Cálculo didáctico de la edad del Universo y la importancia de la constante cosmológica en un modelo FRW

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1 Cálculo didácico de l edd del Universo y l ipornci de l consne cosológic en un odelo FRW Rfel Hernández Jiénez Cludi Moreno Dniel Sánchez Guzán y Ricrdo Grcí Slcedo División de Ciencis e Ingenierís del Cpus León de l Universidd de Gunjuo Lo del Bosque No Col Los del Cpesre CP 75 León Gunjuo México Cenro Universirio de Ciencis Excs e Ingenierí de l Universidd de Gudljr Av Revolución No 5 Secor Refor CP 444 Gudljr Jl México Cenro de Invesigción en Cienci Aplicd y Tecnologí Avnzd-Unidd Legrí del Insiuo Poliécnico Ncionl Legrí #694 Col Irrigción CP 5 México DF E-il: fbulosorf@fisicugox; cludioreno@cuceiudgx; dsnchezg@ipnx; rigrcis@ipnx (Recibido el de Febrero de cepdo el de Sepiebre de ) Resuen Priendo del odelo cosológico de Friednn-Roberson-Wler (FRW) se puede enconrr un solución explíci pr el fcor de escl () uilizndo l ecución de esdo de un fluido brorópico y l ecución de Friednn L ecución de esdo describe vrios ipos de eri (energí): eri no relivis rdición y energí de vcío (consne cosológic) donde pr cd coponene exise un expresión explíci pr =() que su vez se relcion con un densidd de energí ρ=ρ() Se consider que cd ep del Universo esuvo doind por un ipo de eri disino y ls expresiones que describen l evolución eporl de cd un de ells son independienes uns de ors En ese rículo se clculrán odos los csos pr el iepo rnscurrido enre l fos Grn Explosión y nuesr époc cul pr ello se uilizrán los dos experienles odos del rículo [] Plbrs clve: Modelo cosológico FRW Edd del Universo Observciones cosológics Absrc Sring wih he Friednn-Roberson-Wler (FRW) cosologicl odel we cn find n explici soluion for he scle fcor () using he bryoropic equion of es nd he Friednn equion This broropic equion describes severl ypes of er (energy): Non-relivisic er rdiion nd vcuu energy (cosologicl consn) herefore exiss n explici expression for =() h he se ie reles o densiy of energy ρ=ρ() for ech coponen I is considered h ech sge of he Universe ws doined by one ype of eril nd he expressions h describe he ie evoluion re independen ech oher By using experienl d fro [] he clculions of he ge of he Universe for ech ype of er re crried ou Keywords: Cosologicl odel FRW Age of he Universe Cosologicl observions PACS: 55+b 4Jb 988J 988Es ISSN I INTRODUCCIÓN L cosologí esudi el nciieno y evolución del Universo Aniguene l cosologí esb bsd en ls observciones sronóics relizds rvés de los insruenos ás odernos de l époc Recordeos por ejeplo l uilizción de observorios sin elescopios uilizdos por el srónoo dnés Tycho Brhe lrededor de 57 quien relizó innuerbles observciones de ls posiciones de esrells y de los lldos errnes (plnes) que sirvieron poseriorene Johnnes Kepler pr l forulción de ls foss leyes que gobiernn el oviieno plnerio Aculene l cosologí esá bsd desde el puno de vis eórico en l Teorí de l Relividd Generl (TRG) foruld por Alber Einsein (95) L prier solución cosológic ls ecuciones de cpo grvicionl de l TRG esá bsd en l ide de que el Universo es uy precido en ods ls direcciones en que se observe (isoropí) y que su coposición es l is en L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 556 hp://wwwljpeorg

2 Rfel Hernández Jiénez Cludi Moreno Dniel Sánchez Guzán y Ricrdo Grcí Slcedo odos ldos (hoogéneo) escls yores egprsec Los rguenos neriores dieron origen lo que se conoce coo el principio cosológico [-] y el odelo que resul es conocido coo l Grn Explosión o por su nobre en inglés Big Bng (BB) [4-5]; bién es conocido coo odelo de Friednn-Roberson- Wler El odelo de FRW nos d un ide de l for en l que se originó el Universo unque no precisene l iepo cero y que pr ello se requiere un periodo conocido coo inflción [6] el cul qued fuer del lcnce de ese rículo y que será rdo en un rículo poseriorene En ese senido el odelo de FRW nos dice que el Universo coenzó con un densidd infini de eri en ese cso consiuid por eri ordinri que puede ser polvo no relivis (p=) rdición elecrognéic p o incluso lo que se conoce coo consne cosológic (p=-ρ) [4] Al iso iepo ese odelo nos predice no l cnidd coo el ipo de áoos que surgieron de dich densidd de energí (nucleosínesis) [7] Pr los propósios de ese rbjo uilizreos pr l deducción de ls ecuciones dináics ls ecuciones de Einsein (EE) en donde considerreos un éric hoogéne e isorópic de curvur consne y un ensor de energí oeno pr un fluido perfeco [4] Un vez que sen obenids ls ecuciones dináics ess se eplern pr clculr l edd del Universo en los diferenes ipos de eri enciondos previene El presene rículo esá orgnizdo de l siguiene ner: En l sección II se obienen ls ecuciones dináics del odelo cosológico FRW prir de l TRG En l sección III se obienen ls soluciones ls ecuciones pr ρ y () L edd del Universo pr los disinos ipos de eri se clcul en l sección IV y finlene en l sección V se d un breve conclusión II ECUACIONES BÁSICAS DEL MODELO COSMOLOGÍCO DE FRW En l décd de 9 Hubble se enconrb esudindo objeos cósicos desde el Mone Wilson los cules se conocín coo nebuloss o universos isl Wilson deerinó l disnci l glxi de Andróed 7 ños luz edine esrells de brillo vrible conocids coo cefeids [8] Asiiso usndo un éodo conocido coo escl de disncis cósics [5] enconró ls disncis diferenes nebuloss que resulron esr ás llá del ño de nuesr glxi Concluyó enonces que los universos isls esán siudos fuer de nuesr glxi y se deerinó que ern ors glxis coo l nuesr Debido ls observciones de Wilson Hubble deerinó que l velocidd de recesión (velocidd con l que se lejn de nosoros) de ls glxis y l disnci l El pársec o prsec (síbolo pc) es un unidd de longiud equivlene 6 ños luz (857x 6 ) que se encuenrn de nosoros esán correlcionds de l for que ienrs ás lejds esuviern de l Tierr ás rápidene se lejbn de nosoros ese resuldo se conoce coo l ley de Hubble [8] Un vez que se conocieron los dos que segurbn que ls glxis se lejbn uns de ors se enendió que el Universo se esá expndiendo [9] Hubble enconró l siguiene relción conocid culene coo ley de Hubble: v Hd () donde v es l velocidd de recesión enre ls glxis d es l disnci enre ells y H es l consne de Hubble El vlor pr es consne H fué deerind por Hubble y / s eni un vlor de 5 es decir por cd egprsec Mpc de disnci l velocidd de recesión uen en 5/s L uilizción de cd vez ejores éodos de edición de disncis y velociddes h llevdo que esos vlores sen cd vez ás precisos el vlor ás cul h sido proporciondo por el sélie Wiilson Microwve Anisoropy Probe (WMAP) el cul iene un vlor de / s H h donde el subíndice corresponde Mpc considerr el vlor cul (en es époc de l hisori del Universo en l que vivios) El vlor de l rzón de expnsión norlizd h es 7± [] L ley de Hubble es de grn ipornci pr rr de enender l hisori del Universo y que h ddo pruebs conundenes de que el Universo se encuenr en un ep de expnsión Tondo en cuen el principio cosológico vos considerr un geoerí que represene un espcio-iepo de curvur consne hoogéneo e isóropo Es geoerí l cul esá represend por lo que se conoce coo éric g es l de Roberson-Wler: L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 557 hp://wwwljpeorg ds g dx dx dr c d ( ) r d sin d r en l prier expresión un índice rrib y el iso índice bjo iplic su sobre él c es l velocidd de l luz es el iepo cosológico () es el fcor de escl (gniud que perie dr un edid de l evolución de ls disncis enre dos punos fijos en un sección espcil dd) es l curvur de l sección espcil dd y o los vlores y (espcio de curvur cero posiiv y negiv) r l coordend rdil θ l coordend ángulo polr y φ l coordend ángulo ziul Viso de es ner el espcio iepo die ser rebndo en cores espciles perpendiculres l dirección del iepo cosológico donde es l curvur de cd core espcil hoogéneo e isóropo L for de ()

3 Cálculo didácico de l edd del Universo y l ipornci de l consne cosológic en un odelo FRW () depende de ls propieddes de l eri del universo vcío coo coo lo vereos en l siguiene sección vc L prier Ec (6) es conocid El corriieno l rojo es l relción enre l luz eiid coo ecución de Friednn (EF) ienrs que l segund por un objeo eselr y l luz de ese iso objeo que de ells es conocid coo ecución de Rychudhuri (ER) nosoros edios l cul es disin debido l expnsión L ecución de evolución del conenido eril de nuesro del Universo En uchs ocsiones se uiliz el corriieno Universo l cul se conoce coo ecución de conservción l rojo coo práero de evolución del Universo L de l energí esá dd por: longiud de ond de l luz eiid se increen proporcionlene l fcor de escl cuyo efeco puede T ser cunificdo por ese corriieno l rojo: z () L TRG de Ensiein fue foruld con el fin de generlizr l eorí de l relividd especil pr sises inerciles y consider sises de referenci no inerciles [7] L TRG esencilene nos dice cóo es que el espcio-iepo se defor debido l disribución de s-energí conenid en él por lo que se consider un generlizción de l eorí de l grvición universl de Newon Ls ecuciones dináics de l TRG vienen dds por ls EE: R Rg g 4 T (4) c donde =8πG g es el ensor érico R el ensor de curvur de Ricci R g R el esclr de curvur de Ricci es l consne cosológic c es l velocidd de l luz (en lo que sigue del exo se considerrá con vlor ) G es l consne de grvición de Newon y finlene el ensor de energí-oeno que represen l disribución de l eri-energí en el espcio-iepo es: T p u u pg (5) el cul en ese cso represen un fluido perfeco de densidd ρ y de presión isorópic p=p(ρ) bs cniddes son funciones que dependen solo de Adeás l 4 velocidd locl del fluido eporl esá dd por u lo cul iplic que T dig ( p p p) Susiuyendo () y (5) en ls EE (4) solo se obienen dos ecuciones independienes: donde es l derivd covrine es decir l derivd que es invrine ne rnsforciones generles de coordends Susiuyendo (5) en l ecución nerior se obiene que pr un fluido perfeco l ecución de conservción es: H p (7) De ess res ecuciones dináics (6) y (7) dos son independienes y l ercer se puede obener de ls ors dos Ess represenn el odelo conocido coo FRW o de l Grn Explosión y sus soluciones nos dicen cóo evolucion nuesro Universo El odelo FRW bién puede obenerse con rguenos que no requieren TRG [4-5] por ejeplo En l siguiene sección dos l solución de ess ecuciones Un cnidd úil pr nuesros fines es el práero de densidd cosológic ddo por: vc H H c c (8) que nos describe l densidd de eri ol en el Universo donde es conocid coo l densidd criic: H c (9) Aculene l densidd críic iene un vlor de 6 c 88 h g donde h7 [] Es densidd corresponde proxidene áoos de hidrógeno por ero cúbico Tondo en cuen l expresión (8) l ecución de Friednn puede escribirse bién coo: H p 6 donde H H() es el práero de Hubble el puno sobre l ler indic derivd con respeco y l consne cosológic se relcion con l densidd de energí del (6) () b H donde corresponde l densidd de energí de H L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 558 hp://wwwljpeorg l consne cosológic y corresponde l b H densidd de l eri no relivis y l rdición El signo de esá deerindo por el vlor de y por no nos indic cuál de ls res geoerís de RW corresponde:

4 Rfel Hernández Jiénez Cludi Moreno Dniel Sánchez Guzán y Ricrdo Grcí Slcedo Si l densidd de eri c enonces se sigue que y por lo no =- lo cul represen un Universo biero desde el puno de vis geoérico Si l densidd de eri c enonces se sigue que y por lo no lo cul represen un Universo cerrdo desde el puno de vis geoérico Si l densidd de eri c enonces se sigue que y por lo no el cul represen un Universo plno desde el puno de vis geoérico El práero es de su ipornci y que nos dice el ipo de eri que coniene el Universo Así si eneos vrios ipos de eri o energí denro de nuesro Universo enonces l expresión generl de l Ec () o l for: i () i H donde l su es sobre ls diferenes especies de eri que coniene el Universo A finles de l décd de 97 Ver Rubin y W Ken Ford Jr [] descubrieron lo que hor se conoce coo eri obscur un ipo de eri que iene efeco sobre el oviieno de ls glxis pero que no inercú con eri ordinri L densidd ol de eri cul esá dd por: b eo () donde represen l densidd de eri obscur y eo b l densidd de eri briónic que represen od l eri que podeos observr y de l que esos consiuidos nosoros isos L discusión sobre l eri obscur esá fuer del lcnce de ese rbjo; sin ebrgo y se esá rbjndo pr un próxio rículo Oro práero iporne es el de decelerción definido coo: H q H () el cul ide l s de cbio de l velocidd de expnsión del Universo En principio es posible deerinr el vlor de q de for observcionl Por ejeplo pr un conjuno idénico de supernovs en un glxi reo l relción enre su brillo y su corriieno l rojo depende del vlor del práero de decelerción Aunque ls edids de es clse son uy difíciles de relizr e inerprer ls observciones recienes ienden fvorecer odelos cosológicos que se celern [] cuy explicción se bs en los odelos conocidos coo de energí obscur En observciones recienes se enconró que q [] lo que signific que culene l expnsión del Universo es celerd Tno coo q son práeros diensionles III SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES PARA y () En es sección se dn lguns soluciones pr ls ecuciones de evolución de un cosologí ipo FRW Ecs (6) y (7) Ess soluciones pueden enconrrse en culquier libro de cosologí por ejeplo [7]; sin ebrgo podeos recoendr l referenci [4] pr verlo de un for ás didácic Recordeos que solo dos de ls ecuciones en (6) y (7) son independienes obeniéndose de ells un conjuno de res incógnis (() ρ() p()) por lo que debeos especificr un ecución dicionl pr que el sise se consisene L ecución uilizr pr ener un sise copleo es un ecución de esdo que deerin el ípo de fluido que conendrá el Universo l cul esá dd por: p (4) donde es conocido coo práero brorópico y puede or los siguienes vlores por ejeplo l rdición corresponde l vlor 4/ l eri no relivis iene un vlor de y el vlor pr l energí de vcío es En lguns ocsiones bién se uiliz l ecución p con consne relciond con de l siguiene for: Cundo se hbl de eri no relivis nos referios l ipo de eri cuys velociddes de rnslción esán uy por debjo de l velocidd de l luz Ese ipo de eri es l que nosoros veos coidinene: plnes polvo eselr (sin incluir l rdición) nebuloss glxis ec de l is for bién se puede considerr l lld eri obscur que o un ppel iporne nivel inerglácico y en l culidd se le consider de su ipornci pr l descripción del oviieno de ls glxis [] De ner observcionl l presión en ese ipo de eri prece ser desprecible coprd con l densidd de energí coo lo heos esdo hciendo nor lo lrgo de ese rbjo es decir p lo que iplic que en l ecución de esdo (4) Cundo hblos de rdición nos referios los foones que vijn desde culquier rincón del Universo hs nuesro plne od rdición elecrognéic: luz visible onds de rdio infrrrojo ulrviole ec Finlene l energí de vcio se consider coo un ipo de energí purene cuánic que exise incluso ún en usenci ol de eri Es energí iene un presión negiv lo que signific que si un fluido de presión posiiv puede epujr ls predes del recipiene que lo coniene en ese cso endrí el efeco conrrio copriir el recipiene hci denro L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 559 hp://wwwljpeorg

5 Cálculo didácico de l edd del Universo y l ipornci de l consne cosológic en un odelo FRW Ls soluciones l Ec (7) pr l ecución brorópic p (4) nos d l evolución de l densidd de energí: q = () () (5) Coo podeos ver el Universo en eps eprns de su evolución esuvo doindo por l rdición poseriorene donde y son consnes de inegrción se fue enfrindo y l eri no relivis coenzó doinr Aculene el Universo esá siendo doindo correspondienes los vlores cules de cd un de ls por l energí de vcío (de cuerdo ls observciones vribles De es for l densidd coo función del []) A pesr del éxio de ese odelo iene lgunos fcor de escl pr diferenes ipos de eri brorópic probles que se hn resuelo si se o en cuen un se expres coo: periodo de expnsión celerd en un ep uy eprn del Universo conocid coo inflción pr yor p inforción de es ep ver [6] 4 p (6) p consne IV CÁLCULO DE LA EDAD DEL UNIVERSO pr rdición elecrognéic eri no relivis y energí de vcío respecivene L ecución de Friednn prier Ec (6) l podeos escribir sin pérdid de generlidd coo: ( ) ( ) (7) Al susiuir l densidd de energí obenid en l Ec (5) eneos que el fcor de escl coo función de es: (8) y pr los disinos ipos de eri que heos considerdo previene se iene que: / / (9) H e consne pr rdición eri no relivis y energí de vcío respecivene L Ec (9) nos dice que en el cso de Universo doindo por rdición o eri no relivis o quizá un cobinción de bos l densidd de energí iene un singulridd l iepo cero es decir l densidd de energí es infini en el foso "Big Bng" o grn explosión y confore se v expndiendo el Universo es energí se v disribuyendo en od su exensión Coo un ejercicio pr el lecor se pide enconrr ls expresiones de l eperur del Universo coo función del iepo y coprobr que ienrs el Universo se expnde (iepo cd vez ás grnde) su eperur v disinuyendo El práero de decelerción () escrio pr un fluido brorópico o l for: Desde el puno de vis observcionl podeos encionr que se h deerindo l edd de cúulos globulres en l Ví Láce en lrededor de 5 il illones de ños [] lo nerior se h relizdo uilizndo un éodo independiene de l disnci Por oro ldo si se uiliz un éodo de secuenci de enfriieno de enns blncs [-4] se obiene un edd de 7 7 il illones de ños en el cúulo globulr M4 Esos dos nos indicn l co íni que se iene pr l edd del Universo: il de illones de ños Los dos de 7 ños de l sond WMAP deerinron con un error de hs el uno por cieno que l edd definiiv del Universo es de 7 il illones de ños Un for uy sencill de esir l edd del Universo es considerr que si velocidd de expnsión es consne desde su nciieno de l for que susiuyendo l ley de Hubble () en l relción d=v se iene que: H () práero que se conoce coo el iepo de Hubble De ls observciones del elescopio espcil Hubble y oros proyecos [5] el práero de Hubble esá enre los vlores: H 9776 h 64 h 8 () en uniddes de il illones de ños Pr clculr l edd del Universo ondo en cuen el conenido eril del Universo oeos l EF (6) juno con l solución que se obuvo pr l ecución de conservción (5): () H H / / L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 56 hp://wwwljpeorg

6 Rfel Hernández Jiénez Cludi Moreno Dniel Sánchez Guzán y Ricrdo Grcí Slcedo donde y en cso de que en Dependiendo del vlor de l dendidd de energí l H H inegrl (9) puede ser disin nuesro odelo coneng no rdición coo eri Un for disin de escribir l edd del Universo es l ecución de Friednn o l for: coo se propone en [6] Pr ello despejos de l r definición del práero de decelerción () y lo susiuios en l EF (6): 4 H H r / / / Adeás (4) es el práero de densidd H socido l curvur Los subíndices indicn vlores cules L Ec (4) se obuvo susiuyendo ls relciones 4 r ( ) ( ) r (5) en l Ec () Ahor podeos expresr H en érinos del corriieno l rojo Ec () de l siguiene for: 4 H H r z z z (6) donde y H q q q () deás de considerr l segund de ls Ecs en (5) L solución es Ec () qued deerind por: dx () / / H q q x donde x es un vrible de inegrción y deás en Si hor oos w x / enonces () o l for: El siguiene pso consise en derivr l Ec () y susiuir l Ec (4) pr escribir l edd del Universo coo: dz d H z H 4 z r z z z dz (7) Coo podeos observr en l ecución nerior l escl de iepo pr l edd del Universo es proporcionl l iepo de Hubble; sin ebrgo hor precen correcciones debids l presenci de lgún ipo de conenido eril denro del Universo En l siguiene sección considerreos csos priculres pr el cálculo de l edd del Universo A Époc donde doin l eri no relivis Considereos un Universo lleno purene de eri no relivis desde su nciieno Ls soluciones ls ecuciones dináics son ls siguienes: / p q = r (8) Enonces l edd del Universo pr ese cso se clcul rvés de l siguiene inegrl y usndo ls Ecs (7) y (): dz H (9) z z dw () H q q / w Coo podeos ver eneos dos expresiones equivlenes pr el cálculo de l edd del Universo Ecs (9) y () Nuesro siguiene pso será or los vlores que pudier ener y relizr l inegrl explíciene pr conocer l edd del Universo A Universo plno Ese es un Universo cuyo conenido eril esá enerene ddo por eri brorópic es decir = y q = por lo que l inegrl (9) qued coo: = H ( z) / enonces l edd del Universo con z = () y los vlores en () esá en el rngo 8 il illones de ños lo cul no sisfce l co íni que uesrn ls observciones A Universo cerrdo Ese cso no es de cuerdo con ls observciones el ejor odelo pr describir nuesro Universo sin ebrgo coo ejercicio hreos lgunos cálculos que nos drán un ide de l edd del Universo L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 56 hp://wwwljpeorg

7 Cálculo didácico de l edd del Universo y l ipornci de l consne cosológic en un odelo FRW L inegrl () en ese cso qued coo: de donde observos que H cundo y q sin H q si se reliz el cbio de vrible [6]: cos (4) q (5) q Es uy fácil drse cuen que ls Ecs (4) y (5) son ls ecuciones prérics de un cicloide pr l solución () Un cicloide es l curv que gener un puno fijo en un circunferenci que gir sin deslizrse horizonlene En es curv ( ) cundo y v creciendo hs que en θ=π lcnz el áxio y después decrece nuevene ()= cundo θ=π El iepo T cundo se lcnz el vlor áxio de () se puede obener edine el crierio de l prier derivd sí coo el vlor del fcor de escl en ese oeno (T ): T = q H q ( T ) = q (q ) (6) L edd cul del Universo se obiene l considerr θ= θ = en l Ec (5) y susiuir en (4): q H cos q q q q (7) en cuy ecución podeos dr vlores decudos pr q y h y de es for obener el vlor cul de l edd de un Universo cerrdo Por ejeplo si se considern q y h=7 enonces l edd de ese Universo serí de 8 5 il illones de ños el cul es un vlor que qued por debjo de l co dd por l edd de lguns esrells A Universo biero H cundo lo cul nos d los líies correcos del odelo Veos que confore decrece l edd del Universo v hci el iepo de Hubble Ls observciones [5] resringen l curvur un vlor uy cercno cero de l for que el Universo prece ser plno es decir es edd no es ás grnde que ls esrells ás viejs por lo que poco es uy buen odelo pr explicr ls observciones El proble del iepo puede ser resuelo si se consider un Universo que coneng no eri brionic coo consne cosológic suponiendo un odelo de curvur cero En ese cso l inegrl (7) qued coo: donde dz H z z ln (9) En ese cso los vlores sinóicos corresponden que H H donde cundo H cundo y Por ejeplo en un odelo 7 se iene que 964 il illones de ños si h 7 Ese vlor nos perie evir l resricción ipues neriorene por lo que podeos concluir que l inclusión de un consne cosológic resuelve el proble de l edd del Universo Así coo se h clculdo l edd del Universo pr conenido de eri no relivis bién podeos hcerlo pr cundo exise un doinio de rdición lo lrgo de od su evolución es decir: / q = r r (4) Ese prece ser el cso ás rel debido que ls observciones hn osrdo que exisen oros ipos de eleenos dicionles deás de l eri ordinri que coniene el Universo Enonces ondo y q de l for que l inegrl (9) qued definid coo: sin ebrgo ese cálculo lo dejreos pr el lecor Por hor es suficiene encionr que l edd pr ese odelo es: H (4) el cul es un vlor que no podrí explicr l edd de ls esrells [-4] (8) = ln H B Époc donde doin energí de vcío consne cosológic L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 56 hp://wwwljpeorg

8 Rfel Hernández Jiénez Cludi Moreno Dniel Sánchez Guzán y Ricrdo Grcí Slcedo Con nerioridd se h inroducido l consne cosológic en un odelo donde bien se coneni eri brorópic e incluso eri obscur y se obuvo un resuldo decudo ls observciones En es sección y solo coo nálisis didácico se clcul l edd del Universo cundo ése esá doindo por l consne cosológic lo lrgo de od su evolución es decir un Universo que se expnde celerdene desde su origen Es ineresne hcer l observción de que un vez que igul que cero Einsein publicó su TRG se dedicó hcer considerciones cosológics Descubrió que er iposible consruir un odelo eáico de un Universo esáico coherene con el esdo en ese oeno de ls observciones (recordeos que l expnsión del Universo se descubrio hs finles de l décd de 9 por pre de Hubble) Sin ebrgo Einsein esb convencido de que el Universo er esáico por lo que inrodujo un consne conocid hor coo consne cosológic El objeivo de dich consne consisí en ofrecer un fuerz de rcción conr l solución expnsiv que se obení Aculene es consne cosológic se le d un inerpreción disin y que hor puede inerprerse coo un presión negiv que conrrres l fuerz de rcción y deás puede explicr l expnsión celerd que se observ [5] és consne iene crcerísics precids l energí del vcío Así considerndo el odelo de un Universo plno que coniene sólo energí del vcío iene que l edd cul de ese universo es: / / H ln / se (4) Es ineresne nor que diferenci de los oros dos odelos neriores un Universo con viejo que H 74 es ás eso se debe que l rzón de expnsión se celer Y por supueso en el líie cundo En priculr si 74 y / 7 s Mpc H l edd de ese Universo doindo por l energí del vcío serí de 5 il de illones de ños que coprdo con el iepo de Hubble ese Universo serí ás viejo que el iepo de Hubble cosológic Un vez obenids ls soluciones se procedió uilizr l ecución de Friednn (6) pr enconrr un expresión generl pr l edd del Universo Poseriorene se nlizron los csos en donde doin l eri no relivis od quell que podeos observr en sus diferenes opciones dependiendo del vlor del práero densidd de energí Cundo se consider el vlor y se yor enor o se obiene un vlor pr l edd del Universo enor que el que presenn ls observciones de esrells en diversos cúulos globulres de nuesr glxi Cundo se iene un vlor se observ que l edd de ese Universo qued igulene por debjo de l co de l edd de lguns esrells El úlio cso que fl es quel donde el cul es el ás ineresne y que perie que el Universo no solo coneng eri brionic o eri obscur sino que brind l oporunidd de coexisenci de es eri con lgun or de l for que l densidd de energí ol del Universo se Por lo que en ese cso si se consider que hy coexisenci de eri briónic y/o obscur juno con consne cosológic l que y 7 l edd del Universo serí ás cercn l observd es decir il illones de ños Por no quí es rzonble pensr en l exisenci de dich consne cosológic o energí de vcío en nuesro Universo Alguns veces es consne cosológic es reeplzd por odelos un poco ás exóicos de energí obscur Finlene se encionn los resuldos pr un Universo doindo copleene por rdición y oro por consne cosológic en donde se observn resuldos que no son del odo decudos de cuerdo ls observciones Un copleeno ese rbjo serí explorr lgún odelo que pudier conecr ls curo eps que culene se reconocen en l evolución del Universo: un ep de inflción (de expnsión celerd iepo eprno) un époc de doinio de l rdición or ep de doinio de eri no relivis y finlene un ep de coexisenci de eri no relivis y energí obscur V CONCLUSIONES El odelo FRW nos d un ide de cóo surgió el Universo unque pr ello hbrí que nexrle el lldo odelo inflcionrio [6] Ese odelo nos dice que el Universo coenzó con un densidd infini de eri (9) en ese cso consiuido por eri ordinri que puede ser polvo no relivis o rdición elecrognéic e incluso consne cosológic En ese rículo revisos ls EE y sus soluciones pr res ipos disinos de eri brorópic que incluye l consne AGRADECIMIENTOS Agrdeceos los coenrios invlubles de los rbiros nónios de ese rbjo sí coo Césr Mor Ese rbjo fue prcilene poydo CONACyT México rvés de los proyecos No 4994-J y 579; bién SNI-CONACyT R G-S Agrdece el poyo de ls becs COFAA y EDI sí coo de los proyecos del IPN SIP- 6 y SIP-664 R H y C M grdecen ProSNI-UdG L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 56 hp://wwwljpeorg

9 Cálculo didácico de l edd del Universo y l ipornci de l consne cosológic en un odelo FRW REFERENCIAS [] Rubin V C y Ford W K Roion of he Androed Nebul fro Specroscopic Survey of [] Nur K e l Review of Pricle Physics Eission Regions Asrophys J (97) Journl of Physics G Nucler nd pricle physics 7 [] Riess A G e l Supernov Liis on he Cosic 75 () Equion of Se Asrophys J (998) [sroph/98696]; [] Kelvin K Wu S Ofer L & Rees J M The lrgescle S Perluer e l Mesureens of Oeg soohness of he Universe Nure nd Lbd fro 4 High-Redshif Supernove (999) [rxiv:sro-ph/9846v] Asrophys J (999) [sro-ph/98] [] Ofer L How Sooh is he Universe on Lrge Scles? [] Jiénez R e l Ages of globulr clusers: A new (998) [rxiv:sro-ph/9879v] pproch Mon No R Asron Soc (996) [4] Grcí S R y Moreno C Descripción de l evolución [] Richer H e l The lower in sequnce nd ss del Universo: Un presención pr lunos funcion of he globulr cluser Messier 4 Asrophys J preuniversirios L A J Phys Educ L5-L54 () (7) [4] Hnsen B e l The whie dwrf cooling sequence of [5] Mor C Deducción de los prieros odelos he globulr cluser essier 4 Asrophys J 574 L55- cosológicos L A J Phys Educ () 8-8 L58 () (8) [5] Freedn W L e l Finl resuls fro he Hubble [6] Guh H A El universo inflcionrio: L búsqued de Spce Telescope ey projec o esure he Hubble un nuev eorí sobre los orígenes del cosos (Edioril consn Asrophys J (); WMAP Collb Debe Mdrid 999) (D N Spigel e l) Wilinson Microwve Anisoropy [7] Crroll S M Spceie nd Geoery: An Probe (WMAP) Three Yer Resuls: Iplicions for Inroducion o Generl Reliviy (Addison-Wesley Sn Cosology Asrophys J Suppl 7 77 (7) [sroph/6449`]; Frncisco CA ) Coles P y Lucchin F Cosology SDSS Collb M Tegr e l The origin nd evoluion of cosic srucure Ed (John Cosologicl preers fro SDSS nd WMAP Phys Wiley & Sons LTD Gre Briin ) Rev D69 5 (4); U Selj e lcosologicl [8] Hubble E A Relion Beween Disnce nd Rdil preer nlysis including SDSS Ly-lph fores nd Velociy Aong Exr-Glcic Nebule Proceedings de l glxy bis: Consrins on he priordil specru of Acdei Ncionl de Ciencis de EEUU flucuions neurino ss nd dr energy Phys Rev (99): hp://wwwpnsorg/cgi/reprin/5//68 D7 55 (5) [9] Linewever C H nd Dvis T M Misconcepions [6] Isl J N An inroducion o Mheicl bou he Big Bng Scienific Aericn Mrch 5 6- cosology Ed (Cbridge U P Cbridge 99) 45 (5) L A J Phys Educ Vol 5 No Sep 564 hp://wwwljpeorg

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