Solución: Coloreando el tablero con casillas de dos colores al estilo del tablero de coronas (damas) como se muestra en la figura 2.

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1 Algunos prolems. L olorión en ls mtemátis L olorión en ls mtemátis no es más que provehr lguns iferenis que estleemos entre los entes empleos en un prolem prtiulr, similr l utili e ls nemotenis en l progrmión, lógi, mtemáti, et. Esrito en un lenguje oloquil, logrr un ientifiión on el prolem que lo hg más entenile y fáil e trjr, en fin más igerile. Por ejemplo si neesitos iferenir os os e juegos e zr, iremos que uno e ellos es zul y el otro es rojo. Sin emrgo strí eir que uno e los os está limpio y el otro no lo está. O lo que es lo mismo, estleer un ifereni entre mos entes unque est se poo pereptile. Aemás trvés e ls iferenis mrs en los entes, enontrmos prolems que resultn impenetrles priori por el esonoimiento e est téni y posteriori resultn senillos e resolver y entener. En vist logrr un onoimiento iniil e ls oloriones en los tleros está heho este esrito. Con el ojetivo e que estuintes onursntes en olimpis o spirntes ells, inluyn est rm en su rsenl pr tr y soluionr los iferentes prolems. Prolem iniil. Tenemos un tlero e 8x8 y 31 fihs e omino que tienen l prtiulri e que un e ells puee oupr extmente l región e os sills ontigus el tlero (omo se muestr en l figur 1). Se quiere olor ls 31 fihs e omino en el tlero e mner que quee el tlero uierto por fihs e omino exepto ls os sills e los extremos e l igonl prinipl. De ser posile etermine l istriuión e ls fihs e omino. Figur 1 Csill no uiert por fihs e omino. Fih e omino que oup os sills ontigus el tlero. Soluión: Coloreno el tlero on sills e os olores l estilo el tlero e orons (ms) omo se muestr en l figur 2. Figur 2

2 Tenemos que fih el omino l ser olo en el tlero e mner que oupe os sills ontigus (y se vertil u horizontl) oup un sill ln y un sill negr o se l olor ls 31 fihs ests ouprn 31 sills negrs y 31 sills lns por lo que resultrí imposile que l olor ls 31 fihs queen por urir os sills negrs. Y por tnto result imposile olor ls 31 fihs el omino e mner que queen lire los extremos e l igonl prinipl. En este so lo provehle e l olorión fue que os sills on un lo omún el tlero tienen un olorión iferente. L olorión emple fue l más omún e os olores. El llo el jerez. Est mism olorión tiene l prtiulri e que el llo el jerez slt e un sill el tlero otr e olor iferente. Por eso preismente no se puee en un tlero e 5x5 omenzr un reorrio on movis e llo e jerez, iniino en un e sus sill, psr por tos sin repetir ningun y terminr en l sill iniil on movis e un llo. Pues pr que se puier relizr eemos tener un nti iéntis e sills negrs y sills lns (no puee ser impr). Prolem 3 e l 40º IMO, Burest, Rumni Vemos pues otrs ones e l mism olorión trvés el prolem 3 e l 40º IMO, Burest, Rumni Se onsier un tlero uro e n x n, one n es un entero positivo pr. El tlero se ivie en n 2 uros unitrios. Deimos que os uros istintos el tlero son yentes si tienen un lo en omún. Se mrn N uros unitrios el tlero e tl mner que uro (mro o sin mrr) es yente por lo menos un uro mro. Determinr el menor vlor posile e N. Soluión: Si oloremos el tlero e nxn on os olores negro y lno omo en l figur 2, notremos que ls sills yentes ls lns son negrs y ls negrs son lns. Por tnto se eue que pr que tos ls sills lns tengn lgun sill yente mr, eemos usr sólo en ls mrs negrs y vievers. De one onluimos que el número mínimo e sills lns mrs es igul l número mínimo e sills negrs mrs eio que n es pr y hy simetrí en el tlero oloreo. Hst quí tenemos un por iento el prolem pero no semos uál es l nti mínim e sills mrs sólo onoemos que es pr. Si relizmos un olorión sore ls sills negrs omo se muestr en l figur 3 (mrno en ls igonles negrs impres ls posiiones impres) tenremos entones k sills negrs mrs, ls ules umplen que tos ls sills lns son yente lgun e ells, inino esto que el vlor mínimo e sills negrs mrs es menor o igul k. Pero por otr prte notemos que ests k sills negrs mrs están istriuis e form tl que ls sills lns mrr que sen yentes ells son iferentes, lo ul nos ie que el vlor mínimo e sills lns mrs es myor o igul k. Y omo tenímos que el número mínimo e sills lns mrs es igul l número mínimo e sills negrs mrs entones el menor vlor posile e N es 2k, pero k oinie on l sum n/2. Por lo que onluimos que el menor vlor posile es N = r(r +1) one r = n/2.

3 Figur 3 Prolem e pepito. Un niño (pepito) trtno e ompletr un puzzle h oloo tres e sus piezs (tos e l mism form) que oupn ls posiiones que muestr l figur 4. Será posile ompletr el puzzle on ess tres piezs fijs? Figur 4 Soluión: Notemos que iho tlero es e 9x9, por lo que serí 27 piezs un oupno 3 sills el tlero. Si emplemos un olorión e os olores Blno y Rojo omo se ini en l figur 5, one tmién están presentes ls tres piezs olos por pepito. Entones notremos que ningun e ls tres piezs olos oup lgun e ls sills rojs y que por emás sill roj será uiert por piezs istints, e ser posile tl urimiento el tlero, gris form e ls fihs. Figur 5 Bjo ests oniiones l nti e piezs utilizr nun será menor que l nti e sills rojs (25) más tres por ls fihs y puests, o se 28 lo ul entr en ontriión totl on que se relmente 27 piezs pr urir el tlero e 9 x 9

4 puesto que 3 x 27 = 81. Por tnto tenemos que l operión e urir el tlero on ls piezs el puzzle poyos en ls olos por pepito es imposile. Prolem 5 e l II OIMU Vemos un olorión e 5 olores l ul fue emple pr resolver el prolem 5 e l II OIMU (2 e oture e 1999). En el juego tetris-5 se utilizn utro tipos e fihs que tienen un e sus rs pints e negro y otr e lno tl omo se muestrn en l siguiente figur. Ls fihs pueen ser olos en un tlero uriulo e m x n en ulquier posiión siempre y uno no se superpongn y tengn l r negr hi rri. () Demostrr que se puee reurir un tlero e 8 x 8 que no ontiene sus utro esquins. () Demostrr que no se puee reurir un tlero e 1999 x 2001 que no ontiene sus utro esquins. Soluión En el prolem se utilizn los utro tipos e fihs el juego tetris-5, on ls rs e un olor fijo hi rri ini que sólo se pueen rotr ls piezs (figur 6). Pr resolver el iniso st on eir un poo e nuestro tiempo, y pr el iniso no poyremos en un olorión. Figur 6 Figur L olorión emple en este prolem puee ser e ino olores 1, 2, 3, 4 y 5 los ules por fils preerán ílimente en ese oren y por olumns ílimente omitieno uno e ellos pero mntenieno el oren. En l figur 7 se muestr un posile uiión e ls oloriones e ls sills que oupn ls fihs. Done tos uren un sill e olor, solo fltrí nlizr ls rotiones y trsliones e ls piezs que tmién urirán un sill e olor. Con est olorión notemos que nuestro tlero e 1999x2001 present sills e los olores 1, 2, 3 y 5, pero sills e olor 4. Y ls esquins el tlero son ls superiores e olor 1 y ls inferiores e olor 2. Lo ul entr en ontriión on que piezs ur un sill e olor, pues l olor fihs sin superposiión ejmos lires 4 sills e olores istintos. Hints pr el prolem 3 e l 34º IMO, Turquí 1993 Vemos os oloriones e os y tres olores que nos yun soluionr el prolem 3 e l 34º IMO, Turquí En un tlero e jerez infinito, un prtio es jugo omo sigue. Pr omenzr, n 2 piezs son olos en un tlero e n x n uros ontiguos, un piez en uro. Un movimiento en el juego es un slto en un ireión horizontl o vertil

5 sore un uro yente oupo un uro esoupo.l piez que h sio slt es elimin. Enuentr esos vlores e n pr que el juego pue r on sólo un piez en el tlero. L soluión el prolem es pr n no ivisile por 3. En un e ls vís e emostrión se plnten explíitmente ls soluiones pr n=2 y n=4, y on yu e un proeso inutivo se reue e otrs imensiones myores ests. Luego pr emostrr que pr n ivisile por 3 no es posile que el juego e on un sol piez nos poemos poyr en ls os oloriones mostrs en l figur 8: Un e tres olores, y oloreno ílimente y mntenieno el oren por fils y por olumns. L rterísti e est olorión que nos permite resolver el prolem es que en movi el juego intervienen tres sills yentes en fil o en olumn y por tnto un e olor iferente. L segun olorión e l figur 8 es e os olores lno y negro one l peuliri es que tres sills yentes por fils o por olumns uren en ulquier e sus vrintes un nti pr e sills negrs o se ningun o os. Figur 8 Otrs oloriones pr estrtegis e movimientos. Supongmos que en ierto juego existe un fih que se mueve por un tlero en tres ireiones posiles pero sólo vnz e un en un ls sills: Si ls tres ireiones en que se mueve l fih son ls mostrs en l figur 9, l olorión utilizr puee ser l mostr en l mism figur 9, o se e tres olores, y por fils oloreno ílimente mntenieno el mismo oren y por olumns e form íli, omitieno uno e los olores y mntenieno el oren. Con est olorión provehmos que l fih e un sill e olor sólo puee llegr un e olor, tmién tenemos que l fih e un sill e olor sólo puee llegr un e olor y que l fih e un sill e olor sólo puee llegr un e olor. Por est rzón poemos segurr que pr que en un tlero retngulr pue ser reorrio por un e ls referis fihs psno por tos ls sills, sin repetir l visit y ulminr en l mism sill iniil. Tiene que poseer l menos luego e l olorión l mism nti e sills e olor, y. Lo ul onllev l oniión neesri e que l nti e sills el tlero se ivisile por 3. Figur 9 Figur 10

6 Si ls tres ireiones en que se mueve l fih son ls mostrs en l figur 10, l olorión utilizr puee ser l mostr en l mism figur 10, o se e utro olores,, y por fils oloreno ílimente mntenieno el mismo oren y por olumns e form íli, omitieno uno e los olores y mntenieno el oren. Con est olorión provehmos que l fih e un sill e olor sólo puee llegr un e olor, tmién tenemos que l fih e un sill e olor sólo puee llegr un e olor, emás que l fih e un sill e olor sólo puee llegr un e olor y que l fih e un sill e olor sólo puee llegr un e olor. Por est rzón poemos segurr que pr que en un tlero retngulr pue ser reorrio por un e ls fihs psno por tos ls sills, sin repetir visits y ulminno en l sill iniil. Tiene que poseer l menos, luego e l olorión l mism nti e sills e olor,, y. Por lo ul l nti e sills el tlero tiene que ser múltiplo e 4. Prolem finl (eloro por Leonel) En un tlero e nxn sills, on n myor que ino tos ls sills son lns exepto un negr. En el tlero se pueen relizr operiones e mio e olorión en tos ls sills e un mism fil, e un mism olumn o un mism igonl on l intensión e que tos lleguen ser el mismo olor. Determine ls posiles posiiones e l sill negr e moo que en un momento etermino puen tos ls sills llegr ser el mismo olor. Soluión: Anliemos lo que suee en un tlero e 4x4. En un tlero e 4x4 notemos que l sill negr no puee ser un e ls sills grises e l figur 11. Pues si iniilmente un e ells es negr entones luego e ulquier nti e operiones l nti e sills negrs entre ells es impr, lo ul onllev que nun lleguen ser tos el mismo olor. Esto se ee que por l istriuión e ls 8 sills olores, l relizr ulquier operión que mie l olorión e un e ells relmente mi extmente os e ells (figur 11) y por tnto l nti e sills negrs entre ells siempre serí impr. Figur 11 Esto es pr un tlero e 4x4, pero est olorión se puee her en su-tlero e 4x4, o se trslmos vertil y horizontl est olorión omo se muestr en

7 figur 12 y llegremos que en los tleros e nxn on n > 5, ls posiles posiiones e l sill negr nos que sólo en ls esquins el tlero y on un sol operión le mimos en olor y tos ls sills el tlero psrín ser lns. Figur 12 L restriión e que n se myor que 5 fue usno uniformi en l soluión, sí que e este moo que propuesto pr el letor el ejeriio pr los tleros e nxn on n menor o igul que ino. Ests misms onlusiones otenis on yu e ls oloriones en los tleros son lnzs on rzonmientos lógios equivlentes iferenir los elementos e trjo. Por ejemplo uno tenemos un olorión e os olores es omo estleer os estos iferentes (iviir los sos en os) no tienen que ser olores por omoi o pr un mejor ompresión emplemos los olores pero pueen ser 0 y 1 poyos inluso en operiones el lger e Bolee o en l ongrueni móulo 2. Estrí intereso en que lguno e ustees, los letores, me hg llegr ví orreo eletrónio prolems y/o soluiones one se pue empler este tipo e estrtegi. Mi orreo eletrónio es

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