Series y Probabilidades.

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1 Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC

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3 Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites Superior e Inferior de una Sucesión 8 3 Subsucesiones 4 Series 5 Series de Términos Positivos 5 5 Pruebas de Convergencia para Series de Términos Positivos 6 52 Pruebas para Convergencia Absoluta 20 6 Series Alternas 2 7 Convergencia Condicional 22 8 Reordenamientos 23 9 Multiplicación de Series 26 2 Sucesiones y Series de Funciones 3 2 Sucesiones de Funciones 3 22 Convergencia Uniforme Convergencia Uniforme y Continuidad Convergencia Uniforme y Diferenciación Integración de Sucesiones de Funciones Series de Funciones Series de Potencias 45 3 Funciones generatrices 53 3 Variables Aleatorias no Negativas 53 3 Sumas de Variables Independientes Funciones Generatrices de Probabilidad Distribución de la Suma de un Número Aleatorio de Sumandos Procesos de Ramificación Distribuciones Límite: el Teorema de Continuidad El Paseo al Azar Simple Retornos al Origen Funciones Generatrices de Momentos 68

4 2 ÍNDICE GENERAL

5 Capítulo Sucesiones y Series Numéricas Sucesiones Un sucesión es un conjunto ordenado de números Por ejemplo 2, 4, 6, 8, 0, 2, es la sucesión de los números pares positivos El primer elemento es 2, el segundo es 4, el quinto es 0 y el elemento que ocupa el lugar n es 2n Vemos en este ejemplo que lo que hemos hecho es asociar a cada número natural, 2, 3, un número par 2, 4, 6, : n n Por lo tanto, una sucesión no es más que una función definida sobre los números naturales que toma valores reales La definición formal es la siguiente Definición Una sucesión de números reales es una función f : N R Si f(n) = x n, decimos que x n es el n-ésimo término de la sucesión Usualmente escribiremos (x n ) n= o {x n, n } para denotar esta sucesión y en algunos casos simplemente (x n ) Observación En algunos casos consideraremos sucesiones que comienzan en cero en lugar de comenzar en uno: {x n, n 0} También consideraremos sucesiones dóblemente infinitas: {x n, n Z} 2 Aunque la mayoría de las sucesiones que veremos serán de números reales, también aparecerán sucesiones de números complejos e incluso sucesiones de funciones La definición en cada caso es totalmente análoga Definición 2 Sea (x n ) n= una sucesión en R y x R Decimos que la sucesión (x n) n= converge a x, si para todo real positivo ɛ existe un entero positivo N = N(ɛ) tal que x n x < ɛ, siempre que n N Si (x n ) n= converge a x escribimos x n x cuando n o lim n x n = x, decimos que x es el límite de la sucesión (x n ) n= y que la sucesión es convergente Una sucesión que no es convergente, es divergente Esta definición formaliza la siguiente idea intuitiva: x es el límite de la sucesión (x n ) si a medida que crece el índice n los elementos x n de la sucesión están cada vez más próximos al límite x Ejemplo x n = n Esta sucesión converge a 0 en R: dado ɛ > 0 escogemos N = N(ɛ) tal que N posible por la propiedad Arquimedeana de N) Entonces tenemos que para todo n N x n x = n 0 = n N < ɛ < ɛ (esto es 3

6 4 Series y Probabilidades Gráficamente (ver figura ), la convergencia equivale a que, para cualquier ε > 0, a partir de un cierto índice N, todos los miembros de la sucesión caigan dentro de una banda de ancho 2ε centrada en el valor del límite, que es cero en este caso ε 0 ε 2 3 N Figura : La sucesión /n 2 x n = n en R Esta sucesión es divergente ya que para cualquier x R y cualquier ɛ > 0 fijo existe N N tal que N > x + ɛ y la condición de la definición no se satisface 3 Consideremos la sucesión (x n ) n=, donde x n = + n para n N Hemos visto en el primer ejemplo que la sucesión ( n ) converge a 0 y por lo tanto nuestra idea intuitiva es que la sucesión x n = + n debe converger a + 0 = Veamos a partir de la definición que esto es efectivamente cierto Sea ɛ > 0, queremos ver que existe N = N(ɛ) tal que si n N, x n < ɛ x n = + n = = n n Al igual que en el ejemplo, basta escoger N de modo que N < ɛ para tener x n = n N < ɛ + ε ε N Figura 2: La sucesión + ( )n n La noción de sucesión convergente es una de las ideas fundamentales del Análisis, y suponemos que el estudiante está familiarizado con ella A continuación presentamos una colección de propiedades, cuya demostración dejamos como ejercicio Teorema (Propiedades) El límite de una sucesión convergente es único 2 Toda sucesión convergente es acotada

7 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 5 3 (x n ) n= converge a x si y sólo si toda vecindad de x contiene todos los términos de (x n ) n= excepto un número finito de ellos 4 Si E R y x es un punto de acumulación de E, existe una sucesión (x n ) n= en E para la cual x = lim n x n Supongamos que (x n ) e (y n ) son sucesiones de números reales y x n x, y n y Entonces 5 lim(x n + y n ) = x + y 6 Para c R, lim(cx n ) = cx 7 lim(x n y n ) = xy 8 lim(x n /y n ) = x/y si y 0 e y n 0 para n N Definición 3 Sea (x n ) n= una sucesión en R, decimos que esta sucesión tiene límite infinito o tiende a infinito, si dado cualquier a R existe N N tal que si n N entonces x n > a Escribimos x n cuando n o lim n x n = De manera similar decimos que la sucesión tiene límite menos infinito o tiende a menos infinito si dado cualquier a R existe N N tal que si n N, entonces x n < a Escribimos x n cuando n o lim n x n = Estas sucesiones no son convergentes Ejemplos 2 x n = n 2 Esta sucesión tiende a infinito: como los términos de la sucesión son positivos basta considerar a > 0 en la definición En este caso basta tomar N a para obtener que 2 Veamos que la sucesión x n = x n = n N = x n > a también tiende a infinito (2n + ) /2 (2n ) /2 (2n + ) /2 (2n ) = (2n + )/2 + (2n ) /2 /2 (2n + ) (2n ) Dado a > 0 basta tomar N > a2 + 2 para obtener que n > N = = 2 ((2n + )/2 + (2n ) /2 ) 2 (2(2n )/2 ) = (2n ) /2 > a (2n + ) /2 (2n ) /2 Resaltamos la diferencia entre x n x y x n En el primer caso x es un número y podemos medir la distancia entre x y x n En cambio no es un número y la distancia entre y x n siempre vale Si x n la sucesión x n es divergente Las sucesiones que no tienen límite en el sentido que acabamos de describir (finito o infinito), se conocen como sucesiones oscilantes

8 6 Series y Probabilidades Ejemplo 3 Sea x n = ( ) n Si n es par, x n = mientras que si n es impar, x n = ; pero ni ni pueden ser límites de esta sucesión: supongamos que es límite, entonces a partir de un cierto entero N, todos los términos de la sucesión deberían satisfacer x n < /2 Pero si n > N es impar entonces x n = = 2 > /2, y la sucesión no converge a De manera similar se muestra que tampoco converge a Figura 3: La sucesión ( ) n Uno podría pensar que si (x n ) n= es una sucesión convergente con límite x y b es un número real tal que x n < b para todo n N, entonces x < b también, pero esto no es cierto: basta tomar x n = /n para todo n, x = y b = Con este ejemplo vemos que el resultado del próximo teorema es lo mejor que se puede esperar Teorema 2 Sea (x n ) n= una sucesión convergente de números reales con límite x Si b R es tal que x n b para todo n N, entonces x b Demostración Supongamos que x > b, entonces tomando h = x b 2 > 0 existe N h N tal que x n x < h para todo n N h y esto implica lo que contradice la hipótesis x n > x h = x 2 (x b) > b + (x b) > b 2 Corolario Sean (x n ) n= y (y n ) n= sucesiones convergentes de números reales con límites x e y respectivamente Si x n y n para todo n N, entonces x y Corolario 2 Si (x n ) n=, (y n ) n= y (z n ) n= son sucesiones de números reales con y n x n z n para todo n y lim y n = lim z n = l entonces (x n ) n= es convergente y lim x n = l Definición 4 Si x n x n+ para todo n N, decimos que la sucesión (x n ) n= es creciente Es útil considerar el crecimiento de la sucesión en sentido amplio, permitiendo que términos sucesivos sean iguales Si x n < x n+ para todo n N, decimos que la sucesión es estrictamente creciente Si x n+ x n para todo n N, decimos que la sucesión es decreciente y si x n+ < x n para todo n, que es estrictamente decreciente Decimos además que cualquiera de estas sucesiones es monótona Probaremos a continuación una propiedad importante de las sucesiones monótonas: no pueden ser oscilantes Teorema 3 Toda sucesión monotona en R tiene límite en R = R { } Una sucesión monotona en R converge si y sólo si es acotada

9 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 7 Demostración Consideremos una sucesión creciente (x n ) n= en R : x x 2 y sea x = sup{x n : n N} Veamos que x = lim x n : Caso : x =, es decir (x n ) n= no está acotada superiormente Por lo tanto, dado M > 0 existe N N tal que x N > M Pero como la sucesión es creciente se cumple que n N = x n x N > M es decir, lim x n = Caso 2: x R Dado ɛ > 0 existe N N tal que x N > x ɛ De nuevo, como la sucesión es creciente n N = x ɛ < x N x n x de modo que si n N, d(x n, x) < ɛ y concluimos que lim x n = x La demostración para sucesiones decrecientes es similar tomando x = inf{x n : n N} Corolario 3 Si (x n ) n= es una sucesión creciente en R, lim x n = sup{x n : n N} Si (x n ) n= es una sucesión decreciente en R, lim x n = inf{x n : n N} Ejemplo 4 La sucesión a n Un ejemplo útil e importante es el de la sucesión x n = a n, para a R El comportamiento de esta sucesión cuando n depende del valor de a Si a = 0, x n = a n = 0 y lim x n = 0 2 Si a =, x n = a n = y lim x n = 3 Si a =, la sucesión toma alternadamente los valores + y y es oscilante 4 Si a > la sucesión x n = a n es creciente: x n x n = a n a n = a(a n ) > 0 Por el Corolario 3, lim x n = sup x n Veamos que la sucesión no está acotada Sea k = a y escribamos a = + k Usando el desarrollo binomial obtenemos ( ) n x n = a n = ( + k) n = k j > + nk j Como k > 0, la sucesión ( + nk) n= no está acotada y por lo tanto tampoco lo está (x n ) n= 5 Si 0 < a < entonces < a Sea l > 0 tal que a = + l Entonces 0 < x n = j=0 ( + l) n < + nl Es fácil ver que cuando n, /( + nl) 0, de modo que por el Corolario, x n 0 6 Si a < entonces a = b, con b > y por (4) b n Por lo tanto la sucesión (b n ) n toma alternadamente valores positivos y negativos que son cada vez mas grandes en valor absoluto, es decir la serie es oscilante y no es acotada Resumiendo tenemos () a >, a n (2) a =, a n (3) < a <, a n 0 (4) a =, a n oscila y es acotada (5) a <, a n oscila y no es acotada

10 8 Series y Probabilidades Definición 5 Una sucesión (x n ) n= es una sucesión de Cauchy si para todo ɛ > 0 hay un entero N tal que x n x m < ɛ si n N, m N Toda sucesión convergente es de Cauchy: si lim x n = x y ɛ > 0 exite N N tal que x n x < ɛ 2 Por lo tanto, si n N, m N se tiene para n N x n x m x n x + x m x < ɛ El recíproco también es cierto y es una propiedad muy importante de los números reales con la distancia usual que se conoce como completitud: R con la distancia usual es completo Ejercicios Establezca la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones: x n = n n + ; x n = ( )n n n + ; x n = 2n 3n 2 + ; x n = 2n n 2 + ; x n = 2n 2 n 2 (a) De un valor de N tal que, si n > N, n 2 4n > 0 6 (b) De un valor de N tal que si n > N entonces x n x < 0 00, donde x n = n2 + y x es el límite de esta sucesión n 2 3 Si s > 0 y s n+ Ks n, donde K >, para todos los valores de n, entonces s n + 4 Si para todo n, s n+ K s n, donde 0 < K <, entonces s n 0 La conclusión también es válida si la hipótesis se satisface sólo para n > N 5 Si lim s n+ s n = h, con < h <, muestre que s n 0 6 Demuestre el teorema 7 Discuta el comportamiento de la sucesión a n /n k cuando n, donde k es un entero positivo 8 Dé ejemplos de sucesiones s n para las cuales lim s n+ s n = y (a) s n, (b) s n 5, (c) s n 0 9 Si (x n ) es una sucesión de números reales, (y n ) una sucesión de reales positivos y (x n /y n ) es monótona, demuestre que la sucesión definida por z n = (x + x x n)/(y + y y n) también es monótona 0 Sea 0 < a < b < Definimos x = a, x 2 = b, x n+2 = (x n + x n+ )/2 Es convergente la sucesión (x n )? Si la respuesta es afirmativa, Cuál es el límite? Si (x n ) n N e (y n ) n N son sucesiones tales que {n N : x n y n } es finito, entonces o bien ambas sucesiones convergen al mismo límite o bien ambas divergen 2 Si (x n ) n N es una sucesión, p N, e y n = x n+p entonces o bien ambas sucesiones convergen al mismo límite o bien ambas divergen 3 El número e Para n N sean a n = ( + n )n b n = ( + n )n+ Demuestre que (a n ) n= es creciente, (b n ) n= es decreciente y ambas sucesiones convergen al mismo límite Este límite común se denota por e y se cumple que 2 < e < 4 (Puede usar el siguiente resultado, conocido como la desigualdad de Bernoulli: Si x y k N entonces ( + x) k + kx) 4 Demuestre que R es un espacio métrico completo: toda sucesión de Cauchy en R converge 2 Límites Superior e Inferior de una Sucesión Definición 6 Sea (x n ) n= una sucesión en R Para cada k N definimos α k = sup n k x n ; β k = inf n k x n

11 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 9 Vemos que la sucesión (α n ) n= es decreciente mientras que (β n ) n= es creciente Definimos el límite superior de la sucesión (x n ) n= : lim n x n ó limsup n x n por lim x n = lim k α k = lim k y el límite inferior: lim n x n ó liminf n x n por sup x n n k lim x n = lim k β k = lim k inf n k x n Ambos límites estan siempre definidos y son elementos de R Por la monotonía de las sucesiones (α k ) y (β k ) tenemos lim x n = lim k x n = inf k x n lim x n = lim k Además como β k α k para todo k se tiene que sup n k inf x n = sup n k k lim x n lim x n sup n k Una forma equivalente de escribir ambas definiciones es la siguiente: lim x n = lim n sup p lim x n = lim n x n+p inf p x n+p inf n k x n Teorema 4 Sea (x n ) n= una sucesión en R y a, b R Entonces lim x n = a si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: a) Si α < a el conjunto {n N : x n > α} es infinito b) Si β > a el conjunto {n N : x n > β} es finito 2 lim x n = b si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: a) Si α < b el conjunto {n N : x n < α} es finito b) Si β > b el conjunto {n N : x n < β} es infinito Demostración Haremos solo el caso () con a finito Sea α k = sup n k x n y a = lim α k Sea α < a, entonces α k > α para todo k Por la definición de α k, para cada k existe n k k tal que α k x nk > α Por lo tanto {n N : x n > α} {n k : k N} y este último conjunto es infinito Sea ahora a < β Como α k a existe k 0 tal que α k0 < β y por lo tanto si n k 0, x n α k0 < β Esto quiere decir que el conjunto {n N : x n > β} es finito Supongamos que, por el contrario, se satisfacen las condiciones a) y b) Si < a <, dado β > a podemos escoger k 0 N tal que x n β para todo n k 0 Por lo tanto α k α k0 β para todo k k 0 y limsup x n = lim k α k β Como esto es cierto para todo β > a concluimos que limsup x n a Por otro lado, si α < a el conjunto {n N : x n > α} es infinito y por lo tanto α k > α y limsup x n = lim α k α Como esto es válido para cualquier α < a concluimos que limsup x n a Teorema 5 Sea (x n ) n= una sucesión en R Entonces lim x n existe en R si y sólo si lim x n = lim x n En este caso lim x n = lim x n = lim x n

12 0 Series y Probabilidades Demostración Supongamos que lim x n = lim x n = l Si l R entonces ( ) ( ) lim sup x n+p = lim inf x n+p = l n p n p y dado ɛ > 0 existe un entero N tal que sup x n+p l + ɛ p para todo n N Por lo tanto inf x n+p l ɛ para todo n N p l ɛ x n l + ɛ para todo n N + aquí concluimos que x n l cuando n Si l = +, entonces a) del Teorema 4 dice que para cualquier α R, existe N N tal que x n > α para todo n > N, y por lo tanto lim x n = + De manera similar se trata el caso l = Supongamos ahora que lim x n = l Si l R, dado ɛ > 0 existe N tal que Por lo tanto y entonces Como esto es cierto para cualquier ɛ concluimos l ɛ < x n < l + ɛ para todo n N l ɛ inf x n+p sup x n+p l + ɛ para todo n N p p ( ) ( ) l ɛ lim inf x n+p lim sup x n+p l + ɛ p p lim x n = lim x n = l Si lim x n = +, dado M R existe N N tal que si n N entonces x n > M Por lo tanto inf x n+p M p para n N y en consecuencia lim x n = lim inf p x n+p M esto quiere decir que + = lim x n lim x n + De manera similar se muestra el resultado en el caso lim x n = Observación 2 Sea (x n ) n= una sucesión en R Un punto x R es un punto de acumulación de la sucesión si toda vecindad de x contiene a infinitos elementos de la sucesión Es decir, si B = {x n : n N}, x es un punto de acumulación de la sucesión si y sólo si es punto de acumulación de B Sea (x n ) n= una sucesión en R y sea A el conjunto de puntos de acumulación de esta sucesión Entonces lim x n A y lim x n A y además lim x n c lim x n para todo c A Como consecuencia, una sucesión en R tiene límite en R si y sólo si tiene un solo punto de acumulación Ejercicios 2 Sea a n = ( ) n Muestre que limsup a n = liminf a n = 2 Definimos la sucesión (a n) por a 2n = /n, a 2n = 0, n Demuestre que limsup a n = liminf a n = 0

13 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 3 Si (a n) y (b n) son dos sucesiones de números reales que satisfacen a n b n demuestre que limsup a n limsup b n y liminf a n liminf b n 4 Sean (x n ) e (y n ) sucesiones reales positivas y acotadas, entonces lim x n +lim y n lim (x n +y n ) lim (x n +y n ) lim x n + lim y n De ejemplos que muestren que estas desigualdades pueden ser estrictas 5 Sean (x n ) e (y n ) sucesiones reales acotadas, entonces lim x nlim y n lim (x ny n) lim x nlim y n lim (x ny n) lim x nlim y n 6 Sea (s n) n N una sucesión de números reales positivos Muestre que lim s n+ s n lim n s n lim n s n lim s n+ s n 3 Subsucesiones Definición 7 Sea (x n ) n= una sucesión en R Si n < n 2 < n 3 < es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, decimos que la sucesión (x nk ) k= es una subsucesión de (x n) n= Teorema 6 Sea (x n ) n= una sucesión en R, (x n ) n= converge a x R si y sólo si toda subsucesión de (x n ) n= converge a x Demostración Supongamos que x n x y sea (x nk ) k= una subsucesión de (x n) n= Dado ɛ > 0 entonces existe N N tal que si n N, x n x < ɛ Para la subsucesión tomamos K N tal que n K > N Entonces para todo k K se tiene x nk x < ɛ y x nk x cuando k Por otro lado, si toda subsucesión de (x n ) n= converge a x, basta considerar (x n ) n= como subsucesión de sí misma Teorema 7 Toda sucesión acotada en R tiene una subsucesión convergente Demostración Sea E = {x n, n N}, el conjunto de todos los valores que toma la sucesión Por la observación 2, lim x n es punto de acumulación de E y por lo tanto existe una subsucesión (x nk ) k= que converge a lim x n Ejercicios 3 Construya una sucesión divergente en R que tenga una subsucesión convergente 2 Sea (a n ) una sucesión acotada de números reales Demuestre que hay una subsucesión (a ni ) tal que a ni liminf a n cuando i 3 Si (a n ) es una sucesión acotada y (a ni ) es una subsucesión, demuestre que liminf a n liminf a ni limsup a ni limsup a n 4 Series Definición 8 Sea (x n ) n= una sucesión de números reales Para cada n N definimos S n = x k = x + x x n k= La sucesión (S n ) n se conoce como la serie infinita asociada a, o generada por, la sucesión (x n ) n= La notación usual es ó xn n= x n

14 2 Series y Probabilidades Decimos que x n es el n-ésimo sumando y S n es la n-ésima suma parcial de la serie Si la sucesión de sumas parciales (S n ) n converge decimos que x n es una serie convergente En caso contrario la serie es divergente Si lim n S n = S decimos que S es la suma de la serie x n y escribimos x n = S n= Así, para las series convergentes, el símbolo n= x n tiene un doble papel: representa la serie y también su suma Es importante también que el lector distinga claramente entre la sucesión (x n ) n= y la serie n= x n y entienda la relación entre ambas Consideraremos ocasionalmente series de la forma n=p x n donde p Z, las cuales definimos como la serie n= y n donde y n = x n+p Ejemplo 5 Sea x n = /n Las sumas parciales (S n ) correspondientes a esta sucesión son S = ; S 2 = + 2 = 3 2 ; S 3 = = 6 ; En la figura 4 vemos, en la parte inferior, la gráfica de la sucesión x n y en la parte superior, la de la sucesión de sumas parciales S n La primera sucesión es decreciente mientras que la segunda es creciente 3 2 S S 9 S 8 S 7 S 6 x 9 x S 8 5 x 7 S 4 x 6 S x 5 3 x 4 S 2 x 3 x 2 x x 0 x 2 x 3 x4 x5 x6 x7 x8 x Figura 4: La sucesión /n y la serie asociada Está claro a partir de la definición que la sucesión (x n ) n determina totalmente la serie x n y sus propiedades Lo contrario también es cierto ya que la serie x n es la sucesión (S n ) n de sumas parciales y x n = S n S n Por lo tanto, todos los resultados que hemos visto para sucesiones tienen una versión para series En particular, el Criterio de Cauchy para series es el siguiente:

15 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 3 Teorema 8 (Criterio de Cauchy) La serie x n es convergente si y sólo si para todo ɛ > 0 existe un entero N tal que x k < ɛ siempre que n m N k=m Si x n converge entonces el teorema anterior con m = n nos dice que n N x n < ɛ, es decir Corolario 4 Si x n converge entonces lim n x n = 0 La condición enunciada en el Corolario 4 es sólo necesaria, como lo muestra el siguiente ejemplo Ejemplo 6 Si x n = n /2 entonces x n 0 cuando n pero k= y como n cuando n, x n diverge a x k = + + n n 2 n n Haciendo n con m fijo en el teorema anterior obtenemos Corolario 5 Si x n converge, dado ɛ > 0 existe N N tal que si m N entonces k=m x n < ɛ Observación 3 Si se cambia un número finito de sumandos de una serie no se altera su convergencia o divergencia, pero puede variar el valor de su suma En contraste, el cambio de un número finito de términos de una sucesión no altera su convergencia o divergencia, ni se altera el límite al cual converge, en caso de que sea convergente La diferencia se debe a que el m-ésimo sumando de la serie x n aparece en la k-ésima suma parcial k j= x j = x + x x k si k m y en consecuencia, el cambio en el valor de un sumando de la serie altera el valor de todos los términos de la sucesión de sumas parciales, excepto por una cantidad finita de ellos Ejemplo 7 Consideremos de nuevo el ejemplo de la sucesión x n = /n y supongamos que cambiamos los dos primeros términos de la sucesión: en lugar de y 0, 5 ponemos 0 en ambos casos (Ver figura 5) En el caso de la sucesión x n cambian los valores de estos dos términos pero el resto de la sucesión permanece igual, mientras que en el caso de la serie, el valor de todas las sumas parciales ha sido alterado: en lugar de ;, 5;, 83; 2, 08; 2, 28; tenemos ahora 0; 0; 0, 33; 0, 58; 0, 78; Como veremos más adelante, ambas series son divergentes, pero las sucesiones de sumas parciales son distintas Corolario 6 Si x n y y n son series de términos reales y x n = y n para todo n suficientemente grande, entonces o ambas series convergen o ambas divergen Demostración Para algún N N se tiene que n > N implica que x n = y n Por lo tanto para n m > N se tiene x k = k=m y por el criterio de Cauchy ambas series convergen o ambas divergen Usando los teoremas que hemos visto para sucesiones obtenemos el siguiente resultado para series k=m y k

16 4 Series y Probabilidades 2 0 S S S 9 8 S 7 S 6 S 5 4 S 3 S S x x 2 x 3 x4 x5 x6 x 7 x 8 x 9 Figura 5: La sucesión /n y la serie asociada con los dos primeros términos cambiados Teorema 9 Si x n y y n son series convergentes de términos reales y c R entonces n= cx n = c n= x n 2 n= (x n + y n ) = n= x n + n= y n En particular, las dos series de la izquierda convergen Demostración Ejercicio Teorema 0 (Serie Geométrica) Sean a, x R La serie n=0 axn converge y su suma es a/( x) si x < Si a 0 y x esta serie diverge Demostración La fórmula para progresiones geométricas nos dice que S n = ax k = a xn+ x Aplicando los resultados estudiados para sucesiones, si x < obtenemos lim S n = a n x k=0 Si a 0 y x entonces ax n a > 0 para todo n y el Corolario 4 muestra que la serie no puede converger Definición 9 Una serie x n converge absolutamente (o es absolutamente convergente) si x n converge Teorema Si x n converge absolutamente entonces converge Demostración El resultado sigue de la desigualdad m x k y el criterio de Cauchy k=n m x k Definición Si x n converge pero x n diverge decimos que x n converge condicionalmente k=n

17 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 5 Ejercicios 4 Muestre que 0 converge a (n+)(n+2) 2 Construya series con las siguientes propiedades a) Σa n converge y Σa 2 n diverge b) Σb n converge y Σb 3 n diverge c) Σc n converge y Σc 2 n y Σc 3 n divergen 3 Si x n converge muestre que x nn también converge 4 Si x n converge y y n diverge demuestre que (x n + y n ) diverge y que z n donde z 2n = x n y z 2n = y n (n N) también diverge 5 Si x n converge a S, demuestre que x n+ converge a S a y que kx n converge a ks 6 Si x n converge a S, demuestre que (x n + x n+ ) converge a 2S x Construya una serie divergente y n tal que (y n + y n+) converja 7 Sea (n k ) una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos con n = y sea x n una serie convergente Para k N sea b k = {x n : n k n < n k+ } Demuestre que b n converge y tiene la misma suma que x n 8 Si (x 2n + λx 2n ) y (x 2n + µx 2n ) son series convergentes, donde λ µ, demuestre que x n converge 9 Si x n converge demuestre que x 2 n converge 0 Si x n converge absolutamente e y n satisface (+x n)( y n) =, demuestre que y n converge absolutamente Si x 2 n converge, entonces x nn converge absolutamente 2 Si (x n ) n N es una sucesión decreciente y x n converge, pruebe que nx n 0 cuando n Deduzca que si α entonces n α diverge 5 Series de Términos Positivos Definición 0 Sea x k una serie con términos x k 0 y sea S n = n k= x k su n-ésima suma parcial Como (S n ) n es una sucesión creciente, tiene un límite S R (que puede ser + ) Escribimos k= x k = S S se conoce como la suma de la serie Si S < esta definición coincide con la anterior y decimos que la serie converge Si S = la serie diverge En cualquier caso la serie tiene suma y escribimos xk < ó xk = según el caso Teorema 2 Sea x n una serie con términos positivos x n converge si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada Demostración Este resultado es consecuencia del Teorema 3 Ejemplo 8 La serie n= /n, conocida como la serie armónica, es divergente Veamos que la sucesión de sumas parciales correspondiente a esta serie no está acotada Usaremos el hecho de que (/n) es una sucesión decreciente S = S 2 = + 2 S 4 = > = S 8 = = S > S = S > S 6 = S > S = S > + 4 2

18 6 Series y Probabilidades y en general S 2 n = S 2 n + 2 n n > S 2n + 2n 2 n = S 2 n + 2 Por recurrencia obtenemos que S 2 n > + n 2 y vemos que esta sucesión no es acotada y por lo tanto la serie no converge Teorema 3 Si y n, x n [0, + ) para todo n N y c 0 entonces n= ca n = c n= a n 2 n= (a n + b n ) = n= a n + n= b n Demostración Si todas las sumas que aparecen son finitas, esto es el Teorema 9 En caso contrario el resultado es consecuencia de la definición 5 Pruebas de Convergencia para Series de Términos Positivos Para las series de términos positivos hay varios criterios que permiten determinar si las series son convergentes Presentamos a continuación cuatro de ellos sin demostración Suponemos que el estudiante está familiarizado con ellos Todos los resultados que presentamos dependen, de manera fundamental, de que los términos de las series sean positivos En esta sección, x n 0 y y n 0 para todo n Teorema 4 (Criterio de Comparación) Si para algún K > 0 y algún N N, se tiene que 0 x n Ky n para todo n N, entonces Si y n converge se tiene que x n converge y n=n x n K n=n y n 2 Si x n diverge, y n también x Corolario 7 Si lim n n yn = K, 0 < K < entonces ambas series convergen o ambas divergen Si K = 0, la convergencia de y n implica la convergencia de x n, mientras que si K =, la divergencia de x n implica la de y n Teorema 5 (Prueba del Cociente, d Alembert) Sea (x n ) n una sucesión de números reales estrictamente positivos Si para algún N N existe un número real α (0, ) para el cual x n+ /x n α siempre que n N entonces x n converge 2 Si para algún N N, se tiene que x n+ /x n siempre que n N entonces x n diverge Corolario 8 Sea (x n ) n una sucesión con x n > 0 para n Si limsup x n+ x n < entonces x n converge 2 Si liminf x n+ x n > entonces x n diverge En general, la prueba del cociente sólo funciona para series que convergen rápidamente y su principal aplicación es a las series de potencias, que estudiaremos más adelante Para poder usar el Criterio de Comparación es necesario conocer el comportamiento de algunas series El próximo resultado es importante en este sentido Teorema 6 La serie n α converge si α > y diverge si α

19 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 7 Demostración Hemos visto que si α = la serie diverge Si α <, n α > n y por el Criterio de Comparación, n α diverge Supongamos ahora que α > y consideremos la suma para los índices n que satisfacen N + n 2N; entonces n α (N + ) α < N α y 2N n=n+ n α < N α (2N N ) < N α Tomemos ahora N = 2 j, para j = 0,,, k ; obtenemos que 2 k n α k 2 j+ j=0 k n α 2 ( α)j 2 ( α)j = n=2 j j=0 j=0 2 ( α) donde 2 ( α)j es una serie geométrica convergente porque α > y 2 α < Como estamos considerando una serie de términos positivos, la sucesión de sumas parciales es creciente y hemos mostrado que esta sucesión está acotada Por el Teorema 2 la serie es convergente Teorema 7 (Prueba de la Raíz) Definamos β = limsup(x n ) /n Entonces a) Si β <, b) Si β >, xn converge xn diverge c) Si β =, la prueba no da información La prueba de la raíz es más fuerte que la prueba del cociente, como lo muestran los siguientes ejemplos: Ejemplos 9 Para n N definimos x n = { 2 n, si n es par 3 n, si n es impar entonces x n < 2 n < Ahora bien, lim x n+ x n = lim n 3 lim(x n ) /n = lim ( 3 n) /n = 3 lim(x n ) /n = lim ( 2 n) /n = lim x n+ x n = lim 2 ( ) n 2 = 0 () 3 ( 3 2 (2) (3) ) 2 n = (4) Vemos que la prueba de la raíz detecta la convergencia, mientras que la del cociente no nos da información 2 Para n N definimos x n = { 2 n, si n es par 2 n, si n es impar

20 8 Series y Probabilidades entonces x n = y lim(x n ) /n = lim (2 n ) /n = 2 (5) lim x ( ) n+ 2 (n+) = lim x n n 2 n = lim 2 2n+ = 0 (6) lim x ( ) n+ 2 n+ = lim x n 2 n = (7) La prueba de la raíz detecta la divergencia mientras que la prueba del cociente no da información Bajo ciertas circunstancias hay una estrecha relación entre el comportamiento de la integral fdt y el de la serie f(n) Teorema 8 Si f está definida para x 0, es decreciente y positiva entonces tiende a un límite finito cuando N N fdx N f(n) n= Demostración Llamemos Como f es decreciente k N = k N+ k N = N N+ N fdx de modo que la sucesión (k N ) es creciente Llamemos ahora l N = N N f(n) n= fdx f(n + ) 0 N fdx f(n) Un argumento similar muestra que la sucesión (l N ) es decreciente Además n= l N k N = f(n) 0 Por lo tanto k N l N l de modo que k N está acotada superiormente Por lo tanto k N converge a un límite finito Corolario 9 (Prueba de la Integral) Si f está definida para x > 0, es decreciente y positiva, entonces f(n) converge si y sólo si fdx converge Demostración Si f dx converge entonces N fdx tiende a un límite finito cuando N y por lo tanto N f(n) = n= N fdx k N también converge a un límite finito Por otro lado, si N n= f(n) converge a un límite finito cuando N entonces f(n) 0 cuando n y N N fdx = f(n) + k N n=

21 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 9 también tiende a un límite finito cuando N Si N < x < N + entonces x N fdt fdt = x fdt f(n) N que tiende a cero cuando N y en este caso x Ejemplos 0 Tomemos f(x) = /x en el teorema anterior, entonces converge a un límite finito cuando x n log n tiende a un límite finito cuando n Este límite se conoce como la constante de Euler, se denota por γ y es un número en (0, ) 2 Tomemos ahora donde f(x) = ( x log x log r x (log r (x)) α) log s (x) = log(log s (x)), log 2 (x) = log(log(x)) Sea a suficientemente grande de modo que f esté definida si x > a, entonces x a fdt = α (log r t) x a = { α [ (logr x) α (log r (a)) α] si α log r+ (x) log r+ (a) si α = por lo tanto la serie f(n) converge si α > y diverge si α Estas series son útiles a los efectos de la prueba de comparación El próximo teorema muestra que el orden en el cual aparecen los términos de una serie de términos positivos no afecta su suma Teorema 9 Sea A un conjunto numerablemente infinito y sea {a k, k } una enumeración de A Para cualquier función f : A [0, ] se tiene { } f(a k ) = sup f(a) : F es finito, F A (8) k= a F Nota: El símbolo a F f(a) denota la suma de los valores de f en los puntos del conjunto F En vista del Teorema escribimos el segundo miembro de (4) como f(a) o {f(a) : a A} a A para cualquier A y f : A [0, ] Si A =, a A f(a) = 0 por definición Demostración Sea α < a A f(a) Escogemos F A finito de modo que α < a F f(a) Escogemos ahora k 0 N de modo que F {a k : k k 0 } Por lo tanto α < k 0 f(a) f(a k ) f(a k ) a F k= k=

22 20 Series y Probabilidades y como α es arbitrario, Además, f(a) f(a k ) a A k= f(a k ) = sup{ f(a) k= y esto concluye la demostración k= f(a k ) : n N} a A 52 Pruebas para Convergencia Absoluta Sea x n una serie de números reales La serie x n de los valores absolutos es una serie de números reales positivos y podemos aplicarle los criterios de convergencia que estudiamos anteriormente para obtener de esta manera criterios de convergencia absoluta Por ejemplo, si limsup( x n ) /n <, la serie x n es absolutamente convergente Ejercicios 5 Determinar si las siguientes series convergen o divergen a) Σ n 3 g) Σ πn m) Σ 3 n b) Σ 3 n c) Σ 2 n n h) Σ 2 n + 2 n) Σ n 3 4 n 3 d) Σ n(n + ) i) Σ 3 n + j) Σ 4 n 3 o) Σ 4n 2 n p) Σ 3n 4n e) Σ (n + )(n + 2) k) Σ n n + f) Σ (n + )(n + 2)(n + 3) n l) Σ 2(n + )(n + 2) q) Σ n r) Σ n2 n 3 n (n + 3)3 n 2 Para cada una de las siguientes sucesiones determine si la serie asociada es convergente o no () x k = (2) x 4 + k 2 k = k + k + (4) x k = 32k (k!) 2 (2k)! (3) x k = k2 k! (5) x k = k + k + k k (6) x k = k (9) x k = ( ) k k k 2 + (7) x k = ((k) /k ) k (8) x k = ( ) k k 2k + 3 Sea x n una serie de términos positivos tal que la sucesión (x n) es decreciente y sea y n = 2 n x 2 n para n N Demuestre que ambas series x n y y n convergen o ambas divergen 4 Suponga que la serie de términos positivos x n converge Demuestre que (x n x n+ ) /2 y (x n n δ ) /2, δ > 0 convergen 5 Sean x n y y n series convergentes de términos positivos Demuestre que (x n y n ) /2 converge 6 La sucesión (x n ) es decreciente, x n > 0 y (x n x n+ ) /2 converge Muestre que x n converge De un ejemplo de una serie positiva divergente y n tal que (y ny n+) /2 converge 7 x n es una serie divergente de términos estrictamente positivos (i) Determine si las siguientes series convergen o divergen: ) x n/( + x n) 2) x n/( + nx n) 3) x n/( + n 2 x n) 4) x n/( + x 2 n) con x n acotada (ii) Sea S n = x + + x n Demuestre que x N+ S N+ + + x N+k S N+k S N S N+k (iii) Pruebe que x n Sn 2 S n S n y deduzca que x n S 2 n converge y deduzca que x n Sn diverge

23 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 2 6 Series Alternas Aunque la noción de convergencia absoluta nos provee una herramienta poderosa para estudiar la convergencia, puede suceder que una serie sea convergente sin ser absolutamente convergente En esta situación hay algunas pruebas que permiten detectar en ciertos casos si la serie es convergente Definición Si una serie es convergente sin ser absolutamente convergente decimos que es condicionalmente convergente El caso más frecuente es el de las series alternas, que son aquellas en las cuales los términos sucesivos cambian de signo (ver figura 6) Para este caso hay una prueba de convergencia sencilla e importante Teorema 20 (Prueba de Leibniz para Series Alternas) Sea (x n ) n una sucesión decreciente de números positivos con x n 0, entonces n= ( )n+ x n es convergente Además, si S k = k n= ( )k+ x k y S = n= ( )n+ x n entonces Demostración Para k y p en N S S k x k+ para todo k S k+p S k = ( ) k+2 x k+ + + ( ) k+p+ x k+p (9) = x k+ x k ( ) p+ x k+p (0) La suma que aparece entre los signos de valor absoluto se puede escribir como { x k+p x k+p, si p es par (x k+ x k+2 ) + (x k+3 x k+4 ) + + x k+p, si p es impar 0 S x S 3 S 5 x 2 x 4 x x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 3 S S 6 S 8 4 S S 7 S 9 x 0 x 2 x 3 x 4 x5 x6 x 7 x 8 x Figura 6: La sucesión x n y la serie alterna asociada Como (x n ) es una sucesión decreciente, esto muestra que esta suma es positiva y por lo tanto podemos eliminar los signos de valor absoluto La suma puede ser reescrita de la siguiente manera: { x k+p, si p es par x k+ (x k+2 + x k+3 ) x k+p x k+p, si p es impar,

24 22 Series y Probabilidades lo cual muestra que Como x k 0, dado ɛ > 0 podemos hallar k N tal que para todo p N S k+p S k < x k+ () S k+p S k < ɛ ya que basta tomar k de modo que x k < ɛ Además, haciendo p en (42) obtenemos lo que concluye la demostración S S k < x k+, Ejemplos La serie n= ( )n+ (/n) es convergente, lo cual se deduce del teorema anterior, pero no es absolutamente convergente ya que al tomar el valor absoluto de los términos obtenemos la serie armónica Este es un ejemplo de una serie condicionalmente convergente 2 Usando la prueba de Leibniz vemos que la serie n= ( )n+ / n también es convergente, pero vimos en el ejemplo 6 que la serie no es absolutamente convergente, igual que en el caso anterior Ejercicios 6 Estudie la convergencia y la convergencia absoluta de las series: () ( ) n ((n 2 + ) /2 n) (2) ( ) n (2n + ( ) n+ ) /2 2 Sea a n una sucesión decreciente de números reales positivos Demuestre que Σa n z n converge si z, z 3 Construya una serie convergente Σa n y una sucesión de números positivos b n con b n 0 de modo que Σa n b n diverja 7 Convergencia Condicional Ya vimos que una serie condicionalmente convergente es aquella que converge pero que no converge condicionalmente En la sección anterior vimos dos ejemplos Sea ahora x n una serie de este tipo y llamemos p, p 2, p 3, los términos positivos de esta serie, en el orden en el cual aparecen, y sean q, q 2, q 3, los términos negativos, también en el orden en el cual aparecen Por ejemplo, para la serie tenemos p =, p 2 = 3, p 3 = 5, p n = 2n q = 2, q 2 = 4, q 3 = 6, q n = 2n, Consideramos ahora las dos series p n y q n que consisten sólo de términos positivos Teorema 2 Si la serie x n es absolutamente convergente, entonces cada una de las series p n y q n es convergente y x n = p n q n En cambio, si la serie x n es condicionalmente convergente, las series p n y q n ambas divergen

25 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 23 Demostración Supongamos que la serie x n es absolutamente convergente con x n = M, entonces, para cualquier n, x i M (2) i= Si consideramos ahora una suma parcial de la serie de términos positivos, digamos p + + p k, vemos que los términos de esta suma están incluidos en la suma x + + x n para n suficientemente grande, y por (2) concluimos que k p i M i= Como esta desigualdad es cierta para todo k concluimos por el teorema 2 que p n es convergente De manera similar se demuestra que la serie q n de términos negativos es convergente Para la suma parcial x + + x n sea µ n en número de términos positivos y ν n el de términos negativos presentes Entonces x n = i= µ n i= p i ν n i= q i (3) Si la serie es absolutamente convergente hemos visto que ambas series del lado derecho son convergentes, y haciendo n obtenemos x n = p i q i i= i= Es posible que sólo haya una cantidad finita de términos positivos, o de términos negativos, o incluso que no haya sino términos de un solo tipo En estos casos la serie es absolutamente convergente si y sólo si es convergente, porque a partir de un cierto índice todos los términos tienen el mismo signo Consideremos el caso en el cual hay infinitos términos de cada signo, de modo que µ n y ν n cuando n Llamemos S n = x i ; P n = p i ; Q n = q i Con esta notación (3) es S n = P µn Q νn y además tenemos i= i= i= i= x i = P µn + Q νn (4) i= Supongamos ahora que la serie x n es convergente y consideremos las series p n y q n Si alguna de estas últimas es convergente, la otra también debe serlo En efecto, por la relación S n = P µn Q νn, si, por ejemplo, Q n = n q k es convergente, despejando P n de la relación anterior tenemos P µn = S n +Q νn, y como ambos sumandos de la derecha convergen cuando n, también lo hace P µn Esto implica la convergencia de P n por la definición de µ n y porque se trata de una serie de términos positivos Pero si ambas series pn y q n son convergentes la relación (4) implica que x n también lo es Vemos, así, que si x n es condicionalmente convergente, ambas series p n y q n deben ser divergentes 8 Reordenamientos Si tenemos una suma finita de número reales x + + x n, sabemos, por la propiedad conmutativa, que podemos sumarlos en cualquier orden y el resultado de la suma es siempre el mismo Nos preguntamos ahora si esto es cierto en el caso de series infinitas: Si cambiamos el orden en el cual se suman los términos de una serie, obtenemos siempre el mismo resultado?

26 24 Series y Probabilidades La respuesta, que puede resultar sorprendente para el lector, es que no necesariamente las dos series suman lo mismo Más aún, puede suceder que al cambiar el orden de los términos de una serie convergente, obtengamos una serie que diverge Comencemos por ver un ejemplo Ejemplo 2 En un capítulo posterior demostraremos que log 2 = (5) 3 S 2 log 2 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S log 2 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 7 S 9 S 6 S Figura 7: La sucesión ( ) n+ n y un reordenamiento Veamos que cambiando el orden de los sumandos de esta serie podemos obtener otro valor para la suma (ver figura 7): 3 2 log 2 = (6) El esquema en este nuevo arreglo de la suma es tomar dos términos positivos y uno negativo y así sucesivamente Para demostrar este resultado observemos que si multiplicamos (5) por /2 obtenemos 2 log 2 = En esta última serie podemos insertar términos iguales a cero sin cambiar su valor: 2 log 2 = (7) y ahora, por el teorema 9 podemos sumar las series (5) y (7) término a término para obtener (6) Definición 2 Sean x n una serie y f : N N una biyección La serie y n donde y n = x f(n) es un rearreglo de x n Como la función inversa f : N N también es biyectiva, x n es un rearreglo de y n

27 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 25 Hablando informalmente, un rearreglo es un serie que tiene los mismos términos que la serie original pero que se suma en otro orden Ejemplo 3 Las series x n y y n donde x n = n y para k /2k, si n = 3k y k = /(4k 3), si n = 3k 2 /(4k ), si n = 3k son rearreglos En este caso y n = x f(n) donde f está definida para n por f(3n 2) = 4n 3, f(3n ) = 4n, f(3n) = 2n Definición 3 Si x n y todos sus rearreglos convergen a la misma suma decimos que x n converge incondicionalmente Veremos que esto es equivalente a convergencia absoluta El siguiente teorema muestra que las series convergentes de términos positivos son incondicionalmente convergentes Teorema 22 x n converge absolutamente si y sólo si converge incondicionalmente Demostración Supongamos que x n converge absolutamente y y n es un rearreglo que se obtiene por la función f con y n = x f(n) Entonces dado ɛ > 0 existe N N tal que n=n x n < ɛ Sea M = máx n N f(n), entonces para m M, m x n y n x n x n < ɛ n=n y esto muestra que y n converge a x n, y por lo tanto la serie converge incondicionalmente Supongamos ahora que x n converge incondicionalmente pero no absolutamente Definimos la función f de la siguiente manera: sea S = x n y considerando la sucesión (x n ) n llamemos p, p 2, p 3, los términos estrictamente positivos de la sucesión, listados en el orden en el cual aparecen De manera similar llamaremos q, q 2, q 3, los términos estrictamente negativos Las sucesiones (p n ) n y (q n ) n son ambas infinitas pues en caso contrario, al ser convergente la serie x n y tener signo constante a partir de un cierto índice k 0 N, la serie tendría que ser absolutamente convergente Por lo tanto, p n y q n son series de términos estrictamente positivos Si (P n ) n y (Q n ) n son las sucesiones de sumas parciales, al menos una de ellas debe tender a, porque si ambas fueran acotadas, la sucesión de sumas parciales de xn también estaría acotada y la serie sería absolutamente convergente Si, por ejemplo, P n, construimos un rearreglo de la serie de la forma p + p p n q + p n+ + + p n2 q 2 + p n p n3 q 3 + p n3+ + (8) en el cual un grupo de términos positivos va seguido por uno negativo Escogiendo adecuadamente los índices n < n 2 < podemos hacer que esta serie sea divergente, para lo cual basta tomar n de modo que n=n P n = p + p p n > q +, luego n 2 > n de modo que y en general n j de modo que P n2 > 2 + q + q 2, P nj > j + Q j

28 26 Series y Probabilidades para j =, 2, Siempre podemos encontrar una sucesión de índices que satisfaga estas condiciones porque P n La serie (8) es divergente porque las sumas parciales de esta serie cuyo último término es q j, para algún j, son estrictamente mayores que j, y la desigualdad también se satisface para las sumas parciales que siguen Por lo tanto las sumas parciales tienden a y no a S, lo cual es una contradicción En realidad, en la demostración del teorema anterior probamos que si la serie x n converge condicionalmente hay un rearreglo que converge a + Es posible mostrar el siguiente resultado, que es mas fuerte: sean α β + entonces existe un rearreglo y n de x n con sumas parciales (T n ) n tal que lim T n = α lim T n = β La demostración de este resultado puede encontrarse en el libro de W Rudin, teorema 354 Ejercicios 7 La serie x n es condicionalmente convergente Dado S R demuestre que hay un rearreglo de x n cuya suma es S 2 Muestre que las series y ambas convergen y son rearreglos Muestre que la suma de la segunda es la mitad de la primera 9 Multiplicación de Series Consideremos dos series convergentes x n, y n y, para fijar las ideas, supongamos que son series de términos positivos, lo cual nos va a permitir sumar estas series en cualquier orden y obtener siempre el mismo resultado Hemos visto que si formamos una nueva serie z n sumando término a término las series iniciales (z n = x n + y n ), el resultado es una serie convergente cuya suma es la suma de las series x n e y n : zn = x n + y n Queremos ahora definir el producto de las series originales de modo que la serie producto converja al producto de las series iniciales Un primer ensayo podría ser definir z n como el producto término a término de las series originales: z n = x n y n Es fácil ver, sin embargo, que esto no funciona Ejemplo 4 Definimos para n, x n = { 2 n, si n es par, 0, si n es impar y n = { 0, si n es par, 2 n, si n es impar Los productos término a término valen todos 0 mientras que x n = 2 2n () n = = 4 3, n= n= n= de modo que y n = 2 (2n ) = 2 2 2n = 2 3, n= n= n= x n n= n= y n = = 2 9 0

29 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 27 Supongamos que las series comienzan con el índice 0 y llamemos S n = n i=0 x i, T n = n i=0 y i a las sumas parciales de las respectivas series y S y T a los límites correspondientes, de modo que S n S, T n T, cuando n Si multiplicamos término a término las sucesiones de sumas parciales tenemos que S n T n ST y el producto de las sumas parciales es: ( n )( n ) S n T n = x i y j = x i y j i=0 j=0 i=0 j=0 Vemos que el producto de las sumas parciales es la suma de todos los productos posibles entre pares de términos formados tomando un elemento de cada suma Si hacemos n esta suma converge a ST y por lo tanto, una posible definición del producto entre las series x n e y n es una serie z n en la cual aparezcan todos los productos posibles formados multiplicando un término x n por un término y n, es decir, que aparezcan todos los términos de la tabla 9 y 0 y y 2 y n y n y n+ x 0 x 0 y 0 x 0 y x 0 y 2 x 0 y n x 0 y n x 0 y n+ x x y 0 x y x y 2 x y n x y n x y n+ x 2 x 2 y 0 x 2 y x 2 y 2 x 2 y n x 2 y n x 2 y n+ x n x n y 0 x n y x n y 2 x n y n x n y n x n y n+ x n x n y 0 x n y x n y 2 x n y n x n y n x n y n+ x n+ x n+ y 0 x n+ y x n+ y 2 x n+ y n x n+ y n x n+ y n+ Cuadro : Multiplicación de Series Una manera cómoda de realizar esta suma es hacerla a lo largo de las diagonales Esto equivale a fijar el valor de la suma de los índices en los productos, por ejemplo, a n y y a 0 y n están en la misma diagonal porque en ambos casos los índices suman n Este es el sentido de la siguiente definición Definición 4 El producto de Cauchy de dos series n=0 x n y n=0 y n de términos reales es la serie n=0 z n donde z n = x k y n k La sucesión (z n ) se conoce como la convolución de las sucesiones (x n ) e (y n ) k=0 La figura 8 es una simplificación del cuadro 9 en la cual reemplazamos los términos del margen por sus índices y los productos por puntos El término z n de la definición representa la suma de los productos que aparecen en la figura y que corresponden a la diagonal n (empezando la numeración de las diagonales con el 0, que corresponde al

30 28 Series y Probabilidades 0 2 n n n n n n + Figura 8: Definión de z n término x 0 y 0 ) Queremos demostrar a continuación que, definido de esta forma y bajo ciertas condiciones, el producto de Cauchy de dos series convergentes es convergente y su valor es ST = ( x n )( y n ) Vimos ya que el producto de las sumas parciales S n T n converge, cuando n, al producto ST Por lo tanto, bastaría ver que la diferencia entre la suma parcial para el producto de Cauchy n k= z n y el producto de las sumas parciales tiende a 0 cuando n (ver figura 9) Esto lo haremos en el próximo teorema bajo condiciones ms generales Antes, veamos que no basta con la convergencia de las series que deseamos multiplicar para garantizar que su producto de Cauchy converja Ejemplo 5 Veamos una serie convergente cuyo producto de Cauchy consigo misma es divergente: sea x 0 = 0 x n = ( )n n n entonces x n converge por el Criterio de Leibniz (Teorema 20) Sin embargo, z 0 = z = 0, n z n = x k x n k = ( ) n, k(n k) k=0 k= n n z n = =, k(n k) (n )(n ) k= k= por lo tanto z n 0 y z n diverge Teorema 23 (Mertens) Sean n=0 x n una serie absolutamente convergente de suma S y n=0 y n una serie convergente de suma T Definimos z n = n k=0 x ky n k para n = 0,, 2, Entonces z n = ST n=0

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