43 EJERCICIOS de POLINOMIOS

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1 EJERCICIOS de POLINOMIOS 1. Calcular el valor numérico del polinomio P(x) para el valor de x indicado: a) P(x)x +1, para x1 b) P(x)x +1, para x-1 (Soluc: a) ; b) 0; c) 8; d) -) Ejercicios libro: pág. 1: 7; pág. : c) P(x)x +x+, para x d) P(x) -x -x-, para x -. En cada caso, hallar k para el valor numérico indicado: a) P(x)x 1 6-6x-k, siendo P(1)7 c) P(x) x x + x k, siendo P(-)8 (Soluc: k -11) (Soluc: k -06) b) P(x) -x -6x +x-k, siendo P(-) d) 1 P(x) 8x x 1x + k, siendo P(1/)1 (Soluc: k -9) (Soluc: k10/16). Sumar convenientemente monomios semejantes: a) x x + 7x + x f) x yz + x yz + x yz x yz b) x 7x + x x g) 1 ab a b ab ab + a b c) x y x y + x y d) xy + xy 6xy + 8xy h) xy + x y + xy xy e) x y xy + x y x y + xy x y (Soluc: a) x; b) -x ; c) x y; d) 0; e) x y +x y+xy ; f) x yz; g) 1 9 ab - a b ; h) xy +x y) Ejercicios libro: pág. 0: a; pág. : a. Dados P(x)x -x +x - y Q(x)x +6x -x -x+7, hallar P(x)+Q(x) y P(x)-Q(x) (Soluc: x +x -x +x -x+; x -9x +x +x +x-1). Dados P(x)x +6x -x+, Q(x)x -x+7 y R(x)7x -x+1, hallar: a) P(x)+Q(x)+R(x) (Soluc: 6x +1x -x+11) b) P(x)-Q(x)-R(x) (Soluc: x -x +x-) c) P(x)+Q(x)-R(x) (Soluc: 10x -8x -x+) 6. Efectuar los siguientes productos en los que intervienen monomios, dando el resultado simplificado: 1 6 ( Soluc : - x ) a) ( x ) x x b) x x x 7 7 ( 10 c) x x y ( xz ) Soluc : x ) 7 ( d) ab ab ( a b) Soluc : -60x 6 yz ) Soluc : a b ) ( 6 x ( Soluc : 6x x + x + 10x ) e) ( x + x + ) x

2 8 6 x ( Soluc : 6x - 9x + 6x + 1x - x ) f) ( + x x 7x + 1) ( x ) g) + x x x 1x ( Soluc : 8x h) 1 ab a + a b + ab 6a b Ejercicios libro: pág. : b y 0 ( -18x 8 + x 1x ) Soluc : a b - 6a b + 8a b + 1a b ) 7. Extraer el máximo factor común posible: a) x -6x+x (Soluc: x(x +x-)) b) 1x y +6x y -1x y (Soluc: x y(x y+y -x)) c) -xy-xy -10x yz (Soluc: xy(--y-10xz)) d) -x+6x +1x (Soluc: x(x +x-1)) e) ab -a b+8a b (Soluc: ab(b-a +a b )) f) x +x -8x (Soluc: x(x +x-)) g) 6x y -x yz+9xy z (Soluc: xy(x y-xz+y z )) h) -x(x-) +x (x-) (Soluc: x(x-)(x+)) Ejercicios libro: pág. : 8 8. Efectuar los siguientes productos: a) (x +x-6) (8x -x+) (Soluc: x +1x -1x +8x-) b) (x -x +x-) (x -7x +) (Soluc: x 6-9x +9x +6x +x +x-6) c) (x -x +x) (x -x +x-) (Soluc: 6x 9-1x 7 +1x 6 +8x -1x -x +11x -10x) d) (ab +a b+ab) (ab-ab ) (Soluc: a b +a b -a b -a b ) e) (-x 6 +x -x +7) (x -x+1) (Soluc: -x 8 +x 7 -x 6 -x +x -x +7x -7x+7) f) (x y -xy) (xy+) (Soluc: x y -8xy) g) 10 (x-+y-) + (10-x) (10-y) (Soluc: xy) h) (x -x+/) (x+) (Soluc: x -x -1x/+) i) (x +x/+/) (x-6) (Soluc: x -7x /-10x/-70) j) (x +x+) (x-1/) (Soluc: x +x -1) 9. Efectuar las siguientes operaciones combinadas: a) (x +x+/) (x -) + 8x+7/ (Soluc: x +x -x +x-1) b) (x +x /-x+1) (x +) ( 6x+) (Soluc: 6x +x +1x +) c) (x -6x+1) (x -x/+) + 1x/ (Soluc: x -6x -x +10x -8x+) d) -x/+1/ + (x -x/-/) (x +) (Soluc: 6x -x +x -x-1)

3 10. Dados los polinomios del ejercicio, hallar: a) [R(x)] b) P(x)-Q(x) R(x) c) P(x) [Q(x)+R(x)] d) P(x) Q(x) R(x) (Soluc: a) 9x -8x +18x -x+1; b) -1x +x +9x -x +1x-; c) 8x 6 +0x +6x +6x +7x -x+ d) 6x 8 +68x 7-7x 6 +x +x -179x +x -9x+1) Ejercicios libro: pág. : 8 y 9; pág. : 7 y Desarrollar, aplicando las igualdades notables: a) (x+) b) (x-) c) (x+) (x-) d) (x+) e) (x-) f) (x+) (x-) g) (x +) h) (x -) i) (x -1) (x +1) j) (x +x) k) (x -) l) (-x-) m) 1 x + n) a o) x x p) x + q) x r) a a + + s) x 1 x t) x x x x + u) 1 x + 1 x x x (Soluc: m) + + ; n) 9 a - 6a + ; o) 1 ; p) 9 x + x + ; q) 9 x x ; r) a - ; x x x s) + x; t) 9; u) 9 x 1 x + + ) 16 Ejercicios libro: pág. : 10a,b; pág. : 1; pág. : 1, y 1. Operar y simplificar: a) (x+1) +(x-)(x+) b) (x-1) -(x+)(x-) c) (x+)(-+x)-(x+1) d) (-x+) -(x+1) -(x+1)(x-1) e) -x+x(x-)(x+)-(1-x ) f) (x-1) -(-x -x) -(-x+x )(x +x) Ejercicios libro: pág. : (Soluc: a) x +x-; b) x -6x+6; c) x -x-10; d) -x -x+; e) -x +x +x -8x-1; f) -9x -0x +x -6x+1) 1. El matemático griego Pitágoras conocía las dos siguientes posibles formas de construir un triángulo rectángulo con sus tres lados de longitud entera, llamadas ternas pitagóricas, sin más que dar valores a n IN: n -1 A n +1 n+1 B n +n+1 n n +n Por su parte, Euclides conocía la siguiente fórmula general, que engloba a las dos anteriores: m -n C m +n (m,n IN, m>n) mn

4 Finalmente, he aquí otras dos ternas pitagóricas de autor desconocido: n+ D n+ n E n +1 n+ n 1 (n IN, impar) Demostrar la veracidad de estas fórmulas. Generar algunos casos concretos. 1. Demostrar que (a +b ) (c +d )(ac-bd) +(ad+bc) 1. Desarrollar, aplicando el triángulo de Tartaglia: a) (x + ) 6 b) (x + ) 6 c) (x + y) d) (x + ) e) (x + x) f) 1 x + x g) 1 x + h) (a b) i) (x ) j) (x ) k) (x x) 6 l) (x y) m) (x ) n) 1 x o) ( x ) p) 1 x 6 q) (x ) r) x s) (-x 1) 6 t) (x 1) Ejercicio libro: pág. : 10c (Sol: a) x +8x +x +x+16; b) x 1 +18x 10 +1x 8 +0x 6 +11x +18x +79; c) 6x 1 +76x 10 y+160x 8 y +0x 6 y +860x y +916x y +79y 6 ; d) x 1 +00x x x 6 +60x +1; e) x 0 +00x x x x 8 +1x ; f) x +x +6+/x +1/x ; g) x +x /+x /+x /+x/16+1/; h) a -a b+10a b - 10a b +ab -b ; i) x -9x +7x-7; j) 81x -16x +16x -96x+16; k) x 10-1x 9 +90x 8-70x 7 +0x 6 -x ; l) 79x 6-916x y+860x y -0x y +160x y -76xy +6y 6 ; m) 16x 8-18x 6 +8x -1x +6; n) x -x /+x /-x /+x/16-1/; p) 16x -x /+8x /-8x/7+1/81 r) x 6 /6-9x /16+1x /16-1x /+11x /-79x+79) 16. Efectuar los siguientes cocientes en los que intervienen monomios, dando el resultado simplificado: a) x x 8x b) - x c) 7x x d) 8x x 7 e) - x 9x 6x y f) x y g) - 9a b c ab c 6x 9x + x h) x i) 1x + 6x x x 8 6x 7x x j) x 9 k) 8x + x x x 7 l) (-18x yz ):(6xyz ) a(a b) + a b m) a b n) xy ( x y) x y (Soluc: h) x -x+1; i) 6x -x+; j) 18x 6 /+1x/+9/0; k) 6x 6 /-7x/+7/; l) -x ; m) -a ; n) x y /)

5 17. Efectuar los siguientes cocientes, indicando claramente el cociente C(x) y el resto R(x), y comprobar el resultado mediante la regla Dd C+R: a) x -x +7x +x+1 x + (Soluc: C(x)x -x+; R(x)x+) b) x -x +x -x- x - (Soluc: C(x)x +x+1; División exacta) c) 6x -10x +x +11x-6 x -x+ (Soluc: C(x)x +x-; División exacta) d) x +x +x-1 x -1 (Soluc: C(x)x+; R(x)x+1) e) 8x -16x +0x -11x +x+ x -x+ (Soluc: C(x)x -x +x+1; División exacta) f) x +x -x+ x + (Soluc: C(x)x+; R(x)-x-1) g) x -x +x -6 x +1 (Soluc: C(x)x-; R(x)x -x-) h) x x +1 (Soluc: C(x)1; R(x)-1) i) x 6 +x -x + x -x+ (Soluc: C(x)x +8x-1; R(x)1x -6x+) j) x 8 x +1 (Soluc: C(x)x 6 -x +x -1; R(x)1) k) x -x +x-8 x- (Soluc: C(x)x -x+1; R-6) l) x +x -6 x+ (Soluc: C(x)x -6x +18x -1x+1; R(x)-6) m) x -7x +8x - x-1 (Soluc: C(x)x -6x +x+; División exacta) n) x -x +8x -x- x -x+1 (Soluc: C(x)x +x -x+; R(x)x-7) o) x -x +x-7 x -1 (Soluc: C(x)x -x+; R(x)-x-) p) x -x +x -7 x -x+ (Soluc: C(x)x +x -x-8; R(x)-1x+) q) 9x +x -7x+ x + (Soluc: C(x)x+1; R(x)-x-) r) x -x +x-7 x +x- (Soluc: C(x)x -x+; R(x)-1) s) x +x -x + x -x+ (Soluc: C(x)x +x -x-; R(x)1) t) 6x +x -x+8 x -x- (Soluc: C(x)x; R(x)9x +x+8) u) x +x -x +x-1 x - (Soluc: C(x)x +x+/; R(x)8x+7/) v) 8x +x +x- x +x- (Soluc: C(x)x +x/+/16; R(x)1x/16+7/16) w) x -x +x-9 x -x+ (Soluc: C(x)x +x /-x/-9/8; R(x)x/8-7/) x) 6x -x +x- x- (Soluc: C(x)x +x/+8/9; R(x)-9/9) y) x -x +x+ x -x+ (Soluc: C(x)x +x/-11/; R(x)-1x/+/) z) 6x +x -x +x-8 x -x+ (Soluc: C(x)x +1x/+8/9; R(x)11x/9-18/9) α) 8x -x +7x- x -x+ (Soluc: C(x)x +x/-/8; R(x)17x/8-1/) β) 6x +x +1x + x + (Soluc: C(x)x +x /-x+1; R(x)6x-) γ) x -6x -x +10x -8x+ x -6x+1 (Soluc: C(x)x --x/+; R(x)1x/) δ) 6x -x +x -x-1 x + (Soluc: C(x)x --x/-/; R(x)-x/+1/) ε) x x -1 (Soluc: C(x)x +1; R(x)1) ζ) x +x -x+1 x -1 (Soluc: C(x)x +x/+1; R(x)-x/+) Ejercicios libro: pág. : 11; pág. : 9

6 18. Inventar una división de polinomios cuyo cociente sea C(x)x -x+1, el resto sea R(x)x-1 y el dividendo un polinomio de º grado. 19. Efectuar las siguientes divisiones mediante la regla de Ruffini, indicando claramente el cociente C(x) y el resto R(x), y comprobar el resultado: a) x -7x +8x - x-1 (Soluc: C(x)x -6x +x+; División exacta) b) x -x +x-8 x- (Soluc: C(x)x -x+1; R-6) c) x +x -x +x-18 x- (Soluc: C(x)x +7x +10x+1; R) d) x +x -6 x+ (Soluc: C(x)x -6x +18x -1x+1; R-6) e) x -10x -x -0x+ x- (Soluc: C(x)x +x +7x+8; R7) f) x -10x+8 x+ (Soluc: C(x)x -x +8x-6; R60) g) 10x -1 x+ (Soluc: C(x)10x -0x+0; R-16) h) x -x -1x/+ x+ (Soluc: C(x)x -x+/; División exacta) i) x -7x /-10x/-70 x-6 (Soluc: C(x)x +x/+/; División exacta) j) x -x /+x /+x+1 x+ Soluc :C(x) x - x + x - ; R(x) k) x +x +x+1 x-1 (Soluc: C(x)x +x+6; R7) l) x -x +x +x+1 x- (Soluc: C(x)x +x+; R11) m) x +x +x+1 x+1 (Soluc: C(x)x +1; División exacta) n) x +x -x -1 x+ (Soluc: C(x)x -x +x-8; R1) o) x -7x +x -x+6 x- (Soluc: C(x)x -x +x-; División exacta) p) x +1 x-1 (Soluc: C(x)x +x +x +x+1; R) q) x +x -1 x-1/ (Soluc: C(x)x +x+; División exacta) r) x +x +x-1 x-1/ (Soluc: C(x)x +x+; División exacta) s) x +x -x +x-1 x+ (Soluc: C(x)x -x +x-1; R1) t) x -x -x- x- (Soluc: C(x)x +x+1; División exacta) (Ayuda: Dividir entre ambos términos) u) ax -a x +a x+1 x-a (Soluc: C(x)ax -a x; R1) Ejercicios libro: pág. : 1; pág. : 9 RECORDAR: TEOREMA DEL RESTO: "El resto de la división de P(x) por x-a coincide con el valor numérico P(a)" Ejemplo: Al efectuar la división de P(x)x +x- entre x-1 se obtiene resto cero, como cabía esperar, puesto que P(1)0 Utilidad: El th. del resto permite predecir, sin necesidad de efectuar la división, si se trata de una división exacta. 0. Comprobar el teorema del resto mediante las divisiones anteriores. 1. Dado P(x)x -x-, comprobar si es divisible por x+1 o por x- mediante el teorema del resto. Comprobar a continuación efectuando la división Cuál es el otro factor por el que es divisible? (Soluc: SÍ; NO; x-)

7 . Determinar, aplicando el teorema del resto, el valor de a para que el resto de la división x +x +ax +9x +x-7 x- sea -1; comprobar, a continuación, el resultado obtenido haciendo la división. (Soluc: a-). Averiguar, sin efectuar la división, cuáles de las siguientes divisiones son exactas: a) x -x +x-10 x- (Soluc: NO) b) x -x +x+1 x+ (Soluc: SÍ) c) x 6-1 x-1 (Soluc: SÍ) d) x -x +x x- (Soluc: NO). Hallar, de dos formas distintas, el valor de m en cada caso para que las siguientes divisiones sean exactas: a) x +8x +x+m x+ (Soluc: m-8) b) x -10x +mx+ x- (Soluc: m-) c) x +mx -x +0 x- (Soluc: m-7) d) mx -x-7 x-8 (Soluc: m1) e) x +x-m x+ (Soluc: m-) f) x -x +m x-1 (Soluc: m) g) x +x +mx+1 x- (Soluc: m-/) h) x -x +mx -10 x+1 (Soluc: m7) RECORDAR: TEOREMA DEL FACTOR: "P(x) es divisible por x-a (o dicho de otra forma, P(x) contiene el factor x-a) si se cumple que P(a)0" Ejemplo: Dado P(x)x +x-, como P(1)0, podemos asegurar que P(x) es divisible por x-1 De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene x +x-(x-1)(x+) (Nótese que el th. del factor es a la división polinómica lo que los criterios de divisibilidad eran a la división numérica). Comprobar, sin efectuar la división, que x x+1 es exacta. (Soluc: Al hacer P(-1), sale 0) 6. Comprobar que x -x- es divisible por x- sin efectuar la división. Comprobar el resultado obtenido haciendo la división. Por qué otro factor es divisible? (Soluc: P(x)(x-)(x+1)) 7. Estudiar si P(x)x +x- es divisible por x+ y/o por x-, sin efectuar la división. Comprobar el resultado obtenido haciendo la división. Por qué otro factor es divisible? (Soluc: divisible por x+ pero no por x-) 8. Estudiar si P(x)x - es divisible por x- sin efectuar la división (Comprobar el resultado obtenido haciendo la división). (Soluc: Sí es divisible) 9. Sin necesidad de efectuar la división, podemos asegurar que el polinomio P(x)x 0 +x -x-1 es divisible por x-1? Por qué? 0. TEORÍA: Razonar, mediante ejemplos, que el teorema del factor viene a ser a la división polinómica lo que los criterios de divisibilidad eran a la división numérica FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS: 1. Dados los siguientes polinomios cuadráticos se pide: i) Obtener sus raíces y comprobarlas. ii) A partir de las raíces anteriores, factorizarlos. iii) Comprobar dicha factorización. a) x -x+6 b) x -x-8 c) x -6x+9 d) x +x-6 e) x +x+1 f) 6x -7x+

8 . Dados los siguientes polinomios se pide: i) Obtener sus raíces por Ruffini. ii) Comprobar dichas raíces sustituyéndolas en P(x) iii) Factorizar P(x) a partir de sus raíces y comprobar dicha factorización: a) P(x)x -x +x+6 (Soluc: x-1,,) b) P(x)x -8x +17x +x- (Soluc: x-1,,,) c) P(x)x +x -x+ (Soluc: x1doble,-) d) P(x)x -x +1 (Soluc: x-1doble,1doble) e) P(x)6x +x -x -x+ (Soluc: x±,-1/,1/). Sabiendo que una de sus raíces es x1/, factorizar P(x)x -x +x -x+1. Dadas las siguientes ecuaciones polinómicas se pide: i) Resolverlas por Ruffini. ii) Comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación. iii) A partir de sus raíces, factorizar el polinomio y comprobar dicha factorización. a) x -6x +11x-60 (Soluc: x1,,) b) x +x -9x-90 (Soluc: x-1,-,) c) x -x -17x +18x+70 (Soluc: x-, ±, ) d) x -x -1x +x-10 (Soluc: x-, 1 doble, ) e) x -x +x +x-80 (Soluc: carece de raíces ε Q) f) x +x -8x+0 (Soluc: x-,1,/) g) x -x -x +1x +x-10 (Soluc: x±1,±,) h) x -x +0 (Soluc: x±1,±) (También se puede hacer por ecuación bicuadrada) i) x +x -x -6x0 (Soluc: x-,-1,0,) j) x +x -7x -8x+10 (Soluc: x1, ±, -) k) x -x -x-60 (Soluc: x6) l) x -x -x+0 (Soluc: x±1,) m) x -6x +11x -6x0 (Soluc: x0,1,,) n) 6x +11x -8x -1x+180 (Soluc: x-1,-,/,/) o) x +x -10x-0 (Soluc: x-,-,) p) x +x -1x-60 (Soluc: x- doble,) q) x -x +x-10 (Soluc: x1 triple). Dados los siguientes polinomios, se pide: i) Obtener sus raíces por Ruffini. ii) Comprobar dichas raíces sustituyéndolas en P(x) iii) Factorizar P(x) a partir de sus raíces y comprobar dicha factorización. a) P(x)x +x +7x +8x+ (Soluc: x-,-1) b) P(x)6x +7x -9x+ (Soluc: x-,1/,1/) c) P(x)x -x +x -x-8 (Soluc: x-1,) d) P(x)x -x +x +x-6 (Soluc: x,,±1) e) P(x)x -x +x -9x+6 (Soluc: x1,) f) P(x)x -x + (También se puede hacer por ecuación bicuadrada) g) P(x)x -x -6 (También se puede hacer por ecuación bicuadrada) h) P(x)x -x -x -x- (Soluc: x-1,) i) P(x)x -6x +7x-6 (Soluc: x,-) j) P(x)x -x -x +7x+6 (Soluc: x-1 doble,,)

9 k) P(x)1x -x +x-1 (Soluc: x±1,/,/) l) P(x)x -x +6x -7x (Soluc: x0, 1) m) P(x)x -x -x -x- (Soluc: x1) n) P(x)x -x -x +1 (Soluc: x±1) o) P(x)x -x -7x +x-6 (Soluc: carece de raíces ε Q) p) P(x)x -9x -6x +6x- (Soluc: x1, doble,-) q) P(x)6x +11x -1x -16x+1 (Soluc: x1, -, /, -/) r) P(x)x 6 +6x +9x -x -6x-9 (Soluc: x±1,- doble) Ejercicios libro: pág. 7: 19; pág. : y 7 CONSECUENCIA: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: "Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales" 6. Resolver la ecuación x 1 x, sabiendo que una de sus raíces es 1/ (Soluc: x±1/, /) 7. Resolver la ecuación x x (Sol: x) 8. Serías capaz de resolver la ecuación x x 1? Aunque es un poco complicada para este curso, puedes resolverla con los conocimientos ya adquiridos: tendrás que aplicar binomio de Newton y Ruffini (Sol: x1) 9. Resolver: a) x y (Soluc: x1, y) b) y - x 1 1 y x y x (Soluc: x1; y1) 0. Inventar una ecuación polinómica que tenga únicamente por soluciones x-, x1 y x 1. Inventar, de dos formas distintas, una ecuación polinómica que tenga únicamente como raíces 1 y Ejercicios libro: pág. : 8, 0 y. Determinar el polinomio de grado que verifica: P(-1)P()P(-)0 y P(-)18. Un polinomio de grado, cuántas raíces puede tener como mínimo? Razonar la respuesta. (Soluc: 1 raíz)

45 EJERCICIOS de POLINOMIOS 4º ESO opc. B

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