Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

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1 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y geométrica. Hallar la suma de los térmios de ua progresió aritmética fiita y geométrica fiita o ifiita. Hallar el producto de los térmios de ua progresió geométrica fiita. Resolver problemas co la ayuda de las progresioes. Resolver problemas de iterés compuesto. Ates de empezar..sucesioes.. pág. 74 Defiició. Regla de formació Térmio geeral.progresioes Aritméticas.. pág. 75 Defiició Térmio geeral Suma de térmios 3.Progresioes Geométricas... pág. 77 Defiició Térmio geeral Suma de térmios Suma de todos los térmios Producto de térmios 4.Aplicacioes... pág. 79 Iterpolació Iterés Compuesto Resolució de problemas Ejercicios para practicar Para saber más Resume Autoevaluació Actividades para eviar al tutor MATEMÁTICAS 3º ESO 7

2 7 MATEMÁTICAS 3º ESO

3 Progresioes Ates de empezar? Para empezar, te propogo u juego secillo, se trata de averiguar la ficha de domió que falta e cada caso. MATEMÁTICAS 3º ESO 73

4 Progresioes. Sucesioes Defiició. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a, a, a 3, a 4, a 5, a 6,... Cada elemeto de la sucesió se llama térmio de la sucesió. Para desigarlos se emplea subídices. Los térmios de las sucesioes se puede determiar a partir de cierto criterio, este criterio se deomia regla de formació. Térmio geeral El térmio geeral de ua sucesió es el que ocupa u lugar cualquiera,, de la misma, se escribe a Hay sucesioes cuyo térmio geeral es ua expresió algebraica, que os permite saber cualquier térmio de la sucesió sabiedo el lugar que ocupa,. E otras, cada térmio se obtiee a partir de los ateriores, se dice que está dadas e forma recurrete. Ua relació de recurrecia es ua expresió algebraica, que expresa el térmio e fució de los ateriores. 4, 7, 0, 3, Primer térmio: a 4 Segudo térmio: a 7 Tercer térmio: a 3 0 Cuarto térmio: a 4 3 Cada térmio se obtiee del aterior sumádole 3. a a a 3 a a 4 a , 8,, 6, Cada térmio se obtiee multiplicado el lugar que ocupa por 4 a 4 4 a 4 8 a a EJERCICIOS resueltos. El primer térmio de ua sucesió es 4, escribe los cuatro primeros térmios de ella si: Cada térmio es igual al aterior más el lugar que ocupa : a 4 a a a Escribe la regla de formació de la siguiete sucesió: 3, 8, 3, 8,... Cada térmio es igual al aterior más 5 3. Escribe los cico primeros térmios de la sucesió formada por los cuadrados de los úmeros aturales a partir del a a 4 a 3 9 a 4 6 a Calcula los 4 primeros térmios de la sucesió de térmio geeral: a a a a3 a Escribe los 5 primeros térmios de ua sucesió cuya regla de formació es: Cada térmio es la suma de los dos ateriores a 3 y a 7 a 3 a 7 a a a Escribe el térmio geeral de estas sucesioes: a), 3, 4,5, 6,... a + b), 4,8,6,3,... a 74 MATEMÁTICAS 3º ESO

5 Progresioes. Progresioes Aritméticas, 4, 6, 8, d d>0 CRECIENTE 7, 5, 3,, d- d<0 DECRECIENTE Para obteer la diferecia basta restar dos térmios cosecutivos. Defiició Ua progresió aritmética es ua sucesió e que cada térmio (meos el primero) se obtiee sumado al aterior ua catidad fija d, llamada diferecia de la progresió. Si d>0 los úmeros cada vez so mayores, se dice que la progresió es creciete. Si d<0 los úmeros cada vez so meores, se dice que la progresió es decreciete 3, 5, 7, 9,, a 3 d a 3 + (-) Así por ejemplo: a a Térmio geeral E ua progresió aritmética cada térmio es igual al aterior más la diferecia. Observa: a a + d a 3 a + d a + d a 4 a 3 + d a + d + d a + 3 d a 5 a 4 + d a + 3 d + d a + 4 d y siguiedo así sucesivamete, se llega a: a a + (-) d El térmio geeral de ua progresió aritmética es: a a + (-) d dode a es el primer térmio y d la diferecia., 4, 6, 8, 0, a + a + S 6 4 Suma de térmios E ua progresió aritmética fiita de térmios, la suma de térmios equidistates de los extremos es igual a la suma de ellos: a +a a +a - a 3 +a - A partir de esta propiedad se obtiee que la suma S a +a +...+a de los primeros térmios de ua progresió aritmética es: a + a S MATEMÁTICAS 3º ESO 75

6 Progresioes EJERCICIOS resueltos 7. Determia la diferecia de las siguietes progresioes aritméticas: d a5 a4 a4 a3 a3 a a a a), 4,7,0,3... d d a5 a4 a4 a3 a3 a a a b) 8, 6, 4,, 0,... d d a5 a4 a4 a3 a3 a a a c),6,0,4,8,... d Escribe el térmio geeral de las siguietes progresioes aritméticas: a) 4, 6, 8,0,... a a + ( )d 4 + ( ) + b) 3,, 5, 9,... a a + ( )d 3 + ( ) ( 4) c) 5, 8,,4,... a a + ( )d 5 + ( ) Calcular la suma de los 0 primeros térmios de la progresió aritmética:, 4, 6, 8,0,... a a + (0 )d a + a + 0 S Calcular la suma de los 0 primeros térmios de la progresió aritmética: 3, 7,,5,9,... a a + (0 )d a + a 3+ 4 S El primer térmio de ua progresió aritmética de diferecia 5 es 4 y el último térmio es 499.Halla la suma de todos ellos. a 4 d 5 4,9,4,9,... Hay que calcular e l úmero de tér mi os a a + ( )d ( ) a + a S MATEMÁTICAS 3º ESO

7 Progresioes 3. Progresioes Geométricas 3, 6,, 4, 48, razo r Defiició Ua progresió geométrica es ua sucesió e que cada térmio (meos el primero) se obtiee multiplicado el aterior por ua catidad fija r, llamada razó de la progresió. La razó se obtiee al hacer el cociete etre dos térmios cosecutivos: a a3 a4 a... r a a a3 a, 3, 9, 7, 8, r3 a a 3 - Térmio Geeral E ua progresió geométrica cada térmio es igual al aterior por la razó. Observa: a a r a 3 a r a r a 4 a 3 r a r a r 3 y siguiedo así sucesivamete, se llega a: El térmio geeral de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es a y la razó es r es a a r,, 4, 8,6, 3 r ; 6 a r 3 63 r S 63 6 a (r ) ( ) 63 S 63 r 6,8, 4,,,...; r a S r Suma de térmios La suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica de razó r es: S a r r ó bie Suma de todos los térmios S a (r ) r La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de razó r, es: a S r,, 4, 8, 6, ( 3) P Producto de térmios E ua progresió geométrica el producto de los térmios equidistates de los extremos es igual al producto de ellos: a a a a - a 3 a - A partir de esta propiedad se obtiee que el producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica es: P (a a ) MATEMÁTICAS 3º ESO 77

8 Progresioes EJERCICIOS resueltos. Determia la razó de las siguietes progresioes geométricas: a),, 4,8,6... a5 a4 a3 a r a 4 a3 a a r 8 4 b) 8, 7, 9, 3,,... a5 a4 a3 a r a 4 a3 a a r Escribe el térmio geeral de las siguietes progresioes geométricas: a) 4,,36,08,... a a r 4 3 b) 8,6, 3, 64,... a a r Calcula la suma de los 0 primeros térmios de la progresió geométrica:,, 4, 8,6,... a a (r ) ( ) 04 r S 03 a r 5. Calcula la suma de los térmios de ua progresió geométrica fiita de primer térmio, razó 3 y último térmio 43: a r a a ; a 43 ; r 3 S 364 r 3 6. Calcula la suma de todos los térmios de la progresió geométrica: 8, 4,,,... a 8 ; r S a r 7. Calcula el producto de los 8 primeros térmios de la progresió geométrica:,,,,, a ; r ; a P (a a ) MATEMÁTICAS 3º ESO

9 Iterpolar 4 medios difereciales etre 4 y 44. 4, x, x, x 3, x 4, 44 Progresió aritmética 444+(6-) d 405d d8 4,, 0, 8, 36, 44 Iterpolar medios geométricos etre 3 y 4. 3, x, x, 44 Progresió geométrica 43 r 3 8r 3 r 3, 6,, 4 4. Aplicacioes Iterpolació Progresioes Iterpolar sigifica colocar otros úmeros etre dos dados. Dados dos úmeros a y b, Iterpolar medios difereciales etre a y b es ecotrar x, x,, x úmeros de forma que a, x, x,, x, b forme ua progresió aritmética. Iterpolar medios proporcioales etre a y b es ecotrar x, x,,, x úmeros de forma que a, x, x,, x, b forme ua progresió geométrica. E cuáto se covierte 000 al 4% aual durate 5 años? t r C C + f C 000 6, 65 f + 00 EJEMPLO Ecuetra la fracció geeratriz de 0, EJEMPLO Ua persoa da limosa durate 7 días, cada día da más que el aterior; el primer día dio 0 y el último 6, cuáto ha dado e total?. 5 Iterés Compuesto Si al ivertir u capital durate u periodo de tiempo, t, a u rédito, r%, o se retira los itereses al fializar el periodo de iversió sio que se añade al capital decimos que es u iterés compuesto. El capital fial C f obteido al ivertir u Capital C, al rédito r %, durate t años, a iterés compuesto viee dado por la fórmula: + r C f C 0 00 Resolució de problemas t Si el tiempo viee dado e meses o días, basta sustituir r por el rédito mesual o diario y t por el º de meses o días. Observa alguos ejemplos de problemas resueltos co progresioes. SOLUCIÓN 0, 0, + 0,0 + 0, Es la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de primer térmio 0, y razó 0,. 0, 0, S 0, 0,9 9 SOLUCIÓN Las catidades dadas 0,,,., 6 forma ua progresió aritmética de primer térmio 0 y diferecia. El total es la suma de los 7 térmios: S MATEMÁTICAS 3º ESO 79

10 Progresioes EJERCICIOS resueltos 8. Iterpola 3 medios aritméticos etre 4 y 9 5, x, x, x, (5 ) d 4 4d d 6 x x x Iterpola 4 medios geométricos etre y 43:, x, x, x, x, r 43 r r 3 x 3 6 x x x Calcular el capital obteido ivirtiedo 000 al 3 % de iterés compuesto aual durate 5 años. t 5 r 3 Cf C , U árbol de rápido crecimieto multiplica su altura por cada año. Si al comezar el año medía 0 75 m, qué altura tedrá detro de 8 años? a 0 '75 ; a 0 '75 ' ; a 0 '75 '... a 0 '75 ' 3' m Lazamos ua pelota a lo largo de u pasillo. E cada bote que da avaza ua distacia igual a la mitad de la distacia aterior. Si al octavo bote cae e u foso de tierra y se para qué distacia habrá recorrido si ates del primer bote ha recorrido m? a ; a ; a 3 ; a 4,...; a La distacia que ha recorrido es la suma de todas 8 ( ) ( 55 ) a(r ) S 3'98m r MATEMÁTICAS 3º ESO

11 Progresioes Para practicar. Completa las sucesioes co los térmios que falta: a) 3, 7,,5,,,... b) 3, 6,, 4,,,... c) 3,6, 8, 4,,,... d) 5,0,7, 6,,, Averigua la ley de recurrecia de cada ua de las sucesioes: a) 3, 7,0,7, 7,... b) 3, 6,, 4, 48,... c) 3, 7,,5,9,... d) 9, 3, 6, 3, 9,.... Calcula los 4 primeros térmios de la sucesió de térmio geeral: a) a + 5 b) a + c) a + 6. Calcula el térmio geeral de las siguietes progresioes aritméticas. a) 4, 7,0,3,6,... b), 3, 5, 7, 9,... c) 7,,5,9, 3,... d) a 5 d) 3, 4, 5, 6, 7, Calcula el térmio geeral de las sucesioes: a),, 3, 4, 5,... b), 4, 9,6, 5,...,,,,,... c) d) ,,,, Calcula el térmio geeral de las siguietes progresioes geométricas. a) 4, 8,6, 3, 64,... b), 3, 9, 7, 8,... c) 6, 8, 4,,, d),,,, Halla el térmio 00 de la sucesió de térmio geeral: a) a 3 + b) a + 8. Calcula la diferecia de ua progresió aritmética si se cooce: a) a 0 30 y a 6 b) a y a 0 45 ( ) c) a + MATEMÁTICAS 3º ESO 8

12 Progresioes 9. Calcula la razó de ua progresió geométrica si se cooce a) a 9 80 y a8 6 b) a 0 40 y a Calcula el primer térmio de ua progresió aritmética si se cooce: a) a 0 34 y d 7 b) a 3 3 y d 3. Calcula el primer térmio de ua progresió geométrica si se cooce: a) a 7 30 y r b) a 6 95 y r 3. Calcula el úmero de térmios de ua progresió aritmética fiita si el primero es 00 el último 40 y la diferecia es Calcula la suma de los primeros 0 térmios de la progresió:, 4, 7,7, 0, Calcula la suma de los múltiplos de 3 meores de 000 y mayores que Calcula la suma de los primeros 8 térmios de la progresió:,, 4, 8,6, Calcula el producto de los primeros 8 térmios de la progresió:,,,,, Calcula la suma de los ifiitos térmios de la progresió: 6, 8, 4,,, Calcula el producto de los primeros 0 térmios de la progresió 6, 8, 4,,, Depositamos 6000 al 5 % de iterés compuesto aual. Cuáto diero tedré después de 3 años? 0. Determia el capital que co u iterés compuesto del 5% aual, produce 00 e 4 años.. Halla el capital obteido ivirtiedo 00 al 3 % de iterés compuesto aual durate 4 años?. Iterpola 6 térmios etre y 0 para que forme ua progresió aritmética. 3. Iterpola 3 térmios etre y 6 para que forme ua progresió geométrica 4. E u exame la primera preguta valía dos putos y cada ua de las siguietes valía tres putos más que la aterior. Si e total hay 50 pregutas, cuátos putos vale el exame? 5. El úmero iicial de moscas de ua població es de 50 y cada tres días el úmero de moscas se duplica, cuátas moscas habrá a los 30 días? 6. Escribe la fracció geeratriz de ',utilizado la suma de ua progresió. 7. E ua progresió geométrica el térmio sexto vale 64 y el cuarto es 6. Halla el térmio geeral. 8. Los águlos de u triágulo está e progresió aritmética, si el más pequeño mide 40º cuál es la medida de los otros dos? 8 MATEMÁTICAS 3º ESO

13 Progresioes Para saber más La sucesió de Fiboacci Ua de las sucesioes más coocidas es la sucesió de Fiboacci.,,, 3,5, 8,3,, 34,... La sucesió es la solució al problema que se platea e su obra Liber abaci Ua pareja de coejos tarda u mes e alcazar la edad fértil. Cada vez egedra ua pareja de coejos que, a su vez, tras ser fértiles egedra cada mes ua pareja de coejos. Cuátas parejas habrá después de u úmero determiado de meses? a Fórmula de recurrecia: a a + a + + Térmio Geeral: Leoardo de Pisa (Fiboacci) Espiral de Fiboacci Número de oro: Si dividimos cada úmero por el aterior la sucesió de cocietes se acerca al úmero de oro: φ + 5 MATEMÁTICAS 3º ESO 83

14 Progresioes Recuerda lo más importate Sucesió: Es u cojuto de ifiitos úmeros dados de forma ordeada. Térmio de ua Sucesió: Cada uo de los úmeros que forma la sucesió.. Progresió Geométrica Es aquella sucesió e que cada térmio es igual al aterior multiplicado por ua catidad costate llamada razó de la progresió. Térmio geeral a a r Sucesió decreciete: Es aquella e que cada térmio es meor que ela aterior. Sucesió creciete: Es aquella e que cada térmio es mayor que el aterior. Suma de térmios S a(r ) r a r a S r Suma de los ifiitos térmios a S < r < r Progresió Aritmética Es aquella sucesió e que cada térmio es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió. Térmio geeral a a + ( )d Térmios equidistates de los a a a a a a... extremos P a a Producto de témios ( ) Térmios equidistates de los extremos a + a a + a a + a... Suma de témios a S + a Iterpolació Dados úmeros a y b, iterpolar medios (difereciales ó geométricos) etre a y b es ecotrar x,x,..., x úmeros de forma que a,x,x,..., x,b forme ua progresió (aritmética ó geométrica) Iterés Compuesto El capital fial C f obteido al ivertir u Capital C, al rédito r %, durate t años, a iterés compuesto viee dado por la t r fórmula: Cf C MATEMÁTICAS 3º ESO

15 Progresioes Autoevaluació. Escribe el térmio 95 de la sucesió: 0,,, 3, Escribe el térmio geeral de la sucesió: 4, 7, 0, 3, Escribe el térmio geeral de la sucesió:,, 4, 8, Escribe el térmio 6 de la sucesió:, 4,6, 64, Halla la suma de todos los térmios de la progresió: 8, 4,,, Halla la suma de los 00 primeros térmios de la progresió:, 4, 7,0, Halla el producto de los 8 primeros térmios de la progresió: 4096,5, 64, 8, Cuáto diero me devolverá el baco si hago ua imposició de 3000 aplazo fijo durate 5 años al 3% de iterés compuesto aual. 9. Calcula la suma de todos los múltiplos de 3 de tres cifras. 0. El padre de Jua decide guardar u euro el día que Jua cumple u año. Irá duplicado la catidad e todos los cumpleaños de su hijo. Cuáto diero habrá ahorrado el día que cumpla 3 años? MATEMÁTICAS 3º ESO 85

16 Progresioes Solucioes de los ejercicios para practicar. a) 9 y 3 b) 48 y 96 c) y d) 37 y 50. a) 6, 7, 8, 9,... b),, 4, 8, c), 4, 5, 6,... d) 5,0,5,0, a) a b) a + c) a d) a + 4. a) a b) a 0 99 c) a 0 5. a) a a + a b) a a c) a a + 4 d) + a a a a) a 3 + b) a c) a d) a + 7. a) a + b) a 3 5 c) a d) a 8. a) 4 b) 5 9. a) 5 b) 0. a) -99 b) a) 5 b) / ,,,,, ,, /9 7. a y80 Solucioes AUTOEVALUACIÓN. 04/97. a 3 3. a No olvides eviar las actividades al tutor MATEMÁTICAS B 86

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