INTRODUCCION..2 ANALISIS POSOPTIMO O DE SENSIBILIDAD.3. CAMBIOS EN LA VARIABLE DE COEFICIENTE.3 SOLUCIOON DE EJMPLO 2.14

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1 INDICE: 1 INTRODUCCION.. ANALISIS POSOPTIMO O DE SENSIBILIDAD.3. CAMBIOS EN LA VARIABLE DE COEFICIENTE.3 CAMBIOS QUE AFECTAN LA FACTIBILIDAD..5 SOLUICON DE JEJMPLO 1..7 SOLUCIOON DE EJMPLO.14 CONCLUCIONES 17 BIBLIOGRAFIA..18 1

2 INTRODUCCION EL ANALISIS DE SENCIBILIDAD O TAMBIEN LLAMADE ANALISIS POSOPTIMO ES UYN TRABAJOP QUE SE REALIZARA A TOMAR EN LA UNIDAD NUMERO 5 DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS DE LA MATERIA TECNICAS DE PLANEACION PARA LA CARRERA DE ELECTRONICA EN EL INTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD GUZMAN. ESTE TRABAJO AYUDARA A LA COMPRENSION DEL TEMA Y ABRIR EL CONOCIMIENTO DEL MISMO, ESTE TRABAJO RECOPILA UN RESUMEN DE INFOPRMACION OBTENIDA EN VARIOS LIBROS Y DE PAGINAS DE INTERNET. EL RESUMEN ESTA HECHO A BASE DEL INTERCALE DE INFORMACION DE LA FUENTE BIVLIOGRAFICAS QUE SE PRESENTARAN AL FINAL.

3 ANALISIS POSOPTIMO O DE SENSIBILIDAD La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original. Definiciones generales del Análisis de sensibilidad Efecto neto. - Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero. f j = efecto neto Ejemplo: Realizar un análisis de sensibilidad para el siguiente modelo. Maximizar: Xo = 10X1 + 15X + 4X3 + X4 sujeto a: 10X1 + 0X + X3 + 3X4 <= 4,000 5X1 + 5X + 5X3 + 4X4 <= X1 + X + 6X3 + 6X4 <= 800 " X1, X, X3, X4 >= 0 Solución óptima del problema. Base Xo X1 X X3 X4 X5 X6 X7 Sol. Xo /3 5 /3 0 5/6 3, X /5-1/15 1/15 0-1/6 400/3 X /3-3/ -1/6 1-5/6 500/3 X /15 19/10-1/30 0 1/3 400/3 3

4 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO. El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización. Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes. Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica. Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj en el coeficiente objetivo de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la inmejorabilidad de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocaciones si lo haga. Por este motivo, se considerarán a continuación dos alternativas de cambio mutuamente exclusivas en el Cj de una variable no-básica. (1) cuando Cj < Cj (maximización) en la solución óptima actual f j = Cj - Zj <= 0 ==> f j = Cj - Zj < 0 Con lo cual la inmejorabilidad no se infringe. En consecuencia, se deduce que cuando el Cj < Cj en un problema de maximización, la solución óptima actual no se alterara, lo mismo en minimización con Cj > Cj. () cuando Cj > Cj (maximización) Es claro que solamente cuando el precio de la utilidad de una variable no-básica se incrementa, Cj > Cj, en un problema de maximización, surge la posibilidad de que se altere la inmejorabilidad y por ende la optimidad actual. fj = Cj - Zj <= 0 ==> Cj <= Cj -fj o alternativamente, cuando Cj <= Cj + I fj I Es decir, si el nuevo Cj satisface la desigualdad, la actual solución permanece óptima; de lo contrario, debe calcularse el f j el cual será positivo, e introducirse Xj a la base para encontrar la nueva solución óptima. Ejemplo: Cambio en el Cj de una variable no - básica. Para el problema dado. a) determinar los rangos de variación en la utilidad unitaria de las variables no-básicas, tal que la solución óptima no se altere. b) Evaluar los efectos de un incremento en la utilidad unitaria del producto 3 de $4 a $5. c) Evaluar el efecto de de un aumento en la utilidad actual del producto 4 de $ a $8. a) Cj <=Cj + I fi j I C3 <= 4 + I -7/3I <= 19/3 4

5 C4 <= + I -5I <= 7 C5 <= 0 + I -/3 I <= /3 C7 <= 0 + I -5/6 I = 5/6 b) Dado C3 = 5 = 15/3 satisface el límite máximo de 19/3, por lo tanto, el incremento no modifica la solución óptima actual. C) Ya C4 = 8 sobrepasa el límite de incremento en C4, la solución óptima actual cambiará. El nuevo f4 es f4 = C4 - Z4 = 8-7 = 1 y al ser positivo, X4 debe entrar a la base. Base Xo X1 X X3 X4 S1 S S3 Sol. Xo /3-1 /3 0 5/6 3, X /15-1/15 1/15 0-1/6 400/ X /3-3/ -1/6 1-5/6 500/ X /15 19/10-1/30 0 1/3 400/3 4000/57 5

6 CAMBIOS QUE AFECTAN LA FACTIBILIDAD Existen tipos de cambios que pudieran afectar la factibilidad de la solución actual 1. Cambios en la disponibilidad de recursos (o segundo miembro de las restricciones) y. Adición de nuevas restricciones. Consideraremos cada caso en forma individual. Cambio en el segundo miembro de las restricciones Supóngase que en el modelo Reddy Mikks, la disponibilidad de la materia primaria A se cambia a 7 toneladas en vez de 6 toneladas actuales. Cómo se ve afectada la solución actual? Sabemos que los cálculos primarios -duales que los cambios en el segundo miembro de las restricciones solo pueden afectuar al segundo miembro de una tabla optima; Es decir solo pueden afectar la factibilidad. Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es volver acalcular el nuevo segundo miembro de la tabla original (la matriz inversa se muestra en una region sombreada de la tabla optima.) La nueva solución (básica) del problema es : Como los elementos del segundo miembro se mantienen ni negativos, las variables básicas actuales permanecen sin cambios. Solo sus nuevos valores se transforman en. 6

7 EJEMPLO NO. 1 ANALISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Y DE LAS RESTRICCIONES ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO. (SOLUCION GRÁFICA) x y x + y 0 x + 3y 6 x + y = 10 x + 3y = 30 Función objetivo Coeficiente Cx -1/1 -( +?Cx)/3-8? Cx 1 Coeficiente Cy 7-1/1 -/(3 +?Cy) -1?Cx 8

8 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO. (SOLUCION GRÁFICA) a) Coeficientes de la función objetiv o Solo es necesario hacerlo para las variables originales. a.1) Variables básicas - Las variables x e y son básicas ya que figuran en la base (aunque x valga cero). - La variable x saldrá de la base cuando algún coste reducido sea menor o igual a cero. - Solo debemos examinar la columna S(1). El resto no sufren modificaciones al variar el coeficiente asocia do a x (C x) Cx Zx = 0 [ +?Cx(1/3) 3*(1/3) 0*(/3)] = 0 Por tanto:?cx = 1 Puesto que no hay otras columnas a examinar, concluimos que el coeficiente Cx podrá aumentar en 1 (de hasta 3) y podrá disminuir todo lo que se quiera. - Análogamente, para la sensibilidad de Cy tendremos: Cy Zy = 0 [*(1/3) (3 +?Cy)*(1/3) 0*(/3) = 0 Por tanto:?cy = -1 - Concluimos que el coeficiente y podrá disminuir en 1 (de 3 hasta ) y podrá aumentar todo lo que se quiera. a.) Variables no básicas No hay variables originales no básicas. 8

9 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 1ª RESTRICCIÓN (SOLUCION GRÁFICA) x y x + y 0 x + 3y 6 x + y = 10 x + 3y = 30 Función objetivo Es posible desplazar 5x + y hasta el punto x = 10; y = 0 en el que 5x + y = 50 sin que ninguna variable tome un valor negativo. Por tanto, el aumento permisible es de 0 hasta 50. esto es, 30. No es posible desplazar 5x + y hacia el origen, porque entonces la solución sería infactible. 9

10 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ª RESTRICCIÓN (SOLUCION GRÁFICA) x y x + y 0 x + 3y 6 x + y = 10 x + 3y = 30 Función objetivo Es posible desplazar x + 3y hasta el punto x = 0; y = 10 en el que x + 3y 30 sin que ninguna variable tome un valor negativo. Por tanto, el aumento permisible es de 6 hasta 30, esto es, 4. Se puede desplazar la restricción todo lo que se quiera ha sta el origen y la solución no cambia, por lo que la disminución permisible es 8. 10

11 ANÁLISIS D E SENSIBILIDAD 3ª RESTRICCIÓN (SOLUCION GRÁFICA) x y x + y 0 x + 3y 6 x + y = 10 x + 3y = 30 Función objetivo Es posible desplazar x + y hasta el cruce de las restricciones 1ª y ª. Esto es, el punto en el que 5x + y = 0 y x + 3y = 6. la solución de este sistema es x = 48/13; y = 10/13. Aplicada esta solución a la 3ª restricción, nos da 48/ /13 = 58/13 que es el valor mínimo que puede tomar la 3ª restricción. Si ahora el lado derecho vale 10 y solo puede valer 58/13, puede disminuir en 10 58/13 = 78/13 = 5,5384. No se puede desplazar hacia arriba, porque el problema sería infactible. 11

12 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES (SOLUCIÓN NUMÉRICA) 1ª RESTRICCIÓN 5x + y /3? b 1 0?b /3? b 1 0?b ?b /3? b 1 0?b 1 36 ª RESTRICCIÓN x + 3y 6 Es una restricción no activa que en el óptimo vale 30. Por lo tanto, es posible incrementar 30 6 = 4-8?b ª RESTRICCIÓN x + y = 10 0 /3? b 3 0?b /3? b 3 0?b ,5384?b /3? b 3 0?b 3-7/13 = ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES (SOLUCIÓN MEDIANTE SOLVER). A continuación se presenta la solución del análisis de sensibilidad obtenido mediante Solver que, como puede comprobarse, coincide con la obtenida anteriormente por los diferentes métodos. Debe observarse que en el programa original de Solver (por lo menos en la versión 10.0 en español) la última columna tiene un error en los letreros: en lugar de poner Disminución permisible figura en el original Aumento permisible. En la siguiente hoja este letrero ya ha sido cambiado y, por lo tanto, ya está en la forma correcta. 1

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14 14 EJEMPLO NO. Análisis de Sensibilidad Consideremos el siguiente ejemplo: 6.3 Análisis de Sensibilidad Consideremos el siguiente ejemplo: 0 0; = X X X X X X a s X X Z Máx

15 A partir de la resolución gráfica del problema se tiene: Solución óptima: x 1* = ; x * = El valor óptimo : Z = Z(,) = 70 El análisis de sensibilidad permite responder, entre otras, las siguientes preguntas: 1.- Cuál es el intervalo de variación de algún coeficiente de la función objetivo, de modo que la actual solución siga siendo la óptima? Sea Z = c 1 x 1 +c x La solución óptima de la nueva función seguirá siendo x 1* = ; x * = ssi: C 1 1 C 1 También podemos estudiar el intervalo de un sólo coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos: Para C 1 : C C Para C : C 30 C.- Cuál es la variación del actual valor óptimo de la función objetivo si cambio en una unidad algún coeficientes del lado derecho de las restricciones? Estudiamos por separado las variaciones de cada uno de los coeficientes del lado derecho de las restricciones, de modo que preserven la geometría del problema, esto es que se conserven las mismas restricciones activas de la solución óptima inicial. 15

16 Primera restricción. Mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x 1 = 0 y x = 4, de donde se obtiene: Z(0,4) = 15*0 + 0*4 = 80 y b 1* =0 + *4 = 8 Menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x 1 = 4 ; x = 0, de donde se obtiene: Z(4,0) = 15 *4 + 0*0 = 60 y b 1 = 4 + *0 = 4 De aquí, se calcula el precio sombra Π 1, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: Π 1 Z (0,4 ) Z ( 4,0 ) = * b 1 b1 = = 5 Segunda restricción: Mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x 1 = 6 y x = 0, de donde se obtiene: Z(0,4) = 15*6 + 0*0 = 90 y b 1* =*6 + *0 = 1 Menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x 1 = 0 ; x = 3, de donde se obtiene: Z(4,0) = 15 *0 + 0*3 = 60 y b 1 = *0 + *3 = 6 De aquí, se calcula el precio sombra Π, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: = Π Z (6,0) Z (0,3) * b b = 1 6 = 5 16

17 CONCLUCIONES EL ANALAISIS DE SENSIBILIDAD ES UNA POTENCIALIDAD DEL METODO DE SOLUCION DE `PROBLEMAS LINEALES. SE BASA EN EL ANALISIS DE UN PROBLEMAS SIMPLEX GRAFICO, A ESTE SE LE REALIZA UN ANALISIS DE POSIBLES VARIACIONES PARA MEJORAR EL RESULTADO OPTIMO Y PODER LLEGAR A TOMAR LAS MEJORES DECICIONES FUTURAS EN LAS OPERACIONES PROGRAMADAS PARA CUALQUIER ACTIVIDAD EMPRESARIAL. AL REALIZAR ESTE TRABAJO DOY EN RAZON QUE UNA EMPRESA DEBE ESTAR SUJETA A POSIBLES CAMBIOS EN LAS SITUACIONES DE PRODUCCION PARA NO CAER EN ERRORES DE PRODUCCION Y PARA SIEMPRE OBTENER EL MAXIMA DE GANANCIAS Y EL MINIMO DE GASTOS. 17

18 BIBLIOGRAFIA HANDY A. TAHO INVESTIGACIOON DE OPERACIONES ED. ALFAOMEGA *MOSKOWITZ Y WRHIGHT INVESTIGACION DE OPERACIONES ED. PRENTICE HALL EN EL INTERNET: tutoriales/investoper1/unidad4.htm - k apuntes.rincondelvago.com/ analisis-de-sensibilidad_1.html - 19k apuntes.rincondelvago.com/analisis -de-sensibilidad.html - 18k - 6 Nov k spanish/print/ency/article/ htm - 9k - 9k - 9k daa/web/temp/images/c_bio_cost.htm - 4k tutoriales/investoper1/tema41.htm - 4k economicas/ybueno/sensibi103.doc - 7k - 6k 18

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