INTERACCIÓN Y CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS 1, 2

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1 INTERACCIÓN Y CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS 1, 2 S. Llinares & J. Valls Departamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante Cuestión a debatir Cómo dar cuenta del aprendizaje de los estudiantes para maestro (niveles de aprendizaje? Aprendizaje entendido como uso del conocimiento de Didáctica de la Matemática en la resolución de tareas profesionales cómo dar cuenta del uso del conocimiento generado en el transcurso de la resolución de las tareas planteadas? cómo mejorar el análisis de las participaciones en los debates para dar respuesta a las cuestiones de investigación anteriores? cómo analizar los informes finales producidos por los estudiantes para identificar niveles de uso de conocimiento (niveles de aprendizaje)? Debates virtuales e interpretación de la enseñanza de las matemáticas Entre varias competencias vinculadas a aprender a enseñar matemáticas está llegar a aprender a ver e interpretar diferentes aspectos de la enseñanza de las matemáticas. Es decir, aprender a interpretar las características relevantes de una situación de enseñanza y a dotarlas de sentido desde diferentes puntos de vista, como puede ser la información teórica desde la Didáctica de la Matemática, o desde sus propias experiencias previas (Rey, Penalva, Llinares, 2006). Así se genera un objetivo en la formación de maestro dirigido a ayudar a los estudiantes para maestro a aprender a ver e interpretar las múltiples maneras en las que un maestro puede gestionar el pensamiento matemático de sus alumnos (la enseñanza de las matemáticas). En respuesta a esta situación, el diseño de entornos de aprendizaje interactivos tiene como objetivo intentar que los estudiantes generen competencias profesionales relativas a la interpretación de la enseñanza de la resolución de problemas en educación primaria: - Identificar aspectos relevantes en la enseñanza relativa a plantear y resolver problemas. Por ejemplo, identificar variables didácticas del enunciado de un problema y aquello que lo puede convertir en un ejercicio o en un problema con más potencial de aprendizaje matemático; las fases y estrategias del proceso de 1 Proyecto SEJ /educ "Entornos de aprendizaje basados en videos como herramientas en la formación universitaria. Análisis de niveles de desarrollo de competencia profesional. Otros investigadores del proyecto en la UA: ML. Callejo; C. Martinez, MC. Penalva, C. Rey; AI. Roig; G. Torregrosa. 2 Documento de trabajo para el III Seminario sobre entornos de aprendizaje y tutorización para la formación del profesorado de matemáticas. Sevilla, Noviembre

2 resolución que un alumno de primaria puede seguir y la gestión de dichas estrategias por parte del profesor. - Establecer relaciones entre diferentes aspectos de la enseñanza de las matemáticas que justifican el desarrollo de la competencia matemática en los escolares de primaria. Por ejemplo, cómo el maestro puede seleccionar o modificar las variables didácticas de un enunciado, analizando e interpretando las producciones de los alumnos (fases y estrategias) y orientando los procesos de resolución (gestión del profesor). - Sintetizar las ideas más relevantes para usarlas para organizar la observación, y la interpretación de otras situaciones y - Generar teorías para interpretar la enseñanza de la resolución de problemas. Una experiencia Fueron diseñados dos entornos de aprendizaje usando una plataforma interactiva. Los estudiantes analizaban segmentos de videos sobre la enseñanza de la resolución de problemas en educación primaria y participaban en debates virtuales como un espacio para facilitar la interacción y la elaboración de las ideas de manera cooperativa (Callejo et al, 2006; Valls et al. 2006). En cada uno de los dos entornos de aprendizaje los estudiantes tenían que describir e interpretar un segmento de video en el que una maestra trabaja con un grupo de alumnos de primaria con el objetivo de enseñarles a formular problemas y a reconocer las partes de estos (datos y pregunta). El objetivo es que los estudiantes para maestro identifiquen aspectos característicos de la gestión de la situación por parte de la maestra que son considerados potencialmente beneficiosos para la generación de algunos aspectos de la competencia matemática en los alumnos. Por otra parte, para facilitar el intercambio de ideas y poder llegar a consensuar puntos de vistas inicialmente discrepantes, los estudiantes en cada entorno de aprendizaje participaban en debates virtuales. Las Tareas Las cuestiones específicas planteadas para el análisis de los video-clips teniendo en cuenta la información proporcionada en los documentos teóricos fueron Sesión 1 1. Debate abierto 10 días: Cómo la tarea y la gestión que realiza la profesora apoyan el desarrollo de la competencia matemática? 2. Debate abierto 10 días: Producir un informe síntesis en grupo relativo a: - la relación existente entre la competencia matemática y la enseñanza de la resolución de problemas. - lo que habéis aprendido en esta sesión y cómo esta herramienta ha favorecido este aprendizaje. Sesión 2 1. Debate abierto 9 días: Qué variables didácticas han tenido en cuenta las maestras para diseñar la tarea? en qué medida podemos considerar que esta tarea es un ejercicio o un problema? 2. Debate abierto 4 días. Informe final: diseña o elige con tus compañeros de debate una tarea indicando curso, bloque temático, posibles respuestas de los alumnos y cuyas características (variables didácticas) y su gestión por parte del maestro permita considerarla un problema y no 2

3 un ejercicio. Modificad esta tarea generando dos nuevas tareas. Indicad las variables didácticas que has modificado. Justifica dichas modificaciones Participantes y debates En el curso se realizó un estudio piloto implementando los dos entornos de aprendizaje (S1 y S2) con un grupo de 32 EPM (EPM s) distribuidos en tres grupos. Los debates correspondientes a cada entorno estuvieron activos durante 10 y 9 días respectivamente. El debate empezaba con un mensaje del moderador-profesor que contenía una cuestión y las indicaciones técnicas para participar. Finalmente los estudiantes debían proporcionar, como grupo, un informe centrado en las diferentes alternativas identificadas y su justificación. Para consensuar este informe final los estudiantes también tenían la posibilidad de participar en un espacio de trabajo virtual que en este caso tenía como objetivo únicamente la elaboración del informe de manera conjunta. El espacio de trabajo virtual técnicamente adopta la misma forma que el debate virtual de la primera fase, lo único que cambia es el objetivo por el cual los estudiantes deciden participar. La tabla siguiente muestra la estructura adoptada en los dos entornos diseñados (S1 y S2) DEBATE VINCULADO A S1 Debate: ESPACIO DE TRABAJO para elaborar el informe final S1 DEBATE VINCULADO A S2 Debate: ESPACIO DE TRABAJO para elaborar el informe final S2 GRUPO 1 GRUPO 2 GRUPO 3 Los datos para el análisis de esta experiencia son el texto de los mensajes introducidos por los estudiantes en los dos debates en los que participaron en cada uno de los entornos y las participaciones en los debates habilitados para realizar el informe final. También se han recogido los informes finales elaborados por cada uno de los tres grupos. La tabla 1 recoge todos los datos relativos al grupo 3 sobre el que se centra el análisis. Análisis Nº de mensajes en el debate Días activo el debate Nº de intervenciones del moderador Nº de mensajes en el espacio de trabajo Informe síntesis Entorno S Si Entorno S Si TOTAL Tabla 1. Participaciones del grupo3 en los diferentes debates En el análisis de los debates virtuales hemos tenido en cuenta aspectos cuantitativos como el número de aportaciones y su distribución temporal, y aspectos cualitativos como tipos de participación (ejemplo, clarificaciones, discrepar), y niveles de construcción del conocimiento identificados en la articulación del discurso generado. Desde este punto de vista hemos intentado integrar diferentes aproximaciones analíticas que están siendo usadas en el análisis de contenido de foros desde el punto de vista de las manifestaciones de la construcción del conocimiento identificadas (Schrire, 2006). 3

4 El análisis de contenido de los mensajes es importante para caracterizar cómo los estudiantes elaboran las ideas o el tipo de destrezas cognitivas que utilizan en la discusión. Todo esto es necesario para poder determinar si el debate generado y la resolución de las tareas propuestas han sido relevantes para la construcción del conocimiento sobre la enseñanza de la resolución de problemas. Los diferentes niveles de análisis se describen a continuación 1º nivel del análisis cualitativo: identificación de cadenas conversacionales y tópicos sobre los que se interactúa. Como algunos estudiantes no insertan su intervención en el lugar y nivel adecuado, es necesario identificar previamente las cadenas conversacionales (Rey et al. 2004) como primer paso del análisis de contenido. Una cadena conversacional es una sucesión de aportaciones al debate relacionadas entre sí que constituyen interacciones entre los EPM organizadas alrededor de una temática específica. Las diferentes cadenas conversacionales permiten identificar temáticas concretas sobre las que los EPM discrepan o en las que consensúan los límites de las interpretaciones inicialmente realizadas. Las cadenas conversacionales en un debate se representan gráficamente para poder identificar diferentes patrones de interacción tales como la discusión centrada alrededor de un tema gestionada por un estudiante para maestro que actúa como lider de la conversación en cada momento, y la naturaleza de la colaboración entre los EPM para buscar un consenso o realizar mejores construcciones de sus argumentos para discrepar con sus compañeros. Las cadenas conversacionales se representan gráficamente para poder revelar las diferentes líneas temáticas generadas (figura 1) Patricia Aporte inicial al tópico Sobre la gestión de la maestra de las respuestas de sus alumnos Sandra Acuerdo Cristina Acuerdo Virginia Discrepa Judith Acuerdo Virginia Refina el Figura 1. Ejemplo de representación gráfica de una cadena conversacional generada en uno de los debates. Tema: sobre el objetivo de la maestra al gestionar las aportaciones de los alumnos 2º nivel de análisis cualitativo: análisis de contenido de los mensajes La segunda fase del análisis de contenido tiene como objetivo identificar - Tipo y función de la participación, y - Niveles de construcción del conocimiento. 4

5 El contenido de cada mensaje fue analizado basándonos en lo que se quería transmitir (sus ideas). Es decir, considerábamos como unidad de análisis en cada mensaje la idea o ideas que se transmitían. Una idea podía ser expresada con una o varias frases o incluso en varios párrafos. Con esta manera de funcionar, un mensaje podía contener varias unidades de análisis si se consideraba que transmitía varias ideas. El análisis fue realizado teniendo en cuenta las dos dimensiones anteriores: forma en la que se participa (tipo y función de la participación) y niveles de construcción del conocimiento. Niveles de construcción del conocimiento. Para realizar el análisis relativo a los niveles de construcción del conocimiento hemos usado un modelo procedente de investigaciones previas centradas en la construcción del conocimiento de los estudiantes para maestro usando referencias desde el aprendizaje situado (García, et al. 2006). El modelo, que había sido generado desde los datos, es un indicador de los niveles de construcción del conocimiento. Se consideran 4 niveles: nivel 1 descriptivo; nivel 2 retórico; nivel 3 integrar y sintetizar; y nivel 4 teorizar/ conceptualizar, cuya definición e indicadores se muestra en la tabla 2 NIVEL Definición Indicadores N1. Descriptivo Se describe de manera natural lo que se ve sin vincularlo a la información teórica proporcionada N2. Retórico Se usan términos procedentes de los documentos proporcionados pero sin un sentido claro. N3. Identificación e inicio de un uso instrumental de la información N4. Teorizarconceptualizar. Integración relacional Se usan términos procedentes de los documentos pero sin mostrar evidencias clara que lo justifiquen Realiza valoraciones, evalúa, juzga La información teórica empieza a relacionarse con aspectos específicos de la enseñanza. La información teórica se usa para interpretar aspectos aislados de la enseñanza pero no establecen claramente relaciones. Inferencia Inferir, conectar datos a categorías teóricas Se plantean preguntas de reflexión que manifiestan una implicación con la tarea elevada y un uso instrumental de la información teórica La información teórica se transforma en herramienta conceptual. Las herramientas conceptuales se identifican y se usan integrándolas para dar una respuesta a la tarea Se hacen comentarios sin una manifestación explicita de que estén fundamentados en la teoría. - Se hace un uso de las palabras que designan las ideas teóricas desde los documentos pero no se vinculan de manera clara a la resolución de la tarea. - Se hacen valoraciones genéricas construyendo frases generales pero sin un sentido claro. - Realiza juicios de valor. Juzga la relevancia de algún aspecto de la tarea. - Realiza juicios de valor que pueden ser superficiales Realiza descripciones generales de los que se supone se ve en el video - Se construyen frases genéricas y se construye un discurso poco claro manifestando una implicación superficial con las cuestiones planteadas 3.1. Exploración, se empieza a identificar aspectos relevantes de la situación y a vincularlos ideas teóricas para su interpretación. Se intuye que los argumentos utilizados se construyen de manera implícita en los significados procedentes de los documentos teóricos aunque no se hace un uso explicito de los términos teóricos 3.2. Se utiliza de manera aislada la información teórica y a relacionarla con segmentos concretos de la enseñanza. Se hacen uso de algunos aspectos de las ideas teóricas y se relacionan con aspectos relevantes de la situación 3.3. Desde la evidencia empírica identificada generaliza Se considera alguna evidencia empírica ejemplo de una categoría amplia - deliberación y reflexión - integración - se analiza, reflexiona e integra diferentes aspectos de las ideas teóricas relacionándolas con aspectos relevantes de la situación para sintetizar y generalizar. - propone una hipótesis - saca conclusiones - formula una proposición desde lo dicho previamente - resume la opinión de los demás o la suya propia para buscar una generalización Tabla2. El modelo analítico para los niveles de construcción del conocimiento adaptado de la investigación de García et al (2006) 5

6 Forma de participar. En relación a la forma de participar y las destrezas cognitivas hemos adaptado un modelo procedente de la investigación de Rey et al. (2004). Las categorías consideradas en el análisis de la forma de participar fueron: Aportación inicial (responde a la pregunta), Clarifica -Pide aclaraciones, Valora/juzga/ evalua/ realiza valoraciones, Discrepa / Refuta, Concuerda/ Refrenda, y Plantea cuestiones/ dudas y plantea. La tabla 3 proporciona los indicadores y la caracterización de las diferentes categorías consideradas Dimensión: Implicación con la interacción Concuerda/ Refrenda Discrepar /Refutar Plantea cuestiones adicionales, dudas Manifiesta conformidad y apoyo hacia una aportación determinada Concuerda con y amplia aspectos mencionados en otras aportaciones Manifiesta disconformidad y argumenta su discrepancia Introduce nuevos aspectos en la discusión para ser considerados por sus compañeros Genera o propone una nueva idea. Pide aclaraciones Demanda la aclaración de algún concepto o idea utilizado en alguna aportación O clarifica algún aspecto introducido previamente Respuesta inicial. Aporte sin referencia a ninguna aportación previa Amplia y/o refina alguna aportación previa introduciendo nueva información, describiendo experiencias propias, subraya los aspectos considerados previamente y explicita las relaciones con el objetivo de hacerse entender Aporta información. Responde a la tarea de alguna manera pero sin hacer referencia a ninguna aportación previa Tabla 3. El modelo analítico para la forma de participar adaptado de Rey et al (2004) Las dos aproximaciones al análisis de los protocolos realizadas (construcción del conocimiento y forma de participar) intentan dar cuenta de la forma en la que los estudiantes se implican unos con otros en la realización de la tarea y cómo esto puede ayudar a la reificación de algunos aspectos del conocimiento. Este proceso queda reflejado en un discurso donde la información teórica proporcionada es transformada en instrumentos conceptuales para la resolución de la tarea (Llinares, 2002). Procedimiento de análisis seguido Dos investigadores realizaron este proceso de codificación de manera independiente después de compartir los significados dados a las diferentes categorías en las dos dimensiones. Para ello inicialmente ante un borrador de la caracterización de las diferentes categorías se discutieron los aspectos que podían ser considerados en cada categoría y cómo cada característica podía venir reflejada en las participaciones de los estudiantes. Este primer paso del análisis tenía como objetivo compartir los principios teóricos desde un punto de vista analítico y su vinculación con la evidencia empírica y para ello se leyeron las aportaciones desde el punto de vista de intentar clarificar los 6

7 indicadores teóricos en cada categoría. El producto de este primer paso fue una clarificación de los diferentes aspectos considerados en la definición de las categorías y llegar a compartir una manera determinada de mirar e interpretar las participaciones de los estudiantes. Este proceso permitió refinar el sistema de categorías y que los investigadores se familiarizaran con la vinculación entre las evidencias empíricas y las posibles interpretaciones. En un segundo momento los dos investigadores realizan de manera independiente la codificación de todos los mensajes considerando las dos aproximaciones adoptadas (construcción del conocimiento y forma de participar). Cada idea identificada en un mensaje fue codificada teniendo en cuenta las categorías de la forma de participar y los niveles de construcción del conocimiento. Al hacerlo de esta manera se intentaba identificar la manera de interacción entre los participantes en los foros y la manera en la que se contribuía o se usaban las diferentes aportaciones de los demás para resolver la tarea (Rey et al, 2006). Finalmente, se pusieron en común los resultados de los análisis realizados, se discutieron las discrepancias y consensuaron las decisiones tomadas. Referencias Callejo, ML.; Valls, J. & Llinares, S. (2006). Interacción y análisis de la enseñanza. Aspectos claves en la construcción del conocimiento profesional. Comunicación preparada para ser presentada en el Simposio de la SEIEM- Huesca en el grupo de trabajo de Conocimiento y practica profesional del profesor. Cobo, P. y Fortuny, JM. (2000). Social interactions and cognitive effects in contexts of area-comparison problem solving. Educational Studies in Mathematics, 42, Cobo, P. y Fortuny, J.M. (2006). La tutorización sistemática como estrategia de formación en resolución de problemas de matemáticas. En Penalva, Escudero, Barba (eds.) Conocimiento, entornos de aprendizaje y tutorización para la formación del profesorado de matemáticas. Construyendo comunidades de práctica. (pp ). Granda: Proyecto Sur García, M., Sánchez, V., Escudero, I. y Llinares, S. (2006). The Dialectic Relationship Between Research and Practice in Mathematics Teacher Education. Journal of Mathematics Teacher Education. Llinares, S. (2002). Participation and reification in learning to teach. The role of knowledge and beliefs. En G. Leder, E. Pehkonen & G. Törner (eds.) Beliefs: A hidden variable in mathematics education?. (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Penalva, MC.; Escudero, I. & Barba, D. (eds.) (2006). Conocimiento, entornos de aprendizaje y tutorización para la formación del profesorado de matemáticas. Construyendo comunidades de práctica. Granda: Proyecto Sur. Rey, C.; Penalva, M. C. y Llinares, S. (2004). Multientorno de aprendizaje como estrategia didáctica. Tercer Congreso Internacional de Docencia Universitaria e Innovación. Gerona. Publicación en CD-ROM. Rey, C.; Penalva, M.C. & Llinares, S. (2006). Aprendizaje Colaborativo y formación de asesores en matemáticas. Análisis de un caso. Quadrante,... Sánchez, V.; García, M. y Escudero, I (2006). Elementary preservice teacher learning levels. En Novotna, J. et al. (eds.). Proceedings of the 30 th Conference of the International Group for the Psychology of mathematics Education (pp. 5-33, 5-40). Prague, Czech Republic Schrire, S. (2006). Knowledge building in asynchronous discusión groups: Going beyond quantititaive análisis. Computers & Education, 46, Valls, J., Llinares, S. & Callejo, M.L. (2006). Video-clips y análisis de la enseñanza: Construcción del conocimiento necesario para enseñar matemáticas. En Penalva, Escudero, Barba (eds.) Conocimiento, entornos de aprendizaje y tutorización para la formación del profesorado de matemáticas. Construyendo comunidades de práctica (pp.25-43)granada: Proyecto Sur. 7