AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS CUADRADOS USANDO MATLAB. María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro

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1 AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS CUADRADOS USANDO MATLAB María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Universidad Nacional de La Pampa. Uruguay (6300) - Santa Rosa (LP) - Argentina. mavacheri@exactas.unlpam.edu.ar - Tel: Fax: Tema: Experiencia de Cátedra en docencia e investigación en matemática. Trabajo Original. RESUMEN A menudo se dispondrá de un conjunto de datos representados por puntos y se deseará ajustar curvas a dicho conjunto de datos. Los métodos desarrollados para el ajuste de curvas dependen de la incertidumbre de los datos. El objetivo de este trabajo es introducir a los alumnos de Cálculo Numérico, en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la regresión con mínimos cuadrados en la solución de problemas de ingeniería, de física y de matemática aplicada, en general, utilizando el paquete MATLAB. Esta técnica, les permitirá resolver diferentes problemas científicos y tecnológicos, entre los que se encuentran los problemas que se deben afrontar frecuentemente en la práctica de la ingeniería. Además de que se espera que los alumnos asimilen y dominen los conceptos específicos impartidos referidos a la regresión, se pretende que comprueben lo indispensable de la utilización de la computadora para resolver este tipo de problemas. También se espera, a partir de las distintas actividades propuestas a realizar por los alumnos, que observen y reconozcan cuándo la regresión con mínimos cuadrados resulta apropiada, arribando así a resultados satisfactorios. En resumen, se espera que los alumnos hayan aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser capaces de escoger el mejor método (o métodos) para resolver los problemas que se les presenten. INTRODUCCIÓN Durante el desarrollo del curso "Cálculo Numérico" describimos los métodos numéricos aplicados, a alumnos de tercer año de las carreras: Ingeniería en Electrónica, Ingeniería Civil, Licenciatura en Física y Profesorado en Matemática. Entre los objetivos propuestos en este curso podemos citar los siguientes: 1. que sea fácilmente comprensible para los alumnos con un conocimiento mínimo de matemáticas; 2. capacitar a los alumnos para que practiquen los métodos numéricos en una computadora; 3. elaborar programas simples que puedan usarse de manera sencilla en aplicaciones científicas; 4. proporcionar software que resulte fácil de comprender. La importancia de los métodos numéricos ha aumentado de forma drástica en la enseñanza de la ingeniería y la ciencia, lo cual refleja el uso actual y sin precedentes de las computadoras. El desarrollo de un programa siempre es importante en el aprendizaje de métodos numéricos. Cuando los alumnos implementen con buen resultado los métodos numéricos en una computadora personal y los apliquen para resolver problemas que de otro modo resultan intratables, entonces tendrán una demostración tangible de cómo les pueden ayudar las computadoras para su desarrollo profesional. Nuestra actitud previa era que cualquier lenguaje de programación que los alumnos supieran podría resultar adecuado. Sin embargo, teniendo en cuenta que muchos de los alumnos que se matriculan en este curso no han aprendido o no tienen la práctica suficiente de computación, que el paquete MATLAB se ha convertido en una herramienta para casi todos los campos de la ingeniería y de la matemática aplicada, y que sus versiones nuevas han mejorado los aspectos de programación, hemos pensado que los alumnos emplearán su tiempo de manera más fácil y productiva si utilizan este paquete. Como profesores responsables del dictado de la asignatura "Cálculo Numérico", hemos implementado en la misma el uso del paquete MATLAB, versión 5.1, lo cual nos ha facilitado el proceso de enseñanza - aprendizaje de los métodos numéricos desarrollados a lo largo de todo el curso. DESARROLLO En la ciencia y en la ingeniería se da, a menudo, el caso de que un experimento produce un conjunto de datos (x 1, y 1 ),,(x n, y n ), siendo las abscisas {x i } distintas entre sí. Uno de los objetivos del 1

2 cálculo numérico es la determinación de una fórmula y = f(x) que relacione las variables. Normalmente se dispone de una clase de fórmulas previamente establecidas, y lo que hay que hallar son los valores más adecuados de unos coeficientes o de unos parámetros para estas fórmulas. Aunque hay muchos tipos distintos de funciones que se pueden usar, suele ocurrir que existe un modelo matemático subyacente basado en la situación física que se esté estudiando, que determina la forma de la función salvo algunos coeficientes. Los alumnos han visto cómo se construye un polinomio cuya gráfica pase por todos los puntos de un conjunto dado. Si todos los valores {x i }, {y i } se conocen con una precisión de varias cifras significativas, entonces la interpolación polinomial produce buenos resultados, lo que no ocurre en otras circunstancias. Algunos experimentos se llevan a cabo con una maquinaria especializada que permite obtener los datos con varias cifras significativas de precisión; sin embargo, muchos experimentos se realizan con un equipamiento de, como mucho, dos o tres cifras significativas. A ésto se añade, a menudo, un cierto error experimental de las mediciones de forma que, aunque se calculen tres o cuatro cifras de los valores {x i } e {y i }, sucede que el valor exacto f (x i ) verifica f (x i ) = y i + c i, donde c i es el error de la medición. Cómo se encuentra la mejor aproximación que pase cerca (no por encima de cada uno) de los puntos?. Para responder a esta pregunta introducimos el concepto del error cuadrático medio. Un ajuste óptimo es aquél que minimiza este error (problema de mínimos cuadrados). El error cuadrático medio es la elección tradicional porque es mucho más fácil de minimizar computacionalmente que otros errores (por ejemplo, error máximo y error medio). El enfoque de mínimos cuadrados le da mucho más peso a un punto que está fuera de la tendencia de los datos, pero no permite que el punto domine completamente a la aproximación. Con base en la teoría estadística, con este método, conocido con el nombre de regresión con mínimos cuadrados, se encuentra algún tipo de función que con mayor probabilidad se aproxima a los valores verdaderos. Hemos desarrollado la teoría básica para investigar todo lo referido al ajuste de curvas por medio de la regresión con mínimos cuadrados. Primero se aprendió a ajustar "la mejor" línea recta a través de un conjunto de datos inciertos (regresión lineal). Luego se analizó el ajuste potencial, se estudió una técnica general para ajustar "al mejor" polinomio (regresión polinomial) y se analizó el hecho de que en algunos casos es más apropiado efectuar transformaciones que expresen los datos de manera que sean compatibles con la regresión lineal. Presentamos una amplia variedad de problemas que ayudarán a mejorar las habilidades de los alumnos, tanto en el conocimiento de la teoría como en la práctica del ajuste de curvas por medio de la regresión con mínimos cuadrados. Con la misma finalidad presentamos además, algunas actividades referidas a resolver problemas reales de ingeniería y de matemática aplicada, en general. Las tareas de computación con el paquete MATLAB que proponemos, sirven para que los alumnos tengan la oportunidad de practicar sus habilidades en la computación científica y además, para que los ayude a realizar la componente numérica de los ejercicios que deban resolver en el laboratorio. Los siguientes casos de estudio son una muestra de aquellos que en forma rutinaria se encuentran en los estudios superiores. Más aún, son problemas representativos de aquellos que se encontrarán en la vida profesional. Los cálculos hechos en una computadora deberán ser presentados por los alumnos mediante tablas y gráficos, de manera que les permitan visualizar e interpretar las aproximaciones numéricas obtenidas. La Actividad 1 tomada de la física, muestra cómo se utiliza el ajuste potencial para modelar determinadas situaciones. La Actividad 2 tomada de la ingeniería química, demuestra cómo se puede linealizar un modelo no lineal y ajustarse a datos que usan regresión lineal. La Actividad 3 muestra que si los datos que se deben ajustar no son lineales y no presentan una naturaleza polinomial, entonces puede ocurrir que la curva resultante presente oscilaciones grandes (oscilación polinomial). Esta actividad ilustra entonces, el hecho de que no se suelen usar polinomios de grado seis o mayor, a no ser que se sepa que la función de la que provienen los datos es un polinomio. Actividad 1 En 1601 el astrónomo alemán Johannes Kepler formuló su tercera ley del movimiento planetario, T=Cx 3/2, donde x es la distancia al sol medida en millones de kilómetros, T es el período orbital medido en días y C es una constante. Las parejas de datos (x, T) observados para los primeros cuatro planetas, Mercurio, Venus, La Tierra y Marte, son (58, 88), (108, 225), (150, 365) y (228, 687). Obténgase el coeficiente C por el método de mínimos cuadrados y grafíquese la curva junto con los puntos que representan a los datos. Escríbanse las conclusiones a las que se arribaron. 2

3 Resultados obtenidos por los alumnos: Cálculo de los coeficientes para un ajuste potencial Distancia, x i Período orbital, T i 3/2 T i x i 3 x i : : El coeficiente es C = La curva T = x 3/2 y las parejas de datos se muestran en la siguiente figura El ajuste por mínimos cuadrados para los primeros cuatro planetas, T= x 3/2, usando la tercer ley de Kepler del movimiento planetario. Conclusión a la que arribaron los alumnos luego de realizar esta actividad: El ajuste potencial óptimo en mínimos cuadrados para los cuatro primero planetas usando la tercera ley de Kepler del movimiento planetario, es aceptable. Actividad 2 Los modelos de crecimiento poblacional son importantes en muchos campos de la ingeniería. La suposición de que la tasa de crecimiento de la población (dp/dt) es proporcional a la población actual (p) en el tiempo (t) es de fundamental importancia en muchos de los modelos, en forma de ecuación dp = kp dt, (1) en donde k es un factor de proporcionalidad conocido como la tasa de crecimiento específico y tiene unidades de tiempo -1. Si k es una constante, entonces se puede obtener la solución de la ecuación (1) de la teoría de ecuaciones diferenciales kt p( t) = p0e, (2) en donde p 0 es la población en el tiempo t=0. Se observa que p(t) en la ecuación (2) tiende a infinito a medida que t crece. Este comportamiento es claramente imposible en los sistemas reales. Por lo tanto, se debe modificar el modelo y hacerlo más realista. Primero, se debe reconocer que la tasa de crecimiento específico k no puede ser constante a medida que la población crece. Esto es porque, cuando p tiende a infinito, el organismo que se modela se ve limitado por factores tales como el almacenamiento de comida y producción de desperdicios tóxicos. Una manera de expresar esto matemáticamente es la de usar el modelo de tasa de crecimiento y saturación tal como f k = kmáx, (3) K + f en donde k máx es la máxima tasa de crecimiento posible para valores de comida (f) abundante y K es la constante de semi-saturación. Vemos que cuando K = f, k= k máx /2. Por lo tanto, K es la cantidad de comida disponible que sostiene una tasa de crecimiento poblacional igual a la mitad de la tasa máxima. Las constantes K y k máx son valores empíricos basados en medidas experimentales de k para varios valores de f. Como ejemplo, supóngase que la población p representa una levadura empleada en la producción comercial de cerveza y f es la concentración de la fuente de carbono a fermentarse. Las 3

4 medidas de k contra f de la levadura se muestran en el Cuadro 1. Se necesita calcular k máx y K de estos datos empíricos. Cuadro 1. Datos usados en la evaluación de las constantes en un modelo de promedio de crecimiento de saturación que caracteriza a la cinética microbial. f, mg/l k, días Úsese el procedimiento de mínimos cuadrados lineal para determinar k máx y K y realícese el gráfico correspondiente. Escríbanse además, las conclusiones a las que se arribaron. Observación. La ecuación diferencial resultante se podrá resolver usando los métodos numéricos que analizaremos oportunamente, cuando se conoce f(t). Resultados obtenidos por los alumnos: Datos usados para la regresión lineal f, mg/l k, días -1 1/f, L/mg 1/k,día (1/f) 2, L 2 /mg 2 (1/f)(1/k), L/mg.día : : : : Se obtiene k máx = 1.23 días -1, K = mg/l. De estos resultados, de (3) y de (1), se obtiene dp f = 1.23 p. dt f Linealización del modelo de promedio de saturación. La línea es un ajuste con mínimos cuadrados que se usa en la evaluación de los coeficientes del modelo, k máx =1.23 días -1 y K=22.18mg/L, para levadura en la fabricación de cerveza. Conclusión a la que arribaron los alumnos luego de realizar esta actividad: Si f se aproxima a cero a medida que p crece, entonces dp/dt tiende a cero y la población se estabiliza. 4

5 Actividad 3 Se usa la función f(x)=1.44/x x para generar seis parejas de datos (0.25, 23.1), (1.0, 1.68), (1.5, 1.0), (2.0, 0.84), (2.4, 0.826) y (5.0, ). Obténgase los ajustes mediante polinomios óptimos en mínimos cuadrados, para 2, 3, 4 y 5 grados. Grafíquense, para cada caso, el polinomio óptimo y la función f(x). Escríbanse además, las conclusiones a las que se arribaron. Observación. No deja de ser tentadora la posibilidad de utilizar un polinomio óptimo en el sentido de los mínimos cuadrados para ajustar datos que no son lineales. Pero si los datos no muestran una naturaleza polinomial, puede ocurrir que la curva resultante presente oscilaciones grandes. Este fenómeno llamado oscilación polinomial, se hace más pronunciado conforme aumenta el grado del polinomio, y por esta razón, no se suelen usar polinomios de grado 6 o mayor, a no ser que se sepa que la función de la cual provienen los datos es un polinomio. Resultados obtenidos por los alumnos: P 2 (x) = x x 2 P 3 (x) = x x x 3 P 4 (x) = x x x x 4 P 5 (x) = x x x x x 5 (a) Ajuste de P 2 (x) a los datos (c) Ajuste de P 4 (x) a los datos (b) Ajuste de P 3 (x) a los datos (d) Ajuste de P 5 (x) a los datos Conclusiones a las que arribaron los alumnos luego de desarrollar esta actividad: 1.- P 3 (x), P 4 (x) y P 5 (x) presentan oscilaciones grandes en el intervalo [2, 5]. 2.- P 5 (x) pasa por los seis puntos; sin embargo, es la que peor se aproxima a la función. 3.- El polinomio que se ajusta a los datos y se aproxima a la función es P 2 (x). 5

6 RESULTADOS Y CONCLUSIONES Una vez finalizado el análisis de este tema, los alumnos deben haber aumentado en gran medida sus capacidades en el ajuste de curvas con datos por medio de la regresión con mínimos cuadrados. Tienen la suficiente información para aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas de ingeniería y de matemática aplicada relacionados con esta temática. Deben dominar las distintas técnicas, deben haber aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser capaces de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema. Deben entender la derivación de la regresión lineal con mínimos cuadrados y ser capaces de valorar la confiabilidad del ajuste usando gráficas. Deben comprender el uso del ajuste potencial. Deben saber linealizar datos para llevar a cabo transformaciones y deben entender las situaciones en donde es apropiado usar regresión polinomial. Por último, deben descubrir que los métodos referidos a la interpolación lineal se utilizan, fundamentalmente, cuando se conoce que los datos son muy exactos y deben entonces, asimilar y dominar todos los conceptos relativos al ajuste de curvas por medio de la regresión con mínimos cuadrados. Por otro lado, la implementación por parte de los alumnos de las técnicas analizadas en programas simples, es de gran utilidad como herramienta de aprendizaje de dichas técnicas. El uso del paquete MATLAB mejora a los software utilizados anteriormente, porque además de que ahorra tiempo y esfuerzo en la resolución de una gran variedad de problemas, que las soluciones obtenidas resultan más fiables que las obtenidas manualmente, que es una herramienta para la enseñanza de la matemática, facilita el proceso de enseñanza - aprendizaje aportando una interfaz gráfica visual más didáctica y comprensible. BIBLIOGRAFÍA [1] CHAPRA, S. - CANALE, R., 1992, "Métodos Numéricos para Ingenieros", México, Mc Graw-Hill. [2] GARCÍA MERAYO, F. - NEVOT LUNA, A., 1992, "Análisis Numérico", España, Paraninfo. [3] GERALD, C. - WHEATLEY, P., 2000, "Análisis Numérico con Aplicaciones",.México, Pearson Educación. [4] GORDON, J., 1985, "Algoritmos Numéricos", La Plata. [5] MATHEWS, J. - KURTIS, D., 2000, "Métodos Numéricos con MATLAB", España, Prentice Hall. [6] NAKAMURA, S., 1992, "Métodos Numéricos Aplicados con Software", México, Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. 6