Fuggi i precetti di quelli speculatori. che le loro ragioni non sono confermate. dalla isperienza. Leonardo da Vinci, Manuscrito B 4v

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1 Fuggi i precetti di quelli speculatori che le loro ragioni non sono confermate dalla isperienza. Leonardo da Vinci, Manuscrito B 4v

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3 Presentación. La observación de los fenómenos luminosos en particular ofrece la posibilidad de apreciar muy directamente algunas relaciones de causa y efecto que son de consecuente impacto positivo para la formación del estudioso de la Física y la Ingeniería, de las Ondas y, desde luego, de la Óptica. En esa clase de fenómenos, también es posible la introducción de mediciones a fin de realizar un análisis cuantitativo de dependencias entre variables, ilustrando así el ejercicio del método experimental. El análisis puede mantenerse en un mínimo nivel introductorio, sin por ello caer en demasiadas simplificaciones. Las ventajas obtenidas, además de ilustrar los fenómenos físicos esenciales constituyentes de los contenidos programáticos tradicionales, incluyen el enlace con técnicas matemáticas propias del nivel de enseñanza correspondiente, como es el caso de la Trigonometría y de la Geometría Analítica. Es con este espíritu que se proponen las siguientes prácticas de Óptica para el nivel medio superior y superior. De acuerdo al énfasis presentado, se incluyen dos subtemas: Óptica Geométrica (propagación de rayos) y Óptica Física (propiedades de ondas) Dentro del primer subtema, se incluyen prácticas relacionadas con la reflexión y la refracción, con los espejos planos y esféricos, con lentes de focal positiva y negativa y aspectos relacionados tales como amplificación e imágenes. Especial atención reciben las imágenes y objetos virtuales. Se construyen los métodos de formación de imágenes paraxiales basados en reflexión y refracción de rayos. Los trazos requeridos son los mínimos, pero sin perder rigor en su manejo. En el caso del arco iris especialmente, se sugiere el uso de trazo a lápiz de rayos realizados estratégicamente para la observación de concentraciones de rayos (cáusticas). Dentro del segundo subtema, se propone trabajar con 3

4 polarización lineal, con interferencia y con difracción, ilustrando finalmente la espectroscopia con algunos espectros de fuentes luminosas, algunas de ellas empleadas en prácticas previas. Las metodologías de las prácticas incluyen algunas de las siguientes actividades: simulaciones de rayos con trazos a lápiz sobre papel, toma de datos y graficado de una variable dependiente (VD) como función de otra variable independiente (VI), procesamiento de los datos elemental para un hallazgo empírico de relaciones matemáticas entre variables, interpolaciones y extrapolaciones, comparación cuantitativa entre teoría y experimento. Cada práctica se plantea como una lista de objetivos conductuales a cumplir por el alumno. Así, se sistematiza el trabajo; pero, con la discusión de conceptos, se busca que el educando adquiera una rica experiencia relativa a los fenómenos ópticos esenciales. Las descripciones en las prácticas están más bien dirigidas al maestro de grupo. Él podrá dosificar o complementará la información por proporcionar a sus educandos de acuerdo a su criterio. Sin embargo, el estudiante autodidacta también puede emplearlo siguiendo las actividades a su propio ritmo. La descripción de cada arreglo experimental no se describe con todo detalle. Su planteamiento requiere de la adaptación de los recursos con que se cuente. La solución específica puede alcanzarse de diversas formas, aunque es recomendable para muchas prácticas el poder echar mano de rieles ópticos de 1 m a 1.50 m, equipados con sus respectivos accesorios tales como carros soportes y vástagos. Esto, sobre todo para las 4

5 prácticas de lentes, así como la de polarización. Las prácticas de espejos son menos demandantes; aunque sí se requiere de espejos esféricos o parabólicos de radio de curvatura de alrededor de 1 m (uno por equipo, claro está). Para las prácticas de interferómetros, los interferómetros de enseñanza resultan muy convenientes. Muchos de ellos pueden configurarse en modo Michelson o Fabry-Perot, por lo que son totalmente recomendables para realizar las prácticas respectivas. Para el ejercicio práctico de espectroscopía, se necesita un espectroscopio. Hay modelos a base de fibra óptica fácilmente adaptables a ordenadores personales. En cuanto a las fuentes de luz, muchas veces, se requiere del empleo de foquitos con filamento de tungsteno; los de lámparas manuales sirven muy bien. Para los anillos de Newton, se requiere una lámpara espectral de mercurio con filtro verde. Para interferencia múltiple, se requiere una lámpara espectral de sodio. Las lámparas espectrales y láseres pueden usarse en la práctica de espectroscopía. Un láser es imprescindible para la práctica de difracción. Aunque las descripciones presentadas son de adquisiciones y procesamiento de datos manualmente, pudieran adaptarse a un apoyo de ordenador personal en diferentes grados. Para dedicar el mayor tiempo posible a la física de cada problema, se ha decidido presentar estas prácticas sin trabajar con incertidumbres. Tampoco se usan las reglas propias del manejo de cifras significativas. Una atención especial para los antecedentes teóricos, sobre todo en los apéndices, intenta integrar conceptos geométricos y matemáticos con el diseño experimental, con los métodos de medición y con la interpretación de resultados. Sin embargo, las prácticas también pueden realizarse como experimentos de tipo empíricos (sin antecedentes teóricos). El trabajo en prácticas de laboratorio constituye una actividad integradora. Es también una oportunidad para llevar a cabo sesiones de aprendizaje no centradas en el 5

6 profesor. El contenido de prácticas aquí sugeridas usualmente se cubre en un curso de laboratorio a lo largo de un semestre con dos sesiones semanales, cada una de tres horas. El equipo requerido es de propósitos generales con contadas excepciones. Si las prácticas propuestas para los educandos les proporcionaran ejemplos de un orden en la Naturaleza que puede describirse matemáticamente de modo muy directo, podría decirse que son de valor no sólo respecto a su contribución a un acervo cultural importante, sino en relación a las construcciones que necesariamente promueven. Se agradecen especialmente las enseñanzas sobre metodología de la experimentación y sobre Óptica experimental impartidas por los profesores Claudio Guerra Vera, Humberto Sotelo González, Juan Américo González Menéndez, Oswaldo Harris Muñoz, Daniel Malacara Hernández, Alejandro Cornejo Rodríguez, Chandrasekhar Roychoudhuri, Murty V. Mantravadi (M. V. R. K. Murty) y José de Jesús Francisco Pedraza Contreras. Así mismo, se reconoce la continua retroalimentación surgida de parte de numerosos estudiantes partícipes de cursos de laboratorio basados en las presentes notas. En especial, aquellos de la Universidad Veracruzana y de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. 6

7 Lista de nombres de prácticas. 1. La Ley de Reflexión. 2. El espejo esférico. 3. La Ley de Snell. 4. La lente convergente I. 5. La lupa. 6. La lente convergente II. 7. La lente divergente. 8. La amplificación angular. 9. La interferencia. 10. El arco iris. 11. La Ley de Malus. 12. El interferómetro de Michelson. 13. La difracción de un cabello. 14. Bandas y líneas espectrales. 15. La interferencia con múltiples haces. Referencias generales. Physical Science Study Committee (PSSC), Física, Reverté (Barcelona) R. Feyman, R. Leighton, M. Sands, Lectures on Physics, Addison-Wesley (London) E. Hecht, Optics, Addison-Wesley (Menlo Park) F. Jenkins, H. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill (New York) J. A. González Menéndez, Relaciones empíricas, UNAM (México)

8 Apéndices. A. Derivaciones de las relaciones entre imágenes y objetos. A.1. Espejo esférico A.2. Lente convexa y lente cóncava B. Procesamiento de datos experimentales: relaciones gráficas entre dos variables. B.1. Lineal. Ajuste visual. B.2. Cambio de variable En relación sinusoidal En relación hiperbólica C. Propiedades ondulatorias. C.1. Interferencia de dos ondas C.2. Anillos de Newton C.3. Interferómetro de Michelson C.4. Difracción de rendija C.5. Espectroscopio C.6. Interferómetro Fabry-Perot 8

9 Práctica Nº 1. La Ley de Reflexión. Tema: Subtema: Nombre: Objetivos: _ Óptica Geométrica _ Reflexión especular _ El espejo plano _ Encontrar gráficamente la posición de la imagen producida por un espejo plano cuando un objeto pequeño se coloca frente a él. _ Empleando los trazos del objetivo anterior, localizar los segmentos de rayos correspondientes partiendo del objeto y reflejándose en el espejo. Medir a continuación los ángulos de incidencia y reflexión para obtener la relación matemática entre estas variables. Material: _ espejos planos de forma rectangular, de preferencia de primera superficie _ una escuadra y un transportador _ opcionalmente: un nivel y una plomada _ una hoja de papel milimetrado _ varios alfileres y lápiz Antecedentes. La Fig.1.1 muestra los parámetros de la reflexión especular, donde una fuente puntual O origina rayos reflejados en una superficie plana de modo que el ángulo incidente iguala en valor absoluto al ángulo de reflexión ', medidos a ambos lados de la línea normal N a la superficie. La prolongación de los rayos reflejados (línea discontinua) se 9

10 intersectan en el punto I. Los rayos incidentes (trazados en línea continua a la izquierda de N) y las prolongaciones de los reflejados forman triángulos semejantes de lados iguales, por lo cual las distancias s y s deben ser iguales. El objeto puntual O es reproducido como si fuera una fuente situada en I, por lo cual se conoce como imagen virtual. Con el procedimiento de hallar la imagen puntual de un objeto puntual buscando igual separación tras la superficie reflectora (espejo plano), se pueden hallar las imágenes de objetos extendidos considerando algunos de sus puntos, como los extremos (recuadro). Los tamaños de las imágenes son iguales a los de los objetos correspondientes (amplificación lateral unitaria). Fig.1.1. Rayos provenientes de una fuente puntual O reflejados en una superficie plana de acuerdo a la ley de reflexión. Recuadro: imágenes de objetos no puntuales halladas según el método encontrado para fuentes puntuales. 10

11 Procedimiento sugerido. Se coloca un espejo plano con su superficie reflectora perpendicular a la hoja de trabajo. Se coloca un alfiler frente a él (O). Se determinan las líneas visuales de la imagen observada (rayos provenientes de I) alineando a la imagen con dos alfileres adicionales separados entre sí. Se registran sus posiciones y se busca otro ángulo (línea visual). Resultados típicos. La Fig.1.2 muestra 16 pares de marcas de alfileres encontradas al alinearlos con las imágenes de un alfiler (objeto O) colocado en la posición fija marcada (X). La línea horizontal indica la posición en que se colocó al espejo plano (de primera reflexión). Bajo de ella, se encuentran las marcas usadas (sobre círculos prolongados tras el espejo). Cada par de marcas se unió con un trazo a lápiz, prolongado hasta atrás del espejo para hallar una región de intersección con los demás trazos. Ésta se halla a una distancia muy parecida a la del objeto respecto a la posición del espejo. Una vez hallados los rayos reflejados, pueden encontrarse los segmentos de rayo incidentes en el espejo. Para determinar un segmento, se traza una línea recta uniendo la posición del alfiler objeto con la intersección de un rayo reflejado con el espejo. A continuación, se mide el ángulo entre el rayo incidente encontrado y la normal al espejo en el punto de incidencia. El ángulo de reflexión es el formado por el segmento de rayo reflejado y la misma normal. De ese modo pueden obtenerse diferentes pares de ángulos. Los trazos no se muestran en la Fig.1.2. Algunos resultados se muestran en la Tabla 1.1, mientras que su gráfica se ve en la Fig.1.3. Se observa un comportamiento lineal de pendiente cercana a la unidad (0.987), con coordenada al origen de valor no muy grande (0.165). 11

12 Fig.1.2. Trazo de las líneas visuales registradas sobre papel. La convergencia es aproximadamente a la misma distancia del objeto (X). Tabla 1.1. Ley de reflexión [ ] [ ]

13 Fig.1.3. Ángulo de reflexión (vertical, VD) como función del ángulo de incidencia (horizontal, VI). Así, la relación obtenida es ' Recomendaciones. Usar espejos planos con su primera cara como la superficie reflectora. Estos se usan en algunos instrumentos como cámaras réflex (espejo abatible), los retroproyectores, o algunos escáneres. Puede emplearse un espejo convencional que refleje en la segunda superficie; pero la convergencia de los trazos será menos marcada. Puede usarse un vidrio 13

14 plano a condición de identificar bien el reflejo de la primera cara. Observar la parte más baja de los alfileres para reducir el error en su inclinación. Puede usarse un área de trabajo previamente nivelada para determinar la posición de la superficie reflectora vertical con una plomada para asegurar la perpendicularidad (además de usar una regla escuadra). Una hoja de papel milimetrado o polar puede ser conveniente para el trazo y la lectura rápida de posiciones. Guía para discusión. Establecer la relación entre la recta ajustada y la ley de reflexión. Encontrar gráficamente las imágenes entre pares de espejos planos bajo las siguientes situaciones: un espejo paralelamente frente al otro. Unidos por un vértice, formando 90 y 60. Enumerar las imágenes producidas, identificando la orientación de cada imagen. Un sistema de tres espejos a 60 proporciona un caleidoscopio. Comparar los resultados previstos con los observados. Discutir la repuesta a la pregunta Un espejo plano invierte derecha e izquierda? En la práctica se comprueba una consecuencia de la ley de reflexión más bien que la ley misma. Discutir cómo verificar la ley de reflexión con un haz direccional (láser, por ejemplo) directamente. 14

15 Práctica Nº 2. El espejo esférico. Tema: _ Óptica Geométrica Subtema: _ Reflexión especular e imágenes Nombre: _ El espejo cóncavo Objetivos: _ Determinar la gráfica entre la posición del objeto y la posición de su imagen, medidas ambas respecto al centro de un espejo cóncavo. _ Determinar experimentalmente el radio de curvatura del espejo empleado. _ Determinar experimentalmente la longitud focal media del espejo empleado. Material: _ un espejo cóncavo ( m de radio de curvatura) _ un foco de filamento de tungsteno para lámpara de mano (6-9 V) _ una pantalla (papel, cartón blanco) _ baterías, o adaptador de alimentación para el foco _ un banco óptico de 1 a 2 m _ dos carros con soportes _ un soporte para el espejo _ una cinta métrica _ una escuadra 15

16 Antecedentes. Como puede mostrarse con un espejo cóncavo, éste reproduce una distribución de intensidades O, en determinado lugar frente al espejo (s), sobre una pantalla en otro lugar distinto (s ). Se forma, en otras palabras, una imagen real I. A diferencia de la imagen virtual producida por un espejo plano, la amplificación lateral de la imagen real no es unitaria siempre. La imagen real tiene una inversión relativa al objeto que la produce. Estando suficientemente cerca del espejo, también se observan imágenes virtuales de amplificación lateral mayor que la unidad (amplificadas). Otros parámetros se describen en el apéndice A.1. Procedimiento sugerido. Fijar un espejo cóncavo en un extremo del área de trabajo. Frente a él, preparar un foquito de tungsteno con su fuente de alimentación (pilas, convertidor, fuente de poder) de modo que, encendido, pueda desplazarse a diferentes posiciones longitudinalmente frente al espejo. Encontrar una imagen real con el auxilio de una pantalla (de papel blanco o cartón claro). Alinear foquito, imagen y centro del espejo, determinando la línea que los une y usándola para, sobre de ella, realizar los desplazamientos posteriores. Las alturas de centro de espejo, foquito e imagen (usualmente del filamento encendido) deben mantenerse a igual altura del área de trabajo. La variable independiente (VI) es la posición de un punto elegido del foquito respecto al centro del espejo (s). La variable dependiente (VD) es la posición de la imagen del punto (o región) elegido del foquito (s ). Si el arreglo puede realizarse con un riel óptico y carros de sujeción, los resultados serán más precisos y rápidos; pero las mediciones pueden realizarse sobre una mesa larga o, si el radio de curvatura R del espejo es larga (de 1 m o más), pueden tomarse sobre el piso. 16

17 Resultados típicos. A. Datos experimentales. Algunos resultados típicos se muestran en la tabla 2.1, mientras que su gráfica correspondiente, en la Fig.2.1. Alrededor del punto (35.7, 41), las coordenadas son semejantes, indicando cercanía con la condición s = R y s = R (centro de curvatura). Tabla 2.1. Espejo esférico s [cm] s [cm] La gráfica principal muestra los datos de posiciones objeto real e imagen real en un rango convencional ajustado a los valores máximo y mínimo de cada variable (s [20,60], s [20,115]). Se han unido los puntos experimentales con líneas rectas para ayudar a la visualización de la curva resultante. Para enfatizar la conveniencia de un rango más amplio, 17

18 los mismos datos se grafican en la gráfica del recuadro. Se ha incluido el origen (0,0) e iguales límites superiores (110 cm). Por la distribución de los datos, se visualiza que éstos no se distribuyeron simétricamente en torno a lo que podría considerarse como el centro de la curva. También, se reconoce un comportamiento donde la curva parece tender a juntarse con la recta paralela al eje vertical que cruza al eje horizontal por el punto s = 20 cm (comportamiento asintótico). Fig.2.1. Posición imagen s (vertical, VD) como función de la posición objeto s (horizontal, VI). B. Procesamiento de los datos experimentales. Para tratar de hallar una relación aproximada entre las variables, se prueba el cambio de variable sugerido por los trazos teóricos, que viene a resultar ser X=1/s y Y=1/s. 18

19 La gráfica correspondiente se muestra en la Fig.2.4, donde puede identificarse una tendencia de parte de los datos procesados a conglomerarse según una línea recta. En general, otro cambio de variable posible no mostraría una tendencia semejante. Se grafica la línea recta que, por mínimos cuadrados, ajusta mejor a los datos procesados. Fig.2.2. Cambio de variable. Y=1/s como función de X=1/s. La línea recta ajustada pasa por los puntos X,Y de coordenadas (0, 0.054) y (0.052,0) aproximadamente. Interpretando a la ordenada al origen como la inversa de una asíntota de la curva (hipérbola), se tiene que su valor es 1/0.54 = cm, que vendría a ser la longitud focal aproximada. Entonces, el radio de curvatura R es del doble de eso mismo, R 19

20 37.18 cm. Este resultado está de acuerdo con los valores de la región donde las coordenadas son parecidas (Tabla 2.1). La relación obtenida es (para s' s s f ) Recomendaciones. Observar algunas imágenes reales previamente a la práctica. Introducir una definición operativa de imagen. Vigilar la alineación, midiendo las alturas de objeto e imagen, que deben ser iguales en todo momento. Una vez identificado el rango de posiciones objeto e imagen donde no difieren mucho, tratar de medir la posición de mínima diferencia (la imagen coincide con el objeto) para tener una buena aproximación al valor del radio de curvatura. Para obtener datos con objeto lejano (valores altos de s ) puede ser necesario trasladar el arreglo al piso del laboratorio. Igual para datos relativamente cercanos al centro de curvatura. Observar también las deformaciones de la imagen cuando el objeto tiende ángulos grandes respecto al eje óptico (aberraciones de astigmatismo y coma, p.e.). Observar las imágenes virtuales también formadas. Mencionar las situaciones comunes en que estas últimas se usan (espejos amplificadores para observarse el rostro aumentado). Guía para discusión. Establecer la relación matemática implicada por los resultados del ajuste encontrado después del cambio de variable. En particular, discutir los significados de la pendiente y de la coordenada al origen. Establecer la compatibilidad de la relación hallada con las relaciones con las fórmulas desarrolladas en el apéndice A.1. En especial, lo referente a la 20

21 formación de las imágenes y la amplificación lateral. Definir lo que es una imagen real (p.e., es la reproducción de una distribución de intensidades. La reproducción puede proyectarse en otro lugar diferente en general del de la distribución original. La escala de la copia puede ser también diferente). Diferencias y semejanzas entre imagen real y virtual (p.e., la real se proyecta sobre una pantalla, mientras que la virtual se observa directamente). Responder brevemente a la pregunta Cómo analizar las imágenes de un espejo convexo? Explicar cómo el espejo plano es caso particular del esférico ( R, s s', M 1). 21

22 22

23 Tema: Práctica Nº 3. La Ley de Snell. _ Óptica Geométrica Subtema: _ Refracción Nombre: _ La refracción en superficie plana Objetivos: _ Obtener la gráfica entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción cuando un objeto pequeño se halla frente a una frontera plana que divide a dos medios transparentes. _ Realizar un cambio de variable trigonométrico para inferir la relación matemática entre ambas variables. Material: _ un semicilindro transparente de vidrio o acrílico (sólido o hueco) _ una hoja de papel milimetrado _ varios alfileres y lápiz Antecedentes. Se observa que la dirección de la propagación de la luz sufre una desviación cuando pasa de un medio transparente, a otro similar. La ley que establece la manera en que sucede, se llama ley de refracción o ley de Snell. 23

24 Procedimiento sugerido. Utilizar una pieza transparente de vidrio o de acrílico (si es hueco, puede llenarse de agua). Refiriéndose al esquema de la Fig.3.1, se coloca un objeto (alfiler) en alguna de las posiciones tipo 1 (frente al lado plano del semicilindro), observando del lado curvo, en las posiciones tipo 2. Marcar con lápiz o marcador fino el centro de la cara plana, que debe corresponder con el centro de curvatura del lado curvo (así sea aproximadamente). Fig.3.1. Puntos 1 (X rojas): posiciones de alfileres definiendo rayo incidente. Puntos 2 (X azules): posiciones de alfileres correspondientes halladas por coincidencia visual con alfiler incidente y centro marcado de semicilindro (cruz café). 24

25 Observando el alfiler del lado plano (alfiler objeto) por el lado curvo a cierto ángulo elegido, buscar la alineación de su imagen con la marca realizada. Luego, alinear otro alfiler con la marca (y con el alfiler objeto). Registrar la marca para trazar posteriormente las líneas indicadas en la Fig.3.1, que son las representativas del rayo desviado. Repetir la operación varias veces para tener los trayectos de varios rayos. Resultados típicos. A. Datos experimentales. Un bloque de vidrio de ventana de ¾ de grosor se mandó cortar de forma circular, resultando con un diámetro de 18.8 cm (después de suavizadas las aristas). Luego, se mandó cortar a la mitad, puliendo las caras planas convenientemente. ángulo de incidencia [ ] i Tabla 3.1. Ley de refracción ángulo de refracción [ ] t 25

26 Se terminó con dos partes no exactamente iguales dado que a una de ellas se le midió un radio de 9 cm, mientras que a la otra, de 9.4 cm. Se trabajó con la primera de ellas. Los ángulos medidos respecto a la normal de la cara plana se muestran en la Fig.3.3. El ángulo de incidencia (VI) es el ángulo tendido por la línea del punto 1 al centro (cruz) de la cara incidente, medido respecto a NN, mientras que el ángulo de refracción el formado por la línea del centro al punto 2, medido respecto a la misma línea NN. ' (VD), es Fig.3.2. Ángulo de refracción t (vertical, VD) como función del ángulo de incidencia i (horizontal, VI). B. Procesamiento de los datos. Se realizó un cambio de variable trigonométrico del tipo X = sen ( i ) y Y = sen ( t ), mostrándose la gráfica en la Fig.3.3. Notar que hay puntos definiendo una pendiente de 2/3, lo cual puede interpretarse como un índice de refracción relativo de n 12 = 3/2 =

27 aproximadamente. Un cálculo de pendiente más exacto empleando la recta visualmente (apéndice B.1) ajustada arroja un valor de n 12= De hecho, la relación obtenida por ajuste de mínimos cuadrados es sen( 3 t) 0.662sen( i) Fig.3.3. Cambio de variable. Y=sen( t ) como función de X=sen( i ). Recomendaciones. Buscar ángulos lo más próximos a los 90 para empezar a notar la tendencia a curvarse de parte de la curva asociada a los datos. Si la imagen observada se amplifica, estimar la posición de su parte media. 27

28 Guía para discusión. Establecer la relación matemática implicada por los resultados del ajuste encontrado después del cambio de variable. Relacionarla con la Ley de Snell. Interpretar el significado de la pendiente de la recta ajustada. Justificar la conveniencia de usar un semicilindro. Qué inconvenientes acarrearía el usar otra forma del vidrio, por ejemplo, una placa? 28

29 Tema: Práctica Nº 4. La lente convergente I. _ Óptica Geométrica Subtema: _ Imágenes reales Nombre: _ Lentes de focal positiva (estudio introductorio) Objetivos: _ Obtener la gráfica entre la posición objeto y la posición imagen cuando un objeto se halla frente a una lente doble o plano convexa dentro de un rango entre el foco e infinito. _ Realizando un cambio de variable, proponer la relación matemática entre la posición objeto y la posición imagen _ Determinar experimentalmente el valor medio de la longitud focal de la lente usada. Material: _ una lente doble convexa o plano convexa ( 10, 15 o 20 cm de longitud focal) _ un foco de filamento de tungsteno para lámpara de mano (6-9 V) _ una pantalla _ baterías o adaptador de alimentación para el foco _ un banco óptico de 1 a 2 m _ tres carros con soportes _ una cinta métrica _ una escuadra 29

30 Antecedentes. Una lente convexa forma imágenes reales semejantes a las de un espejo cóncavo bajo muchas circunstancias. La Fig.4.1 esquematiza dos situaciones características de una lente doble convexa y cómo pueden encontrarse dichas imágenes reales. A la izquierda, si un objeto se encuentra muy lejano a la lente (el sol, por ejemplo), se origina una concentración del otro lado (quizá de ahí el nombre de lente convergente ). La región de concentración se idealiza como un punto llamado foco (F) y su posición tiene una distancia a la lente conocida como longitud focal (f). En la derecha, se esquematiza la formación de una imagen real cuando el objeto está cerca del foco. Un rayo paralelo del objeto O, se hace pasar por el foco F, mientras que uno pasando primero por el foco F, sale paralelo (principio de reversibilidad, apéndice A.3). Al suponer que donde se crucen dos rayos, se cruzan todos (al menos muy cerca de allí), se explican las imágenes observadas. El trazo explica también la inversión observada. Fig.4.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes reales con objetos reales formadas por una lente convexa. 30

31 Procedimiento sugerido. Fijar una lente convexa alrededor de la mitad del área de trabajo. Frente a élla, preparar un foquito de tungsteno con su fuente de alimentación (pilas, convertidor, fuente de poder) de modo que, encendido, pueda desplazarse a diferentes posiciones longitudinalmente frente a la lente. Encontrar una imagen real del otro lado de ella, buscándola con una pantalla. Alinear foquito, imagen y centro de la lente, determinando la línea que los une y usándola para, sobre de ella, realizar los desplazamientos posteriores. Las alturas de centro de la lente, foquito e imagen (usualmente del filamento encendido) deben mantenerse a igual altura del área de trabajo. La variable independiente (VI) es la posición de un punto elegido del foquito respecto a la mitad de la lente (s). Existirá cierta incertidumbre en esta posición, por lo cual deberá estimarse sin exceder el error en su posición en más de unos milímetros. Una vez determinado el punto medio, usarlo para todas las subsecuentes mediciones. La variable dependiente (VD) es la posición de la imagen del punto (o región) elegido del foquito (s ). Como en el caso del espejo cóncavo, si el arreglo puede realizarse con un riel óptico y carros de sujeción, los resultados serán más precisos y rápidos; pero las mediciones pueden realizarse también sobre una mesa larga o pueden tomarse sobre el piso. De hecho, algunas mediciones deben realizarse así (objeto muy cercano al foco, con imagen lejana de la lente algunos metros) si se desean datos en un amplio rango de distancias. 31

32 Resultados típicos. A. Datos experimentales. Algunos resultados típicos se muestran en la tabla 4.1, mientras que su gráfica correspondiente, en la Fig.4.3. Entre los puntos (29.2, 40.8) y (56, 24.5), las coordenadas son semejantes, indicando cercanía con la condición s = 2 f y s = 2 f. Tabla 4.1. Lente convergente s [cm] s [cm] La gráfica principal muestra los datos de posiciones objeto real e imagen real en un rango convencional ajustado a los valores máximo y mínimo de cada variable (s [20,80], s [20,95]). Se han unido los puntos experimentales con líneas rectas para ayudar a la visualización de la curva resultante. Para enfatizar la conveniencia de un rango más amplio, los mismos datos se grafican en la gráfica del recuadro. Se ha incluido el origen (0,0) e iguales límites superiores (100 cm). Por la distribución de los datos, se visualiza que éstos 32

33 no se distribuyeron simétricamente en torno a lo que podría considerarse como el centro de la curva. También, se reconoce un comportamiento donde la curva parece tender a juntarse con la recta paralela al eje vertical que cruza al eje horizontal por el punto s = 20 cm (comportamiento asintótico). Fig.4.2. Posición imagen s (vertical, VD) como función de la posición objeto s (horizontal, VI). Inserto: escalas iguales. B. Procesamiento de los datos experimentales. Para tratar de hallar una relación aproximada entre las variables, se prueba el cambio de variable sugerido por los trazos teóricos, que viene a resultar ser X=1/s y Y=1/s. La gráfica correspondiente se muestra en la Fig.4.4, donde puede identificarse una tendencia de parte de los datos procesados a conglomerarse según una línea recta. En 33

34 general, otro cambio de variable posible no mostraría una tendencia semejante. Se grafica la línea recta resultante del ajuste por mínimos cuadrados de los datos procesados. Su pendiente es de con coordenada al origen (0, ). Fig.4.3. Cambio de variable. Y=1/s como función de X=1/s. La línea recta ajustada pasa por los puntos X,Y de coordenadas (0, 0.057) y (0.0599,0) aproximadamente. La recta incluye a un punto cercano al de coordenadas (0.03, 0.03) por interpolación (cálculo de valores posible dentro del rango de datos obtenidos; pero sin ser dato experimental). Interpretado como correspondiente al punto de posición s 2 f, el inverso de la coordenada debe ser cercano a 2f, de donde f 1/ en cm. Por otro lado, interpretando a la ordenada al origen como la inversa de una asíntota de 34

35 la curva (hipérbola), se tiene que su valor es f 1/ en cm, que vendría a ser la longitud focal aproximada. Este procedimiento es un ejemplo de una extrapolación (cálculo de valores fuera del rango de los datos obtenidos). Este resultado está de acuerdo con los valores de la región donde las coordenadas son parecidas (Tabla 4.1) y se observa que el valor de la primera estimación discrepa del obtenido con la recta (que es más confiable) en 4.3%. En resumen, la relación obtenida por ajuste de mínimos cuadrados es (para s f ) s' s Recomendaciones. Mantener la alineación de lámpara, imagen real y centro de espejo, verificando las alturas por lo menos cada vez que se tome una medición. Verificar también que la pendiente de la recta ajustada tenga un valor cercano a -1. Puede convenir reducir el diámetro efectivo de la lente con un diafragma de cartón negro de diámetro menor. Con el diafragma, se busca trabajar con imágenes paraxiales (formadas por rayos de poca inclinación). Guía para discusión. Establecer la relación matemática implicada por los resultados del ajuste encontrado después del cambio de variable. Cuáles son las diferencias y semejanzas con el comportamiento del espejo esférico cóncavo? Una distancia objeto muy lejana la proporciona el sol; la distancia es tan grande comparada con las dimensiones del laboratorio, que resulta en un dato fuera de la gráfica usual. Sin embargo cómo usar esta 35

36 distancia para obtener un dato o una conclusión útil y porqué? Discutir la manera en que puede medirse la longitud focal con una sola medición y con una precisión razonable. Relacionar los resultados con las cámaras fotográficas, los proyectores de películas (cinematografía) y los retroproyectores. Relacionar los resultados con los del apéndice A.3, en especial lo referente a la amplificación lateral. 36

37 Práctica Nº 5. La lupa. Tema: _ Óptica Geométrica Subtema: _ Imágenes virtuales Nombre: _ La lupa Objetivos: _ Obtener la gráfica entre la posición objeto y la posición imagen cuando un objeto se halla frente a una lente doble o plano convexa dentro de un rango entre el foco y cero. _ Estimar la amplificación angular lograda en las imágenes virtuales. Material: _ una lente doble convexa o plano convexa ( 10 cm de longitud focal) _ un foco de filamento de tungsteno para lámpara de mano (6-9 V) _ una pantalla _ baterías o adaptador de alimentación para el foco _ un banco óptico de 1 a 2 m _ dos carros con soportes _ una cinta métrica _ dos hojas de papel milimetrado 37

38 Antecedentes. Otro tipo de imágenes que se observan con el mismo tipo de lentes convexas son imágenes virtuales. Un trazo de rayos paralelo y pasando por el foco F partiendo del objeto O, describen esta situación (Fig.5.1). La imagen I aparece sin inversión y con amplificación lateral mayor que la unidad. Pero la posición de la imagen, al ser ésta virtual, no puede proyectarse en pantalla alguna. Una técnica de medición de esa posición consiste en convertir la imagen virtual en otra real con ayuda de una lente auxiliar (lo cual, de hecho, es la función realizada por nuestros ojos para detectarla). En esta región de posiciones s es que se usa una lente convexa como lupa. Fig.5.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes virtuales con objeto real formadas por una lente convexa. 38

39 Fig.5.2. Midiendo posiciones de imágenes virtuales formadas por la lente L usando una lente auxiliar L aux. 39

40 Procedimiento sugerido. El procedimiento se esquematiza en la Fig.5.2. Se forma primero una imagen real (de un foquito) con una lente auxiliar L aux (arriba). Las posiciones pueden escogerse arbitrariamente; pero la posición de la pantalla donde se forme la imagen se deberá mantener fija. Luego (en medio), se introduce la lente de estudio L (entre foquito y L aux ), lo cual desenfoca a la imagen previa. Medir la distancia entre objeto y lente L (será s, como se aclarará más adelante). Por último (abajo), mover el objeto hasta que la imagen sobre la pantalla vuelva a aparecer nítidamente (aunque con otra amplificación). La nueva posición será s. En resumen, se usa una imagen virtual para formar una imagen real con L aux. Puede ser deducida la posición de la virtual conociendo la posición de la real y la focal de L aux ; pero el error se propaga de modo inconveniente en los cálculos necesarios. En vez de eso, con la variante propuesta no se requiere más que medir. Obtener varios pares de datos de posiciones. Resultados típicos. Realizando las mediciones según el método sugerido, se hallaron los datos de la tabla 5.1. Sus gráficas a diferentes escalas se muestran en la Fig.5.3. Las posiciones de la imagen se han escrito con signo negativo. Se puede identificar así que se corresponden con una mitad del brazo de la hipérbola que no aparece en las prácticas previas. Esta mitad de brazo es la que ocupa el cuadrante IV según lo expuesto en el apéndice B2 (caso c). De acuerdo a la expresión para la amplificación lateral derivada en el apéndice A.3, puede verificarse que ésta resulta siempre mayor que uno en valor absoluto para todos los datos encontrados. Inclusive, el signo resultante del cociente viene a ser positivo, indicando ausencia de inversión. En contraste, para los datos previos del otro brazo, el signo negativo se puede asociar a la presencia de inversión en la imagen. 40

41 Tabla 5.1. Lupa s [cm] s [cm] Las amplificaciones laterales calculadas de los 17 datos presentados son las siguientes: 1.267, 1.32, 1.327, 1.383, 1.431, 1.529, 1.64, 1.725, 1.776, 1.944, 2.105, 2.3, 2.419, 2.564, 2.8, 2.842, Esta amplificación no necesariamente es percibida directamente en la imagen porque también surge un cambio en su posición. De aquí se puede motivar la necesidad de la definición de la amplificación angular (a verse en otra práctica). Al interpretar a los datos como parte de la gráfica de una misma ecuación, se emplea el mismo cambio de variable ya utilizado, para verificar su alineación. El resultado se ha graficado en la Fig.5.4. La relación obtenida por ajuste de mínimos cuadrados es (para 0 s f ) 41

42 s' s Dado que primero se mide s y luego s, este procedimiento ejemplifica un cambio conveniente en el carácter de las variables; aunque la gráfica no lo refleje. Fig.5.3. Posición imagen s (vertical, VI) como función de la posición objeto s (horizontal, VD). Inserto: escalas iguales. El valor del inverso de la coordenada al origen de la gráfica de la Fig.5.4 (extrapolación) arroja un valor interpretable como la longitud focal del la lente empleada, que en este caso resulta ser de f = cm. Este valor es mayor en 1 cm aproximadamente que el correspondiente de los resultados de la práctica 4 a pesar de ser de la misma lente. La precisión en las mediciones de la región inspeccionada para la lupa es, 42

43 sin embargo, de menor precisión por usar otra lente y ser, así, menos directos. Esto se observa también en una mayor separación de los datos alrededor de la recta ajustada (mayor dispersión de datos). Fig.5.4. Cambio de variable. Y=1/s como función de X=1/s. Recomendaciones. Usar la misma lente convergente que se empleó en la práctica 4, para así comparar las gráficas y visualizar la curva de esta práctica como parte del segundo brazo de la hipérbola. Puede graficarse todos los puntos en la misma gráfica y realizar un solo ajuste con ellos. Procurar también trabajar con la misma orientación de la lente en ambos casos. 43

44 Guía para discusión. Con las prácticas 4 y 5 se han extraído datos experimentales de ¾ partes de la curva hiperbólica de la lente: el brazo completo del I cuadrante y la mitad del otro brazo que ocupa el IV cuadrante. La gráfica de una hipérbola se continuaría para valores de la posición del objeto negativos (s < 0) Tiene sentido físico este segmento? Cómo obtener puntos experimentales de él? 44

45 Práctica Nº 6. La lente convergente II. Tema: _ Óptica Geométrica Subtema: _ Imágenes reales de objetos virtuales Nombre: _ Lentes de focal positiva (estudio completo) Objetivos: _ Obtener la gráfica entre la posición objeto y la posición imagen cuando un objeto se halla frente a una lente doble o plano convexo. Considerar objetos virtuales. _ Realizando un cambio de variable, proponer la relación matemática entre la posición objeto y la posición imagen _ Determinar experimentalmente el valor medio de la longitud focal de la lente usada. Material: _ una lente doble convexa o plano convexa ( 15 cm de longitud focal) _ un foco de filamento de tungsteno para lámpara de mano (6-9 V) _ una pantalla _ baterías o adaptador de alimentación para el foco _ un banco óptico de 1 a 2 m _ dos carros con soportes _ una cinta métrica 45

46 Antecedentes. Una lente convexa también puede tener objetos virtuales (s < 0). La Fig.6.1 esquematiza dos rayos que se dirigen a la punta del objeto O, pero que son interceptados por una lente de focal positiva. La posición de O es s. El trazo segmentado indica la dirección que seguirían de no estar presente la lente. Uno de los rayos es paralelo, por lo que resulta desviado por la lente rumbo al foco F. El segundo rayo, cruza por F antes de ser interceptado, por lo que resulta desviado paralelamente al eje de la lente. Los dos rayos desviados se cruzan en lo que viene a ser la imagen I, a la distancia s. Para tener un objeto como el descrito, virtual, se requiere de una imagen real formada por algún elemento capaz de formar una imagen real, ya que ésta se caracteriza por construirse por la convergencia de rayos en el espacio. Esta imagen real se puede formar con una lente auxiliar. Fig.6.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes reales I formadas con objetos virtuales O por una lente convexa. 46

47 Procedimiento sugerido. Preparar un foquito de tungsteno con su fuente de alimentación (pilas, convertidor, fuente de poder) y su imagen real formada por una lente de focal positiva auxiliar L aux como se describió en la práctica anterior, pero de modo que deje cierto espacio para colocar la lente de estudio L. Esta lente L se colocará en una posición que interrumpa la libre formación de la imagen originada por la lente auxiliar L aux. La variable independiente (VI) es la posición donde se formaba la imagen real respecto a la mitad de la lente (s) antes de incorporar a la lente de estudio L. Este objeto se considera un objeto virtual y se le asigna signo negativo. La variable dependiente (VD) es la posición de la imagen real (s ) formada por la lente de estudio L. Como esta es una imagen real, se le asigna un signo positivo. Note que puede fijar la posición del objeto virtual para varias posiciones de la lente de estudio L, con lo que cambian tanto s < 0 como s. Esto se debe a que las mediciones se realizan respecto al centro de la lente L. La posición del foquito puede ser corta con el propósito de que la lente auxiliar L aux forme una imagen a una distancia relativamente larga dentro de la cual se pueda tener un amplio rango de posiciones para colocar a la lente de estudio L. Resultados típicos. Los resultados obtenidos con el procedimiento sugerido se muestran en la Tabla 6.1, mientras que su correspondiente gráfica puede verse en la Fig.6.3. Los mismos puntos se muestran en el II cuadrante de la gráfica de la Fig.6.4, pero junto con los datos de los cuadrantes IV y I. Los datos del cuadrante IV son los mismos de la Tabla 5.1 porque pertenecen a la misma lente. Así mismo, los datos del cuadrante I son los de la Tabla 4. 47

48 Fig.6.2. Midiendo posiciones de imágenes reales formadas por la lente L usando una lente auxiliar L aux para obtener objetos virtuales (s < 0). 48

49 Tabla 6.1 Lente convergente (objeto virtual, cuadrante II) s [cm] s [cm] Los resultados del cambio de variable =1/s y Y=1/s aplicado a todos los datos se muestran en la Fig.6.5. La pendiente de la recta por ajuste de mínimos cuadrados resulta de y el corte en el eje vertical resulta de Con este último valor, la longitud focal viene a ser de cm. Este valor medio discrepa de los obtenidos en las prácticas 4 y 5. Sin embargo, debe considerarse que los datos más indirectamente obtenidos son de mayor incertidumbre y, por tanto, sus valores medios menos confiables. Estos datos son los del los cuadrantes II y IV, ya que requieren de lentes auxiliares para su obtención. Los más directos, y por tanto los de menor incertidumbre, son los correspondientes al cuadrante I, por lo que su valor medio puede resultar ser más confiable. La tendencia hiperbólica visual de la Fig.6.4 es confirmada por el cambio de 49

50 Fig.6.3. Posición imagen s (vertical, VI) como función de la posición objeto s (horizontal, VD). variable. La relación matemática promedio puede entonces escribirse en este caso ( s ) como: s' s Recomendaciones. Usar la misma lente convergente que se empleó en la práctica 4 y 5, para así comparar las gráficas y visualizar la curva de esta práctica como los dos brazos de una misma hipérbola equilátera. De esta manera, se incorpora la idea de objeto virtual. Con esto, no sólo se cubren todas las posibilidades posibles en cuanto a las posiciones de objeto 50

51 que pueden considerarse, sino que se dota de sentido físico a todos los puntos de la hipérbola. Guía para discusión. Identificar los datos experimentales en la gráfica de cambio de variable. Comparar la relación matemática implicada por los resultados del ajuste encontrado después del cambio de variable con la teórica paraxial encontrada en los apéndices A y B. Cómo sería el procedimiento de captura de datos para un espejo esférico cóncavo en el rango s? Para un espejo plano, cómo sería la imagen de un objeto virtual? Fig.6.4. Posición imagen s (vertical, VI) como función de la posición objeto s (horizontal, VD). Se muestra la totalidad de datos obtenidos según procedimientos de captura previos. 51

52 Fig.6.5. Cambio de variable. Y=1/s como función de X=1/s. Se indican los valores resultantes del ajuste lineal. 52

53 Práctica Nº 7. La lente divergente. Tema: _ Óptica Geométrica Subtema: _ Imágenes Nombre: _ Lentes de focal negativa Objetivos: _ Obtener la gráfica entre la posición objeto y la posición imagen cuando un objeto se halla frente a una lente doble o plano cóncava. _ Realizando un cambio de variable, proponer la relación matemática entre la posición objeto y la posición imagen _ Determinar experimentalmente el valor medio de la longitud focal de la lente usada. Material: _ una lente doble cóncava o plano cóncava ( -6, -10 o -15 cm de longitud focal) _ un foco de filamento de tungsteno para lámpara de mano (6-9 V) _ una pantalla _ baterías o adaptador de alimentación para el foco _ un banco óptico de 1 a 2 m _ dos carros con soportes _ una cinta métrica 53

54 Antecedentes. Una lente cóncava forma imágenes virtuales en muchas circunstancias, aunque no siempre. Estas imágenes aparecen empequeñecidas. La Fig.7.1 esquematiza dos situaciones características de una lente doble cóncava y cómo pueden encontrarse dichas imágenes virtuales, atendiendo a los trazos del apéndice A.4. A la izquierda, se esquematiza la formación de una imagen virtual cuando el objeto está cerca del foco. Un rayo paralelo del objeto O, parece emerger desde el foco F, mientras que uno dirigiéndose primero al foco F, sale paralelo (principio de reversibilidad, apéndice A.4). A la derecha, se muestra la formación de una imagen real a partir de un objeto virtual O. El objeto virtual no es más que una imagen real formada por una lente (o espejo) no mostrada, la cual no se llega a formar porque sus rayos son interceptados por alguna lente, divergente en este caso. En ambos casos, donde se cruzan las prolongaciones de los rayos emergentes se encuentran las imágenes, se explican las imágenes pequeñas observadas. El trazo de la izquierda explica también la ausencia de inversión observada. Como es poco usual presenciar el caso de la derecha, estos lentes se conocen también como divergentes. Fig.7.1. Trazo de rayos para la formación de imágenes virtuales (izquierda) y reales (derecha) con lentes cóncavos. 54

55 Procedimiento sugerido. Aunque puedan adaptarse las técnicas empleadas en la práctica de la lupa, se propone estudiar la región donde se forman imágenes reales. Para ello, se utiliza una lente auxiliar de focal positiva y se forma la imagen real de un foquito en cierto plano arbitrario (I de la Fig.7.2). Se introduce a continuación la lente cóncava entre dicho plano y la lente auxiliar (en el plano II), para buscar una imagen real en otro plano III, no sin antes haber registrado la distancia del plano I al II (que es s). La distancia entre los planos III y II es s. Fig.7.2. Midiendo posiciones de imágenes reales y de objetos virtuales. Resultados típicos. Siguiendo el procedimiento esbozado, se obtuvieron los resultados de la tabla 7.1, que se han graficado en la Fig. 7.3 con los signos negativos para las distancias objeto por 55

56 Tabla 7.1. Lente divergente s [cm] s [cm] Fig.7.3. Posición imagen s (vertical, VD) como función de la posición objeto s (horizontal, VI). Inserto: escalas iguales. 56

57 ser virtuales. La conveniencia de esta convención se patentiza al comparar esta gráfica con el caso d) del apéndice A.4, ya que se reconoce como la mitad del brazo de hipérbola ocupando el II cuadrante. Los datos se pueden ajustar a una recta con el cambio de variable ya empleado en espejos ecóncavos y en lentes de focal positiva (Fig.7.4). La relación matemática puede entonces escribirse en este caso ( f s 0) como: s' s Fig.7.4. Cambio de variable. Y=1/s como función de X=1/s. En esa gráfica, el inverso de la coordenada al origen (extrapolación) proporciona el valor de la longitud focal, que en este caso es negativo y de valor f = cm. 57

58 Recomendaciones. Puede llegar a ser necesario cambiar las distancias objeto e imagen de la lente auxiliar para sacar pares de datos diferentes. Identificar la posición de la focal, relativa a la lente, cambiando la distancia entre los planos I y II mientras se observa el haz emergente de la lente cóncava. De tener imágenes reales para separaciones cortas, se pierden para una cierta distancia y no se vuelven a encontrar. En la transición, puede observarse una región iluminada cuyo tamaño no varía mucho aunque se cambie la posición de una pantalla de observación. Es entonces cuando los rayos de la imagen auxiliar apuntan al foco. Una distancia aún mayor que ésta, no produce imagen real alguna. Con este método, prácticamente sólo se cuenta con un rango de trabajo para s, determinado por la condición <. Guía para discusión. Describir un método para medir longitudes focales de lentes cóncavas. Cómo obtener rayos paralelos saliendo de una lente de focal negativa? Explicar la razón por la cual las rectas de ajuste en cambios de variable para los espejos y lentes deben de tener una pendiente cercana a -1. Señalar entonces la diferencia entre los diversos casos: el corte con el eje vertical (coordenada al origen). Discutir con suficiencia el caso de trabajar con objetos virtuales y la conveniencia de asociarles un signo opuesto al de los objetos reales. Usar la idea de objetos virtuales para complementar las discusiones de las curvas completas para espejos esféricos y lentes. 58

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