1 Sucesiones de números reales

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1 1 Sucesiones de números reales 1.1 Números reales En el conjunto de los números reales tenemos definidas dos operaciones binarias, suma y producto, y una relación de orden (a, b) a + b (a, b) ab a b. Ellos cumplen los siguientes axiomas: A 1 Conmutatividad de la suma. Para todo par ordenado (a, b) de números reales, a + b = b + a. A 2 Asociatividad de la suma Para toda terna (a, b, c) de números reales, (a + b) + c = a + (b + c). A 3 Existencia de elemento neutro, o cero, para la suma. Existe un número real, que denotamos 0, con la condición de ser a + 0 = a para todo número real a. A 4 Existencia de elemento inverso, u opuesto, para la suma. Existe, para cualquier número real a, un número real, a, que satisface a + ( a) = 0. A 5 Conmutatividad del producto. Para todo par ordenado de números reales (a, b), se tiene ab = ba. A 6 Asociatividad del producto. Para toda terna de números reales (a, b, c), se tiene (ab)c = a(bc). A 7 Existencia de unidad para el producto. Existe un número real, 1, 1 0, tal que a 1 = a para todo número real a. A 8 Existencia de elemento inverso para el producto. Para todo número real a, a 0, existe un número real, a 1, o 1/a, que satisface aa 1 = 1. A 9 Distributividad del producto con respecto a la suma. Para toda terna de números reales (a, b, c), vale que a(b + c) = ab + ac. A 10 Transitividad del orden. Si a b y b c, entonces a c. A 11 Antisimetría del orden. Si a b y b a, entonces a = b.

2 1 Sucesiones de números reales 2 A 12 Para dos números reales cualesquiera a, b, es a b, o b a. A 13 a b a + c b + c para todo número real c. A 14 0 a y 0 b implican 0 ab. A 15 Axioma de completitud. Todo conjunto acotado superiormente tiene supremo. De estos axiomas se deducen las siguientes propiedades: P 1 El elemento neutro para la suma es único, pues si hubiera dos, digamos 0 y 0, sería 0 = = 0. P 2 a + b = a + c b = c. En particular, el opuesto de a, a, es único. Luego ( a) = a. Escribimos a b en lugar de a + ( b). P 3 ab = 0 es equivalente a a = 0 o b = 0. P 4 El conjunto de los números reales, sin el 0, satisface los mismos axiomas con respecto al producto (Axiomas 5, 6, 7 y 8) que el conjunto de todos los números reales con respecto a la suma (Axiomas 1, 2, 3 y 4). Luego aquéllos satisfacen las mismas propiedades que éstos para la suma. A saber, el elemento neutro para el producto es único. Si a 0 y ab = ac, entonces b = c. En particular, el inverso es único. Además (a 1 ) 1 = a. Si b 0, entonces ab 1 (= a(1/b)) también se escribe a/b. El cero no tiene inverso, ya que a0 = 0 para todo número real a. P 5 Si a 0, b 0, entonces (ab) 1 = a 1 b 1. P 6 Se tiene ( a)b = a( b) = (ab). En particular, a = ( 1)a. P 7 Cuando a b y a b, se escribe a < b. Así, a b es equivalente a a < b o a = b. P 8 Para dos números reales cualesquiera a, b vale una y sólo una de las siguientes relaciones a < b, a = b, b < a (b < a también se escribe a > b). P 9 a b y b < c implican a < c. P 10 a b y c d implican a + c b + d. Si además a < b o c < d, entonces

3 1 Sucesiones de números reales 3 a + c < b + d. P 11 a b es equivalente a a+c b+c. a < b es equivalente a a+c < b+c. P 12 Las relaciones a b, 0 b a, a b 0, b a, son equivalentes. Las siguientes relaciones son también equivalentes: a < b, 0 < b a, a b < 0, b < a. P 13 Si a 0, b 0, entonces a + b 0. Más aún, es a + b > 0 o a = b = 0. P 14 Para cualquier número real a, se define { a si a 0 a = a si a < 0. Se tiene a = a, a = 0 si y sólo si a = 0. P 15 Si α > 0, entonces la relación a α es equivalente a α a α. a < α es equivalente a α < a < α. P 16 Para a, b reales cualesquiera, se tiene a + b a + b, a b a b. P 17 Si c 0, entonces a b ac bc. P 18 Regla de los signos {a 0 y b 0} ab 0 {a 0 y b 0} ab 0 {a > 0 y b > 0} ab > 0 {a > 0 y b < 0} ab < 0 {a < 0 y b < 0} ab > 0. P 19 Para dos números reales cualesquiera a, b se tiene ab = a b. P 20 Si a > 0, entonces a 1 > 0. Si c > 0, entonces la relación a b es equivalente a ac bc, y la relación a < b es equivalente a ac < bc. La relación 0 < a < b es equivalente a 0 < b 1 < a 1. P 21 Para cualquier número real a se define 1 si a > 0 sig (a) = 1 si a < 0 0 si a = 0.

4 1 Sucesiones de números reales 4 Sigue que sig (ab) = sig (a) sig (b), a = a sig (a). P 22 Las relaciones 0 < a 1 a 2, 0 < b 1 b 2, implican a 1 b 1 a 2 b 2. Si además a 1 < a 2 o b 1 < b 2, entonces a 1 b 1 < a 2 b 2. P 23 La relación a 2 b 2 es equivalente a a b. La relación a 3 b 3 es equivalente a a b.

5 1 Sucesiones de números reales Sucesiones numéricas Consideremos una aplicación N R, esto es, una ley de correspondencia que asigna a cada número natural n un número real a n. Estos números reales a n, imagen de los números naturales, quedan ordenados de acuerdo con la relación < que existe en N. Debe entenderse ordenados con respecto a su enumeración, no con respecto a su valor numérico: a 1, a 2, a 3,. Esto se llama una sucesión de números reales. También se la indica {a n }. Ejemplos {1/n} = 1, 1/2, 1/3, {1/2 n } = 1/2, 1/4, 1/8, {n} = 1, 2, 3, { } n + 1 = 2, 3/2, 4/3, n 0, 1/2, 0, 1/3, 0, 1/4, 0, 1/5, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 11, 0, 111, 0, 49, 0, 499, 0, 4999, {1} = 1, 1, 1,. Puede ocurrir que a n se aproxime a un determinado número real l a medida que n crece. En este caso l se llama límite de la sucesión dada, y se indica l = lim n a n, o bien a n l cuando n. La definición precisa es la siguiente: l = lim n a n si y sólo si para cada ɛ > 0, arbitrario, existe un número natural n 0, que depende de ɛ, tal que para n > n 0 vale a n l < ɛ.

6 1 Sucesiones de números reales 6 Recordar que a n l < ɛ es equivalente a l ɛ < a n < l + ɛ. Conviene considerar aquí el caso de límite infinito. Si bien no es un número, también se simboliza lim n a n =, o a n cuando n. lim n a n = si y sólo si dado un número real M > 0, arbitrario, existe n 0 (M) N tal que para n > n 0 es a n > M. lim n a n = + (respectivamente ) si y sólo si dado un número real M > 0, arbitrario, existe n 0 (M) tal que para n N, n > n 0, vale a n > M (respectivamente a n < M). Dada una sucesión, puede ocurrir que tenga límite finito (sucesión convergente), o límite infinito (sucesión divergente) o bien que no tenga límite, ni finito ni infinito (sucesión oscilante). Se puede probar fácilmente que estos tres casos son excluyentes entre sí. 1.3 Propiedades de los límites finitos Supongamos que a n l cuando n. (a) Desde un término en adelante, es decir, para todo a n con n > n 0, a n se conserva mayor que cualquier número menor que l, y menor que cualquier número mayor que l. (b) Si sig (l) 0 entonces a partir de un término en adelante, a n tiene el mismo signo que l. (c) Si dos sucesiones tienen límites distintos, entonces los términos de la de mayor límite superan a los de menor límite desde un término en adelante. (d) Si a n a, b n b, y a partir de un término en adelante es a n < b n, entonces a b. (e) El límite es único. (f) Si a n l, b n l, y a partir de un término en adelante es a n c n b n, entonces c n l.

7 1 Sucesiones de números reales Subsucesiones Una sucesión es una aplicación g : N R. Supongamos que tenemos una aplicación h : N N, estrictamente creciente, es decir, h(n) < h(m) si n < m. Luego la composición g h, N h N g R, es una aplicación de N en R. Por lo tanto es también una sucesión, que por provenir de la otra de esa manera se llama subsucesión de la otra. Si, por ejemplo, tenemos la sucesión a 1, a 2,, y h(1) = 3, h(2) = 5, h(3) = 6, h(4) = 10,, entonces la subsucesión que se forma es {b n }, donde b 1 = a 3, b 2 = a 5, b 3 = a 6, b 4 = a 10,. Proposición Si una sucesión es convergente (respectivamente, divergente), entonces cualquier subsucesión de ella será también convergente (respectivamente, divergente). Una sucesión {a n } se dice creciente (respectivamente, decreciente) si a 1 a 2 a 3 (respectivamente, a 1 a 2 a 3 ). Si todas las desigualdades son estrictas, entonces se llaman estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes. Una sucesión {a n } se dice acotada superiormente (respectivamente, inferiormente) si existe un número real M > 0 tal que a n < M (respectivamente, a n > M). Proposición Toda sucesión creciente (respectivamente, decreciente) y acotada superiormente (respectivamente, acotada inferiormente) tiene límite finito. La demostración de esta Proposición se basa en el Axioma 15 de los números reales. En realidad, lim a n resulta ser sup(a n ) en el caso creciente e inf(a n ) en el caso decreciente. Observar que la condición de ser creciente, o decreciente, basta pedirla a partir de un término en adelante. Lo mismo para la acotación superior o inferior, ya que una cantidad finita de números siempre están acotados. Un ejemplo notable de sucesión acotada superiormente y estrictamente creciente es {(1 + 1/n) n }.

8 1 Sucesiones de números reales 8 Una sucesión {a n } puede no tener límite pero sí pueden tenerlo subsucesiones de ella. Si una subsucesión de {a n } tiene un límite l, entonces l se llama límite de oscilación de la sucesión {a n }. De esta manera, una sucesión puede tener muchos (en realidad, infinitos) límites de oscilación. Por ejemplo, sea {a n } la sucesión 1, 0, 1, 0, 1,. La subsucesión a 1, a 3, a 5, tiene límite 1, mientras que la subsucesión a 2, a 4, a 6, tiene límite 0. Puede probarse fácilmente que esta sucesión tiene sólo estos dos límites de oscilación. Una sucesión tiene siempre límites de oscilación, con valor finito o infinito. De entre todos los límites de oscilación hay uno que es el mayor de ellos, finito o infinito. Se le da el nombre de límite superior, y se simboliza lim sup a n o lim a n. Asimismo, siempre hay un menor límite de oscilación, finito o infinito, que se llama límite inferior de la sucesión, y se denota lim inf a n o lim a n. Valen los siguientes resultados: (a) lim sup a n = + si y sólo si {a n } no es acotada superiormente. (b) lim inf a n = si y sólo si {a n } no es acotada inferiormente. (c) La sucesión {a n } tiene límite, finito o infinito con signo determinado, si y sólo si lim inf a n = lim sup a n. En este caso el valor de su límite es el coincidente de lim inf a n y lim sup a n. Un criterio general de convergencia Comprobar si una sucesión tiene límite por su misma definición supone conocer el valor del límite. Existe un criterio que permite determinar la existencia de límite finito de una sucesión sin conocer su supuesto límite. Es la llamada

9 1 Sucesiones de números reales 9 condición de Cauchy. Definición Una sucesión a n se dice de Cauchy si dado ɛ > 0, arbitrario, existe n 0 (ɛ) N tal que si n, m N, n n 0, m n 0, entonces a n a m < ɛ. Proposición Una sucesión a n tiene límite finito si y sólo si es de Cauchy. Demostración: Supongamos que a n l, l finito. Dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que a n l < ɛ/2 si n n 0. Luego, si n n 0, m n 0, sigue que a n a m = a n l + l a m a n l + l a m < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. Por lo tanto {a n } es de Cauchy. Recíprocamente, supongamos ahora que {a n } es de Cauchy. La demostración sigue los siguientes pasos: 1 ro Una sucesión de Cauchy es acotada. En efecto, un conjunto finito de números reales es acotado. Luego el conjunto {a 1, a 2,, a n0 } es acotado. Para n > n 0 tenemos a n = a n a n0 + a n0 a n a n0 + a n0 < a n0 + ɛ. Luego el conjunto {a n0 +1, a n0 +2, } es también acotado. Como la unión de dos conjuntos acotados es otro conjunto acotado, sigue que la sucesión {a n } es acotada. 2 do Debido a los puntos (a) y (b) anteriores, toda sucesión acotada tiene límite superior y límite inferior finitos. 3 ro Debe ser l = lim inf a n = lim sup a n = l. En efecto, supongamos que l < l, y sea ɛ = l l > 0. Como estamos suponiendo que {a n } es una sucesión de Cauchy, sigue que existe n 0 N tal que a m a n < ɛ/3 si m n 0, n n 0. Por otra parte, existe una subsucesión {a ni } de {a n } tal que a ni l, y existe otra subsucesión {a mi } de a n tal que a mi l. Por lo tanto, a partir de un cierto término de la primera subsucesión vale a ni l < ɛ/3. Análogamente, a partir de cierto término de la segunda subsucesión vale a mi l < ɛ/3.

10 1 Sucesiones de números reales 10 Sigue que para estos términos ɛ = l l = l a mi + a mi a ni + a ni l l a mi + a mi a ni + a ni l < a mi a ni + 2/3 ɛ. Luego a mi a ni > ɛ/3. Pero esto está en contradicción con el hecho de que a partir del término a n0, todos los términos de la sucesión {a n } satisfacen a n a m < ɛ/ Cálculo de límites A diferencia de lo que ocurre con las operaciones de suma y producto de números reales, no existe un algoritmo general que permita calcular límites de sucesiones. El método consiste entonces en calcular por definición el límite de determinadas sucesiones sencillas para después reducir a éstas sucesiones de expresión más complicada. Para realizar esto debemos saber cómo se comporta el límite cuando operamos con sucesiones. Suma Dadas dos sucesiones {a n }, {b n }, podemos formar la sucesión suma {a n + b n } = a 1 + b 1, a 2 + b 2,. Para el límite de la sucesión suma tenemos los siguientes casos: {a n a, b n b} a n + b n a + b {a n, {b n } acotada } a n + b n {a n +, b n + } a n + b n + {a n, b n } a n + b n. Si a n +, b n, entonces no puede darse una respuesta general para lim(a n + b n ). Producto Dadas dos sucesiones {a n }, {b n }, la sucesión producto es Obtenemos que {a n b n } = a 1 b 1, a 2 b 2,. {a n a, b n b} a n b n ab {a n 0, {b n } acotada } a n b n 0 {a n, b n > K > 0} a n b n.

11 1 Sucesiones de números reales 11 Si a n 0 y b n, entonces no hay respuesta general para el límite del producto. Cociente La sucesión cociente es Sigue que {a n /b n } = a 1 /b 1, a 2 /b 2,. {a n a, b n b 0} a n /b n a/b {{a n } acotada, b n } a n /b n 0 { a n > K > 0, b n 0} a n /b n {a n, {b n } acotada } a n /b n. Si a n 0 y b n 0, o bien a n, b n, entonces no hay respuesta general para el límite del cociente. Logaritmos Si α > 0, α 1, b > 0, se define log α b a un número x que satisface α x = b. Dada la sucesión {b n }, b n > 0, queda formada la sucesión {log α b n } = log α b 1, log α b 2,. Si b n b > 0, entonces log α b n log α b. En efecto, suponiendo α > 1, para ɛ > 0 es α ɛ > 1, α ɛ < 1. Luego, como b n /b 1, sigue que a partir de un n en adelante es α ɛ < b n /b < α ɛ. Tomando logaritmo en estas dos desigualdades sigue que ɛ < log α b n log α b < ɛ, lo que prueba que log α b n log α b. Si b n 0, b n > 0, y α > 1, entonces log α b n. Si, en cambio, α < 1, entonces log α b n +. Potencia Si {a n }, a n > 0, {b n }, son dos sucesiones, entonces puede construirse la sucesión potencia {a bn n } = a b 1 1, a b 2 2,.

12 1 Sucesiones de números reales 12 Además Si a n a > 0, y b n b, entonces a bn n a b. {a n 0, b n b > 0} a bn n 0 {a n 0, b n b < 0} a bn n + {a n a > 1, b n + } a b n n + {a n a > 1, b n } a b n n 0 {a n a < 1, b n + } a b n n 0 {a n a < 1, b n } a bn n + {a n 0, b n + } a bn n 0 {a n 0, b n } a b n n + {a n +, b n + } a b n n + {a n +, b n } a b n n 0. En los siguientes casos no puede darse una respuesta general. a n 0, b n 0, a n +, b n 0, a n 1, b n +, a n 1, b n.

13 2 Series numéricas El concepto de límite de una sucesión permite definir una suma de infinitos términos o serie numérica a i = a 1 + a 2 +. Sea i=1 S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2... S n = a 1 + a a n... Entonces se define i=1 a i = lim n S n. De acuerdo con esta definición, una serie puede ser convergente, divergente u oscilante, en concordancia con el carácter de la sucesión de sumas parciales. De las propiedades válidas para sumas finitas se mantiene la propiedad distributiva: k a i = i=1 ka i. La propiedad asociativa se preserva para series convergentes o divergentes pero no vale en general para series oscilantes. Por ejemplo, la serie i= es oscilante pues sus sumas parciales son 1, 0, 1, 0, 1,. Pero si asociamos se convierte en (1 1) + (1 1) +, = 0, serie convergente.

14 2 Series numéricas 14 Serie geométrica Sea a 0, k 1. La serie a + ak + ak 2 + ak 3 + = a i=1 k i 1 se llama serie geométrica de razón k. La suma parcial enésima es S n = a + ak + ak ak n 1. De aquí ks n = ak + ak ak n = S n+1 a. Por otra parte S n+1 S n = ak n. Luego ks n + a S n = ak n, (k 1)S n = a(k n 1). Por lo tanto S n = a kn 1 k 1 Vemos que, si 0 k < 1, S n converge a = a1 kn 1 k. a. Si k > 1, entonces S 1 k n +. Si k < 1, entonces S n. Si k = 1, entonces la serie geométrica es oscilante. En conclusión, la serie geométrica de razón k es convergente cuando y sólo cuando 1 < k < 1. Criterio de Cauchy para series Dado que la suma de una serie es el límite de la sucesión de sus sumas parciales, el criterio de convergencia de Cauchy para sucesiones es aplicable a las series. Una serie i=1 a i es convergente si y sólo si dado ɛ > 0, arbitrario, existe n 0 (ɛ) N tal que para n 0 n < m vale m i=n+1 a i < ɛ. En particular, si m = n + 1, queda a n+1 < ɛ. Esto dice que si una serie es convergente entonces su término general tiende a 0. Pero!cuidado!, el hecho recíproco no es en general cierto: hay series no convergentes cuyo término general sí tiende a cero. El ejemplo típico es la llamada serie armónica, 1/i = 1 + 1/2 + 1/3 +. i=1

15 2 Series numéricas 15 Convergencia absoluta Definición Una serie i=1 a i se dice absolutamente convergente si la serie i=1 a i es convergente. Dado que m i=n+1 a i m i=n+1 a i, el criterio de convergencia de Cauchy afirma que una serie absolutamente convergente es convergente. La implicación recíproca no es en general cierta: una serie puede ser convergente pero no absolutamente convergente. Por ejemplo, probaremos más adelante que ( 1) i+1 1/i = 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5 i=1 es convergente, pero ( 1) i+1 1/i = 1 + 1/2 + 1/3 + es divergente. i=1 2.1 Series de términos positivos Si una serie tiene todos sus términos positivos (o todos positivos a partir de un término en adelante), entonces la sucesión de sus sumas parciales es creciente (o creciente a partir de un término en adelante, respectivamente). Si todas estas sumas parciales están acotadas, entonces la serie será convergente. Si las sumas parciales no están acotadas, entonces la serie será divergente a +. Por tanto, una serie de términos positivos no puede ser oscilante (Como a i = 1 ( a i ), todos los resultados que se obtengan para series de términos positivos son también válidos para series de términos negativos). Sean a i, b i, dos series de términos positivos, b i convergente. (i) Si a partir de un término es a i b i, entonces a i es convergente. (ii) Si a partir de un término es a i /b i λ, entonces a i es convergente (Criterio de comparación de primera especie). (iii) Si a partir de un término es a i+1 /a i b i+1 /b i, entonces a i es convergente (Criterio de comparación de segunda especie). Probemos (iii). Supongamos que la desigualdad vale a partir del término indicado por i 0. Luego a i0 +1 a i0 +2 a i0 a i0 +1 a i0 +p a i0 +p 1 b i 0 +1 b i0 +2 b i0 b i0 +1 b i0 +p b i0 +p 1,

16 2 Series numéricas 16 donde p N es arbitrario. Sigue que a i0 +p a i0 b i 0 +p b i0, es decir o bien a i0 +p a i 0 b i0 b i0 +p, a i0 +p b i0 +p a i 0 b i0. Como a i 0 b i0 es un número fijo, sigue del criterio de primera especie que a i debe ser convergente. Estos criterios de comparación permiten decidir cuándo una serie es convergente sabiendo que otra serie de términos más grandes lo es. Asimismo, si una serie de términos positivos tiene términos más grandes que los de una serie divergente, entonces aquélla es también divergente. Las series que se usan para comparar son las series geométrica y armónica generalizada. Esta última es 1/i α = 1 + 1/2 α + 1/3 α +, i=1 donde α > 0. Si α 1, entonces la serie armónica es divergente. convergente. Si α > 1, entonces es Aplicando la comparación directa con una serie geométrica de razón k menor que 1 sigue que si a partir de un cierto término es n an < k, entonces n=1 a n es convergente (Criterio de Cauchy). Si, en cambio, para infinitos términos a n es n a n 1, entonces la serie es divergente pues no se cumple la condición necesaria de convergencia, a saber a n 0 cuando n. Si a partir de un término a n0 de la serie es a n+1 a n k < 1, entonces n=1 a n es convergente (Criterio de D Alembert). En efecto, escribiendo a n+1 a n kn+1 = k, y aplicando el criterio de segunda especie con la serie k n geométrica n=1 kn+1, convergente, sigue el resultado. Si, en cambio, a partir

17 2 Series numéricas 17 de cierto término se mantiene a n+1 a n 1, entonces la serie es divergente pues a partir de alguno de ellos, sus términos son crecientes y por lo tanto no puede cumplirse la condición necesaria de ser a n 0 cuando n. Si a partir de cierto término es ( n 1 a ) n+1 M > 1, a n entonces la serie a n es convergente (Criterio de Raabe). Si, en cambio, a partir de un cierto término es n(1 a n+1 a n ) 1, entonces la serie es divergente. 2.2 Estudio de series en general Las series que no mantienen su signo a partir de ningún término no pueden ser estudiadas por los criterios anteriores. Caso particular de estas series son las llamadas series alternadas. Una serie a n se dice alternada cuando sig (a n+1 ) sig (a n ) para todo n N. Una serie alternada es convergente si a n a n+1 para todo n N y además lim n a n = 0 (Criterio de Leibnitz). Ejemplo n=1 ( 1)n+1 1/n = 1 1/2 + 1/3. Puede probarse que esta serie converge a ln 2. En general, si una serie no conserva el signo de sus términos a partir de ningún término, entonces se puede analizar las dos series que se forman con sus términos positivos y negativos, respectivamente. Si i=1 a i es una serie en tal condición, llamemos p i a los términos de la serie que son positivos, y q i a los términos negativos de la serie. Desde un principio supongamos que a i 0 cuando i, ya que si esto no vale la serie no puede ser convergente. Bajo esta suposición pueden presentarse los siguientes casos: (a) p i y q i ambas convergentes. En este caso a i es absolutamente convergente, y por lo tanto también convergente. Además ai = p i + q i, a i = p i q i.

18 2 Series numéricas 18 (b) p i convergente, q i divergente. En este caso tenemos a i =. (c) p i divergente, q i convergente. Aquí es a i = +. (d) p i y q i ambas divergentes. En este caso a i se dice condicionalmente convergente. Reordenando convenientemente sus términos es posible obtener una serie convergente a cualquier valor previamente estipulado, divergente u oscilante. Este caso es el de las series convergentes que no son absolutamente convergentes. Por ejemplo, la serie 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5.

19 3 Funciones reales de variable real 3.1 Conjuntos de la recta Sea A un conjunto de números reales. A se dice acotado superiormente si existe M IR tal que a M para todo a A. En este caso existe una menor cota superior, llamada extremo superior de A, o supremo de A (sup A). A se dice acotado inferiormente si existe K IR tal que K a para todo a A. La mayor de las cotas inferiores se llama extremo inferior de A o ínfimo de A (inf A). Un conjunto es acotado cuando lo es superior e inferiormente. En general trabajaremos con determinados conjuntos de la recta, a saber los llamados intervalos. Un intervalo I es un conjunto no vacío de números reales con la siguiente propiedad: cada vez que a I, b I, a < b, entonces c I si a < c < b. Los intervalos acotados son: (a) I = {x IR : a x b}, a b. Intervalo acotado cerrado o intervalo compacto. (b) I = {x IR : a < x < b}, a < b. Intervalo acotado abierto. (c) I = {x IR : a x < b}, a < b. Intervalo acotado semicerrado o semiabierto (cerrado a izquierda, abierto a derecha). (d) I = {x IR : a < x b}, a < b. Intervalo acotado semicerrado o semiabierto (cerrado a derecha, abierto a izquierda). Los intervalos no acotados son: la recta misma, y semirrectas izquierdas o derechas, cerradas o abiertas. Todos estos intervalos se denotan, respectivamente,

20 3 Funciones reales de variable real 20 [a, b], (a, b), [a, b), (a, b], IR o (, + ), (, a], (, a), [a, ), (a, ). Si a IR, un entorno de a es un intervalo abierto de la forma (a δ, a + δ), δ > 0. Un entorno reducido de a es de la forma (a δ, a) (a, a + δ). Sea A un subconjunto no vacío de IR. a IR se dice punto de acumulación de A si todo entorno de a contiene infinitos puntos de A. Es obvio que si A es un conjunto de finitos puntos, entonces no existe ningún punto de acumulación de A. Por el contrario, si A es un conjunto acotado de infinitos elementos, entonces siempre existe al menos un punto de acumulación de A. Un conjunto A se dice cerrado si todo punto de acumulación de A pertenece al conjunto. De aquí, todo conjunto finito es cerrado. Todo intervalo cerrado es un conjunto cerrado. Un punto a se dice interior a un conjunto A si existe un entorno de a contenido en A. A se dice abierto si todos sus puntos son interiores al conjunto. Todo intervalo abierto es un conjunto abierto. Un conjunto es abierto si y sólo si su complementario es cerrado. IR y son los únicos subconjuntos de IR cerrados y abiertos simultáneamente. 3.2 Funciones reales de variable real Sean A y B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Se llama función de A en B a un mecanismo que asigna a cada elemento de A un elemento en B.

21 3 Funciones reales de variable real 21 A se llama dominio de la función. función. Se escribe B se llama codominio o recorrido de la f : A B, o bien A f B. Si x A, se denota f(x) al elemento en B que la función asigna a x. La imagen de la función es el subconjunto del codominio B que consiste de todos los elementos de la forma f(x), con x A. Caso particular es la llamada función constante, que asigna a todo elemento x A un elemento fijo b B. Una función se llama inyectiva si, cada vez que x y, x, y A, es f(x) f(y). Se llama suprayectiva si su imagen coincide con su codominio. Una función que al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva se llama biyectiva. Si g : B C es una función cuyo dominio contiene a la imagen de f, entonces queda determinada la función composición g f : A C, definida su ley de correspondencia por (g f)(x) = g(f(x)). Cuando el codominio B coincide con el dominio A queda establecida la llamada función identidad, caso especial de función biyectiva, cuya ley de correspondencia se define por id A (x) = x para todo x A. Si f : A B es una función biyectiva, entonces existe su función inversa f 1 : B A, que satisface f f 1 = id B, f 1 f = id A. Hasta aquí hemos visto definiciones válidas para funciones cuyo dominio y codominio son conjuntos cualesquiera. De aquí en adelante supondremos que

22 3 Funciones reales de variable real 22 el codominio es IR y el dominio es generalmente un intervalo. Tales funciones reales de variable real permiten una representación gráfica de las mismas. También es a veces posible expresar analíticamente la ley de correspondencia mediante las operaciones de los números reales. Más aún, de funciones definidas en un mismo dominio pueden obtenerse otras, operando entre ellas. Por ejemplo, la ley de correspondencia puede estar dada por un polinomio P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, donde a n, a n 1,, a 0 son números reales fijos y x, como es habitual, representa un valor genérico del dominio de la función. O también puede estar dada por un cociente de polinomios P n (x) Q n (x), Q n(x) 0. Función potencial Es la definida por f : [0, ) [0, ), f(x) = x p, p > 0, o bien f : (0, ) (0, ), f(x) = x p, p < 0. Como es una función biyectiva, tiene función inversa, cuya expresión es x 1/p. Luego su inversa es también una función potencial. Función exponencial Es la definida por f : IR (0, ), f(x) = a x, a > 0, a 1. Como también es biyectiva, existe su función inversa, a saber f : (0, ) IR, f(x) = log a x.

23 3 Funciones reales de variable real 23 Funciones circulares Consideremos un triángulo rectángulo de lados a, b, c, donde c es la hipotenusa, que suponemos de longitud 1, y x es el ángulo, en radianes, entre los lados a y c. Se define sen x = b/c, cos x = a/c, tan x = b/a = sen x/ cos x. Definidas en principio en x [0, 2π], se las extiende a todo x IR por periodicidad. Tenemos que sen ( x) = sen x, cos( x) = cos x para todo x IR. Además sen 2 x + cos 2 x = 1. Otras relaciones útiles son: sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α, cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β. Luego sen 2x = 2 sen x cos x, cos 2x = cos 2 x sen 2 x = 2 cos 2 x 1. Las funciones sen x : [ π/2, π/2] [ 1, 1], cos x : [0, π] [ 1, 1], tan x : ( π/2, π/2) IR, son biyectivas. Sus funciones inversas son, respectivamente arcsen x : [ 1, 1] [ π/2, π/2], arccos x : [ 1, 1] [0, π], arctan x : IR ( π/2, π/2).

24 3 Funciones reales de variable real 24 Funciones hiperbólicas Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se definen como sh x : IR IR, sh x = [e x e x ]/2, ch x : IR [1, ), ch x = [e x + e x ]/2. La tangente hiperbólica se define como tgh x : IR ( 1, 1), tgh x = sh x/ch x. Tenemos que ch x + sh x = e x, ch x sh x = e x, ch 2 x sh 2 x = 1. Como la función seno hiperbólico es biyectiva, existe su función inversa. Obtengamos su expresión. Llamemos y = sh x. Como ch 2 x = sh 2 x + 1 = y 2 + 1, y ch x es siempre positivo, sigue que ch x = + y Luego y+ y = e x. Tomando en esta igualdad logaritmo neperiano, resulta x = ln(y + y 2 + 1). Así, sh 1 x = ln(x + x 2 + 1). Análogamente se puede obtener la función inversa de ch x : [0, ) [1, ). 3.3 Límite de una función Sea f : A IR una función real de variable real y supongamos que el conjunto A tiene un punto de acumulación a. Vamos a definir el límite de la función f en el punto a. Se escribe l = lim x a f(x), o bien f(x) l cuando x a. Por ser a punto de acumulación de A siempre existen sucesiones acotadas {x n }, x n A \ {a}, x n a. Definición l = lim x a f(x) si para toda sucesión x n a, x n A \ {a}, vale que f(x n ) l para n.

25 3 Funciones reales de variable real 25 Hay que destacar que aquí l puede tomar un valor finito o infinito. Observar que esta definición se basa en la de límite de sucesiones numéricas y por lo tanto todo lo que vale para éstas vale también para el límite funcional. Por ejemplo, sabemos que el límite de una suma de dos sucesiones numéricas es la suma de los límites de cada una de ellas, cuando estos existen con valor finito. Consideremos ahora dos funciones, f : A IR, g : A IR. Luego existe la función suma f + g : A IR, definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x). Supongamos que f(x) l 1, g(x) l 2, cuando x a. Entonces (f + g)(x) l 1 + l 2 cuando x a. En efecto, consideremos una sucesión {x n }, x n A \ {a} para todo n IN, x n a. Como f(x) l 1 cuando x a, sigue que f(x n ) l 1, y análogamente g(x n ) l 2. Por lo tanto (f + g)(x n ) l 1 + l 2. Como {x n } es cualquier sucesión con los requisitos expuestos, queda probada la afirmación mencionada. De la misma manera se puede probar que (fg)(x) l 1 l 2, si se define la función producto fg : A IR, (fg)(x) = f(x)g(x). En general, todos los resultados que valen para operaciones con sucesiones valen análogamente para operaciones con funciones: suma, producto, cociente, potencia, logaritmos. Del mismo modo siguen existiendo las mismas indeterminaciones, a saber: Para la suma:. Para el producto: 0. Para el cociente: 0/0, /. Para la potencia: 0 0, 0, 1. Queda claro entonces que todas las reglas que valen para operaciones con sucesiones siguen valiendo para operaciones con funciones. Por ejemplo: Si f(x) 0 para x a y g(x) se conserva acotada en un entorno de a, entonces f(x)g(x) 0 para x a.

26 3 Funciones reales de variable real 26 Tener presente que l = lim f(x) para x a si para toda sucesión x n a, x n A \ {a}, vale que f(x n ) l. No basta que para alguna sucesión {x n } valga lo anterior. Consideremos el siguiente ejemplo. f : (0, ) [ 1, 1], f(x) = sen (π/x) La expresión π/x establece una biyección entre el intervalo abierto (0,1) y la semirrecta abierta (π, ). Quiere decir que el comportamiento de la expresión sen (π/x) en (0,1) debe ser como el comportamiento de la expresión sen x en (π, ). Por ejemplo, sen x oscila infinitas veces en (π, ), toma infinitas veces el valor 1, el 0, el 1, y en general cualquier valor comprendido entre 1 y 1. Luego también debe ocurrir lo mismo con sen (π/x) en el intervalo (0,1). Allí también debe oscilar infinitas veces entre 1 y 1. El cero es punto de acumulación del intervalo (0, ), y luego en principio podemos considerar el límite de sen (π/x) para x 0. Como estamos considerando esta expresión en (0, ), x 0 con valores positivos de x. Esto se indica x 0 + (se lee x tiende a 0 por la derecha). Pero existe el límite? Como lo sugiere la discusión anterior, no existe el límite de esta función para x 0. En efecto, consideremos la sucesión {1/n}, 1/n 0 +, 1/n (0, ) para todo n N. Evaluando la función en estos valores obtenemos sen (π/(1/n)) = sen nπ = 0 para todo n, y luego sen (nπ) 0. Si 0 fuera el límite de la función, entonces debería ocurrir que f(x n ) 0 para toda sucesión x n 0 +. Sin embargo, elijamos x n = 2/(4n + 1), que también tiende a 0 y pertenece al dominio de la función. Ahora sen (π/x n ) = sen ([4n + 1]π/2) = 1 para todo n N, y esta sucesión tiende a 1. Esta diferencia en los límites de dos sucesiones distintas implica ya que no existe el límite de esta función en 0. Así como para 0 y 1, también podemos probar que dado cualquier c [ 1, 1] podemos conseguir una sucesión z n, que depende de c, z n > 0, z n 0 +, tal que sen(π/z n ) c. Lo que sucede con esta función conduce a definir el llamado límite de oscilación de una función en un punto a, y que es el concepto análogo al de límite de oscilación de una sucesión numérica.

27 3 Funciones reales de variable real 27 Definición l se dice límite de oscilación de f en a si existe alguna sucesión {z n }, z n a, z n a, y z n en el dominio de la función para todo n, tal que f(z n ) l. En el ejemplo anterior vemos que todo l [ 1, 1] es límite de oscilación de la función en el origen. Cuando la función está acotada en un entorno de a entonces siempre existen el límite superior e inferior de oscilación, que se simbolizan lim sup f(x), lim inf f(x), para x a, o bien limf(x), limf(x), para x a, respectivamente. Si f no está acotada superiormente en ningún entorno de a, entonces lim sup f(x) = + para x a. Si f no está acotada inferiormente en ningún entorno de a, entonces lim inf f(x) = para x a. Ahora llamemos h : (0, ) (0, ), h(x) x, g : (0, ) [ 1, 1], g(x) = sen (π/x). Consideremos la función producto hg : (0, ) IR, (hg)(x) = x sen (π/x). Calculemos lim(hg)(x) para x 0 +. Como h(x) 0 para x 0 (probarlo) y g(x) está acotada en todo su dominio (aunque bastaría que lo estuviera en algún entorno de 0), sigue por la regla ya conocida que x sen (π/x) 0 para x 0 +. En este caso las infinitas oscilaciones de sen (π/x) en el intervalo (0,1) no afectan a la existencia del límite. Este hecho se observa en su gráfica:

28 3 Funciones reales de variable real x sen (π/x) x Hay una definición equivalente de límite finito de una función f en un punto a, punto de acumulación de su dominio. Es la siguiente: Un número l se dice límite de la función f en a si dado ɛ > 0, arbitrario, existe δ > 0, que depende de ɛ, tal que para aquellos x que están en el dominio de f y además satisfacen 0 < x a < δ, vale que f(x) l < ɛ. Para límites infinitos están las siguientes definiciones: lim f(x) = + para x a si dado K > 0, arbitrario, existe δ > 0, que depende de K, tal que para aquellos x que están en el dominio de f y además satisfacen 0 < x a < δ, vale que f(x) > K. lim f(x) = para x a si dado K > 0, arbitrario, existe δ > 0, que depende de K, tal que para aquellos x que están en el dominio de f y además satisfacen 0 < x a < δ, vale que f(x) < K. lim f(x) = para x a si dado K > 0, arbitrario, existe δ > 0, que depende de K, tal que para aquellos x que están en el dominio de f y además satisfacen 0 < x a < δ, vale que f(x) > K. Ejemplos 1) f : (0, ) (0, ), f(x) = 1/x, lim f(x) = + para x 0. 2) h : (, 0) (, 0), h(x) = 1/x, lim h(x) = para x 0. 3) g : IR \ {0} IR \ {0}, g(x) = 1/x, lim g(x) = para x 0.

29 3 Funciones reales de variable real 29 Observar que los tres límites anteriores se obtienen inmediatamente si se aplica la definición por sucesiones dada en primer lugar. Por ejemplo, 1/x + para x 0 + pues para cualquier sucesión x n 0 + vale que 1/x n +. Las definiciones vistas hasta ahora son válidas para x a, a valor finito. También se puede definir el límite de una función para x +, x, o bien x, cuando existen sucesiones {x n }, con x n en el dominio de la función para todo n y tales que x n +, x n, x n, respectivamente. La definición por sucesiones es análoga al caso a finito. f(x) l para x + si para toda sucesión {x n }, x n perteneciente al dominio de la función para todo n, x n +, vale que f(x n ) l. De forma similar se definen los otros dos casos. Y también el caso de límite infinito para x. Con la otra definición hay que distinguir los casos de límite finito e infinito. Para límite finito tenemos que: f(x) l para x + si dado ɛ > 0, arbitrario, existe M > 0, que depende de ɛ, tal que si x > M vale que f(x) l < ɛ. f(x) l para x si dado ɛ > 0, arbitrario, existe M > 0, que depende de ɛ, tal que si x < M vale que f(x) l < ɛ. f(x) l para x si dado ɛ > 0, arbitrario, existe M > 0, que depende de ɛ, tal que si x > M vale que f(x) l < ɛ. Para el caso de límite infinito es: f(x) + para x + si dado K > 0, arbitrario, existe M > 0, que depende de K, tal que si x > M vale que f(x) > K. Los otros casos se definen análogamente. Estos son f(x) para x y además todos los que resultan de poner un signo + o un signo en uno u otro lado.

30 3 Funciones reales de variable real 30 La definición por límite de sucesiones es preferible a la otra del ɛ y δ, sobre todo a la hora del cálculo efectivo de un límite. Sea el siguiente ejemplo: lim f(x) para x 2, donde f : (0, ) (0, ), f(x) = x 2. Por la definición por sucesiones debemos considerar cualquier sucesión {x n }, 2 x n > 0, x n 2, y ver si la sucesión numérica f(x n ) tiende a algún valor l que sea independiente de la sucesión así elegida. Ahora bien, en nuestro ejemplo f(x n ) = x 2 n. Pero sabemos por resultados conocidos de sucesiones numéricas que si x n 2 entonces x 2 n 4. Como este 4 es siempre el límite de x 2 n, con tal que x n 2, sigue que el límite de esta función para x 2 es 4. Con la otra definición debemos fijar un ɛ > 0, arbitrario, y en función de este ɛ encontrar δ > 0 tal que para aquellos x que verifiquen 0 < x 2 < δ, valga que x 2 4 < ɛ. Observar en este punto que ya de entrada esta definición tiene un inconveniente. El valor del límite, 4 en este caso, no es consecuencia de ningún cálculo, sino que su valor debe ser propuesto para después verificar que se trata efectivamente del límite. Prosigamos. Tenemos que x 2 4 = x 2 x + 2. Andamos con suerte puesto que vemos que la expresión que debemos hacer menor que un ɛ prefijado depende de x 2, sobre el que tenemos libertad para achicarlo tanto como se quiera mediante la elección de δ. Luego x 2 4 = x 2 x + 2 < δ x + 2. Representa el factor x + 2 un obstáculo? No, ya que tenemos libertad para elegir δ. Luego podemos desde ya fijar δ 1, con lo cual x + 2 < 5. Por lo tanto x 2 4 < 5δ y si por otro lado δ ɛ/5 queda x 2 4 < ɛ, que era lo buscado. Resumiendo, tenemos que si δ min{1, ɛ/5}, es decir δ 1 y además δ ɛ/5, vale que x 2 4 = x 2 x + 2 < δ x + 2 < 5δ ɛ, o sea x 2 4 < ɛ.

31 3 Funciones reales de variable real Comparación de variables De dos números reales fijos, digamos x e y, podemos decir si x > y, x = y o x < y. Afirmaciones del tipo x es mucho más grande que y, x es muy pequeño, etc., no tienen en realidad ningún sentido riguroso. En cambio, si se trata de cantidades variables las afirmaciones anteriores adquieren un sentido, ya sean variables discretas, es decir que recorren un conjunto de números a saltos, como por ejemplo el conjunto de números naturales, o bien variables continuas, que recorren un conjunto de valores sin saltos, como por ejemplo un intervalo que no se reduzca a un punto. Sí tiene sentido decir 1/n, para n N, se hace arbitrariamente pequeño porque ahora 1/n no representa a una cantidad fija, sino a un conjunto de infinitos números. Como sabemos, la afirmación anterior se corresponde con el hecho de que 1/n 0 cuando n. Es muy útil saber comparar variables. Consideremos un ejemplo de series. Sabemos que la serie armónica 1/n es divergente a +. Cómo será la serie 1/[n + 10]? Comparemos término a término. Tenemos que 1/[n + 10] < 1/n para todo n N. Luego tenemos que todas las sumas parciales de la segunda serie son menores que las correspondientes sumas parciales de la primera. Pero como la serie mayorante es divergente, no podemos afirmar nada sobre la serie de términos menores. Sabemos que el carácter de una serie depende del comportamiento de sus últimos términos, es decir, a partir de uno cualquiera de ellos. Luego comparemos los términos correspondientes de ambas series para n grande, o sea para n. Tenemos que lim 1/[n + 10] 1/n = lim n n + 10 = 1. Como n/[n + 10] < 1, la aproximación de esa fracción a 1 es por la izquierda. El valor del cociente supera a cualquier número menor que 1 para n suficientemente grande. Por ejemplo, si fijamos 1/2 < 1, tenemos que n/[n + 10] > 1/2 a partir de algún valor de n. En este caso vemos que a partir de n = 11 se cumple esa desigualdad. Luego n=11 1/[n + 10] está minorada por n=11 1 2n = 1/2 n=11 1 n = +,

32 3 Funciones reales de variable real 32 y por lo tanto la serie n=1 es divergente a n + 10 = n=1 1 n menores sea también divergente se expresa así: n=11 1 n + 10 La causa que ha motivado que la serie de términos La cantidad variable 1/[n + 10] es del mismo orden que la cantidad variable 1/n para n. Podemos definir en general para variables que dependen de n, α(n), β(n), lo siguiente: α(n) y β(n) son del mismo orden para n si para todo n mayor que un número fijo vale que K 1 < α(n) β(n) < K 2, donde K 1 y K 2 son dos constantes fijas, K 1 > 0. Si en particular α(n) lim n β(n) = η, η 0, η, entonces α(n) y β(n) son cantidades del mismo orden. Si η = 1, α(n) y β(n) se dicen equivalentes. Si α(n) lim n β(n) = 0 entonces α(n) se dice de orden inferior a β(n). Por ejemplo, ln n es de orden inferior a n p ln n para todo p > 0 pues lim n = 0. Quiere decir que si bien n p ln n para n, su convergencia a es más lenta que la de n p. Podemos extender esta definición de orden a cantidades que dependen de una variable continua x, para x tendiendo a un valor fijo finito o infinito. Concretamente, a funciones f(x), g(x): f(x) y g(x) se dicen del mismo orden para x a, a finito, si en algún entorno reducido de a se verifica K 1 < f(x) g(x) < K 2, K 1 > 0.

33 3 Funciones reales de variable real 33 f(x) Si lim x a = b > 0, entonces f(x) y g(x) son del mismo orden para x a. g(x) f(x) y g(x) son del mismo orden para x + si para todo x mayor que un valor fijo es K 1 < f(x) g(x) < K 2, K 1 > 0. Como ejemplo comparemos sen x y x para x 0. El límite del cociente sen x/x es en principio indeterminado, del tipo 0/0. Vamos a resolver la indeterminación probando que lim sen x/x = 1. Consideremos el cuarto de circunferencia de radio 1, localizada en el primer cuadrante. Q N O x P M Tenemos que sen x es la longitud del segmento P Q, tan x es la longitud del segmento MN y x es la longitud del arco QM, que es mayor que la longitud del segmento QP. Luego sigue que sen x < x < tan x. Por consiguiente 1 < x/sen x < 1/ cos x, 1 > sen x/x > cos x, 0 < 1 sen x/x < 1 cos x.

34 3 Funciones reales de variable real 34 Si aceptamos que 1 cos x 0 cuando x 0 + sigue que también 1 sen x/x tiende a 0 y por lo tanto sen x/x 1 cuando x 0 +. Si no sabemos cuál es el límite de 1 cos x, ponemos 1 cos x = 2sen 2 (x/2) y usando otra vez la primera relación de desigualdades sigue que 2sen 2 (x/2) < x 2 /2 y obtenemos 0 < 1 sen x/x < x 2 /2, y ahora está claro que 1 sen x/x queda comprendido entre dos funciones que tienden a 0 cuando x 0 +. Dado que sen x/x es una expresión par se obtiene que lim sen x/x = 1. x 0 De esta manera, sen x y x son cantidades equivalentes para x 0.

35 4 Funciones continuas Sea f : A R una función y sea c A. f se dice continua en c si cada vez que lim x n = c, x n A, es lim f(x n ) = f(c) para n. Si lim x c + f(x) = f(c), entonces f se dice continua por la derecha en c. Si lim x c f(x) = f(c), entonces f se dice continua por la izquierda en c. Una función se dice continua en un subconjunto de su dominio si es continua en todos los puntos de ese subconjunto. Cuando una función no es continua en c, entonces se dice discontinua en c. Los distintos casos de discontinuidad en c son los siguientes: (a) Discontinuidad evitable Existe lim x c f(x), es finito, pero no coincide con f(c). Ejemplo (Todos los ejemplos son en c = 0) f : R R, f(x) = sig 2 (x). (b) Discontinuidad de tipo infinito Existe lim x c f(x), pero con valor infinito, con el mismo signo. Ejemplo f : R R, f(x) = { 1/x 2 si x 0 0 si x = 0. (c) Discontinuidad de salto finito Existen los dos límites laterales, finitos, pero son distintos. Ejemplo f : R R, f(x) = { 1+e 1/x 1 e 1/x si x 0 0 si x = 0. (d) Discontinuidad de salto infinito Existen los dos límites laterales, uno de ellos finito y el otro infinito, o bien los dos infinitos con distinto signo.

36 4 Funciones continuas 36 Ejemplos { e 1/x si x 0 f : R R, f(x) = 0 si x = 0. { 1/x si x 0 f : R R, f(x) = 0 si x = 0. (e) Discontinuidad de segunda especie No existe al menos uno de los dos límites laterales. Ejemplo f : R R, f(x) = { sen (1/x) si x 0 0 si x = 0. Si f y g son funciones definidas en A, continuas en c A, entonces f + g es continua en c, fg es continua en c, f/g es continua en c si g(c) 0. La composición f g es continua en c si f es continua en g(c) y g es continua en c (no es necesario que f sea continua en c). Todas estas afirmaciones son consecuencia inmediata de la definición de continuidad y de la definición de límite de sucesiones. Por ejemplo, probemos la última de ellas. Sea x n c para n. Como g es continua en c sigue que g(x n ) g(c), y como f es continua en g(c) sigue que f(g(x n )) f(g(c)). Esto es, (f g)(x n ) (f g)(c) para n. Las siguientes funciones son continuas en todo su campo de definición: Polinomios, funciones racionales, potencias, exponenciales y sus inversas (funciones logarítmicas), funciones circulares y sus inversas, cuando éstas existen, funciones hiperbólicas y sus inversas, la función valor absoluto f(x) = x. La función sig (x) es continua en todo x 0, donde tiene una discontinuidad de salto finito. Continuidad en un intervalo cerrado y acotado Sea f : A R, donde f es continua en A, intervalo cerrado y acotado (intervalo compacto). Veremos algunas propiedades de una tal función.

37 4 Funciones continuas 37 Definición c A se dice un cero de f si f(c) = 0. Teorema de Bolzano Si a, b A, a < b, y f(a)f(b) < 0, entonces existe un cero de f entre a y b. Demostración: Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. El caso opuesto se prueba análogamente. Consideremos el conjunto B = {x A : f(x) < 0}. B porque a B. Sea c = sup B, es decir c es la menor de las cotas superiores de B. Veamos que f(c) = 0. En efecto, f(c) no puede ser positivo porque si así fuera existiría un entorno de c donde f es positiva en todos los puntos de ese entorno y por lo tanto c no sería el supremo de B. Aquí estamos usando la continuidad de f. Análogamente se muestra que f(c) no puede ser negativo. El Teorema de Bolzano tiene la utilidad práctica de permitir calcular (aproximadamente) ceros de funciones continuas. Consideremos una función continua f tal que, por ejemplo, f(a) < 0, f(b) > 0. Sea x 1 el punto medio entre a y b, es decir x 1 = [a + b]/2. Si f(x 1 ) = 0 entonces ya hemos calculado (exactamente) un cero de f. Si, por ejemplo, f(x 1 ) > 0, entonces consideremos el intervalo [a, x 1 ] y su punto medio x 2 = [a + x 1 ]/2. (Si f(x 1 ) < 0 entonces hubiéramos considerado el intervalo [x 1, b]). Como f(a) < 0 y f(x 1 ) > 0, por el Teorema de Bolzano debe existir un cero de f entre a y x 1. Si f(x 2 ) = 0 ya lo hemos calculado exactamente. Si, por ejemplo, f(x 2 ) < 0, entonces consideramos ahora el intervalo [x 2, x 1 ], donde f tiene distinto signo en sus extremos. Se calcula su punto medio y se continúa este procedimiento de la misma forma. La longitud del intervalo inicial es b a, la del segundo es [b a]/2, la del tercero [b a]/4,, la del enésimo intervalo es [b a]/2 n 1, expresión que tiende a cero cuando n. Como dentro de estos intervalos debe haber un cero de f, podemos así calcular este cero con un error pequeño. Como consecuencia del Teorema de Bolzano sigue que si una función es continua en [a, b] entonces toma cualquier valor comprendido entre f(a) y f(b). En efecto, supongamos que f(a) < f(b) y sea η tal que f(a) < η < f(b). Consideremos la función continua f(x) η = g(x). Luego g(a) < 0 y g(b) > 0. Por lo tanto, por el Teorema de Bolzano sigue que existe c, a < c < b, tal que g(c) = 0, o sea f(c) = η.

38 4 Funciones continuas 38 Llamemos C a la imagen de la función continua f : [a, b] R, es decir C = {f(x) : x [a, b]}. Supongamos que f(a) < f(b). El resultado anterior se expresa también así: [f(a), f(b)] C. Más aún, podemos decir que el conjunto imagen C es también un intervalo cerrado y acotado. Que es un intervalo sigue como consecuencia del resultado anterior: Cada vez que en C hay dos puntos distintos también están en C todos los puntos intermedios. Veamos que C es cerrado. Recordemos que un conjunto cerrado es aquél que contiene a sus puntos de acumulación. Sea y un punto de acumulación de C. Significa que existe una sucesión de puntos y n C que converge a y. Por estar y n en C es de la forma y n = f(x n ) para x n [a, b]. Veamos que la sucesión {x n } tiene una subsucesión convergente. Si los valores numéricos de x n son en número finito esto es evidente. Si el conjunto de valores numéricos x n es infinito entonces, como está acotado, tiene un punto de acumulación, digamos c. De aquí existe una subsucesión x ni, x ni c. Como [a, b] es cerrado, c [a, b]. Como f es continua, f(x ni ) f(c), pero f(x ni ) es subsucesión de f(x n ) y sabemos que toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente al mismo límite. Por lo tanto f(x ni ) y y de aquí y = f(c), es decir y C. La prueba de que C es acotado se hace con argumentos similares. Supongamos que C no es acotado superiormente. Luego existe una sucesión {y n }, y n en C, y n +. Sea x n [a, b] tal que f(x n ) = y n. Como se probó anteriormente, {x n } tiene una subsucesión convergente, x ni c [a, b]. Pero f(x ni ) = y ni +, por lo que f no sería continua en c, contradicción que proviene de suponer que C no es acotado. En ambas partes de la demostración se ha usado el siguiente hecho: Si {x n } es una sucesión acotada entonces tiene una subsucesión convergente. Este hecho es equivalente al siguiente principio: Un conjunto acotado de infinitos puntos tiene al menos un punto de acumulación. Como la imagen de una función continua con dominio en un intervalo cerrado y acotado es también un intervalo cerrado y acotado tenemos que habrá

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