TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN Partición de un intervalo

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1 TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x k,...,x n tles que x 0 x 1... x n Definición: Diremos que l prtición Q es más fin que l P si se verific que todo punto de P pertenece y escriiremos P Q. L prtición v determinr en, n suintevlos prciles.

2 6.1.2 Sums superiores e inferiores. Propieddes Consideremos el intervlo x k 1, x k. Llmremos: M k supfx/ x x k 1, x k m k inffx/ x x k 1, x k L sum inferior de f correspondiente P n se define como Lf, P m k x k x k 1 k1 L sum superior de f correspondiente P se define como n Uf,P M k x k x k 1 k1 Propieddes de ls sums i Se f :, cotd, P un prtición de,, entonces Lf, P Uf, P ii Si Q es más fin que P entonces Lf, P Lf, Q Uf, Q Uf, P iii Si P 1 y P 2 son dos prticiones

3 culesquier Lf, P 1 Uf, P Integrl superior e inferior Llmemos P, l conjunto de tods ls prticiones, podemos considerr dos clses de conjuntos. El conjunto formdo por ls sums superiores y el formdo por ls inferiores. Culquier sum superior es un cot superior del conjunto de l sums inferiores Definición: Llmmos integrl inferior y escriimos como f suplf, P, P un prtición Culquier sum inferior es un cot inferior del conjunto de l sums superiores Definición: Llmmos integrl superior y escriimos como f infuf, P, P un

4 prtición Integrl de un función cotd Definición: Se f :, un función cotd. Entonces f es un función integrle Riemnn en, si f f A este número común se le design por integrl de f en, y escriimos fxdx. Asímismo, se define fxdx 0, fxdx fxdx NOTA: Si f es integrle

5 Lf, P fxdx Uf, P pr tods ls prticiones P de,. Además fxdx es el único elemento con est propiedd. Crcterizción de l integrl Teorem: Se f :, un función cotd. Entonces f es integrle en, 0 P 1 de, tl que Uf, P Lf, P Corolrio: Se f :, un función cotd. Entonces f es integrle en, un sucesión P 1,..,P n de prticiones de, tl que lim Uf, P Lf, P 0. n y en tl cso : fx lim Uf, P lim Lf, P n n NOTA: Ls funciones continus, ls monótons y ls que tienen un conjunto finito de discontinuiddes son

6 integrles Propieddes de l integrl 1.Linelidd: Sen f, g :, funciones integrles, se k, entonces ls funciones kf y f g son integrles en I y: i kf k f ii f g f g 2. Monotoní. i Si f 0 f 0 ii Si f g f g 3. Acotción. Si m fx M m fx M 4. Aditividd respecto l intervlo. Se f :, integrle. Se c

7 con c. Entonces f es integrle en, c yenc,, reciprocmente si f es integrle en, c yenc, entonces es integrle en, y se tiene fx c fx c fx 5.Integrilidd del producto y del cociente Sen f y g dos funciones reles integrles en, entonces: i L función producto es integrle en, ii Si gx c, siendo c 0. Entonces l función f/g es integrle en,. 6. Vlor soluto. Si f es integrle f es integrle. fx fx 7.Composición. Se f :, un función cotd e integrle. Se g : c, d un funcion

8 continu tl que f, c, d. Entonces l composición h g f :, es integrle en,. Teorem del vlor medio pr integrles: Se f continu en, y g integrle en, tl que gx 0 x,. Entonces existe un punto c, tl que fxgx fc gx Corolrio: Si f es continu en,, entonces existe un c, tl que fx fc

9 6.2 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO Integrl indefinid Definición: Se f :, un función intregrle. Pr todo x, l restricción de f l intervlo, x es integrle. Por tnto, se puede definir un función F :, que llmremos integrl indefinid de f en,. F x x fxdx x, Teorem: Se f :, integrle, x entonces l función F x ftdt es continu. 1 er Teorem fundmentl del Cálculo: Se f :, integrle y se F x x ftdt l integrl indefinid. Entonces F x es derivle en culquier punto c, en el que f es continu

10 siendo F c fc Función primitiv. Regl de Brrow Definición: Definimos función primitiv de f en, quell función, si existe, F :, que es derivle en, y tl que F x f en,. Si f dmite un primitiv F, entonces dmite infinits, que sondelformfx k. Oservciones: 1. En el 1 er teorem fundmentl del cálculo se supone que l función f es continu en,, y se deduce que f dmite primitiv (l integrl indefinid). Pero si f dej de ser continu en lgún punto de,, unque sig siendo integrle (dmite integrl indefinid) puede no dmitir primitiv. 2. Utilizndo el 1 er teorem fundmentl del cálculo y l regl de l cden, se

11 vn poder derivr muchs funciones. 2º Teorem fundmentl del Cálculo: Se f :, un función integrle y F :, un primitiv de f en, (F x fx x,. Entonces fxdx F F

12 6.3 CÁLCULO DE PRIMITIVAS 6.3.1Primitivs inmedits x n dx 1 x n xn1 1 C; n 1 dx ln x C e x dx e x C; x dx x ln C cos xdx sin x C; 1 cos 2 x dx tn x C; 1 sen 2 x sin xdx cos x C dx cotx C 1 dx rcsin x C rccos x C 1 x2 1 dx rctnx C rccotx C 2 1 x coshxdx sinh x C ; sinh xdx coshx C 1 1 x 2 dx rg sinh x C, 1 x 2 1 dx rg

13 Utilizndo l regl de l cden, ls integrles inmedits se pueden generlizr de cuerdo l siguiente tl. f p xf xdx fp1 x p 1 C;p 1 f x fx dx ln fx C e fx f xdx e fx C fx f xdx fx ln C cos fxf xdx sin fx C sin fxf xdx cos fx C f x dx tn fx C cos 2 fx f x dx cotfx C sin 2 fx

14 f x 1 f 2 x dx rcsin fx C rccos fx f x 1 f 2 x dx rctnfx C rccotgx C coshfxf xdx sinh fxx C ; 6.4 INTEGRALES IMPROPIAS Integrles impropis de primer especie Definición: Se f un función cotd e integrle en un intervlo de l form,, entonces: (1) fdx lim fdx. i Si este límite existe, diremos que l integrl es convergente. ii Si vle diremos que es divergente. iii Si no existe el límite, no hy

15 integrl. De l mism form se define: (2) fdx lim fdx. (3) c fdx fdx c fdx c lim fdx lim fdx. c Integrles impropis de segund especie Definición: Se f un función no cotd en el punto x, e integrle en un intervlodelformc,,, entonces: (1) fdx lim fdx. 0 i Si este límite existe, diremos que l integrl es convergente.

16 ii Si vle diremos que es divergente. iii Si no existe el límite, no hy integrl. Si fx no está cotd en x (2) fdx lim fdx. 0 Si fx no está cotd en x c con c (3) f dx c lim fdx lim c2 2 0 fdx. Será convergente si existen y son finitos los dos límites del segundo miemro y será divergente si uno l menos es infinito. Oservción: Puede ocurrir que el segundo miemro de (3) sólo exist cundo 1 2,enese

17 cso l límite le llmremos vlor principl de l integrl Criterios de convergenci 1. Pr integrles impropis de primer especie 1.1. Criterio de comprción: Sen fx 0 y gx 0, con gx fx. i Si fxdx converge gxdx converge. ii Si gxdx diverge fxdx diverge Criterio de comprción con pso l límite. Sen fx fx 0 y gx 0, con l, entonces : gx lim x i Si l 0 ls integrles convergen o divergen simultánemente. ii Si l 0 y gx converge fx converge.

18 iii Si l y gx diverge fx diverge. 2. Pr integrles impropis de segund especie Los mismos criterios que en l de primer especie, teniendo en cuent quí que en el criterio de pso l límite, el límite tendremos que clculrlo en el punto donde l función no esté cotd.

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