Interacción gravitatoria

Transcripción

1 unidad 1 contenidos 1. El odelo geocéntico del Univeso. El odelo heliocéntico de Copénico. Leyes de Keple 4. Ley de Gavitación Univesal 5. Moento de una fueza especto de un punto 6. Moento angula 7. Ley de consevación del oento angula: fuezas centales 8. La ley de Gavitación y las leyes de Keple 9. Satélites geoestacionaios 10. El fenóeno de las aeas Inteacción gavitatoia

2 7 El epeño de la Huanidad po conoce y explica los fenóenos celestes se piede en la noche de los tiepos. Pieo, fue un inteés de tipo eligioso o itológico. Luego, la peocupación po enconta elaciones ente fenóenos tales coo las fases de la o la posición de algunas estellas en el fiaento con los ciclos de cultivos en la agicultua. El siguiente paso fue la búsqueda de un odelo que explicase el oden del Univeso. Los pieos odelos intentaban explica el oviiento de los astos, vistos desde una iea inóvil. El odelo geocéntico del Univeso fue establecido po Aistóteles en siglo IV a.c. y asentado en el siglo II po oloeo al dotalo del apaato ateático que peitía pedeci las posiciones de los astos. A ediados del siglo XVI Nicolás Copénico popone su odelo heliocéntico, que no se ipone hasta que Johannes Keple publica, a pincipios del siglo XVII, sus tes leyes que explican el oviiento de los astos del Sistea Sola. A finales del siglo XVII, Isaac Newton publicó la expesión de la ley de Gavitación Univesal, que le peitió deosta que el peso de los objetos en la supeficie de la iea y la fueza que antiene a la en su óbita alededo de la iea son anifestaciones del iso fenóeno. El desaollo de las ideas de Newton condujo a la Mecánica Analítica, cuyo logo culinante fue la pedicción, a ediados del siglo XIX, po Ubain Leveie, de la posición de un nuevo planeta y el inediato descubiiento del planeta Neptuno. cuestiones iniciales 1. De qué foas se ha explicado la posición de la iea en el Univeso a lo lago del tiepo?. Repesenta en un esquea todas las fuezas que actúan sobe el sistea foado po la iea y po la.. El Sol está situado a una distancia edia de 150 illones de k. Cuál es la velocidad y aceleación edia de la iea en tono al Sol? Repesenta los vectoes anteioes sobe la tayectoia de la iea alededo del Sol.

3 8 Unidad 1 ESERA DE LAS ESRELLAS IJAS ESERA DE SAURN ESERA DE JUPIER ESERA DE MARE ESERA DEL SL ESERA DE VENUS ESERA DE MERCURI ESERA DE LA LUNA a Sistea astonóico de la antigüedad. Moviiento de Mate Al desplazase la iea sobe su tayectoia ás ápidaente que Mate sobe la suya, se poduce un efecto visual sobe el fondo de las estellas, que, a veces, paece que éste etocede. 1. El odelo geocéntico del Univeso Duante la antigüedad y hasta el siglo XVI el odelo pedoinante que explicaba la posición de la iea en el Univeso fue el odelo geocéntico. Este odelo fue desaollado, en el siglo IV a.c., po Aistóteles. Según el odelo geocéntico del Univeso, la iea tiene la foa de una esfea, está inóvil y ocupa el cento del Univeso. Los astos se ueven en tono a la iea, siendo tanspotados po esfeas tanspaentes que gian con oviiento cicula unifoe. A distancias cecientes se encuentan las esfeas que tanspotan a la, Mecuio, Venus, el Sol, Mate, Júpite y Satuno. Englobando a todas ellas y ás alejada está la esfea de las estellas. El odelo geocéntico no explica la tayectoia apaente que siguen los planetas, que no desciben tayectoias ciculaes en tono a la iea. En ocasiones etoceden, sobe el fondo de las estellas, paa luego segui con su caino, es lo que se denoina el oviiento etógado. 6 Ujfssb p 4 Nbsuf 6 4 Ujfssb qjdjdp Efgfsfouf Nbsuf a Modelo del oviiento etógado de un planeta según oloeo. Este oviiento etógado de los planetas fue justificado, en el siglo II d.c., po el astónoo giego Claudio oloeo, al aplica las constucciones geoéticas de epiciclo y defeente al oviiento de los planetas y dotalas del apaato ateático necesaio paa pedeci las posiciones astonóicas. Según oloeo, cada planeta se ueve siguiendo una cicunfeencia, que llaó epiciclo. El cento del epiciclo se ueve, a su vez, en tono a la iea, descibiendo ota tayectoia cicula llaada defeente. De esta foa el oviiento de los astos es el esultado de la sua de oviientos ciculaes unifoes. El éxito de oloeo adicó en que explicaba el oviiento etógado de los planetas y podía pedeci con bastante exactitud sus posiciones en cualquie oento, con la consiguiente ayuda paa los navegantes. abién explicaba la difeencia obsevada en el billo de los planetas, al elacionalo con que unas veces se encuentan ás ceca de la iea, y otas, ás lejos.

4 Inteacción gavitatoia 9. El odelo heliocéntico de Copénico En el siglo XVI, el astónoo polaco Nicolás Copénico basándose en el ayo taaño apaente del Sol y en que iluina al esto de planetas, concibe la idea de que el Sol, y no la iea, es el cento del univeso. Este odelo, centado en el Sol, se apoya en los siguientes supuestos: - El Sol está inóvil en el cento del Univeso. - Los planetas, junto a las esfeas que los tanspotan, gian alededo del Sol según el siguiente oden: Mecuio, Venus, iea, Mate, Júpite y Satuno. tos odelos En el siglo III a. C., Aistaco de Saos popuso un odelo heliocéntico de Univeso que no pospeó. Situó al Sol en el cento, con la iea giando a su alededo. - La iea está afectada po dos oviientos ipotantes: uno de otación alededo de su popio eje y oto de taslación en tono al Sol. - La gia alededo de la iea. - La esfea de las estellas está inóvil y uy alejada. Con este odelo se explican los fenóenos de la altenancia de los días y de las noches, las estaciones, las fases de la y el oviiento etógado de los planetas. Los planetas paece que se ueven hacia atás poque la iea, al descibi una óbita de eno adio y gia ás ápido alededo del Sol, los alcanza y se poduce un efecto visual sobe el fondo de las estellas. La oba de Copénico se publicó en una época de gandes tensiones políticas y eligiosas en una Euopa enfentada po la Refoa potestante. La teoía heliocéntica de Copénico supondá una evolución no sólo en el capo de la astonoía y de la física sino en la popia entalidad de las pesonas y en la visión del undo a pati de entonces. Eje de otación,5 iea Pependicula al plano de la óbita Rayos solaes Sol a La otación de la iea da luga a la altenancia del día y la noche. Las apotaciones de Galileo El científico italiano Galileo Galilei, adeás de contibui al desaollo de la cineática y de la dináica del oviiento, ealizó gandes apotaciones coo astónoo, gacias a la constucción de los pieos telescopios. Los pieos días del año 1610 descubió cuato astos que giaban alededo de Júpite. Esto iplicaba que la iea no ea el cento de otación de todos los cuepos celestes, hecho que consideó pueba suficiente paa echaza el odelo geocéntico de univeso. Más tade descubió que Venus pesenta fases coo las de la, lo que deuesta que gia alededo del Sol y que no billa con luz popia. La defensa que hace Galileo del sistea copenicano, la exposición de su pincipio de la inecia y copobación expeiental de que la caída libe es independiente de su asa suponen la uptua con la tadición aistotélica. a Galileo tabién descubió los cátees de la y las anchas solaes, po lo que los cuepos celestes no son esfeas cistalinas coo se pensaba hasta entonces.

5 10 Unidad 1. Leyes de Keple A pincipios de siglo XVII, el astónoo aleán Johannes Keple entusiasado po las ideas de Copénico y utilizando los pecisos datos astonóicos que sobe el planeta Mate había ecogido ycho Bahe, llego a la conclusión de que las obsevaciones no se adaptaban a una tayectoia cicula. Dedujo que los datos encajaban paa una elipse con el Sol situado en uno de sus focos, estableciendo la que se conoce coo piea ley de Keple: Piea ley de Keple: Los planetas desciben óbitas elípticas alededo del Sol, encontándose éste en uno de sus focos. a Johannes Keple ( ). Keple utilizó las obsevaciones ealizadas, a finales del siglo XVI, po el danés ycho Bahe en una época en la que no se había inventado el telescopio. Esta ley ope con la ciencia antigua, según la cual el oviiento pefecto es el cicula unifoe y po ello el de los planetas. No obstante la difeencia de distancias ente los seiejes de la elipse es pequeña, po lo que las óbitas de los planetas se considean ciculaes. Al plano que contiene a la óbita de la iea se le denoina eclíptica. A su vez, el eje de otación de la iea foa un ángulo de,5º con la pependicula a la eclíptica, hecho que peite explica las estaciones del año. Keple, después de ealiza laboiosos cálculos sobe la óbita de Mate, enunció la segunda ley. A A B B Segunda ley de Keple o ley de las áeas: La línea que une el Sol con un planeta ecoe áeas iguales en tiepos iguales. Así se explica el que el oviiento de los planetas no sea unifoe, éstos van ás ápidos en la pate de la óbita que está ás póxia al Sol que en la pate ás alejada del iso. a Una elipse es el luga geoético de los puntos que cuplen que la sua de sus distancias a dos puntos fijos llaados focos es constante: A + B = constante De esta foa se ope con la ceencia de la unifoidad del oviiento de los planetas. Solsticio de veano, 1 de junio PRIMAVERA Equinoccio de piavea, 1 de azo INVIERN A Sol A' Planeta a La segunda ley de Keple justifica el que el oviiento de un planeta no sea unifoe. VERAN Ecuado Cículo Pola Ático Ó bita teest e Equinoccio de otoño, de septiebe Ñ Solsticio de invieno, de diciebe a La inclinación del eje de otación de la iea especto de su óbita y el popio oviiento en tono al Sol da luga a la sucesión de las estaciones.

6 Inteacción gavitatoia 11 ecea ley de Keple: Los cuadados de los peíodos del oviiento de los planetas alededo del Sol son popocionales a los cubos de sus distancias edias al Sol. a b oco 1 Venus Mate iea = = =...= C =C ; donde C = constante iea Venus Mate Esta ley peite conoce las distancias elativas ente los planetas, ya que el tiepo que tada un planeta en ecoe su óbita se conoce desde la antigüedad. abién justifica el que los planetas ás alejados del Sol tadan ás tiepo en ecoe su óbita que los que están ás ceca del iso. Las leyes de Keple se pueden aplica a cualquie asto y su conjunto de satélites, coo po ejeplo al gupo foado po la iea, la y los satélites atificiales. Las tes leyes de Keple se efieen a la cineática de los astos, es deci, a sus oviientos, sin plantea nada sobe las causas que los oiginan. a Seieje ayo a; seieje eno b; distancia ás alejada al foco 1 ; distancia ás cecana al foco. De la figua se deduce que la distancia edia,, de un punto de la elipse a foco coincide con el valo del seieje ayo, a, de la elipse. 1 + = a a = = 1 + ACIVIDADES RESUELAS Dos planetas de asas iguales obitan alededo de una estella de asa ucho ayo. El planeta 1 descibe una óbita cicula de adio R 1 = k con un peíodo de otación 1 = años, ientas que el planeta descibe una óbita elíptica cuya distancia ás póxia es R 1 = k y la ás alejada es R = 1, k tal y coo uesta la figua adjunta. Cuál es el peíodo de otación del planeta? De la figua adjunta se deduce que la distancia edia del planeta a la estella es: , k k = = = 14, 10 k A 1 P Aplicando la tecea ley de Keple: 1 1 = ; ( años) (1 10 k) = 8 (1, 4 10 k) 8 Despejando el peíodo de otación del planeta es: =, años Si la luz sola tada en poedio 8, inutos en llega a la iea, 1,7 inutos a Mate y 6,1 inutos en alcanza el planeta Venus, calcula el peíodo de otación, en tono al Sol, de Mate y de Venus. Aplicando la tecea ley de Keple a los planetas se obtiene que: Las distancias desde los planetas al Sol se pueden expesa en función del tiepo que tada en llegales la luz del Sol: = c t, con c la velocidad de luz, po lo que: = M V = M V c t M tm V tv = = c c t = t M M = t V V Coo el peíodo de otación de la iea, en tono al Sol, es de un año esulta que: Mate = M t t = 1 año (1,7 in ) = 1,88 años (8, in) = ; Venus t t V = 1 año (6,1 in ) (8, in) = 0,67años

7 1 Unidad 1 4. Ley de Gavitación Univesal En la segunda itad del siglo XVII, nueosos científicos se peguntaban sobe el tipo de fueza con la que debe actua el Sol paa que los planetas se uevan según las leyes de Keple. El poblea lo esolvió Isaac Newton. En pie luga utilizó la ley de la inecia de Galileo paa explica que un objeto que se lanza hoizontalente descibe una cuva, ya que la acción de la fueza de la gavedad lo desvía de su tayectoia ectilínea. Si la velocidad de lanzaiento es ayo llegaá ás lejos, pudiéndose loga que no cayese al suelo y que diese vueltas alededo de la iea si la velocidad inicial es la adecuada. a Galileo descubió las leyes del oviiento paabólico y descibió la tayectoia que siguen los poyectiles. Newton extendió esta idea al caso de la y fouló la hipótesis de que la fueza que obliga a la a gia alededo de la iea tiene el iso oigen que la fueza po la que los objetos situados ceca de la iea caen sobe su supeficie. A continuación, aplicó la dináica del oviiento cicula. Según la cual, paa que un objeto ecoa un oviiento cicula unifoe se pecisa del concuso de una fueza diigida hacia el cento de la tayectoia. Si se supone que la óbita de la es cicula y consideando a la iea y a la coo objetos puntuales, un obsevado inecial descibe el oviiento de la ediante la fueza centípeta, de ódulo: = a = n v iea Sustituyendo el valo de la velocidad en función del peíodo y adio obital: a Dibujo de Newton efeente al oviiento de un poyectil con difeentes velocidades iniciales. π 4 π v = = iea Multiplicando y dividiendo po, teniendo en cuenta la tecea ley de Keple, = C, y englobando las constante en una, se tiene que: = 4 π iea iea 4 π = = k C iea iea iea L v La fueza que actúa sobe la es popocional a su asa e invesaente popocional al cuadado de su distancia a la iea. Un obsevado inecial situado en la obsevaía que la iea descibe una tayectoia cicula, po lo que sobe ésta actúa una fueza cuyo ódulo debe se popocional a su asa y a una constante k iea. a La única fueza que actúa sobe la es la fueza centípeta. iea = k iea iea iea

8 Inteacción gavitatoia 1 Aplicando la ley de acción y eacción, se tiene que los ódulos de las dos fuezas son iguales, po lo que: = ; k iea iea = k iea iea iea k iea k = iea Igualando las elaciones anteioes a una nueva constante G, se tiene: k iea kiea = = G k = G iea sustituyendo: = iea = k = G iea iea iea a Isaac Newton ( ). Que es la expesión ateática de la ley de Gavitación Univesal y que publicó, en 1687, en su libo: Philosophiae Naualis Pincipia Mateatica. Paa copoba la validez de la ley, Newton copaó la aceleación centípeta a la que está soetida la en su óbita con la aceleación con la que caen los objetos sobe la supeficie de la iea. a = = G bjeto iea g = = G R objeto iea iea iea Dividiendo las expesiones anteioes y coo la se encuenta a una distancia de, apoxiadaente, 60 veces el adio de la iea, dedujo que la aceleación de los objetos en las poxiidades de la supeficie de la iea debía se 60 = 600 veces supeio a la aceleación centípeta de la. Suposición que pudo copoba que ea coecta cuando en la década de 1680 se deteinó que el adio de la iea es 6 70 k. Coo el peíodo de la es 7, días =, s, se tiene que la aceleación centípeta a la que está soetida la es: g a v 4 π 4 π a = = = = (,6 10 s) Po tanto la elación ente las citadas aceleaciones es: g a = 9,8 / s,7 10 /s L iea- = R iea = (60 R tiea) R - iea = 600 = , 10 s / Leyes de Newton Isaac Newton publicó conjuntaente la ley de la Gavitación Univesal con las tes leyes de la dináica, tabién denoinadas leyes de Newton de la dináica. a) Piea ley o ley de la inecia. b) Segunda ley o ecuación fundaental de la dináica. c) ecea ley o ley de acción y eacción. Que concueda con las pedicciones de la ley de Gavitación.

9 14 Unidad La constante de gavitación, G ' iba de tosión Espejo C q θ Lápaa ' Escala a Esquea de la balanza de Cavendich. La constante de gavitación univesal G la deteinó el físico inglés Heny Cavendish, en 1798, utilizando una balanza de tosión. Dos esfeas de asa están colocadas en los exteos de una vailla hoizontal, uy ligea, la cual está suspendida po su punto edio po un hilo de fiba de cuazo. El hilo lleva adosado un espejo sobe el que incide un ayo de luz que, después de eflejase, se ecoge en una escala gaduada. A abos lados de la baa, y en el iso plano hoizontal, se colocan otas dos esfeas fijas de ayo asa,. Debido a la atacción gavitatoia se genea un pa de fuezas sobe la vailla que tiende a hacela gia, en tono al hilo. El hilo de cuazo tiene un oento de tosión que se opone al pa de fuezas gavitatoio. Alcanzado el equilibio, se ide el ángulo de gio, que es popocional al oento de tosión y del que se deduce el valo de la constante de gavitación univesal G. Este valo es: G = 6, N /kg, y es independiente de las caacteísticas de los objetos y del edio en el que se sitúen. Pa de fuezas Un pa de fuezas son dos fuezas del iso ódulo y sentidos opuestos que actúan sobe el iso objeto. La fueza esultante es igual a ceo y siepe poduce un gio del objeto. De la ley de gavitación univesal, se deduce que la constante G epesenta el ódulo de la fueza con la que inteaccionan dos objetos de 1 kg de asa situados a la distancia de 1. Conocido este valo se puede calcula la asa de la iea y la de cualquie oto asto, con tal de loga edi el peíodo de taslación de algún planeta o satélite que gie a su alededo. ACIVIDADES RESUELAS Calcula la asa del Sol, consideando que la iea descibe una óbita cicula de 150 illones k. La inteacción gavitatoia ente el Sol y la iea popociona la fueza centípeta que es la causa de la aceleación noal que peite que la iea desciba su óbita cicula. Aplicando la segunda ley de Newton al oviiento de taslación de la iea, se cuple que: = a ; G Sol iea viea Sol iea n iea = iea G =viea Sustituyendo la velocidad de la iea po su elación con el peíodo de taslación: v G Sol iea Sol = 4 π El peíodo de la iea es: Sustituyendo: = Sol iea Sol iea Sol iea 4 π Sol = G iea Sol iea Sol iea = 65,5 días 4 h/día 600 s/h =, s π ( ) -11 6,67 10 N / kg (, s) iea Sol 0 =,01 10 kg = π, se tiene que:

10 Inteacción gavitatoia El peso de los objetos En la ley de Gavitación Univesal, la asa gavitatoia es la popiedad de los objetos esponsable de la inteacción. Esta asa indica la cantidad de ateia de los objetos y se ide con una balanza. Según la segunda ley de Newton, = a, la asa inecial es la popiedad que indica la tendencia que tiene un objeto a conseva su estado de oviiento. La asa inecial es igual al facto de popocionalidad ente la fueza que actúa sobe un objeto y la aceleación que le popociona. La asa inecial y la asa gavitatoia tienen las isas popiedades y son equivalentes a la cantidad de ateia y en el SI se iden en kg. El peso de un objeto es la fueza gavitatoia esultante que actúa sobe él, debida a todos los deás objetos del Univeso. En la supeficie de la iea o ceca de ella la fueza de atacción teeste es tan gande que el peso de un objeto sólo depende de ella, y lo iso ocue en la supeficie de la o de oto planeta. El peso de un objeto, de asa, es el iso tanto si se deteina aplicando la ley de gavitación univesal coo aplicando la segunda ley de Newton. Denoinado g 0 a la aceleación con la que caen los objetos en la supeficie de la iea, se tiene que: = G iea Riea P= g objeto objeto 0 } = iea P g 0=G Riea Esta expesión peitió a Cavendish calcula la asa de iea después de deteina el valo de la constante de gavitación G. Despejando, la asa de la iea en la ecuación anteio, esulta que: 6 ) 0 iea, 7 1 = g R 98, / s ( 6 0 =, 6 1 iea 11 = 59 0 G 66, 7 10 N / kg 4 kg a Expeiencia paa edi la asa gavitatoia. a t d a Expeiencia paa edi la asa inecial. ACIVIDADES RESUELAS a La asa de la es 1/81 de la asa de la iea y su adio es 1/4 del adio de la iea. Con esos datos calcula lo que pesaá en la supeficie de la una pesona que tiene una asa de 70 kg. Aplicando la ley de gavitación univesal en la supeficie de la, se tiene que: iea pesona P =G pesona =G 81 R Riea Sustituyendo:P = ( 4 ) = ,8 /s 70 kg = 15,5 N G iea pesona 0,iea Riea 16 = 81 g pesona

11 16 Unidad Expesión vectoial de la ley de Gavitación Z k = u z j = u y i = u x a Vectoes unitaios en las diecciones de los ejes catesianos de un sistea de efeencia. X Inicialente, Newton consideó a los objetos celestes coo siples patículas con su asa concentada en su cento geoético. Posteioente, deostó ateáticaente que la fueza gavitatoia que actúa sobe, o con la que actúa, una esfea hoogénea es la isa que si toda su asa estuviea situada en su cento. Esta popiedad es la que peite considea a los objetos coo siples patículas con su asa concentada en un punto, su cento de asas. La ley de Gavitación Univesal esue en una única ecuación la inteacción de ente dos asas cualesquiea, sean estellas, planetas o cualquie oto objeto. De esta foa, Newton ope con la teoía aistotélica que distinguía ente una ísica teeste y ota celeste. El ódulo de la fueza de atacción ente dos objetos es diectaente popocional a sus asas e invesaente popocional al cuadado de la distancia que sepaa sus centos. M = -G u ; donde u = donde es el ódulo de la fueza de inteacción, M y las asas, la distancia ente sus centos y el vecto es un vecto unitaio de diección de la ecta que une a las asas y de sentido hacia la asa consideada. El signo negativo se debe a que el vecto fueza y el vecto unitaio tienen sentidos contaios, es deci, las fuezas gavitatoias son siepe atactivas. 1, 1 u 1 1 u 1,1 a ueza con la que actúa la patícula 1 sobe la patícula. a ueza con la que actúa la patícula sobe la patícula 1. n!! G G sftvubouf G n!! n!! a La fueza esultante que actúa sobe una asa es igual a la sua vectoial de todas las fuezas que actúan sobe ella. 4 Las fuezas gavitatoias son fuezas a distancia y su ódulo no depende del edio en el que se sitúen los objetos. Coo el valo de G es uy pequeño, los efectos gavitatoios sólo son obsevables cuando, al enos, la asa de uno de los objetos es uy gande. Las fuezas gavitatoias que actúan sobe cada uno de los objetos foan un pa de fuezas de acción y eacción y, po tanto, tienen el iso ódulo, son de sentidos contaios y su diección coincide con la ecta que une los centos. En una distibución de asas, la fueza esultante que actúa sobe cada patícula es la sua vectoial de todas las fuezas que actúan sobe ella.

12 Inteacción gavitatoia 17 ACIVIDADES RESUELAS Los catetos de un tiángulo ectángulo iden y 4 espectivaente. En el vétice del ángulo ecto se coloca un objeto de kg de asa y en el exteo del cateto eno oto objeto de 4 kg de asa. Calcula la fueza esultante que actúa sobe oto objeto de 5 kg de asa colocado en el oto vétice. Sean los objetos A = kg, B = 4 kg y C = 5 kg. Z Se elige un sistea de efeencia con el oigen de coodenadas en el vétice del ángulo ecto del tiángulo y el cateto eno situado a lo lago del eje X de coodenadas. El oto cateto se D!)1-5* G Cy sitúa en el eje. n D Las fuezas que actúan sobe la asa C tienen la diección de la ecta que une la citada asa ϕ ϕ G con las otas dos y po sentido hacia A y B. Cz G = G A El ódulo de la fueza con la que actúa la asa B = 4 kg es: B C B = G =6,67 10 N kg kg kg De la figua se deduce que cos ϕ = 4/5 y sen ϕ = /5, po lo que las coponentes de la fueza con la que actúa la asa B son: -11 Bx = B sen ϕ i = 5,4 10 N -11 i =,0 10 in By = B cosϕ (- j ) = 5,4 10 N (- j ) = 4, 7 10 jn 5 La fueza esultante que actúa sobe la patícula de asa tiene de coponentes: -11 = =,0 10 in x Bx A AC BC C N 5 (- j) = 66, kg kg 11 ( j) = 417, 10 jn kg ( 4) ( ( ) +(4) ) = 5, N n G B B 1!)1-1* C!)4-1* C n C = + = 4, j N 4, jn= 8, jn y A By Su ódulo es: = + = (,0 10 N) +(8, N) = 90, N x y A qué distancia de la iea pesa 1 N un objeto que tiene una asa de 1 kg? Aplicando la ley de gavitación univesal: P= = G iea = G P iea Aplicando la elación: g 0=G G, se tiene que la distancia pedida, edida desde el cento de la iea, es: R iea= g 0 R iea iea iea = g R 0 iea P = R iea 9,8 / s 1kg =,1 R iea 1N Po lo tanto, el objeto estaá a una distancia,1 R iea de la supeficie de la iea.

13 18 Unidad 1 5. Moento de una fueza especto de un punto Z a El vecto oento lineal tiene la isa diección y sentido que el vecto velocidad. a x b ϕ v p X b a a El poducto vectoial de dos vectoes a x b es un vecto de ódulo a b sen ϕ, de diección pependicula al plano que deliitan los vectoes y sentido el que coincide con el del avance de un sacacochos que gia desde el pie vecto a hasta el segundo b siguiendo el caino ás coto. La agnitud caacteística del oviiento de taslación de una patícula, especto del oigen de un sistea de efeencia, es su cantidad de oviiento o oento lineal: p= v. Su vaiación especto del tiepo constituye la segunda ley de Newton, que peite calcula la fueza esultante que actúa sobe una patícula de asa constante. Las fuezas pueden defoa a los objetos y/o odifica su estado de eposo o de oviiento y adeás, en algunos casos, pueden hace que gien, tal es el caso de abi y cea una pueta. El efecto de gio que povocan las fuezas sobe los objetos es tanto ás acusado cuanto ayo sea el ódulo de la fueza aplicada y ayo sea la distancia desde un punto fijo hasta la ecta diectiz de la fueza aplicada. Paa caacteiza el efecto giatoio de las fuezas sobe los objetos se define la agnitud vectoial oento de una fueza especto de un punto M. El vecto es un vecto de posición que tiene po oigen el punto y po exteo el oigen del vecto fueza. El oento de una fueza especto de un punto es un vecto pependicula al plano que deteinan el vecto de posición y el vecto fueza,, y cuyo sentido coincide con el del avance de un sacacochos que gia desde el pie vecto,, sobe el segundo vecto,, siguiendo el caino ás coto. Su ódulo es: dp d( v) = = = dv dt dt dt = a Moento M de una fueza especto de un punto es igual al poducto vectoial: M = x. M = sen ϕ =d =d o Donde d es la distancia desde el punto a la ecta diectiz del vecto. M o d a El oento de una fueza especto de un punto es un vecto. ϕ ϕ Su unidad en el SI es: N. El vecto oento de una fueza especto de un punto es independiente de la posición en la que se encuente el vecto fueza en su ecta diectiz, siepe y cuando no se cabie su sentido. Si sobe un objeto actúan un conjunto de fuezas, entonces el oento de la fueza esultante especto de un punto es igual a la sua de los oentos de cada una de las fuezas especto del iso punto.

14 Inteacción gavitatoia Moento angula Paa descibi, con ayo detalle, el oviiento cuvilíneo de una patícula se define una nueva agnitud denoinada oento angula, L, llaada tabién oento cinético o oento de la cantidad de oviiento. Sea una patícula de asa, que lleva una velocidad v y con un vecto de posición especto del oigen de un sistea de efeencia. Se define oento angula L de una patícula de asa especto de un punto al oento de la cantidad de oviiento, p, de la patícula especto del iso punto. L = x p= x v L o p = v a El vecto oento angula es pependicula al plano que deliita el vecto de posición y el vecto velocidad. ϕ El oento angula es un vecto pependicula al plano que deteinan el vecto de posición y vecto velocidad v y cuyo sentido es el indicado po la egla de Maxwell, que coincide con el avance de un sacacochos al voltea el vecto sobe el vecto v po caino ás coto. Su unidad en el SI es kg /s. El ódulo del oento angula es: 0 0 L = L = v senϕ Con ν el ángulo deliitado po los vectoes y v. Si la tayectoia de la patícula está contenida en un plano y el oigen del sistea de efeencia está contenido en ese plano, entonces el vecto oento angula L es siepe pependicula a dicho plano. El oento angula depende del punto especto del que se deteina. Esta agnitud desepeña en otación el iso papel que la cantidad de oviiento en el oviiento de taslación. ACIVIDADES RESUELAS Calcula el oento angula de la iea especto al cento del Sol, consideando a la óbita de la iea coo cicula. Datos: M iea = kg; óbita = 1, k. La velocidad de taslación de la iea alededo del Sol es: v= 8 π π 1,5 10 k = 65 días 4 h / día 600 s / h =0 k s = 10 4 s Consideando a la iea y al Sol coo objetos puntuales y suponiendo que la óbita de la iea es cicula, entonces el vecto posición y el vecto velocidad de la iea especto del Sol son siepe pependiculaes. Po tanto, el oento angula de la iea especto del Sol es un vecto pependicula al plano de la óbita del planeta, cuyo ódulo es: L = x v = v sen 90º = 1, kg 10 4 / s =, kg / s

15 0 Unidad 1 7. Ley de consevación del oento angula: fuezas centales M o a El vecto oento de una fueza es pependicula al plano que definen los vectoes de posición y fueza. Moviiento de una patícula aslación = a p = v dp dt = Σ = 0 p = constante L o = constante Rotación M o = x L o = x p dl o dt = M o Σ M o = 0 L o = constante El vecto oento angula de una patícula especto de un punto se puede odifica si cabia el vecto de posición, si se altea el vecto oento lineal, o si se poduce una vaiación de la oientación ente abos. d L dt El pie suando es igual a ceo, ya que vecto d/dt=v es paalelo al vecto cantidad de oviiento p= v. El segundo suando es igual al vecto oento M de la fueza que actúa sobe la patícula especto del oigen del sistea de efeencia. d L dt d( x p) = = d dt dt xp+ = x dp dt x dp dt = x a = x= M Expesión denoinada ecuación fundaental de la dináica de otación paa una patícula y es seejante a la segunda ley de Newton en taslación. La vaiación del oento angula de una patícula con especto a un punto, en el tanscuso del tiepo, es igual al oento de la fueza esultante, que actúa sobe ella, especto del iso punto. De la ecuación fundaental de la dináica de otación se deduce que el oento angula de la patícula especto de un punto peanece constante si la fueza esultante que actúa sobe la patícula es igual a ceo, si el vecto de posición es nulo, o cuando la fueza esultante tiene la isa diección que el vecto de posición de la patícula. dl x= M = = 0 L = x p = constante dt Un caso especial de consevación del oento angula es en el oviiento de una patícula po la acción de una fueza cental. Una fueza es cental cuando la diección del vecto fueza pasa po un punto fijo, denoinado cento de fuezas, y su ódulo es función solaente de la distancia desde el cento de fuezas a la patícula consideada. u v = () u a El oento angula de una patícula especto de un punto peanece constante si el vecto de posición y el vecto fueza son paalelos. El vecto u es un vecto unitaio en la diección adial a pati del cento de fuezas. La inteacción gavitatoia es una fueza cental. Si una patícula se ueve po la acción de una fueza cental, su oento angula con especto del cento de fuezas peanece constante, ya que el vecto fueza y el vecto de posición de la patícula especto de dicho punto son paalelos.

16 Inteacción gavitatoia 1 8. La ley de Gavitación y las leyes de Keple Newton dedujo su ley de gavitación aplicando las leyes de Keple. Es lógico pensa que lo iso se pueda ealiza a la invesa. Paa ello, se aplican las popiedades de las fuezas centales y la dináica del oviiento cicula. - Piea ley de Keple La fueza con la que actúa el Sol sobe los planetas es una fueza cental, ya que tiene la isa diección que el vecto de posición del planeta especto del Sol. Po tanto, el vecto oento angula de un planeta especto del Sol peanece constante a lo lago de toda la tayectoia. L Sol = x p= x v = constante L sol = constante Sol Planeta a Duante el oviiento de un planeta su oento angula especto del Sol peanece constante. Si la diección y el sentido del oento angula son constantes, entonces los vectoes yv están siepe contenidos en el iso plano y la tayectoia descita po el planeta es una cuva plana, que se ecoe siguiendo siepe el iso sentido. - Segunda ley de Keple Sea una patícula, un planeta, que en un instante t está en la posición P, siendo el vecto de posición y en un instante posteio, t + dt, se encuenta en ota posición P, definida po el vecto de posición +d. El ódulo del poducto vectoial de dos vectoes coincide con el áea del paalelogao que deliitan. Po tanto, el áea del tiángulo que deliitan los vectoes yd es igual a la itad del valo del ódulo de su poducto vectoial. P L o + d d P ds= 1 xd =1 x v dt Coo el oento angula del planeta especto del Sol peanece constante: L =x v = constante, se cuple que: ds dt = L = constante Lo que significa que el áea baida po unidad de tiepo po vecto de posición de un planeta especto del Sol, llaada velocidad aeola, es una cantidad constante, que es ota foa de enuncia la segunda ley de Keple. Al se el ódulo del oento angula de un planeta especto del Sol constante y coo el vecto de posición del planeta especto del Sol es pependicula al vecto velocidad, se puede elaciona la velocidad de un planeta con su distancia al Sol paa dos puntos cualesquiea de la óbita. L = L v sen ϕ 1 = v sen ϕ ds dt = 1 x v a El áea del tiángulo es igual a la itad del valo nuéico del poducto vectoial de los vectoes que lo deliitan. v 1 áxia Sol v ínia a Cuanto ayo es la distancia de un planeta al Sol, eno es su velocidad.

17 Unidad 1 - ecea ley de Keple v Planeta Sobe los planetas solaente actúa la fueza de inteacción gavitatoia debida al Sol. Aplicando la segunda ley de Newton y consideando a la óbita coo cicula, se tiene que: Sol Σ = a ; G Sol planeta n planeta v planeta = planeta G Sol = v planeta a La inteacción gavitatoia popociona la fueza centípeta que antiene a un planeta en su óbita. La elación ente la velocidad y el peíodo es: v = π Sustituyendo: G Sol 4 π 4 π = = = constante G Sol Cantidad que solaente depende de la asa del asto cental. De esta foa se justifica el que Keple otogaa al Sol la causa del oviiento de los planetas. El valo de la constante sólo depende de la asa del Sol y es independiente de la asa y del oviiento de los planetas. De igual foa, al aplica la tecea ley de Keple a un planeta y al conjunto de sus satélites, el valo de la constante sólo depende de la asa del planeta. ACIVIDADES RESUELAS La iea en su peihelio, punto ás cecano al Sol, está a una distancia de 147 illones de k del Sol y tiene una velocidad de 0, k/s. Cuál es la velocidad de la iea en su afelio, punto ás alejado del Sol, si dista 15 illones de k del Sol? La diección de la fueza con la que actúa el Sol sobe la iea coincide con la diección del vecto de posición de la iea especto del Sol, po lo que el oento angula de v afelio la iea especto del Sol peanece constante a lo lago de toda la tayectoia. Sol L = L peihelio afelio peihelio afelio Aplicando la definición de oento angula y coo el vecto de posición es pependicula a la velocidad, se tiene: peihelio v peihelio = afelio x x v afelio peihelio v peihelio = afelio v afelio v peihelio Sustituyendo: k 0, k/s = k v afelio v v afelio = 9, k/s Calcula el peíodo de la estación espacial intenacional (ISS), sabiendo que gia en una óbita situada a una distancia edia de 400 k sobe la supeficie de la iea. Datos: R iea = 6 70 k, g 0, iea = 9,8 /s. El adio de la óbita es: = R iea k = = 6, π Aplicando la tecea ley de Keple y coo iea g, se tiene que el peíodo es: 0= G = G iea R iea = π = π = π G g R iea 0 iea (6,77 10 ) 9,8 / s (6, ) 6 = 5,6 10 s = 9 in

18 Inteacción gavitatoia 9. Satélites geoestacionaios Se denoina óbita geoestacionaia a la óbita en la que el peíodo de taslación de un satélite es igual al peíodo de otación de la iea. = 4 h = 8, s Estos satélites antienen su posición elativa especto de un punto de la iea, po lo que se utilizan coo epetidoes de las señales electoagnéticas en counicación. Aplicando la segunda ley de Newton a la óbita, de adio, y coo: v= π y iea g, se tiene que: 0= G R iea Σ = a ; G planeta n iea v G iea 4 π = = iea 0 Riea Despejando: = G = g 4 π 4 π Sustituyendo se tiene que el adio de la óbita es: a Los satélites de counicación y algunos satélites eteoológicos se sitúan en la óbita geoestacionaia. Paa la obsevación ás detallada y paa latitudes supeioes a 60 º se colocan en óbita cicupola de 800 k de altua. 4 9,8 / s ( ) (8,64 10 s) = = 4, 10 7 = 4 00 k 4 π Po lo que la altua del satélite sobe la supeficie de la iea es: h = - R iea = 4 00 k k = 5 80 k k Paa que la óbita de un satélite sea estable el plano que la contiene debe contene el cento de la iea, ya que en caso contaio la diección del vecto fueza y del vecto de posición del satélite especto del cento de la óbita no son paalelos y el oento angula del satélite especto del cento de la óbita no se consevaía. L 0 v a La óbita de un satélite geoestacionaio está en la vetical del ecuado teeste. Coo el peíodo de un satélite geoestacionaio es el iso que el de la iea, su óbita está en la vetical de un punto del ecuado teeste y no puede esta situado sobe la vetical de un punto de España. Ipotante El plano de la óbita de un satélite debe contene al cento de la iea.

19 4 Unidad El fenóeno de las aeas Se denoina aea al ascenso y descenso peiódicos de todas las aguas oceánicas, incluyendo las de los aes abietos, las de los golfos y las de las bahías, esultado de la atacción gavitatoia de la y del Sol sobe el agua y la popia iea. La piea explicación coecta del fenóeno de las aeas la dio Newton, al asocialo a la influencia de la inteacción gavitatoia ente la iea y la. Maeas lunaes Una pesona ontada en un tiovivo obseva que tiende a se expulsado de la platafoa con ayo intensidad cuanto ás alejada esté del cento de la isa. Paa justifica esta obsevación, desde un sistea de efeencia no inecial, la pesona debe intoduci una fueza de inecia, denoinada fueza centífuga, que le epuja hacia afuea. a Playa de la Concha (San Sebastián). centífuga a Paa un obsevado no inecial el objeto está en eposo y debe intoduci la fueza centífuga, fueza ficticia, que equilibe a la tensión. Sisteas de efeencia Un sistea de efeencia es inecial cuando está en eposo o su oviiento es ectilíneo unifoe. En este sistea se aplican las leyes de Newton. A un obsevado situado en un sistea aniado con aceleación se le denoina no inecial. En estos sisteas no son válidas las leyes de Newton, paa aplicalas debe intoduci una fueza ficticia o fueza de inecia. La inecia hace que al gia un balón ojado las patículas de agua se despenden de su supeficie. De igual foa el oviiento de otación de la iea povoca que el agua de los océanos tienda a sali despendida, peo no lo consigue debido a la atacción gavitatoia de la popia iea. Este efecto es ayo en los puntos póxios al ecuado teeste. La iea y la foan un sistea que se antiene unido po la inteacción gavitatoia. Si dejan de considease a los dos astos coo objetos puntuales, el sistea gia en tono a un cento coún que está situado dento de la iea y a una distancia de su cento de /4 del adio teeste. Adeás, todos los puntos de la supeficie de la iea están afectados po la atacción de la con una fueza tanto ás intensa cuanto ás ceca estén de ésta. La cobinación de los dos fenóenos (la difeencia de la atacción luna y la fueza centífuga) hace que las egiones oceánicas situadas en la caa de la iea oientada a la se acequen hacia el satélite, po lo que se encuentan en pleaa. A su vez, las egiones que se encuentan en la caa opuesta de la iea se alejan del satélite y tabién se encuentan en pleaa. Si la iea estuviea cubieta totalente de agua se defoaía hasta tene la foa de un elipsoide alineado con el sistea iea-. Debido a los oviientos de la iea y de la la coponente de aea luna se anifiesta con un peíodo de 1 hoas y 0 inutos, apoxiadaente.

20 Inteacción gavitatoia 5 Maeas solaes El Sol tabién inteviene de anea diecta en el fenóeno de las aeas, con un peíodo de 4 hoas. El que la asa del Sol sea 7 illones de veces ayo que la de la y esté situado veces ás lejos, no basta paa explica que su efecto sobe las aguas del océano sea un 45 % eno que el efecto poducido po la. R ( R) ( + R) iea a Son uy faosas y espectaculaes las aeas del onte Saint-Michel. En este luga son noales unas aeas de 9. Esta eno contibución del Sol al efecto de aea se debe a que la difeencia ente los ódulos de las fuezas con que actúa la sobe el océano ás póxio a ella y el ás alejado es ucho ayo que la coespondiente difeencia paa el caso del Sol. Maeas vivas y aeas uetas La agnitud de la aea es el esultado de la cobinación de los dos elipsoides de defoación geneados, po lo que la agnitud de la isa depende de las posiciones elativas del Sol y de la especto de la iea en un instante dado. Duante los peíodos de luna nueva y luna llena, el Sol, la y la iea están alineados, los dos efectos se suan y se tienen las aeas vivas. En ellas las aeas altas ascienden ás y las aeas bajas descienden ás de lo habitual. Cuando la está en fase de cuato enguante o de cuato ceciente, el Sol, la y la iea foan un ángulo ecto y se tienen las aeas uetas. En este estado de los astos la aea alta es ás baja y la baja ás alta de lo noal. El taaño de la aea tabién está altaente influenciado po la estuctua de la costa y de los océanos. Así, no son copaables las aeas del a Mediteáneo, a ceado, con las que se poducen en el océano Atlántico y en el a Cantábico. iea Sol iea Sol Maea ueta Maea viva

21 6 Unidad 1 PARA SABER MÁS El fenóeno de la ingavidez Con fecuencia obsevaos iágenes de astonautas y objetos que flotan en el aie dento de las naves espaciales en estado de ingavidez. El téino de ingavidez no es coecto poque la fueza de atacción gavitatoia con la que actúa la iea sobe los astonautas no se hace igual a ceo y po tanto las pesonas y los objetos que están dento de la nave tienen peso. La elación ente el peso de un astonauta en la supeficie de la iea y dento de la estación espacial intenacional, ISS, po ejeplo, que gia en una óbita situada a 400 k de la supeficie de la iea es: a Astonauta en abiente de ingavidez. P P óbita suelo G Miea ( = R iea+h) G Miea R iea astonauta astonauta iea R = ( R +h) iea Sustituyendo po sus valoes: P P óbita suelo = (6 70 k) (6 70 k+ 400 k) =089, El astonauta y todos los objetos de la nave pesan solaente un 11 % enos que en el suelo. Po tanto, la lejanía de la nave no es suficiente explicación de la apaente pédida del peso a = 0 P a Ascenso paado P a = g Ascenso en caída libe Peso apaente La sensación que teneos de nuesto popio peso poviene de las fuezas que lo equiliban. Así, al esta sentados sentios la fueza con la que actúa la silla, que equiliba a nuesto peso e ipide que caigaos al suelo. Al pesanos en una báscula de baño, su esote se copie paa equiliba a nuesto peso. Esa copesión peite deteina el valo del peso con un apaato que se haya calibado aplicando la ley de Hooke. Peo veaos qué ocue al pesanos o al pesa un objeto con un dinaóeto en el inteio de un ascenso. Si el ascenso está en eposo, el dinaóeto indica una cantidad igual al peso de objeto. Si el ascenso desciende con una aceleación igual a la de la gavedad, no hay ninguna fueza que equilibe al peso y el dinaóeto indica una cantidad igual a ceo. Apaenteente nosotos y los objetos que están dento del ascenso no pesaos nada. A esta situación se le denoina ingavidez, ás coectaente, falta apaente de peso, y es la que expeientan los astonautas cuando se ueven en óbita alededo de la iea.

22 Inteacción gavitatoia 7 Ingavidez en óbita Sobe una nave espacial que descibe una óbita cicula en tono a la iea actúa la inteacción gavitatoia, que es la fueza centípeta necesaia paa que el oviiento cicula tenga luga. La nave espacial lleva un oviiento continuo de caída libe hacia la supeficie de la iea siguiendo una cuva ceada. La nave espacial y el astonauta se ueven en caída libe hacia la iea con la isa aceleación y po ello sobe el astonauta y los objetos de la nave no actúa ninguna fueza que equilibe a su peso. Ésa es la azón po la que apaenteente no pesan nada. Ujfssb a V bujuf noal Ceación de abientes de ingavidez Los científicos genean abientes de ingavidez poduciendo situaciones de caída libe hacia la supeficie de la iea de difeentes foas: a bodo de naves espaciales, en vuelos paabólicos con aeonaves, en la caída libe desde el espacio po edio de cohetes sondas y con toes de caída libe. a Sobe el satélite y los objetos que contiene solaente actúa la inteacción gavitatoia. Los satélites en óbita popocionan condiciones de ingavidez duante peíodos lagos y continuos de tiepo. Con cohetes se genean peíodos de caída libe, duante su descenso, con una duación de hasta 0 inutos. La Agencia Espacial Euopea utiliza un avión Aibus 00 paa popociona condiciones de ingavidez ediante vuelos paabólicos. El avión sube hasta unos 8 000, paa descende ápidaente. Al baja hasta la altua adecuada, el avión vuelve a ascende paa epeti el ciclo. Así se consiguen peíodos de caída libe de una duación de edio inuto que se pueden epeti sucesivaente. Es coo si las pesonas y objetos se oviean dento de una ontaña usa gigante. abién hay instalaciones sobe la supeficie de la tiea. Consisten en toes de ás de 100 de alto, dento de las cuales se dejan cae objetos que expeientan una caída libe duante vaios segundos. La gavedad afecta a todos los pocesos biológicos, físicos y quíicos sobe la supeficie de la iea. Los abientes de ingavidez popocionan un entono adecuado paa desentaña copotaientos de las sustancias que quedan enascaados po la gavedad. De esta foa se aben nuevos hoizontes de expeientación en edicina, biología, ecánica de fluidos, cobustiones, copotaiento de ateiales, etc. El fenóeno de la ingavidez poduce incoodidades a los astonautas a la hoa de ealiza sus actividades diaias. Peo, lo que ás peocupa a los édicos son los tastonos en su oganiso, y sobe todo la pédida de asa ósea. tos tastonos son la disinución de glóbulos ojos, la debilidad uscula y los pobleas psicológicos deivados del encieo en habitáculos de diensiones educidas. Paa palia los efectos de la ingavidez, los astonautas siguen diaiaente pogaas con ejecicios físicos uy específicos. a Geneación de abientes de ingavidez.

23 8 Unidad 1 ACIVIDADES INALES 1. Si se descubiea un planeta situado a una distancia del Sol diez veces ayo que la distancia a la que se encuenta la iea, cuántos años teestes tadaía en ecoe su óbita?. Calcula la asa del Sol sabiendo que la constante de la tecea ley de Keple paa los planetas del sistea sola tiene el valo de, /s.. La asa de Júpite es 18 veces la de la iea, su adio edio es 10,85 veces el teeste y su distancia edia al Sol es 5, veces la de la iea. Con estos datos calcula el peíodo obital en tono al Sol en elación a un año teeste y el valo de la gavedad en su supeficie en elación al de la iea. 4. Dos satélites de counicaciones A y B ( A > B ) gian alededo de la iea en óbitas ciculaes de distinto adio (R A < R B ). Se pide: a) Cuál de los dos se oveá con ayo velocidad lineal? b) Cuál de los dos tendá ayo peíodo de evolución? 5. Dos satélites de igual asa obitan en tono a un planeta de asa ucho ayo siguiendo óbitas ciculaes coplanaias de adios R y R y ecoiendo abos las óbitas en sentidos contaios. Calcula la elación ente sus peiodos y ente sus oentos angulaes (ódulo, diección y sentido). 6. Se tienen dos satélites iguales, de la isa asa, uno gia en una óbita cicula alededo de la iea y el oto en tono a Mate. Cuál es la elación ente los adios de las óbitas si abos tienen el iso peíodo? Supongaos ahoa que los dos satélites gian en óbitas del iso adio, cada uno alededo de su planeta. Cuál es la elación ente los oentos angulaes coespondientes? Datos: Mate = 0,11 iea ; R Mate = 0,5 R iea. 7. Un planeta descibe una óbita cicula de adio k con un peíodo de otación años en tono a una estella de asa ucho ayo. Calcula la asa de la estella. 8. Euopa, satélite de Júpite, fue descubieto po Galileo en Sabiendo que el adio de la óbita que descibe es de 6, k y su peíodo de días, 1 hoas y 1 inutos, calcula la velocidad de Euopa elativa a Júpite y la asa del planeta. 9. El diáeto de la es la cuata pate del de la iea y su asa es 1/81 de la asa de la iea. Con qué velocidad llegaá a la supeficie de la un objeto que se deja cae desde una altua de 5? 10. Supón que la iea edujese su adio a la itad anteniendo su asa. Auentaía el valo de la aceación de la gavedad en su supeficie? Se odificaía sustancialente su óbita alededo del Sol? 11. Calcula el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie del planeta Mecuio, sabiendo que su adio es igual a la tecea pate del adio teeste y que su densidad es igual a /5 de la densidad de la iea. 1. La aceleación de la gavedad en un planeta es 5 /s. Si su adio es igual a la itad del adio teeste, calcula la elación de su asa con la asa de la iea. 1. Un planeta de foa esféica tiene un adio de 000 k y la aceleación de la gavedad en su supeficie es 6 /s. Calcula su densidad edia. 14. Un cuepo de asa 100 kg está situado en la supeficie de la iea. Cuál es su peso? Si se duplicaa el adio de la iea, anteniendo la asa de ésta, cuál seía entonces el peso del cuepo? Si se duplicaa el adio de la iea, anteniendo constante su densidad edia, cuál seía en tal caso el peso del objeto? 15. En dos de los vétices de un tiángulo equiláteo de 1 de lado hay colocadas sendas asas de kg cada una. Calcula el ódulo, la diección y el sentido de la fueza con la que actúan sobe ota asa de 5 kg colocada en el oto vétice.

24 Inteacción gavitatoia es asas puntuales de 1 kg están situadas en tes vétices de un cuadado de 1 de lado. Qué fueza actúa sobe una cuata asa de 1 kg colocada en el oto vétice? 17. Dos puntos ateiales de asas y espectivaente se encuentan la una distancia de 1. Dónde habá que coloca oto objeto paa que esté en equilibio? 18. La descibe una óbita cicula en tono a la iea en 8 días. Si la asa de la iea es 6, kg calcula la distancia ente los centos de la iea y la. Cuál es el valo de la asa de la sabiendo que una patícula de asa podía esta en equilibio en un punto alineado con los centos de la iea y de la, a una distancia del cento de la iea de,4 10 8? 19. Un planeta obita alededo de una estella de asa ucho ayo. La distancia ás póxia es R Póxia = k y la ás alejada es R Alejado = 1, k. Calcula la elación ente las velocidades del planeta en los puntos ás póxio, P, y ás alejado, A. 0. Dos satélites, A y B, gian alededo de un planeta siguiendo óbitas ciculaes de adios 10 8 y , espectivaente. Calcula la elación ente sus velocidades tangenciales espectivas. 1. La nave espacial del pie vuelo tipulado chino obitó la iea a una distancia de 0 k de su supeficie. Calcula el peíodo obital de la nave y su velocidad en la óbita, supuesta cicula.. Un satélite atificial descibe una óbita cicula de adio R iea en tono a la iea. Calcula su velocidad obital y el peso del satélite en la óbita si en la supeficie de la iea pesa N. Dato: R iea = k.. La distancia iea- es apoxiadaente 60 R, siendo R el adio de la iea, igual a k. Calcula la velocidad lineal de la en su oviiento alededo de la iea y el coespondiente peíodo de otación en días. La asa de la iea es: 5, kg. 4. Una sonda espacial obita en tono a Mate ecoiendo una óbita copleta cada 7,5 hoas, siendo su asa 10 kg. Sabiendo que el adio del planeta Mate es de 90 k y que su asa es igual a 6,41 10 kg y suponiendo que la óbita es cicula, calcula su adio y la velocidad con que la ecoe la sonda. En ealidad, esta sonda descibe una óbita elíptica de foa que pueda apoxiase lo suficiente al planeta coo paa fotogafia su supeficie. La distancia a la supeficie aciana en el punto ás póxio es de 58 k y de k en el punto ás alejado. btén la elación ente las velocidades de la sonda en estos dos puntos. 5. En el año 1957 la extinta Unión Soviética lanzó al espacio el pie satélite atificial de la histoia, el Sputnik 1. El satélite pesaba 8 kg y dio óbitas alededo de la iea con un peíodo de 96, in. Calcula el oento angula del satélite especto de la iea. 6. Un satélite gia alededo de la iea en una óbita cicula de k de adio. Si el adio de la iea es igual a 6 70 k y la aceleación de la gavedad en su supeficie 9,8 /s, calcula el valo de la aceleación de la gavedad en la óbita y la velocidad angula del satélite. 7. Si la asa de Mate es apoxiadaente la décia pate de la iea y su peíodo de otación en tono a su eje es apoxiadaente igual al de la iea, calcula el adio de la óbita de un satélite geoestacionaio obitando sobe el ecuado de Mate. 8. Desde un luga situado a una distancia del cento de la iea igual a 5/4 del adio teeste, se desea pone en óbita un satélite. Qué velocidad inicial hay que counicale? Cuál es el peíodo del satélite? Datos: g 0 = 9,8 /s ; R iea = 6 70 K.