TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN Partición de un intervalo

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo"

Transcripción

1 TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x k,...,x n tles que x 0 x 1... x n Definición: Diremos que l prtición Q es más fin que l P si se verific que todo punto de P pertenece y escriiremos P Q. L prtición v determinr en, n suintevlos prciles.

2 6.1.2 Sums superiores e inferiores. Propieddes Consideremos el intervlo x k 1, x k. Llmremos: M k supfx/ x x k 1, x k m k inffx/ x x k 1, x k L sum inferior de f correspondiente P n se define como Lf, P m k x k x k 1 k1 L sum superior de f correspondiente P se define como n Uf,P M k x k x k 1 k1 Propieddes de ls sums i Se f :, cotd, P un prtición de,, entonces Lf, P Uf, P ii Si Q es más fin que P entonces Lf, P Lf, Q Uf, Q Uf, P iii Si P 1 y P 2 son dos prticiones

3 culesquier Lf, P 1 Uf, P Integrl superior e inferior Llmemos P, l conjunto de tods ls prticiones, podemos considerr dos clses de conjuntos. El conjunto formdo por ls sums superiores y el formdo por ls inferiores. Culquier sum superior es un cot superior del conjunto de l sums inferiores Definición: Llmmos integrl inferior y escriimos como f suplf, P, P un prtición Culquier sum inferior es un cot inferior del conjunto de l sums superiores Definición: Llmmos integrl superior y escriimos como f infuf, P, P un

4 prtición Integrl de un función cotd Definición: Se f :, un función cotd. Entonces f es un función integrle Riemnn en, si f f A este número común se le design por integrl de f en, y escriimos fxdx. Asímismo, se define fxdx 0, fxdx fxdx NOTA: Si f es integrle

5 Lf, P fxdx Uf, P pr tods ls prticiones P de,. Además fxdx es el único elemento con est propiedd. Crcterizción de l integrl Teorem: Se f :, un función cotd. Entonces f es integrle en, 0 P 1 de, tl que Uf, P Lf, P Corolrio: Se f :, un función cotd. Entonces f es integrle en, un sucesión P 1,..,P n de prticiones de, tl que lim Uf, P Lf, P 0. n y en tl cso : fx lim Uf, P lim Lf, P n n NOTA: Ls funciones continus, ls monótons y ls que tienen un conjunto finito de discontinuiddes son

6 integrles Propieddes de l integrl 1.Linelidd: Sen f, g :, funciones integrles, se k, entonces ls funciones kf y f g son integrles en I y: i kf k f ii f g f g 2. Monotoní. i Si f 0 f 0 ii Si f g f g 3. Acotción. Si m fx M m fx M 4. Aditividd respecto l intervlo. Se f :, integrle. Se c

7 con c. Entonces f es integrle en, c yenc,, reciprocmente si f es integrle en, c yenc, entonces es integrle en, y se tiene fx c fx c fx 5.Integrilidd del producto y del cociente Sen f y g dos funciones reles integrles en, entonces: i L función producto es integrle en, ii Si gx c, siendo c 0. Entonces l función f/g es integrle en,. 6. Vlor soluto. Si f es integrle f es integrle. fx fx 7.Composición. Se f :, un función cotd e integrle. Se g : c, d un funcion

8 continu tl que f, c, d. Entonces l composición h g f :, es integrle en,. Teorem del vlor medio pr integrles: Se f continu en, y g integrle en, tl que gx 0 x,. Entonces existe un punto c, tl que fxgx fc gx Corolrio: Si f es continu en,, entonces existe un c, tl que fx fc

9 6.2 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO Integrl indefinid Definición: Se f :, un función intregrle. Pr todo x, l restricción de f l intervlo, x es integrle. Por tnto, se puede definir un función F :, que llmremos integrl indefinid de f en,. F x x fxdx x, Teorem: Se f :, integrle, x entonces l función F x ftdt es continu. 1 er Teorem fundmentl del Cálculo: Se f :, integrle y se F x x ftdt l integrl indefinid. Entonces F x es derivle en culquier punto c, en el que f es continu

10 siendo F c fc Función primitiv. Regl de Brrow Definición: Definimos función primitiv de f en, quell función, si existe, F :, que es derivle en, y tl que F x f en,. Si f dmite un primitiv F, entonces dmite infinits, que sondelformfx k. Oservciones: 1. En el 1 er teorem fundmentl del cálculo se supone que l función f es continu en,, y se deduce que f dmite primitiv (l integrl indefinid). Pero si f dej de ser continu en lgún punto de,, unque sig siendo integrle (dmite integrl indefinid) puede no dmitir primitiv. 2. Utilizndo el 1 er teorem fundmentl del cálculo y l regl de l cden, se

11 vn poder derivr muchs funciones. 2º Teorem fundmentl del Cálculo: Se f :, un función integrle y F :, un primitiv de f en, (F x fx x,. Entonces fxdx F F

12 6.3 CÁLCULO DE PRIMITIVAS 6.3.1Primitivs inmedits x n dx 1 x n xn1 1 C; n 1 dx ln x C e x dx e x C; x dx x ln C cos xdx sin x C; 1 cos 2 x dx tn x C; 1 sen 2 x sin xdx cos x C dx cotx C 1 dx rcsin x C rccos x C 1 x2 1 dx rctnx C rccotx C 2 1 x coshxdx sinh x C ; sinh xdx coshx C 1 1 x 2 dx rg sinh x C, 1 x 2 1 dx rg

13 Utilizndo l regl de l cden, ls integrles inmedits se pueden generlizr de cuerdo l siguiente tl. f p xf xdx fp1 x p 1 C;p 1 f x fx dx ln fx C e fx f xdx e fx C fx f xdx fx ln C cos fxf xdx sin fx C sin fxf xdx cos fx C f x dx tn fx C cos 2 fx f x dx cotfx C sin 2 fx

14 f x 1 f 2 x dx rcsin fx C rccos fx f x 1 f 2 x dx rctnfx C rccotgx C coshfxf xdx sinh fxx C ; 6.4 INTEGRALES IMPROPIAS Integrles impropis de primer especie Definición: Se f un función cotd e integrle en un intervlo de l form,, entonces: (1) fdx lim fdx. i Si este límite existe, diremos que l integrl es convergente. ii Si vle diremos que es divergente. iii Si no existe el límite, no hy

15 integrl. De l mism form se define: (2) fdx lim fdx. (3) c fdx fdx c fdx c lim fdx lim fdx. c Integrles impropis de segund especie Definición: Se f un función no cotd en el punto x, e integrle en un intervlodelformc,,, entonces: (1) fdx lim fdx. 0 i Si este límite existe, diremos que l integrl es convergente.

16 ii Si vle diremos que es divergente. iii Si no existe el límite, no hy integrl. Si fx no está cotd en x (2) fdx lim fdx. 0 Si fx no está cotd en x c con c (3) f dx c lim fdx lim c2 2 0 fdx. Será convergente si existen y son finitos los dos límites del segundo miemro y será divergente si uno l menos es infinito. Oservción: Puede ocurrir que el segundo miemro de (3) sólo exist cundo 1 2,enese

17 cso l límite le llmremos vlor principl de l integrl Criterios de convergenci 1. Pr integrles impropis de primer especie 1.1. Criterio de comprción: Sen fx 0 y gx 0, con gx fx. i Si fxdx converge gxdx converge. ii Si gxdx diverge fxdx diverge Criterio de comprción con pso l límite. Sen fx fx 0 y gx 0, con l, entonces : gx lim x i Si l 0 ls integrles convergen o divergen simultánemente. ii Si l 0 y gx converge fx converge.

18 iii Si l y gx diverge fx diverge. 2. Pr integrles impropis de segund especie Los mismos criterios que en l de primer especie, teniendo en cuent quí que en el criterio de pso l límite, el límite tendremos que clculrlo en el punto donde l función no esté cotd.

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI Cálculo integrl Betriz Cmpos Sncho Cristin Chirlt Monleon Deprtment de mtemàtiques Codi d ssigntur 35 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- Edit: Publiccions de l Universitt Jume I. Servei

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones. Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

Integración de Funciones de Varias variables

Integración de Funciones de Varias variables Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

1.- Primitiva de una función (28.01.2015)

1.- Primitiva de una función (28.01.2015) 1.- Primitiva de una función (28.01.2015) 1.1. Definición. Sea f : I R. Se dice que F : I R es una primitiva de f si F es derivable y F = f en I. En ese caso escribimos F (x) = f(x)dx Si F es una primitiva

Más detalles

Para hallar el límite de una sucesión podemos utilizar algunas técnicas como: El concepto de límite de una función:

Para hallar el límite de una sucesión podemos utilizar algunas técnicas como: El concepto de límite de una función: Tema 3 Sucesiones y Series 3.1. Sucesiones de números reales Definición 3.1.1 Una sucesión de números reales { } es una aplicación que asigna a cad N un número real: : N R a 1, a 2, a 3... son los términos

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 1 1. Intervlos Ddos dos números reles y,

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas 5. INTEGRAL DE LÍNEA 5.1 Introducción Nos proponemos mplir l noción de integrl, que y conocemos pr el cso de funciones de un vrile rel, cmpos de vris vriles. Cundo se definí l integrl definid pr un función

Más detalles

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R . Funciones, sucesiones, límites y continuidd en R.. Funciones reles de vrible rel Un función f es un regl que sign cd uno de los números x de un conjunto D R un único número rel f (x). A D dom f se le

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011)

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011) APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elbordos por José Mnuel Rodríguez Versión brevid de Dmitry Ykubovich (20). INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se define el conjunto de

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada.

INTEGRAL INDEFINIDA. Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada. 1. INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada. Ejm: La función F x = x es una primitiva de f x

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = 1 x dx x 2 dx = 1 2 x2 ln x x2

x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = 1 x dx x 2 dx = 1 2 x2 ln x x2 Tema 5 Integración Indefinida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = x dx dv =

Más detalles

Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro

Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro Capítulo 12 Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro Integrales impropias. Paso al límite bajo la integral. Continuidad y derivabilidad de las integrales dependientes de un parámetro

Más detalles

Integración en el plano complejo

Integración en el plano complejo Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define

Más detalles

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1 MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de

Más detalles

Apuntes de cálculo en una variable real. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo en una variable real. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo en un vrible rel Edurdo Liz Mrzán Vigo, Diciembre de 2006 Índice Generl Preinres. Introducción........................................2 L relción de orden en el conjunto de los números

Más detalles

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA . DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

Funciones ortogonales y series de Fourier

Funciones ortogonales y series de Fourier Funciones ortogonles y series de Fourier Ls series e integrles de Fourier constituyen un tem clásico del Análisis Mtemático. Desde su prición en el siglo XVIII en el estudio de ls vibrciones de un cuerd,

Más detalles

El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. El conjunto de los números reles (R) El conjunto de los números reles se form medinte l unión del conjunto de los números rcionles y el conjunto de los números irrcionles. Propieddes del conjunto R R =

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones

Más detalles

Sucesiones de Funciones

Sucesiones de Funciones Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr,

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Cpítulo 5 L Itegrl Defiid 5.. Prtició U cojuto fiito de putos P = {x, x, x,, x } es u prtició de [, b] si, y solmete si, = x x x x = b. 5.. Sum Superior y Sum Iferior Se y = f(x), u fució cotiu e [, b].

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

SUCESIONES INFINITAS

SUCESIONES INFINITAS SUCESIONES INFINITAS 1 2 Ejercicio: Cálculo del término general de una sucesión: Encontrar el quincuagésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7,... Es una progresión aritmética de diferencia 2. Su término

Más detalles

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias. Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

Tema 9 Cálculo integral de funciones reales de variable real

Tema 9 Cálculo integral de funciones reales de variable real Tem 9 Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel Ojetivos: 1. Clculr funciones primitivs con wxmxim. 2. Prcticr con el concepto de función integrle y l integrl de un función. 3. Trjr con funciones

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Cálculo Integral. Métodos de integración

Cálculo Integral. Métodos de integración Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic

Más detalles

Espacios métricos 1. 1. Introducción. 2. Métricas

Espacios métricos 1. 1. Introducción. 2. Métricas MATEMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Escios métricos 1 1. Introducción L geometrí del escio tridimensionl en el que estmos sumergidos nos result

Más detalles

Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración.

Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración. Capítulo 7 Integración Objetivos Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración. 7.1. Definición y propiedades Sea f(x) una función real. Una primitiva o integral indefinida

Más detalles

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPÍTULO Concepto de áre Sums de Riemnn Integrl definid Propieddes de l integrl definid Integrl indefinid Propieddes de l integrl indefinid Teorem

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Juego 0,5 0,5. Posibles equilibrios en estrategias puras

Juego 0,5 0,5. Posibles equilibrios en estrategias puras icroeconomí : juegos de señlizción Juego,3 p t q, 4,0 0,5 0,0 Azr,4 0,5,0 0, -p t -q, Posiles equilirios en estrtegis purs Es un juego con mensjes y tipos: => hy cutro posiiliddes grupción en grupción

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS PROPIEDADES.

A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS PROPIEDADES. CAPÍTULO X. INTEGRACIÓN DEFINIDA SECCIONES A. Defiició de fució itegrble. Primers propieddes. B. Teorems fudmetles del cálculo itegrl. C. Ejercicios propuestos. A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA

UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA ÍNDICE DE LA UNIDAD.- INTRODUCCIÓN.....- SUMAS SUPERIORES E INFERIORES....- LA INTEGRAL DEFINIDA.... 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA... 5.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann Cpítulo 6 L integrl de Riemnn Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cotdo y cerrdo, es decir [, b] con < b R, y l definición que

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b.

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b. TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo

Más detalles

ECUACIONES INTEGRALES

ECUACIONES INTEGRALES ECUACIONES INTEGRALES JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA ECUACIONES INTEGRALES TEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

Más detalles

Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales

Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales Aplicciones lineles Bloque 2 Lección 2.2.- Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

Continuidad. Funciones

Continuidad. Funciones I. E. S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Mtemátics de º de Bchillerto Continuidd de Funciones Por Jvier Crroquino CZs Ctedrático de mtemátics del I.E.S. Siete Colins Ceut 005 Continuidd De

Más detalles

MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Al finalizar la unidad el resolverá problemas prácticos usando integrales Reforma Académica 003

Más detalles

Capítulo 4 INTEGRACIÓN

Capítulo 4 INTEGRACIÓN pítulo 4 INTEGRAIÓN En el primer curso de álculo, se prendió el concepto de integrl indefinid y definid de funciones reles de vrible rel, y se dedujeron vris propieddes de ls misms: linelidd, monotoní,

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles