IINWI&IR A C([))NIlDlIClI([))NAlL I& linwi&ir A G I&NI&IRAILlItzAIlDA IlDI&lUNA MA 1fIRlItzo I& ~lui&ma GI&([))MI&1fIRlIC([)),.

Transcripción

1 IINWI&IR C([))NIlDlIClI([))NlL I& linwi&ir G I&NI&IRILlItzIlD IlDI&lUN M 1fIRlItzo I& ~lui&m GI&([))MI&1fIRlIC([)),. MIGUEL. MRMOLEJO L. PROFESORSISTENTE. DEPRTMENTO DE MTEMTIC. UNIVERSIDD DEL VLLE: COLOMBI. 1. PRELIMINRES El propósito de este apartado es el de fijar alguna terminología y presentar atqunas definiciones que servirán de referencia en el desarrollo del resto del trabajo. 1.1 Cada matriz () = [aij]mxn tiene asociados cuatro espacios a saber: (a) F(), el espacio fila de, (b) N(), el espacio nulo de, (e) C(), el espacio columna de, y (d) N*( t ), el espacio nulo de t. demás se sabe que: ( 1) (a) F() y () son ortogonales y (b) R n = F() e N(), donde e indica suma directa. sí, se tiene que: dim F() + dim N() = n, y cada x E R n puede expresarse en forma única así: x = f + a, donde f E F() Y a E N(). sí mismo, (11) (a) C() y N*( t ) son ortogonales y (b) R m = C() Et> N*( t ), donde Et> indica suma directa. sí, se tiene que: dim C() + dim N*( t ) = m, y cada y E R m puede expresarse en forma única así: y = e + a, donde e E C() y a E N*(t) El rango de una matriz lo denotaremos por p (). Sobre el rango de una matriz mencionamos que: (a) P() = P( t ) = dim F() = dim C() HEURISTlC VOL.2 No. 1 31

2 1.3. Cada matriz = [aijlmxn tiene asociada la transformación lineal Más aún; el conjunto imagen de es C() y el núcleo de es N(). En la figura 1 ilustraremos lo establecido hasta ahora. IR" IR'" F () l X = 1+< C() X = l, ; y " r. +,,4 N () FIGUR De otra parte, existe un método sencillo para calcular una base de cada uno de los cuatro espacios asociados a una matriz = [aijlmxn. El método consiste en efectuar los pasos siguientes: PSO 1. PSO 2. Forme la matriz [tl Inl. Efectúe operaciones elementales en las fila de la matriz anterior hasta conseguir una forma escalonada de la matriz t. l final de este paso se obtiene una matriz que podemos describir por bloques así: (r = p ()). 1 Prxn Pnrxn Las filas de la matriz Erxm conforman una base para C(); el conjunto imagen de, y las filas de la matriz P n rxn conforman una base para N (); el núcleo de. l efectuar el paso 2 a la matriz HEllRISTIC VOL.2 No. 1 32

3 [ll m ] se obtienen sendas bases para C( t ) = F() Y N*(t). 1.4 Para cada subespacio U de R k existe un subespacio W de R k tal que R k = U W. indica suma directa. Un tal subespacio W es llamado un complemento de U. Donde EEJ 1.5. (i) Se dice que X o es una solución mínima cuadrada del sistema, de ecuaciones x = y, si: 11 xo y 11 s 11 x y 11 para todo x. ( i i) Se dice que X o es una mejor solución aproximada del sistema de ecuaciones x = y, si : (a) 11 xo y 11 s 11 x y 11 para todo x, y (b) Si x" es tal que IIxo YII = IIx* y 11, entonces 11 Xo 11 ~ 11 x* INVERS MTRIZ: CONDICIONL DEFINICIONES E INVERS GENERLIZD DE UN 2.1. Definición: Sea una matriz mxn. Una matriz C nxm es una inversa condicional (einversa) de, si c = Definición: Sea una matriz mxn. Una matriz + nxm es una inyersq generalizada (ginversa) de, si: (i) + = ( i i) + + = + Y (i i i) + Y + son simétricas. Obsérvese que una ginversa de es una einversa de. conseguir una einversa de una matriz. continuación veremos una manera de Sean: una matriz mxn, W un complemento de N () Y U un complemento de C (). sí; R n = W E9 N() Y R m = C() EEJ U, por lo que cada x E R n y cada y E R m pueden expresarse enforma única así: x = w + a y y = e + u, donde w, a, e y u pertenecen a W, N(), C () y U respectivemente. hora; si definimos C : R m ~ R n de manera que C [w] = w para cada w E C(), entonces se tiene que para cada x E Rn: cx = c (w + a) = cw = w = x. De aquí que c =. lo cual indica que C es una einversa de la matriz. De otra parte; dado que W y U son arbitrarios y dado que hay libertad para definir C (u) para cada u E U, se concluye que en general una matriz puede tener más de una einversa. En la figura HEURISTlC VOL.2 No. 1 33

4 2 ilustramos esto. ~ e () IR n. ~~C r:ir~m_, X&w+e(.. W. X N ( ) FIGUR einvers DE UN MTRIZ: PROPIEDDES En este apartado veremos: ( a) lgunas propiedades generales de una oinversa de. ( b) lgunas propiedades que posee una einversa de, según: ( i ) La manera de definir C (u) para cada u e U. ( i i ) El rango de. ti i i) La escogencia de W y de U. l. l definir C : R m 7 R n de manera C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 2) (1) c = (2) c y C son matrices idempotentes, ( 3) e () = e ( c ). por lo que p () = P ( c ). (4) e (C) = W, por lo que p () = P (c). (5) W.Q. e ( c ). por lo que p () s P ( c ). ( 6) x = y tiene solución sll c y = y, Y (7) Si x = y tiene solución, su solución general está dada por: x = C Y + ex., ex. E N (). HEURISTlC VOL.2 No. 1 34

5 11. l definir C : Rm~ R n de manera que: C [w] = w, w E e (), y C (u) = 9, u E U Se tiene que: (ver figura número 2) (1)' c = Y C c = C, (2), (3), (4), (5)' W = e ( c ), por lo que p () (6) Y (7) Si P () = m < n, entonces U = {O}. De aquí que al definir C : Rm~ R n de manera que C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 3) (1)', (2), (3), (4), (5)', ( 6 )' x = y siempre tiene solución, ( 7)' x = y siempre tiene solución y su solución general está dada por: x = Cy + (1 C )h, h E R n, y (8) c = I IV. Si P () = n < m, entonces N () = {O}, por lo que al definir C : Rm~ R n de manera que C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 4) (1)', (2), (3), (4), (5)', (6), (7)"Si x = y tiene solución, ésta es única y está dada por x = C y, y (8)' C=I y FIGUR 3 V. Si r() = n = m, entonces N() = {O} = U. HEURISTIC VOL.2 No. 1 35

6 De aquí que necesariamente C = 1 V l. Si U = N* ( t ) Y se define C: Rm~Rn de manera que: C [w] = w, w E e (), y Cu = a, u E U, a E N () Entonces se tiene que: (ver figura número 5). ~~~~ m C IR C() C~WJ:W+ ~.. WX FIGUR 4 (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (9) c es la proyección ortogonal de R m sobre el espacio columna de. Por esto, c es simétrica e idempotente. De aquí que X o = Cy es una solución mínima cuadrada de x = y, pues: (ver figura número 6) IRn.. ~ ~~C >4 e() ; y = e +..8 W: X N () FIGUR 5 HEURISTIC VOL.2 No. 1 36

7 11 Cy y 11 = 11 Proyección ortogonal de y sobre e () y 11 s 11 x y 11 para todo x. demás. como: de una solución mínima cuadrada. Cy = [Cy + a], a E N (), se concluye que en general x = y puede tener más o "(... ': /V C yy I I I I I I I ~'""~ cy FJGUR 6 VII. Si W = F (), al definir C: Rm~Rn de manera que: C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 7). (1). (2), (3), (4), (5). (6), (7), (10) C es la proyección ortogonal de R n sobre el espacio fila de. Por esto, Ces simétrica e idempotente. De aquí que w = C[w] es el vector de menor longitud entre aquellos vectores x tales que x = w. En efecto; si x = w, entonces x = w + a, a E N (), por lo que: VIII. Si U = W ( t ) Y W = F (), al definir C : Rm~ R n de manera que: c[w] = w, w E e () C[u] = e,ueu, Entonces se tiene que: (ver figura número 8) (1)', (2), (3), (4), (5)', (6). (7), (8), (8)', (9) Y (10). demás; (9) y (10) expresan que X o = Cy es una mejor solución aproximada de x = y. HEURISTIC VOL.2 No. 1 37

8 W = F( ) X=w+o<. C() ; ~y=.c+jj. W= X N () FIGUR 7 De otro lado; en primer lugar, note que C definifa así es una ginversa de, y en segundo lugar; dado que N* ( t ) es el único complemento ortogonal de C () y que F () es el único complemento ortogonal de N (), se concluye que C así definida es única. En consecuencia: toda matriz tiene una única ginversa. demás; x = y siempre tiene una única mejor solución aproximada, a saber X o = +y. 4. G INVERS DE UN MTRIZ LGEBRICO PROPIEDDES Y CLCULO En este apartado.i.rernos algunas propiedades que posee la ginversa de una matriz y una manera de calcularla. Empezaremos reescribiendo lo establecido en 3. VIII. l. Para toda matriz mxn existe una única matriz +nxm: la ginversa de, tal que: ( 1) + = Y + + = +, (2) + Y + son simétricas e idempotentes, (3) p () = P (+) = P (+) P(+), (4) N (+) = N* ( t ), C (+) = F (), F (+) = C (), ( 5 ) x = y tiene solución.sli "v = y, ( 6) Si x y tiene solución, su solución general ésta dada por: x = +y + (I+)h, h R n. ( 7) + es la proyección ortogonal de R m sobre C() y + es la proyección ortogonal de R n sobre F (), por lo que; x = y siempre tiene una única mejor solución aproximada, a saber: Xo = +y. 11. Si = 0mxn' entonces + 0nxm HEURISTlC VOL.2 No. 1 38

9 111.Si P () ortogonalde de donde; = m < n, entonces t es inversible. De otro lado, como + es la proyección R n sobre F(). Entonces: + t = t, + = t [ t r 1 IV. Si P() = n < m, entonces t es inversible. Puesto que + es simétrica y puesto que: + =, Entonces: t+ = t, de donde; + = [tr1 t V. St P() = n = m, entonces + = 1. VI. Sean B una matriz mxr y e una matriz rxn. Si F (B) (BC)+ = e+ B+ (ver figura número 9). e (e), entonces En particular: ( i) Para cualquier matriz : ( t)+ = ( t )+ + Y (t)+ = + (t)+. i i) Si B es una matriz mxr y e es una matriz rxn y si p (B) = P = P (e), entonces (BC)+ = c+a+. Más explícitamente, según 111y IV, (BC)+ = C t [CC t r 1. [B t Br 1 a'. VII. Si es simétrica, entonces + es simétrica. Más aún: (ver figura número 10) (i) x = O.s.li. +x = O (ii) x =.x.s.li. +x = ",1 x; * O r~ IR n ~...!~c IRm r~~ W = F( ) e ( ) X= w + [ W]. W O".,t ~o W " X r.o+ c y = e +;'.( N () FIGUR 8 HEURISTIC VOL.2 No. 1 39

10 Por último veremos un método para calcular la ginversa de una matriz = [aijlmxn. El método consiste en efectuar los pasos siguientes: PSO 1: Forme la matriz [llml. PSO 2: Efectúe operaciones elementales en las filas de la anterior matriz hasta conseguir una forma escalonada de la matriz. l final de este paso se obtiene una matriz que podemos describir por bloques así: (r = p ()). P rxm ] Pmrxm PSO 3: Forme Erxn la matriz t [ Pmrxm Paso 4: Lleve la matriz anterior a su obtiene la matriz [1 m I (+)t 1 forma escalonada reducida. l final de este paso se C e IR" e+ F(C) F\B)=C(C) C ( e) w C(WI e e (W), ~ 1'. t'\ 1'. :\ t' :\ o.. "'" N (e ) N( el= ~(ct NIf( 8 t) FIGUR 9 5. PLlCCION: JUSTE DE DTOS POR MINIMOS CUDRDOS Como es sabido; el sistema de ecuaciones x = y: ( i) Tiene infinitas soluciones ó (ii) Tiene solución única ó (iii) No tiene solución. HEURISTlC VOL.2 No. 1 40

11 En el trabajo experimental generalmente se da la opción (iii). En este caso nos preguntamos si existe una "solución aproximada". para una definición conveniente de solución aproximada. El método de los mínimos cuadrados busca una solución mínima cuadrada. Es decir. busca X o tal que 11 xo y 11 s 11 x y 11 para todo x. Como hemos visto. x = y tiene siempre al menos una solución mínima cuadrada. a saber: x = +Y. la mejor solución aproximada de x = y. Más aún; si = [aij]mxn tiene rango n, se desprende de lo establecido en 3. VI (9) Y 3. IV que x = y tiene sólo una solución mínima cuadrada. l. daptación. por mínimos cuadrados. de una línea recta. Sea una línea recta: y = a + bx que se quiere adaptar a los puntos: (x1'y1)' (x 2 'Y2)'... (xn'yn). Si los puntos fuesen colineales. los coeficientes desconocidos a y b satisfarían la ecuación de la recta. es decir. se tendría: Y = a + b x. i = n. Las anteriores igualdades pueden escribirse así: y = [:] = = x Si los puntos no son colineales. de lo que se trata es de encontrar una solución mínima cuadrada de x = y. F(). C(+) e () F(+, +X X ). Jtx,..~ N()" Xo N (+) X " ).X,.. ~ 'v ""Q X N ( t) = N ( + ) FIGUR 10 HPI 'R/.~Tlr, var.? Nn.1 111

12 Ejemplo. daptemos, por mínimos cuadradados, los puntos (0,1), (1,3), (2,4) Y (3,4) a una línea recta y = a + bx. Lo que debemos n [~] hacer es encontrar una solución mínima cuadrada de 1 x 3 = Y Una tal solución está dada por xo = +y. hora bien, como r () = 2, entonces ésta es la única solución mínima cuadrada de x = y. Por lo tanto los coeficientes buscados están dados por: 11. daptación, por mínimos cuadrados, de un polinomio. Para adaptar, por mínimos cuadrados, un polinomio de grado :S m: a un conjunto de n puntos: (x1'y1), (x2'y2), "., (xn,yn), se busca una solución mínima cuadrada de x= :: y Ejemplo. Encontremos un polinomio de grado :S 2 que mejor se adapte, por mínimos cuadrados, a los puntos: (0.1,0.18), (0.2,0.31), (0.3,1.03), (0.4,2.48) Y (0.5,3.73). Debemos encontrar una solución mínima cuadrada de x= [aoj a a2 = ,18,0,31 1,03 2,48 3,73 y Puesto que r (1\) = 3, existe una única solución mínima cuadrada de x = y, a saber: HEURISTlC VOL. 2 No. 1 42

13 BIBLlOGRFI: [1] GRYBILL, F..: Introduction to matrices with applications in statistics. Wadsworth Publishing Company Inc [2] RORRES,C. y NTON H.: plicacionesde algebra lineal. Limusa, [ 3 ] STRNG, G.: lgebra lineal y sus aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano, S.., HEURISTIC VOL.2 No. 1 43