La Ley de la Gravitación Universal

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1 Capítulo 7 La Ley de la Gavitación Univesal 7.1 La Ley Amónica de Keple La ley que Keple había encontado no elacionaba los adios con los cinco poliedos egulaes, peo ea igualmente simple y bella: Ley Amónica: El cuadado de la duación de cada año planetaio T es popocional al cubo del eje mayo D de la óbita T 2 = KD 3 donde K es una constante que tiene el mismo valo paa todos los planetas, incluida la Luna. Po fin, Keple había logado enconta una señal divina, su Música de las esfeas. Quisiea que puedan apecia lo que esta ecuación significaba en el desaollo de la ciencia, ya que ea la pimea vez que se fomulaba una ley física en foma matemática, usando el lenguaje de la geometía y el álgeba. Además, tal como discutiemos en la póxima sección, condujo a Newton a demosta que la inteacción ente los Planetas y el Sol debía segui una ley de cuadado inveso de la distancia. 1

2 2 Capítulo 7. La Ley de la Gavitación Univesal 7.2 La Gan Plaga de Isaac Newton 7.4 La ley de fueza de cuadado inveso Veamos cuál fue la demostación de Newton, tal como apaece en sus notas de dicha época. Imbuido en las ideas de colisión ó pecusión de Descates y en las demostaciones geométicas tan en boga en esa época, el imaginó un cuadado cicunscibiendo una óbita cicula, y que la patícula, en luga de segui dicha tayectoia, se movía ebotando en los puntos de contacto del cículo y el cuadado. Voy a se completamente anacónico y usa una teminología modena. Tengan en cuenta que Newton ecién llegó al concepto de masa en 1685, es deci veinte años después, y que usa las palabas fueza o pesión indistintamente, paa efeise a lo que hoy llamamos tabajo, y fueza de movimiento paa lo que hoy denominamos impulso. Con esto en mente se pueden da una idea lo que costó descifa esta demostación. Empecemos. En cada ebote la patícula eviete la componente de impulso pependicula al lado. La vaiación de impulso es igual al doble de esta componente, que a su vez es al impulso total como el lado del cuadado exteno es al lado del cuadado inteno, o equivalentemente, como el lado del cuadado inteno es a la mitad del lado del cuadado exteno. En otas palabas no estoy haciendo más que deci aíz de dos de una manea complicada. En una vuelta completa se poducen cuato ebotes, de manea que los choques que sopota el cuadado exteno equivalen a una vaiación de impulso que es al impulso de la patícula como la longitud de la tayectoia es al adio del cículo. Newton pasa entonces a afima sin demostación que la misma popoción se mantiene si el númeo de lados y puntos de impacto se multiplica po 2, una y ota vez. De esta manea, en una vuelta completa al cículo tenemos p mv = 2π Dividiendo po el peíodo del movimiento obital T = 2π/v, obtenemos la fueza F = p T Ahoa usamos la tecea ley de Keple = mv2 T 2 = k 3 paa obtene

3 7.5. Masa gavitatoia 3 v = 2π T 1 y con ello obtenemos finalmente la ley del cuadado inveso F 1 2 Estos descubimientos no fueon hechos públicos po Newton hasta casi 20 años después. Esta demoa hizo que se desaollaa una agia disputa con Robet Hooke ( ) sobe la peminencia en el descubimiento de la ley del cuadado inveso y po acusaciones de plagio. 7.5 Masa gavitatoia Si queemos completa la definición de la fueza de gavedad, podemos segui el método instumentalista de Mach, indicando que, según demuesta Newton, ente dos patículas 1 y 2 cualesquiea existe una fueza atactiva que depende de la distancia ente ambas F 21 () = k 21ˆ/ 2. donde la constante de popocionalidad es positiva y depende -de alguna manea que queemos investiga- de ambas patículas. Si cambiamos la patícula 1 po ota 0, la fueza de inteacción estaá caacteizada po ota constante k 20. En este caso se veifica que k 21 /k 20 es completamente independiente de la patícula 2. Puede cambiase dicha patícula 2 po cualquie ota con cualquie caacteística, que la elación k 21 /k 20 pemanece inalteada. A esta cantidad la llamaemos masa gavitatoia de 1 en unidades de 0. Tomando a la patícula 0 como unidad 1, anotamos simplemente ξ 1 = k 21 /k 20 y la llamamos masa gavitatoia de la patícula 1. Tenemos entonces que F 21 () = k 20 ξ 1 3 O sea que la fueza de inteacción gavitatoia ente las patículas 2 y 1 sólo depende de la patícula 1 a tavés de su masa gavitatoia. Po simetía, la misma dependencia simple debe dase paa la patícula 2, o sea: F 21 () = γ 0 ξ 2 ξ 1 3 donde γ 0 es una constante univesal que sólo depende de la patícula 0, es deci de las unidades elegidas. 1 Si imaginamos que la patícula 2 es la Tiea, lo que estoy haciendo es nada más que compaa el peso de la patícula 1 con una unidad patón dada po la patícula 0.

4 4 Capítulo 7. La Ley de la Gavitación Univesal Estas opeaciones nos han pemitido defini la masa gavitatoia como una magnitud (definida con especto a una masa patón coespondiente a la patícula 0) que epesenta la mayo o meno espuesta de un cuepo a una inteacción gavitatoia. Po ahoa constituye -junto con la masa inecial- una popiedad adicional de la mateia. 7.6 Masa gavitatoia y masa inecial Ahoa bien, a pati del expeimento de Galileo, Newton sabía que un cuepo de masa inecial m en caída libe se mueve con una aceleación constante g. Po su popia segunda ley, mg = γ 0 ξξ T / 2 donde ξ y ξ T son las masas gavitatoias del cuepo y de la Tiea espectivamente. es el adio de la Tiea. Peo paa que g sea una constante independiente de m, la única posibilidad es que la masa inecial m y la masa gavitatoia ξ sean -dento del eo expeimental- popocionales ente sí. Pensándolo bien, este es un esultado de lo más extaño. Peo todavía pasaían más de dos siglos antes de que alguien se cuestionaa el poque de esta elación. Convencionalmente se eligen las mismas unidades paa ambas cantidades, tomándolas iguales. Reescibimos la Ley de Gavitación Univesal de esta manea, F 21 () = γ 0 m 2 m Newton mide la distancia a la Luna! 7.8 La ley de cuadado inveso en electicidad y magnetismo 7.9 Deteminación de la constante de gavitación univesal La constante univesal γ 0 esultó se apoximadamente igual a γ Newtonmeto2 kilogamo 2

5 7.10. La ley de Titius-Bode 5 Esta infomación nos pemite compaa las fuezas electostáticas y gavitatoia, consideemos -po ejemplo- al electón como unidad de masa y caga. Esto es muy común, al menos en física atómica. La elación caga/masa de esta patícula es apoximadamente igual a e/m = Coulomb/kilogamo. Po lo tanto, el cociente de ambas fuezas es del oden de F gav F elec Este es un númeo inceíblemente pequeño. Sólo po compaación, tengan en cuenta que es aún dos ódenes de magnitud meno que el tiempo que tada la luz en cuza el diámeto de un potón ( seg) en compaación con la edad del Univeso ( años). Po ejemplo, paa que un electón sienta una inteacción gavitatoia de igual magnitud que la inteacción electostática poducida po oto electón 2 debeíamos utiliza un cuepo con una masa enome de apoximadamente kg La ley de Titius-Bode 7.11 Descubimiento de nuevos planetas 7.12 Paa sabe más Stanlye L. Jaki: The Ealy Histoy of the Titius-Bode Law, Am. J. Phys. 40 (7), (1972). Michael Matin Nieto: The lettes between Titius and Bonnet and the Titius-Bode law of planetay distances, Am. J. Phys. 53 (1), (1985). C. J. Ransom: Bode s law and the oigin of the Sola system, Am J. Phys. 48, 4 (1980). Richad C. Sapp: Titius - Bode law: An astonomy poject fo a cloudy night, Am. J. Phys. 48 (2), (1980). Magdi Shouci: Titius - Bode law: Keple s Fouth Law, Am. J. Phys. 49 (3), 201 (1981). Leslie J. Tomley: Bode s law and the missing moons of Satun, Am. J. Phys. 47 (5), í Cuya caga eléctica es indivisible!.

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