IINWI&IR A C([))NIlDlIClI([))NAlL I& linwi&ir A G I&NI&IRAILlItzAIlDA IlDI&lUNA MA 1fIRlItzo I& ~lui&ma GI&([))MI&1fIRlIC([)),.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "IINWI&IR A C([))NIlDlIClI([))NAlL I& linwi&ir A G I&NI&IRAILlItzAIlDA IlDI&lUNA MA 1fIRlItzo I& ~lui&ma GI&([))MI&1fIRlIC([)),."

Transcripción

1 IINWI&IR C([))NIlDlIClI([))NlL I& linwi&ir G I&NI&IRILlItzIlD IlDI&lUN M 1fIRlItzo I& ~lui&m GI&([))MI&1fIRlIC([)),. MIGUEL. MRMOLEJO L. PROFESORSISTENTE. DEPRTMENTO DE MTEMTIC. UNIVERSIDD DEL VLLE: COLOMBI. 1. PRELIMINRES El propósito de este apartado es el de fijar alguna terminología y presentar atqunas definiciones que servirán de referencia en el desarrollo del resto del trabajo. 1.1 Cada matriz () = [aij]mxn tiene asociados cuatro espacios a saber: (a) F(), el espacio fila de, (b) N(), el espacio nulo de, (e) C(), el espacio columna de, y (d) N*( t ), el espacio nulo de t. demás se sabe que: ( 1) (a) F() y () son ortogonales y (b) R n = F() e N(), donde e indica suma directa. sí, se tiene que: dim F() + dim N() = n, y cada x E R n puede expresarse en forma única así: x = f + a, donde f E F() Y a E N(). sí mismo, (11) (a) C() y N*( t ) son ortogonales y (b) R m = C() Et> N*( t ), donde Et> indica suma directa. sí, se tiene que: dim C() + dim N*( t ) = m, y cada y E R m puede expresarse en forma única así: y = e + a, donde e E C() y a E N*(t) El rango de una matriz lo denotaremos por p (). Sobre el rango de una matriz mencionamos que: (a) P() = P( t ) = dim F() = dim C() HEURISTlC VOL.2 No. 1 31

2 1.3. Cada matriz = [aijlmxn tiene asociada la transformación lineal Más aún; el conjunto imagen de es C() y el núcleo de es N(). En la figura 1 ilustraremos lo establecido hasta ahora. IR" IR'" F () l X = 1+< C() X = l, ; y " r. +,,4 N () FIGUR De otra parte, existe un método sencillo para calcular una base de cada uno de los cuatro espacios asociados a una matriz = [aijlmxn. El método consiste en efectuar los pasos siguientes: PSO 1. PSO 2. Forme la matriz [tl Inl. Efectúe operaciones elementales en las fila de la matriz anterior hasta conseguir una forma escalonada de la matriz t. l final de este paso se obtiene una matriz que podemos describir por bloques así: (r = p ()). 1 Prxn Pnrxn Las filas de la matriz Erxm conforman una base para C(); el conjunto imagen de, y las filas de la matriz P n rxn conforman una base para N (); el núcleo de. l efectuar el paso 2 a la matriz HEllRISTIC VOL.2 No. 1 32

3 [ll m ] se obtienen sendas bases para C( t ) = F() Y N*(t). 1.4 Para cada subespacio U de R k existe un subespacio W de R k tal que R k = U W. indica suma directa. Un tal subespacio W es llamado un complemento de U. Donde EEJ 1.5. (i) Se dice que X o es una solución mínima cuadrada del sistema, de ecuaciones x = y, si: 11 xo y 11 s 11 x y 11 para todo x. ( i i) Se dice que X o es una mejor solución aproximada del sistema de ecuaciones x = y, si : (a) 11 xo y 11 s 11 x y 11 para todo x, y (b) Si x" es tal que IIxo YII = IIx* y 11, entonces 11 Xo 11 ~ 11 x* INVERS MTRIZ: CONDICIONL DEFINICIONES E INVERS GENERLIZD DE UN 2.1. Definición: Sea una matriz mxn. Una matriz C nxm es una inversa condicional (einversa) de, si c = Definición: Sea una matriz mxn. Una matriz + nxm es una inyersq generalizada (ginversa) de, si: (i) + = ( i i) + + = + Y (i i i) + Y + son simétricas. Obsérvese que una ginversa de es una einversa de. conseguir una einversa de una matriz. continuación veremos una manera de Sean: una matriz mxn, W un complemento de N () Y U un complemento de C (). sí; R n = W E9 N() Y R m = C() EEJ U, por lo que cada x E R n y cada y E R m pueden expresarse enforma única así: x = w + a y y = e + u, donde w, a, e y u pertenecen a W, N(), C () y U respectivemente. hora; si definimos C : R m ~ R n de manera que C [w] = w para cada w E C(), entonces se tiene que para cada x E Rn: cx = c (w + a) = cw = w = x. De aquí que c =. lo cual indica que C es una einversa de la matriz. De otra parte; dado que W y U son arbitrarios y dado que hay libertad para definir C (u) para cada u E U, se concluye que en general una matriz puede tener más de una einversa. En la figura HEURISTlC VOL.2 No. 1 33

4 2 ilustramos esto. ~ e () IR n. ~~C r:ir~m_, X&w+e(.. W. X N ( ) FIGUR einvers DE UN MTRIZ: PROPIEDDES En este apartado veremos: ( a) lgunas propiedades generales de una oinversa de. ( b) lgunas propiedades que posee una einversa de, según: ( i ) La manera de definir C (u) para cada u e U. ( i i ) El rango de. ti i i) La escogencia de W y de U. l. l definir C : R m 7 R n de manera C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 2) (1) c = (2) c y C son matrices idempotentes, ( 3) e () = e ( c ). por lo que p () = P ( c ). (4) e (C) = W, por lo que p () = P (c). (5) W.Q. e ( c ). por lo que p () s P ( c ). ( 6) x = y tiene solución sll c y = y, Y (7) Si x = y tiene solución, su solución general está dada por: x = C Y + ex., ex. E N (). HEURISTlC VOL.2 No. 1 34

5 11. l definir C : Rm~ R n de manera que: C [w] = w, w E e (), y C (u) = 9, u E U Se tiene que: (ver figura número 2) (1)' c = Y C c = C, (2), (3), (4), (5)' W = e ( c ), por lo que p () (6) Y (7) Si P () = m < n, entonces U = {O}. De aquí que al definir C : Rm~ R n de manera que C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 3) (1)', (2), (3), (4), (5)', ( 6 )' x = y siempre tiene solución, ( 7)' x = y siempre tiene solución y su solución general está dada por: x = Cy + (1 C )h, h E R n, y (8) c = I IV. Si P () = n < m, entonces N () = {O}, por lo que al definir C : Rm~ R n de manera que C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 4) (1)', (2), (3), (4), (5)', (6), (7)"Si x = y tiene solución, ésta es única y está dada por x = C y, y (8)' C=I y FIGUR 3 V. Si r() = n = m, entonces N() = {O} = U. HEURISTIC VOL.2 No. 1 35

6 De aquí que necesariamente C = 1 V l. Si U = N* ( t ) Y se define C: Rm~Rn de manera que: C [w] = w, w E e (), y Cu = a, u E U, a E N () Entonces se tiene que: (ver figura número 5). ~~~~ m C IR C() C~WJ:W+ ~.. WX FIGUR 4 (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (9) c es la proyección ortogonal de R m sobre el espacio columna de. Por esto, c es simétrica e idempotente. De aquí que X o = Cy es una solución mínima cuadrada de x = y, pues: (ver figura número 6) IRn.. ~ ~~C >4 e() ; y = e +..8 W: X N () FIGUR 5 HEURISTIC VOL.2 No. 1 36

7 11 Cy y 11 = 11 Proyección ortogonal de y sobre e () y 11 s 11 x y 11 para todo x. demás. como: de una solución mínima cuadrada. Cy = [Cy + a], a E N (), se concluye que en general x = y puede tener más o "(... ': /V C yy I I I I I I I ~'""~ cy FJGUR 6 VII. Si W = F (), al definir C: Rm~Rn de manera que: C [w] = w para cada w E e (), se tiene que: (ver figura número 7). (1). (2), (3), (4), (5). (6), (7), (10) C es la proyección ortogonal de R n sobre el espacio fila de. Por esto, Ces simétrica e idempotente. De aquí que w = C[w] es el vector de menor longitud entre aquellos vectores x tales que x = w. En efecto; si x = w, entonces x = w + a, a E N (), por lo que: VIII. Si U = W ( t ) Y W = F (), al definir C : Rm~ R n de manera que: c[w] = w, w E e () C[u] = e,ueu, Entonces se tiene que: (ver figura número 8) (1)', (2), (3), (4), (5)', (6). (7), (8), (8)', (9) Y (10). demás; (9) y (10) expresan que X o = Cy es una mejor solución aproximada de x = y. HEURISTIC VOL.2 No. 1 37

8 W = F( ) X=w+o<. C() ; ~y=.c+jj. W= X N () FIGUR 7 De otro lado; en primer lugar, note que C definifa así es una ginversa de, y en segundo lugar; dado que N* ( t ) es el único complemento ortogonal de C () y que F () es el único complemento ortogonal de N (), se concluye que C así definida es única. En consecuencia: toda matriz tiene una única ginversa. demás; x = y siempre tiene una única mejor solución aproximada, a saber X o = +y. 4. G INVERS DE UN MTRIZ LGEBRICO PROPIEDDES Y CLCULO En este apartado.i.rernos algunas propiedades que posee la ginversa de una matriz y una manera de calcularla. Empezaremos reescribiendo lo establecido en 3. VIII. l. Para toda matriz mxn existe una única matriz +nxm: la ginversa de, tal que: ( 1) + = Y + + = +, (2) + Y + son simétricas e idempotentes, (3) p () = P (+) = P (+) P(+), (4) N (+) = N* ( t ), C (+) = F (), F (+) = C (), ( 5 ) x = y tiene solución.sli "v = y, ( 6) Si x y tiene solución, su solución general ésta dada por: x = +y + (I+)h, h R n. ( 7) + es la proyección ortogonal de R m sobre C() y + es la proyección ortogonal de R n sobre F (), por lo que; x = y siempre tiene una única mejor solución aproximada, a saber: Xo = +y. 11. Si = 0mxn' entonces + 0nxm HEURISTlC VOL.2 No. 1 38

9 111.Si P () ortogonalde de donde; = m < n, entonces t es inversible. De otro lado, como + es la proyección R n sobre F(). Entonces: + t = t, + = t [ t r 1 IV. Si P() = n < m, entonces t es inversible. Puesto que + es simétrica y puesto que: + =, Entonces: t+ = t, de donde; + = [tr1 t V. St P() = n = m, entonces + = 1. VI. Sean B una matriz mxr y e una matriz rxn. Si F (B) (BC)+ = e+ B+ (ver figura número 9). e (e), entonces En particular: ( i) Para cualquier matriz : ( t)+ = ( t )+ + Y (t)+ = + (t)+. i i) Si B es una matriz mxr y e es una matriz rxn y si p (B) = P = P (e), entonces (BC)+ = c+a+. Más explícitamente, según 111y IV, (BC)+ = C t [CC t r 1. [B t Br 1 a'. VII. Si es simétrica, entonces + es simétrica. Más aún: (ver figura número 10) (i) x = O.s.li. +x = O (ii) x =.x.s.li. +x = ",1 x; * O r~ IR n ~...!~c IRm r~~ W = F( ) e ( ) X= w + [ W]. W O".,t ~o W " X r.o+ c y = e +;'.( N () FIGUR 8 HEURISTIC VOL.2 No. 1 39

10 Por último veremos un método para calcular la ginversa de una matriz = [aijlmxn. El método consiste en efectuar los pasos siguientes: PSO 1: Forme la matriz [llml. PSO 2: Efectúe operaciones elementales en las filas de la anterior matriz hasta conseguir una forma escalonada de la matriz. l final de este paso se obtiene una matriz que podemos describir por bloques así: (r = p ()). P rxm ] Pmrxm PSO 3: Forme Erxn la matriz t [ Pmrxm Paso 4: Lleve la matriz anterior a su obtiene la matriz [1 m I (+)t 1 forma escalonada reducida. l final de este paso se C e IR" e+ F(C) F\B)=C(C) C ( e) w C(WI e e (W), ~ 1'. t'\ 1'. :\ t' :\ o.. "'" N (e ) N( el= ~(ct NIf( 8 t) FIGUR 9 5. PLlCCION: JUSTE DE DTOS POR MINIMOS CUDRDOS Como es sabido; el sistema de ecuaciones x = y: ( i) Tiene infinitas soluciones ó (ii) Tiene solución única ó (iii) No tiene solución. HEURISTlC VOL.2 No. 1 40

11 En el trabajo experimental generalmente se da la opción (iii). En este caso nos preguntamos si existe una "solución aproximada". para una definición conveniente de solución aproximada. El método de los mínimos cuadrados busca una solución mínima cuadrada. Es decir. busca X o tal que 11 xo y 11 s 11 x y 11 para todo x. Como hemos visto. x = y tiene siempre al menos una solución mínima cuadrada. a saber: x = +Y. la mejor solución aproximada de x = y. Más aún; si = [aij]mxn tiene rango n, se desprende de lo establecido en 3. VI (9) Y 3. IV que x = y tiene sólo una solución mínima cuadrada. l. daptación. por mínimos cuadrados. de una línea recta. Sea una línea recta: y = a + bx que se quiere adaptar a los puntos: (x1'y1)' (x 2 'Y2)'... (xn'yn). Si los puntos fuesen colineales. los coeficientes desconocidos a y b satisfarían la ecuación de la recta. es decir. se tendría: Y = a + b x. i = n. Las anteriores igualdades pueden escribirse así: y = [:] = = x Si los puntos no son colineales. de lo que se trata es de encontrar una solución mínima cuadrada de x = y. F(). C(+) e () F(+, +X X ). Jtx,..~ N()" Xo N (+) X " ).X,.. ~ 'v ""Q X N ( t) = N ( + ) FIGUR 10 HPI 'R/.~Tlr, var.? Nn.1 111

12 Ejemplo. daptemos, por mínimos cuadradados, los puntos (0,1), (1,3), (2,4) Y (3,4) a una línea recta y = a + bx. Lo que debemos n [~] hacer es encontrar una solución mínima cuadrada de 1 x 3 = Y Una tal solución está dada por xo = +y. hora bien, como r () = 2, entonces ésta es la única solución mínima cuadrada de x = y. Por lo tanto los coeficientes buscados están dados por: 11. daptación, por mínimos cuadrados, de un polinomio. Para adaptar, por mínimos cuadrados, un polinomio de grado :S m: a un conjunto de n puntos: (x1'y1), (x2'y2), "., (xn,yn), se busca una solución mínima cuadrada de x= :: y Ejemplo. Encontremos un polinomio de grado :S 2 que mejor se adapte, por mínimos cuadrados, a los puntos: (0.1,0.18), (0.2,0.31), (0.3,1.03), (0.4,2.48) Y (0.5,3.73). Debemos encontrar una solución mínima cuadrada de x= [aoj a a2 = ,18,0,31 1,03 2,48 3,73 y Puesto que r (1\) = 3, existe una única solución mínima cuadrada de x = y, a saber: HEURISTlC VOL. 2 No. 1 42

13 BIBLlOGRFI: [1] GRYBILL, F..: Introduction to matrices with applications in statistics. Wadsworth Publishing Company Inc [2] RORRES,C. y NTON H.: plicacionesde algebra lineal. Limusa, [ 3 ] STRNG, G.: lgebra lineal y sus aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano, S.., HEURISTIC VOL.2 No. 1 43

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

Tema 4.- El espacio vectorial R n.

Tema 4.- El espacio vectorial R n. Tema 4- El espacio vectorial R n Subespacios vectoriales de R n Bases de un subespacio Rango de una matriz 4 Bases de R n Cambios de base 5 Ejercicios En este tema estudiamos la estructura vectorial del

Más detalles

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad nº7: Transformaciones Lineales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Transformación lineal entre dos espacios vectoriales. Teorema fundamental

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Lineal Ma1010 Mínimos Cuadrados Departamento de Matemáticas ITESM Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34 En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente. Esta situación es

Más detalles

Apuntes de Álgebra Lineal

Apuntes de Álgebra Lineal Apuntes de Álgebra Lineal Mariano Echeverría Introducción al Curso El álgebra lineal se caracteriza por estudiar estructuras matemáticas en las que es posible tomar sumas entre distintos elementos de cierto

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Tópicos. en Álgebra Lineal

Tópicos. en Álgebra Lineal Tópicos en Álgebra Lineal Miguel A Marmolejo L Manuel M Villegas L Departamento de Matemáticas Universidad del Valle Índice general Introducción 1 Índice de guras iii Capítulo 1 Prerrequisitos 1 11 Matrices

Más detalles

Álgebra lineal y matricial

Álgebra lineal y matricial Capítulo Álgebra lineal y matricial.. Vectores y álgebra lineal Unconjuntodennúmerosreales(a,,a n )sepuederepresentar: como un punto en el espacio n-dimensional; como un vector con punto inicial el origen

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

Vector Spaces 4.1 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS. 2012 Pearson Education, Inc.

Vector Spaces 4.1 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS. 2012 Pearson Education, Inc. 4 Vector Spaces 4. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 0 Pearson Education, Inc. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, sobre el cual se

Más detalles

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades 5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales 1. Estudia cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de R n para el n que corresponda: i) S 1 = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = b} siendo

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA II Guía de Matrices y Determinantes Primer año Plan Común de Ingeniería Segundo Semestre 2009 1. Hallar una matriz B que

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

Producto Interno y Ortogonalidad

Producto Interno y Ortogonalidad Producto Interno y Ortogonalidad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009 Índice 8.1. Contexto................................................ 1 8.2. Introducción...............................................

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012 Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes

Más detalles

Tema 3: Producto escalar

Tema 3: Producto escalar Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

Asignatura: Horas: Total (horas): Obligatoria X Teóricas 4.5 Semana 4.5 Optativa Prácticas 0.0 16 Semanas 72.0

Asignatura: Horas: Total (horas): Obligatoria X Teóricas 4.5 Semana 4.5 Optativa Prácticas 0.0 16 Semanas 72.0 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTADES DE ECONOMÍA E INGENIERÍA LICENCIATURA EN ECONOMÍA Y NEGOCIOS PROGRAMA DE ESTUDIO Álgebra Lineal P82 /P72 /P92 09 Asignatura Clave Semestre Créditos Ciencias

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

Matrices y sus operaciones

Matrices y sus operaciones Capítulo 1 Matrices y sus operaciones 1.1. Definiciones Dados dos enteros m, n 1 y un cuerpo conmutativo IK, llamamos matriz de m filas y n columnas con coeficientes en IK a un conjunto ordenado de n vectores

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.

Más detalles

Curso de Procesamiento Digital de Imágenes

Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408 http://turing.iimas.unam.mx/~elena/teaching/pdi-lic.html elena.martinez@iimas.unam.mx

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-

Más detalles

Apéndice Álgebra lineal con wxmaxima

Apéndice Álgebra lineal con wxmaxima Apéndice Álgebra lineal con wxmaxima Objetivos 1. Definir matrices con wxmaxima. 2. Aplicar con wxmaxima operaciones con matrices. 3. Aplicar transformaciones elementales de matrices. 4. Calcular el determinante

Más detalles

Geometría Proyectiva del Plano

Geometría Proyectiva del Plano Capítulo Geometría Proyectiva del Plano. El plano proyectivo 2D Un punto en el plano se puede representar por el par de coordenadas (x, y) en IR 2. Así, es común identificar el plano con IR 2. Considerando

Más detalles

Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α.

Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α. Engrape aqu ı No doble Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales. Nombre: Calificación ( %): examen escrito tarea 1 tarea 2 asist.+

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

Más detalles

Vectores y Valores Propios

Vectores y Valores Propios Capítulo 11 Vectores y Valores Propios Las ideas de vector y valor propio constituyen conceptos centrales del álgebra lineal y resultan una valiosa herramienta en la solución de numerosos problemas de

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

MA0313 Matemática para Economía y Estadística II Carta al estudiante

MA0313 Matemática para Economía y Estadística II Carta al estudiante UNIVERSIDAD LUCEM DE COSTA ASPICIO RICA Universidad de Costa Rica II Ciclo 2014 Facultad de Ciencias 4 créditos Escuela de Matemática Requisito MA0213 MA0313 Matemática para Economía y Estadística II Carta

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 Concepto de espacio vectorial y propiedades 1.1 Definición Se llama espacio vectorial sobre K (IR o C a toda terna

Más detalles

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d GRADO EN I. TELEMÁTICA. HOJA : ESPACIOS VECTORIALES. ESPACIOS NULO Y COLUMNA.- Sea W el conjunto de todos los vectores de R de la forma subespacio de R. s + t s t s t t, con s, t R. Probar que W es un.-

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración

Más detalles

Apéndice A. Repaso de Matrices

Apéndice A. Repaso de Matrices Apéndice A. Repaso de Matrices.-Definición: Una matriz es una arreglo rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas. Una matriz com m filas y n columnas se dice que es de orden m x n de

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : , y los vectores

Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : , y los vectores FASÍCULO: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Teorema. Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : i) ii) iii) iv) Ejemplo: Sean el espacio vectorial con el producto interno definido

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará

Más detalles

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21 3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Transformaciones Lineales Definición de transformación Una función, aplicación o transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un espacio vectorial V, para convertirlo

Más detalles

MATEMÁTICAS I. Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas. Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel. Departament de Matemàtiques

MATEMÁTICAS I. Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas. Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel. Departament de Matemàtiques MATEMÁTICAS I Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel Departament de Matemàtiques Universitat Jaume I 2 Estas notas constituyen el material

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Tema 5.- Ortogonalidad y mejor aproximación.

Tema 5.- Ortogonalidad y mejor aproximación. Ingeniería Civil Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación 5- El producto escalar Norma, distancia,

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

Operaciones con transformaciones lineales Suma y Producto por un escalar Composición e Inversa Matriz asociada

Operaciones con transformaciones lineales Suma y Producto por un escalar Composición e Inversa Matriz asociada Operaciones con transformaciones lineales Suma y Producto por un escalar Composición e Inversa Matriz asociada c Jana Rodriguez Hertz p. 1/1 transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre el cuerpo K,

Más detalles

Matrices invertibles. La inversa de una matriz

Matrices invertibles. La inversa de una matriz Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad

Más detalles

MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II

MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉODO DE GAUSS Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes. Transformaciones que mantienen la equivalencia.

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las

Más detalles

ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento

ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento VECTORES EN R n.. OPERACIONES CON VECTORES VECTORES EN R 2 : Un vector v en el plano R 2 = XY es un par ordenado de números reales .

Más detalles

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales.

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Página 1 de 11 Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Objectivos. En esta lección se repasan las nociones de punto y vector, y se identifican, via coordenadas, con los pares (ternas,...) de

Más detalles

Álgebra Lineal Taller N o 2 con Matlab

Álgebra Lineal Taller N o 2 con Matlab Álgebra Lineal Taller N o con Matlab Tema: Introducción a las transformaciones lineales. Determinantes. Valores y vectores propios de matrices de orden n:diagonaliación de matrices de orden n. plicación

Más detalles

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 6: Ortogonalidad. Método de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal y mejor aproximación

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 6: Ortogonalidad. Método de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal y mejor aproximación Álgebra Lineal Sesión de Prácticas 6: Ortogonalidad. Método de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal y mejor aproximación Primero Grado Ingeniería Informática Departamento de Matemática Aplicada Facultad

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre

Más detalles

Área: Matemática ÁLGEBRA

Área: Matemática ÁLGEBRA Área: Matemática ÁLGEBRA Prof. HENRY AYTE MORALES FICHA DE TRABAJO RECUPERACIÓN 1ro SEC A, B y C I. TEORÍA DE EXPONENTES 1. DEFINICIÓN Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones

Más detalles

Tema 2: Espacios vectoriales

Tema 2: Espacios vectoriales Tema 2: Espacios vectoriales La estructura de espacio vectorial juega un papel fundamental en el álgebra lineal pues es la base de todos los conceptos que ahí se desarrollan. Vamos en la siguiente sección

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Resumen del curso 2014 para Lic. en Física (2 o año), Depto. de Física, UNLP. Prof.: R. Rossignoli 0. Repaso de estructuras algebraicas básicas Un sistema algebraico

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles