1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN"

Transcripción

1 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el uso de epresiones en ls que intervienen números letrs (llmds tmién vriles o incógnits) relcionds entre si medinte ls operciones ritmétics usules: sum, rest, producto, división, potencición rdicción. Tles epresiones se llmn lgerics. Son ejemplo de epresiones lgerics: 7 ; ; 7 Ls epresiones lgerics se clsificn en: Enters: Si no eiste ningun letr como denomindor ; 6 Frccionris: No enters: 6 ; ; Rcionles. Si no eiste ningun letr jo el signó rdicl: ; 7 Irrcionles: No rcionles. Ls vriles están sometids rdicción: ; 7

2 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Si ls letrs que figurn en un epresión lgeric se sustituen por números determindos, l epresión lgeric se convierte en un epresión ritmétic cuo vlor se podrá clculr efectundo ls operciones indicds. Otendremos sí el vlor numérico de l epresión lgeric pr los vlores ddos ls letrs. Ejemplos: El vlor numérico de pr -, es ( ) 6 0 El vlor numérico de pr 9, - es 9 ( ) 9 ( ) El vlor numérico de pr /, - es ( ) 0. Notd que, como hemos visto, un mism epresión lgeric tiene distintos vlores numéricos dependiendo del vlor signdo ls vriles.

3 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. MONOMIOS Se llm monomio un epresión lgeric rcionl enter que const de un solo sumndo. Son monomios: ; ; ; ;. No son monomios: ; ;. Todo monomio const, de dos prtes: Así: Coeficiente: el número del monomio. Prte literl : ls letrs con sus eponentes. en el monomio el coeficiente es l prte literl. en, el coeficiente es l prte literl. en, el coeficiente es l prte literl. En, el coeficiente es l prte literl 0 (recordr que todo número elevdo 0 es igul l unidd, por tnto 0 ). Se llmn monomios semejntes quellos que tienen l mism prte literl. Son semejntes los monomios: ; 7 ; No son semejntes: ; 7 ; Se llm grdo de un monomio respecto un vrile l eponente de dich vrile; se llm grdo del monomio l sum de los eponentes de ls vriles que formn el monomio. Así: 7 el grdo de respecto es, respecto es, el grdo totl del monomio es. el grdo de es. el grdo de es 0 (recordr que 0 ).

4 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios.. OPERACIONES CON MONOMIOS Es preciso recordr previmente ls regls de operciones con potencis. n m n m n n ( ) n n m n n nm n 0 n n SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Sólo se pueden sumr restr monomios que sen semejntes. Pr hcerlo se sumn (o restn) los coeficientes dejndo l mism prte literl. Ejemplo: PRODUCTO DE MONOMIOS ( ) 9 Se multiplicn los coeficientes ls prtes literles, teniendo en cuent l regl de los signos ls operciones con potencis (producto de potencis de l mism se). Ejemplos:. ( ) c c. (-) (- ) 6. () (- ) ( ) - 6 DIVISIÓN DE MONOMIOS Se dividen los coeficientes ls prtes literles, teniendo tmién en cuent l regl de los signos ls operciones con potencis (cociente de potencis de l mism se potencis de eponente negtivo). Ejemplos:. ( ) :. ( ) : ( 6) 6

5 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. ( ) : ( c) POTENCIA DE UN MONOMIO c c Pr hcerlo tendremos en cuent l regl de los signos, l potenci de un potenci ls potencis de un producto de un cociente. Ej.: (- c) 6 c c 9 c 8 9 c

6 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 6 de Polinomios: Teorí ejercicios. POLINOMIOS Podemos definir un polinomio como l sum lgeric de monomios. es un polinomio. Cd monomio se llm término del polinomio; sí un monomio es un polinomio de un solo término; si el polinomio tiene dos términos se llm inomio, si tiene tres términos, trinomio, si ms de tres se llm polinomio, sin nomres específicos. z z es un inomio; es un trinomio Se llm grdo del polinomio l mor de los grdos de los términos que lo formn. El polinomio z z es de grdo ; - es de grdo. Se llm polinomio homogéneo quel cuos términos son todos del mismo grdo. El polinomio es homogéneo. Un polinomio se dice que está ordendo respecto un vrile cundo el eponente de dich incógnit en cd término es siempre mor (ordendo decrecientemente) o menor (ordendo crecientemente) que en el siguiente término. El polinomio 6 - está ordendo crecientemente respecto decrecientemente respecto. Un polinomio se dice completo respecto un vrile cundo posee todos los grdos de dich vrile, desde el grdo 0 (término independiente) hst el mor. El polinomio 6 - es incompleto en en. El polinomio - es completo está ordendo crecientemente respecto. El polinomio en, 7 es completo desordendo. Usulmente trjremos con polinomios en un sol vrile, designd por, sólo pr lguns operciones usremos polinomios con más de un vrile.

7 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 7 de Polinomios: Teorí ejercicios.. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS SUMA Pr sumr polinomios se sumn los monomios semejntes que eistn. Ejemplo: { 7 } { 7 } 7 7 L operción es notlemente más sencill con polinomios en : ( ) ( ) RESTA Pr restr se hce lo mism que pr sumr teniendo en cuent que un signo menos delnte de un préntesis cmi todos los signos de su interior. ( ) ( ) PRODUCTO DE POLINOMIOS PRODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Pr multiplicr un polinomio por un monomio se multiplicn cd uno de los términos del polinomio por el monomio. Ejemplo: ( 7 ) ( ) ( ) 8

8 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 8 de Polinomios: Teorí ejercicios PRODUCTO DE POLINOMIOS Pr multiplicr, un polinomio P() por otro Q() se multiplicn cd uno de los términos del polinomio P() por cd uno de los monomios de Q(). Los polinomios resultntes se escrien unos dejo de otros, de form que estén en l mism column los monomios que hn resultdo semejntes. Se sumn finlmente los productos prciles otenidos otenemos el polinomio producto finl P() Q(). Normlmente, como hemos dicho, se trj con polinomios en. Ejemplo: Multiplicr ( ) ( ) P() Q)() P() Q() Notd que el grdo del polinomio producto es igul l sum de los grdos de los polinomios fctores: grdo [P()Q()] grdo P() grdo Q() En el ejemplo nterior el grdo del polinomio es, que es sum de los grdos de los polinomios P() Q(), que son respectivmente. DIVISIÓN DE POLINOMIOS: Dividir un polinomio D() (dividendo) entre otro polinomio d() (divisor) es encontrr un tercer polinomio c() (cociente) tl que: D() d() c() No siempre es posile encontrr un polinomio cociente que multiplicdo por el polinomio divisor nos de el dividendo. Cundo ello es posile se dice que l división es ect o enter el polinomio D() se dice que es múltiplo de d() de c(). Pero si no es posile l división es inect, eiste un polinomio r() (resto), de grdo siempre menor que el divisor d() tendremos: D () d() c() r() Ejemplo: ( ) ( )

9 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 9 de Polinomios: Teorí ejercicios Siendo: D() d () c () Entonces: D() d() c() c() d() D() En este ejemplo l división es ect, por lo que no h resto. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Se divide cd término del polinomio dividendo por el monomio o divisor. Es necesrio que el polinomio dividendo esté ordendo decrecientemente. L división se c cundo, se otiene resto cero, ó cundo se lleg un dividendo prcil de grdo menor que el divisor. Vemos dos ejemplos donde mostrmos l disposición práctic de los cálculos: resto resto. 7 6 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO Lo veremos sore un ejemplo:. Ordenremos en sentido decreciente dividendo divisor. Si el dividendo no es completo dejremos huecos en los términos que flten Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Luego multiplicmos el término del cociente sí otenido por todo el divisor restmos el producto resultnte del dividendo, con lo cul tenemos el primer dividendo prcil.

10 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 0 de Polinomios: Teorí ejercicios Se reliz con este dividendo prcil ls misms operciones seguimos sí hst otener resto cero o hst llegr un dividendo prcil de grdo menor que el divisor resto 6 Notd que se cumple D () d () c () r () (lo podéis compror); que el grdo del cociente es el grdo del dividendo menos el grdo del divisor. En nuestro ejemplo:. Grdo c() grdo D() - grdo d()

11 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. Regl de Ruffini L regl de Ruffini es un método cómodo pr hcer l división de un polinomio por un inomio -. Lo veremos sore un ejemplo: dividir { - 6-0} : {-} º. Un vez ordendo decrecientemente el polinomio dividendo, pondremos los coeficientes de sus términos en fil; si flt lgún término, su coeficiente será cero. Dejo l izquierd colocremos el término independiente del divisor cmido de signo º. Bjmos el primer coeficiente lo multiplicmos por el término independiente del divisor; el producto lo summos l siguiente coeficiente; l sum otenid l multiplicmos de nuevo por el término independiente del divisor continumos sí coef. c () 8 78 resto º El último número otenido es el resto de l división; los restntes son los coeficientes del cociente; como el grdo del divisor es,el grdo del cociente será de un unidd menos que el del dividendo. En nuestro ejemplo: cociente 8. Resto: 78. Si se trt de dividir un polinomio por el inomio, pondremos en l prte inferior izquierd - (siempre el término independiente del divisor cmido de signo). Ejemplo: dividir: {-6} : {} cociente: resto: 79

12 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios 6. Teorem del resto El resto de dividir un polinomio por el inomio - es igul l vlor numérico de dicho polinomio pr. O ien: el resto de dividir un polinomio por el inomio es igul l vlor numérico de dicho polinomio pr -. Vemos dos ejemplos:. Al dividir {-6-0} : {-} hemos otenido de resto 78; según el teorem del resto,el vlor numérico del polinomio -6-0 pr dee ser 78. Comproémoslo: Con el otro ejemplo epuesto, el vlor de -6 pr - dee ser 79. Vemos: (-)-(-)6(-)79. Alguns plicciones del teorem del resto. El teorem del resto permite clculr el resto de un división entre - o entre, sin hcer l división. Ejemplo: Cuál es el resto de l división {-6-0} : {-}? Bst clculr el vlor numérico del polinomio pr Resto Asimismo podemos ser si un polinomio el divisile por - o por sin hcer l división; st que el vlor numérico ( el resto) nos dé cero. Ejemplo: Es divisile - por -? Vemos: Sí.. Otrs plicciones del teorem del resto: cálculo de ls soluciones rcionles de culquier ecución polinómic con coeficientes rcionles, fctorizción de polinomios, cálculo del mínimo común múltiplo el máimo común divisor de polinomios, los veremos continución.

13 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios 7. Cálculo de ls ríces de un polinomio Se llmn ríces de un polinomio P() los vlores de l vrile que hcen que el polinomio tome vlor numérico cero. P()0. Ejemplo: Del polinomio --6 son ríces los vlores,, -, pues ()-()-()60 ()-()-()60 (-)-(-)-(-)60 Pr otener dichs ríces se divide el polinomio, por Ruffini, por un número que se divisor del término independiente. Si el resto es cero, ese número es l ríz. Si el resto es distinto de cero, se prue con otro divisor del término independiente. En nuestro ejemplo, los divisores de 6 son,-,,-,,-, Al pror con el el resto es cero, por lo cul es ríz del polinomio Después se sigue prondo con los divisores en el polinomio cociente otenemos de ríz -, sí sucesivmente hst que el cociente es de grdo. El término independiente cmido de signo es l últim ríz. En el ejemplo, el cociente es -, l últim ríz será. Ls ríces de este polinomio son,-,. Ls ríces pueden repetirse como ls del polinomio - que son,. Se dice que es ríz dole. Ls ríces no siempre son enters. El polinomio - tiene de ríces, ; pr estos csos, si el polinomio es de segundo grdo, se resuelve como un ecución de segundo grdo. Tmién h polinomios de segundo grdo que no tienen ríces reles, como.

14 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios 8. Fctorizción de polinomios Todo polinomio se puede descomponer en producto de polinomios de primer grdo de segundo grdo. Si ls ríces de un polinomio P() son,,c,..., el polinomio se podrá descomponer en: P()(-)(-)(-c)... estos son los fctores. Si lgun ríz es múltiple (dole, triple...) se pondrá el fctor elevdo l potenci correspondiente {(-), (),...} Si lgún polinomio de segundo grdo no tiene ríces reles, el fctor es dicho polinomio. Ejemplo: el polinomio --- tiene ríces,,- qued de cociente, que no tiene ríces reles. Su descomposición fctoril será: (-) () (-)

15 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios 9. Frcciones lgeráics Un frcción lgeráic es el cociente entre dos polinomios P() Q() Ej : Dos frcciones lgeráics son equivlentes si l multiplicrls en cruz nos d el mismo polinomio. Ejemplo: son equivlentes porque () (). Si se multiplicn numerdor denomindor por un mismo polinomio, l frcción resultnte es equivlente l primer. Si descomponemos fctorilmente numerdor denomindor, h fctores igules en mos, estos fctores se pueden simplicr. Ejemplo: ( ) Mínimo común múltiplo de polinomios es el polinomio formdo por los fctores comunes no comunes con el mor eponente. Ejemplo: ( )( ) ( ) m.c.m. ( -, -)(-) (-) Máimo común divisor de polinomios es el polinomio formdo por los fctores comunes con el menor eponente. Ejemplo: M.C.D. (-, -)- Sum rest de frcciones lgeráics. º Se hll el común denomindor (m.c.m. de los denomindores). º Se divide el común denomindor por cd denomindor se multiplic por el numerdor corres-pondiente. º Se sumn o restn los numerdores resultntes. Ejemplo: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( - ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) 6 ( )

16 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 6 de Polinomios: Teorí ejercicios Producto de frcciones lgeráics El numerdor es el producto de los numerdores el denomindor el producto de los denomindores. Ejemplo: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cociente de frcciones lgeráics Se multiplic en cruz igul que el cociente de frcciones numérics. Ejemplo: : ( ) ( )( )

17 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 7 de Polinomios: Teorí ejercicios 0. EXPRESIONES NOTABLES Dmos continución lguns identiddes lgerics de uso común que es preciso conocer: El cudrdo de un inomio sum es igul l sum de los cudrdos de los términos que lo formn más el dole del primer término por el segundo. ( ) El cudrdo de un inomio diferenci es igul l sum de los cudrdos de los términos que lo formn menos el dole del primer término por el segundo. ( ) El producto de un sum de dos términos por su diferenci es igul l diferenci de sus cudrdos. ( ) ( ) El cuo de un inomio sum (ó diferenci) es igul l cuo del primer término más (menos) el triplo del cudrdo del primer término por el segundo más el triplo del primer término por el cudrdo del segundo, más (menos) el cuo del segundo término. ( ) ( ) El cudrdo de un polinomio es igul l sum de los cudrdos de todos sus términos más los doles productos de cd término por todos los posteriores. ( ) d c d c d c d c d c

18 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 8 de Polinomios: Teorí ejercicios. Clsificr ls siguientes epresiones lgerics: EJERCICIOS DE POLINOMIOS ) ) c). Hllr el vlor numérico de: ) c pr,, c. ) pr,.. Indicr el coeficiente l prte literl de los monomios: 7 ) z ) 7 c) 7. De entre los monomios que se dn indicr los que son semejntes: ) ) 6 c) d). Ordenr los siguientes polinomios con respecto, e indicr su grdo totl el grdo respecto cd incógnit: ) ) z 6 z z. 6. Efectú ls siguientes operciones: ) 6 8 ) 7 c) 7 d) 6 e) f) 7. Efectú ls siguientes operciones: ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) e) ( ) ( ) f) ( ) g) ( ) ( ) h) ( )

19 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 9 de Polinomios: Teorí ejercicios i) ( ) ( ) j) ( ) ( 8 ) 8. Reliz ls siguientes operciones: ) 7 ) c) 7 9. Divide los siguientes monomios: ) 6 ) c) 7 0. Reducir ordenr en orden decreciente los siguientes polinomios: ) 6. ).. Clcul los siguientes productos de polinomios: ) ( 8) ) ( 6 ). d) 8 c) ( 0 ). Hll el cociente el resto de ls siguientes divisiones: ) 8 : ) ( ) : X 8 6 c) ( 6 ) : d) ( 6 ) :. Reliz ls siguientes divisiones di cuáles son ects: ) ( 6 ) : ( ) ) ( ) : ( 6) c) ( 8 7 6) : ( ). Aplicndo l regl de Ruffini, hll el resto el cociente de ls siguientes divisiones: ) ( ) : ( 8) ) ( 6 7) : ( )

20 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 0 de Polinomios: Teorí ejercicios d) 6 : c) ( ) : ( ). Hll, sin hcer l división, el resto de ls siguientes divisiones: ) ( 6 8) : ( ) ) : ( ) 6. Hll en el polinomio siendo que l dividirlo por d de resto. 7. Clculr, medinte l división por Ruffini el vlor numérico del polinomio 6 pr. 8. Averigur qué vlor dee drse m pr que el polinomio m se divisile por. 9. Aplicndo ls fórmuls de epresiones notles dds en el tem, clcul: ) ( ) ) ( ) d) c) ( 6 ) ( 6 ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) ( ) 0. Descompón ls diferencis de cudrdos siguientes en producto de un sum por un diferenci: ) 9 6 ) 6 c) Hllr el dividendo de un división en l que el divisor, cociente resto son, respectivmente:, -, -. Determinr pr qué vlores de el dividendo será nulo.. Descomponer en fctores por el método oportuno: ) ) 9 ) ) 9 ) 6) 6 7) 8) 9) 6 0) c c d d ) ) 6

21 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios ) 8 ) 8 ) 6) z 7) 9 8) 9) 6 0) ) ) ). Simplificr ls siguientes frcciones lgerics: ) ) m n 6m n z 9( ) ) 0 ) 6 8 ) 9 ( ) 6 6) 7) m m 8) ( ) 9) ( ) ( ) 0) 9 9 ) z z ) c c c c ) ) 6 8 ) 6). Hllr el m.c.d. el m.c.m. de los polinomios siguientes: ) ) 8

22 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios c) 0. Relizr ls siguientes operciones con frcciones lgerics: ) ) 6 ) ) ) ) 7) 8) 9) ) ( 0) Productos de frcciones lgerics: ) ) c) d) e) f) g) h) 7. Cocientes de frcciones lgerics: ) ) ( ) ( ) c) ( ) d) e) f)

23 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios g) h) i) :

24 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. ) Frccionri rcionl. ) Enter rcionl. c) Enter e irrcionl.. ) 7 ) -6 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS. ) Coeficiente ) Coeficiente 7 c) Coeficiente 7 Prte literl 7 z Prte literl Prte literl. Son semejntes los monomios,, z 6 z z Grdo totl Grdo totl Grdo Grdo 7 Grdo Grdo Grdo z 6. ) ) c) d) e) 6 f) 7. ) ) c) d) 8 e) 8 f) 8 6 g) j) h) 96 i) 0 8. ) ) c) 9 9. ) ) 9 8 c) 0. ) 6 )

25 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. ) ) c) 9 0 d) 6 8. ) C: R: 8 ) C: R: c) C: R: 6 d) C: R:. ) C: R: 0 Ect. ) C: R: 7 7 c) C: R: 6. ) C: 7 69 R: 9 ) C: R: -8 c) C: 7 R: 9 d) C: 7 R: ) 66 ) P() m 9. ) 0 ) c) 6 d) 9 6 e) 9 9 f) g) i) h) ) ( ) ( ) ) ( 6 ) ( 6 ). D: ; c)

26 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 6 de Polinomios: Teorí ejercicios : ) ( )( ) ) ( ) ) ( 6) ) ( )( ) ) ( )( ) 6) ( )( ) 7) ( )( 7) 8) ( )( )( ) 9) ( ) 0) ( )( c d) ) ( )( ) ) ( )( )( )( ) 8 ) ) ( ) ) ( )( ) 6) ( z )( z )( z ) 7) 9) ( )( ) 8) ( )( )( )( ) 0) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) ) ( ) : ) ) m n z ) 7 ) 7 ) 9 6) 7) m 8) 9) 0) ) z ) c ) ) 6 6 ) 6)

27 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 7 de Polinomios: Teorí ejercicios : ) m.c.m. ( )( )( )( ) m.c.d. ( ) ( ) ) m.c.m. ( )( 8 ) m.c.d. c) m.c.m. ( ) ( ) m.c.d. ( ) : ) 6 8 ) 6 ) ) 0 7 ) 60 6) 7) 8) ( ) 9) ( ) ( ) 0) 0 ( ) 6: ) 6( ) ) c) d) e) f) g) h) 7: ) ( ) ( ) ) ( ( )( )( ) ) c) d) e) f) g) h) i) ( )

28 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 8 de Polinomios: Teorí ejercicios EJERCIOS PROPUESTOS POLINOMIOS. Reduce términos semejntes: ) c c c 6 ) c). Efectú ls siguientes operciones de sums rests: ) ( ) ( ) ( ) ) ( z ) ( ) ( z ) ( z ) c) ( 7 7 ) ( ) ( 0 ) d) [ ( ) ( ) ] [( ( ) 8( ) ] [(( ) 0( ) 6 ] [ ] [ ] [ ] (c d) ( ) ( z ) ( ) (c d) 6( z ) ( z ) (c d) ( ) e) [ 7(c d) ( z ) ( ) ]. Clcul A-BC AB-C, siendo: A ;B 7 ;C 6 6. Efectú los siguientes productos: ) ( )( 6 ) ) ( c )( 6c ) c) (-z)(z)(z)(z-)()(-)

29 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 9 de Polinomios: Teorí ejercicios d) {[(-c)(c)]-c[()c-(c-)]}.( -c) e) 9 f) ) ( g) ) ( 6. Reliz ls siguientes operciones: ) ) ( )( ) 8 6 c) 6 6. Emple ls regls de los productos notles pr clculr ls siguientes epresiones: ) () ; ( ) ; ( -). ) ; ;. c) 9 ; 9 7 m ;. d) (mm) ; ; ( ) nm n m. 7. Utiliz ls regls de los productos notles pr clculr ls epresiones siguientes: ) (-)() ) c) ) )( ( d) ) )( ( e) f)

30 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. 0 de Polinomios: Teorí ejercicios 8. Clcul los cudrdos de los trinomios siguientes: ) (z) ) (z) c) (-c) d) (-c) e) (--c) f) ( - ) 9. Hll el cuo de los inomios siguientes: ) () ) c) (-) d) ( -) REGLA DE RUFFINI Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Sirviéndote de l regl de Ruffini hll el cociente el resto de ls siguientes divisiones: ) ( - -0) : (-) ) (8-0 ) : () c) (6 0-00) : () d) (0- ) : (-) e) 6 : ( ) f) 7 : ( ) g) m m m m : m h) ( - - ) : (-) i) ( 6-6 ) : () j) ( - ) : (-) k) ( - ) : ( -) l) ( ) : ( - ). Averigu el resto de ls siguientes divisiones. Si son ects clcul tmién el cociente pon el dividendo como producto de dos fctores: ) --8 : ) m-m 8m -6 : m- c) : - d) m m m 9 : m

31 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. Hll p pr que se ect l división: -p :. Busc r pr que se nulo el resto de l división: 7 r : 9. Añde el término independiente l polinomio - pr que se divisile por Hll el vlor que deemos dr "p" pr que el polinomio p 7 - se divisile por Qué vlor h de tomr m pr que -8 m-6 se divisile por -? 8. Qué vlor h de tener pr que - se un fctor de -6 -? 9. En el polinomio - -m, determinr m pr que l dividirlo por dé 6 de resto. 0. En el polinomio: 6 Qué vlor h de tener m pr que se un fctor?. Hll el vlor de r pr que (-) se un cero del polinomio - r-.. Descompón en fctores, relizndo un dole etrcción: ) c-cd-d ) -- ) -- ) Descompón en fctores los siguientes polinomios: ) -7 7 ) - - c) d) -6-8 e) -- f) -0 g) - h) -6

32 ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. Hll el m.c.d. el m.c.m. de los siguientes grupos de polinomios: ) ) c) d) e) f) g) Efectú ls siguientes operciones: ) ) ( ) ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( 6) ) ( : ) ( 7) 8) 9) : 0) ) 6 ) ) ) )

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIONES LGERIS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIÓN LGERI.- Un epresión lgeric es culquier cominción de números letrs unidos por ls operciones ritmétics (sum, rest, multiplicción, división, potenci, (o)

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Myo de 2015 Operciones Básics con Frcciones Número

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

Los números enteros y racionales

Los números enteros y racionales Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES RAÍCES Y RADICALES L ríz n-ésim de un número, representd por n, es un operción sore que d como resultdo un número tl que n. Si n es pr, h dos resultdos posiles: positivo negtivo:,

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES Productos

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1 el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores

Más detalles

Taller de Álgebra. 0, 1, 2, 3, 4, 5, los llamamos enteros no negativos o números naturales 0.5, 0.333, 0.75, 0.875, 4.333

Taller de Álgebra. 0, 1, 2, 3, 4, 5, los llamamos enteros no negativos o números naturales 0.5, 0.333, 0.75, 0.875, 4.333 Tller de Álger. Dr. Blnc M. Prr UIA Tijun 0. Números reles rect numéric. Números reles son todos los números que representmos en l rect numéric. A cd punto de l rect corresponde un número rel pr cd número

Más detalles

Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA

Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA Mtemátics º ESO Fernndo Brroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA. En cd cso escribe un polinomio que cumpl ls condiciones que se indicn. Con grdo coeficientes enteros. Trinomio de grdo sin

Más detalles

OPERACIONES CON FRACIONES

OPERACIONES CON FRACIONES LEY DE SIGNOS OPERACIONES CON FRACIONES SUMA Y RESTA: Si se sumn dos números con el mismo signo, se sumn los vlores solutos y se coloc el signo común (+) + (+) = + 8 (-) + (-) = - 8 Si se sumn dos números

Más detalles

POLINOMIOS. se denominan coeficientes.

POLINOMIOS. se denominan coeficientes. POLINOMIOS Polinomios. Generliddes Llmremos polinomios de grdo n en l vrile, tod epresión de l form: tl que: 0... n n 0 R; R; R;... ; n R n 0 siendo n N0 En tl epresión, l letr represent un número rel

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: NIVELACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8º A/B Julio de 0 módulos

Más detalles

Polinomios 3º Año Cód P r of. M a r í a d el L u já n Matemática M a r t í n ez P r of. M ir t a R o s i t o Dpto.

Polinomios 3º Año Cód P r of. M a r í a d el L u já n Matemática M a r t í n ez P r of. M ir t a R o s i t o Dpto. Polinomios Mtemátic º Año Cód. 0- P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M i r t R o s i t o Dpto. de Mtemátic POLINOMIOS Polinomios. Generliddes Llmremos polinomios de grdo n en l vrile,

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Taller de Matemáticas I

Taller de Matemáticas I Tller de Mtemátics I Semn y Tller de Mtemátics I Universidd CNCI de México Tller de Mtemátics I Semn y Temrio. Los números positivos.. Representción de números positivos... Frcciones... Decimles... Porcentjes..4.

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida»

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida» 73 ESO dí. «El que pregunt lo que no se es ignornte un El que no lo pregunt será ignornte tod l vid» E = m c ÍNDICE: MENSAJES OCULTOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES Como consecuenci de ls fórmuls fundmentles de rdicles, se pueden relizr ls siguientes operciones. Se requiere que en los rdicles sólo h productos o cocientes. Si huier sumndos

Más detalles

1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: , cuando:

1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: , cuando: Agrup quellos monomios de los que siguen que sen semejntes, y hll su sum: m, bn y, m, bm, b my, m, n by, mb Son semejntes el º, el º y el º, su sum es: Tmbién lo son el º y el º: bn y 0 Lo mismo ocurre

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas CAÍTULO Epresiones Algerics En Espñ, donde l influenci áre fue muy importnte, surgió el término álger, se utilizó pr referirse l rte de restituir su lugr los huesos dislocdos y por ello, el término lgerist

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD

Más detalles

CURSO PROPEDÉUTICO 2013 B

CURSO PROPEDÉUTICO 2013 B CURSO PROPEDÉUTICO 01 B INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ZAPOPAN Fís. Edgr I. Sánchez Rngel L.P. Alm Luz Rndeles Gómez M en C. Frncisco Jvier Villseñor Pérez Mtr. A. Lizette Gutiérrez Gutiérrez Profs.

Más detalles

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015 Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS º ESO VERANO º. Amplific ls siguientes frcciones pr que tods tengn denomindor b c d º. Cuál de ls siguientes frcciones es un frcción mplificd

Más detalles

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 0 - Prof. Cecili Glimerti MATEMÁTICA AÑO B GUÍA N - NÚMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos Conjuntos Numéricos: - Los n nturles: (, 8,.8),

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. Págin. Actividd personl, por ejemplo:,...,...,...,9...,8.... ) No, pues un deciml puede tener un número limitdo de cifrs o ser periódico. Por ejemplo,,

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 17 págin 18 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EXPONENTES L ide de los eponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Como es sido, cundo se multiplic

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1 el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o

Más detalles

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Pontifici Universidd Ctólic de Chile Fcultd de Educción Nivelción de Estudios pr Adultos CREA Educción Mtemátic Nivel 2 Profesor Jun Núñez Fernández LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Como se mencionó en l clse nterior,

Más detalles

CÁLCULO DE ÁREAS. Dados los siguientes paralelogramos (cuadrados o rectángulos), calcula las áreas de cada figura: 1. a.

CÁLCULO DE ÁREAS. Dados los siguientes paralelogramos (cuadrados o rectángulos), calcula las áreas de cada figura: 1. a. CÁLCULO DE ÁREAS. Ddos los siguientes prlelogrmos (cudrdos o rectángulos), clcul ls áres de cd figur: 1. k m y y A = = A = k m = mk A = 141. p m g s g t. 8p 5p m 7m 5k p. 4,5m 8p 7,m 1 k 5m 1 k Ddos los

Más detalles

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: ASIGNATURA: MATEMATICA. NOTA EDISON MEJIA MONSALVE.

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: ASIGNATURA: MATEMATICA. NOTA EDISON MEJIA MONSALVE. INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICA. ASIGNATURA: MATEMATICA. NOTA DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE. TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL-EJERCITACION. PERIODO GRADO N FECHA DURACION

Más detalles

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv

Más detalles

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos conjuntos numéricos: - Los n nturles: (, 8,.978), representdos por l letr N - Los n enteros: ( -, -, 8, 68), representdos por l letr Z - Los n rcionles

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 1

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 1 págin PRODUCTOS NOTABLES 1.- CONCEPTO Conviene recordr lguns definiciones ásics. Así como cundo Adlerto se dedic jugr, por ejemplo, el futol, se le llm futolist

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

3º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa NÚMEROS REALES

3º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa NÚMEROS REALES º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. NÚMEROS REALES.- NÚMEROS RACIONALES Los números rcionles son lo que hbitulmente conocemos como frcciones. Un número rcionl o frcción está compuesto por

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato Mnul de teorí: Álgebr Mtemátic Bchillerto Relizdo por José Pblo Flores Zúñig Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin Contenido: ) Álgebr. Fctorizción. Simplificción de epresiones lgebrics. Ecuciones Álgebr:

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

Guía de Trabajo n 1 Octavo año básico Refuerzo Contenido y Aprendizaje N. Cero (restitución de aprendizajes) Números

Guía de Trabajo n 1 Octavo año básico Refuerzo Contenido y Aprendizaje N. Cero (restitución de aprendizajes) Números Colegio Antil Mwid Deprtmento de Mtemátic Profesor: Nthlie Sepúlved Guí de Trjo n Octvo ño ásico Refuerzo Contenido y Aprendizje N Fech Tiempo 2 Hors Nomre del/l lumno/ Unidd Nº Núcleos temáticos de l

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero. TEMA 2: actividades

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero. TEMA 2: actividades º E.S.O. TEMA : ctividdes. Sc del rdicndo l myor cntidd posible de fctores: 0 0 0 800.. Epres como rdicl:. Simplific los siguientes rdicles: 8. Ps estos números de notción científic form ordinri:, 0 =,

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción Universidd Tec Milenio: Preprtori Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Actividd. Ley de exponentes (división). Introducción Y prendiste l multiplicción de expresiones

Más detalles

NÚMEROS REALES. 1. Clasificar los números decimales en periódicos y no periódicos o irracionales.

NÚMEROS REALES. 1. Clasificar los números decimales en periódicos y no periódicos o irracionales. UNIDAD NÚMEROS REALES OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. Clsificr los números decimles en periódicos y no periódicos o irrcionles.. (**) Operr con rdicles.. Simplificr epresiones rdicles.. (**) Rcionlizr epresiones

Más detalles

open green road Guía Matemática FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgarejo .co

open green road Guía Matemática FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgarejo .co Guí Mtemátic FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgrejo.co . Introducción El mnejo lgebrico es un herrmient básic que nos permite comunicr ides en el mbiente científico sin importr l lengu que ellos

Más detalles

OBJETIVO 1 DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO NOMBRE: CURSO: FECHA: Cuadrado: P = a + a + a + a a

OBJETIVO 1 DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO NOMBRE: CURSO: FECHA: Cuadrado: P = a + a + a + a a OBJETIVO 1 DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO NOMBRE: CURSO: FECHA: Potenci es l form brevid de escribir un multiplicción de fctores igules. n = (n veces) = Perímetro de un polígono es l

Más detalles

LECTURA N 7: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LECTURA N 7: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS LECTURA N : OERACIONES CON EXRESIONES ALGEBRAICAS Mteril recopildo con fines instruccionles por: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojs, M. 00. Epresiones Algebrics. Crcs: UNEFA. Vlor Numérico

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l

Más detalles

Escribe en la pantalla de trabajo de wiris los polinomios y las operaciones indicadas teniendo en cuenta las siguientes indicaciones:

Escribe en la pantalla de trabajo de wiris los polinomios y las operaciones indicadas teniendo en cuenta las siguientes indicaciones: Cálculo con wiris. ºESO EJERCICIOS GUIADOS.- Siendo que: P ( ) Q ( ) 6 R ( ) reliz ls siguientes operciones: ) P ( ) Q( ) ) Q( ) R( ) c) P( ) R( ) d) Cociente resto de Q ( ) R( ) Escrie en l pntll de trjo

Más detalles

EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA

EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA 1 INTRODUCCION Estimdo estudinte, el prendizje de est rm de l mtemátic, requiere que se dominen completmente los siguientes conocimientos y procedimientos prendidos

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

IES LA ASUNCIÓN

IES LA ASUNCIÓN MATEMÁTICAS º ESO Tem : ÁLGEBRA: Polinomios frcciones lgerics. TEORÍA. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trjr en álger consiste en mnejr relciones numérics en ls que un o más cntiddes son desconocids. Ests cntiddes

Más detalles

Polinomios. 68 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. Cuál es exacta?

Polinomios. 68 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. Cuál es exacta? Polinomios Ejercicios pr prcticr con soluciones Efectú ls siguientes divisiones usndo l Regl de Ruffini Cuál es ect? ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) c() = c() = c() = r() = r() = r() = 0 ect Efectú ls siguientes

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES UNIDAD V.- PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIO N Productos Notbles ( (b ( (d (e ( REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES Un producto notble (multiplicción es quel que se puede obtener su resultdo sin necesidd

Más detalles

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 81 págin 8 Si se divide un curt prte de un pstel l mitd se otiene un octv prte del mismo, lo que escrito en simologí mtemátic es Lo nterior es lo mismo que 1 1 4

Más detalles

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS NOMBRE: 7 ) ) Representr en l rect rel: b) Qué número es el indicdo en el gráfico? 0 ) Clculr el resultdo simplificdo

Más detalles

Cálculo Integral. Métodos de integración

Cálculo Integral. Métodos de integración Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic

Más detalles

(lo podemos visualizar como el área de un cuadrado de lado 4) Pues bien, diremos que la base de dicha potencia, 4, es su raíz cuadrada exacta: 16 = 4.

(lo podemos visualizar como el área de un cuadrado de lado 4) Pues bien, diremos que la base de dicha potencia, 4, es su raíz cuadrada exacta: 16 = 4. Deprtmento de Mtemátics http://www.colegiovirgendegrci.org/eso/dmte.htm ARITMÉTICA: Rdicles. RADICALES... Ríz cudrd. Anlicemos los siguientes ejemplos: == es un potenci de se y exponente. El resultdo,,

Más detalles

c. m a t e m á t i c a s

c. m a t e m á t i c a s Guí de mtemátics ingeníeris Universidd Tecnológic de Agusclientes c. m t e m á t i c s Guí de estudio Educción...nuestr visión hci el futuro Eloro: M en C Mónic González Rmírez Guí de mtemátics ingeníeris

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

Ejercicios. 1.- Simplificar: a) Calcular: x x. x x. x x. 2 e) 2 f)

Ejercicios. 1.- Simplificar: a) Calcular: x x. x x. x x. 2 e) 2 f) 80 Ejercicios.- Siplificr: ) f).- Clculr: ) 0 .7 Práctico: Epresiones Algebrics Ejercicio : Epresr con un onoio el áre de l prte sobred. Ejercicio : ) Verificr que el áre del trpecio de l figur es A =.

Más detalles

Periodo III Universidad Técnica Nacional. Folleto del curso Precálculo. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Precálculo

Periodo III Universidad Técnica Nacional. Folleto del curso Precálculo. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Precálculo Universidd Técnic Ncionl Periodo III-0 Crrer: Bchillerto en Procesos Profesor: Msc. Gerrdo Arroyo Brenes. Folleto del curso P á g i n UNIDAD I: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (IR) Vlor bsoluto Es l

Más detalles