1. Sobre la Matemática Aplicada

Transcripción

1 1. Sobre la No supone ninguna paradoja decir que en nuestras cábalas más teóricas podemos estar acercándonos lo más posible a las aplicaciones más prácticas. A.N. Whitehead No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. N.I. Lobachevsky Clásicamente se admitía la ecuación Matemáticas = Geometría + Álgebra + Análisis bien, pero... dónde está la? Inicialmente en el Análisis: Página 1 de 19 Creado por el afán de comprender ciertos fenómenos naturales La mayoría de las aplicaciones de las matemáticas tenían que ver con el estudio de las fuerzas y su interacción con el entorno La estuvo basada en la obtención y la explotación de la energía existente en la naturaleza

2 Matemáticas y ordenadores La interacción entre áreas se ha mostrado beneficiosa, generando nuevas disciplinas híbridas que han proporcionado herramientas para el estudio de nuevos y más complejos problemas, así como nuevas teorías abstractas de interés en sí mismas como objeto unificador. De este modo, la posibilidad de parcelar el conocimiento matemático se vio dificultada en gran medida. Este hecho se agravó a finales del s. XIX, con el nacimiento de la Lógica Matemática como una disciplina formal. La interacción entre las distintas áreas de las matemáticas entre sí, así como con los ordenadores, propicia el desarrollo de nuevas disciplinas, de interés tanto teórico como práctico: Lógica Algebraica Lógica Geométrica Cálculo Simbólico Geometría Computacional Álgebra Computacional... Página 2 de 19

3 Matemáticas y ordenadores La interacción entre áreas se ha mostrado beneficiosa, generando nuevas disciplinas híbridas que han proporcionado herramientas para el estudio de nuevos y más complejos problemas, así como nuevas teorías abstractas de interés en sí mismas como objeto unificador. De este modo, la posibilidad de parcelar el conocimiento matemático se vio dificultada en gran medida. Este hecho se agravó a finales del s. XIX, con el nacimiento de la Lógica Matemática como una disciplina formal. La interacción entre las distintas áreas de las matemáticas entre sí, así como con los ordenadores, propicia el desarrollo de nuevas disciplinas, de interés tanto teórico como práctico: Lógica Algebraica Lógica Geométrica Cálculo Simbólico Geometría Computacional Álgebra Computacional... Nuevas aplicaciones de las Matemáticas Página 2 de 19 Durante el siglo XX se hizo patente una nueva revolución industrial, en la que el concepto fundamental es la información. Su estudio, generación, almacenamiento, utilización e intercambio, necesita de sólidos fundamentos formales que la Lógica Matemática puede y debe proporcionar. Así pues La también ha de estar basada en la obtención y la explotación de la información

4 Las Matemáticas según la R.A.E. No se incluye en el Diccionario de Autoridades Ciencia, que trata de la quantidad en quanto mensurable; cuyos principales fundamentos son la geometría y aritmética (ed. 1780) Ciencia, que trata de la quantidad en quanto mensurable (ed. 1803) Ciencia que trata de la cantidad (ed. 1832) Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones (ed. 2001) Desde la edición de 1899 se incluyen las siguientes distinciones: Pura: Estudio de la cantidad considerada en abstracto. Aplicada: Estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos. Página 3 de 19

5 2. Teoría de Categorías y Unificación It saddens me that educated people don t even know that my subject exists. Paul Halmos (1916 ) Unificación: un ejemplo motivador Consideremos la ecuación x = 5x. Decimos que s es solución de la ecuación si al sustituir x por s obtenemos el mismo resultado en cada miembro de la ecuación. Ahora bien no todas las ecuaciones o sistemas han de tener solución única 2x + 3y + 4z = 1 4x + 2y + 3z = 1 6x + 5y + 7z = 2 x = 1 8, y = 1 4, z = 0 x = 0, y = 1, z = 1 son soluciones del sistema en estos casos se suele presentar la solución más general, que viene dada por las sustituciones x = λ, y = λ, y z = λ Si abstraemos el significado de los operadores y de las constantes numéricas, podemos expresar el problema de resolver ecuaciones de un modo más general como un problema de unificación de un par de términos: Página 4 de 19

6 Dado un par de expresiones E 1 y E 2 que contienen variables, una solución de la ecuación E 1 = E 2 es una sustitución σ tal que σe 1 = σe 2 σ 1 x a y g(a, a) z g(a, a) es solución de f(g(x, a), h(y)) = f(y, h(z)) σ 2 x h(x) y g(h(x), a) z g(h(x), a) es solución de f(g(x, a), h(y)) = f(y, h(z)) Decimos que un unificador µ es el más general si, dado cualquier otro unificador σ existe una sustitución τ tal que σ = λ τ σ x x y g(x, a) z g(x, a) es u.m.g. de f(g(x, a), h(y)) = f(y, h(z)) Página 5 de 19 Nótese que, en realidad, el concepto de unificación corresponde a la resolución de ecuaciones simbólicas, esto es, UNIFICACIÓN:TÉRMINOS::RESOLUCIÓN:ECUACIONES

7 Mónadas y unificación Una sustitución de variables es una flecha σ: X T Y. sustituciones σ 1 y σ 2 definidas como Por ejemplo, consideremos las σ 1 x f(u, g(a, v)) y b z h(u, c) σ 2 u a v g(s, f(b, s)) w h(g(a, s), f(a, b )) Dadas σ 1 : X T Y y σ 2 : Y T Z, su composición σ 2 σ 1 : X T Z viene dada por σ 2 σ 1 x f(a, g(a, g(s, f(b, s)))) y b z h(a, c) pero no puede corresponder a la composición de las flechas. Para definir la composición σ 2 σ 1 : X T Z, una posibilidad es considerar la siguiente cadena de composiciones: Página 6 de 19 X σ 1 T Y T σ 2 T T Z µ Z T Z (1) pero se necesitan operaciones T Y T σ 2 T T Z y T T Z µ Z T Z

8 Mónadas y unificación Una sustitución de variables es una flecha σ: X T Y. sustituciones σ 1 y σ 2 definidas como Por ejemplo, consideremos las σ 1 x f(u, g(a, v)) y b z h(u, c) σ 2 u a v g(s, f(b, s)) w h(g(a, s), f(a, b )) Dadas σ 1 : X T Y y σ 2 : Y T Z, su composición σ 2 σ 1 : X T Z viene dada por σ 2 σ 1 x f(a, g(a, g(s, f(b, s)))) y b z h(a, c) pero no puede corresponder a la composición de las flechas. Para definir la composición σ 2 σ 1 : X T Z, una posibilidad es considerar la siguiente cadena de composiciones: Página 6 de 19 X σ 1 T Y T σ 2 T T Z µ Z T Z (1) pero se necesitan operaciones T Y T σ 2 T T Z y T T Z µ Z T Z La primera corresponde a la funtorialidad del constructor de términos, y la segunda forma parte del concepto de mónada Es más, (1) es la composición en una categoría de Kleisli

9 Mónadas y unificación Definición: Una mónada en una categoría C es una tupla (F, η, µ), donde F : C C es un funtor, η: id F y µ: F F F son transformaciones naturales para las que: µ X F µ X = µ X µ F X y µ X F η X = µ X η F X = id F X El unificador más general de un sistema de ecuaciones coincide con el concepto de coigualador en la categoría de Kleisli de la mónada de términos. La mónada clásica de términos Dado un conjunto X, las transformaciones η, µ para la mónada clásica de términos se definen como se indica: La unidad es la inclusión La multiplicación es un aplanamiento Página 7 de 19

10 Mónadas y unificación Definición: Una mónada en una categoría C es una tupla (F, η, µ), donde F : C C es un funtor, η: id F y µ: F F F son transformaciones naturales para las que: µ X F µ X = µ X µ F X y µ X F η X = µ X η F X = id F X El unificador más general de un sistema de ecuaciones coincide con el concepto de coigualador en la categoría de Kleisli de la mónada de términos. La mónada clásica de términos Dado un conjunto X, las transformaciones η, µ para la mónada clásica de términos se definen como se indica: La unidad es la inclusión (las variables son términos) La multiplicación es un aplanamiento (los términos de términos son términos) Página 7 de 19

11 Formalizando la imprecisión Existen situaciones en las que una variable puede, en principio, sustituirse por un conjunto de términos, así pues tendríamos sustituciones del tipo [x/{t1, t3, t6}, y/{t2, t3}] En este caso, una sustitución sería una flecha t: X P T Y donde P denota el constructor de partes de un conjunto Al igual que en el caso anterior, la composición de tales sustituciones solo tendría sentido si P T Y es una mónada Página 8 de 19

12 Formalizando la imprecisión Existen situaciones en las que una variable puede, en principio, sustituirse por un conjunto de términos, así pues tendríamos sustituciones del tipo [x/{t1, t3, t6}, y/{t2, t3}] En este caso, una sustitución sería una flecha t: X P T Y donde P denota el constructor de partes de un conjunto Al igual que en el caso anterior, la composición de tales sustituciones solo tendría sentido si P T Y es una mónada Problemas en esta área Definición del concepto de término difuso en un ambiente categórico Funciones características en un retículo Funtores de extensión dotados de estructura de mónada Componibilidad de mónadas Formulaciones alternativas de los teoremas de Beck Técnicas gráficas bidimensionales para los cálculos categóricos relacionados con la composición de mónadas Generalización considerando conjuntos potencia booleanos Consideración de unificadores módulo similaridades Página 8 de 19

13 3. Logic is the hygiene the mathematician practices to keep his ideas healthy and strong. Hermann Weyl ( ) Los problemas que trata la lógica computacional se pueden dividir, esencialmente, en dos tipos: los problemas de deducción y los problemas de construcción de modelos. Problemas de deducción: un ejemplo Consideremos la teoría Ω con los axiomas: x y z(r(x, y) R(y, z) R(x, z)) x y(r(x, y) R(y, x)) El problema que se plantea es que, si siempre que se cumplen los axiomas entonces se cumple también que x(r(x, x)) Solución Página 9 de 19 Estos problemas se pueden expresar más generalmente como Es cierto que una fórmula, digamos A, se deduce de la teoría Ω?

14 Construcción de Modelos: un ejemplo Cinco exploradores regalan caballos en un safari a diferentes tribus. Con los datos que siguen, averigüe el nombre de cada explorador, el safari que realiza, el número de caballos que regala y a qué tribu se los da. Tribu País Explorador Regalo Página 10 de 19

15 Construcción de Modelos: un ejemplo Cinco exploradores regalan caballos en un safari a diferentes tribus. Con los datos que siguen, averigüe el nombre de cada explorador, el safari que realiza, el número de caballos que regala y a qué tribu se los da. Tribu País Explorador Regalo Ni en Uganda ni en Namibia reciben 25 caballos. Ni McGillian ni Oliver dirigen el safari de Tanzania. Henry no regala ni 20 ni 35 caballos. Jones dirige la expedición a Malawi, y no encuentra Hotentotes. Página 10 de 19 Albert se encuentra con una tribu de Bantúes. Los Zulúes no se encuentran en Uganda. McGillian no hace amistad con los Bosquimanos.

16 Construcción de Modelos: un ejemplo Cinco exploradores regalan caballos en un safari a diferentes tribus. Con los datos que siguen, averigüe el nombre de cada explorador, el safari que realiza, el número de caballos que regala y a qué tribu se los da. Tribu País Explorador Regalo Ni en Uganda ni en Namibia reciben 25 caballos. R 25 (x) (Uganda(x) Namibia(x)) Ni McGillian ni Oliver dirigen el safari de Tanzania. T anzania(x) (M cgillian(x) Oliver(x)) Henry no regala ni 20 ni 35 caballos. Henry(x) (R 20 (x) R 35 (x)) Jones dirige la expedición a Malawi, y no encuentra Hotentotes. (Jones(x) P M (x)) Jones(hotentote)) Albert se encuentra con una tribu de Bantúes. Albert(bantu) Los Zulúes no se encuentran en Uganda. U ganda(zulu) McGillian no hace amistad con los Bosquimanos. M cgillian(bosquimano) Página 10 de 19

17 Oliver hace un regalo de 30 caballos. En el safari de Tanzania se encuentran con Pigmeos. Los Hotentotes reciben como regalo 25 caballos. En el safari por Zimbabwe no se entregan ni 35 ni 40 caballos. A los Bosquimanos no les regalan ni 20 ni 30 caballos. Página 11 de 19

18 Oliver hace un regalo de 30 caballos. Oliver(x) R 30 (x) En el safari de Tanzania se encuentran con Pigmeos. T anzania(pigmeo) Los Hotentotes reciben como regalo 25 caballos. R 25 (hotentote) En el safari por Zimbabwe no se entregan ni 35 ni 40 caballos. Zimbabwe(x) (R 35 (x) R 40 (x)) A los Bosquimanos no les regalan ni 20 ni 30 caballos. R 20 (bosquimano) R 30 (bosquimano) Página 11 de 19

19 Oliver hace un regalo de 30 caballos. Oliver(x) R 30 (x) En el safari de Tanzania se encuentran con Pigmeos. T anzania(pigmeo) Los Hotentotes reciben como regalo 25 caballos. R 25 (hotentote) En el safari por Zimbabwe no se entregan ni 35 ni 40 caballos. Zimbabwe(x) (R 35 (x) R 40 (x)) A los Bosquimanos no les regalan ni 20 ni 30 caballos. R 20 (bosquimano) R 30 (bosquimano) La lógica computacional busca: Consolidar la lógica matemática como el lenguaje de representación para la especificación formal de problemas Paliar la dificultad que impone la limitación intrínseca de los problemas de decisión respecto a la eficiencia Métodos algorítmicos para los problemas de decisión y de construcción de modelos Página 11 de 19

20 Investigación en esta área Los dos enfoques existentes de la deducción automática (resolución y tableaux) están excesivamente orientados a la máquina Resolución necesita una transformación previa a forma normal Tableaux es estrictamente anaĺıtico y permite pocas mejoras Una posible solución consiste en introducir teoremas de reducción de las fórmulas para reducirlas antes de aplicar las etapas de mayor complejidad Página 12 de 19

21 Investigación en esta área Los dos enfoques existentes de la deducción automática (resolución y tableaux) están excesivamente orientados a la máquina Resolución necesita una transformación previa a forma normal Tableaux es estrictamente anaĺıtico y permite pocas mejoras Una posible solución consiste en introducir teoremas de reducción de las fórmulas para reducirlas antes de aplicar las etapas de mayor complejidad Aportaciones: Teoremas de reducción y teoría de implicantes e implicados Teoremas de reducción para las siguientes lógicas: Lógica clásica proposicional y de primer orden Lógicas multivaluadas con un número finito de valores de verdad Lógicas temporales con tiempo lineal y discreto Además de usar las herramientas matemáticas específicas para cada tipo de lógica (álgebras de Boole, álgebras de Lukasiewicz, álgebras abstractas de términos,... ), la idea principal consiste en considerar las propiedades algebraicas de los implicantes y de los implicados unitarios de las fórmulas, cuyo comportamiento es similar a los sistemas de generadores en el álgebra lineal. Página 12 de 19 Resolución del problema planteado

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23 Tribu Hotentote Zulú Bantú Pigmeo Bosquimano País Zimbabwe Namibia Uganda Tanzania Madagascar Explorador McGillian Oliver Albert Henry Jones Regalo Página 14 de 19

24 4. Estructuras Algebraicas y Programación Lógica Respecto a la matemática no encuentro ninguna imperfección, salvo quizá en el hecho de que no se comprende suficientemente la utilidad de la matemática pura. F. Bacon ( ) El uso de la lógica como lenguaje de programación comenzó a fomentar el uso de métodos formales. Es posible dotar de una semántica matemática a los programas. En la lógica clásica, el significado de un programa P, su modelo mínimo, es expresable como punto fijo del operador de consecuencia, que es una función monótona y continua. El paradigma clásico La regla de inferencia fundamental en lógica clásica es el Modus Ponens A B A B Página 15 de 19 En programación lógica se trabaja con una forma equivalente, llamada regla de resolución que toma la forma siguiente A B A B

25 Incorporemos factores de confianza Supongamos que los datos están afectados de ciertos pesos A B 0.8 A 0.65 B? Qué factor de confianza debe acompañar a B? Página 16 de 19

26 Incorporemos factores de confianza Supongamos que los datos están afectados de ciertos pesos A B 0.8 A 0.65 B? Qué factor de confianza debe acompañar a B? A diferencia del caso clásico, en lógicas multivaluadas no se mantiene la equivalencia A B A B Diversos enfoques existentes Se han propuesto múltiples extensiones de la programación lógica clásica: multi-valuada, probabilista, posibilista, con anotaciones, etc. Recientemente, se ha introducido un marco de trabajo global para varios paradigmas de programación lógica Su idea: abstraer los detalles particulares y mantener solo los elementos que son necesarios Página 16 de 19 Uso de retículos residuados como motor deductivo

27 Retículos residuados. Retículos multiadjuntos Un retículo residuado es una tupla L,,,, tal que: 1. L, es un retículo acotado y es su máximo 2. L,, es un monoide conmutativo 3. El par, es un par adjunto en L, es decir: La operación es creciente en ambos argumentos La operación decrece en el primer argumento y crece en el segundo Propiedad de adjunción: Para todo x, y, z L, se tiene x (z y) (x z) y La consideración de un entorno más general, en el que convivan distintos tipos de implicaciones ( Lukasiewicz, Gödel, producto) nos lleva de modo natural a la consideración de distintos pares adjuntos en un retículo. Definición: Un retículo multi-adjunto L es una tupla (L,, 1, 1,..., n, n ) que satisface las siguientes condiciones: 1. L, es un retículo acotado; 2. ( i, i ) es un par adjunto en L, para i = 1,..., n; 3. i ϑ = ϑ i = ϑ para todo ϑ L y todo i = 1,..., n. Página 17 de 19

28 Aportaciones Se ha introducido la teoría de las lógicas multi-adjuntas, en la que: Se engloba los paradigmas de programación lógica difusa y residuada Se elimina la exigencia de conmutatividad o asociatividad de los conectivos de conjunción utilizados Se puede trabajar con varios tipos de implicación simultáneamente, lo cual proporciona mayor flexibilidad y poder descriptivo al lenguaje Se han demostrado teoremas de (quasi-)completitud: cualquier respuesta correcta se puede calcular (±ε) Análisis de condiciones de terminación (completitud) Incorporación de ideas del campo de las redes neuronales para la especificación de la semántica de punto fijo Aplicación del marco multi-adjunto a la diagnosis (abducción) Página 18 de 19

29 Y estas son las maravillas que dije que os había de contar. Y si no os lo han parecido, no sé otras Segunda parte del ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha, cap. XXV Página 19 de 19