Bayesian Image recovery for dendritic structures under low signal-to-noise conditions

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1 Bayesian Image recovery for dendritic structures under low signal-to-noise conditions Fudenberg G, Paninski L. IEEE Transactions on Image Processing, 18(3), 2009

2 2 Introducción En neurociencia, lo que vemos es lo que sabemos Análisis cuantitativo de la morfología de las espinas dendríticas puede generar nuevo conocimiento sobre Transmisión sináptica Plasticidad sináptica

3 3 Introducción En términos generales, la imagen observada en el microscopio I obs corresponde a la convolución de una forma real S true por la PSF (w)

4 4 Qué sabemos a priori El ruido de la imagen sigue una distribución de Poisson Dendritas son estructuras geométricas simples e interconectadas, con límites suaves Conceptualmente, una imagen binaria (1= dentro y 0=fuera) podria describir la topología correcta

5 5 Distribución de Poisson Probabilidad de ocurrencia de un número (k) de eventos en un periodo de tiempo discreto T, si estos eventos ocurren con una tasa media conocida (λ) en forma independiente del tiempo de ocurrencia del último evento

6 6 Modelo de formación de la imagen Sea I obs (s,t,u) la cuenta de fotones obtenida en el pixel (s,t,u) y S true (x,y,z) la forma neuronal verdadera. La tasa de eventos en cada pixel por Poisson corresponde a

7 7 Modelo de formación de la imagen Podemos representar la relación señal/ruido con Definamos un espacio S que reúne todas las imágenes binarias tales que S(x,y,z) es 0 o 1 y en la cual el conjunto de píxeles donde S(x,y,z)=1 está conectado en forma simple Asumiendo pixelización suficiente Desestimando variaciones en λi

8 8 Modelo de formación de la imagen En base a lo anterior, es posible generar un modelo en base a a los parámetros (S, λi, λout, ω) Cómo determinar la probabilidad de una forma S, dada una imagen observada I obs y los parámetros λi, λout, ω?

9 9 Teorema de Bayes Thomas Bayes (1763) expresó la probabilidad condicional de ocurrencia de un evento aleatorio (A) dado B, cuando la probabilidad de B es distinta de 0.

10 10 Teorema de Bayes Sea un colegio con 60% de alumnos y 40% de alumnas Las alumnas usan falda o pantalón en igual proporción Todos los alumnos usan pantalones Cual es la probabilidad que un individuo elegido al azar, que usa pantalones, sea de sexo femenino?

11 11 Teorema de Bayes P(B A) Probabilidad que el estudiante lleve pantalones si es de sexo femenino 0.5 P(A) Probabilidad que el individuo en cuestión sea de sexo femenino. Dado que esta elegido al azar, es de 0.4 P(B) Probabilidad que un individuo al azar lleve pantalones. 0.4x x1 0.8

12 12 Teorema de Bayes Reemplazando en la ecuación

13 13 Likelihood Volviendo al modelo

14 14 Maximum likelihood Para computar la máxima probabilidad de p(s I obs ) Búsqueda local iterativa Inicios locales randomizados En cada iteración se elige un pixel al azar Solo hacen flip los pixeles conectados al borde S Constrain topológico: El número de conexiones en regiones 3x3 debe permanecer constante

15

16 16

17 17 Maximum likelihood penalizada Dado el pobre rendimiento de MLE en condiciones de baja señal ruido, se introduce la penalización Q(S), que tiende a ser máxima cuando el perímetro de S aumenta

18 18

19 19 Cadenas de Markov Monte Carlo Cadena de Markov es un proceso estocástico que cumple con la propiedad de Markov en la cual el eslabón n i de la cadena depende exclusivamente de n i -1 y no de los estados previos MCMC corresponde a algoritmos para implementar una estrategia de muestreo de una distribución de probabilidad dada, basados en la construcción de una cadena de Markov que tiene la distribución de interés al alcanzar el equilibrio

20 20 Cadena de Markov

21 21 Cuantificando la incertidumbre Muestreo por MCMC Elección de un pixel i al azar Con niveles bajos de SNR, el modelo no describe adecuadamente S true

22 22

23 23

24 24 Conclusión Implementación de métodos bayesianos para la cuantificación de la forma neuronal MLE entrega una pobre recuperación de la morfología; los métodos de penalización son ofrecen una alternativa más eficiente Muestreo por MCMC permite establecer el error del modelo en representar la estructura real.

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