CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

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1 CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

2 A. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE. El concepto de integrl definid se refiere funciones cotds en intervlos cerrdos, b], con, b R. Este concepto se puede etender eliminndo ests restricciones. Ello d lugr ls integrles impropis. Llmremos integrl impropi de primer especie quell cuyo intervlo de integrción es infinito, y se de l form (, ), (, b) o bien (, ), pero l función está cotd. Pr cd uno de los csos indicdos se define B f() B f() A A B f() A B A f(), f(), f(), y se dice que l integrl impropi correspondiente es convergente si el ite eiste y es finito y divergente en cso contrrio. Ls siguientes propieddes son nálogs ls correspondientes en ls integrles propis (sólo considerremos el cso del intervlo (, ) pues el segundo cso se puede reducir l primero con el cmbio de vrible t = y el tercer cso es combinción de los dos nteriores l descomponer l integrl en dos sumndos). PROPIEDADES. () L convergenci de l integrl no depende del ite de integrción rel. Es decir, () Homogéne. Si f() converge pr todo λ R y se cumple: f es convergente, entonces λf = λ b f() converge. f. λf es convergente, (3) Aditiv. Si demás f, g convergen, entonces (f + g) = f + g. (f + g) converge y

3 (4) Integrción por prtes. Si f y g tienen derivds de primer orden continus en, ) y dos de los tres ites (5) Si f()g (), f ()g(), f(b)g(b) f()g()] eisten, entonces el tercero tmbién eiste y se tiene que f()g () f(b)g(b) f()g()] f converge, entonces f converge. f ()g(). Est últim propiedd permite definir el concepto de convergenci bsolut pr el cso en que l función integrndo no teng signo constnte en, ). Dd un función f integrble en, ], pr todo >, se dice que converge bsolutmente si l integrl condicionlmente si f converge pero f converge, y que f diverge. f converge En los csos en que no se posible (o no se necesrio) clculr eplícitmente l integrl, su convergenci se puede deducir por lguno de los siguientes criterios (observr el prlelismo que mntienen lgunos de estos criterios con sus correspondientes pr l convergenci de series). CRITERIOS DE CONVERGENCIA. () Criterio de comprción. Si f y g son funciones continus en, ) y f() g(), >, entonces Por tnto, si g() converge, entonces f() g(). f() converge. () Comprción por pso l ite. Sen f y g continus y no negtivs en, ). f() ) Si g() f() b) Si g() = λ, λ finito, entonces f() converge =, entonces g() converge = g() converge. f() converge.

4 En muchos csos, debido que converge si α > y diverge α si α (ver problem.), se plic el criterio nterior con g() = / α. Este qued entonces sí: (3) Se f un función continu y no negtiv en, ). ) Si α f() = λ, λ finito, entonces f() converge α >. b) Si α f() = y α >, entonces c) Si α f() = y α, entonces f() converge. f() diverge. (4) Criterio de Dirichlet. Sen f un función continu con primitiv F cotd y g un función decreciente con derivd primer continu. Si g() =, entonces f()g() converge. (5) Criterio de l serie socid. Se f un función decreciente y no negtiv, y tl que f() =. Entonces f() converge f(n) converge. PROBLEMA. Clculr Pr n, F (b) = n con >. n n+ = n + Si n >, entonces F (b) =, con lo que Si n <, entonces l integrl converge y F (b) = ] b = n + (bn+ n+ ). n = n+ n +. n diverge.

5 Pr n =, F (b) = y, como F (b) =, l integrl diverge. = ln b ln PROBLEMA. Clculr e. Resolvemos directmente l integrl: e = e = e ] ( e ) =. PROBLEMA.3 Estudir l convergenci de l integrl e. Clculremos directmente l integrl plicndo l definición de integrl impropi. e e / e / ] b ( e b/ +) =, de lo que se deduce que l integrl es convergente. PROBLEMA.4 Estudir l convergenci de l integrl e, R. En primer lugr, si =, e = y l integrl diverge. 3

6 Si, descomponemos l integrl en dos sumndos y obtenemos: I = k k e + e ] k ek e = + m ] + m k e ] m k e + m m e e m + ] { / si >, = si <. Result en definitiv que l integrl propuest es convergente cundo > y divergente cundo. PROBLEMA.5 Clculr e. Utilizremos l propiedd (4), relciond con l integrción por prtes pr integrles impropis. Pr ello, tomndo f() =, g () = e, tenemos que f () =, g() = e y e e e ] b + debido que e ] b b be b e b =. e e ] b =, PROBLEMA.6 Hllr e + e. Como mbos ites de integrción son infinitos, descomponemos l integrl en dos sumndos. Si escribimos el integrndo como e + e = e, te- + e 4

7 nemos: I e + + e b rc tg e ] b + b e b + e rc tg e ] b (rc tg e b π/4) + (π/4 rc tg b eb ) = π π 4 + π 4 = π. PROBLEMA.7 Estudir l convergenci de l integrl (ln ) 8. Si clculmos directmente l integrl, tenemos: (ln ) 8 de modo que l integrl es convergente. (ln ) (/)(ln ) ( ) 7(ln b) 7 + 7(ln ) 7 = 7(ln ) 7, ] b PROBLEMA.8 Estudir l convergenci de l integrl e e. Resolvemos en primer lugr l integrl indefinid hciendo el cmbio de vrible e = t: e e = e e e = e t dt = e t = e e. Clculmos continución l integrl impropi y tenemos: e e = e e = de lo que se deduce que l integrl es convergente. 5 ( e eb + e e ) = + = ;

8 PROBLEMA.9 Hllr e sen. El ite superior de integrción es infinito con lo que, l integrr por prtes, obtenemos: I e sen ] b e (sen + cos ) e b (sen b + cos b) +. Cundo b, e b, mientrs que sen b + cos b, luego I = /. PROBLEMA. Clculr I n = n e, pr n N. Integrndo por prtes, obtenemos que n e = n e + n n e. Recordndo demás que b n e b =, result: I n n e b n e b + n n e = n I n. Procediendo por recurrenci, se lleg que I n = n(n )I n = = n! I y como I = e =, obtenemos que I n = n! PROBLEMA. Hllr

9 Por definición de integrl impropi, tenemos: rc tg(/) I + 4 ] b = π 4. PROBLEMA. Clculr l integrl Por definición de integrl impropi = B A A B Resolvemos en primer lugr l integrl indefinid pr lo cul plicmos el método de integrción por frcciones simples. Como = ] ln rc tg rc tg, 3 l integrl propuest vldrá I = ln + π π ln + π π ] = 5π. PROBLEMA.3 Demostrr que ( + es convergente, pr todo m N. ) m En efecto, si hcemos el cmbio de vrible = tg t, = sec t dt, los ites de integrción son hor t = (correspondiente = ) y t = π/ (cundo = ). L integrl qued hor π/ sec t dt ( + tg t) m = π/ sec m t dt = 7 π/ cos m t dt,

10 l cul es evidentemente convergente pr m nturl. PROBLEMA.4 Determinr el vlor de C pr que se convergente l integrl impropi ( + C C ). Hllr el vlor de dich integrl. + Si escribimos l función integrndo como cociente de polinomios, + C C + = + C C ( + C)( + ) = ( C) + C (, + C)( + ) observmos que el denomindor tiene grdo 3. Pr que l integrl se convergente, el grdo del numerdor debe ser menor que. De quí se deduce que C =, es decir C = /. Pr este vlor, l integrl qued: + / ] ( b ) + + / + 4 ln( + ) ] b ln( + ) 4 ln(b + ) 4 ln 3 ln(b + ) + ln 4 ln 4(b + ) 3(b + ) = 4 ln 8 3. ] PROBLEMA.5 Hllr los vlores de los prámetros y b pr que ( ) + b + =. ( + ) Al igul que en el problem nterior, escribimos el integrndo como un frcción pr comprr los grdos del numerdor y denomindor. Como + b + ( + ) = (b ) + ( + ), 8

11 l integrl será convergente cundo b =, es decir = b. En este cso, si integrmos por frcciones simples, obtenemos que I = ( ) ] + b + ln k ( + ) k + k k k + ln + = ln ln +. Como debe ser = ln ln, result que = b = e. + PROBLEMA.6 Estudir l convergenci de l integrl ln. Resolvemos l integrl indefinid por prtes hciendo u = ln y dv = /. Así du = /, v = / y: ln = ln + = ln + ln =. L integrl impropi qued entonces: ln ln + ln ] b ( + ln b ) + =, b pues ln b/b = (se puede plicr por ejemplo l regl de L Hôpitl). Otr posibilidd, en l que no se clcul directmente l integrl, es utilizr el criterio de comprción. Debido que: ln / /3/ ln / / (/) / =, / e es convergente, se deduce l convergenci de l integrl propuest. 3/ PROBLEMA.7 Estudir l convergenci de l integrl

12 En primer lugr observmos que l función integrndo es positiv en el intervlo de integrción. Como l diferenci de grdos entre el denomindor y el numerdor es, comprmos el integrndo con l función /. Debido que y l integrl impropi / es convergente, l integrl propuest tmbién es convergente / =, PROBLEMA.8 Estudir l convergenci de l integrl Análogmente l problem nterior, l función es positiv en el intervlo, ). Además, cundo, es un infinitésimo del mismo orden que /, es decir Como / = /. es divergente, l integrl propuest tmbién lo será. PROBLEMA.9 Estudir l convergenci de l integrl 4 +. L convergenci de l integrl dd equivle l convergenci de l integrl porque, en el intervlo, ], el integrndo es cotdo y l 4 + integrl es propi. Como l función integrndo es positiv en el intervlo de integrción, podemos plicr el criterio de comprción. Así tenemos que / 4 + / 4 + =,

13 pues el grdo del numerdor coincide con el grdo del denomindor. Como l integrl es divergente, tmbién es divergente l integrl propuest. PROBLEMA. Investigr l convergenci de l integrl 3 +. Como el integrndo es positivo plicmos el criterio de comprción por pso l ite. Cundo, tenemos Como l integrl será. 3 + = 3 ( + / 3 ) = 3/ + / 3 3/. es convergente, l integrl propuest tmbién lo 3/ PROBLEMA. Estudir l convergenci de l integrl ( + ) 3/. Comprmos el integrndo con l función y = /. Tenemos sí: Como ( + ) 3/ / 3 3 ( / =. + ) 3/ es divergente, tmbién lo es l integrl propuest. PROBLEMA. Estudir l convergenci de l integrl Comprndo los grdos del numerdor y denomindor, obtenemos que g() = / es un infinitésimo equivlente l función integrndo cundo.

14 Como demás es convergente, por el criterio de comprción deducimos que l integrl propuest es tmbién 3 convergente. PROBLEMA.3 Estudir l convergenci de l integrl e. En primer lugr descomponemos l integrl en tres sumndos. Además, debido l simetrí de l función integrndo, podemos escribir: I = e + e + e = e + e. Pr estudir l convergenci de est últim integrl impropi, como l función integrndo es positiv, plicmos el criterio de comprción. Tenemos por un ldo que se verific l cotción e e,, y por otro ldo que e e e ] ( b e b + e ) = e. Esto indic que l integrl propuest es convergente. PROBLEMA.4 Investigr l convergenci de l integrl 3. Debido que es un infinito de orden superior 3 3, es decir =, plicremos el criterio de comprción por pso l ite con l función g() = /. Ahor bien, como e 3 / / 3 =, converge, el criterio no puede plicrse con est función.

15 Si tommos un función un poco myor que g, como h() = (/3), tenemos: 3 / (/3) 3 (4/3) =, y demás (/3) (/3) ln /3 ] b = ln /3. El citdo criterio de comprción indic pues que l integrl propuest es convergente. PROBLEMA.5 Determinr si l integrl converge o no. 3 El integrndo es no negtivo y decreciente en, ). Recordmos que, de cuerdo con el criterio de l integrl pr series infinits, si f es un función no creciente y no negtiv en, ), entonces mbs o divergen mbs. En este cso l convergenci de l serie n criterio de l ríz. Tenemos sí: f y n f(n) convergen n se puede determinr por el 3n n n + /3 n+ n/3 n 3 n n + n 3 n+ n = 3 <, de modo que l serie converge, con lo que tmbién l integrl dd converge. PROBLEMA.6 Estudir l convergenci de l integrl e. Aunque l función no está definid en =, como + e =, l función está cotd pr > y l integrl no es impropi en =. El crácter de est integrl es el mismo que el de l serie socid n e n. 3

16 Aplicndo el criterio de Pringsheim, como convergente, tmbién lo es l serie nterior. n n n e n = y n es PROBLEMA.7 Estudir l convergenci de l integrl e. Debido que l función integrndo es positiv en el intervlo de integrción y tiende cero cundo, reducimos el estudio de l convergenci de l integrl l de l serie socid 4n 3 + n + e n. Por el criterio de l n ríz, n n 4n 3 + n + e n Entonces l integrl es convergente. /e <. n PROBLEMA.8 Estudir el crácter de l integrl I = ln( + ) e. Como l función integrndo es no negtiv en el intervlo de integrción, estudiremos el crácter de l serie socid ln( + n) e n. Aplicndo el criterio del cociente tenemos: ln(n+) e n+ ln(n + ) ln(n+) e ln(n + ) = e <, e n lo que indic que l serie es convergente y, en consecuenci, tmbién es convergente l integrl propuest. PROBLEMA.9 Estudir el crácter de l integrl + sen. 4

17 Como l serie socid l integrl impropi es n + n sen, l cul es n equivlente l serie y est es divergente, tmbién será divergente l n integrl dd. PROBLEMA.3 Estudir l convergenci de l integrl sen k e. Como l función integrndo cmbi de signo, estudimos l convergenci bsolut. L serie socid l integrl es sen kn que es convergente e n n sen kn pues y, por el criterio de l ríz, e n e n n n e n n e n = <. Lo nterior indic que l integrl dd es bsolutmente convergente. PROBLEMA.3 Estudir l convergenci de l integrl α >. sen, pr α Como l función f() = sen tiene primitiv F () = cos cotd y l función g() = / α es derivble y decreciente, con g() =, por el criterio de Dirichlet (4) se deduce que l integrl es convergente. PROBLEMA.3 Estudir el crácter de l integrl cos. 5

18 Como el integrndo no es un función positiv en el intervlo de integrción, debemos estudir l convergenci bsolut. Como cos,, tenemos que cos cos de donde, l cul es convergente. Se deduce por el criterio de comprción que l integrl propuest es bsolutmente convergente. Como regl generl podemos firmr que, si en l epresión f() n el numerdor está cotdo, l integrl impropi converge bsolutmente si lo hce n. PROBLEMA.33 sen Probr que converge condicionlmente. sen Aunque l función no esté definid en =, está cotd pues =. Por tnto l convergenci de l integrl dd equivle l convergenci de sen l integrl. Como vimos en el problem.3, est integrl es convergente. Sin embrgo, sen diverge pues, como sen sen cos =, tenemos que sen De ls dos últims integrles, pues, integrndo por prtes, cos diverge y. cos converge, cos sen ] b + sen = sen sen +, y est últim integrl converge bsolutmente como se deduce por l cotción sen. De lo nterior se deduce que sen 6 converge condicionlmente.

19 PROBLEMA.34 Estudir l convergenci de l integrl sen 3. L integrl es impropi por tener un ite de integrción infinito. Aunque sen 3 3 demás l función no está definid en =, como + + =, l integrl no es impropi en =. Pr estudir l convergenci utilizmos l fórmul sen 3 = 3 sen 4 Entonces sen 3. 4 sen 3 = 3 4 sen 3 4 sen 3 3, y cd uno de los sumndos es convergente como vimos en el problem nterior. Entonces su sum será tmbién convergente. B. INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE. Si un función y = f() no está cotd en un intervlo, b], no tiene sentido el concepto de integrl definid de f en, b]. Est situción d lugr ls integrles impropis de segund especie; pr definirls, distinguimos los siguientes csos: ) Si f es integrble en, r], r < b, y f() = ±, definimos b r f() r b f() ε + ε f(). b) Si f es integrble en s, b], s >, y f() = ±, definimos + f() s + s f() f(). ε + +ε 7

20 c) Si eiste c (, b) tl que f es integrble en, r] s, b], r < c, s > c y f() = ±, definimos c r f() f() + f(). r c s c + s Al igul que pr ls integrles impropis de primer especie, se dice que un integrl es convergente si eiste el ite o ites que ls definen. Ls propieddes 5 enuncids pr ls integrles impropis de primer especie son válids tmbién quí con ls modificciones obvis. Tmbién los criterios de convergenci son nálogos los llí indicdos pues eiste un prlelismo entre mbos tipos de integrles impropis. Así, en el primer cso, si f() = ±, l hcer el cmbio de vrible b = /t, se b tiene: f() = /(b ) g(t) dt, y result un integrl impropi de primer especie. Escribiremos continución los criterios específicos pr el cso ) clrndo nuevmente que los demás pueden plnterse de form similr. () Criterio de comprción. Si f y g son funciones continus en, r], r < b y f() g(),, r], entonces g() converge = f() converge. () Comprción por pso l ite. Sen f y g continus y no negtivs en, r], r < b. f() ) Si b g() f() b) Si b g() = λ, λ finito, entonces f() converge =, entonces g() converge = g() converge. f() converge. Como plicción, es común considerr el criterio de comprción con l función g() = /(b ) α pues converge si α < y (b ) α diverge si α (ver problem.35). Entonces tenemos: 8

21 (3) Se f un función continu y no negtiv en, r], r < b. ) Si b (b )α f() = λ, λ finito, entonces f() converge α <. b) Si b (b )α f() = y α <, entonces c) Si b (b )α f() = y α, entonces f() converge. f() diverge. En los siguientes ejercicios se muestrn tmbién csos en que un integrl debe descomponerse como integrl impropi de primer y segund especie. PROBLEMA.35 Resolver Distinguiremos los siguientes csos:, con α R, donde < b. (b ) α - Si α =, por definición de integrl impropi, - Si α, (b ) α r b b r b r b r b r b ln(b ) ] r ln(b r) + ln(b )] =. r b r ] r (b ) α (b ) α+ r b α + (b ) α+ (b r) α+ ] { si α + < = α + (b ) α+ α+ si α + >. En definitiv, l integrl propuest es convergente cundo α < y divergente cundo α. PROBLEMA.36 Clculr donde < b. ( ) 3/ 9

22 Como l función no está cotd en =, hcemos lo siguiente: b ] b ( ) 3/ c + c ( ) 3/ c + c c + b + c ] =. PROBLEMA.37 Clculr 3 9. El integrndo present un discontinuidd esencil en = 3. Result entonces: ε ε + 9 ] 3 ε 3 ε rc sen /3 rc sen ε + ε + 3 = rc sen = π. PROBLEMA.38 Estudir l convergenci de l integrl ( )( + ). El integrndo f() = es no negtivo y f() =. Tomndo g() =, tenemos: ( )( + ) f() g() = >. + 3 Por tnto, l integrl dd converge si y sólo si converge l integrl de g. Ahor bien, b b b ] b =, 3

23 luego l integrl dd es convergente. PROBLEMA.39 Investigr si es convergente l integrl 4. L función integrndo tiene un discontinuidd en =. Comprmos l integrl propuest con l de /( ) α con α propido. Debido que / 4 /( ) α ( ) α ( ) α 4 ( ) / ( + )( + ) = /, cundo α = / y demás es convergente, del criterio de ( ) / comprción se deduce l convergenci de l integrl propuest. PROBLEMA.4 Estudir l convergenci de l integrl ( + ) 4. Aplicmos el criterio de comprción con l integrl convergente Como (+ ) 4 ( ) / l integrl es convergente. ( + )( + ) / =, ( ) /. PROBLEMA.4 Estudir l convergenci de l integrl ( 3 ) n. L integrl es impropi porque el integrndo tiende infinito cundo. Hcemos el cmbio de vrible 3 = t, = dt. L integrl se escribe 3t/3 3

24 dt hor como I = 3t /3. A primer vist prece que se h complicdo l integrl pues hor es impropi pr los dos etremos del intervlo. ( t) n Dividimos éste en dos sumndos: I = / dt 3t /3 ( t) n + / dt 3t /3 ( t) n. / dt El primer sumndo es convergente pues l integrl es equivlente t /3 que sbemos es convergente. El segundo sumndo, l estr cotdo /t /3 en todo el intervlo, será convergente cundo n/ <, es decir n <. Otro método más sencillo serí descomponer 3 de l siguiente form 3 = ( + + )( ). L integrl qued entonces I = ( ++) n ( ) n/. Como el numerdor está cotdo en todo el intervlo y el grdo del denomindor es n/, l integrl será convergente cundo n/ <. PROBLEMA.4 Demostrr que 4 no eiste. ( ) El integrndo present un discontinuidd esencil en =, vlor comprendido entre los ites de integrción. Descomponemos l integrl en dos sumndos y result: I ε + ε + ε + ε 4 ( ) + ε + ( ) ] ε + ε + +ε ( ) ε + ( 3 + ε ) ε + =. +ε ] 4 Si no se hubier tenido en cuent el punto de discontinuidd, obtendrímos equivocdmente el resultdo: 4 ( ) = ] 4 = 4 3 3

25 pues demás no es posible que l integrl de un función positiv se negtiv. PROBLEMA.43 Estudir l convergenci de l integrl I = 3. Como l función no está cotd en =, descomponemos l integrl en sum: 3 = Cd uno de los sumndos es convergente pues tiene l form α <. De ello se deduce que l integrl es convergente. El vlor de l integrl serí el mismo si no se tuvier en cuent l discontinuidd esencil en =, pero no serí correcto el proceso seguido. α con PROBLEMA.44 Hllr 4 3. Como el integrndo present un discontinuidd en =, tenemos que ε 4 I 3 + ε + 3 ε + +ε 3 ( ) /3 ] ε 3 + ε + ( ) /3 ] 4 ε + +ε 3 3 ε + ( ε)/3 ] + ε (ε ) /3 ] = 3 ( 3 9 ). PROBLEMA.45 Determinr el crácter de l integrl 3 (3 )( ). 33

26 L integrl es impropi porque el integrndo tiende infinito en los dos etremos del intervlo. Seprmos l integrl en dos sumndos y tenemos: I =,5 (3 )( ) + 3,5 (3 )( ). Aplicremos el criterio de comprción pr estudir l convergenci de cd integrl. En el cso de que,5, deducimos que (3 )( ) ( )/ = (3 )( ) ( )/ = (3 )( ) ( ) /.,5 Como demás es convergente, tmbién lo será el primer ( ) / sumndo de l integrl dd. Procediendo nálogmente con el segundo sumndo obtenemos que, si,5 < < 3, (3 )( ) y sbemos tmbién que 3,5 (3 ) / es convergente. (3 ) / En definitiv obtenemos que l integrl propuest es convergente. PROBLEMA.46 Determinr l nturlez de l integrl I = ( ). Como l integrl es impropi en los dos etremos de integrción, l dividimos en dos sumndos. Así escribimos I = / ( ) + / / ( ) = ( ) / / + / /. Los numerdores están cotdos en los intervlos correspondientes. Por tnto l primer integrl tiene el mismo crácter que que sbemos / / 34

27 es convergente. Con respecto l segund integrl podemos fctorizr el denomindor y escribir / = / / / ( ) /. Est integrl es equivlente en cunto su crácter l integrl que ( + ) / / ( ) / es tmbién convergente. En definitiv, l integrl dd es convergente. PROBLEMA.47 Hllr π/ cos sen. El integrndo present un discontinuidd en = π/, de modo que I = π/ ε cos ( sen ) / ] π/ ε ε + sen ε + = ε +{ sen(π/ ε)]/ } =. PROBLEMA.48 Clculr l integrl ln. Est integrl es impropi porque el integrndo no está cotdo en =. Si relizmos l integrl indefinid por prtes, tenemos: ( ln I ln ] + + ) ] ln 4 = 4 + +( ln 4 ) ln / = 4 = 4 = 4. + / + ( /) 3/ 35

28 PROBLEMA.49 Clculr rc sen. Por definición de integrl impropi, tenemos: rc sen B B B rc sen (rc sen ) ] B = (π/) = π 8. PROBLEMA.5 Determinr los vlores de m pr que se convergente. π/ cos m Debido l equivlenci cos cos si, entonces m m π/ cos π/ y ls dos integrles m, tienen el mismo crácter m (convergen o divergen l vez). De quí se deduce que l integrl es convergente cundo m <, o bien m < 3, y divergente cundo m 3. PROBLEMA.5 Estudir l convergenci de l integrl ln. Como l función no está cotd en = ni en =, descomponemos l integrl en dos sumndos sí: ln α = ln + α 36 ln, con < α <.

29 Aplicmos el criterio de comprción pr estudir l convergenci de cd un de ls integrles. Debido que y que α ln / / = es convergente, el primer sumndo es convergente. / Análogmente, como y α ln / = es convergente, el segundo sumndo es tmbién convergente. De lo nterior se deduce que l integrl propuest es convergente. PROBLEMA.5 Determinr l nturlez de l integrl vlores de >. ln según los Como l función integrndo no está definid en = ni en =, descomponemos l integrl en dos sumndos I = / ln + / = I + I. ln En l segund integrl hcemos el cmbio de vrible z =, con lo que / z dz I = ( z) ln( z). Debido l equivlenci de infinitésimos ln( z) z cundo z, / z dz / dz podemos comprr l integrl con = y est últim z z es convergente. Estudimos hor el primer sumndo, que es un integrl impropi en = porque ln ln =. / 37

30 / Comprremos l integrl con b que es convergente si b < y divergente si b. Clculndo el ite del cociente, obtenemos: + / ln b / b + ln = { si b si b <. De este modo, si <, elegimos b =, en cuyo cso el ite del cociente es cero y l integrl I es convergente. Por otr prte, si >, elegimos b = lo que hce que el ite del cociente se infinito y l integrl se divergente. Estudiremos por último el cso =. Como mismo crácter que demás / / l integrl es tmbién divergente. / ln tiene el ln pues está cotd en (, /), y ] / ln ln =, ln + En definitiv, obtenemos que l integrl propuest es convergente cundo < y divergente cundo. PROBLEMA.53 Estudir el crácter de l integrl I = 3 e /. Si hcemos el cmbio de vrible = /t, result l integrl I = Ahor bien, como l sucesión de término generl n = en n 5 e t t 5 dt. es divergente, ( n = ), l serie n es divergente. Por el criterio de l serie socid, l integrl impropi I es tmbién divergente. PROBLEMA.54 Estudir l convergenci de l integrl π cos. 38

31 El denomindor se nul cundo = ; por tnto el integrndo no está cotdo en =. Debido l equivlenci cos, result que l integrl propuest tiene el mismo crácter que. Como ést es divergente, π tmbién lo es l integrl propuest. PROBLEMA.55 Estudir l convergenci de l integrl + 4. Descomponemos l integrl en dos sumndos como I = Así tenemos dos integrles impropis: l primer es de segund especie pues l función no está cotd en = y l segund de primer especie, pues el intervlo de integrción es infinito. Aplicmos el criterio de comprción en mbos csos. Por un prte, e / + 4 / es convergente. Por otr prte, = + 3 / + 4 / = + 4 e es convergente. Como mbs integrles son convergentes, tmbién lo será l sum de mbs. PROBLEMA.56 Estudir l convergenci de l integrl e. 39

32 e + Como =, l integrl es impropi en mbos etremos de integrción. Clculndo directmente l integrl, obtenemos: e = e e = ] e B + e A =. A + B e ] B A + A B PROBLEMA.57 Determinr los vlores de pr los cules es convergente l integrl I = +. Por un prte el intervlo de integrción es infinito y por otr, en el cso de que <, el integrndo no está cotdo en =. Debemos pues descomponer l integrl en dos sumndos I = L primer integrl tiene el mismo crácter que, l cul es conver- gente cundo <, es decir >. Con respecto l segundo sumndo, debido l equivlenci +, cundo, l integrl es equivlente = =, l cul es convergente si >, o bien <. En definitiv, ls dos condiciones indicn que l integrl propuest es convergente cundo < < y divergente en cso contrrio. PROBLEMA.58 Estudir l convergenci de l integrl distintos vlores de α. e α según los 4

33 Debido que l función integrndo no está cotd en = cundo α >, descomponemos l integrl en dos sumndos e α = e α + e α y estudimos l convergenci de cd uno de ellos. En el primer sumndo, como e si, entonces e α, de modo que l α integrl es convergente si α < y divergente si α. Pr el segundo sumndo, como e α, l convergenci α equivle l de l integrl. Por tnto, converge si α > y diverge α si α. Como l integrl propuest es convergente cundo lo sen mbos sumndos, tenemos que es convergente cundo α (, ) y divergente en el resto., PROBLEMA.59 Probr que l integrl impropi diverge si α. t α e t dt converge si α > y Descomponemos l integrl en dos sumndos como t α e t dt = t α e t dt + y estudimos l convergenci de cd uno de ellos. t α e t dt, El primer sumndo corresponde un integrl impropi de segund especie. Debido l equivlenci e t t cundo t, result que tα e t t α. Esto indic que l integrl converge cundo α <, es decir α >, y diverge cundo α. El segundo sumndo es siempre convergente como se deduce l comprrlo dt con l integrl convergente. En efecto: t t t t α e t t 4 t α+ e t =.

34 L integrl propuest es por tnto convergente cundo α >. PROBLEMA.6 Se define l función Γ() como: Γ() = t e t dt. ) Probr que converge pr > y diverge pr. b) Probr que Γ( + ) = Γ() pr >. c) De lo nterior, deducir que Γ(n) = (n )! pr culquier n nturl. ) Vmos seprr el estudio en tres csos: - : L integrl es impropi de primer especie pues l función dt está cotd. Aplicmos el criterio de comprción con, que es t convergente: t t t e t t + t e t =, como se deduce l plicr l regl de L Hôpitl sucesivs veces (el denomindor es un infinito de orden superior l del numerdor). Esto indic que l integrl impropi es convergente. - < < : En este cso l integrl tmbién es impropi de segund especie pues en = l función no está cotd. Descomponemos l integrl como t e t dt = t e t dt + t e t dt. El segundo sumndo es convergente (se procede como en el cso nterior); pr estudir l convergenci del primer sumndo plicmos de dt nuevo el criterio de comprción con donde elegimos culquier tα α que cumpl > α >. Debido que y que dt es convergente, tmbién l integrl propuest es con- tα vergente. t tα t e t + t tα+ =, + 4

35 - : De nuevo tenemos un integrl impropi de segund especie. dt Aplicmos el criterio de comprción con, hciendo α = tα. Result: t tα t e t + t e t = + y, como dt es divergente, tmbién lo es l integrl propuest. tα b) Aplicndo el método de integrción por prtes, Γ( + ) b t e t dt t e t] b + + Γ() = Γ(). eb c) Aplicndo el prtdo b) sucesivs veces, tenemos: Γ(n) = (n )Γ(n ) = = (n )(n )... Γ(). Como demás Γ() = t e t dt e t dt =, deducimos que Γ(n) = (n )! C. APLICACIONES AL CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚME- NES. El concepto de integrl impropi permite tmbién plicrlo l cálculo de áres y volúmenes de regiones no cotds. Como veremos en los problems siguientes, es posible que regiones no cotds tengn áres o volúmenes finitos, lo cul será debido l convergenci de ls integrles que ls definen. PROBLEMA.6 Resolver (rc tg t) dt. + 43

36 L integrl del numerdor es divergente porque t (rc tg t) = π /4. Como el ite del denomindor tmbién es infinito, tenemos un indeterminción /. Aplicndo l regl de L Hôpitl, L (rc tg t) dt + (rc tg ) / + = π /4 = π /4. PROBLEMA.6 ( et dt Resolver et dt Como ls integrles ). e t dt y e t dt son divergentes (los integrndos son funciones que no están cotds en (, )), tenemos un indeterminción del tipo /. Aplicndo por dos veces l regl de L Hôpitl, result: L ( et dt ) et dt et dt e e et dt e e e / =. PROBLEMA.63 Se F l función definid en todo R por F () = ) Estudir l continuidd y derivbilidd de F. b) Probr que F () F () =. + e t t dt. ) Como l función integrndo f() = e / es continu en R \ {}, será integrble en culquier intervlo que no conteng l cero. Esto implic que F es continu en R pues, l ser + >, culquier punto del 44

37 intervlo, + ] es positivo. Además es tmbién derivble en todo R, siendo f () = e+, R. + dt, debemos estudir l con- b) Como F () F () = e t t vergenci de est integrl impropi. t e t Debido que =, l función integrndo no está cotd, de t modo que l integrl es divergente. Tenemos en definitiv que F () F () = +. PROBLEMA.64 Demostrr l cotción e ( + ) e t dt e. Integrmos en primer lugr por prtes, hciendo u = t y dv = te t dt. Así: e t dt = = t te t dt ( + t ] b t e t ) e t dt = e. Como t, + t +. Por tnto, e ( = + ) t e t dt = e t dt e ( + ) y tmbién t e t dt ( + ) e t dt e t dt e. Observción. Est cotción permite estimr el error que se comete l desprecir el áre situd bjo l curv y = e pr vlores grndes de. 45

38 PROBLEMA.65 Hllr el áre comprendid entre l estrofoide y ( + ) = ( ) y su síntot. En form eplícit, l ecución es y = ± + =. y su síntot es l rect De cuerdo con l figur y teniendo en cuent l simetrí, el áre es: A = + = r + r + = (4 + π). PROBLEMA.66 Hllr el áre situd l derech de = 3 y limitd por l curv y = y el eje X. 46

39 De cuerdo con l gráfic, el áre viene dd por l fórmul A = 3 que es un integrl impropi. Resolviendo l integrl indefinid por el método de frcciones simples, obtenemos: A = 3 = ln ] b + 3 = b + ln = /b ln + /b + ln = ln. PROBLEMA.67 Clculr el áre limitd por ls curvs y =, y = intervlo, ). en el + 47

40 De cuerdo con l gráfic y por definición de integrl impropi, tenemos: A = ( ln ln( + ) ) + ] b ( ( ln ) + b ln ) = ln. + b PROBLEMA.68 Hllr el áre limitd por l curv y + y = y sus síntots y el volumen engendrdo por dich áre l girr lrededor del eje X. ) Si despejmos l vrible y, l curv se epres como y = ± lo que indic que ls síntots son = y =. Teniendo en cuent que l curv es simétric respecto los dos ejes de coordends (lo que se deduce l sustituir por e y por y), el áre vendrá dd por l fórmul A = 4. Como el integrndo present un discontinuidd en =, debemos clculr ε A = 4 = 4 ] ε = 4 ε + ε + ε +( ε ε ) = 4. b) Aprovechndo de nuevo ls simetrís y plicndo el método de los discos, 48

41 tenemos: V = π = π ε + y = π ε y = π = π ε + + ln ( ) ] + / ε =. PROBLEMA.69 Hllr el áre de l región comprendid entre l curv de Agnesi 3 y = + y el eje de bsciss y el volumen engendrdo por l mism región l girr lrededor del eje X. 3 El eje de bsciss es l síntot de l curv, pues + =. ) Teniendo en cuent l simetrí de l figur, el áre viene dd por 3 A = + = b / (/) + (/) + rc tg(/) ] b rc tg(b/) = π. b) Aplicndo el método de los discos, el volumen se obtiene por l fórmul V = π y 6 () = π ( + ). Pr relizr l integrción plicmos el cmbio de vrible = tg t, con lo que = = t = y = = t = π/ y obtenemos: V = π = π π/ 6 ( + ) π/ = π sec 4 t sec t dt 3 cos t dt = π 3 π/4 = π 3 /. 49

42 PROBLEMA.7 Se consider l curv y = /4 definid en (, ]. ) Hllr el áre bjo l curv. b) Hllr el volumen del sólido obtenido l girr l curv lrededor del eje X. ) Como l función no está cotd en =, el áre viene dd por un integrl impropi: A = /4 + /4 + ] ( ) 3/4 4 3/ /4 = b) Análogmente l prtdo nterior, V = π = π + /4 = π + / ] / = π / +( / ) = π. PROBLEMA.7 Se consider l región R limitd por ls curvs y( +)+rc tg = y y 3 = en el intervlo, ]. i) Clculr el áre de l región R. ii) Eiste el volumen del sólido obtenido l girr R lrededor del eje X? 5

43 i) De cuerdo con l figur, el áre viene dd por: A = + ( /3 + ) rc tg + (3 + (π/4) 3 /3 + /3 /3 (rc tg ) (rc tg ) + ) = 3 + π 3. ] ii) El volumen pedido es el mismo que el de l región comprendid entre l curv y = /3 y el eje X en el intervlo, ] (bst observr que l girr est región y qued incluid l prte comprendid en el curto cudrnte). Aplicndo el método de los discos, V = π y = π 4/3 + π = 3π +( /3 /3 ) =. /3 /3 ] PROBLEMA.7 Determinr el volumen del sólido obtenido l girr l región limitd por l curv e y = y los ejes de coordends lrededor del eje OX. 5

44 De cuerdo con l figur, si plicmos el método de los tubos, l fórmul del volumen d: V = π ( )ydy = π ye y dy. Como es un integrl impropi debemos estudir su convergenci. Integrmos en primer lugr por prtes y obtenemos: ye y dy = (y + )e y, con lo que V B π (y + )e y] B B π(b + )e B + π = π. 5

45 D. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Hllr Resp.: I = /.. Clculr Resp.: I = π/. 3. Clculr Resp.: I = π/4. e Pr qué vlores de es convergente Resp.: Diverge pr todo. +? 5. Clculr 4e + 9e. Resp.: I = π 6 rc tg Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Divergente (comprr con /). 7. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con 8. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con ln ( + ). / α con < α < 4). / 3 ). ( + ). 53

46 Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con / ). e / ). 3e 3/ e + e / e e 3/ + 3e 4e / +.. Estudir l convergenci y clculr l integrl Resp.: I = π/4. ( + ).. Estudir l convergenci de l integrl f() = { si < si Resp.: Convergente pues cundo. 3. Estudir l convergenci de l integrl f() siendo / es convergente y + 3 sen. Resp.: Divergente (l función y = sen no está cotd en (, )). sen y que un de ells con- ( + ) cos 4. Probr que + = verge bsolutmente. Sugerenci: L iguldd se obtiene integrndo por prtes. Ver problem.3 pr estudir l convergenci. 5. Se consider l función f() = ce. ) Determinr el vlor de c pr que b) Clculr f() =. f() con el vlor de c obtenido en ). 54

47 Resp.: ) c = ; b) I = /. 6. Probr que p. Sugerenci: Resolver l integrl. e p es convergente si p > y divergente si 7. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Divergente (comprr con / ). + cos. 8. Demostrr que π/ sec no eiste. Resp.: L integrl es divergente. 9. Clculr. Resp.: L integrl es divergente.. Clculr 3 ( ) 3/5. Resp.: 5( 5 )/4.. Estudir l convergenci de l integrl impropi Resp.: Divergente (comprr con /). e cos.. Estudir l convergenci de Resp.: Convergente (comprr con Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con c /( ) / ) / y con 3 c / 3 ). 55

48 4. Estudir l convergenci de l integrl sen. Resp.: Divergente (integrción direct). 5. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (integrción direct). ln. 6. Estudir l convergenci de l integrl Resp.: Convergente (comprr con 7. Demostrr que e e t dt =. Sugerenci: Aplicr l regl de L Hôpitl. / ) Clculr el áre de l región limitd superiormente por l curv y =, inferiormente por l curv y( + ) = y l izquierd de =. Resp.: A =. 9. Clculr el áre de l región limitd por ls curvs y =, =, = 3 por encim del eje OX. Resp.: A = 8 ln(3 + 8). 3. Clculr el áre de l región limitd por l curv y = 3 entre los puntos de bscis = y =. Resp.: A = π/3. 3. Clculr el áre comprendid entre y = e y el eje X en (, ). Cuánto vle e? Resp.: A = ; I = por ser un función impr y l integrl convergente. 56

49 3. Se f() = e pr todo. Llmmos R l región limitd por l curv y el eje X en el intervlo, t], con t >. Clculr el áre A(t) de R y el volumen V (t) obtenido l girr R lrededor del eje X. Interpretr los vlores de A(t) y V (t). t t Resp.: A(t) = e t + ; V (t) = π 4 e 4t + π 4. 57