Bicondicional

28 Precedencia Operadores Conectivo Significado Proposición Compuesta Nombre en lógica Y p q Conjunción O p q Disyunción No p Negación Si.. Entonces p q Condicional Si y solo si p q Bicondicional

29 ormalización Evita ambiguedad lenguaje natural acilita análisis Determinación valor de verdad

30 ormalización Ejemplo Tienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eres estudiante del PAIS Identificar frases componentes Asignarles variable proposicional Utilizar conectivos

31 ormalización Tienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eres estudiante del PAIS Identificar frases componentes y Asignarles variables proposicionales p: tienes una cuenta de correo electrónico en EISC q: Estas matriculado en ITI r: Eres estudiante del PAIS Utilizar conectivos (q r) p

32 ormalización: ejercicios No puedes conducir si eres menor de edad, a no ser que tengas un seguro especial No se puede actualizar campos de un registro de la base de datos a menos que tengas un perfil de administrador

33 Operaciones con bits: aplicación Aplicación de lógica digital: Bits y conectivos lógicos Construcción de compuertas lógicas Bit: dos valores posibles 0 y 1 (erdadero () es 1 y que also () es 0). ariable Booleana: variable cuyo valor puede ser o. Operaciones con Bits: conectivo lógicos (AND, OR, NOT, XOR)

34 Aplicación Cadenas de Bits: sucesión de cero o más bits operaciones aplicadas a cadenas de bits Operador????

35 Interpretación Asignación de valores de verdad a las variables proposicionales

36 Modelo de una fórmula Una Interpretación I que satisface la fórmula ϕ es un MODELO de ϕ

37 Tipos de Proposiciones Tautología (álidez) Contradicción (Insatisfactiblidad) Contingencia (Satisfactibilidad)

38 alidez, Satisfactibilidad órmula válida: si y solo si es verdadera para todas las interpretaciones. órmula insatisfactible (o inconsistente): si y solo si es falsa para todas las interpretaciones. órmula no válida: si y solo si hay al menos una interpretación que la haga falsa órmula satisfactible: si y solo si al menos una interpretación la hace verdadera

39 Ejercicio Clasificar las siguientes proposiciones como Tautología, Contradicción o Contingencia ( p p) ( p ( p q) ) ( p q) (p q) ( p q) (p q)

40 Equivalencia Lógica Dos fórmulas ϕ, δ son lógicamente equivalentes si para toda interpretación toman el mismo valor de verdad (ϕ δ)

41 Equivalencia Lógica Dos fórmulas ϕ, δ son lógicamente equivalentes si y solo si ϕ δ es una tautología

42 Equivalencia Lógica p q p q (p q)

43 Equivalencia Lógica p q p q p q

44 Equivalencia Lógica Las proposiciones ( p q) y (p q) son entonces lógicamente equivalentes Dos proposiciones compuestas p y q son lógicamente equivalentes si p q es una tautología

45 Ejercicio Indique si las siguientes proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes p q y p q p (q r) y (p q ) (p r) (p q) y p q

46 Equivalencia Lógica Equivalencia p v p p f p p v p f (p q) ( p q) p p

47 Más Equivalencias Lógicas Doble Negación : p p Idempotencia : p p p Idempotencia : p p p Ley asociativa : p (q r) (p q) r Ley asociativa : p (q r) (p q) r Ley de contrarrecíproca : (p q) ( q p) Ley conmutativa : p q q p Ley conmutativa : p q q p Ley distributiva :p ( q r ) (p q) (p r) Ley distributiva :p ( q r ) (p q) (p r)

48 Más Equivalencias Lógicas Leyes de DeMorgan: (p q) p q (p q) p q Ley de implicación: p q p q Ley de cobertura: p (p q) p p (p q) p Ley de contradicción: p p p p

49 Equivalencia Lógica Muestre que ( p ( p q) ) lógicamente equivalentes y p q son Método 1: Construir una tabla de verdad Método 2: Utilizar las equivalencias lógicas conocidas, y partiendo desde una de las dos proposiciones lograr deducir la otra

50 Ejercicio Partir de ( p v ( p q) ) hasta llegar a la proposición p q ( p v ( p q) )???

51 Ejercicio Muestre que ( p q) q es lógicamente equivalente con ( p q) q Muestre que ( p q ) (p q) es una tautología

52 Más Ejercicios Muestre que las siguientes proposiciones compuestas son tautologías (p q) p p (p q) p (p q) (p q) (p q)

53 Consecuencia Lógica Sean A y B dos formulas. Se dice B es consecuencia lógica de A (A B) si toda interpretación que hace verdadera a A hace verdadera a B

54 Consecuencia Lógica Teorema 1 A B si y solo si A B es una tautología Por Ejemplo ( p q) p q dado que ( p q) p q es una tautología

55 Consecuencia Lógica Ejercicio Demuestre que ( p q) p q es una tautología