Actividades del final de la unidad

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1 Actividades del final de la unidad. Indica cuál de las siguientes afimaciones es falsa: a) En la época de Aistóteles ya se aceptaba que la iea ea esféica. b) La estimación del adio teeste que llevó a cabo Eatóstenes fue muy acetada. c) Ptolomeo pensaba que la iea ea plana. d) La mecánica empleada po Copénico es simila a la de Ptolomeo. Es falsa la afimación c), ya que Ptolomeo suponía que la iea ea esféica.. Dos localidades de España tienen la misma longitud geogáfica. Si ente ellas hay una difeencia de latitud de 5, calcula: a) La distancia que sepaa las dos localidades, suponiendo que el adio teeste es de 6 70 km. b)la longitud de la somba que poyecta una estaca vetical de 4 m clavada en la ciudad de mayo latitud si una estaca simila, el mismo día y a la misma hoa, genea una somba de m en la localidad de meno latitud. Paa esolve este ejecicio, empleaemos como modelo el ejecicio esuelto de esta unidad. a) Puesto que la difeencia de latitud es de 5, la distancia de sepaación es un aco de cicunfeencia que mide: x 5 π R 8 x 0,087 R 0, km 556 km 60 b) En la localidad de mayo latitud, la somba es más laga. 4 m β 4 m β' Vemos en la figua supeio de la izquieda que: m b actg 6,57 4 m Como b4 a + b, donde a es la difeencia de latitud, queda: de donde: m l b ,57,57 l 4 m tg,57 4 m 0,64,46 m Como ves, la somba es más laga en la localidad situada más al note.. Razona si es coecta la afimación siguiente: «La mayo dificultad científica del sistema de Copénico ea demosta el movimiento de la iea». La afimación es coecta. Si Copénico hubiea podido demosta el movimiento de la iea, el modelo o sistema geocéntico hubiea quedado descatado. Unidad. eoía de la gavitación univesal

2 4. Es heliocéntico el sistema de ycho? Y el de Keple? Utiliza epiciclos Keple paa descibi el movimiento de los planetas? No. El modelo de ycho es geocéntico, peo supone que Mecuio, Venus, Mate, Júpite y Satuno gian alededo del Sol y, junto con él, obitan en tono a la iea. El sistema de Keple es plenamente heliocéntico. Solo la Luna obita en tono a la iea. Keple no utiliza epiciclos, pues no los necesita paa explica el movimiento y la velocidad de los planetas. 5. Razona sobe la veacidad de las afimaciones siguientes: a) Las leyes de Keple se aplican únicamente al movimiento obital de los planetas. b) En su afelio, cada planeta se mueve más despacio que en el peihelio. c) Aunque la iea fuea tan gande como Júpite, su peíodo de evolución obital seía el mismo. d) La velocidad de taslación de un planeta en óbita elíptica es invesamente popocional a su distancia al Sol en todo momento. a) Falsa. Las leyes de Keple se aplican a todos los cuepos en óbita a causa de la gavitación: asteoides, cometas, satélites, etc. b) Cieta. Se debe a que la velocidad del planeta disminuye con la sepaación al Sol, y el afelio es el punto más alejado. c) Cieta. En las leyes de Keple no inteviene la masa del planeta, solo la distancia al Sol. d) Falsa. La velocidad de taslación disminuye con la distancia al Sol, peo solo son popocionables en el peihelio y en el afelio. En el esto de posiciones, inteviene el ángulo que foman 8 y v Dibuja una elipse de semiejes a y b y demuesta que la distancia desde un foco a los extemos del eje meno coincide con el semieje mayo, a. En una elipse, la suma de las distancias desde todos sus puntos a los focos es constante y vale a, como puedes compoba paa el caso del punto P. x b x' f O a f ' P f P + f 4P ( f O + Of 4 + f 4P) + f 4P (Of 4 + f 4P) a donde hemos tenido en cuenta que fo Of 4. Po tanto, como la distancia desde los focos a los extemos del eje meno no depende del foco que se elija, x x4, esulta que: a x + x4 x 8 x x4 a 4 Unidad. eoía de la gavitación univesal

3 7. Calcula la distancia media de cieto cometa al Sol, en compaación con la de la iea, teniendo en cuenta que su peíodo es de 50 años. Si aplicamos la tecea ley de Keple: donde es el peíodo de evolución de la iea, igual a año;, el peíodo de evolución del cometa, igual a 50 años;, la distancia media de la iea al Sol, de km, y, distancia media del cometa al Sol. enemos: ( ) 8 Y sustituyendo datos numéicos, se obtiene:,5 0 8 km, km 8. Neptuno y la iea desciben óbitas en tono al Sol, siendo el adio medio de la óbita del pimeo teinta veces mayo que el de la segunda. Cuántos años teestes tada Neptuno en ecoe su óbita? Aplicando la tecea ley de Keple: donde es el peíodo de evolución de la iea, igual a año;, el peíodo de evolución de Neptuno (en años teestes);, la distancia media de la iea al Sol, y, la distancia media de Neptuno al Sol, 0. Y sustituyendo datos numéicos, se obtiene: a ( ) ( ) 8 64, a (teestes) 0 9. La figua muesta la óbita de cieto cometa. Calcula la velocidad en el peihelio si en el afelio es de km/s. Cuánto vale la velocidad aeola del cometa? 50a ( ) a ( ) b km a km El eje mayo de la elipse, d, es la suma de las distancias del Sol al afelio, a, y al peihelio, p. Como d a, tenemos que: a km,6 0 9 km a + p [] Unidad. eoía de la gavitación univesal 5

4 Po oto lado, al aplica la segunda ley de Keple, o ley de las áeas, paa esos dos puntos concetos, afelio y peihelio, seá: a p v p p v a a 8 v p v a [] p α a a p b km a km v a De acuedo con la figua: v p b km sen a 8 sen a 0, a 8,9 a km Luego: a p km p cos a 8 cos 8,9 8 p 9, km a km y, de acuedo con []: a,6 0 9 km p,6 0 9 km 9, km,5 0 9 km Po lo que obtenemos, al aplica la expesión []: km,5 0 9 km v p s 95,8 km s 9, km Obsévese cómo v p > v a ; en conceto, su valo es 5 veces mayo. Po último, la velocidad aeola, v A, seá, paa el afelio y el peihelio: v A v sen 90 o Y tomando cualquiea de los dos puntos, afelio o peihelio, nos queda: v A 9, m 95,8 0 m s 9,75 0 m s Obseva que sus unidades son áea (m ) po unidad de tiempo. 0. Deimos y Fobos son los dos pequeños satélites de Mate. Siguen óbitas casi ciculaes de adios 400 km y 9 70 km, espectivamente: a) Razona cuál de los dos tiene una velocidad obital supeio. b)obtén el peíodo de evolución de Deimos, sabiendo que el de Fobos es de 7 h 9 min 7 s. c) Si se descubiea un tece satélite de Mate y su peíodo fuea de 50 h, a qué distancia media del cento de Mate obitaía? a) Si tenemos en cuenta la tecea ley de Keple, / cte, escita en foma: ( D ) ( ) donde los subíndices D y F hacen efeencia a los satélites de Mate, Deimos y Fobos, espectivamente, vemos que al se D > F, el lado deecho de la igualdad seá mayo que uno, lo que obliga a que D > F. Al segui tayectoias casi ciculaes, la velocidad obital seá unifome, y podemos aplica que: v F π D F 8 π v 6 Unidad. eoía de la gavitación univesal

5 Luego: ( D ) F ( π D v D π F v F ) D ( ) F 8 v F v D D F Es deci, la velocidad obital de Fobos es mayo que la que tiene Deimos, puesto que D es mayo que F. b) Si aplicamos de nuevo la tecea ley de Keple, nos queda: D F ( ) Y al sustitui datos numéicos: 8 D F D 7567 s 400 km 970 km 0559 s (0 h 4 min 9 s) c) Aplicando la tecea ley de Keple, y tomando como «efeencia» a Deimos: D F ( ) cte 8 8 D ( ) D D D ( ) F D 50 h 600 s h (400 km) ( ) 0559 s 8 84 km. Dos satélites atificiales siguen óbitas ciculaes en tono a la iea. La óbita del segundo es el doble de gande que la del pimeo. Qué elación guadan los espectivos peíodos obitales? Aplicando la tecea ley de Keple: cte 8 Óbita Óbita que podemos pone de la foma: ( ) ( ) Como, nos queda: ( ) ( 8 8 ) Es deci, el peíodo obital del satélite más alejado,, es veces mayo que el peíodo obital del satélite más cecano.. Discute la coección de estas poposiciones: a) De las dos pimeas leyes de Keple se deduce que existe una fueza que atae a los planetas hacia el Sol, peo solo con ellas no se puede especifica cómo es esa fueza. b)la tecea ley de Keple solo se aplica cuando las óbitas son ciculaes. Unidad. eoía de la gavitación univesal 7

6 c) El tamaño y la masa de los planetas no intevienen en las leyes de Keple. d)la constante de popocionalidad de la tecea ley de Keple está elacionada con la masa del Sol. a) Cieto. De ellas se deduce que la fueza de atacción sola disminuye con la sepaación al Sol, peo solo la tecea ley pemite detalla cómo es dicha fueza. b) Falso. Keple y Newton la empleaon, sobe todo, paa óbitas elípticas, donde adopta la foma: a ( ) ( ) en la que a coesponde al semieje mayo de la óbita. c) Cieto. Solo inteviene la distancia del planeta al Sol. d) Cieto. Si aplicamos las leyes de Keple a los planetas, esulta: C. Calcula la aceleación centípeta de la iea en su movimiento obital, suponiendo que sea un m.c.u. con velocidad de 0 km/s y diámeto de 0 8 km. Si la tayectoia es cicula, la aceleación centípeta (o nomal) vale: a 4 π G M Sol a n Sustituyendo datos numéicos, se obtiene: v (0 0 a n m s ) 6 0 m s,5 0 m 4. Con qué fueza se ataen mutuamente el Sol y Júpite cuando este se encuenta en el afelio? Datos: afelio 85,7 0 6 km; M J, kg, M S, kg. Aplicando la ecuación que ecoge la ley de la gavitación univesal, tenemos que la fueza con que se ataen mutuamente la que ejece el Sol sobe Júpite y este sobe el Sol es igual en módulo, peo su sentido, en cada caso, es opuesto, tal y como indica la figua. Po tanto: F 8 JS F8 SJ G Sustituyendo datos numéicos, esulta: F JS 6,67 0 N m kg M S M J, kg, kg (85,7 0 9 m),79 0 N En notación vectoial, y tomando como oigen de coodenadas la posición del Sol: Sol F JS F 8 JS,79 0 u 8 N ; F8 SJ,79 0 u 8 N F SJ v J Júpite 8 Unidad. eoía de la gavitación univesal

7 5. Suponiendo óbitas ciculaes, deduce la elación ente la masa del Sol y la constante de popocionalidad de la tecea ley de Keple (C / ). Depende de la masa de cada planeta? Calcula su valo sabiendo que M Sol, kg. La expesión de la tecea ley de Keple puede toma la foma: cte Si un planeta sigue una tayectoia cicula, está sometido a una fueza centípeta que, en este caso, es la fueza de atacción gavitatoia. Po tanto, podemos iguala F c y F g : v F c F g 8 m M m G M G 8 v [] Po oto lado, al lleva velocidad constante (en módulo), tenemos que: s v 8 v t π Al eleva al cuadado, nos queda: y compaando las ecuaciones [] y [], podemos escibi: que odenada de ota foma, se puede expesa como: 4 π v [] G M 4 π 4 π G M 4 π 8 cte G M Esa constante, que llamaemos C, no depende de la masa del planeta, m. Su valo seá: 4 π C, s m 6,67 0 N m kg, kg 6. Con el valo calculado en el ejecicio anteio, calcula la distancia media ente Neptuno y el Sol teniendo en cuenta que el peíodo obital de Neptuno es de 64,8 años. La expesión de la tecea ley de Keple toma la foma: donde C es una constante que calculamos en la actividad anteio, y cuyo valo es: C, s m. Po tanto, al sustitui datos numéicos, nos queda: (64, s) 8 4,5 0 m C C, s m C Unidad. eoía de la gavitación univesal 9

8 7. itania y Obeón son los mayoes satélites del planeta Uano. itania sigue una óbita casi cicula de 4,6 0 5 km de adio y tiene un peíodo obital en tono a Uano de 8,706 días: a) Calcula la masa del planeta Uano. b) Con qué fueza se ataen Uano y itania, si la masa de esta última es,49 0 kg? c) Obtén las velocidades obital y aeola de itania. d) Estima el peíodo obital de Obeón, si su óbita cicula tiene un adio de km. a) Podemos supone que, al se la óbita de itania casi cicula, su velocidad (en módulo) es constante y se puede calcula como: s π v 8 v 8 v t 4 π Po oto lado, al iguala la fueza centípeta de itania con la fueza de atacción gavitatoia que ejece sobe él el planeta Uano, de masa M U, nos queda: i km itania Obeón Ob km v m M U m G 8 v G M U Igualando ambas expesiones de v, tenemos: 4 π G M 4 π 8 M U U G Y sustituyendo datos numéicos, la masa de Uano esulta: M U 4 π (4,6 0 8 m) 6,67 0 N m kg (8, s) 8, kg b) La fueza de atacción (en módulo) con la que se ataen Uano y itania vale: F 6,67 0 N m kg 8, kg,49 0 kg (4,6 0 8 m), N c) La velocidad obital de itania seá: π π 4,6 0 v 8 m 64 m s 8, s La velocidad aeola, po se la óbita cicula, es: A óbita π v A π (4,6 0 8 m) 7,94 0 m s 8, s 0 Unidad. eoía de la gavitación univesal

9 d) Paa obtene el peíodo obital de oto de los satélites alededo de Uano, Obeón, aplicamos la tecea ley de Keple, tomando como efeencia el satélite itania: 8 ( ) (8, s) ( km) 8. Razona, de acuedo con la figua (no está a escala):,6 0 6 s,46 días a) Po qué se foman dos abultamientos siméticos y no solo uno en la masa de agua? b) Po qué no están exactamente en la línea que une los centos de la iea y la Luna? Luna Maea alta iea Maea baja La espuesta a ambas cuestiones es compleja y tiene en cuenta dos aspectos que afectan a las maeas. Pimeo, la Luna está lo suficientemente ceca de la iea como paa que la gavedad luna no sea igual en todo el globo teáqueo. Segundo, la iea gia sobe su eje. a) Si no existiea la Luna, o su gavedad fuea unifome en toda la iea, la foma de la capa supeficial de los océanos se debeía al acoplamiento de la gavedad teeste y la otación del planeta. La pesencia de la Luna altea este acoplamiento y defoma la lámina de agua geneando dos abultamientos, uno poque la gavedad de la Luna es «demasiado gande» y tia del agua, y el oto, poque es «demasiado pequeña», y no puede etene el agua en una foma esféica a causa de la otación teeste. b) Como el agua es un fluido, el movimiento de los abultamientos que «pesiguen» a la Luna poduce ficción con el fondo oceánico de la iea en otación. El esultado es un etaso de las maeas (pleama y bajama) con especto a la posición de la Luna sobe la vetical de un punto de la costa. 9. Dos masas idénticas de 00 kg cuelgan del techo veticalmente quedando a la misma altua. A qué distancia cento-cento deben colocase paa que se ataigan con una fueza de 0 7 N? Unidad. eoía de la gavitación univesal

10 Suponemos que las masas pueden considease puntuales o esféicas y aplicamos la expesión de la fueza gavitatoia: m (00 kg) F G m 6,67 0 N m kg 0 7 N Despejando, esulta: 6,67 0 N m kg (00 kg) 0 7 N,49 m 0. Una masa de 500 kg está sobe el oigen de coodenadas, y ota, de kg, en (4 m, 5 m). Calcula el vecto fueza gavitatoia que la segunda masa expeimenta po la mutua atacción con la pimea. Paa calcula el vecto fueza, podemos segui dos estategias. a) Deteminamos po sepaado el módulo de la fueza y el vecto unitaio adial: y (m) 5 (4, 5) u m kg 4 F, α m 500 kg 4 x (m) m F, G m 500 kg kg 6,67 0 N m kg,6 0 9 N (4 + 5 ) m u 8 cos a i8 + sen a j i + j Y ahoa: 4 5 F 8, F, u8 (,6 0 9 N) ( i 8 + j 8) F 8 (,0, i8 +,7 j 8 ) 0 9 N b) Efectuamos el cálculo diecto: F 8 G m 8 m m m, u8 G m G m 8 F 8 6, kg kg, 0 N m kg (4 8 i + 5 j 8 ) ( m) F 8 (,0, i8 +,7 j 8 ) 0 9 N 4 4 Unidad. eoía de la gavitación univesal

11 . Calcula el vecto fueza gavitatoia sobe m po la atacción de las otas masas, aplicando el pincipio de supeposición: F 8 F8, + F8, + F8 4,. y(m) m 4 50 kg (0, ) m 00 kg (0, 0) m 00 kg (4, 0) x(m) m 50 kg (, ) A la vista de la figua, podemos escibi las siguientes expesiones paa las fuezas que las masas m, m y m 4 ejecen sobe la masa m : y(m) (0, ) m 4 50 kg F 8 G m m (cos a, i8 + sen a j 8 ), F 4, m 00 kg F, (0, 0) α m 00 kg (4, 0) x(m) F 8, G F 8 4, G m m, m m 4 4, i8 j8 F, (, ) m 50 kg Sustituyendo valoes, se obtiene: F 8, 6,67 0 N m kg ( i 8 j 8) (,4 i 8,5 j 8 ) 0 8 N 00 kg 50 kg ( + ) m F 8, 6,67 0 N m kg 00 kg 00 kg (4 m) i 8 4, i 8 N F 8 4, 6,67 0 N m kg 00 kg 50 kg ( m) j 8, j 8 N Po tanto, el vecto fueza esultante sobe m debido a la atacción de las otas masas, calculado según la expesión dada po el enunciado, es el siguiente: F 8 (5,59 i8 +,57 j 8 ) 0 8 N Unidad. eoía de la gavitación univesal

12 . Razona si es coecta la afimación siguiente: «La fueza gavitatoia es cental poque la distancia ente dos masas que se ataen debe medise de cento a cento». La afimación es incoecta. La expesión «cental» hace efeencia a que la fueza va diigida hacia un cento de atacción o epulsión y que su valo solo depende de la distancia a ese cento de fuezas.. Menciona dos fuezas centales distintas de la fueza de la gavedad. La fueza elástica (ley de Hooke) y la fueza eléctica de Coulomb son dos ejemplos de fuezas centales. A difeencia de la fueza gavitatoia, pueden se de atacción y de epulsión. 4. Demuesta que el valo numéico del momento de una fueza especto a un punto se puede calcula como el poducto del módulo de la fueza po la distancia que hay desde el punto a la línea de acción de la fueza. Como ves en la figua, se cumple que: M O M 8 O 8 F 8 8 M O F sen o Peo como sen o sen (80 o), queda: M O F sen (80 o) F d donde d es la distancia de O a la ecta de acción de F 8. O d θ F 5. Calcula el momento de la fueza que ealiza la mano especto al eje de gio de la tueca. Qué sucedeía si se duplicaan la fueza de la mano y la distancia de esta hasta el eje de gio? F 00 N 40 cm Como la fueza es pependicula a la llave, esulta: M F sen o 0,4 m 00 N sen 90 0 N m La diección de M 8 es pependicula al plano del papel y el sentido hacia fuea, tal como pevé la egla del tonillo. Si se duplicaa la fueza de la mano y la distancia de esta hasta el eje de gio, el momento aplicado seía mayo; en conceto: M4 4 F4 sen o F sen o 4 F sen o 4 M N m Esto es, el módulo del momento se multiplicaía po cuato, manteniéndose su diección y su sentido. 4 Unidad. eoía de la gavitación univesal

13 6. Un péndulo de m de longitud oscila veticalmente, siendo de 5 el ángulo máximo abieto especto a la vetical en cada oscilación. Si la bola del péndulo tiene una masa de 400 g, calcula el momento de la fueza que ealiza su peso especto al punto de suspensión: a) En cada extemo de la oscilación. b)al pasa po el punto más bajo de la tayectoia. a) En los extemos de la oscilación, el valo del momento del peso, especto de S, es: M S F sen o P sen o m g sen o Opeando, queda: M S m 0,4 kg 9,8 m s sen 5,0 N m La diección de M 8 es pependicula al plano del S papel (plano de oscilación del péndulo); su sentido depende del extemo: a la deecha, va hacia dento del papel, y a la izquieda, hacia fuea del papel. b) En el punto más bajo, 8 y F8 P8 son paalelos, de modo que en ese caso el momento de la fueza especto a S es nulo. 7. Una masa puntual de 00 g hace un movimiento cicula unifome con una fecuencia de 4,5 Hz. Si el adio de la cicunfeencia es de 8 cm, obtén el momento angula especto al cento geomético en cada punto de la tayectoia. El momento angula o cinético especto del cento geomético de una masa puntual que ealiza un m.c.u. es constante y de valo: Po tanto, al sustitui, esulta: L m v R m u R m π f R L 0, kg π 4,5 s (0,08 m) 0,06 kg m s El vecto L 8 es pependicula al plano de la cicunfeencia, y su sentido depende del sentido de gio de la masa. 8. Con los datos de la figua, calcula el vecto momento de la fueza especto al oigen de coodenadas paa las tes fuezas mostadas. z(m) l m S 5 P P θ m 400 g F 80 j N F (60 j ) N y (m) x (m) F (00 k) N Unidad. eoía de la gavitación univesal 5

14 A la vista de la figua de la página anteio, esulta, en unidades S.I.: M 8 8 F8 ( j8 ) ( 00 k 8 ) 00 i 8 N m M 8 8 F8 ( k8 ) (80 j 8 ) 60 i 8 N m M 8 8 F8 ( j8 ) ( 60 j 8 ) 0 N m 9. Calcula la velocidad aeola de la masa en otación de la actividad 7 mediante los siguientes pocedimientos y veifica que se obtiene idéntico esultado: a) A pati del momento angula. b) Diectamente, como cociente ente el áea baida y el tiempo empleado en baela. a) La elación ente la velocidad aeola y el momento angula es: L 8 0,06 kg m s v A 0,09 m s m 0, kg b) Po ota pate, al efectua la masa un m.c.u., también se cumple que: S cículo π R v A f π R 4,5 s π (0,08 m) /f v A 0,09 m s 0. Razona sobe la veacidad de estas poposiciones: a) El valo del momento angula de los planetas en sus óbitas solo es constante si la óbita es cicula. b)cuanto más excéntica es la óbita de un cometa, mayo es la difeencia ente las velocidades en el peihelio y en el afelio. c) La constancia del momento angula obital de los planetas exige que el Sol se encuente en el plano de la óbita. a) Falsa. El momento angula es constante en cualquie tipo de óbita. b) Cieta. Cuanto más excéntica es la óbita, mayo es la difeencia ente la distancia al Sol en el peihelio y el afelio y, po ello, más difeentes seán las espectivas velocidades. c) Cieta. La constancia del momento angula exige que las óbitas sean planas y que el cento de atacción, el Sol, petenezca al plano obital.. La velocidad obital media y el adio obital medio de Mate son 4, km/s y 7,9 0 6 km, espectivamente. Si la masa del planeta Mate es 6,4 0 kg, calcula: a) El valo del momento angula obital de Mate. b) La velocidad aeola. c) La velocidad obital de Mate en su afelio, si afelio 49, 0 6 km. a) El valo de L 8 paa Mate seá: L <> <p> sen <o> <> m <v> sen 90 donde <> y <v> son el adio obital medio y la velocidad obital media, espectivamente. El ángulo que, po témino medio, foman 8 y v 8, es <o> Unidad. eoía de la gavitación univesal

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