Academia de Matemáticas. Apuntes para la Materia de Estadística II. Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial.

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1 UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas Academia de Matemáticas Apuntes para la Materia de Estadística II Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial Elaboró: M.A. Asesor en Estrategias de Inversión (Certificación reconocida por la Bolsa Mexicana de Valores) Morelia Mich., Diciembre de 2009

2 ÍNDICE TEMA 1: Fundamentos de Estadística Inferencial Conceptos Básicos Técnicas para Contar Diagrama de la Probabilidad Estadística TEMA 2: Teoría Elemental de Muestreo Distribución Binomial Distribución Normal Muestreo Aleatorio Simple Distribuciones Muéstrales Distribución Muestral de Medias Distribución Muestral de Proporciones Distribución Muestral de Diferencias y Sumas Otros Ejercicios de 110

3 TEMA 3: Teoría de Estimación Estadística Estimación de Parámetros Estimas Insesgadas Estimas Eficientes Estimas por Puntos y Estimas por Intervalos de Seguridad Estimas por Intervalo de Confianza, de Parámetros Poblacionales Sistemas de Medias por Intervalos de Confianza Intervalos de Confianza para Proporciones Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas Intervalos de Confianza para Desviaciones Típicas Error Probable Ejercicios Tema 4: Teoría de la Decisión Estadística (Paramétrica) Conceptos y Definiciones Decisiones Estadísticas Hipótesis Estadística, Hipótesis Nula de 110

4 4.2.- Ensayos de Hipótesis y Significación Error De Tipo I Y Tipo II Nivel de Significación Ensayos Referentes a la Distribución Normal Ensayos de Una y Dos Colas Ensayos Especiales Ejercicio de Inferencia de Medias BIBLIOGRAFÍA de 110

5 TEMA 1: Fundamentos de Estadística Inferencial Conceptos Básicos. A la estadística inferencial la podemos definir a través de cuatro puntos muy importantes los cuales son los siguientes. 1. Materia de las ciencias sociales: - licenciado en contaduría - licenciado en administración - licenciado en informática administrativa 2. Tomar decisiones: La estadística: tomar decisiones de una población con base de datos muéstrales. Esta se requiere para tomar decisiones estadísticas. Tomar decisiones Diseño experimental Cómo voy a encontrar esos MORELIA 200 datos? 1, 300,000 EDAD Estimar 200 X POBLACION Inferir MUESTRA DE DE DATOS DATOS 4 de 110

6 3. Probabilidad: Estudia los experimentos y fenómenos aleatorios. Interviene el hombre No interviene el hombre 4. Que es un experimento o fenómeno aleatorio: Tiene que ver con resultados que puedan ocurrir y que antes de que ocurran no sabemos cual va a ocurrir Técnicas para Contar. En esta ocasión utilizaremos tres tipos de técnicas para contar las cuales son: CASO 1: En donde: La formula de este caso seria: - Si me importa el orden y nor r = n r - Si se puede repetir. 5 de 110

7 Ejemplo: a b c d a,a b,a c,a d,a a,b b,b c,b d,b a,c b,c, c,c, d,c, a,d b,d c,d d,d = 16 resultados Para el caso anterior de la población de Morelia tendríamos que hacer lo mismo pero seria muy difícil con esa cantidad. En cambio si utilizamos la formula es mas rápido y sencillo, norr = n r norr = n r norr = 4 2 norr = 1, 300, norr = 16 norr = CASO 2: En donde: La formula de este caso seria: - Si me importa el orden nor = n! - No se pueden repetir (n-r)! 6 de 110

8 Ejemplo: 2 a b c d a,b b,a c,a d,a,c b, a,c b,c c,b d,c = 12 Resultados a,d b,d c,d d,d Solución con la formula: nor = n! 4O2 = 4! (n-r)! (4-2)! nor = 24! nor = 1 2 CASO 3: En donde: La formula de este caso seria: - No hay orden - No se pueden repetir ncr = n! r! (n r)! Por lo tanto el resultado es: ncr = n! ncr = 24! ncr = 6 r! (n r)! 2 (2!) ncr = 4! ncr = 24 2! (4 2)! 4 7 de 110

9 Ejemplo 2: realizar el siguiente ejercicio por los tres casos en el que n sea 5 y r 3. a b c d e Caso1: FORMULA: SUSTITUCION: norr = n r norr = 5 3 norr = 125 Caso 2: FORMULA: SUSTITUCION: nor = n! nor = 5! nor = 120 (n-r)! (5 3)! 2! nor = 120 nor = 60 2 Caso3: FORMULA: SUSTITUCION: ncr = n! ncr = 5! ncr = 120 r! (n r)! 3! (5-3)! 6 ( 2!) ncr = 120 ncr = (2) 12 ncr = 10 8 de 110

10 1.3.- Diagrama de la Probabilidad Estadística. EXPERIMENTOS: (Influyen personas) Tienen que ver con resul- LA PROBABILIDA tados que puedan ocurrir y ESTADISTICA ALEATORIOS que antes de que ocurran No sabemos cual va a ocurrir. FENÓMENOS: (No influyen personas) Para estudiarlos se Construyen. Modelo probabilística Que representa el compor- MODELOS DEVIDO tamiento de un fenómeno (Distribuciones) o experimento aleatorio. Existen en el universo millones de experimentos y fenomenos aleatorios. PERO Muchos se parecen POR LO QUE entre ellos. SE LE PONE Estos modelos Toman el mismo modelo NOMBRE PROPIO o distribuciones de EJEMPLO: distribución de probabilidad Binomial o Bernoulli Principal 1 experimento con 2 resul- Característica tados se repite n veces. Normal Ejemplo: Poisson de 110

11 TEMA 2: Teoría Elemental de Muestreo Distribución Binomial. La distribución Binomial: Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo (llamada probabilidad de éxito) y q = 1 P es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo ensayo (llamada probabilidad de fallo), entonces la probabilidad de que el suceso se presente exactamente X veces en N ensayos, (es decir, X éxitos y N X fallos) viene dada por: p(x) = N C X p x q N-X = N! X! (N X)! pxqn X Algunas propiedades de la distribución binomial son dadas en la siguiente tabla. Media M = Np Varianza σ 2 = Npq Desviación típica Coeficiente de sesgo Coeficiente de curtosis σ = Npq α 3 = q - p Npq 1 6pq α 4 = 3 + Npq 10 de 110

12 EJEMPLOS: 1. Hallar la probabilidad de que lanzando una moneda 6 veces aparezcan (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4, (f) 5, (g) 6 caras. Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= lanzar una moneda 6 veces Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= S = (s,s,s,s,s,s) (s,s,s,s,s,a) (s,s,s,s,a,a,) NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es: R= norr = n r norr = 2 6 norr = 64 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = numero de caras Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 0,1,2,3,4,5,6 } 11 de 110

13 Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o éxito. P = posible éxito. 1/2 q = probable fracaso. 1-P = 1-1/2 = 1/2 N= 6 FORMULA: P(x) = N! X! (N-X)! (P X ) (q n-x ) SOLUCION: (A) P (0) = 6! 0! (6-0)! [(1/2) 0 ] [(1/2) 6-0 ] P (0) = (6)! (1/1) [(1/2) 6 ] P (0) = (720) (1/1) [(1/64)] P (0) = (1/1) [(1/64)] P (0) = (1) (1/1) (1/64) P (0) = 1/64 12 de 110

14 (B) P (1) = 6! 1! (6-1)! [(1/2) 1 ] [(1/2) 6-1 ] P (1) = (5)! (1/2) [(1/2) 5 ] P (1) = (120) (1/2) (1/32) P (1) = (1/2) (1/32) P (1) = (6) (1/2) (1/32) P (1) = 6/64 (C) P (2) = 6! 2! (6-2)! [(1/2) 2 ] [(1/2) 6-2 ] P (2) = (4)! (1/4) [(1/2) 4 ] P (2) = (24) (1/4) [(1/2) 4 ] P (2) = (1/4) (1/16) P (2) = (15) (1/4) (1/16) P (2) = 15/64 13 de 110

15 (D) P (3) = 6! 3! (6-3)! [(1/2) 3 ] [(1/2) 6-3 ] P (3) = (4)! (1/8) [(1/2) 3 ] P (3) = 720 (6) (6) (1/8) (1/8) P (3) = (1/8) (1/8) P (3) = (20) (1/8) (1/8) P (3) = 20/64 (E) P (4) = 6! 4! (6-4)! [(1/2) 4 ] [(1/2) 6-4 ] P (4) = (2)! (1/16) [(1/2) 2 ] P (4) = 720 (24) (2) (1/16) (1/4) P (4) = (1/16) (1/4) P (4) = (15) (1/16) (1/4) P (4) = 15/64 14 de 110

16 (F) P (5) = 6! 5! (6-5)! [(1/2) 5 ] [(1/2) 6-5 ] P (5) = (1)! (1/32) [(1/2) 1 ] P (5) = 720 (120) (1) (1/32) (1/2) P (5) = (1/32) (1/2) P (5) = (6) (1/32) (1/2) P (5) = 6/64 (G) P (6) = 6! 6! (6-6)! [(1/2) 6 ] [(1/2) 6-6 ] P (6) = (0)! (1/64) [(1/2) 0 ] P (6) = 720 (120) (1) (1/64) (1/1) P (6) = (1/64) (1/1) P (6) = (1) (1/64) (1/1) P (6) = 1/64 TABLA DEL EJERCICIO: Caras X P(x) 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64 15 de 110

17 2. Hallar la probabilidad de (a) 2 o más caras (b) menos de 4 caras en un lanzamiento de 6 monedas. (A) Hallar la probabilidad de 2 o mas caras: R= 15/ / /64 + 6/64 + 1/64 = 57/64 (B) Menos de 4 caras: R= 20/ /64 + 6/64 + 1/64 = 42 2 = Si X denota el numero de caras en un solo lanzamiento de 4 monedas, hallar (a) p{x = 3}, (b) p{x 2}, (c) p{x 2}, (d) p{ 1 X 3}. Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= lanzar 4 monedas Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= S = (c,c,c,c,) (a,a,a,a) (c,c,a,a,) (c,c,c,a) (a,a,a,c) (c,a,a,a) NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es: R= norr = n r norr = 2 4 norr = de 110

18 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = numero de caras Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 0,1,2,3,4 } Caras Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o éxito. P = Éxito (1/2) q = fracaso (1/2) N = Cuantas monedas 4 FORMULA: P(x) = N! X! (N-X)! (P X ) (q n-x ) SOLUCION: (A) P (3) = 4! 3! (4-3)! [(1/2) 3 ] [(1/2) 4-3 ] P (3) = 24 6 (1)! (1/8) [(1/2) 1 ] P (3) = 24 (6) (1) (1/8) (1/2) P (3) = 24 6 (1/8) (1/2) P (3) = (4) (1/8) (1/2) P (3) = 4/16 4 = ¼ 17 de 110

19 (B) 1.- P (0) = 4! 0! (4-0)! [(1/2) 0 ] [(1/2) 4-0 ] P (0) = 24 1 (4)! (1/1) [(1/2) 4 ] P (0) = 24 1 (24) (1/1) [(1/16) ] P (0) = (1/1) [(1/16) ] P (0) = (1) (1) (1/16) P (0) = 1/ P (1) = 4! 1! (4-1)! [(1/2) 1 ] [(1/2) 4-1 ] P (1) = 24 1 (3)! (1/2) [(1/2) 3 ] P (1) = 24 1 (6) (1/2) (1/8) P (1) = 24 6 (1/2) (1/8) P (1) = (4) (1/2) (1/8) P (1) = 4/16 18 de 110

20 (C) 3. - P (2) = 4! 2! (4-2)! [(1/2) 2 ] [(1/2) 4-2 ] P (2) = 24 2 (2)! (1/4) [(1/2) 2 ] P (2) = 24 2 (2) (1/4) (1/4) P (2) = 24 4 (1/4) (1/4) P (2) = (4) (1/2) (1/8) P (2) = 4/16 TABLA DEL EJERCICIO: Caras X P(x) 1/16 4/16 6/16 1/4 5/8 19 de 110

21 4. De un total de 800 familias con 5 hijos cada una, cuantas cabe esperar que tengan (a) 3 niños (b) 5 niñas (c) 2 o 3 niños. Suponer iguales la probabilidad de niño o Nina Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Que nazcan 5 criaturas Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= norr = n r norr = 2 5 norr = 32 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = numero de niños que nazcan Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 0,1,2,3,4,5 } niños P = Éxito (1/2/) q = fracaso (1/2) N = 5 niños requeridos 20 de 110

22 FORMULA: P(x) = N! X! (N-X)! (P X ) (q n-x ) SOLUCION: P (0) = 5! 0! (5-0)! [(1/2) 0 ] [(1/2) 5-0 ] P (0) = (5)! (1/1) [(1/2) 5 ] P (0) = (120) (1/1) [(1/32)] P (0) = (1/1) [(1/32)] P (0) = (1) (1/1) (1/32) P (0) = 1/32 = x 800 = 25 P (1) = 5! 1! (5-1)! [(1/2) 1 ] [(1/2) 5-1 ] P (1) = (4)! (1/2) [(1/2) 4 ] P (1) = (24) (1/2) (1/16) P (1) = (1/2) (1/16) P (1) = (5) (1/2) (1/16) P (1) = 5/32 = x 800 = de 110

23 P (2) = 5! 2! (5-2)! [(1/2) 2 ] [(1/2) 5-2 ] P (2) = (3)! (1/4) [(1/2) 3 ] P (2) = (6) (1/4) [(1/8)] P (2) = (1/4) (1/8) P (2) = (10) (1/4) (1/8) P (2) = 10/32 = x 800 = 250 (A) P (3) = 5! 3! (5-3)! [(1/2) 3 ] [(1/2) 5-3 ] P (3) = (2)! (1/8) [(1/2) 2 ] P (3) = 120 (6) (2) (1/8) (1/4) P (3) = (1/8) (1/4) P (3) = (20) (1/8) (1/8) P (3) = 10/32 = x 800 = 25 P (4) = 5! 4! (5-4)! [(1/2) 4 ] [(1/2) 5-4 ] P (4) = (1)! (1/16) [(1/2) 1 ] 22 de 110

24 P (4) = 120 (24) (1) (1/16) (1/2) P (4) = (1/16) (1/2) P (4) = (5) (1/16) (1/2) P (4) = 5/32 = X 800 = 125 (B) P (5) = 5! 5! (5-5)! [(1/2) 5 ] [(1/2) 5-5 ] P (5) = (0)! (1/32) [(1/2) 0 ] P (5) = 120 (120) (1) (1/32) (1/1) P (5) = (1/32) (1/1) P (5) = (1) (1/32) (1/1) P (5) = 1/32 = x 800 = 25 TABLA DEL EJERCICIO: Caras X P(x) 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 23 de 110

25 5. Cuál es la probabilidad de obtener 9 una vez en 3 lanzamientos de un por de dados? Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Lanzar un par de dados 3 veces Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= norr = n r norr = 11 3 norr = 1331 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = numero de caras Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9, } Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. P = Éxito (1/2/) q = fracaso (1/2) N = 5 niños requeridos 24 de 110

26 FORMULA: P(x) = N! X! (N-X)! (P X ) (q n-x ) SOLUCION: P (9) = 9! 9! (9-9)! [(1/2) 9 ] [(1/2) 9-9 ] P (9) = (0)! (1/1) [(1/2) 0 ] P (9) = (1) (1/512) (1) P (9) = (1/512) (1) P (9) = (1) (1/512) (1) P (9) = 1/ Hallar la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de un examen falso-verdadero. Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Contestar correctamente 6 preguntas 25 de 110

27 Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= norr = n r norr = 2 10 norr = 1024 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = numero de caras Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 6,7,8,9,10 } Contestar 6 respuestas por lo menos Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea verdadero y falso. P = Éxito (1/2) q = fracaso (1/2) N = Cuantas monedas de 110

28 FORMULA: P(x) = N! X! (N-X)! (P X ) (q n-x ) P (6) = 10! 6! (10-6)! [(1/2) 6 ] [(1/2) 10-6 ] P (6) = (4)! (1/64) [(1/2) 4 ] P (6) = (720) (24) (1/64) (1/16) P (6) = (1/64) (1/16) P (6) = (210) (1/64) (1/16) P (6) = 210/1024 = 105/512 P (7) = 10! 7! (10-7)! [(1/2) 7 ] [(1/2) 10-7 ] P (7) = (3)! (1/128) [(1/2) 3 ] P (7) = (5040) (6) (1/128) (1/8) P (7) = (1/128) (1/8) P (7) = (120) (1/128) (1/8) P (7) = 120/1024 = 15/ de 110

29 P (8) = 10! 8! (10-8)! [(1/2) 8 ] [(1/2) 10-8 ] P (8) = (2)! (1/256) [(1/2) 2 ] P (8) = (40320) (2) (1/256) (1/4) P (8) = (1/256) (1/4) P (8) = (45) (1/256) (1/4) P (8) = 45/1024 P (9) = 10! 9! (10-9)! [(1/2) 9 ] [(1/2) 10-9 ] P (9) = (2)! (1/256) [(1/2) 1 ] P (9) = (362880) (2) (1/256) (1/2) P (9) = (1/256) (1/2) P (9) = (5) (1/256) (1/2) P (9) = 5/ de 110

30 P (10) = 10! 10! (10-9)! [(1/2) 10 ] [(1/2) ] P (10) = (1)! (1/1024) [(1/1) 0 ] P (10) = (362880) (1) (1/1024) (1/1) P (10) = (1/1024) (1/1) P (10) = (1) (1/1024) (1/1) P (10) = 1/1024 Caras X P(x) 105/512 15/128 45/1024 5/512 1/1024 = 193/512 Muestra de Dos Elementos con Reemplazo: 6 4 PARAMETRO 2 3 UNIVERSO 29 de 110

31 Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo. Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= S = 2,2 3,2 4,2 6,2 (estadístico) 2,3 3,3 4,3 6,3 = 16 2,4 3,4 4,4 6,4 2,6 3,6 4,6 6,6 NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es: R= norr = n r norr = 4 2 norr = 16 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = La media de cada muestra Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 } 30 de 110

32 Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. X SUMA Px(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 16/16 = 1 Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media. 2 (1/16) (2/16) + 3 (3/16) (2/16) + 4 (3/16) (2/16) + 5 (2/16) + 6 (1/16) = 2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/ /16 + 9/ /16 + 6/16 = 60/16 = 3.75 Comprobación: = 15/4 = 3.75 Distribución Muestral de Medias: Con Reemplazo: Media: Mx = M D. Estándar: Qx = Q N 31 de 110

33 Formula De La Desviación Estándar: n (X μ) 2 i = 1 n X μ X- μ (X- μ) μ= Q = = Q = Q Qx = Qx = N Qx = Qx = de 110

34 X μ X- μ (X- μ) 2 Px(X) (Px(x))((x- μ) 2 ) / / / / / / / / Q 2 = Q = Q = Distribución Normal. DISTRIBUCIÓN NORMAL. SON NORMALES NO SON NORMALES PERO SE COMPORTAN DE MANERANORMAL CONTINUAS SIMETRICAMENTE VALOR MAS COMUN-MEDIA. 1 Y = e -1/2 (x μ) 2/ σ 2 σ 2 π μ = Media σ = Desviación estándar o desviación típica 33 de 110

35 TRANSFORMAR μ = 0 Z X σ = 1 Por lo tanto la formula para resolver problemas de distribución normal es: Z = X - μ σ Uno de los mas importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua es la distribución normal, curva normal o distribución de gauss dada por la ecuación. 1 2 / σ 2-1/2 (X M ) Y = e σ 2 π 34 de 110

36 Algunas propiedades de la distribución normal se indican en la siguiente tabla: Media Varianza σ 2 μ Desviación Típica σ Coeficiente de sesgo α 3 = 0 Coeficiente de curtosis α 4 = 3 Desviación Media σ 2 / π = σ EJEMPLOS: 1. En un examen de estadística la media fue 7.8 y la desviación típica 10 (a) Determinar las referencias tipificadas de dos estudiantes cuyas puntuaciones fueron 93 y 62, respectivamente, (b) Determinar las puntuaciones de dos estudiantes cuyas referencias tipificadas fueron -0.6 y 1.2 respectivamente. X = μ + Z σ x 2 = 62 μ = 78 x 1 = 93 z 2= -1.6 μ = 0 z 1= 1.5 σ = σ = 1 FORMULAS: Z = x - μ σ 35 de 110

37 PROCEDIMIENTO: X = μ + Z σ (A) Z= (B) Z= Z= 15 Z= Z = 1.5 Z = -1.6 (X 1 ) X 1 = μ + Z σ (X 2 ) X 2 = μ + Z σ X1 = 78 + (-0.6) (10) X 2 = 78 + (1.2) (10) X1 = 78-6 X 2 = X1 = 72 X 2 = Hallar (a) la media y (b) la desviación típica de un examen en e que as puntuaciones de 70 y 88 tienen una referencias tipificadas de -0.6 y 1.4 respectivamente. DATOS: X 1 = 70 Z 1 = -0.6 X 2 = 88 Z 2 = 1.4 FORMULA: μ = X - Z σ SUSTITUCIÓN: μ = X 1 - Z 1 σ μ = X 2 - Z 2 σ σ = σ μ = 70 (-0.6) σ μ = σ = 0.6 σ σ = μ = σ 2 σ = 18 σ = 18/2 σ = 9 36 de 110

38 μ = X 1 - Z 1 σ μ = X 2 - Z 2 σ μ = (9) μ = (9) μ = μ = μ = 75.4 μ = Hallar el área bajo la curva normal entre (a) z = y z = 2.40, (b) z = 1.23 y z = 1.87, (c) z = y z RESULTADOS: (A) μ x z 1 = Z= 0 z 2 = 2.40 Z 1 = Tabla = Z 2 = 2.40 Tabla = R = NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z. (B) Z 1 = 1.23 Tabla = Z 2 = 1.87 Tabla = μ Z= 0 z 1 = z 2 = 37 de

39 (C) R = Z 1 = Tabla = Z 2 = Tabla = R = μ z 1 = z 2 = Z= Hallar el área bajo la curva normal (a) a la izquierda de z = (b) a la izquierda de z = 0.56 (c) a la derecha de z = (d) correspondiente a z > 2.16, (e) correspondiente a 0.80 < z < 1.53, (f) a la izquierda de z = y a la derecha de z = RESULTADOS: (A) 50% 50% μ z 1 = Z= 0 Z 1 = Tabla = NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z. 38 de 110

40 (B) 50% 50% μ Z= 0 z 1 = Z 1 = 0.56 Tabla = (C) 50% 50% μ z 1 = Z= 0 Z 1 = Tabla = de 110

41 (D) 50% 50% μ Z= 0 z 1 = 2.16 Z 1 = 2.16 Tabla = (E) 50% 50% μ z 1 = Z= 0 z 2 = Z 1 = Tabla = Z 1 = 1.53 Tabla = de 110

42 (E) 50% 50% μ z 1 = Z= 0 z 2 = Z 1 = Tabla = Z 2 = 1.83 Tabla = R = = Si la altura de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media 68.0 pulgadas y desviación típica 3.0 pulgadas, cuantos estudiantes tienen alturas (a) mayor de 72 pulgadas, (b) menor o igual a 64 pulgadas, (c) entre 65 y 71 pulgadas inclusive, (d) igual a 68 pulgadas. Supóngase las medidas, registradas con aproximación de pulgada. 1 pulgada = 2.54cm x 1.30 pulg. = cm. = 3.30 mts. Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Seleccionar uno de los 300 estudiantes aleatoriamente y medirlo. Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= S = {e / 0 < e < 130} 41 de 110

43 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X= estatura de los estudiantes Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = {X / 0 < X < 130} La estatura de cualquier estudiante que mida de 0 a 130. Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. R= Calcular la probabilidad de interés. (A) Mayor de 72 pulgadas. 50% 50% μ= μ = 0 z = 1. 5 σ= 3.0 FORMULA: Z = X - μ σ 42 de 110

44 SUSTITUCION: Z = Z = 1.5 Tabla = Z = Z = x 300 Z = = 20 (B) Menor o igual a % 50% 64.5 μ= z = μ = 0 σ= 3.0 FORMULA: Z = X - μ σ SUSTITUCION: Z = Z = Tabla = Z = Z = x 300 Z = = de 110

45 (C) Entre 65 y 71 pulgadas inclusive. 50% 50% 64.5 μ= z = μ = 0 σ= 3.0 X = 68 FORMULA: Z = X - μ σ SUSTITUCION: Z = Z = Z = Z = Z = Z = P (65 < X < 71) = = 75% N. de estudiantes = 300 (0.7580) = 227 % 44 de 110

46 (D) Igual a 68 pulgadas μ= μ = 0 σ= 3.0 X = 68 FORMULA: X - μ Z = σ SUSTITUCION: Z = Z = Z = Z = Z = 0.17 Z = P (x = 68) = = 13.5 N. de estudiantes = 300 (0.1350) = de 110

47 6. Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media pulgadas y desviación típica pulgadas, determinar el porcentaje de cojinetes de bolas con diámetros (a) entre y pulgadas inclusive (b) mayor de pulgadas, (c) menor de pulgadas, (d) igual a pulgadas. (A) Entre y μ= μ = 0 σ= 3.0 FORMULA: Z = X - μ σ SUSTITUCION: Z 1 = Z 2 = Z 2 = Z 1 = Z 2 = 1.8 Z 1 = % = 93% 46 de 110

48 (B) Mayor de μ= μ = 0 σ= 3.0 X = 1.4 FORMULA: Z = X - μ σ SUSTITUCION: Z = Z = x 100 = 8.08 = Z = de 110

49 (C) Menor de pulg = % μ= z = μ = 0 σ= X = 1.4 FORMULA: Z = X - μ σ SUSTITUCION: Z = Z = x 100 = 0.47% Z = -2.6 = de 110

50 (D) Igual a pulg. x 1 = x 2 = % z 2 = -0.6 μ= μ = 0 z 1= -0.2 σ= FORMULA: Z = X - μ σ SUSTITUCION: Z1 = Z2 = Z1 = Z2 = Z1 = -0.2 = Z2 = -0.6 = de 110

51 7. La puntuación media en un examen fue 72 y la desviación típica 9. El 10% superior de los alumnos reciben la calificación A. Cuál es la puntuación mínima que un estudiante debe tener para recibir una A? DE ATRÁS HACIA DELANTE: DATOS: FORMULA: M= 72 Q= 9 X = Z1 Q + M Z1= 1.28 Tabla %=? % SUSTITUCION: X = 1.28 (9) + 72 X = X = X = 84 AHORA DE ADELANTE HACIA ATRÁS: μ= 72 X= 84 μ = 0 z = 1.28 FORMULA: SUSTITUCION: Z = X - μ σ Z = Z = x 100 = 10% 9 Z = 1.28 = de 110

52 2.3.- Muestreo Aleatorio Simple. Teoría De Muestreo La teoría de muestreo es un estudio de las relaciones existentes entre una población y muestras extraídas de la misma. Tiene gran interés en muchos aspectos de la estadística. Por ejemplo, permite estimar cantidades desconocidas de la población (tales como la media poblacional, la varianza, etc.), frecuentemente llamadas parámetros poblacionales o brevemente parámetros, a partir del conocimiento de las correspondientes cantidades muéstrales (tales como la media muestral, la varianza, etc.), a menudo llamadas estadísticos muéstrales o brevemente estadísticos. La teoría de muestreo es también útil para determinar si las diferencias que se puedan observar entre dos muestras son debidas a la aleatoriedad de las mismas o si por el contrario son realmente significativas. Tales preguntas surgen, por ejemplo, al ensayar un nuevo suero para el tratamiento de una enfermedad, o al decidir si un proceso de producción es mejor que otro. Estas decisiones envuelven a los llamados ensayos e hipótesis de significación, que tienen gran importancia en teoría de la decisión. 51 de 110

53 En general, un estudio de inferencias, realizado sobre una población mediante muestras extraídas de la misma, junto con las indicaciones sobre la exactitud de tales inferencias aplicadas a la teoría de la misma, junto con las indicaciones sobre la exactitud de tales inferencias aplicadas a la teoría de la probabilidad, se conoce como inferencia estadística. Muestras Al Azar. (Números Aleatorios) Para que las conclusiones de la teoría del muestreo e inferencia estadística sean validas, las muestras deben elegirse de forma que sean representativas de la población. Un estudio sobre métodos de muestreo y los problemas que tales métodos implican, se conoce como diseños de experimentos. El proceso mediante el cual se extrae de una población una muestra representativa de la misma se conoce como muestreo al azar, deacuerdo con ello cada miembro de la población tiene la misma posibilidad de ser incluido en la muestra. Una técnica para obtener una muestra al azar es asignar números a cada miembro de la población, escritos estos números en pequeños papeles, se introducen en una urna y después se extraen números de la urna, teniendo cuidado de de mezclarlos bien antes de cada extracción. Esto puede ser sustituido por el empleo de una tabla de números aleatorios. 52 de 110

54 Muestreo Con Y Sin Remplazamiento Si se extrae un numero de una urna, se puede volver o no el numero a la urna antes de realizar una segunda extracción. En el primer caso, un mismo número puede salir varias veces, mientras que en el segundo un número determinado solamente puede salir una vez. El muestreo, en el que cada miembro de la población puede elegirse más de una vez, se llama muestreo con remplazamiento, mientras que si cada miembro no puede ser elegido más de una vez se tiene el muestreo sin remplazamiento. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Si, por ejemplo, se extraen sucesivamente 10 bolas sin remplazamiento de una urna que contiene 100, se esta tomando una muestra de una población finita, mientras que si se lanza al aire una moneda 50 veces, anotándose el numero de caras, se esta muestreando en una población infinita. Una población finita, en la que se realiza un muestreo con remplazamiento, puede teóricamente ser considerada como infinita, puesto que puede extraerse cualquier número de muestras sin agotar la población. E muchos casos prácticos, el muestreo de una población finita que es muy grande, pueden considerarse como muestreo de una población infinita. 53 de 110

55 2.4.- Distribuciones Muéstrales Considerándose todas las posibles muestras de tamaño N que pueden extraerse de una población dada (con o sin remplazamiento). Para cada muestra se puede calcular un estadístico, tal como la media, la desviación típica, etc., que variara de una muestra a otra. De esta forma se obtiene una distribución del estadístico que se conoce como distribución muestral. Si, por ejemplo, el estadístico de que se trata es la media muestral, la distribución se conoce como distribución muestral de medias o distribución muestral de la meda. Análogamente se obtendría las distribuciones muéstrales de las desviaciones típicas, etc. Así, pues, se puede hablar de la media y desviación típica de la distribución muestral de medias, etc. 54 de 110

56 Distribución Muestral de Medias. Supóngase que son extraídas de una población finita todas las posibles muestras sin remplazamiento de tamaño N, siendo el tamaño de la población Np > N. Si se denota la media y la desviación típica de la distribución muestral de medias por μx y σx y la media y la desviación típica de la población por µ y σ, respectivamente se tiene: Μ x = μ y σx = Σ Np - N N Np - 1 Si la población es infinita o si el muestreo es con remplazamiento, los resultados anteriores se convierten en: σ Μ x = μ y σx = N 55 de 110

57 Para valores grandes de N(N > 30) la distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal con media Μx y desviación típica σx independientemente de la población de que se trate (siempre que la media y la varianza poblacional sean finitas y el tamaño de la población sea la menos dos veces el tamaño de la muestra ). Este resultado en una población infinita es un caso especial del teorema central del límite de teoría de probabilidad superior, que demuestra que la aproximación es tanto mejor conforme N se hace mayor. Esto se indica diciendo que la distribución muestral es sintéticamente normal. En caso de que la distribución se distribuya normalmente, la distribución muestral de medias se distribuye también normalmente, incluso para pequeños valores de N (es decir, N < 30) Distribución Muestral de Proporciones Supóngase una población infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un suceso (conocido como su éxito) es p, mientras que la probabilidad de no ocurrencia del suceso es q = 1 p. Por ejemplo, la población pueden ser todos los posibles lanzamientos de una moneda, en la que la probabilidad del suceso (cara) es p = ½. 56 de 110

58 Se consideran todas las posibles muestras de tamaño N extraídas de esta población y para cada muestra se determina la proporción p de éxito. En el caso de la moneda, P seria la proporción de caras aparecidas en los N lanzamientos. Entonces se obtiene una distribución muestral de proporciones cuya media µp y desviación t6ipica σp vienen dadas por: Pq p(1 p) Μ x = μ y σx = N = N Que pueden obtenerse de (2) sustituyendo μ por q y σ por pq. Para grandes valores de N (es decir, N < 30) la distribución muestral se aproxima mucho a una distribución normal. Nótese que la población se distribuye binominalmente. Las ecuaciones (3) son igualmente validas para una población finita en la que el muestreo se hace con remplazamiento. Para poblaciones finitas y muestreo sin remplazamiento, las ecuaciones (3) pasan a ser como las ecuaciones (1) con μ = p y σ = pq. Adviértase que las ecuaciones (3) se obtienen mas fácilmente dividiendo la media y la desviación típica (Np y Npq) de la distribución binominal por N. 57 de 110

59 Distribución Muestral de Diferencias y Sumas. Supónganse que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de tamaño N1, extraída de la primera población se calcula un estudio S1. Esto proporciona una distribución muestral del estadístico S1 cuya medida y desviación típica vienen dadas por μs1 y σs1, respectivamente. Análogamente, para cada muestra de tamaño N2, extraída de la segunda población, se calcula un estadístico S2. Esto igualmente proporciona una distribución muestral del estadístico S2, cuya media y desviación típica vienen dadas por μs2 y σs2. De todas las posibles combinaciones de estas muestras de las dos poblaciones se puede obtener una distribución de las diferencias, S1 S2 que se conoce como distribución muestral de diferencias de los estadísticos. La medida y la varianza de esta distribución muestral se denotan, respectivamente, por μs1- S2 y σs1 S2 y son dadas por μs1 S2 = μs1 μs2 y σs1 S2 = σ2s1 + σ2s2 (4) Con tal de que las muestras no dependan de ninguna forma una de otra, es decir, las muestras sean independientes. 58 de 110

60 Si S1 y S2 son las medidas muéstrales de las dos poblaciones, las cuales vienen dadas por X1 y X2, entonces la distribución muestral de la diferencias de medias para poblaciones infinitas con medidas y desviaciones típicas μ1, σ1 y μ2, σ2, respectivamente, tienen por media y desviación típica. μx1-x2 = μx1 μx2 = μ1 μ2 y σx1- σx2 = σ2x1 + σ2x2 = σ2+ σ2 1 2 (5) N1 N2 Usando las ecuaciones (2). El resultado se mantiene valido para poblaciones finitas si el muestreo es con remplazamiento. Resultados similares pueden obtenerse para poblaciones finitas en las que el muestreo se realiza sin remplazamiento partiendo de las ecuaciones (1). Resultados correspondientes pueden deducirse para las distribuciones muéstrales de diferencias de proporción de dos poblaciones distribuidas binominalmente con parámetros p1, q1 y p2, q2, respectivamente. En este 59 de 110

61 caso S1 y S2 corresponden a las proporciones de éxito, P1 y P2, y las ecuaciones (4) dan los resultados. μp1 p2 = μp1 μp2 = p1 p2 y σp1-p2 = σ2p1 + σ2p2 = p1q1 p2q2 N1 N2 (6) Si N1 y N2 son grandes (N1, N2 = 30), las distribuciones muéstrales de diferencia de medias o proporciones se distribuyen muy aproximadamente como un normal. A veces, es útil hablar de la distribución muestral de la suma de estadísticos. La media y la desviación típica de esta distribución viene dada por μs1+s2 = μs1 + μs2 y σs1+s2 = σ2s1 + σ2s2 (7) Suponiendo que las muestras son independientes. 60 de 110

62 2.5.- Otros Ejercicios. 1) Muestra De Dos Elementos Con Reemplazo: 6 4 PARAMETRO 2 3 UNIVERSO Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo. Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= S = 2,2 3,2 4,2 6,2 (estadístico) 2,3 3,3 4,3 6,3 = 16 2,4 3,4 4,4 6,4 2,6 3,6 4,6 6,6 NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es: R= norr = n r norr = 4 2 norr = 16 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = La media de cada muestra 61 de 110

63 Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 } Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. X SUMA Px(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 16/16 = 1 Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media. 2 (1/16) (2/16) + 3 (3/16) (2/16) + 4 (3/16) (2/16) + 5 (2/16) + 6 (1/16) = 2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/ /16 + 9/ /16 + 6/16 = 60/16 = 3.75 Comprobación: = 15/4 = de 110

64 Distribución Maestral De Medias: Con Reemplazo: Media: Mx = M D. Estándar: Qx = Q N Formula De La Desviación Estándar: n (X μ) 2 i = 1 n X μ X- μ (X- μ) de 110

65 8.75 μ= Q = = Q = Q Qx = Qx = N Qx = Qx = X μ X- μ (X- μ) 2 Px(X) (Px(x))((x- μ) 2 ) / / / / / / / / Q 2 = Q = Q = de 110

66 2) Muestra De Dos Elementos sin Reemplazo: PARAMETRO UNIVERSO Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Sacar muestras de 2 elementos sin reemplazo. Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= S = 2,3 3,2 4,2 6,2 (estadístico) 2,4 3,4 4,3 6,3 = 12 2,6 3,6 4,6 6,4 NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es: R= nor = 4! nor = 24/2 (4 2)! nor = 12 nor = 24 2! nor = 24/2 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = La media de cada muestra 65 de 110

67 Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5 } Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. X TOTAL Px(x) 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 12/12 = 1 Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media. Mx = 2.5 (2/12) + 3 (2/12) (2/12) + 4 (2/12) (2/12) + 5 (2/12) = Mx = 5/12 + 6/12 + 7/12 + 8/12 + 9/12 +10/12 = 3.75 COMPROBACIÓN: = 15/4 = 3.75 Distribución Maestral De Medias: Sin Reemplazo: Media: Mx = M Q D. Estándar: Qx = NP - N N NP de 110

68 Formula De La Desviación Estándar: X μ X- μ (X- μ) 2 Px(X) (Px(x))((x- μ) 2 ) / / / / / / Q 2 = Q = Q = ) Una población esta formada por los cuatro números 3, 7, 11, 15. Considerar todas la s posibles muestras de tamaño dos que pueden extraerse de esta población con remplazamiento. Hallar (a) la media poblacional, (b) la desviación típica poblacional, (c) la media de la distribución muestral de medias, (d) la desviación típica de la distribución muestral de medias. Encontrar (c) y (d) directamente de (a) y (b) mediante las formulas adecuadas. 3 7 PARAMETRO UNIVERSO Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio. R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo. 67 de 110

69 Paso 2: Construir El Espacio Muestral. R= S = 3,3 7,3 11,3 15,3 (estadístico) 3,7 7,7 11,7 15,7 = 16 3,11 7,11 11,11 15, ,15 11,15 15,15 NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es: R= norr = n r norr = 4 2 norr = 16 Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria. R= X = La media de cada muestra Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria. R= Sx = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento. X SUMA Px(x) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 16/16 = 1 68 de 110

70 Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media. Mx = 3 (1/16) + 5 (2/16) + 7 (3/16) + 9 (4/16) + 11 (3/16) + 13 (2/16) + 15 (1/16) = Mx = 13/ / / / / / /16 = 144/16 = 9 COMPROBACIÓN: = 36/4 = 9 X μ X- μ (X- μ) = 80 Q = 80/4 M = 9 Q = 20 Q= Q= de 110

71 X μ X- μ (X- μ) 2 Px(X) (Px(x))((x- μ) 2 ) / / / / / / Q 2 = 10 Q = 10 Q = ) Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de onzas y desviación típica de onzas. Si se extraen 300 muestras de tamaño 36 de esta población, determinar la media esperada y la desviación típica de la distribución muestral de medias, si el muestreo se hace (a) con remplazamiento, (b) sin remplazamiento. CON REMPLAZO: M = Mx = M Q = M = = Muestra = 300 c. Qx = Q Qx = 0.048/ 6 N Qx = Qx = de 110

72 SIN REMPLAZO: Q D. Estándar: Qx = NP - N N NP Qx = Qx = Qx = ( ) Qx = ( ) Qx = Qx = Menor que ) Resolver el problema anterior si la población se compone de 72 cojines. Mx = M Q = = Qx = Q Qx = 0.048/ 6 N Qx = de 110

73 Qx = Qx = N Q Np N Np 1 Qx = Qx = Qx = ( ) Qx = ( ) Qx = de 110

74 TEMA 3: Teoría de Estimación Estadística Estimación de Parámetros. En el ultimo capitulo se vio como la teoría del muestreo podía emplearse para obtener información acerca de muestras extraídas al azar de una población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, es frecuentemente más importante es el poder inferir información sobre una población mediante muestras extraídas de ella. Tales problemas son los tratados en la inferencia estadística, basándose en la teoría del muestreo. Un importante problema de la diferencia estadística es la estimación del parámetro de la población o brevemente parámetros (tales como la media, varianza de la población, etc.) a partir de los correspondientes estadísticos muéstrales o brevemente estadísticos (es decir, media muestral, varianza muestral, etc.). En este capitulo se considera este problema. 73 de 110

75 Estimas Insesgadas. Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al correspondiente parámetro poblacional, el estadístico se llama estimador insesgado del parámetro, si no es igual se dice estimador sesgado del mismo. Los valores correspondientes de tales estadísticos se conocen, respectivamente, como estimas insesgadas o sesgadas. Ejemplo 1: La media de la distribución muestral es medias μ x = μ, medias poblacional. De aquí que la media muestral X es una estima insesgada de la media poblacional μ. Ejemplo 2: La media de la distribución muestral de varianzas μ s 2 = N 1 σ 2, donde σ 2 N Es la varianza poblacional y N es el tamaño muestral. Así, pues, la varianza muestral s 2 es una estima esesgada de la varianza poblacional σ 2. Utilizando la varianza modificada ŝ 2 = _N s 2, N - 1 Se tiene que μ s 2 = σ 2, de modo que s 2 es una estima no sesgada de σ 2. Sin embargo s es una estima sesgada de σ. 74 de 110

76 En lenguaje de esperanza se puede decir que un estadístico es insesgado si su esperanza es igual al correspondiente parámetro poblacional. Así, X y ŝ 2 son insesgados, puesto que E{X} = μ y E{ŝ 2 } = σ Estimas Eficientes. Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media (o esperanza), el estadístico que tenga menor varianza de llama estimador eficiente de la media, mientras que el otro estadístico de llama estimador no eficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos de llaman estimas eficientes, respectivamente. Si se consideran todos los posibles estadísticos, cuyas distribuciones muéstrales tienen la misma media, al que tiene menor varianza se le llama el más eficiente o mejor estimador de esta media. Ejemplo: Las distribuciones muéstrales e la media y de la mediana tienen las misma media que es la media poblacional. Sin embargo, la varianza de la distribución muestral de medias es menor que la de la distribución muestral de medianas. De aquí que la mediana muestral de una estima eficiente de la media poblacional, mientras que la mediana muestral de una estima no eficiente de ella. 75 de 110

77 De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media muestral proporciona la estima mejor o más eficiente. En la práctica se utilizan frecuentemente estimas no eficientes, por la relativa facilidad con que algunas de ellas pueden obtenerse Estimas por Puntos y Estimas por Intervalos de Seguridad La estima de un parámetro poblacional dada por un numero se llama estima de punto del parámetro. La estima de un parámetro poblacional dada por dos números entre los cuales se considera que se encuentra dicho parámetro se llama estima de intervalo del parámetro. La estima por intervalo indican la precisión o exactitud de una estima y, por tanto, son preferidas a las estimas puntuales. Ejemplo: si se dice que una distancia viene dada por 5,28 pies, se esta dando una estima de punto. Si, por otra parte, se dice que la distancia es 5,28 ± 0,03 pies, es decir, la distancia real se encuentra entre 5,25 y 5,31 pies, se esta dando una estima de intervalo. La precisión o conocimiento del error de una estima se conoce también como su seguridad. 76 de 110

78 3.3.- Estimas por Intervalo de Confianza, de Parámetros Poblacionales. Sean μs y σs la media y la desviación típica (error típico) de la distribución muestral de un estadístico S. Entonces, si la distribución muestral es S es aproximadamente normal (lo que se ha visto, que es cierto para muchos estadísticos, si el tamaño de muestra es N 30), cabe esperar en muestras extraídas, que el estadístico S se encuentre en los intervalos μ s - σ s a μ s + σ s, μ s - 2σ s a μ s + 2σ s, o μ s - 3σ s a μ s + 3σ s, el 68.27%, 95.45% y 99.73% de las veces, respectivamente. Análogamente cabe esperar o se puede confiar en encontrar, μs en los intervalos S - σ s a S + σ s, S - 2σ s a S + 2σ s o S + 3σ s a S +3σ s en el 68.27%, 95.45% y 99.73% de las veces, respectivamente. Por esto se pueden llamar a estos intervalos los intervalos de confianza del 68.27%, 95.45% y 99.73% para la estima de μs. Los números extremos de estos intervalos (S + σ s, S + 2σ s, S + 3σ s ) son llamados los limites de confianza del 68.27%, 95.45% y 99.73% o, como otras veces se conocen, limites fiduciales. Análogamente, S ± 1,96σs y S± 2.58σs son los limites de confianza del 95% y 99% (o 0.95 y 0.99) para S. El porcentaje de confianza se llama 77 de 110

79 también nivel de confianza. Los números 1.96, 2.58, etc., de los limites de confianza se llaman coeficientes de confianza o valores críticos y se denotan por Z c. De los niveles de confianza se pueden obtener los coeficientes de confianza, y recíprocamente. En la tabla 9-1 se dan los valores de Z c que corresponden a distintos niveles de confianza utilizados en la practica. Para niveles de confianza que no se encuentran en la tabla, los valores de Z c pueden sacarse de las tablas de la curva normal. Nivel de confianza 99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 68.27% 50% Z c Sistemas de Medias por Intervalos de Confianza Si el estadístico S es la media muestral X, entonces los limites de confianza del 95% y 99% para la estimación de la media poblacional μ, vienen dados por X ± 1.96σx, respectivamente. Mas generalmente, los límites de confianza son dados por X ± z c σ x, donde z c depende del nivel de confianza que en cada caso se desee y pueda 78 de 110

80 obtenerse de la tabla anterior. Utilizando los valores de σ x, y se puede ver que los limites de confianza para la medida poblacional vienen dados por _ X ± z c _ σ N En el caso del muestreo de una población infinita o si el muestreo es con remplazamiento en una población finita, y por Np - N X ± z c σ N Np 1 Si el muestreo es sin remplazamiento de una población finita de tamaño Np. En general la desviación típica poblacional σ es desconocida, de modo que para obtener los limites de confianza anteriores, se utiliza la estima muestral s o s. Esto suministra una aproximación satisfactoria para N 30. Para N < 30, la aproximación es mala y debe emplearse la teoría de pequeñas muestras. 79 de 110

81 Intervalos de Confianza para Proporciones. Si el estadístico S es la proporción de éxitos en una muestra del tamaño N extraída de una población binominal en la que p es la proporción de éxito (es decir, la probabilidad de éxito), los limites de confianza para p vienen dados por P _+ zcσp, es la proporción de éxitos en la muestra de tamaño N con los valores obtenidos de σp, se tiene que los limites de confianza para la proporción poblacional son dados por: P ± z c pq = P ± z c p(1 - p) N N Para el caso de muestreo en una población infinita, o con remplazamiento de una población finita, y por Pq Np N P ± z c N Np 1 Si el muestreo es sin remplazamiento en una población finita de tamaño Np. Para calcular estos limites de confianza puede utilizarse la estima muestral P para p, que generalmente da una aproximación satisfactoria para N de 110

82 Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas. Si S 1 y S 2 son dos estadísticos con distribución muestral aproximadamente normales, los limites de confianza para la diferencia de los parámetros poblacionales a S 1 y S 2 vienen dados por S 1 S 2 _+ zcσs1 s 2 = S 1 S 2 ± z c σ 2 s 1 + σ 2 s 2 Mientras que los limites de confianza para la suma de los parámetros poblacionales son S 1 + S2 _+ zcσs1+s2 = S 1 + S 2 ± z c σ 2 s 1 +σ 2 s 2 Con tal de que las muestras sean independientes. Por ejemplo, los limites de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales, en el caso de que las poblaciones sean infinitas, vienen dados por σ2 σ2 X 1 X 2 ± z c σ x1 x 2 = X 1 x 2 ± z c 1 2 N 1 N 2 Donde X 1, σ 1, N 1 y X 2, σ 2, N 2 son las respectivas medias, desviaciones típicas y tamaños de las dos muestras extraídas de las poblaciones. 81 de 110

83 Análogamente, los limites de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales, siendo las poblaciones infinitas, son dados por P 1 (1 p 1 ) P 2 (1 P 2 ) P 1 P 2 ± z c σ p1 p2 = p 1 p 2 ± z c N 1 N Intervalos de Confianza para Desviaciones Típicas. Los limites para las desviaciones típicas σ de una población que se distribuye normalmente y que es estimada por una muestra con desviación típica s, son dados por s ± z c σ s = s ± z c σ. 2N Para calcular estos limites de confianza se utiliza s o s para estimar σ Error Probable. Los limites de confianza del 50% de los parámetros de la población, correspondientes a un estadístico S son dados por S ± σs. La cantidad σs se conoce como error probable de la estima. 82 de 110

84 3.5.- Ejercicios La media y la desviación típica de las cargas máximas soportadas por 60 cables son dados por ton. Y 0.73 ton., respectivamente. Hallar los límites de confianza del (a) 95% y (b) 99% para la media de las cargas máximas de todos los cables producidos por la compañía. POBLACION INFINITA. Todas las cargas maximas de todos los cables. 60 Cables. X = ton. Q = 0.73 ton. A) 95% Q Me = X + Z c = Media Poblacional. - N Me = ton. ± 1.96 (0.73 ton. / 60 ) Me = ton. ± 1.96 (0.73 ton. / ) Me = ton. ± 1.96 ( ) Me = ton. ± Me = [10.90, 11.27] 83 de 110

85 B) 99% Me = ton. ± 2.58 (0.73 ton. / 60 ) Me = ton. ± 2.58 (0.73 ton. / ) Me = ton. ± 2.58 ( ) Me = ton. ± Me = [10.90, 11.33] C) 50% Me = ton. ± (0.73 ton. / 60 ) Me = ton. ± (0.73 ton. / ) Me = ton. ± ( ) Me = ton. ± Me = [10.90, 11.15] 84 de 110

86 La media de la desviación típica de los diámetros de una muestra de 250 remaches fabricados por una compañía son pulgadas y pulgadas respectivamente hallar los limites de confianza del (a) 99% (b) 98% (c) 95% (d) 90% para el diámetro medio de todos los remaches fabricados por la compañía. M = 250 X = Q = A) 99% Me = ton. ± 2.58 ( ton. / 250 ) Me = ton. ± 2.58 ( ton. / ) Me = ton. ± 2.58 ( ) Me = ton. ± Me = [ , B) 98% Me = ton. ± 2.33 ( ton. / 250 ) Me = ton. ± 2.33 ( ton. / ) Me = ton. ± 2.33 ( ) Me = ton. ± Me = [0.72, 0.72] 85 de 110