Eduardo Kido 26-Mayo-2004 ANÁLISIS DE DATOS

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1 ANÁLISIS DE DATOS Hoy día vamos a hablar de algunas medidas de resumen de datos: cómo resumir cuando tenemos una serie de datos numéricos, generalmente en variables intervalares. Cuando nosotros tenemos una serie de datos numéricos, lo ideal antes de hacer cualquier tipo de análisis, en primer lugar es graficarlos. Cuando uno tiene una variable intervalar, como por ejemplo un grupo de pacientes y tengo el COP, para determinar rápidamente si esos datos tienen una distribución normal, uno los puede graficar. Y ahí, al ver el grafico también se puede dar cuenta si existen valores que se alejan de la distribución normal. Ya vimos la semana pasada que algunos gráficos como el de caja, permite darse cuenta si hay una distribución normal. Si hay valores anormales, lo primero y lo más aconsejable en el caso de las personas cuando empiezan a hacer análisis de datos es que revisen, porque generalmente se equivocan al ingresar los datos al computador. Si se encuentra con datos que estén anormales, debe decidir si los elimina o no, si los elimina generalmente tiene que tener algún criterio para eliminar un dato. Y si es una observación en un paciente, por ejemplo tomar la presión, y el paciente tiene 240 de presión sistólica, usted debe ver si es una medición que ocurrió solamente producto de algún hecho anormal que había en ese momento y a lo mejor el paciente no tiene realmente esa presión, entonces ahí elimina o vuelve a evaluar. También, dentro de los datos se puede transformar para obtener una distribución más de acuerdo a la normalidad. Si nosotros tenemos, por ejemplo, puntajes con que ingresaron algunos alumnos a la Universidad, y queremos analizar qué promedio tienen estos alumnos. Antes de promediar, los graficamos. Aquí tienen puntajes de ingreso a la U. Mayor de 51 alumnos, en el año En este gráfico vemos una distribución de valores, la mayoría de los alumnos se distribuyen sobre los 600 puntos, sobre 640 unos pocos. Pero si vemos estos mismos valores graficados de esta forma, vemos que el 50% de los alumnos tenía entre 600 y 640 puntos, que es lo que nos dice el gráfico de caja. La mediana que es la línea de la mitad de la caja, dice que está alrededor de 625 puntos y que 25% de los alumnos tienen más de 640 puntos. Y 25 % tienen menos de 600 puntos. Con este grafico, especialmente de caja, si hay un algún valor anormal va a aparecer marcado con un asterisco o con un círculo. Cómo podemos resumir estos datos ahora? Lo primero es graficar y ver si se distribuyen más o menos normal. Si se distribuyen normal tenemos que para describir una serie de observaciones, si la variable es intervalar, podemos calcular el promedio, la desviación estándar, el error estándar, el intervalo de confianza, la mediana y otros parámetros. MEDIDAS DE RESUMEN: - Siempre en cualquier variable, sea ordinal o nominal, tiene que estar diciendo cuántas son las observaciones, el número de observaciones (n). - El Promedio o Media lo vamos a utilizar para variables intervalares, por ejemplo, puntaje de ingreso a la universidad. También se puede promediar, la edad, la estatura, el recuento de linfocitos. - El intervalo de confianza es un parámetro que nos va a decir en qué rango se encuentra por ejemplo un promedio, es una medida muy utilizada hoy en día debido a que en biología o en medicina hay muchas variables que no tienen una distribución muy normal, y el intervalo de confianza nos permite ver en qué rango están los valores. - La Mediana nos dice dónde está la mitad de las observaciones. - Moda 1

2 - Percentiles - Desviación Estándar (DS) - Error estándar de la media (SEM) MEDIA - Sinónimo: promedio, media aritmética. - Otras medias: media armónica, media geométrica. - Media aritmética: x = Σx i n i Es la sumatoria de los valores observados, dividido por el número de individuos o de muestras analizadas. Por ejemplo, para el promedio de las pruebas, se suman cada una de las pruebas y se divide por el total de pruebas. MEDIA O PROMEDIO - De una muestra: x - De una población: µ Cuando tenemos una investigación, generalmente hemos obtenido un promedio de la muestra. Si usted va a una población, o a una localidad, o a una comuna no va a examinar a todos los pacientes, sino que va a seleccionar algunos, entonces hablamos de una muestra. Pero a veces, puede que uno haga un estudio de toda una población, es muy raro, y se representa con la letra griega mu (µ). Normalmente en biología, medicina u odontología no se obtiene un promedio de la población, ya que es casi imposible examinar a toda la población con una condición patológica. MEDIANA Es el valor que marca la caja con la línea del medio, o sea, es un valor que significa que hacia la derecha de la línea está la mitad de los valores, y hacia la izquierda está la otra mitad. MODA Es el valor que se repite más o la categoría que tiene la mayor frecuencia. Generalmente no se usa mucho hablar de la moda, o de la mediana. Cuando uno tiene una variable intervalar, lo que más se utiliza es el promedio y la desviación estándar. La DS es una de las medidas de dispersión de los valores, que nos está diciendo cómo se alejan los valores con respecto al promedio. Estas medidas de dispersión nos permite darnos cuenta cómo se agrupan o se separan del centro de la observación, ese centro de las observaciones es el que hemos obtenido con el promedio. En el rango nosotros vemos cuánto se alejaron los extremos de las observaciones, por ejemplo, el rango de la primera prueba de patología: la nota mínima fue de 2,7 y la máxima fue 5,1; decimos que el rango fue 2,4 (5,1 2,7 = 2,4). Es una distancia entre el valor mínimo y máximo. 2

3 RECORRIDO INTERCUARTIL Muchas veces en mediciones epidemiológicas o análisis poblacionales se necesitan los recorridos intercuartiles o los percentiles. Estos percentiles le van a decir: se aleja 1 o 2 desviaciones estándar o se aleja 10%, 20% de una distribución. Los cuartiles o recorrido intercuartil cuando uno lo ve en el gráfico de caja es muy fácil darse cuenta cuáles son. Intercuartil significa tomar la distribución de los valores y dividirla en 4 cuartos. Entonces cuando nosotros tenemos el gráfico de caja, vemos que es muy fácil darse cuenta donde está el 25% de los valores inferiores o el 25% de los valores superiores, entonces está el 50% de los valores. El recorrido intercuartil y el largo de la caja nos dice dónde está el 50% de los valores, esos valores se pueden alejar del promedio, y para saber cuánto se aleja cada valor del promedio podríamos hacer una resta entre x i x (Desviación media) Si nosotros hacemos la suma de las diferencias de cada valor, o sea, la sumatoria de las diferencias con respecto al promedio ( Σ(x i - x) ) nos va a dar cero y eso no tiene mucho interés. Para que esto no nos de cero, se eleva al cuadrado, y para además no obtener valores negativos, Σ(x i - x) 2. Se eleva al cuadrado para que todos los números negativos queden positivos. VARIANZA Es cómo varían los datos con respecto al promedio y en otras palabras estamos sumando las desviaciones de los valores individuales con respecto al promedio, dividido por el número de observaciones que tengamos. Esta fórmula, representada con la letra sigma al cuadrado, es la varianza para una población: σ 2 = Σ(xi - x) 2 N Pero como nosotros generalmente no trabajamos con la población entera, sino con una muestra de pacientes o de alumnos, entonces aquí no se usa N, sino n y -1, porque es la compensación por no haber tomado toda la población, entonces se divide por n - 1. DESVIACIÓN ESTÁNDAR (DS) Es la variación de los datos individuales con respecto al promedio. - De una población: σ = Σ(xi - x) 2 N - De una muestra: ds = Σ(xi - x) 2 n-1 Hasta el momento hemos visto estas 3 fórmulas: 1. Promedio: 3

4 2. Varianza: 3. Desviación estándar de población: Esta desviación estándar cuando la calcula el computador, generalmente tiene que pensar es desviación estándar de una muestra. Si no hay una distribución normal, o sea no hay una campana de Gauss normal, al sacar los logaritmos se acerca mas a la normalidad, pero si sacamos el promedio y la desviación estándar de los logaritmos la gente no va a entender mucho. Pero para el análisis hay que transformarlos y uno tiene que acostumbrarse a eso. En el área biológica, en medicina y en odontología los valores no tienen una curva muy normal, o sea que la curva no sea simétrica. Sesgo Asimetría de la curva. Una cola (o extremo) es mayor que otro). Asimetría der.: sesgo positivo Asimetría izq.: sesgo negativo 4 Ej: asimetría der: Número Proporción por barra CARIES Si la curva no es simétrica decimos que tiene un sesgo. Es decir, un extremo o una cola no es igual a la otra, eso es una asimetría que está dando en la curva, porque los valores que vemos aquí no tienen una distribución normal, por ejemplo, en este caso de caries no hay una distribución normal porque hay muchos individuos que tenían entre 5 y 6 caries (barra más alta) y pocos que tenían más de 9 caries. Aquí tenemos un problema muy frecuente en el área biológica, que tenemos pocas observaciones y una curva con una asimetría. Esa asimetría es lo que vamos a llamar sesgo o que una cola o extremo de la curva es mayor que el otro. 4

5 CURTOSIS También puede ser que la curva sea picuda y otras que son más aplanadas. Depende de la cantidad de casos que uno tenga. Entre más casos tenga la curva, generalmente va a ser más picuda, más alta. Entre menor sea la cantidad de casos, la curva es más plana. Cuando las desviaciones estándar se parecen entre diferentes grupos, podemos decir que son comparables. Si son muy distintas habría que hacer alguna transformación o consideración especial para analizar esos datos. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE La curva de distribución normal se basa en este teorema. - La distribución de promedios de muestras será aproximadamente normal, indiferente de la distribución de valores en la población original de donde fueron tomados los valores. - El valor del promedio de la colección de todos los posibles promedios será igual al promedio de la población. Lo lógico es que cuando usted presente los datos, presente el n, el promedio, la desviación estándar. Pero algunos autores publican el SEM (Error estándar de la media). SEM = ds / n Es cómo varía el promedio. Siempre es un valor más pequeño que la desviación estándar.... La curva de distribución normal: 1 DS (desviación estándar) le indica dónde está el 68% de las observaciones, de acuerdo a una curva que tenía una curva de distribución normal, en la cual el promedio es cero y la DS es 1. 2 DS: 95% de las observaciones. 3 DS: 99% de las observaciones. Siempre que usted vea que el promedio es inferior a la DS, quiere decir que los datos no tienen una distribución normal. En la distribución normal: - La población tiene distribución definida por una media de µ y una desviación estándar de σ. - Normalmente se utiliza o analiza una muestra y vamos a representarlos por estos símbolos: x ± ds. PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL Cuando nosotros tenemos observaciones que realmente tienen una distribución normal: - El promedio, la mediana y la moda van a coincidir con el mismo valor. - La curva es simétrica, o sea, el sesgo es cero. - La curtosis es cero. - La cola de esa curva, debería ser simétrica, del mismo tamaño y cada vez se va acercando más al eje x (pero sin tocarlo), y eso es lo que se llama una curva asintótica. 5

6 INTERVALO DE CONFIANZA (IC) Le permite decir con una seguridad en qué rango están los valores. Esa confianza es de un 95% Este intervalo de confianza se puede utilizar para calcular un promedio, la diferencia de promedios, para una proporción, para la diferencia de dos proporciones, para una curva o recta de análisis de regresión o para un riesgo relativo. Intervalo de confianza de un promedio Para datos cuantitativos, con distribución normal, si tenemos DS, SEM, n y x, sabiendo que SEM = ds / n y para muestras mayores de 30, el IC al 95% va entre : x -(1,96 * SEM) y x + (1,96 * SEM), ó x ± (1,96 * SEM) Si n<30 buscar valor en tabla de valores de Z, según n-1 Cómo se construye un IC de un 95%? Se basa en que tenemos una distribución normal estándar y un 95%. Entonces lo que necesitamos saber es, cuánto es lo que se aleja a cada lado de la curva, en 2,5%. Y para eso, se obtiene los valores de z = 0,025 y 0,975, que eso es lo que nos está dando el extremo de la cola en la curva. Ese valor no tiene para que buscarlo, y lo hemos copiado aquí, es 1,96. 1,96 es el z = 0,025 y z = 0,975 el valor es 1,96. Redondeado 1,96 es 2, entonces para simplificar y calcular rápido el IC usamos 2. Para calcular el IC, en el caso de un IC de un promedio, usted tiene 1,96 y lo multiplica por el error estándar de la media, eso le da el IC de un promedio. El IC para diversos grados de seguridad, por ejemplo si usted quiere con 90%, tiene que cambiar este valor y buscarlo en la tabla. Si quiere el IC con un 99% de seguridad también habría de cambiarlo. Pero no lo hemos puesto acá, porque la gran mayoría de las personas el IC que usan es con 95% Para muestras mayores de 30, simplemente usa 1,96 por el error estándar (SEM). Entonces si nosotros vemos que el ancho, por ejemplo del incisivo central derecho es 8,8 y el IC es 8,7 (límite inferior) y 9 (límite superior), estamos diciendo que con un 95% de seguridad si volvemos a tomar la medición del incisivo central superior derecho, el promedio va a estar entre 8,7 y 9. Cómo se calculó este IC? Tenemos la DS, dividido por la raíz cuadrada del n, o sea: 0,6 / 59 y eso se multiplica por 1,96 y le va a dar 8,7 a 9. Esto es porque uno calcula 2 valores: x - (1,96 * SEM) y x + (1,96 * SEM), o x ± (1,96 * SEM), por eso le va a dar un rango, un rango de seguridad. 6

7 Hablamos de los puntajes de ingreso, el número de casos que ingresaron a la Universidad Mayor era 51, el promedio: 621,63, la DS: 22,4, el error estándar: 3,1 y el IC del promedio 615 y 628 (yo puedo estar con un 95% de seguridad que este promedio va a estar entre 615 y 628 aprox. siempre y cuando se diera la misma prueba y, las condiciones y ponderaciones sean similares). En general y en resumen, el ideal es que cuando uno tenga una serie de valores, tenga una curva picuda, simétrica que el promedio coincida con la mediana y con la moda, que los extremos de la curva no se tocan, pero que las colas sean similares a ambos lados. Si la curva es asimétrica, el promedio no coincide con la mediana, ni con la moda y es más difícil para representar los datos. Valores de z Area de la curva normal 1 DS 2 DS 3 DS z área 0,0 0,0000 0,1 0,0398 0,2 0,0793 0,3 0,1179 0,4 0,1554 0,5 0,1915 0,6 0,2257 0,7 0,2580 0,8 0,2881 0,9 0,3159 1,0 0,3413 0,6826 1,1 0,3643 1,2 0,3849 1,3 0,4032 1,4 0,4192 1,5 0,4332 1,6 0,4452 1,7 0,4554 1,8 0,4641 1,9 0,4713 2,0 0,4772 0,9544 3,0 0,4987 0,9974 4,0 0,5000 1,0000 Cuando nosotros tenemos los valores de z, nos permite calcular el área de la curva, cuando nosotros decimos 1 DS estamos basados en una curva que tiene una distribución normal y basados en unos valores de z que se han estandarizados para calcular el área dentro de la curva, y 1 DS dentro de una curva de distribución normal significa z = 1 es 0,34 entonces el 0,34 multiplicado por 2 le da el 68%, entonces si yo digo el promedio es 5 y la DS es un 1; 68% está entre un 4 y un 6. Si yo le digo 2 DS o z = 2, significa 95% (0,47 * 2 = 95) Usted va a trabajar con valores de pacientes, de COP, con índices de higiene oral, índices de placa, índices de depósito. En resumidas cuentas, para las variables intervalares, puede calcular la moda, la mediana, la media, el recorrido intercuartil, el IC del promedio, la DS, el error estándar. En variables nominales puede sacar la moda, el n, el porcentaje, al igual que la variable ordinal. 7

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