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1 METODOLOGÍA PARA LA DETERMINACIÓN DE CRITERIOS DE EVASIÓN APLICABLES A UN ROBOT DE 2 GDL Autor: Francisco Javir Ochoa Estrlla, Coautors: Dr. Luis Rys, C. Dr. Eusbio Jiménz Lópz Instituto Tcnológico Suprior d Cajm, Carrtra Intrnacional a Nogals Km. 2 S. N. Apdo. Postal No. 754, FAX CD. Obrgón, Sonora México. -mail: fochoa@itsca.du.mx 67 RESUMEN En st trabajo s modla y simula un problma d vasión d obstáculos n l plano, ntr un robot d 2 grados d librtad y un obstáculo d gomtría circular. S analizan dos tipos d vasión: i) Usando class d movimintos dl robot y ii) A través d una trayctoria d contorno xpandido. En ambos procsos d vasión s utilizaron dos configuracions dl robot: codo arriba y codo abajo. Dichas configuracions furon modladas usando l álgbra d los númros compljos. La trayctoria d trabajo dl robot fu dl tipo pick and plac y sigu un sgmnto rctilíno. Furon gnrados 5 critrios d vasión los cuals furon programados y simulados con l lnguaj d programación VISUAL BASIC V6. Palabras clav: Evasión d obstáculos, movimintos, álgbra d compljos. ABSTRACT In this work it modls and simulats an vasion of obstacls problm on th plan, btwn a robot of 2 grads of frdom and an obstacl of circular gomtry. Two typs of vasion ar analyzd: i) Using typ of movmnts of th robot and ii) Through trajctory of xpandd outlin. In both procsss of vasion two configurations of th robot wr usd: lbow up and lbow down. Ths configurations wr modld using th algbra of th complx numbrs. Th trajctory of work of th robot was from th typ pick and plac and it follows a rctilinar sgmnt. 5 points of vasion wr gnratd which wr programmd and simulatd with th languag of programming VISUAL BASIC V6. Kywords: Evasion of obstacls, movmnts, algbra of complxs. INTRODUCCIÓN Un problma industrial d gran intrés, lo constituy l d la planación d la trayctoria a sguir por los mcanismos robóticos. Básicamnt st problma consist n ncontrar una scuncia d movimintos para l robot dsd una cirta configuración d inicio, hasta una configuración final vitando colisions con cualquir obstáculo dl ntorno. S han plantado difrnts nfoqus para la solución dl problma d vasión d obstáculos, considrando la modlación matmática, la rprsntación d objtos, así como los problmas rlacionados con la programación para fctos d simulación y d control n timpo ral. En l prsnt trabajo, s considra un robot articulado d dos grados d librtad tipo RR y un obstáculo fijo. En la figura s mustra un modlo d alambr dl mcanismo así como l ára y trayctoria d trabajo. La mtodología aplicada consist n dtrminar posicions límits ntr l robot y l obstáculo, a partir d las cuals s posibl dtrminar las configuracions y movimintos qu db ralizar l robot para lograr la vasión, la nuva ruta libr d obstáculos s dtrmina a través d la aplicación d

2 critrios gométricos. El alcanc d st trabajo, s validar los modlos y critrios d vasión a través dl dsarrollo d un programa d simulación, dond s prsnt l moviminto dl robot n un ntorno gráfico. 68 P f OE A T τ J J 2 P i Figura Ára (A T ) y trayctoria (τ) d trabajo, Robot (R o ) articulacions J y J 2, órgano fctor OE. OBJETIVOS En st trabajo s prtnd cumplir con los siguints objtivos: Construir los modlos cinmáticos dl robot. Establcr critrios para la planificación d una nuva trayctoria qu prmita al robot vadir l obstáculo y sguir su tara ncomndada. Validar los modlos obtnidos, dsarrollando un programa d simulación qu mustr: la capacidad dl robot para jcutar difrnts scuncias d movimintos, l moviminto rptitivo dl órgano fctor sobr la trayctoria d trabajo y la capacidad d vasión d obstáculos. I PROBLEMA DE EVASIÓN DE OBSTÁCULOS. S rquir modlar y simular l comportaminto cinmático d posicionaminto d un robot (R o ) d 2 grados d librtad cuando ncuntra obstáculos (O b ) n l ára d trabajo (A T ). El robot db sr capaz d vadir los obstáculos localizados n posicions spcíficas d A T o n su caso, dtrminar si s imposibl la vasión. Las rstriccions dl problma plantado antriormnt son las siguints:. El robot pos dos slabons rígidos articulados por juntas rotacionals cada uno d llos pud girar 360º y stá mpotrado n una bas fija (R ). 2. Las dimnsions principals d los slabons, sindo L y L 2 las longituds dl primro y sgundo slabón, satisfacn la rstricción L > L 2 (R 2 ). 3. La trayctoria (τ) jcutada por l robot s rctilína dl tipo Pick and Plac (R 3 ). 4. El ára total d trabajo (A T ) s conocida (R 4 ). 5. El obstáculo pos gomtría circular y s caractriza por la siguint rlación, sindo O b un obstáculo: O b = I o δ o. Aquí, I o s l intrior d O b y δ o su frontra (R 5 ). 6. El obstáculo prmanc fijo n l ára d trabajo (R 6 ).

3 7. El robot vad o no vad l obstáculo d acurdo con la posición d dicho obstáculo (R 7 ). 8. El moviminto dl robot s n l plano X-Y (R 8 ). El problma y sus rstriccions plantados antriormnt s pudn sinttizar d la manra siguint: Conocido R o, O b, la posición d O b n A T y τ, ncontrar un conjunto d critrios CE tal qu: R o, O b = n A T y las rstriccions: ) R = R ˆ 2) R 2 = R ˆ 2 3) R 3 = R ˆ 3 4) R 4 = R ˆ 4 5) R 5 = R ˆ 5 6) R 6 = R ˆ 6 7) R 7 = R ˆ 7 8) R 8 = R ˆ 8 san satisfchas. I. HIPÓTESIS Y AXIOMAS En sta scción s formula una hipótsis, así como un sistma d axiomas la cual prmitirá solucionar l problma plantado n la scción antrior. 69 Hipótsis: Si O b s tal qu: O E con O b O E n A T y si R o = T U E U E 2 con J = T E y J 2 = E E 2, ntoncs R o, O b = si y solo si: xist K: O O E tal qu: K(O) = O E s una función d xpansión. J δo E = J 2 δo E = O E ADM R AT Aquí : O b s l obstáculo. O E s l obstáculo xpandido E, E 2 son los slabons dl robot. J, J 2 son las juntas dl robot. K s la función d xpansión. R AT ADM son rgions admisibls dl ára d trabajo. El sistma d axiomas asociado con l problma son: Axioma. El moviminto dl robot satisfac las lys d Nwton. Axioma 2. Para todo O b n A T xist O E. Axioma 3. La función K: O b O E s continua. Axioma 4. Si O E xist n A T tal qu R I (Ro, O E ) =, ntoncs: 4. ) Ro O E = ó 4.2 ) Ro O E Aquí, R I : Ro X O E {,0} s una rlación d impacto dfinido por: a) R I (Ro, O E ) = O E A T b) R I (Ro, O E ) = 0 O E A T II. MODELO DE POSICIÓN DEL ROBOT. S stablc l modlo cinmático d posición utilizando l álgbra d los compljos (Rys A., 998), s han aplicado dos opracions: una rotación para stablcr la configuración d codo abajo y una rflxión para dtrminar la configuración d codo arriba. La figura 2. mustra ambas configuracions.

4 70 Figura 2. a) Codo abajo Figura 2. b) Codo arriba longituds principals d los slabons L y L 2 srán dnotadas con l y l 2. Las 2. Aplicando rotación y rflxión. Los vctors d posición qu unn l cntro d la junta J con la junta J 2 y d la junta J 2 al punto p OT L 2 mostrado n la figura 2., al cual s l llamará punto final d R o, stán dfinidos con rspcto a las bass locals, sto s: i) Mdiant rotación, l vctor d posición d p ot C 2, stá dado por: R (p ot ) = l RT / + l 2 RT // tals rotacions pudn xprsars, n l caso d compljos unitarios por: RT / = ρ(p, ) p RT // = ρ(q, RT / () ) =ρ(q, ρ(p, )) q p (2) dond ρ(p, ):R 2 R 2, p R 2, s la transformación linal (Rys L., 998) asociada con la rotación ROT. Sobr la bas d la xprsión (2), la cuación () pud sr scrita d la forma siguint: R (p ot )= l { p }+ l 2 {q p } (3) ii) Mdiant una rflxión, n la figura 2. s obsrva qu l vctor d posición qu localiza l punto trminal p ot pud sr scrito n la forma siguint: R (p ot ) REF2 REF2 / REF2 // = l + l 2 (4) El vctor R (p ot ) REF2 R 2 srá llamado l vctor rflctado bajo la transformación R 2 ( p, ) : R 2 R 2 REF2 / REF2 //, las bass rflctadas, R 2, pudn xprsars d la manra siguint: REF2 // REF2 = ρ 2 (q, / REF2 = ρ 2 (p, ) p / ) = ρ 2 (q, ρ 2 (p, )) q p (5) D acurdo a la xprsión (5), la cuación (4) pud sr scrita d la forma siguint: R (p ot ) REF2 = l { p } + l 2 { q p } (6) Los componnts d los compljos asociados p,q R 2 son dfinidos como: p R 2 p=(p o, p ) p o R p o = Cos θ p R p = ±Sn θ q R 2 q=(q o, q ) q o R q o = Cos θ 2 q R q = ±Sn θ 2

5 7 con p = q = (7) Aquí θ y θ 2 R 2 son los dsplazamintos angulars d los slabons mdidos dsd l j X y sobr la proycción d la rcta dl slabón primario, n tanto qu 3 R 2 s l j d rotación. III. ALGUNAS CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES PARA LA PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS Para planificar los movimintos d un robot, sobr un ára d trabajo libr d obstáculos, s ncsario stablcr un algoritmo d control qu tom n cunta las siguints considracions: 3. Propidads cinmáticas dl robot Cada uno d los actuadors pud proporcionar un giro d 360 tanto n sntido positivo como ngativo. 3.2 Rqurimintos d las taras La naturalza d las taras por ralizar, dtrminan no solo la ruta a sguir por l órgano fctor, sino también la orintación qu db tnr n cada punto dl rcorrido. En st caso d studio, la tara por ralizar s la dl tipo corrspondint al d la aplicación d pgamnto a lo largo d un sgmnto rctilíno por lo qu: a) No s rquir control sobr la orintación dl órgano fctor. b) S rquir una ruta rctilína con dos puntos arbitrarios qu indican la configuración inicial ( P i ) y final ( P f ) dl robot. c) La tara db jcutars cíclicamnt sin considrar l timpo. 3.3 Ára d trabajo El ára d trabajo dfinida por l robot R o s obsrva n la figura, la cual corrspond a una circunfrncia d radio R Ro = l + l 2. La manra d prcisar l ára d trabajo ral ocupada por l robot, s ubicar la posición P adoptada para accdr a cada uno d los puntos d dicha trayctoria, f considrando a su vz las difrnts configuracions corrspondints a cada punto. En la figura 3. s obsrvan las dos posibls configuracions dl multicurpo para tocar un punto arbitrario d la ruta τ. Codo arriba τ Codo abajo Figura 3. Configuracions d codo.

6 72 Los xtrmos d la ruta τ son alcanzados cuando l multicurpo stá compltamnt xtndido (alcanc máximo R RO = l + l 2 ), cualquir otro punto asociado con la ruta, podrá sr alcanzado por las configuracions mostradas n la figura antrior. D acurdo con lo antrior, l ára d trabajo s obtnida a través d la simulación como s mustra n la figura 3.2. P f A R P i Figura 3.2 Ára d trabajo rducida A RR 3.4 Caractrísticas dl objto Las caractrísticas principals dl objto n studio, son: i) Prsnta una gomtría d forma circular. ii) S prsnta n cualquir posición dntro dl I cuadrant (A RR ). iii) No prsnta moviminto. iv) Es d un tamaño arbitrario. IV Mtodología para dtrminar los critrios d vasión. D acurdo con A RR, s posibl stablcr las siguints rlacions: i) δo b δa RR = : objto totalmnt ajno con l ára d trabajo ral rducida (A RR ). ii) O b A RR : objto totalmnt contnido n l ára d trabajo ral rducida. iii) O b A RR : objto parcialmnt contnido n l ára d trabajo ral rducida. Partindo d stas rlacions, s stablciron critrios para dtrminar los movimintos rquridos por l robot para vadir los obstáculos, mantnindo l órgano fctor sobr la trayctoria. La proposición δo b δa RR = implica qu l objto s totalmnt ajno con l ára d trabajo ral rducida, por lo qu no xist colisión ntr l robot y l obstáculo, n st caso, l multicurpo pud jcutar su tara librmnt, sindo ncsario dtrminar los critrios d vasión o d no colisión n las dos rstants: La sgunda condición srá considrada para lograr la vasión, mdiant las scuncias d movimintos prmisibls por los actuadors, n tanto qu n la trcra, s stablc una vasión a través d una nuva trayctoria paralla al contorno dl obstáculo; s dcir, por mdio d un barrido d frontra. La mtodología s mustra n l siguint procdiminto:.- Dtrminar l lugar gométrico d los cntros C (h,k ) y C 2 (h 2,k 2 ) d los objtos qu son tangnts al robot n L y L 2 y con l órgano fctor sobr la trayctoria, vr figura 4. y 4.2.

7 73 Ob 2 Ob A p Figura 4. O b tangnt a L y L 2. Figura 4.2 Lugar gométrico d C(h i,k i ) 2.- Obtnr las coordnadas (h,k) dl cntro dl objto ral, d acurdo con la figura Discriminar l critrio d vasión aplicabl, d acurdo con los siguints: Critrio.- Si h < h < h 2, ntoncs la trayctoria τ pud cubrirs totalmnt utilizando ángulos complmntarios y las configuracions d codo arriba y codo abajo, vr figura 4.3. k 2 k k R V h h h 2 P(x,y τ O b Figura 4.3 Posición ral dl objto O b Movimintos asociados: i) D P i a P n configuración d codo abajo con scuncias simultánas. ii) D P a P i n configuración d codo abajo con scuncias simultánas. iii) D P i a P n configuración d codo arriba con scuncias uno a uno y movimintos complmntarios. iv) D P a P f n configuración d codo arriba con scuncias simultánas. v) D P f a P n configuración d codo arriba con scuncias simultánas. vi) D P a P i n configuración d codo arriba con scuncias uno a uno. Aquí: (h,k) : son las coordnadas dl cntro dl objto, n posición arbitraria. (h,k ) : son las coordnadas dl cntro dl objto n posición tangnt al slabón L n ambas configuracions d codo. (h 2,k 2 ) : son las coordnadas dl cntro dl objto n posición tangnt al slabón L 2 n ambas configuracions d codo.

8 Critrio 2.- Si h < h, ntoncs l slabón L db sr movido hasta la posición d tangncia con Ob, por lo qu qudará un sgmnto S sobr τ imposibl d tocar. S dbrán usar movimintos complmntarios, rquirindo admás, ambas configuracions, vr figura 4.4. Movimintos asociados: i) D P i a P 3 n configuración d codo abajo con scuncias simultánas. ii) D P 3 a P i n configuración d codo abajo con scuncias simultánas. iii) D P i a P 2 n configuración d codo arriba con scuncias uno a uno y movimintos complmntarios. iv) D P 2 a P f n configuración d codo arriba con scuncias simultánas. v) D P f a P 2 n configuración d codo arriba con scuncias simultánas. vi) D P 2 a P i n configuración d codo arriba con scuncias uno a uno. Pf 74 J 2 P 2 S P 3 J J 2 Pi Figura 4.4 Colisión con L Critrio 3.- Si h > h 2 y L R +r < Rv, ntoncs L 2 db sr movido hasta la posición d tangncia por lo qu qudará un sgmnto d τ imposibl d sguir, y la part factibl d alcanzar srá a través d movimintos complmntarios y aplicando las dos configuracions dl codo, vr figura 4.5. Movimintos asociados: i) D P i a P 2 n configuración d codo abajo con scuncias simultánas. ii) D P 2 a P i n configuración d codo abajo con scuncias simultánas. iii) D P i a P n configuración d codo arriba con scuncias uno a uno y movimintos complmntarios. iv) D P a P f n configuración d codo arriba con scuncias simultánas. v) D P f a P n configuración d codo arriba con scuncias simultánas. vi) D P a P i n configuración d codo arriba con scuncias uno a uno. La longitud dl sgmnto S d τ no tocado por l órgano fctor srá dtrminado por la distancia ntr los puntos P y P 2. L R : s la longitud dl sgmnto (OC) dfinido dl orign dl sistma cartsiano al cntro dl objto. r : s la longitud dl radio dl obstáculo. En st caso la posición dl objto s tal qu: Intrscta l lugar gométrico d J 2, no intrscta a τ.

9 75 P f P (x,y ) k L 2 P(x,y) P 2 (x 2,y 2) L 2 h P i S = P P 2 Sgmnto sobr τ no accsado Por l órgano fctor Figura 4.5 Colisión con L 2. Critrio 4.- Si h > h 2 y L R -r > L y L R +r Rv + r, ntoncs la vasión ya no s hará a través d movimintos complmntarios sino a través d una trayctoria paralla a la frontra dl objto. S dbrá usar ambas configuracions d codo, vr figura 4.6. Para vitar l contacto ntr l órgano fctor y l objto, s db xpandir l contorno d ést último, incrmntando l radio dl objto n un cirto valor r arbitrario (pud sr utilizado l critrio d tangncia), n la figura 4.6 s mustra la nuva trayctoria corrspondint al contorno xpandido dl objto. Con bas n tal figura 4.6: C s l contorno xpandido dado por: ( x k) ( y k) = ( r + r) P, P, P 2 son puntos lmntos d C. 2 y La trayctoria stá dfinida por: i) P i P ; configuración d codo abajo con movimintos simultános. ii) P P ; configuración d codo abajo con movimintos simultános. iii) P P ; moviminto a con complmntos. iv) P P 2 ; configuración d codo arriba con movimintos simultános. v) P 2 P f ; configuración d codo arriba con movimintos simultános.

10 76 P f P 2 C P P τ P i Figura 4.6 Objto sobr trayctoria τ. Rv s l sgmnto dsd l orign dl sistma d coordnadas, hasta τ y pasa por C(h,k). En st caso la posición dl objto s tal qu: no intrscta l lugar gométrico d J 2, intrscta o no a τ. Critrio 5.- Si L R -r > Rv, ntoncs la posición dl objto no toca a τ y quda compltamnt fura d A RR por lo qu l robot podrá jcutar su opración normalmnt. La rlación O b A RR =, s satisfcha por l critrio 5. La rlación δo b A RR, s satisfcha por los critrios, 2 y 3. La rlación O b A RR, s satisfcha por l critrio 4. Conclusions En l prsnt trabajo, furon satisfchos los siguints objtivos: ) S stablciron modlos matmáticos rprsntativos d un robot d 2 GDL con juntas rotacionals, aplicando las opracions d rotación y rflxión. 2) S laboró un módulo d programación dond s simulan los difrnts tipos d movimintos qu pud ralizar l robot d 2 GDL, prmitindo obsrvar l lugar gométrico dscrito por l órgano fctor al pasar d la posición no dformada a la dformada. 3) S dtrminaron cinco critrios para stablcr nuvas trayctorias d trabajo para l robot, logrando vadir un obstáculo prsnt n l ára d trabajo. 4) Utilizando los 5 critrios d vasión, s stablciron algoritmos para la dtrminación d nuvas trayctorias d trabajo librs d obstáculos. 5) S laboró un módulo d programación dond s simula l moviminto dl robot cubrindo una trayctoria d trabajo y mostrando su capacidad d vasión d obstáculos.

11 Rcomndacions para futuros trabajos: i) Implmntar los algoritmos d vasión n un sistma con control n timpo ral, para llo solo s rquir l disño d un mdio d snsado qu proporcion información sobr la posición dl obstáculo. ii) Dtrminar algoritmos con un alto grado d ficincia qu prmitan l control n timpo ral. iii) iv) Gnralizar los algoritmos para objtos d difrnt gomtría. Gnralizar la mtodología para l studio dl problma d vasión d obstáculos n trs dimnsions. 77 REFERENCIAS [] Frgoso A., (997),Los lmntos dl lnguaj d las matmáticas. [2] Fu K. S., Gonzálz R. C., L C. S. G. (987) Robotics: Control, Snsing, Vision and Intllignc. [3] Goffry Gordon (999) Simulación d sistmas. [4] Jiménz E. (2002) Sobr la paramtrización d las rotacions y rflxions d multicurpos rígidos n l plano. Inform intrno d invstigación UNAM. [5] Kuu-Young, Chun-Yuh Huang, (995) Collision-fr Path Planning and Modification Basd on Task Rquirmnts. [6] Mark Spong, (998) Robot Dynamics and control. [7] Microsoft Corporation (999) USA, Visual Basic 6.0, manual d programación. [8] Rys, Luis (2002) Sobr la paramtrización d las Rotacions y Rflxions d Multicurpos Rígidos n l plano. UNAM, ISBN [9] Roy Fsthrson, (997) Robot dynamics algorithms. [0] S. W. L, (997) Sub-Optimal Collision-Fr Motion Planning of a two-robot systm Using fr Arc. [] Stphn Wolfram (996) Th Matmática Book, Cambridg Univrsity. [2] Yoram Korn (990) Robotics for nginrs. [3] Z. H. Zhu, R. V. Mayorga, A. K. C. Wong, (998) Dynamic Robot Manipulator Trajctory Planning for Obstacl Avoidanc. RESEÑA DEL AUTOR Nombr: Fco. Javir Ochoa Estrlla Profsión: Ingniro n Elctrónica -mail.: fochoa@itsca.du.mx DATOS ACADÉMICOS. Ingniro n lctrónica grsado dl Instituto Tcnológico d Sonora, graduado con mnción spcial. Candidato a Mastro n Ingniría mcánica, por la Univrsidad Nacional Autónoma d México. AREA DE INTERÉS. Modlado, Simulación y Control d mcanismos robóticos. DIPLOMADOS CURSADOS. Astronomía Gnral: Cntro d Invstigación d Física d la Univrsidad d Sonora. Física: Cntro d Invstigación d Física d la Univrsidad d Sonora. Matmáticas: dpartamnto d Altos Estudios d la Univrsidad d Sonora. Imags and Robotics: Cntr National d la Rchrch Scintifiqu (Laboratoir d Analys t d Architctur ds Systms), Toulos, Francia. EXPERIENCIA LABORAL. En industrias como: Gamsa, Conasupo, Industrias Vázquz, Fundidoras (EEUU) a nivl técnico (ára lctromcánica).

12 Profsor d asignatura y prsidnt d acadmia n áras como: Informática. Matmáticas. Física. Sistmas d Control. Sistmas digitals. Programación. Dsmpño actual: Institución: Instituto Tcnológico suprior d Cajm. Pusto: Jfl d Dpartamnto d Invstigación y Posgrado. Dircción: Carrtra Intrnacional a Nogals Km 2, Cd. Obrgón, Sonora. Apdo. postal: 754 Tléfonos: , y