Volumen ÓRBITAS EN EL SISTEMA SOLAR. Leyes de Kepler, Cónicas, Movimiento orbital. Taller de Astronomía. Autora: Profa. Ana Inés Gómez de Castro

Transcripción

1 Volume 3 ÓRBITAS N L SISTMA SOLAR Leyes de Keple, Cóicas, Movimieto obital Talle de Astoomía Autoa: Poa. Aa Iés Gómez de Casto

2 INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA Talle de Astoomía Aa Iés Gómez de Casto Facultad de Ciecias Matemáticas Uivesidad Complutese de Madid aig@mat.ucm.es i

3 Tabla de coteido CAPÍTULO Leyes de Keple Leyes de Keple l poblema de -cuepos Las cóicas y las óbitas 3 Tabla Resume de Cóicas 4 CAPÍTULO Ciématica del movimieto plaetaio 5 Cuado Resume 7 CAPÍTULO 3 lemetos obitales 8 CAPÍTULO 4 ecto de la pesió de adiació Compoetes de la velocidad 4 Tayectoia y egía 5 APÉNDIC Método de Newto 7

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5 Capítulo Leyes de Keple Joha Keple ue cotempoáeo de Galileo. Desde muy jove había aceptado la doctia copeicaa y estaba pleamete covecido de la eistecia de elacioes matemáticas po descubi, que podía da setido al sistema plaetaio. Keple obsevó que los plaetas más distates del Sol se movía más letamete que los iteioes y popuso que los plaetas ea mateidos e movimieto po la acció de ua ueza ejecida desde el Sol, de maea que la ueza dececía al alejase de él. sta idea ue sopedetemete oigial; o hubo co ateioidad a Keple igú ecoocimieto clao de los movimietos del cielo e témios de ua ueza ísica actuado de maea cotiua desde el Sol. 596 Keple podía hace poco más que adelata estas ideas como posibilidades. Paa compobalas debía estudia e detalle los mejoes datos de plaetas dispoibles e aquel mometo y es así como se puso e cotacto co Tycho Bahe. Keple estuvo tabajado duate dos años como ayudate de ivestigació de Tycho. l poblema que Tycho le popocioó acabaía siedo udametal e su caea. De todos los plaetas, la óbita de Mate ea la más diícil de ajusta co los modelos dispoibles. La oigialidad de Keple estuvo e iteta esolve el poblema ajustado la óbita co ua igua geomética secilla e vez de eta e el juego de las ecéticas. 69, al cabo de 8 años de tabajo, Keple publicaía estos esultados e su libo Nueva Astoomía. pime luga, Keple estudió como vaiaba la velocidad del plaeta e la óbita paa llega a cooce la ueza que poducía el cambio de velocidad y posteiomete itetó detemia la oma de la óbita que espeaba que uea cicula. Después de vaios itetos allidos se vio obligado a tata co otas omas geométicas puesto que la óbita paecía esta compimida e ua diecció. Al ial ecotó que teía oma elíptica co el Sol e uo de sus ocos ª Ley de Keple. Po oto lado, de acuedo co la teoía diámica de Aistóteles el cambio de velocidad de los plaetas debía se debido a u cambio de la ueza. cosecuecia, ea plausible que la ueza que poveía del Sol vaiaa de oma ivesa co la distacia de maea que el plaeta baiea áeas iguales e tiempos iguales. La ª y ª Ley de Keple apaeceía publicadas e el mismo libo: Nueva Astoomía. La 3ª ley apaece pácticamete escodida e alguos tabajos

6 posteioes e los que utilizó ua otació musical paa descibi los movimietos de los plaetas, eviviedo las ceecias Pitagóicas de la amoía de las eseas. Las leyes de Keple esume de maea secilla las caacteísticas udametales de la ciemática del movimieto plaetaio y como tales, se puede usa y se usa paa deiva las posicioes de los plaetas. Se coespode tambié co la solució eacta del poblema de -cuepos. l poblema de los dos cuepos l cálculo de la tayectoia que sigue dos cuepos sometidos a su iteacció gavitatoia es lo que se deomia como el poblema de -cuepos. la omulació modea este poblema se esume e esolve la ecuació dieecial: d G M m g [] 3 dt dóde epeseta la distacia ete las dos cuepos iteactuates M m co masas m y M y G es la costate de gavitació uivesal. Las tayectoias de cada masa co especto al ceto de masas istatáeo viee dadas po: M m m M M m M m la ecuació se esuelve escibiedo el vecto y sus deivadas e ua base móvil tal que θ es el águlo que hace e cualquie istate co el eje X. este sistema la ecuació [] se tasoma e: Y θ u θ u X && & θ u & & θ && θ u M m G u y esta a su vez e: & M m && θ G & & θ && θ θ La seguda ecuació es la epesió matemática del picipio de cosevació del mometo agula o de la ª Ley de Keple. La itegació equiee el coocimieto de ua costate cosevada, el mometo agula po uidad de masa, que habitualmete se deota co el símbolo h. La solució de la pimea ecuació es ua cóica:

7 G M m Acos θ θ [] h dóde A y θ so las costates de itegació. La ecuació [] coespode a ua cóica cuya eceticidad e y semieje mayo a viee dados po: A e G M m / h G M m a ε εh [ G M m ] ε epeseta la eegía cosevada po uidad de masa, es deci, & M m ε G Po tato, las dos costates de itegació está elacioadas co las dos magitudes ísicas cosevadas el mometo agula y la eegía. La eegía cotola el tamaño de la óbita mietas que la eceticidad es cotolada po ua combiació de ambas. Las cóicas y las óbitas: La elació ete la geometía de la óbita y los paámetos ísicos udametales del poblema se puede esumi e la siguiete tabla. e Obita Cicula [ G M m ] ε ε mi <e< Obita líptica ε mi < ε < e Obita Paabólica ε e> Obita Hipebólica ε > esume, las tayectoias está acotadas ete dos etemos: la tayectoia/ óbita cicula o de míima eegía y la tayectoia hipebólica e qle que el cuepo meos masivo o es atapado po la gavedad del más masivo: su tayectoia oigial es, simplemete, delectada po la gavedad de oto cuepo. Tato las óbitas paabólicas como las ciculaes o se puede obseva e la atualeza puesto que implicaía ua pecisió iiita que o eiste e uestos métodos de medida. Las óbitas de los cuepos del Sistema Sola es deci, de los cuepos atapados po la gavedad del Sol so elípticas. Las óbitas de los cuepos que escapa del Sistema Sola so hipebólicas. Las sodas espaciales puede utiliza óbitas hipebólicas co plaetas masivos h 3

8 cecaos, po ejemplo Júpite paa miimiza el cosumo de combustible e tayectoias que debe alcaza objetos más lejaos. 4

9 TABLA RSUMN D CÓNICAS Cicueecia: Luga geomético de los putos que equidista del oige cuació y paámetos: y el adio del cículo ceticidad: Paabola: Luga geomético de los putos cuya distacia al oco es igual a la distacia a la diectiz cuació y paámetos: y 4 p p la distacia desde el vétice al oco o a la diectiz ceticidad: lipse: Luga geomético de los putos cuya suma de la distacia a cada oco es costate cuació y paámetos: a b y a el adio mayo / la logitud del eje mayo b el adio meo / la logitud del eje meo c la distacia desde el cete al oco a - b c ceticidad: ete y Hipebola: Luga geomético de los putos cuya dieecia ete la distacia a cada oco es costate cuació y paámetos: a b y a / la logitud del eje mayo b / la logitud del eje meo c la distacia desde el ceto al oco a b c ceticidad: mayo que 5

10 Capítulo Ciemática del movimieto plaetaio: Detemia la posició de u plaeta e su óbita equiee cooce la óbita, es deci, el semieje mayo de la óbita a y la eceticidad e. Si además queemos sabe dóde está el plaeta e ua echa dada, τ, ecesitaemos ua codició iicial: habitualmete se toma la echa e la que pasó po el peihelio o posició de mayo poimidad al Sol como echa de eeecia, τ y la posició del peihelio como oige de águlos. Aelio v Peihelio ae a Ua vez deiida la geometía, la ciemática del movimieto plaetaio viee dada po la ª ley de Keple: La velocidad aeola es costate. Puesto que las óbitas de los plaetas tiee eceticidades pequeñas, e pimea apoimació se podía cosidea que el movimieto es cicula uiome; de esta maea se deie u águlo o aomalía media que vedía dado po la epesió: π M τ τ τ T dóde T epeseta el peiodo obital. ste águlo medio se puede elacioa co la ecética de la elipse a tavés de la ª Ley paa los casos e los que la óbita o es cicula. Se deie la aomalía ecética,, como se idica e la igua, 6

11 P O v H ae a La ª Ley de Keple establece que: πab AeaOHP T τ τ o bie, π M τ τ AeaOHP T ab l áea OHP se substituye e ució de y se obtiee la ecuació básica del movimieto obital tambié coocida como cuació de Keple: M τ τ ese τ esta ecuació equiee la utilizació de u método uméico, como el método de Newto, paa su esolució ve Apédice. Ua vez obteido el cálculo de la aomalía vedadea, v, y la distacia Sol-Plaeta e ese istates,, se obtiee de maea diecta utilizado las elacioes ete, y v que se deiva de la igua: τ a e cos τ [ ] v ta e ta e 7

12 CUADRO RSUMN DL CAPÍTULO. La ciématica del movimieto obital viee deiida po la oma de la óbita y po la ª ley de Keple o ley de las áeas.. Se deie tes águlos o aomalías udametales paa descibi el movimieto obital: π Aomalía Media: M τ τ τ T Aomalía Vedadea: Vτ o águlo que hace el adiovecto del asto co la diecció del peihelio Aomalía cética: τ 3. Las elacioes ete estos tes águlos viee dadas po: M τ τ ese τ [ e cos ] τ a τ v ta e ta e 8

13 Capítulo 3 Los elemetos obitales: Las óbitas de los plaetas o está situadas e el mismo plao, i posee la misma oietació. s ecesaio itoduci 3 elemetos geométicos que deia el plao obital y la oietació de la óbita e el plao. La oietació se eiee a u Sistema de Reeecia clíptico Heliocético tal y como se idica e la igua: Z Plao Obital clíptica v Peihelio γ Ω N ω i Y X 9

14 y los uevos elemetos de oietació espacial de la óbita so: - icliació de la óbita co especto a la eclíptica, i - logitud eclíptica del odo ascedete, Ω - agumeto del peihelio o águlo ete el odo ascedete N y la diecció del peihelio, ω luga del paámeto ω, habitualmete se suele popocioa el paámeto: ~ ω ω Ω deomiado logitud del peihelio. esume, los paámetos: i, ω, Ω, a, e, τ deie ua úica óbita ecoida po u objeto. stos paámetos se deomia elemetos obitales. Los elemetos obitales vaía co el tiempo paa todos los cuepos del Sistema Sola y tambié paa los satélites e óbita alededo de la Tiea. La acció gavitacioal de otos cuepos, coviete el poblema de -cuepos a u poblema de N-cuepos que o es itegable, y que se esuelve de maea uméica.

15 LMNTOS ORBITALS D LOS PLANTAS DL SISTMA SOLAR a e Ω ϖ i Lτ Mτϖ Plaeta u.a. º º º τ4/juio/4 TU: Mecuio Veus Tiea Mate Júpite Satuo Uao Neptuo Plutó

16 Capítulo 4 ecto de la pesió de adiació U a ave espacial, e geeal, y u veleo sola como el de la aplicació, e paticula, epeimeta ua petubació e su tayectoia elíptica debido a la icidecia de la adiació sola sobe la supeicie ilumiada. sta adiació sola ejece ua ueza dada po : F PΘ. 7 S esta ueza de empuje va a cotaesta la ueza gavitatoia ejecida po el Sol y, al igual que ella, depede del cuadado de la distacia. Siempe que las velas matega la misma oietació co especto al Sol, el poblema es muy secillo y se puede itega diectamete como veemos a cotiuació. Patiemos de que la ecuació diámica se modiica co especto a [] isetado la acció de la pesió de adiació, F ad, de maea que: d dt g F ad y ealizado los mismos cambios que e el capítulo paso a ua base móvil y geeació de dos ecuacioes escalaes a pati de la ecuació vectoial y sustituyedo: μ g u κ F ad ζ u Se ha cosideado que la masa del veleo es Kg simila a la de la misió COSMOS I e vez de los 5 Kg utilizados e el Maual.

17 co, μgmm y ζscosϕ, se obtiee: θ μ κ ζ μ κ ζ θ θ θ h cte De maea que, si hacemos el cambio de vaiable habitual: : u y, h 4 μ κ ζ h μ κ ζ 3 d d du dθ du du & [3] θ h dt du dθ dt u dθ dθ d d du d u dθ d u h d u h h h h u dt dt dθ d θ dt dθ dθ se tedá que: d u dθ μ κ ζ u h Paa el poblema que se peseta e la aplicació la ave pate de ua stació spacial co-obitado co la Tiea alededo del Sol, po tato, el mometo agula po uidad de masa de la ave seá el mismo que el de la Tiea: h cm s y, si la masa de la ave es simila al del pototipo COSMOS-I kg etoces: y μ.33 6 g cm 3 s -. Po tato, 7 dias κ. g d u dθ u ζ cm dóde es ua costate paa ua oietació ija de supeicie del veleo. Po tato, la pesió de adiació tedá sólo u eecto sigiicativo e la tayectoia si la supeicie del veleo es del ode de 9 cm o 5 m. De esta estimació, se ha deivado el tamaño popuesto paa el apaejo e la aplicació 3

18 educativa,m es la supeicie de u cículo de adio 78m. La solució de la ecuació es: co θ y A costates de itegació. Acos θ θ Si ijamos el oige de águlos e el puto de mayo poimidad del veleo al Sol etoces, θ y además, peihelio A Vamos a supoe que la distacia del veleo al Sol e el peihelio es apoimadamete igual a la distacia media Sol-Tiea.49 3 cm. ese caso el valo de la costate A depedeá de la supeicie poyectada del veleo ζ de la siguiete maea: dode A viee dado e cm -. A / A/ cosθ ς m La óbita de u veleo que matuviea sus velas siempe co la misma oietació co especto al Sol seía tambié ua elipse auque, paa el mismo valo de ε, la eceticidad de la óbita seía mucho mayo que e el movimieto obital puamete gavitacioal. Po último ijaos que el vecto aputa hacia el Sol, puesto que al deii uesta base móvil de vectoes elegimos M, es deci, m Z m M Y X 4

19 Las compoetes de la velocidad: todo istate las compoetes de velocidad del veleo supoiedo ζ costate seá: V φ V θ V θ Velocidad azimutal: V θ Paa u veleo patiedo de la óbita teeste, V θ, viee dado de maea diecta po la costate, h, el mometo agula cosevado: V θ h & θ h si queemos popocioa e uidades astoómicas ve Maual y obtee V θ e km/s, V θ 3.km / s u. a. Velocidad adial: V La velocidad adial hay que calculala a pati de la ecuació [3], V & h A seθ [4] substituyedo las costates h y A obteemos: V 4 [ 37.49km / s.48 km / s S m cosϕ] seθ Fijaos que depediedo de la supeicie eectiva del apaejo del veleo, la velocidad adial se va a move ete valoes muy pequeños o muy gades. Ota maea de visualiza este eecto es sustitui e la ecuació [4], seθ po su valo e ució de, 5

20 cos A A A se θ θ po tato, A A h V Cosideacioes geeales sobe la tayectoia y el valo de la costate de eegía: La costate de itegació, A, viee ijada po la eegía po uidad de masa e la óbita, como vimos e el capítulo. Po tato, es habitual, da V diectamete e ució de la eegía po uidad de masa, ε. sta eegía es la suma de la eegía ciética y potecial: h V V V V p c θ θ ς κ μ ε ε ε y, h h h V V ε ε θ Fijaos que V epeseta el módulo de la velocidad adial, es deci, que sólo podemos matee e óbita objetos paa los cuales el adicado sea mayo que. Habitualmete se suele deii ua ució Φ que se deomia Potecial ectivo, Φ h si sustituimos e ella las costates po su valo, Φ g eg ξ /. dode, po comodidad, hemos itoducido ua ueva costate, ξ, paa popocioa la supeicie total poyectada de la vela e ució de ua supeicie que hemos tomado como eeecia ξ m, equivalete a la supeicie de u cículo de adio 7 m, como el usado e la aplicació, es deci, 6

21 ξ S m cosϕ La oma del potecial eectivo depede del valo de ξ, es deci, de la eectividad e la utilizació de la pesió de adiació. Si el colecto de adiació es muy gade el veleo podía escapa de la gavedad del Sol y sali del Sistema Sola, po el cotaio, si el colecto es pequeño, el veleo quedaía atapado e ua óbita muy simila a la del Pueto spacial y la Tiea. ste hecho se obseva muy bie e la igua: La odeada de este igua os idica el valo que debe adopta la costate de eegía ε, paa que ε-φ > y, po lo tato, podamos matee ua ave e esa posició. La cuva más egativa coespode a ξ. y la más positiva a ξ. el pime caso el veleo o tedía pácticamete igua capacidad de maioba y se quedaía atapado e ua óbita cecaa a la del Pueto spacial. Po el cotaio, si ξ, el veleo saldía ápidamete impulsado hacia el eteio del Sistema Sola co eegía suiciete como paa abadoalo. la páctica el valo de ε paa la óbita de la Tiea es muy pequeño, 4.48 eg / g, y el veleo que había que costui tedía ua supeicie diícilmete ealizable. la aplicació o os hemos agaado a la ealidad paa pemiti que los alumos juegue co la composició de los dos vectoes velocidad y, de esta maea, aiace los coceptos ísicos más 7

22 udametales. l águlo que hace el adiovecto Sol-Veleo co el vecto velocidad viee ijado po el cociete ete las dos compoetes: V ta φ V y, tal y como se idica e la igua, valoes gades de ζ saca al veleo de su óbita omial y lo puede evia hacia el eteio del Sistema Sola. De maea que el módulo de la compoete adial de la velocidad que utiliza e la aplicació viee dado simplemete po la epesió: V km / s θ 4 S m cosϕ y al ajusta gáicamete el V paa cosegui el umbo deseado paa el veleo lo que hace es detemia el valo de V ecesaio, y de ahí, la aplicació deiva que valo de supeicie poyectada ecesita utilizado esta ómula, paa que luego los alumos detemie el acto de poyecció. 8

23 Apédice l método de Newto l método de Newto es u pocedimieto iteativo paa calcula valoes apoimados de ua aíz o u ceo de la ecuació, patiedo de u puto coocido y cecao a la aíz buscada. l método de Newto tiee ua itepetació geomética secilla. De hecho, el método de Newto cosiste e ua liealizació de la ució, es deci, se eemplaza po ua ecta tal que cotiee al puto, y cuya pediete coicide co la deivada de la ució e el puto, '. Supogamos coocido o, sea ua aíz de situada e el itevalo o, o y supógase que eiste e o, o. La ecta tagete a la cuva e el puto o, o de abscisa o valo que se toma como la apoimació iicial de viee dada po: y ' Hallamos la itesecció del eje X de 9

24 odeadas co la ecta y. ' ' y y La ueva apoimació a la aíz,, es dicho puto de itesecció. Si despejamos de la última ecuació obteemos: ' ' Si eemplazamos po es deci iteamos ota vez tedemos: ' Así que ua oma geeal del método de Newto es: ' * Aplicació a la esolució de la ecuació de Keple: cota la solució a la ecuació de Keple es u poblema aálogo a ecota los ceos de la ució : se e M Aplicado el método iteativo *: cos ' se e M de dode se e M cos ; '

25 y, M e se cos tomado e la pimea iteació M Nota: Los valoes agulaes tiee que esta e adiaes